Современные проблемы макроэкономики

Конспект лекций по дисциплине «Современные проблемы макроэкономики» М.А. Виноградов Тема 1. Неоклассические подходы в моделировании экономического роста (2 часа) 1. Характеристика экономического роста в различных странах мира. «Чудеса» и «катастрофы» в области экономического роста. В среднем сегодня доход США и стран Западной Европы в 10–30 раз выше, чем был столетие назад, и в 50–300 раз выше, чем был два века назад. Более того, мировой экономический рост является динамическим процессом. Темпы экономического роста возрастали в течение новой истории. Средние темпы экономического роста индустриальных стран были выше в XX веке, чем в XIX, и выше в XIX, чем в XVIII. Темпы экономического роста до Промышленной революции были очень, очень низкими. Что касается производительности труда, то средние темпы роста выпуска на душу населения в США и других индустриальных странах с 1970-х до середины 1990-х были почти на 1 процент ниже, чем в более ранние периоды. По крайней мере, в США произошел спад производительности труда. Как долго продлится эта ситуация, до сих пор не ясно. Кроме того, существуют значительные различия в уровне жизни в различных частях света. Средние доходы в таких странах, как США, Германии и Японии в 20 раз выше средних доходов в таких странах, как, например, Бангладеш или Кения. Также и темпы экономического роста серьезно различаются в разных странах как между собой, так и от общемирового уровня. Это лучше всего иллюстрируется так называемыми «чудесами» и «катастрофами» в области экономического роста (см. таблицы 1.1–1.4). Из числа стран, не попавших в данные списки, поучительна история Аргентины. В 1900 году данная страна была одним из мировых лидеров и имела все шансы стать ведущей индустриальной державой. Однако в течение XX века темпы экономического роста были весьма незначительными, и теперь Аргентина замыкает первую сотню стран по распределению дохода. Таблица 1.1 – Пятнадцать чудес в области экономического роста за период 1960–2000 № Страна Среднегодовые темпы роста 1 Тайвань 6,25 2 Ботсвана 6,07 3 Гонконг 5,67 4 Республика Корея 5,41 5 Сингапур 5,09 6 Таиланд 4,50 7 Кипр 4,30 8 Япония 4,13 9 Ирландия 4,10 10 КНР 3,99 11 Румыния 3,91 12 Маврикий 3,88 13 Малайзия 3,82 14 Португалия 3,48 15 Индонезия 3,34 Таблица 1.2 – Пятнадцать катастроф в области экономического роста за период 1960–2000 № Страна Среднегодовые темпы роста 15 Перу 0,00 14 Мавритания – 0,11 13 Сенегал – 0,26 12 Чад – 0,43 11 Мозамбик – 0,50 10 Мадагаскар – 0,60 9 Замбия – 0,61 8 Мали – 0,77 7 Венесуэла – 0,88 6 Нигер – 1,03 5 Нигерия – 1,21 4 Никарагуа – 1,30 3 ЦАР – 1,56 2 Ангола – 2,04 1 Демократическая Республика Конго – 4,00 Таблица 1.3 – Пятнадцать чудес в области экономического роста за период 1975–2005 № Страна Среднегодовые темпы роста 1 КНР 8,4 2 Корея, Респ. 6,0 3 Ботсвана 5,9 4 Таиланд 4,9 5 Сингапур 4,7 6 Ирландия 4,5 7 Гонконг (Китай, САР) 4,2 8 Мальта 4,1 9 Чили 3,9 10 Малайзия 3,9 11 Индонезия 3,9 12 Люксембург 3,8 13 Индия 3,4 14 Шри-Ланка 3,2 15 Сент-Винсент и Гренадины 3,2 Таблица 1.4 – Шестнадцать катастроф в области экономического роста за период 1975–2005 № Страна Среднегодовые темпы роста 16 Венесуэла – 1,0 15 Бурунди – 1,0 14 Того – 1,1 13 Габон – 1,4 12 ЦАР – 1,5 11 Мадагаскар – 1,6 10 Нигер – 1,7 9 Замбия – 1,8 8 Саудовская Аравия – 2,0 7 Никарагуа – 2,1 6 Кот-д’Ивуар – 2,1 5 Сьерра-Леоне – 2,1 4 Гаити – 2,2 3 ОАЭ – 2,6 2 Грузия – 3,9 1 Демократическая Республика Конго – 4,9 Ряд ученых делали попытки систематизировать эмпирические наблюдения в области экономического роста. Николас Калдор в 1961 году предложил следующий набор так называемых «стилизованных фактов»: 1) Выпуск на душу населения со временем возрастает и темп его роста не имеет тенденции к убыванию. 2) Физический капитал на одного работника (капиталовооруженность) возрастает со временем. 3) Реальная норма доходности капитала (реальная процентная ставка) является почти константой (стабильна). 4) Отношение физического капитала к выпуску является почти константой. 5) Доли труда и физического капитала в национальном доходе являются почти константами. 6) Темпы роста выпуска на работника существенно отличаются между различными странами. В своей основе и сфере применения (некоторые были сформулированы для развитых стран), эти факты остаются справедливыми до сих пор и прекрасно укладываются в рамки «неоклассической» теории роста, иллюстрируют и подтверждают ее теоретические положения и выводы. Однако значительное развитие эмпирических исследований, осуществленных за прошедший период, накапливало все больше вопросов к базовой теории, ответы на которые не могли быть в ней найдены, выявляло все больше устойчивых отклонений от прежних стилизованных фактов, которые требовали объяснения, выявляло многие дополнительные детерминанты роста, лежащие вне основной теории. Существенный прорыв в экономической теории был осуществлен в середине 80-х годов в результате возникновения так называемой «новой волны» теорий экономического роста, направления, которое бурно развивается и по сей день. Сформулировать новые стилизованные факты попытался Пол Ромер в 1989 году, выдвинувший свои факты в дополнение к калдоровским: 1) Средние темпы роста не зависят от дохода на душу населения. 2) Рост международной торговли положительно коррелирует с темпом роста производства. 3) Рост населения отрицательно коррелирует с уровнем дохода на душу населения. 4) Работники, квалифицированные, или нет, имеют тенденцию к миграции в более богатые страны. 5) Роста капитала не достаточно для объяснения роста производства. Здесь, очевидно упущены многие важные тенденции, и прежде всего тот вопрос, который, на наш взгляд, достаточно обоснованно поставлен Дюрлафом и Кахом, как центральный для современной теории роста: «Почему одни страны растут быстрее других?». Очевидность постановки этого вопроса видна из эмпирических исследований, свидетельствующих о несокращающемся разрыве между богатыми и бедными странами, при том, что внутри групп богатых и бедных стран происходит выравнивание уровней. Вместе с тем, наблюдается немалое число случаев перехода из одной группы в другую, из богатых в бедные и наоборот. В определенной степени некоторым итогом (вероятно, промежуточным) результатов современных эмпирических исследований можно считать «стилизованные» факты, сформулированные Вильямом Истерли и Россом Левином в своей недавней работе (Easterly William, Levine Ross “It's Not Factor Accumulation:Stylized Facts and Growth Models” World Bank Working Papers, Nov 2000), во всяком случае, лучше них никто, пока, этого не сделал. В качестве «стилизованных» фактов, они выдвигают следующие положения: 1) Накопление факторов не имеет решающего значения для большей части перекрестных различий в уровнях экономического роста. Нечто еще – а именно, общая производительность факторов, - имеет решающее значения для объяснений различий в росте. 2) Дивергенция, а не конвергенция, является реальностью на длительных периодах времени: существуют огромные и растущие различия в уровнях ВВП на душу населения между странами. 3) Рост не обязательно устойчив во времени, существуют самые различные типы поведения экономического роста в разных странах и в различные периоды времени. Но накопление капитала – устойчиво и достаточно постоянно. 4) Все факторы производства растут одновременно, предполагая взаимовлияние и экстерналии. 5) Параметры национальной политики оказывают влияние на долгосрочный экономический рост. Эти положения, в значительной степени суммируют те результаты эмпирических исследований, о которых говорилось выше. Темпы экономического роста оказывают прямое влияние на уровень жизни человека. Так в Бангладеш сегодня доход на душу населения растет 1,1 процент в год. При таких темпах прироста данной стране понадобиться 200 лет, чтобы достичь современный уровень жизни США. Если темпы будут 3 %, то этот процесс займет 100 лет, если же 5 % (как в Новых индустриальных странах), то 60 лет. В России среднегодовые темпы роста ВВП на душу населения за период с 2003 по 2007 год составили 7 %. Если бы данные темпы роста удалось сохранить, то Россия достигла бы уровня современного среднедушевого дохода США через 20 лет. В тоже время в США темпы прироста ВВП на душу населения в среднем составляют 2 % в год. Значит, чтобы Росси догнать США по уровню среднедушевых доходов (при сохранении тенденций 2003-2007) потребуется 76 лет! Как писал Роберт Лукас: «Однажды начав думать об экономическом росте, в дальнейшем трудно думать о чем-то еще». 2. Допущения неоклассических моделей экономического роста. Базовая односекторная модель Как часть макроэкономической науки теория экономического роста изучает постепенное (без флуктуаций) увеличение потенциального выпуска. Постепенный характер в данном контексте означает действие допущения о том, что рынок труда и товарные рынки всегда расчищаются, т.е. что труд и капитал всегда полностью или в нормальной степени используются (или, как минимум, степень использования не варьируется). Данные допущения являются по своей сути неоклассическими. Моделирование многих явлений двигается по пути перехода от общности и простоты к учету многих частных особенностей. Простая неоклассическая модель экономического роста может быть легко распространена на случай возрастающей или убывающей отдачи от масштаба, исчерпания полезных ископаемых, человеческого капитала, эндогенного роста населения и эндогенного научно-технического прогресса без изменения характера модели. Модели экономического роста могут быть классифицированы в зависимости от числа секторов на односекторные, двухсекторные и многосекторные модели. Мы будем анализировать преимущественно односекторные модели в закрытой экономике. Анализируя равновесный рост, мы будем придерживать главной неоклассической предпосылки о том, что существует убывающая отдача капитала и труда. Здесь по «капиталом» мы будем понимать запасы накопленного реального выпуска (для случая одного агрегированного товара) или комплекс запасов из всех накопленных факторов производства, включая человеческий капитал и знания. Неоклассическое допущение о постоянном эффекте масштаба не является обязательным для построения сложных моделей экономического роста и в дальнейшем может быть отброшено. Многие теории экономического роста (как неоклассические, так и разработанные в рамках других экономических традиций) уделяют особое внимание анализу стационарных состояний (steady states) и их асимптотической устойчивости (т.е. равновесных траекторий, когда из произвольного начального состояния система стремиться в стационарное состояние). Точное определение стационарного состояния может отличаться от одной модели к другой. Наиболее часто в стационарном состоянии выпуск и запасы капитала растут одинаковым постоянным темпом. Тем не менее, возможно уделять больше внимания нестационарному поведению посредством имитационного моделирования. Важность анализа стационарных состояний имеет теоретические и практические корни. Это естественный объект внимания. Большинство моделей экономического роста имеют, по крайней мере, одно стационарное состояние. Как следует из уже упомянутых наблюдений Н. Калдора (1961) в большинстве развитых индустриальных стран динамические характеристики близки к характеристикам стационарного состояния. Ни одна из теорий экономического роста не говорит нам о том, что стационарное состояние является уникальным и характерным для всех периодов времени. Полезность теорий в том и заключается, что значительные изменения ключевых детерминантов случаются нечасто и приводят к сдвигам самого стационарного состояния: технологические революции, демографические изменения, вариации в склонностях к сбережению и инвестиционном климате и т.д. Первой односекторной моделью следует считать модель Роя Харрода (1939) и Евсея Домара (1946). Однако ряд теоретических и практических противоречий не позволили данному подходу занять доминирующее место в структуре экономических знаний. Что касается многофакторной модели Неймана-Гейла, то в силу абстрактных допущений она разрабатывалась в рамках математической экономики как преимущественно теоретическая конструкция без серьезных попыток ее эмпирических проверок. Господствующие позиции в сфере моделирования экономического роста занимает неоклассический подход, анализ которого мы начнем с рассмотрения простой однофакторной модели. Базовая односекторная неоклассическая модель. Экономика производит единственный агрегированный товар («выпуск»). Объем производства в единицу времени обозначается как Y(t). Доступная технология позволяет производить выпуск с помощью затрат труда, L(t), и услуг капитала, который состоит из накопленных в прошлом товаров, которые частично изнашиваются (амортизируются) в процессе эксплуатации. Производственная функция в общем виде выглядит следующим образом Y = F(K, L). (Индексы времени опускаются, когда это возможно). Производственная функция характеризуется снижающейся отдачей капитала, а также труда и постоянным эффектом масштаба. Постоянный эффект масштаба позволяет осуществить следующие преобразования Y = F(K, L) = LF(K/L, 1) = LF(k, 1) = Lf(k), наконец, y = f(k), где y – это выпуск на единицу труда, т.е. производительность, и k – отношение капитала к единице труда, т.е. капиталовооруженность. Из допущения об убывающей предельной отдачи следует вывод о том, что f(k) является возрастающей и строго вогнутой функцией (первая производная строго больше нуля, вторая производная строго меньше нуля). Обычно прибегают к дополнительным допущениям (условия Инады – Inada conditions) для того, чтобы устранить неинтересные возможности: f(k) ≥ 0, f′(0) = ∞, f′(∞) = 0. Универсальное для теории экономического роста допущение касается того, что текущая амортизация пропорциональна текущим запасам капитала, например, D = δK. С эмпирической точки зрения это огрубляющее допущение, но оно позволяет размеры износа сделать независимыми от предыдущей траектории инвестирования. Также следует ввести условие не возрастания функции j(a), j(0) = 1 и j(A) = 0 (А может быть равно бесконечности). Данная функция интерпретируется как доля инвестиций, «остающихся» до периода a. Следовательно, если I(t) – это валовые инвестиции, то запас капитала в момент времени t будет равен . Теперь продифференцировав по времени, получим , (1.1) где δ(a) = –j′(a) – это степень износа к моменту a. Если мы специфицируем функцию через экспоненту j(a) = e–δa, то получим . Выпуск распределяется на конечное потребление и валовые инвестиции: Y = C + I. Отсюда следует: . (1.2) Если рабочая сила является экзогенной, и соблюдаются условия полной занятости, то L(t) является функцией от времени (очистка рынков товаров и труда в закрытой экономике означает равенство сбережений и инвестиций). Следовательно, любые систематические взаимосвязи, определяющие C(t) как функцию от K(t) и t конвертируют уравнение (1.2) в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое может быть интегрировано для определения будущей траектории экономики при данном L(t) и начальном значении K. Предположим, что L(t) = ent. Тогда простое преобразование конвертирует уравнение (1.2) в единственное дифференциальное уравнение, выраженное в величинах на душу населения: , (1.3) где, разумеется, с = С/L. 3. Подходы к моделированию поведения субъектов рынка Последнее слагаемое в (1.3) должно быть наполнено в зависимости от правила, описывающего потребление на душу населения. Здесь есть две различные стратегии. Простейшая возможность – просто ввести удобную потребительскую функцию с необходимым эмпирическим подтверждением. Данный способ был использован в работах Роберта Солоу (1956) и Тревора Суэна (1956). Более общий способ основан на моделировании потребительского поведения как решения задачи максимизации полезности бессмертным репрезентативным субъектом. Оптимальное решение заключается в траектории потребления и сбережения на бесконечном горизонте планирования. Данный подход был развит в работах Фрэнка Рамсея (1928), Д. Касса (1965), Т. Купманса (1965). На сегодня этому подходу посвящено огромное количество исследований. Бихевиористкая традиция Два простейших примера «поведенческой» традиции следующие: а) сбережения–инвестиции задаются как доля от дохода–выпуска; б) сбережения–инвестиции задаются как долю от нетрудовых доходов, тем не менее, распределение дохода между зарплатой и прибылью или процентом определяется в обществе вручную. В случае, когда сберегаются различные доли зарплаты и нетрудовых доходов случаи (а) и (б) смешиваются, и нет необходимости проверять их по отдельности. В случае первой гипотезы (1.3) преобразуется: , (1.4) где s – доля выпуска, который сберегается и инвестируется. Допущения относительно f(k) предполагают, что правая часть уравнения (1.4) будет положительная для малых k, потому что f′(0) > (d + n)/s сначала возрастает, а потом убывает (так как f′′(k) < 0), и отрицательной для больших значений k. Отсюда следует, что существует единственное k* > 0, такое что k′(t) > 0 при k(t) < k*, k′(t) = 0 при k(t) = k* и k′(t) < 0 при k(t) > k*. Следовательно, k* – это глобальная асимптотически устойчивая неподвижная точка для k (есть еще одна неподвижная точка f(0) = 0, но это состояние является неустойчивым). На рисунке 1.1 случай неустойчивости точки f(0) = 0 очевиден. Рисунок 1.1 – Фазовая диаграмма модели с функцией потребления Начиная с любого начального состояния запасов капитала, модель будет монотонно приближаться к предопределенному состоянию устойчивой капиталовооруженности. Оно рассчитывается из (1.4) как . Когда экономика достигает стационарного состояния, запасы капитала растут тем же темпом, что и рабочая сила (n) и, с допущением о постоянной отдаче от масштаба, тем же темпом будет расти выпуск. Вторая гипотеза о том, что сбережения–инвестиции пропорциональны нетрудовым доходам, нуждается в теории распределения дохода между зарплатой и прибылью. Обычное допущение характеризует условия совершенной конкуренции. Прибыль в этих условиях можно рассчитать следующим образом: kf′(k), так как f′(k) – это предельный продукт капитала. В случае, если мы сделаем дополнительное допущение о том, что экономика характеризуется постоянной степенью монопольной власти на товарных рынках и монопсонической власти на рынке труда, тогда прибыль на единицу капитала будет пропорциональна kf′(k). Если sk – это доля прибылей, сберегаемых и инвестируемых, то уравнение (1.3) может быть переписано: (1.5) Анализ данного дифференциального уравнения существенно не отличается от (1.4). Любое стационарное состояние должно удовлетворять (см. рисунок 1.2). В этом случае условия Инады и выпуклость функции предельного продукта приводят к тому, что имеется одно и только одно нетривиальное стационарное состояние. Стартуя откуда угодно, k(t) будет приближаться к единственному стационарному состоянию k*. С качественной точки зрения стационарные состояния из уравнений (1.5) и (1.4) имеют сходный характер. Устойчивые темпы роста также будут равны темпам роста предложения труда. Рисунок 1.2 – Фазовая диаграмма модели со сбережениями как доли продукта капитала Оптимизирующая традиция Современная мода в исследованиях такова, что решения об инвестициях и потреблении выводятся из микрооснований: домашние хозяйства максимизируют межвременную функцию полезности, а совершенно конкурентные фирмы максимизируют прибыль. Две базовые модели, разработанные в рамках данной традиции, называются моделью Рамсея-Касса-Купманса и моделью пересекающихся поколений. 4. Экзогенный технологический прогресс Исходная модель Солоу-Суэна характеризует стационарное состояние как экономику, где ВВП и запасы капитала растут теми же темпами, что и занятость, а уровень подушевого потребления остается неизменным. Данные выводы не соответствуют тем ожиданиям, которые возлагаются на модели экономического роста. Дальнейшее развитие неоклассических идей предполагает включение экзогенного технологического прогресса. В этом случае производственная функция в экстенсивной и интенсивной форме будет записана как F(K, L, A) и f(k, A) соответственно. А(t) отражает уровень технологий, доступный в момент времени t. Обычно делается распространенное допущение о том, что технологический прогресс является «трудосберегающим». Так что производственная функция в экстенсивной форме может быть записана Y(t) = F(K(t), L(t)A(t)). Технологический прогресс моделируется так, как будто он просто умножает затраты трудовых ресурсов на возрастающую (обычно по экспоненте) функцию от времени. Величина A(t)L(t) называется «единицами эффективного труда» или «эффективным трудом». Если y(t) мы будем определять как Y(t)/ A(t)L(t) = Y(t)/eatent = Y(t)/e(a + n)t , а k и с рассчитывать сходным образом, то базовое дифференциальное уравнение (1.4) будет преобразовано в (1.6) Разница между стационарными состояниями базовой модели и модели с экзогенных технологическим прогрессом состоит в том, что запасы капитала, выпуск и потребление пропорциональны e(a + n)t, а капитал, выпуск и потребление на душу населения растут по экспоненте с темпом g (что можно трактовать как рост производительности). Эти темпы роста не зависят от s. Добавление экзогенного прогресса позволяет получить стационарное состояние с ростом производительности труда, но не дает возможности объяснить данные процессы. В моделях «эндогенного экономического роста», рассматриваемых в последующих лекциях, делается попытка понять механизмы, генерирующие A(t). 5. Конвергенция На самостоятельное изучение: 1) Romer, D. Advanced macroeconomics / D. Romer. – 3rd revised edition. – McGraw-Hill Higher Ed., 2007. – параграф 1.7. 2) Туманова, Е.А. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода: Учебник / Е.А. Туманова,  Н.Л. Шагас – М. : Инфра-М, 2007. – параграф 9.6. 3) Barro, R. J. Economic growth / R. J. Barro, X. Sala-i-Martin. – 2nd ed. – MIT Press, 2004. – параграфы 1.2.10–1.2.11. Тема 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОТРЕБЛЕНИЯ 2.1 Перманентный доход и оптимальное потребление Резюме: Иллюстрируется базовая версия межвременного потребительского выбора, развивает теоретические взаимосвязи между динамикой перманентного дохода, текущего дохода, потребления и сбережений. Основная модель, используемая в современной литературе по потреблению и сбережениям, базируется на двух основных допущениях: 1) Идентичные экономические субъекты максимизируют межвременную функцию полезности, определяющую уровни потребления для каждого периода в оптимизируемом горизонте с ограничениями, заданными по всем доступным ресурсам. 2) В условиях неопределенности максимизация базируется на ожиданиях будущих переменных (напр., доход и процентная ставка). Ожидания являются рациональными и формируются субъектами на основе оптимального использования всей информации, которая им доступна. Таким образом, мы будем изучать поведение репрезентативного субъекта, который живет в неопределенной внешней среде и имеет рациональные ожидания. Репрезентативный потребитель рассматривает бесконечный горизонт (как любая агрегированная экономика) и решает в период времени t проблему межвременного выбора в следующей общей форме: с ограничением (для ) , где At + i – это запас финансового богатства на начало периода времени t + i; yt + i – трудовой доход, полученный в конце периода t + i; ct + i – потребление, которое, как предполагается, имеет место в конце периода t + i. Таким образом, ограничение учитывает эволюцию финансового богатства потребителя из одного периода в другой. Несколько допущений зачастую делают для упрощения эмпирических проверок базовой модели. Главные допущения (некоторые из которых будут смягчены в дальнейшем) таковы: • Межвременная сепарабельность (или аддитивность во времени). Универсальная функция полезности Ut(·) специфицируется следующим образом: (при этом и для всех ), где – оценка в период времени t накопленной субъектом полезности от потребления в момент t + i. Так как зависит только от потребления в момент времени t + i, величина предельной полезности от потребления в любых периодах не зависит от потребления в любом другом периоде. Это означает, что нет товаров, влияние которых на полезность длится больше, чем один период: таких как товары длительного пользования, или товары, чье потребление создает длительные привычки (феномен формирования привычек будет рассмотрен в конце лекции). • Способ дисконтирования полезности в будущих периодах гарантирует межвременную устойчивость выбора. Динамическая непоследовательность возникает в том случае, если оценка в период времени t относительной полезности потребления в любых двух будущих периодах t + k1 и t + k2 () отличается от оценки такой же относительной полезности в другой период времени t + i. В этом случае оптимальный уровень потребления для t + k1 и t + k2, первоначально выбранный в период времени t, нельзя счесть оптимальным в некоторой более поздней дате: потребитель тогда желал бы пересмотреть его первоначальный выбор просто потому, что время прошло, даже если никакая новая информация не стала доступной. Чтобы исключить это явление, необходимо, чтобы отношения предельных полезностей от потребления в t + k1 и t + k2 зависели в дополнение и только от расстояния k2 – k1 и не зависели от момента времени, в который решается оптимизационная проблема. Используя дисконтирующий коэффициент полезности потребления в период времени t + k (форма коэффициента – называется экспоненциальным дисконтированием) мы можем записать: и динамическая последовательность предпочтений обеспечена: в условиях определенности субъект может выбрать план оптимального потребления единожды и для всех периодов в начале его горизонта планирования1. • Принятие ожидаемой полезности как объективной функции в условиях неопределенности (аддитивность состояний «Природы»). В дискретном времени стохастический процесс специфицируется случайной величиной для каждого периода t – это реальное число, ассоциирующееся с реализацией состояния «Природы». Если возможно задать вероятность различных состояний природы, то также возможно сформировать ожидания будущих доходов, взвешивая каждый возможный уровень дохода с вероятностью соответствующего состояния природы. В общем случае, используемые вероятности зависят от доступной информации и поэтому изменяются во времени, когда новая информация становится доступной. Учитывая информационное множество в период t (It), потребитель максимизирует ожидаемую полезность с условием It: . Совместно с предположением о межвременной сепарабельности (аддитивности по периодам времени) принятие ожидаемой полезности влечёт за собой обратные связи между степенью межвременной субституции (измеряет склонность субъекта к замене текущего потребления будущим в условиях определенности) и отвращением к риску (определяет выбор субъекта среди различных уровней потребления в условиях неопределенности состояний природы: последний и инверсия прежнего измерены в абсолютных величинах через в период времени t для уровня потребления с). • Наконец, мы сделаем упрощающее допущение о том, что существует только один финансовый актив с определенной и постоянной нормой отдачи r. Финансовое богатство A – это запас безопасных активов, позволяющих субъекту перераспределять во времени ресурсы полностью предсказуемым способом. Неопределенность существует только для (экзогенно заданного) будущего трудового дохода y (стохастические нормы возврата n финансовых активов вводятся в 2.3). Согласно вышеизложенным гипотезам проблема потребительского выбора специфицируется так: (2.1) , (2.2) At – дано, 2 В (2.1) ρ – коэффициент межвременных предпочтений потребителя; E[·] – это рациональное ожидание, сформированное с использованием информации, доступной в период t: для универсальной переменной xt+i мы имеем . Гипотеза рациональных ожиданий означает, что прогнозируемая ошибка не коррелирует с переменными из множества It: . Величина текущего дохода yt включена в информационное множество It. В ограничении (2.3) финансовое богатство А может быть отрицательным (субъекты не испытывают кредитных ограничений). Тем не менее, мы налагаем условие, что долг потребителя не может расти большим темпом, чем норма возврата r (это условие известно как запрет Понзи игр): (2.3) Условие (2.3) эквивалентно случаю бесконечного горизонта. Неотрицательное условие для субъекта, умирающего после периода T: в отсутствии такого ограничения потребитель заимствовал бы бесконечные суммы для бесконечного потребления. Условие (2.3) имеет знак «больше или равно». Если предельная полезность будет всегда положительной, то это условие будет выполнено для равенства. Формула (2.3) в случае строгого неравенства называется условием трансверсальности, что может быть напрямую использовано в решении оптимизационной задачи. Аналогично, без выполнения условия (2.3) проценты по долгу выплачивались бы за счет новых заимствований на бесконечном горизонте. Формально из бюджетного ограничения (2.2) замена At + i на последовательность периодов t + j в момент времени t мы можем получить следующее уравнение: . Дисконтированная к настоящему моменту стоимость потоков потребления в период от t до t + j – 1 может превышать общую сумму ресурсов потребителя, заданную как начальное финансовое богатство At и дисконтированной величины будущих трудовых доходов в период от t до t + j – 1. В этом случае At + j < 0, а потребитель имеет долг на начало периода t + j. Когда горизонт стремится к бесконечности, условие (2.3) останавливает субъекта от потребления в объемах, превышающих получаемые в течение жизни ресурсы. Иначе бы потребитель занимал бы средства для обслуживания существующего долга в каждом периоде до бесконечности. Рассматривая бесконечный горизонт и предполагая, что условие (2.3) выполняется как равенство, мы получаем межвременное бюджетное ограничение потребителя на начало периода t (при оговорке о том, что отсутствуют кредитные ограничения): (2.4) 2.1.1. Динамика оптимального потребления Из бюджетного ограничения (2.2) выражаем ct и подставляем в функцию полезности (2.1). Получаем проблему потребительского выбора в следующей записи: . с ограничением по богатству At + i (), заданным начальным At и условием трансверсальности (2.3). Условие первого порядка: необходимо и достаточно, если полезность u(c) – возрастающая и вогнутая функция (т.е. если и ). Для потребительского выбора в первый период времени (когда i = 0), отмечая, что известно в период t мы получаем так называемое уравнение Эйлера: . (2.5) В точке оптимума потребителю безразлично потребить ли одну единицу товара немедленно с предельной полезностью или сберечь ее, чтобы потребить 1 + r единиц в следующем периоде t + 1. То же самое рассуждение применимо к любому периоду t, в котором решается оптимизационная проблема: уравнение Эйлера задаёт динамику предельной полезности в любых двух последовательных периодах. Эволюция во времени предельной полезности и потребления управляется разницей между процентной ставкой r и межвременным коэффициентом временных предпочтений ρ. Поскольку , то уменьшение потребления приводит к росту предельной полезности: если r > ρ потребители найдут оптимальным увеличивать потребление через какое-то время, используя то, что процентная ставка сбережений выше, чем коэффициент дисконтированной полезности. Когда r = ρ оптимальное потребление постоянно, и когда r < ρ оптимальное потребление убывает. Форма предельной полезности как функции от c (т.е. вогнутость функции полезности) определяет продолжительность эффекта r – ρ на временную траекторию потребления: если является относительно большим, чем , то большие вариации предельной полезности связаны с относительно маленькими флуктуациями потребления, и тогда оптимальное потребление показывает небольшие изменения во времени, даже если процентная ставка существенно отличается от коэффициента дисконтирования функции полезности. Также степень отвращения к риску у субъекта определяется вогнутостью функции полезности. Как было уже отмечено в наших допущениях о предпочтениях, подразумевается негативная связь между степенью отвращения к риску и межвременной субституцией. Легко найти подобную взаимосвязь в случае CRRA (constant relative risk aversion, постоянное относительное отвращение к риску) функции полезности: , с функцией предельной полезности u′(c)=c–γ. Степень относительного отвращения к риску – в общем случае измеряется абсолютной величиной эластичности предельной полезности, – в этом случае не зависит от уровня потребления и равна параметру γ.3  Показатель межвременной субституции получается посредством решения оптимизационной задачи потребителя в условиях определенности. Уравнение Эйлера (2.5) будет: Прологарифмировав выражения и используя аппроксимации log (1+r)r и log (1+ρ)ρ, мы получаем: . Эластичность межвременной субституции, которая воздействуют на темп роста потребления Δ log c при изменение процента, является константой и измеряется обратным способом коэффициентом относительного отвращения к риску γ. 2.1.2. Уровень потребления и динамика В условиях неопределенности ожидаемая величина полезности может сильно отличаться от реальной величины. Пусть . (2.6) По определению, следующему из гипотезы рациональных ожиданий . Тогда из (5): . Если мы предположим, что r = ρ, то стохастический процесс будет описываться эволюцией во времени предельной полезности: (7) и изменения предельной полезности от t до t + 1 задано в стохастических терминах как непрогнозируемое в период времени t (). Чтобы получить значения вышеупомянутого результата для динамики потребления, необходимо специфицировать функциональную форму u(c): ( только при ) Из (7): , (8) где . Если предельная полезность линейная (как в случае квадратичной функции полезности), процесс (8), описывающий уровни потребления является мартингалом (мартингалом называется стохастический процесс xt со свойством ) или случайно блуждает: (9) Это главный вывод межвременной модели выбора с рациональными ожиданиями и квадратичной функцией полезности: лучший прогноз потребления следующего периода – текущее потребление. Изменение потребления от t до t + 1 не может быть спрогнозировано на основе информации, доступной в период времени t: …………… Решение межвременной проблемы выбора, заданное (8), не может интерпретироваться как функция потребления. Действительно, это уравнение не связывает потребление в каждый период времени с его детерминантами (доход, богатство, процентная ставка), но только описывает динамику потребления от одного периода к следующему. Вышеупомянутые допущения позволяют, однако, получить функцию потребления. Во-первых, межвременное бюджетное ограничение перепишем с добавлением ожидаемых величин: (10) Линейность функции предельной полезности и равенство процентной ставки и дисконтирующего коэффициента подразумевают такой уровень потребления, ожидаемый для любого будущего периода, который равен текущему потреблению. Заменим слева на : (11) где Ht – «человеческое или трудовое богатство». (12) где – перманентный доход. Субъекты выбирают потребление в каждом периоде, которое в точности равно перманентному доходу, вычисленному на основе ожиданий будущих трудовых доходов. 2.1.3. Динамика дохода, потребления и сбережений Добавим один период времени: Перманентный доход, вычисленный в t + 1 на основе информации, доступной в это время, отличается от ожиданий, сформированных одним периодом ранее (на основе информации периода t), только в том случае, если есть «неожиданность» в человеческом богатстве (human wealth) субъекта в период t + 1. Другими словами, «неожиданность» в перманентном доходе в t + 1 равна рентной величине «неожиданности» в человеческом богатстве. Она является результатом новой информации, доступной только в t + 1, относительно будущих трудовых доходов. Так как , то из (9): . Вся информация, доступная в t, используется для вычисления перманентного дохода , который также является лучшим прогнозом перманентного дохода на следующие периоды. Используя этот результат, эволюция во времени перманентного дохода может быть записана: , где «неожиданность» в человеческом богатстве в t + 1 записывается как пересмотр ожиданий будущих доходов: yP может измениться во времени, только если ожидания изменятся. Эволюция во времени потребления следует за перманентным доходом: . Теория перманентного дохода имеет огромное значение для объяснения не только динамики потребления, но и сбережений, управляемых накоплением финансового богатства. Для этого введем переменную – располагаемый доход. Это сумма трудового дохода и дохода от финансового богатства: . Сбережения st представляют собой разницу между располагаемым доходом и потреблением: . Сбережения в период t равны разнице между текущим трудовым доходом и рентной величиной трудового богатства rHt. Такая разница, будучи временным (transitory) доходом, не затрагивает величину потребления. Если она больше нуля, то полностью сберегается, если же меньше нуля, то происходит выбытие финансовых активов. Таким образом, потребитель, сталкиваясь с вариабельностью трудового дохода, изменяет запасы финансовых активов, чтобы держать потребление на уровне перманентного дохода. Распишем Ht: . Полученная величина определяет величину сбережений при ожидании изменений в трудовом доходе (). 2.2. Роль предупредительных сбережений Резюме: Расширяет модель, вводя мотивы сбережений «на черный день». Базовая модель может быть расширена несколькими способами путем смягчения жестких допущений. С одной стороны, ограничения ликвидности могут препятствовать потребителю заимствовать столько, сколько требуется по оптимальному плану потребления. С другой стороны, в базовой модели сбережения были мотивированы только превышением и/или необходимостью перераспределить доход во времени, когда текущий доход несбалансирован между периодами. Дополнительная мотивация для сбережений может встречаться в практике, что может помочь в объяснении того, почему, например, существует высокая корреляция между доходами и потреблением молодых, недостаточную растрату богатства старшими поколениями и дополнительную гладкость потребления при реакции на изменения дохода. В этом вопросе мы рассмотрим роль предупредительных сбережений в формировании поведения потребителей. Сначала рассмотрим микрооснования предупредительных сбережений с указанием, какие допущения будут смягчены, чтобы учесть предупредительные мотивы для сбережений. Тогда, согласно новым предположениям мы получим динамику потребления и функцию потребления и сравним их с выводами базовой модели перманентного дохода, рассмотренную в предыдущих вопросах. 2.2.1 Микрооснования предупредительных (precautionary) сбережений До сих пор (с квадратичной функцией полезности) неопределенность играла ограниченную роль. Действительно, только ожидаемая величина дохода y влияла на потребительский выбор – другие характеристики распределения дохода (например, дисперсия) не играли никакой роли. С квадратичной функцией полезности предельная полезность линейна и ожидаемая величина предельной полезности совпадает с предельной полезностью ожидаемого потребления. С ростом неопределенности в будущем потреблении и неизменной ожидаемой величиной не происходит никакой реакции потребителя. Как мы увидим, если предельная полезность ­является выпуклой функцией от потребления, то потребитель ведет себя благоразумно, реагируя на рост неопределенности, сберегая больше. Такие сбережения называются предупредительными, так как они зависят от неопределенности относительно будущего потребления. Выпуклость функции предельной полезности означает: и . Мотив предупредительного сбережения не возникает с квадратичной функцией полезности, так как . Значит, требуется использование других функциональных форм, типа экспоненциальной полезности. С отвращением к риску () и выпуклой функцией предельной полезности (, ) в условиях неопределенности относительно будущего дохода (и потребления) неблагоприятные события определяют потерю полезности в большем размере, чем выгоды от полезности, полученной при благоприятных событиях такого же значения. Потребитель боится состояний с низким доходом и ведёт себя благоразумно, сберегая в текущем периоде, чтобы увеличить будущее ожидаемое потребление. Пример. Рассмотрим потребителя, живущего два периода t и t + 1. Финансового богатства на начало периода t нет. В первом периоде трудовой доход составил yt. В следующем периоде он может принять два значения и с одинаковой вероятностью. Для мотива предупредительности мы исключили все другие мотивы, предположив: и . В равновесии наблюдается следующая взаимосвязь: . В период t потребитель выбирает сбережения и его потребление в период t + 1 равно сбережения st плюс реализованный доход. Рассмотрим реализацию дохода, записав бюджетное ограничение как: Уравнение Эйлера: . Теперь мы рассмотрим, как потребитель выбирает в двух различных случаях, начиная с линейной функции предельной полезности (). В этом случае . Напомним, что : и выполнено st = 0. Потребитель не сберегает в первом периоде и потребление во втором периоде совпадёт с текущим доходом. Неопределенность в доходе периода t + 1 уменьшает полную полезность, но не побуждает потребителя изменять свой выбор, следовательно, нет никакой предупредительной экономии. Напротив, если как на рисунке 2.1 предельная полезность является выпуклой (), тогда из неравенства Дженсена: . Если потребитель выбрал нулевые сбережения, как это было оптимальным в случае линейной предельной полезности, мы будем иметь (для st = 0 и используя неравенство Дженсена): . Рисунок 2.1 – Предупредительные сбережения Оптимальное условие будет нарушено и ожидаемая полезность не будет максимизироваться. Чтобы восстановить равенство в условии первого порядка, предельная полезность должна уменьшиться в t + 1 и увеличиться в t: как показано на рисунке 2.1. Это может быть достигнуто перемещением ресурсов st от первого периода ко второму периоду. Так как потребитель сберегает больше, уменьшая текущее потребление ct и увеличивая потребление ct + 1, то в обоих исходах (хорошем или плохом) предельная полезность в t возрастает и ожидаемая предельная полезность в t + 1 уменьшается до тех пор, пока оптимальное условие не будет выполнено. Тогда с выпуклой функцией предельной полезности неопределенность относительно будущих доходов (и уровня потребления) влечёт за собой положительную величину сбережений в первом периоде и определяет траекторию потребления, устремляющуюся вверх во времени даже при r = ρ. Формально отношение между неопределенностью и восходящей траекторией потребления зависит от степени потребительского благоразумия. Аппроксимируя (через расширение Тейлора условие второго порядка) к ct левую часть уравнения Эйлера: , где – коэффициент абсолютного благоразумия. Большая степень неопределенности, увеличивая , вызывает большее увеличение в потреблении между t и t + 1. 2.3.2. Значение предупредительных сбережений для потребительской функции Теперь мы решим проблему оптимизации для потребителя в случае неквадратичной функции полезности, которая мотивирует предупредительные сбережения. Функцию полезности рассмотрим экспоненциальную: , где γ > 0 – коэффициент абсолютного благоразумия. Предположим, что трудовой доход следует за стохастическим процессом: , где εt + i – независимая и тождественно распределенная случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией . Мы учтем упрощающую гипотезу r = ρ. Для i = 0 проблема условия первого порядка: . Чтобы продолжить, мы предполагаем, что стохастический процесс имеет форму: ct + i = ct + i – 1 + Kt + i – 1 + vt + i, где Kt + i – 1 – детерминированный член (который, однако, зависит от выбора времени в пределах жизненного цикла индивида), vt + i – новшество в потреблении (Et + i – 1vt + i = 0). И последовательность Kt во времени и особенности распределения v должны быть заданы так, чтобы удовлетворить уравнению Эйлера и межвременному бюджетному ограничению. . Величина Kt зависит от характеристик распределения v, которое тоже задано. Используя факт, что и свойство новшеств потребления Etvt + 1 = 0 запишем: . Первый результат состоит в том, что потребительская траектория возрастает во времени: изменения потребления между t и t + 1, как ожидается, будет равно Kt > 0. С квадратичной же функцией полезности (при том же предположении ρ = r) изменения в потреблении будут в среднем равны нулю. Мы интерпретируем Kt как «эквивалент определенности» новшества потребления vt + 1. Он определяется как определенное изменение потребления от t до t + 1, которое потребитель принял бы, чтобы избежать неопределенности предельной полезности в период t + 1. Чтобы получить функцию потребления (и затем определить эффект предупредительных мотивов сбережений для уровня потребления), мы используем межвременное бюджетное ограничение (10), чтобы вычислить ожидаемую величину Etvt + i = 0 из (48). Зная, что Etvt +i = 0, мы имеем: . Решая для ct, мы получаем: . Уровень потребления составлен из компонента, аналогичному определению перманентного дохода, , за минусом члена, который зависит от константы K и показывает эффект мотива предупредительного сбережения: так как потребитель ведёт себя благоразумно, его потребление возрастает во времени. Однако уровень потребления в t ниже, чем в случае квадратичной полезности. Как финальный шаг решения, мы получаем форму стохастического члена vt + i и его отношений с новшествами дохода εt + i. Перепишем бюджетное ограничение: Заменим ct + i (i > 0) из 48 на ct из потребительской функции (52), мы получаем: . Стохастический процесс дохода мы можем вычислить для «неожиданного дохода»: . И, подставив в предыдущую запись, мы получим: . Суммируя, мы получим форму vt + i: , . Конечная форма стохастического члена во все периоды времени t + h: . Как в случае квадратичной функции полезности, новшества в уравнении Эйлера могут быть интерпретированы как величина ренты (annuity value) от пересмотра человеческого богатства потребителя. Это является результатом новшеств в доходе для данного стохастического процесса. Эволюция потребления во времени задана: . Далее. Наконец, для определения константы K и ее взаимосвязи с неопределенностью относительно будущих трудовых доходов, некоторые допущения относительно ε должны быть сделаны. Если ε распределено нормально и , то мы имеем: . Динамика потребления и его уровня для каждого периода может быть задана следующим образом: , . Дисперсия новшества имеет положительный эффект на изменение в потреблении между t и t + 1. Рост неопределенности относительно будущих доходов (показывается дисперсией новшества в процессе y) генерирует бо́льшее изменение в потреблении от одного периода к следующему и способствует падению текущего потребления. Таким образом, предупредительные мотивы сбережений могут объяснить: 1) медленное сокращение богатства старыми людьми; 2) близость траекторий дохода и потребления лучше, чем в базовой модели; 3) кроме того, если положительные новшества в текущем доходе связаны с более высокой неопределенностью о будущем доходе, феномен дополнительной гладкости может быть объяснен, поскольку бóльшая неопределенность побуждает потребителей сберегать больше и тогда может уменьшить реакцию потребления к новшествам дохода. 2.3. Потребление и финансовые доходы Резюме: В вопросе рассматриваются приложения к оптимальному формированию портфеля для определения оптимального потребления, когда доступны рисковые финансовые активы. В модели, изученной до сих пор, потребитель использует единственный финансовый актив с некоторой доходностью, чтобы выйти на оптимальную траекторию потребления. Если мы предполагаем, что потребитель может инвестировать свои сбережения в n финансовых активов с неопределенными доходами, то мы сгенерируем более сложный выбор состава финансового богатства. Оно взаимодействует с определением оптимальной траектории потребления. Выбранный портфель будет зависеть от характеристик потребительской функции полезности (в частности степень отвращения к риску) и от распределения доходов от активов. Таким образом, расширение модели – основанная на потреблении модель ценообразования финансовых активов (consumption-based capital asset pricing model, CCAPM). С гипотезой n финансовых активов с неопределенными доходами гипотеза межвременного бюджетного ограничения должна быть сформулирована повторно. Общее финансовое богатство: . . Этот доход не известен субъекту в начале периода t + i. Ограничения в накоплении от одного периода к другому принимают форму: . Решение в период t проблемы максимизации приводит к уровням потребления и запасам n активов в период от t до бесконечности. Так же как решение проблемы потребителя, рассмотренное в вопросе 1, мы имеем множество n уравнений Эйлера: для . Так как предельная полезность детерминирована в период t, то мы можем записать: , где Mt + 1 – это «стохастический дисконтирующий коэффициент» в t к потреблению последующего периода. Такой коэффициент – это межвременная предельная норма субституции, т.е. дисконтированная норма предельных полезностей в потреблении в двух последующих периодах. Фундаментальный результат CCAPM: . Далее преобразуем: . В случае рассмотренного в предыдущих вопросах безопасного актива (с фиксированным доходом r0): . Подставляя, мы получаем: . (64) Уравнение (64) – это главный результат модели с рисковыми финансовыми активами: в равновесии актив j. Чей доход имеет отрицательную ковариацию со стохастическим дисконтирующим коэффициентом, средний ожидаемый доход выше, чем r0. Фактически, такой актив рискован для потребителя, так как это приводит к более низкому доходу, когда предельная полезность потребления относительно высока (вследствие относительно низкого уровня потребления). Субъект охотно держит запасы этих активов в условиях равновесия только, если такой риск соответственно приносит компенсирующую премию, заданную через ожидаемый доход, более высокий, чем свободная от риска ставка r0. 2.3.2. Расширение: гипотеза формирования привычек Мы теперь предполагаем в качестве главной гипотезы о предпочтениях, что полезность потребителю приносит объем потребления сверх уровня «привычки» (habit). Уровень «привычки» индивида меняется во времени и зависит от его прошлого потребления или истории агрегированного потребления. В каждый период времени t, функция полезности потребителя примет вид: , где – это норма излишка потребления, а xt (ct > xt) – это уровень привычки. Эволюция x во времени теперь определяется агрегированным (или на душу населения) потреблением и не зависит от потребительских решений отдельных потребителей. Тогда предельная полезность достаточно проста: . Условие первого порядка – см. уравнение (65) теперь принимает следующую форму: для . (72) Эволюция во времени привычного и агрегированного уровней потребления, обозначаемая через , может быть смоделирована как: , (73) . (74) Совокупное потребление растет постоянным средним темпом g, с инновациями . Такие инновации влияют на потребительские привычки с параметром φ, показывающим чувствительность z к ε. Если выполняется гипотеза о нормальном распределении процентных ставок по финансовым активам и темпов роста потребления (и, предполагая, что индивиды являются идентичными, в равновесии ), то можем прологарифмировать (72) и получить: Используя стохастические процессы, специфицированные в (73) и (74), мы, наконец, получаем премию за риск по активу j и норму доходности по безрисковому активу: (75) (76) Сравнивая (75) и (76) с аналогичными результатами (71) и (70), мы заметим, что значение φ оказывает двойное воздействие на процент. С одной стороны, высокая чувствительность привычек к инновациям в c усиливает предупредительные мотивы для сбережений. С другой стороны, высокая величина φ увеличивает воздействие ковариации между доходностью рисковых активов и потреблением (σjc) на размер премий, требуемых для вложений в рисковые активы в условиях равновесия. Следовательно, расширение модели путем добавления процессов формирования привычек может решить (по крайней мере, частично) две проблемы, выявленные в эмпирических тестах базовой версии CCAPM: для заданной величины других параметров, достаточно большое значение φ может привести модельную ставку доходности по безрисковым активам близко к уровню, наблюдаемому на рынках и, в то же время, привести модельные значения премий по высоко-рискованным активам достаточно близко к эмпирическим данным. Тема 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНВЕСТИЦИЙ Макроэкономическая модель IS-LM определяет главную роль потоков частных бизнес-инвестиций во взаимосвязях рынков товаров и денег. В данной лекции мы анализируем инвестиционные решения в динамической перспективе. Математический инструментарий: динамическая оптимизация в непрерывном времени. Рассматривается репрезентативная фирма, цель которой заключается в максимизации дисконтированного потока наличности. Оптимальные инвестиционные решения базируются на ожиданиях будущих событий. 3.1. Выпуклые издержки приспособления Резюме: Вводится понятие «выпуклых» издержек приспособления, т.е. технологических особенностей, делающих быстрое осуществление инвестиций достаточно затратным. , (3.1) где F(t) обозначает разницу между притоком наличности и расходами в течение периода t. Поток наличности зависит от запасов капитала K(t), доступного в начале периода, от I(t) – потока инвестиций в течение периода и от N(t) – трудовых ресурсов. Функция R(·) представляет собой поток доходов, полученных от продаж произведенной фирмой продукции. Он зависит от величины двух используемых факторов производства – капитала (K) и труда (N), от технологической эффективности производственной функции и/или силы спроса на продукцию фирмы. В (3.1) возможные вариации таких экзогенных технологических особенностей фирмы и рыночной внешней среды принимаются во внимание через включение индексирования по времени t аргументов функции выручки K и N. Мы предполагаем, что поток выручки возрастает по двум факторам, т.е. , , (3.2) что естественно, если предельная производительность всех факторов и цена продукта – положительные величины. Чтобы предотвратить возрастание оптимального размера фирмы до бесконечности, необходимо ввести допущение, что функция выручки R(·) является вогнутой по K и N. Если цены заданы для фирмы, то это означает невозрастающую отдачу от масштаба. Если всё же физическая отдача от масштаба возрастает, то функция выручки R(·) может сохранять вогнутость, если фирма обладает рыночной властью и наклон кривой спроса является отрицательным. Два отрицательных слагаемых в (3.1) представляют затраты, имеющие отношение к инвестициям I и занятости N. Мы предполагаем, что уровень занятости непосредственно управляется фирмой в каждый момент времени, а использование фонда труда N стоит w в единицу времени, как и в статических моделях, изучаемых в базовом курсе по микроэкономике. Как и в случае инвестиционных издержек, формальная постановка проблемы нуждается в уточнении момента, когда запас капитала, используемый в производстве в течение каждого периода, будет измерен. Предполагаем, что если запас капитала K(t) был измерен в начале периода t, то фирма не может изменить запас капитала в течение периода. Однако фирма может контролировать величину положительных или отрицательных инвестиций, что увеличит или уменьшит запасы установленного капитала и выручку только в следующем периоде. На этой основе динамическое ограничение накопления читается так: , (3.3) где δ обозначает норму амортизации капитала, а Δt – длину периода, в течение которого мы измеряем денежные потоки и инвестиционные расходы I(t). По предположению, фирма не может влиять на текущие денежные потоки через варьирование запасов капитала. Объем валовых инвестиций I(t) в течение периода Δt, тем не менее, затрагивает поток наличности в (3.1), так как инвестиционные издержки представлены ценой Pk(t), умноженной на функцию G(·), которую (см. рисунок 3.1) мы предполагаем возрастающей и выпуклой по I(t): , (3.4) Рисунок 3.1 – Издержки на единицу инвестиций Функция G(·) умножена на цену в выражении (3.1). Следовательно, она определена в физических единицах также как и аргументы I и K. Например, её можно измерить длиной поточной линии или числом персональных компьютеров, доступных в офисе. Инвестиционный уровень I(t) линейно связан с изменениями запасов капитала в выражении (3.3). Однако, поскольку G(·) нелинейная, издержки установки каждой единицы капитала не являются константами. Например, представим, что оранжерея нуждается в покупке G(I, K) цветочных горшков для увеличения доступных фондов на I единиц. Купленные количества и эффективно доступные количества горшков для будущего производства различаются, потому что определенная доля купленных горшков ломается и становится бесполезной. В контексте этого примера легко представить, что доля используемых горшков разбивается в течение каждого периода и что параметр δ представляет это явление в (3.3). Для целей моделирования динамики инвестиций критическая особенность функции G(I, K) – это строгая выпуклость, предположенная в (3.4). Это подразумевает, что средняя стоимость единицы (измеренная после нормализации по Pk наклоном линий OA и OB на рисунке 3.1) инвестиционных потоков возрастает в общем потоке, инвестируемых в течение периода. Таким образом, данная общая величина инвестиций менее дорогостоящая, когда распространяется на несколько периодов, чем когда эта сумма сконцентрирована в одном периоде. По этой причине оптимальная инвестиционная политика в условиях выпуклых издержек приспособления должна быть постепенной. Функциональная форма инвестиционных издержек играет важную роль не только, когда фирма намеревается увеличить запас капитала, но также когда она желает держать его постоянным или уменьшить. Естественно предположить, что фирма не должна нести затраты, когда валовые инвестиции равны нулю. Следовательно, как и на рисунке 3.1: и первая производная, как предположено в (3.4), подразумевает для I < 0: функция издержек отрицательна (и имеет положительный вклад в денежный поток фирмы), когда валовые инвестиции отрицательны, т.е. когда фирма продаёт оборудование или производственные сооружения. На рисунке функция G(·) лежит выше линии с углом наклона 45°. Тангенс равен нулю, там, где угол наклона равен единице: Это свойство позволяет интерпретировать Pk как цену единицы капитального товара. Когда рассматриваются отрицательные уровни инвестиций, выпуклость издержек приспособления подобным образом подразумевает, что количество единиц, возмещаемых от каждой сданной в лом единицы (измерено наклоном линий, таких как OB), меньше в том случае, когда I более отрицательна. Это делает непривлекательным быстрое сокращение запасов капитала. Сравнивая наклон линий, таких как OA и OB, очевидно, что чередование положительных и отрицательных инвестиций является дорогостоящим занятием даже в том случае, когда нет изменений в конечном запасе капитала. Это связано с тем, что фирма не может полностью возместить первоначальные издержки положительных инвестиций последующими отрицательными инвестициями. Сначала увеличивая, а потом уменьшая (или наоборот) запасы капитала, фирма несет издержки приспособления. Главное: Форма функции, изображенная на рисунке 3.1, подразумевает, что инвестиционные решения должны базироваться не только на вкладе капитала в прибыль в данный момент, но также на будущих перспективах. Если в будущем изменяются экзогенные переменные, Pk(t), w(t), r(t), то приспособление должно быть медленным. Более того, если ожидаются большие положительные и отрицательные изменения экзогенных переменных, то фирма не должна резко менять уровень инвестиций, так как издержки и выручка, генерируемые восходящими и нисходящими изменениями запасов капитала, не возмещают друг друга полностью. Выпуклость функции издержек приспособления подразумевает, что общая стоимость любых изменений запасов капитала меньше в тех случаях, когда эти изменения распределены во времени. Следовательно, фирма должна вести себя предусмотрительно при выборе динамики инвестиций, а также должна пробовать держать инвестиционный уровень стабильным, ожидая динамику экзогенных переменных. 3.2. Оптимизация в непрерывном времени Резюме: В данном вопросе иллюстрируется характер инвестиционных решений с перспективы частичного равновесия; мы рассматриваем как заданные: спрос на продукцию фирмы и производственную функцию, динамику цен на капитал и другие факторы, а также коэффициент, дисконтирующий будущие денежные потоки. Ранее обсуждение базировалось на идее, что текущие инвестиции не могут увеличить запасы капитала, доступные для использования в течение данного периода, подразумевая, что K(t) может рассматриваться как заданный, когда оцениваются возможности будущих инвестиций. Это соглашение, конечно, более точное, когда длина периода будет короче. Соответственно, мы рассмотрим случай, когда Δt → 0, и предположим, что фирма реализует оптимальные решения в каждый момент в непрерывном времени. Мы также делаем допущение о том, что динамика экзогенных переменных является детерминированной. В условиях непрерывного времени максимальная величина (дисконтированная к настоящему по процентной ставке r) денежных потоков, генерируемых производством и инвестициями, может быть записана интегралом. (3.5) ограничение . Проблема динамической оптимизации Гамильтона: , где λ(t) обозначает теневую цену (shadow price) капитала в момент t в терминах настоящего (т.е. в терминах ресурсов, подлежащих оплате в то же самое время). Условие первого порядка проблемы динамической оптимизации: (3.6) Следующее условие также должно быть удовлетворено: (3.7) Не будем касаться математических проблем оптимизации, а сосредоточим свое внимание на экономической интерпретации. Условие: просто требует (в терминах потока), чтобы предельная выручка переменного фактора N была равна его оплате w в каждый момент времени t. Это достаточно очевидное условие, так как мы предположили, что фирма может свободно выбирать уровень занятости N. требует равенства по оптимальной инвестиционной траектории предельной стоимости капитала λ(t) и предельных издержек инвестиционных потоков, которые определяют увеличение (или уменьшение) запасов капитала в каждый момент. Условие (3.6) может быть переписано. Это интерпретируется в терминах оценки финансовых активов. Для простоты δ = 0. В момент времени t предельная единица капитала добавляет к текущему потоку наличности. Это «дивиденд», заплаченный владельцу единицы капитала в этот момент времени. Предельная единица капитала, тем не менее, также увеличивает капитал на величину λ. Если фирма присоединяет величину λ к единице капитала, то это должно быть в том случае, когда полные доходы – и дивидендов, и прироста капитала – были бы финансово равноценными. Следовательно, это должно совпасть с доходом rλ, который фирма могла бы получить на финансовом рынке от продажи λ единиц, где (см. 3.5) потоки наличности дисконтированы по r. Если δ > 0, такие же рассуждения будут справедливы, но необходимо принять во внимание, что доля предельной единицы капитала потеряна в течение каждого момента времени. Следовательно, его ценность должна быть вычтена из текущих «дивидендов». Такие же соображения также предполагают экономическую интерпретацию (3.7). (3.7) было бы нарушено, если бы «финансовая ценность» λ (t) становилась больше или равна равновесному уровню дохода r(s). В этом случае λ (t) становится финансовым пузырем: единственная причина держать актив, соответствующий предельным издержкам капитала ­– это ожидание дальнейших доходов от прироста капитала, не связанная с прибылью, фактически заработанной от его использования в производстве. Мы признаем, что спекулятивное поведение не может быть оптимально для фирмы. 3.2.1 Характеристика оптимальных инвестиций Рассмотрим величину (3.8) отношение предельной единицы капитала с теневой ценой по параметру Pk, которое представляет рыночную цену капитала (т.е. единица стоимости инвестиций в окрестностях точки нулевых инвестиций, где издержки приспособления незначительны). Эта переменная, известная как предельное q, играет важную роль в определении потоков оптимальных инвестиций. Фактически (3.6) подразумевает, что (3.9) и если (3.4) выполняется, тогда – это строго возрастающая функция по I. Такая функция допускает инверсию: пусть ι(·) обозначает инверсию как функцию от I. И , и инверсия зависят от запасов капитала K: функция ι(q,K) определена неявно через: (3.10) Условие (3.10) может быть эквивалентно записано: (3.11) Так как, по предположению, функция инвестиционных издержек G(I,·) имеет единичный наклон в точке I = 0, нулевые валовые инвестиции оптимальны, когда q = 1. Положительные валовые инвестиции оптимальны, когда q > 1 и отрицательные валовые инвестиции оптимальны, когда q < 1. Интуитивно понятно, что когда q > 1 (λ > Pk), то капитал стоит больше внутри фирмы, чем в экономике в целом. Следовательно, хорошая идея – увеличить запасы капитала, установленного в фирме. Симметрично, q < 1 предполагает, что запасы капитала фирмы следует уменьшить. В обоих случаях скорость, с которой капитал будет перемещаться, зависит не только от разницы между q и 1, но также от степени выпуклости функции G(·). Если наклон функции на рисунке 3.1 возрастает быстро по I, даже если q сильно отличается от единицы, то инвестиционные потоки будут скромными. Упражнение 10 … Функция q(t) не приводит к полному решению проблемы динамической оптимизации. Для вычисления q нужно знать λ (а это часть решения, а не экзогенный параметр). Охарактеризуем полное решение на основе условий Гамильтона. Так как мы выражаем теневую цену капитала в текущих показателях, календарное время t появляется в оптимальных условиях только как аргумент функций, таких как λ(·) и K(·), которые определяют оптимальные значения I и N. Заметим, что: Используя обозначение (темп инфляции, рассчитанный по капитальным товарам) и вспомнив, что по условиям оптимальности (3.6). Тогда мы можем записать величину изменения q, как функцию q, K и параметров: (3.12) В этом выражении календарное время t опущено для простоты, но все переменные, особенно те, которые явно не записаны, определяют размер денежных потоков F(·), измеренных в данный момент времени. Комбинируя ограничение с условием (3.11), мы получим: (3.13) Теперь, если мы предположим, что все экзогенные переменные – константы (включая цену капитала Pk, подразумевая πk) и вспомнив, что инвестиционный уровень и N зависят от q и K в условии оптимума в (3.6). Тогда динамика двух переменных может быть изучена на фазовой диаграмме (рисунок 3.2). По координатным осям мы откладываем динамику переменных в процентах. По горизонтальной оси K, по вертикальной оси q. Если только K и q (и переменные, определенные на их основе, например, ) изменяются во времени, тогда каждая точка (K,q) пространства единственно связана с их динамическими изменениями. Откладывая любую точку на диаграмме и зная функциональные формы (3.12) и (3.13), можно вычислить и , и . Графически движение во времени двух переменных может быть представлено размещением на диаграмме соответственно сориентированными стрелками. Сначала идентифицируем точки, предполагая одну из переменных неизменной во времени. На рисунке 3.2 нисходящая линия представляет такую комбинацию K и q, что . Это случай, когда: Рисунок 3.2 – Динамика q Учитывая, что , расположение точек, впереди которых имеет отрицательный наклон, если более высокие запасы капитала связаны с меньшими «дивидендами» от предельной единицы капитала. Когда мы изображаем на фазовой диаграмме, денежный поток фирмы, , должен быть оценен согласно предположению о том, что переменный фактор N всегда приспосабливается, чтобы удовлетворить условию: , и что инвестиции удовлетворяют условию . Таким образом, когда K изменяется, тогда оптимальная занятость N (N*=n(K, w)) и оптимальный инвестиционный поток ι(K, λ) изменяются также. Как только мы идентифицировали расположение точек, где , мы нуждаемся в определении подписей для точек на диаграмме, которые имеют другое расположение. Для каждого уровня K один и только один уровень q соответствует . Если, например, мы рассмотрим точку А по горизонтальной оси на рисунке. Значение q устойчиво только, если ее уровень – на перпендикуляре – точка B. Если уровень q двигаем дальше (для того же самого K) до точки С, то . Соответствующая динамика задается уравнением (3.12): q растет по стрелочке. То же можно сказать для любых точек выше графика, например D. Скорость движения более высокая для более высоких значений r + δ и больших расстояний от стационарных точек (). Аналогичные рассуждения можно привести относительно ситуации, когда . Рисунок 3.3 – Динамика К Наклон графика определяется правой стороной (3.13). График имеет положительный наклон по q, а более высокое q связано с большим инвестиционным потоком. Эффект на от более высоких значений K неоднозначен. Если фирма с большими установленными запасами капитала имеет меньшие издержки на единицу установки данного дополнительного инвестиционного потока I, то более высокие потоки оптимальных инвестиций связаны с данным q, а большее значение K имеет отрицательный эффект на G(·) и положительный эффект на ι(·). На рисунке положительный эффект превосходит отрицательный, так как функция издержек приспособления G не зависит от K, и δ > 0 удовлетворяет положительному наклону графика. Тогда легко показать, что в области (как показано стрелками, указывающими направо) значение q выше того, которое поддержало бы устойчивое значение запасов капитала. Фактически, будет большой инвестиционный поток и прирост запасов капитала. Аналогично рассуждаем о стрелках, указывающих налево. На рисунке 3.4 накладываем графики друг на друга (совместная динамика q и K). В верхней области система не сходится (с возрастающей скоростью q и K удаляются от стабильных состояний до бесконечности). Трудно интерпретировать такое поведение с экономической точки зрения. Разрешается данная трудность в нарушении условия (3.7). Нижняя область характеризуется динамикой q и К ко все более низким значениям q и К. При и система находится в единственном стационарном состоянии. Таким образом, сосредоточим наше внимание на траекториях справа и слева от стационарной точки. В этих областях возможны два типа траекторий. Во-первых, выход в неустойчивые области; во-вторых, переход к стационарному состоянию. Две траектории, сходящиеся к стационарному состоянию, образуют седловую траекторию. Рисунок 3.4 – Фазовая диаграмма для системы q и K Рисунок 3.5 – Динамика на седловой траектории 3.3. Стационарное состояние и траектории приспособления Для заданных (и полагаемых константами) значений экзогенных переменных уровень инвестиций фирмы должен быть на уровне, подразумеваемом q, который соответствует седловой траектории. Запасы капитала и его теневые оценки двигаются к стационарному состоянию. Пусть и . Тогда мы изучим стационарные уровни qSS и KSS из (3.12) и (3.13): (3.14) (3.15) Второе уравнение просто показывает, что уровень валовых инвестиций должен быть таким, чтобы компенсировать износ капитала (так как запас капитала постоянный по определению в стационарном состоянии). С первым уравнением сложнее. Вспомним, что . Мы можем записать: (3.16) Тогда в стационарном состоянии теневая цена капитала равна притоку будущих предельных доходов от капитала в денежный поток фирмы, дисконтированный по ставке r + δ > 0 на бесконечном горизонте планирования. (Если бы имел место случай, когда r + δ = 0, то соответствующая стоимость, дисконтированная к настоящему, не могла бы быть точно определена, так как возникает деление на ноль). Можно рассматривать капитал как фактор производства, издержки использования которого – (rk + δ)Pk, где Pk – цена каждой единицы капитала, а – это реальная ставка процента, δ – норма амортизации. Если функция денежного потока – это возрастающая вогнутая функция F(K,…) от капитала K, условие первого порядка будет: , где K* – запас капитала, который максимизирует F(K, …) в каждом периоде, пренебрегая издержками приспособления. Если капитал не изнашивается и δ = 0, тем не менее, условие (3.15) подразумевает, что , так как , когда I = 0. А условие (3.14) просто означает, что предельная производительность капитала совпадает с её финансовой стоимостью, как и в статичном случае . Если δ > 0, тогда стационарное состояние инвестиций задается и поэтому . Стоимость единицы капитала, устанавливаемого, чтобы возместить продолжающийся износ, выше, чем Pk из-за издержек приспособления. Фазовые диаграммы полезны не только для характеристик траекторий приспособления, начинающихся с заданного начального состояния, но также для изучения инвестиционных эффектов на постоянные изменения в доходах. Упражнение 11… Во время, когда параметры изменяются, тем не менее, запасы капитала неизменны. Новая конфигурация системы может влиять только на q и на уровень инвестиций. Как результат – динамика, постепенно повышающая (или уменьшающая) запасы капитала. Постепенный характер оптимальных траекторий приспособления вытекает из строгой выпуклости издержек приспособления, которые, как мы знаем, делают быстрые инвестиции неэффективными. В любой момент времени скорость приспособления зависит от разницы между текущим и стационарным уровнями q. Следовательно, скорость движения вдоль седловой траектории и темп роста капитала становятся бесконечно маленькими по мере приближения к стационарному состоянию. Также интересно изучить влияние на инвестиции такого фактора, как ожидание событий в будущем. Предположим, что в момент t = 0 становится известно, что заработная плата останется неизменной w(0) до момента t = T; после чего упадёт до w(T) < w(0) и останется на том же уровне в дальнейшем. Оптимальный инвестиционный поток учитывает подобное экзогенное изменение в будущем: если более низкая заработная плата и более высокая занятость N подразумевают более высокий предельный вклад капитала в денежные потоки, тогда фирма начинает в период времени ноль инвестировать больше, чем в оптимальном случае, когда они знают, что w(t) = w (0) для всех периодов t. Рисунок 3.6 – Гипотетический прыжок динамической траектории и результирующая траектория во времени λ (t) и инвестиций (↑ + ↓), ведущие к снижению инвестиционных издержек Чтобы охарактеризовать оптимальную инвестиционную политику, вспомним, что для избегания расходящейся динамики, фирма должна выбрать динамическую траекторию, которая ведёт к стационарному состоянию при удовлетворении оптимальных условий. После времени T все параметры остаются постоянными, и мы знаем, что фирма должна быть на седловой траектории, ведущей к новому стационарному состоянию. Чтобы выяснить динамику q и K в течение периода, когда системная динамика всё ещё с зарплатой w(0), обратим внимание, что система должна развиваться таким образом, чтобы оказаться в период времени T на седловой траектории, не испытывая дискретные скачки. Чтобы увидеть почему, рассмотрим динамическую траекторию такую, чтобы прерывистый скачок q был необходим для переноса системы на седловую траекторию, как на рисунке 3.6. Вспомним, что с экономической точки зрения внезапное изменение q обязательно повлекло бы за собой резкое изменение инвестиционного потока, как на рисунке. Так как строго выпуклые издержки приспособления подразумевают, что такая инвестиционная политика является более дорогостоящей, чем сглаженная версия (представлена точками на рисунке). Теперь легко показать графически, как на рисунке 3.7, динамическую реакцию системы. Рисунок 3.7 – Динамический эффект анонсированного будущего изменения w Стартуя от стационарного состояния, высота прыжка q в момент t = 0 (когда объявляется об изменении параметра после T) зависит от того, как далеко в будущем находится ожидаемое событие. В предельном случае, когда T = 0 (т.е. параметр меняется немедленно) q прыгает прямо на новую седловую траекторию. Если, как на рисунке 3.7, T довольно далеко в будущем, q прыгает в точку между старым стационарным состоянием (начальная точка) и новой седловой траекторией. Потом реализуется динамика по новой седловой траектории. Интуитивно, фирма находит удобным растворить во времени предвиденное приспособление. Для больших величин T высота начального скачка была бы меньше, а расходящаяся динамика, вызванная ожиданием будущих изменений, будет идти медленнее. Эти результаты позволяют дать более точную интерпретацию допущений об инвестиционной функции в рамках базовой модели IS–LM (там инвестиции зависят от экзогенных параметров, например, автономных инвестиций () и отрицательно от процентной ставки). Это отношение может быть качественно рационализировано путём рассмотрения того, что склонность к инвестированию будет зависеть от (экзогенных) ожиданий будущих (следовательно, дисконтированных) прибылей, которые будут получены от капитала, установленного с помощью текущих инвестиций. С этой точки зрения любая переменная относительно ожиданий будущей прибыли влияет на экзогенный компонент инвестиционных потоков. Так как величина прибыли, дисконтированная к настоящему, ниже при высоком дисконтирующем коэффициенте, то для любого заданного инвестиционный поток I – это возрастающая функция текущей процентной ставки i. В контексте рассматриваемой нами динамической модели инвестиции фирмы стремятся к стационарному состоянию, которое зависит от будущих состояний и от ожиданий. 3.4. Стоимость капитала и будущие денежные потоки В стационарном состоянии можно выразить q(t) через стоимость будущих денежных потоков фирмы, дисконтированную к настоящему. Если мы установим Pk = 1 (следовательно, πk = 0) для простоты, тогда q и λ будут равны. , (3.17) где обозначает предельный вклад капитала в денежный поток в момент τ (вдоль оптимальной траектории фирмы). Умножив (3.17) на e–(r + δ)τ, получим выражение , которое может быть интегрировано между τ = 0 и τ = T для получения (3.18) При пределе T → ∞, пока K(∞) > 0 первый член исчезает: (3.19) На оптимальной инвестиционной траектории предельная стоимость капитала в момент времени ноль равна величине денежных потоков, генерируемых дополнительной единицей капитала в момент времени ноль, добавляет e–δt единицы капитала в каждый момент t > 0. Износ во времени постоянен и равен δ. Рассматривая как данный запас капитала, установленный в момент времени t, каждая дополнительная единица капитала увеличивает денежные потоки согласно FK(·). Фирма действительно могла бы установить такую дополнительную единицу и, затем, проводя неизменную инвестиционную политику, увеличить дисконтированные денежные потоки на величину (3.19). Это рассуждение не принимает во внимание тот факт, что гипотетическое изменение инвестиций (следовательно, капитала, используемого в последующие периоды) должно заставить фирму изменить свои решения о будущих инвестициях. Любые подобные изменения, тем не менее, не имеют эффекта на предельную стоимость капитала, пока её размер является бесконечно малым. Если в момент времени ноль небольшая величина капитала была бы фактически установлена, фирма действительно бы изменила будущую инвестиционную политику, но только на подобные маленькие величины. Это не имело бы никакого эффекта на дисконтированные денежные потоки вокруг оптимальной траектории, где условия первого порядка удовлетворены, и небольшие флуктуации эндогенных переменных не имеют никакого воздействия на условия первого порядка. Этот факт (приложение: огибающая теорема – envelope theorem) позволяет вычислить предельную стоимость капитала (рассматривая как заданную оптимальную динамическую траекторию капитала). Или, эквивалентно, измерять оптимальность каждого инвестиционного решения, рассматривая все эти решения как заданные. В общем уравнении (3.19) не предложено явного решения λ(0), потому что правая часть уравнения зависит от будущих уровней K всякий раз, когда , т.е. всякий раз, когда функция, связывающая денежные потоки с капиталом, строго вогнутая. Поскольку предельный вклад капитала в денежные потоки зависит от запаса капитала, необходимо знать уровень K(τ) для τ > 0 для вычисления правой части уравнения (3.19). Но будущие запасы капитала зависят от текущих инвестиционных потоков, которые, в свою очередь, зависят от λ. Очевидно, что логический круг делает невозможным вычисление оптимальной политики этим способом. Для конечного горизонта планирования T можно было бы получить решение от заданной (возможно равной нулю) величины капитала в момент времени, когда фирма прекращает существовать. Но, если T → ∞, возникает необходимость характеризовать оптимальную политику в целом или, по крайней мере, характеризовать её графически, как это мы делали до сих пор. Фактически легко интерпретировать динамику q на рисунке 3.7 в терминах ожидаемых денежных потоков: благоприятные экзогенные события становятся ближе во времени (и меньше дисконтируются) вдоль первой части динамической траектории на рисунке. Может быть, тем не менее, случай, когда F(·) слово вогнутая функция (следовательно, линейная) по K; тогда не зависит от экзогенных переменных, уравнение (3.19) приводит к явному функциональному выражению λ и далее немедленно следуют решения в области инвестиционной политики. Например, если: (3.20) тогда (3.19) читается (3.21) Первое уравнение в (3.20) означает, что издержки установки капитала зависят только от I, а не от K. Следовательно, единица инвестиционных издержек зависит только от размеров инвестиционных потоков в единицу времени. Однако издержки данного увеличения запаса капитала не зависят от начального размера фирмы. Второе уравнение в (3.20) говорит о том, что каждая единица установленного капитала делает одинаковый вклад в запас капитала фирмы, снова игнорируя размер фирмы. Отношения в форме (3.21) являются истинными, следовательно, масштабы операций фирмы могут быть любыми. Рассмотрим случай, когда фирма имеет производственную функцию f(K, N) с постоянной отдачей от масштаба. Фирма работает в конкурентной среде (т.е. является получателем цены и заработной платы). В соответствии с предположением . Установив x = K, мы можем записать общую выручку следующим образом: (3.22) Условие первого порядка , которое приобретает форму , определяет оптимальную норму N/K как функцию v(·) от w(t)/P(t). При отсутствии издержек приспособления для фактора N условие выполняется для всех моментов времени t. Следовательно, . Используя первое уравнение в (3.20) мы приходим к: . Это выражение не зависит от K (как и в (3.21)). Это позволяет нам заключить, что функция постоянной отдачи F(·) просто пропорциональна K. Это дифференцирование дает простые математические результаты, которые будут полезны при характеристике средней стоимости капитала в следующем вопросе лекции. Это также имеет интересное применение в тех случаях, когда будущая реализация экзогенных переменных, таких как w(t) и P(t), может быть случайной. Эти вопросы мы не будем рассматривать ввиду технических сложностей. Интуитивно, тем не менее, если целевая функция фирмы задана через ожидаемую величину интеграла в (3.5), то выражение, сходное (3.19), может быть сформулировано и для ожидаемых величин: Теперь, если фирма работает на совершенно конкурентных рынках, производство имеет постоянную отдачу и оптимально выбираются переменные факторы в течение всего времени, так что (3.22) выполняется, то оптимальные денежные потоки описываются выпуклой функцией реальной зарплаты . Легко увидеть, почему, когда мы рассматриваем рисунок 3.8, который показывает поступающую к фирме прибыль от каждой единицы капитала (изучение прибыли на единицу эквивалентно изучению полной прибыли). Рисунок 3.8 – Прибыль на единицу, как функция реальной заработной платы Если фирма меняет уровень занятости в ответ на изменения в реальной заработной плате, тогда для заданного K, разница между доходами и издержками переменного фактора будет линейной функцией от реальной заработной платы. По определению, прибыли, получаемые от оптимального регулирования N, должны быть больше каждой возможной реальной заработной платы и будут равны только тогда, когда постоянный уровень занятости оптимален. Таким образом, прибыль – это выпуклая функция от реальной заработной платы. Гибкость в занятости N позволяет фирме использовать благоприятные условия и ограничивать потери при неблагоприятных. Неравенство Дженсена и условия, записанные ранее, подразумевают, что Тогда неопределенность увеличивает ожидаемую прибыль, заработанную на каждой единице капитала, и вызывает более интенсивные инвестиции фирмой, которая нейтральна к риску (т.е. заинтересована только ожиданием будущих потоков наличности). 3.5. Средняя стоимость капитала Вспомним формулу (3.1) для F(·) и рассмотрим случай, когда R(·) и G(·) линейно однородные функции от K, N и I. Функция f линейно однородна, если f(λx, λy) = λf(x, y), как в случае с производственной функцией с постоянной отдачей. Тогда теорема Эйлера даёт: . Если G(I, K) не зависит от K, как в случае, рассмотренном ранее, тогда эта функция была бы линейно однородной только в том случае, если бы издержки приспособления были бы линейными (следовательно, не были строго выпуклыми) по инвестиционному потоку I. Но, в общем случае, опуская t и обозначая частные производные нижними индексами в (3.18), мы получим: (3.24) Первый шаг следует из теоремы Эйлера, а второй шаг RN = w по условию второго порядка (3.6). Обозначим RK – GKPK = FK и тогда другие условия из (3.6), а также ограничение в накоплении подразумевают: PkGI = λ, Fk = (r + δ) λ – , I = + δK. Выражение (3.24) упрощается по оптимальной траектории: . Немедленно проверяется, что это эквивалентно: и легко оценить интеграл в определении стоимости фирмы (3.5): , где последний шаг означает, что , если ограничение (3.7) выполнено. Тогда . И так как это истинно для , то в общем случае мы имеем: . Следовательно, предельное q, которое мы рассмотрели ранее в моделях, является тем же самым, что и отношение рыночной стоимости фирмы к остаточной стоимости капитала. Этот результат предполагает точную интерпретацию для идеи Джеймса Тобина о том, что инвестиционные потоки могут интерпретироваться на основе финансовых соображений. Другими словами, выгодно установить капитал и увеличить производственные возможности каждой фирмы и экономики в целом, только если стоимость инвестиций сравнивается благоприятно со стоимостью установленного капитала, как измерено стоимостью фирмы на финансовом рынке. Подобные рассуждения предлагают эмпирический подход к изучению инвестиций. На основе (3.11) инвестиции будут полностью объяснены с помощью q. q, в свою очередь, является непосредственно измеримым на основе информации с фондовой биржи и бухгалтерского баланса, согласно гипотезам, описанным ранее. Инвестиции действительно зависят от (ненаблюдаемых) ожиданий будущих событий. Однако, те же самые ожидания также затрагивают стоимость фирмы на рациональном финансовом рынке. Можно проверить предложенную теоретическую структуру, рассматривая эмпирические взаимосвязи между инвестиционными потоками и измеренным q. Кончено, и стоимость фирмы (и среднее q это подразумевает), и её инвестиции – это эндогенные переменные [Следовательно, эмпирическая стратегия является родственной той, что рассмотрена в лекции 2]. Каждый не оценивает функцию, связывающую инвестиции (или потребление) с экзогенными переменными, а скорее проверяет свойство, которое эндогенные переменные должны показать согласно некоторым теоретическим предположениям. Что касается доходов, допущения заставляют прийти к предположению, что инвестиции и среднее q должны быть строго связаны, может интерпретироваться, если фирма производит при постоянной отдаче и совершенно конкурентным способом. Что касается издержек приспособления, допущение, что они пропорциональны размерам фирмы, а не абсолютным инвестиционным потокам. Большая фирма имеет меньшие затраты, чтобы предпринять заданную сумму инвестиций, и оптимальная инвестиционная программа может быть вычислена, если удвоение размера фирм приводит к тем же самым инвестиционным издержкам для удвоенного инвестиционного потока. Это в том случае, если функция издержек приспособления имеет постоянную отдачу от масштаба и G(I, K) = g(I/K)K. Реализм этих допущений спорен. Они действительно подразумевают, что различные начальные размеры фирмы просто пропорционально увеличивают инвестиционную программу. Как всегда при постоянной отдаче от масштаба и условиях совершенной конкуренции фирма не имеет оптимального размера и, фактически, совсем не имеет четкую идентичность. В более общих моделях, стоимость фирмы менее тесно связана с запасами капитала и поэтому может измениться независимо от оптимальных инвестиционных потоков. 3.6. Динамическая модель IS–LM Резюме: В следующем вопросе лекции мы рассмотрим упрощенную динамическую модель IS-LM. Модель показывает взаимосвязи между «впередсмотрящим» ценообразованием финансовых активов и выпуском и исключительную роль ожиданий в определении (через инвестиции) макроэкономического выпуска и эффектов денежно-кредитной и фискальной политики. Как и в статической версии IS-LM уровень цен экзогенно задан и постоянен во времени. Линейное уравнение описывает детерминанты совокупного спроса yD(t) yD(t) = αq(t) + cy(t) + g(t), α > 0, 0 < c < 1 (3.29) Совокупные расходы детерминированы совокупным доходом y (через потребление), потоком g государственных закупок, установленных экзогенно фискальными властями и q, как главный детерминант частных инвестиционных расходов. Мы будем рассматривать q как рыночную оценку запасов капитала. Она включена в уровень биржевых цен: для простоты мы не делаем различия между средним и предельным q. Также мы игнорируем роль биржевых котировок в определении совокупного потребления. Выпуск y эволюционирует во времени согласно следующему уравнению динамики: , β > 0. (3.30) Выпуск реагирует на дополнительный спрос на товары, когда расходы больше, чем текущий выпуск, фирмы удовлетворяют спрос, сокращая запасы и постепенно увеличивая производство через какое-то время. В нашем допущении, выпуск «предопределенная» переменная (подобно запасу капитала в инвестиционной модели, рассмотренной в предыдущих вопросах). Выпуск не может немедленно приспособиться к разрыву между текущими расходами и текущим производством. Обычная линейная кривая LM описывает равновесие на рынке денег: , (3.31) где левая часть уравнения – это реальное предложение денег (отношение номинального предложения денег m к постоянному ценовому уровню p), а правая часть – спрос на деньги. Спрос на деньги зависит положительно от уровня выпуска и отрицательно от процентной ставки r на краткосрочные облигации [Допущение о постоянном уровне цен подразумевает нулевой темп ожидаемой инфляции. В этом случае нет никакой потребности делать различие между реальной и номинальной процентными ставками]. Также предполагаем, что такие облигации имеют бесконечно малую продолжительность; тогда мгновенная процентная ставка от их размещения совпадает с процентной ставкой r без возможности прироста или потерь капитала. Акции и краткосрочные облигации предполагаются совершенными субститутами в портфелях инвесторов (это вполне разумно в контексте определенности). Следовательно, уровни доходности по акциям и краткосрочным облигациям должны быть равны для исключения любых арбитражных возможностей. Следующее уравнение должно быть выполнено в условиях равновесия: , (3.32) где левая часть – это (мгновенная) ставка доходности по акциям (полученная из прибыли π, полностью разделенной на дивиденды между акционерами) и прирост (или потеря) капитала . В любой момент времени это композитная ставка доходности по акциям должна быть равна процентным ставкам по облигациям r [если введены долгосрочные облигации, то не должно быть арбитражных операций между долгосрочными и краткосрочными облигациями]. Наконец, прибыль положительно зависит от уровня выпуска: . (3.33) Динамические переменные от процентной ставки – выпуск y и стоимость на фондовом рынке q. Чтобы получить стационарное состояние и динамику вне стационарного состояния последуем процедурам, введенным в предыдущих вопросах. Мы сначала выводим два семейства стационарных точек для y и q и откладываем их на (q, y) фазовой диаграмме. Рисунок 3.9 – Динамическая модель IS-LM В (3.30) установим и используем спецификацию совокупных расходов в (3.29): . Графиком данной функции является восходящая линия на рисунке 3.9. Более высокие значения q стимулируют совокупные расходы через частные инвестиции и повышают выпуск в стационарном состоянии. Эта линия эквивалентна кривой IS в более традиционной IS-LM модели, связывающей выпуск с процентной ставкой. Для каждого уровня выпуска существует единственное значение q, для которого выпуск равен расходам: более высокие значения q детерминируют более значительные инвестиционные потоки, что вызывает дополнительный спрос на товары. И согласно динамическому уравнению y, выпуск постепенно увеличивается. Как показано на диаграмме стрелки указывают направо, во всех точках выше . Симметрично, для всех точек до стационарного графика выпуска. Стационарное состояние q выводится установлением в (3.32): , где левая часть получена с использованием (3.33) и (3.31). Стационарная величина q задана отношением дивидендов к процентной ставке. Обе величины влияют на выпуск. Когда y растет, прибыли и дивиденды возрастают, увеличивая q. Также процентная ставка (по которой прибыль дисконтируется) растёт, оказывая понижающее влияние на биржевые котировки. Тогда наклон зависит от относительной силы этих двух эффектов. В дальнейшем мы предполагаем, что «эффект процентной ставки» доминирует и, следовательно, рисуем стационарный график q нисходящей линией. Динамика q вне стационарного состояния управляется динамическим уравнением (3.32). Для каждого уровня выпуска (что единственным образом определяет дивиденды и процентные ставки) только значение q в стационарном состоянии таково, что . Более высокие значения q снижают дивидендную компоненту ставки доходности по акциям и прирост капитала, подразумевая . Это влечет запрет на арбитражные операции между акциями и облигациями: тогда q должно двигаться вверх со всех точек на линии, как показано на рисунке 3.9. Симметрично, во всех точках ниже потери капитала необходимы для выравнивания доходности, следовательно, . Единственное стационарное состояние системы находится в точке пересечения двух кривых. Выпуск и биржевые котировки – yss и qss соответственно. Как в динамической модели, анализируемой в предыдущих вопросах, текущая модель имеет единственную траекторию, приводящую к стационарному состоянию – седловая траектория динамической системы. Для объяснения отрицательного наклона в пространстве (q, y) рассмотрим в момент времени t0 уровень выпуска y(t0) 0, но ее наклон меньше. Это подразумевает, что когда продается единица капитала, установленная ранее, фирма получает цену, которая не зависит от I(t), но является меньшей, чем покупная цена. Такая структура издержек приспособления является реалистичной, если инвестиции представлены покупкой оборудования с данной в наличии ценой, например, персональных компьютеров, и постоянной стоимости установки единицы капитала, например, стоимость установки программного обеспечения. Если издержки установки не могут быть покрыты, когда фирма продает своё оборудование, каждый вид основного капитала фирмы имеет специфический уровень, который определяет насколько совершенным является переход капитала в фирму и из неё для (3.16) в каждый момент времени. Линейность функции издержек приспособления не делает быстрые инвестиции или продажу капитал невыгодными, как в случае, если бы издержки приспособления были бы заданы строго выпуклой функцией. Так как существует резкий перегиб, то чередование периодов отрицательных и положительных инвестиций невыгодно для фирмы. Если положительные инвестиции немедленно последуют за отрицательными, то фирма должна будет заплатить за издержки установки без использования предельной единицы капитала в какой-либо промежуток времени. В общем случае, фирма, чьи издержки приспособления изображены в форме, как на рисунке 3.11, будет избегать инвестиций, когда преходящие событие требуют приспособления в запасах капитала. Экономия на издержках установки является премией за пассивность: фирма прекращает инвестировать, даже если текущие условия улучшаются, но скоро ожидаются плохие новости. Рисунок 3.11 – Кусочно-линейная функция единичных инвестиционных издержек Для изучения формальной стороны проблемы простейшим из возможных способов, условимся считать, что цена, получаемая за продаваемый запас капитала низка настолько, что подразумевает необратимость инвестиционных издержек. Это случай, когда угол наклона G(I, ∙) для I > 0 настолько мал, что почти делает получение дохода от утилизации капитала очень малым. В тоже время линейность функции издержек приспособления не побуждает фирму инвестировать медленно, инвестиционный уровень может мгновенно прыгать между положительной и отрицательной величинами. Если экзогенные переменные изменяются по непрерывным траекториям, тем не менее, не существует причин для подобных прыжков для достижения оптимальной траектории. Следовательно, метод решения с использование Гамильтониана остается применимым. В условие (3.6) только первая формула должна быть модифицирована: если капитал стоит Pk, когда покупается и он никогда не продается, то условие первого порядка для инвестиции читается следующим образом: . Условие оптимальности в (3.39) требует, чтобы λ(t), предельная стоимость единицы капитала в момент времени t была равна единичным издержкам на инвестирование, только если фирма действительно инвестирует. Следовательно, в периоды, когда I(t) > 0 мы имеем λ(t) = Pk, , и третье условие в (3.6) подразумевает, что (3.38) имеет силу для всех период времени, когда I(t) > 0. Если фирма инвестирует, капитал устанавливается линейно и пользовательские издержки для всех единиц капитала постоянны. Однако, это необязательно оптимально, все время иметь положительную величину инвестиций. Для фирмы оптимально не инвестировать, когда предельная величина капитала меньше (не строго), чем издержки повышения запаса капитала на одну единицу. Фактически, когда фирма в ближайшем будущем ожидает неблагоприятное развитие переменных, определяющих желаемый запас капитала в условии (3.38), тогда если бы фирма продолжила инвестирования, то получила бы избыточный запас капитала. Для характеристики периодов, в которые для фирмы является оптимальным решение иметь нулевые инвестиции, вспомним, что третья формула в условии (3.6) и ограничение (3.7) подразумевают, как и в (3.19), что Рисунок 3.12 – Установленный капитал и оптимальные необратимые инвестиции В нижней части рисунка 3.12 кривая показывает возможную динамику желаемого капитала, определяемую циклическими колебаниями F(∙) для заданного K. С тех пор, как кривая опускается быстрее, чем изнашивается капитал, фирма прекращает инвестировать в момент времени t0 и вновь продолжает в момент времени t1. Тогда, если мы запишем . (3.41) Далее , и вспомнив, что λ(t1) = Pk(t1) в последнем интеграле, мы получим из 3.41. Если темп инфляции, измеренный по капитальным товарам πk, тогда и . Далее мы получаем Снова используем получаем и (3.41) может быть переписано: . Тогда предельная выручка капитала будет равна издержкам использования, дисконтированным к настоящему (по ставке r + δ) не только, когда фирма инвестирует непрерывно, но также в течение периодов, в течение которых оптимально держать инвестиции на нулевом уровне. На рисунке 3.12 зона A будет иметь одинаковые размеры, как и дисконтированная величина из зоны B. Издержки приспособления, как обычно, влияют на динамические аспекты поведения фирмы. Когда циклический пик близко, фирма прекращает инвестиции, потому что знает, что в ближайшем будущем будет невозможно приравнять предельную выручку и капитальные издержки. Подобное рассуждение применимо с некоторым более сложным примечанием к случаю, когда фирма может продать установленный капитал по положительной цене pk(t) < Pk(t), и найдет оптимальным делать так время от времени. В этом случае мы изображаем на рисунке 3.12 другую динамическую траекторию, ниже той, что показывает желаемый запас капитала при положительных инвестициях, удовлетворяющий условию (3.38), когда пользовательские капитальные издержки вычислены на основе цены на перепродажу. Фирма будет следовать этой траектории и тогда, когда желательные инвестиции являются отрицательными. Даже, когда скорость инвестиций не является ограничением, трансакционные издержки подразумевают, что поведение фирмы будет «вперёд-смотрящим». Инвестиции должны сократиться прежде, чем резкий спад будет указывать на необходимость уменьшить запасы капитала. Это еще один важный случай ожиданий в проблеме динамической оптимизации. Симметрично, запас капитала не является независимым в каждый данный момент времени от прошлых событий. В последнем периоде бездействия, показанного на рисунке, запас капитала больше, чем оптимальная величина, выбранная в свете текущих условий. Это иллюстрирует другую важную черту проблем динамической оптимизации, а именно, характер взаимосвязи между эндогенным капиталом и экзогенными движущими переменными. Их целая динамическая траектория, а не отдельная точка влияет на запасы капитала.