Сравнение выборок

СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОК Лекция 12 НЕЗАВИСИМЫЕ И ПАРНЫЕ ВЫБОРКИ В независимых выборках объекты выбираются независимо друг от друга. Выборка 1 Выборка 2 В парных (зависимых) выборках с каждым наблюдением одной выборки сопоставлено наблюдение другой выборки. Выборка 1 Выборка 2 2 НЕЗАВИСИМЫЕ И ПАРНЫЕ ВЫБОРКИ НЕЗАВИСИМЫЕ Выборки из двух разных ГС ► Жители Москвы vs. жители СанктПетербурга ► Россияне vs. Французы ► Студенты МГИМО vs. студенты МГУ Выборки из одной ГС ► Студенты МГИМО: МЖ vs. МЭО ► Москвичи: женщины vs. мужчины ► Россияне: молодые vs. пожилые ► Покупатели: предпочитающие Apple vs. предпочитающие Samsung ПАРНЫЕ ► Мужья vs. Жены ► Исследования близнецов ► Apple vs. Samsung: экспертные оценки ► Студенты 1 МЖ: оценки по математике в осеннем и весеннем семестре 3 ПАРНЫЕ ВЫБОРКИ Мужья vs. Жены • Мнению каждого мужа соответствует мнение именно его жены Исследования близнецов • Показателям близнеца №1 соответствуют показатели близнеца №2, то есть брата/сестры Apple vs. Samsung • Каждой оценке Apple соответствует оценка Samsung от того же эксперта Оценки студентов • Каждой оценке за осенний семестр соответствует оценка за весенний семестр этого же студента 1 МЖ 4 ВОЗМОЖНЫЕ ГИПОТЕЗЫ О ДОЛЯХ О СРЕДНИХ Независимые выборки σ известны σ неизвестны, но равны О ДИСПЕРСИЯХ Зависимые выборки σ неизвестны и неравны 5 НЕЗАВИСИМЫЕ ВЫБОРКИ 6 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ H0 Генеральные средние равны H1 Генеральные средние не равны H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 𝛼/2 1−𝛼 𝛼/2 7 ВЫБОР КРИТЕРИЯ σ12 и σ22 Неизвестны Объем выборок Известны 𝑧= 𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2 Большой 𝑧= 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 Малый H0: σ12 = σ22 𝑋1 − 𝑋2 Отвергается 𝑡min(𝑛1−1,𝑛2−1) = Принимается 𝑡𝑛1+ 𝑛2 −2 = 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 𝑋1 − 𝑋2 (𝑛1 − 1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 1 1 ∗ + 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑛1 𝑛2 8 ПРИМЕР 𝛼/2 1−𝛼 −𝑧𝛼Τ2 𝛼/2 +𝑧𝛼Τ2 𝛼 = 0.01 𝛼 = 0.005 2 1− ищем в таблице 𝛼 = 0.995 2 +𝑧𝛼Τ2 = 2.575 9 H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 ПРИМЕР В результате проведенного исследования среди потребителей сока выяснилось, что вкус марки А люди в возрасте 60+ (214 респондентов) оценивают на 4.5 балла, а люди в возрасте 18-25 – на 4.2 балла (178 респондентов). Действительно ли оценка молодых отличается от оценки пожилых? Проверить утверждение на уровне значимости α = 0,01. Считать дисперсии равными единице. σ12 и σ22 𝑧= Известны Значение статистики попадает в критическую область, значит, принимаем альтернативную гипотезу. 𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2 𝑧= 𝑋1 − 𝑋2 𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2 −2.58 +2.58 +2.96 𝑋1 − 𝑋2 = 4.5 − 4.2 1 1 + 214 178 = 2.96 10 ПРИМЕР 2 В результате проведенного продуктового теста среди потребителей сока выяснилось, что вкус марки А люди в возрасте 60+ (25 респондентов) оценивают на 4.5 балла, а люди в возрасте 18-25 – на 4.2 балла (18 респондентов). Генеральные дисперсии неизвестны, вычисленные по выборке дисперсии равны 2.0 и 1.7 соответственно. Действительно ли оценки сока различны? Проверить утверждение на уровне значимости α = 0,05. Пожилые 𝑛 = 25 𝑋1 = 4.5 Молодые 𝑛 = 18 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 11 ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ 12 F-КРИТЕРИЙ F-критерий, (критерий Фишера) используется для проверки равенства дисперсий двух генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение. Условие: 𝑠12 > 𝑠22 Если не выполняется, поменять местами номера генеральных совокупностей. То есть 𝑠12 - это всегда та дисперсия, которая больше. 𝑠12 𝐹= 2 𝑠2 Имеет F-распределение с числом степеней свободы: числителя df1 = n1 – 1 знаменателя df2 = n2 – 1. 13 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА Плотность распределения Функция распределения 14 НАЙДЕМ F-КРИТЕРИЙ 𝐹= 2 𝑠1 2 𝑠2 Имеет F-распределение с числом степеней свободы: числителя df1 = n1 – 1 знаменателя df2 = n2 – 1. Чтобы найти F, надо знать три параметра: α / df1 / df2 Соответственно, таблица должна быть трехмерная. Для удобства используется несколько таблиц для разных α. 15 НАЙДЕМ F-КРИТЕРИЙ 𝐹= 2 𝑠1 𝑠22 Чтобы найти F, надо знать три параметра: α / df1 / df2 На пересечении df1 / df2 лежит нужное значение статистики 16 ВЕРНЕМСЯ К ПРИМЕРУ 17 ПРИМЕР 2 В результате проведенного продуктового теста среди потребителей сока выяснилось, что вкус марки А люди в возрасте 60+ (25 респондентов) оценивают на 4.5 балла, а люди в возрасте 18-25 – на 4.2 балла (18 респондентов). Генеральные дисперсии неизвестны, вычисленные по выборке дисперсии равны 2.0 и 1.7 соответственно. Действительно ли оценки сока различны? Проверить утверждение на уровне значимости α = 0,05. Пожилые 𝑛 = 25 𝑋1 = 4.5 Молодые 𝑛 = 18 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 18 ВЫБОР КРИТЕРИЯ σ12 и σ22 Неизвестны Объем выборок Пожилые Молодые 𝑛 = 25 𝑛 = 18 𝑋1 = 4.5 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 1.7 𝑠22 = 2.0 Известны 𝑧= 𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2 Большой 𝑧= 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 Малый H0: σ12 = σ22 𝑋1 − 𝑋2 Отвергается 𝑡min(𝑛1−1,𝑛2−1) = Принимается 𝑡𝑛1+ 𝑛2 −2 = 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 𝑋1 − 𝑋2 (𝑛1 − 1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 1 1 ∗ + 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑛1 𝑛2 19 ПРИМЕР 2 Для выбора критерия проверим гипотезу о равенстве дисперсий. Пожилые 𝑛 = 25 Молодые 𝑛 = 18 𝑋1 = 4.5 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 H0: 𝜎12 = 𝜎22 H1: 𝜎12 ≠ 𝜎22 𝑠12 2.0 𝐹= 2= = 1.2 𝑠2 1.7 20 ПРИМЕР 2 α=0.05 число степе ней свобо ды v2 Пожилые Молодые 𝑛 = 25 𝑛 = 18 число степеней свободы v1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 24 30 40 60 120 1 161 200 216 225 230 234 237 239 271 242 243 244 246 248 249 250 251 252 253 2 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,71 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 df1 = n1 – 1=25-1=24 df2 = n2 – 1=18-1=17 21 ПРИМЕР 2 Для выбора критерия проверим гипотезу о равенстве дисперсий. Пожилые Молодые 𝑛 = 25 𝑛 = 18 𝑋1 = 4.5 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 𝐹= 2 𝑠1 2 𝑠2 2.0 = = 1.2 1.7 Критическое значение равно 2,19 22 ПРИМЕР 2 H0: 𝜎12 = 𝜎22 H1: 𝜎12 ≠ 𝜎22 Значение статистики не попадает в критическую область, значит, принимаем нулевую гипотезу. 𝛼 1−𝛼 𝑓𝑎 Критическая область распределения Фишера 𝛼 1−𝛼 𝐹 = 1.2 𝑓𝑎 = 2.19 Наш пример 𝐹 = 1.2 𝑓𝑎 = 2.19 23 ВЫБОР КРИТЕРИЯ σ12 и σ22 Неизвестны Объем выборок Пожилые Молодые 𝑛 = 25 𝑛 = 18 𝑋1 = 4.5 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 𝑧= Известны 𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2 Большой 𝑧= 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 Малый H0: σ12 = σ22 𝑋1 − 𝑋2 Отвергается 𝑡min(𝑛1−1,𝑛2−1) = Принимается 𝑡𝑛1+ 𝑛2 −2 = 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 𝑋1 − 𝑋2 (𝑛1 − 1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 1 1 ∗ + 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑛1 𝑛2 24 ПРИМЕР 2 𝑡𝑛1+ 𝑛2−2 = 𝑡𝑛1 + 𝑛2−2 = 𝑋1 − 𝑋2 (𝑛1 − 1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 − 2 1 1 ∗ 𝑛 +𝑛 1 2 4.5 − 4.2 25 − 1 ∗ 2.0 + 18 − 1 ∗ 1.7 1 1 ∗ + 25 + 18 − 2 25 18 Пожилые Молодые 𝑛 = 25 𝑛 = 18 𝑋1 = 4.5 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 = 0.71 25 Найдем t ПРИМЕР 2 𝛼=0.05 df=25+18-2=41 𝛼/2 1−𝛼 -2. 0 𝛼/2 +2.0 26 ПРИМЕР 2 H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 𝑡𝑛1 + 𝑛2 −2 = 0.71 −2.0 Значение статистики не попадает в критическую область, значит, принимаем нулевую гипотезу. +0.71 +2.0 27 ПРИМЕР 2 В результате проведенного продуктового теста среди потребителей сока выяснилось, что вкус марки А люди в возрасте 60+ (25 респондентов) оценивают на 4.5 балла, а люди в возрасте 18-25 – на 4.2 балла (18 респондентов). Генеральные дисперсии неизвестны, вычисленные по выборке дисперсии равны 2.0 и 1.7 соответственно. Действительно ли оценки сока различны? Проверить утверждение на уровне значимости α = 0,05. Пожилые Молодые 𝑛 = 25 𝑋1 = 4.5 𝑛 = 18 𝑋2 = 4.2 𝑠12 = 2.0 𝑠22 = 1.7 H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 Оценки вкусовых качеств сока у пожилых и молодых не отличаются. 28 ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ 29 СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК σ12 и σ22 Неизвестны Объем выборок 𝑧= Известны 𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2 Большой 𝑧= 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 Малый H0: σ12 = σ22 𝑋1 − 𝑋2 Отвергается 𝑡min(𝑛1−1,𝑛2−1) = Принимается 𝑡𝑛1+ 𝑛2 −2 = 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 𝑛1 + 𝑛2 𝑋1 − 𝑋2 (𝑛1 − 1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 1 1 ∗ + 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑛1 𝑛2 30 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ F-критерий (критерий Фишера) используется для проверки равенства дисперсий двух генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение. Условие: 𝐹= 𝑠12 > 𝑠22 2 𝑠1 𝑠22 Имеет F-распределение с числом степеней свободы: числителя df1 = n1 – 1 знаменателя df2 = n2 – 1. 1−𝛼 𝛼 𝑓𝑎 31 ПАРНЫЕ ВЫБОРКИ 32 ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ H0: μd = 0 H1: μd ≠ 0 критерий среднее для парных разностей генеральной совокупности 𝑑 𝑑 𝑠𝑑 𝑛 𝑑ҧ 𝑡= 𝑠 𝑑 𝑛 - разность между двумя значениями в одной паре - выборочное среднее для парных разностей - стандартное отклонение разностей для выборки - количество пар 33 ПРИМЕР Эксперт Apple Samsung 1 8 9 2 7 8 3 6 5 4 5 7 5 8 6 6 9 7 7 10 9 8 6 7 9 7 6 10 9 8 Экспертов попросили оценить продукт двух торговых марок по шкале от 1 до 10. Оценки представлены в таблице. Проверим гипотезу о равенстве оценок при α=0.05 H0: μd = 0 H1: μd ≠ 0 34 ПРИМЕР Эксперт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑑ҧ = Apple 8 7 6 5 8 9 10 6 7 9 Samsung 9 8 5 7 6 7 9 7 6 8 𝑑 8-9=-1 7-8=-1 6-5=1 5-7=-2 8-6=2 9-7=2 10-9=1 6-7=-1 7-6=1 9-8=1 𝑑ҧ 𝑡= 𝑠 𝑑 𝑛 σ𝑑 = 0.3 𝑛 n - количество пар оценок = количество экспертов n=10 35 ПРИМЕР Эксперт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑠𝑑 = Apple 8 7 6 5 8 9 10 6 7 9 𝛴𝑑 2 𝛴𝑑 − 𝑛 𝑛−1 Samsung 9 8 5 7 6 7 9 7 6 8 𝑑 8-9=-1 7-8=-1 6-5=1 5-7=-2 8-6=2 9-7=2 10-9=1 6-7=-1 7-6=1 9-8=1 𝑑ҧ 𝑡= 𝑠 𝑑 𝑛 2 36 ПРИМЕР Эксперт Apple Samsung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 7 6 5 8 9 10 6 7 9 9 8 5 7 6 7 9 7 6 8 Разности (𝑑) -1 -1 1 -2 2 2 1 -1 1 1 𝛴𝑑 = 3 𝛴𝑑 𝑠𝑑 = 𝛴𝑑 𝛴𝑑 2 − 𝑛 𝑛−1 2 𝑑2 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 𝛴𝑑 2 = 19 𝑑ҧ 𝑡= 𝑠 𝑑 𝑛 =9 2 = 19 − 9/10 = 1.4 9 37 ПРИМЕР Эксперт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑑ҧ = 0.3 𝑠𝑑 = 1.4 n = 10 α = 0.05 Apple 8 7 6 5 8 9 10 6 7 9 Samsung 9 8 5 7 6 7 9 7 6 8 𝑑ҧ 0.3 𝑡= 𝑠 = = 0.68 1.4 𝑑 𝑛 10 38 ПРИМЕР 2 Найдем t 𝛼=0.05 df=n-1=10-1=9 𝛼/2 1−𝛼 -2. 3 𝛼/2 +2.3 𝑑ҧ 0.3 𝑡= 𝑠 = = 0.68 1.4 𝑑 𝑛 10 39 ПРИМЕР Эксперт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑑ҧ = 0.3 𝑠𝑑 = 1.4 n = 10 α = 0.05 Apple 8 7 6 5 8 9 10 6 7 9 𝑑ҧ 0.3 𝑡= 𝑠 = = 0.68 1.4 𝑑 𝑛 10 Samsung 9 8 5 7 6 7 9 7 6 8 Значение статистики не попадает в критическую область, значит, принимаем нулевую гипотезу. Эксперты дали одинаковые оценки продуктам двух 40 брендов. ГИПОТЕЗА О РАВЕНСТВЕ ДОЛЕЙ ТОЛЬКО ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК 41 КРИТЕРИЙ H0: p1 = p2 H1: p1 ≠ p2 𝑧= условия: np ≥ 5 и nq ≥ 5. 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 1 1 𝑝𝑞( + ) 𝑛1 𝑛2 𝑝 ෞ1 и 𝑝 ෞ2 - доли признака в выборке 1 и 2 𝑝ҧ - доля «успехов» в двух выборках 𝑚1 + 𝑚2 𝑝ҧ = 𝑛1 + 𝑛2 42 ПРИМЕР Предположим, что из 100 случайно отобранных МЖ 52 учат немецкий, а из 200 студентов МЭО - 103 человек. На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что нет значимого различия между долей изучающих немецкий на двух факультетах. H0: p1 = p2 H1: p1 ≠ p2 По таблице нормального закона находим критические значения: z = - 1,96 и z = 1,96. Критическая область двусторонняя. Вычисляем значение статистики. 𝑧= 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 1 1 𝑝𝑞(𝑛 + 𝑛 ) 1 2 43 ПРИМЕР Вычисляем значение статистики. 𝑧= 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 1 1 𝑝𝑞( + ) 𝑛1 𝑛2 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 = 𝑝ҧ = 𝑧= 52 103 − = 0.005 100 200 𝑚1 + 𝑚2 52 + 103 = = 0.52 𝑛1 + 𝑛2 100 + 200 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 1 1 𝑝𝑞( + ) 𝑛1 𝑛2 = 0.005 1 1 0.52 ∗ 0.48 ∗ ( + ) 100 200 𝑞ത = 1 − 0.52 = 0.48 = 0.08 44 ПРИМЕР Предположим, что из 100 случайно отобранных МЖ 52 учат немецкий, а из 200 студентов МЭО - 103 человек. На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что нет значимого различия между долей изучающих немецкий на двух факультетах. H0: p1 = p2 H1: p1 ≠ p2 По таблице нормального закона находим критические значения: z = - 1,96 и z = 1,96. Критическая область двусторонняя. Вычисляем значение статистики. 𝑧= 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 1 1 𝑝𝑞(𝑛 + 𝑛 ) 1 2 = 0.08 Значение статистики не попадает в критическую область, значит, принимаем нулевую гипотезу. Доли изучающих немецкий равны. 45 ПОДВЕДЕМ ИТОГ 46 О СРЕДНИХ О ДОЛЯХ Зависимые выборки Независимые выборки 𝑧= О ДИСПЕРСИЯХ 𝑝 ෞ1 − 𝑝 ෞ2 1 1 𝑝𝑞( + ) 𝑛1 𝑛2 𝑠12 𝐹= 2 𝑠2 Только для независимых σ известны 𝑧= 𝑋1 − 𝑋2 σ неизвестны, но равны σ неизвестны и неравны 𝑡min(𝑛1 −1,𝑛2 −1) = 𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2 𝑡𝑛1 + 𝑛2 −2 = 𝑑ҧ 𝑡= 𝑠 𝑑 𝑛 𝑋1 − 𝑋2 𝑠12 𝑠22 + 𝑛1 𝑛2 𝑋1 − 𝑋2 (𝑛1 − 1)𝑠12 +(𝑛2 −1)𝑠22 1 1 ∗ + 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑛1 𝑛2 47