Справочник от Автор24
Теория вероятностей

Конспект лекции
«Случайные величины.»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по теории вероятности / Случайные величины.

Выбери формат для чтения

pdf

Конспект лекции по дисциплине «Случайные величины.», pdf

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Случайные величины.». pdf

txt

Конспект лекции по дисциплине «Случайные величины.», текстовый формат

Тема 2. Случайные величины и их числовые характеристики. Лекция № 4. Случайные величины. План: §1. Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины. §2. Дискретные случайные величины. Примеры распределений. §3. Непрерывные случайные величины. Примеры распределений. §4. Нормальный закон распределения. §1). Рассматривая приведенные ранее примеры случайных экспериментов (подбрасывание игрального кубика, подбрасывание монеты, выбор шара из урны), мы видим, что в большинстве случаев результат случайного эксперимента может быть описан некоторым числом. В частности, при подбрасывании игрального кубика, результат есть число выпавших очков из следующих возможных: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Заранее определить число выпавших очков невозможно, так как оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены.В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значения этой величины. Будем далее обозначать случайные величины греческими буквами ξ, η и т. д., а их возможные значения – соответствующими строчными латинскими буквами x, y, z. Например, если случайная величина ξ имеет три возможных значения, то они обозначаются так: х 1, х2, х3. Можно сказать, что какие именно числовые значения СВ ξ мы будем иметь в результате данного конкретного эксперимента, однозначно определяется осуществившимся в результате данного случайного эксперимента элементарным исходом u, а это означает, что СВ ξ является числовой функцией аргумента u. Сформулируем строгое определение СВ ξ. Пусть U={u} – множество элементарных исходов, S – сигма-алгебра событий, Р – определенная на S вероятностная функция, т. е. тройка (U, S, P) определяет вероятностное пространство. Определение 1. Случайной величиной называется действительная функция ξ= ξ(u), определенная на множестве U, если для любого x  R множество тех исходов u, для которых ξ(u)<x, принадлежит сигма-алгебре событий S, т. е. x  R [{u :  (u )  x}  S ] , другими словами, множество {u :  (u )  x} является событием, для которого определена вероятность P{u :  (u )  x}  P{  x} . Определение 2. Функция F, определенная на множестве R чисел формулой F(x) = P(ξ < x) называется функцией распределения случайной величины ξ. Функция распределения F(x) случайной величины ξ обладает следующими свойствами: 1 1). x  R[0  F ( x)  1] , т. е. областью значений функции распределения F(x) является отрезок [0,1]. Д-во: В соответствии со свойствами вероятностной функции, для любого события A  S выполняется: 0  P ( A)  1 . Так как для выполнения последнего неравенства достаточно, чтобы событие принадлежало сигма-алгебре, то по О.1 оно справедливо и для события (  x ) , т. е. 0  P (  x )  1 , а по О.2 P (  x)  F ( x) , следовательно 0  F ( x)  1 . Ч. т. д. 2). lim F ( x)  F ()  0 , lim F ( x)  F ()  1 . x 3). x Функция распределения есть F(x) неубывающая функция, т. е. x1, x2  R[ x1  x2  F ( x1 )  F ( x2 )] . 4). Функция распределения F(x) непрерывна слева в каждой точке x  R . 5). Для любых x1, x2  R вероятность события ( x1    x2 ) вычисляется по формуле P( x1    x2 )  F ( x2 )  F ( x1 ) . §2). Возвращаясь к примеру с игральным кубиком, можно сказать, что СВ ξ могла принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений СВ ξ. Таким образом, в этом примере СВ ξ принимает отдельные, обособленные значения, в отличие от случая, когда она может принимать любое значение из некоторого промежутка (a, b). Поэтому условились различать 2 типа случайных величин, определим первый из них. Определение 3. Случайная величина ξ называется дискретной (ДСВ), если множество ее значений конечно или счетно. Замечание: счетным называется бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать натуральными числами. ДСВ можно задать таблицей распределения, в верхней строке которой перечислены значения х1, х2, …, хn, … СВ, а в нижней – соответствующие им вероятности р1, р2, …, pn, …: ξ х1 х2 x3 … xn … Р р1 р2 р3 … pn … где pi=P(ξ = xi). Теорема 1. Сумма всех вероятностей в таблице распределения ДСВ равна 1, т. е.  p i 1. i 1 Д-во: Пусть событие Аi состоит в том, что СВ ξ принимает значение xi, т. е. Ai=(ξ=xi), i=1, 2, …. Тогда P(Ai)=P(ξ=xi)=pi. События Ai=(ξ=xi), i=1, 2, … - попарно несовместны, так как в результате СВ ξ принимает только одно значение, а их сумма есть достоверное событие, так как какое-то значение СВ обязательно принимает, т. е. A1 + A2 + …+Ai +…=U. Следовательно 2  P ( Ai )  P (U ) , i 1 в соответствии с аксиомами, определяющими вероятность, получим:   i 1 i 1  P( Ai )  1   pi  1 . Ч. т. д. Определение 4. Дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n; а их вероятности выражаются с помощью формулы Бернулли следующим образом pm  P(  m)  Pn (m)  Cnm p m q nm , где 0<p<1, q=1-p, m=0, 1, …, n. Числа n и p называются параметрами биномиального распределения. Таблица распределения для биномиального закона выглядит следующим образом: ξ Pn(m) 2 … m … n Cn2p2qn-2 … Cnmpmqn-m … Cnnpnq0 1 Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Проверим выполнение теоремы 1 (воспользуемся следствием к теореме Бернулли): n C m n p m q nm  ( p  q ) n  1 . m 0 Определение 5. Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …; а вероятность события (ξ=m) выражается с помощью формулы Пуассона следующим образом pm  P(  m)  m m!  e  , где λ>0, m=0, 1, 2, …Постоянная λ называется параметром распределения Пуассона. Таблица распределения для закона Пуассона выглядит следующим образом: ξ pm 1   e 1! e … 2  2 2! …  e  …  …  e  m m m! Проверим выполнение теоремы 1 (воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции еλ):  m  m! m 0  e   e   (1    2 2!  ...  m m!  ...)  e   e   1 . §3). Если СВ ξ принимает любые значения из некоторого промежутка (a,b), то она относится ко второму типу СВ. Определение 6. Случайная величина ξ называется непрерывной (НСВ), если существует неотрицательная функция р такая, что x  R функция f(х) удовлетворяет равенству 3 x F ( x)   f (t )dt ,  где F – функция распределения СВ ξ. Функция f(х) называется плотностью распределения СВ ξ. Функция распределения F(x) НСВ ξ непрерывна на всей числовой прямой. Для НСВ ξ при любом конкретном значении x0  R имеет место равенство Р(ξ = х0) = 0, т. е. вероятность каждого отдельного значения для НСВ равна нулю. Функция плотности распределения р(х) СВ ξ обладает следующими свойствами: 1). Функция f ( x)  0 на всей области определения. Д-во: следует из О. 6. 2). Для любых x1, x2  R вероятность события ( x1    x2 ) , если ξ – НСВ, вычисляется по формуле b P (a    b)   f ( x)dx . a Д-во: По свойству 5 функции распределения и по О. 6, получим: P(a    b)  F (b)  F (a)  Для 3). любых b a a b a b    a  a  f ( x)dx   f ( x)dx  (  f ( x)dx   f ( x)dx)   f ( x)dx   f ( x)dx . x1, x2  R вероятности событий совпадают: P (a    b)  P (a    b)  P ( a    b)  P (  a; b ) и равны: b P (  a; b )   f ( x)dx . a Геометрическая интерпретация свойства 3: P(  a; b )  SD , где D – это фигура. ограниченная сверху графиком функции плотности y=f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми х=а и х=b соответственно (см. рис. 1).  4).  f ( x)dx  1.  Геометрическая интерпретация свойства 4: Площадь криволинейной трапеции D, ограниченной сверху графиком функции плотности y=f(x), а снизу – осью Ох, равна 1 (см. рис. 2). 5). x  D f ( x ) функция плотности НСВ ξ f(х) есть производная функции распределения F(x) этой СВ в точке х, т. е. f ( x )  F ( x ) . 4 Определение 7. НСВ ξ называется равномерно распределенной на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т. е.  1  , x  [ a, b] . f ( x; a, b)   b  a   0, x  [a, b] Постоянные a и b называются параметрами равномерного распределения. Так как график функции плотности равномерного распределения p (x) изображается в виде прямоугольника (см. рис. 3), то такое распределение также часто называют прямоугольным. Найдем, по формуле ( ), функцию распределения Fξ(x) равномерного закона: 1). Пусть x<a, тогда x F ( x)    x f (t )dt   0dt  0 .  2). Пусть a  x  b , тогда x F ( x)    1 1 xa dt  0   t ax  . b  a b  a b  a a a x f (t )dt   0dt    3). Пусть x>b. тогда 1 1 ba F ( x)   f (t )dt   0dt   dt   0dt  0   t ba  0  1. ba ba ba   a b x a b x Таким образом, функция равномерного распределения имеет вид: 0, x  a  x  a F ( x)   ,a  x  b . b  a 1, x  b  График функции Fξ(x) изображен на рисунке 4. Определение 8. Показательным или экспоненциальным называют распределение вероятностей НСВ ξ, если ее плотность распределения имеет вид  0, x  0 , f ( x; )   x   e , x  0 где θ>0. Постоянная θ называется параметром показательного распределения. Найдем функцию распределения показательного закона. 1). Пусть x<0, тогда F ( x)  x x    f (t )dt   0dt  0 . 2). Пусть x  0 , тогда 5 x F ( x)    x  x 1 f (t )dt   0dt    e x dt  0    ( )  e t d (t )   e t 0x  (e x  e 0 )  1  e x .  Таким образом, функция показательного распределения имеет вид  0, x  0 . F ( x)   x 1  e , x  0 Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рисунке 5. §4). Нормальное распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. Впервые оно рассматривалось А. Муавром еще в 1733 году. Некоторое время спустя нормальное распределение было снова открыто и изучено независимо друг от друга К. Гауссом (1809 г.) и П. Лапласом (1812 г.). Оба ученых пришли к нормальному закону в связи со своей работой по теории ошибок наблюдений. Определение 9. НСВ ξ называется нормально распределенной (или распределенной по закону Гаусса), если ее плотность распределения задается формулой  1 f ( x; a,  )  e  2 2 ( x a )2 2 2 , где a,  2 - действительные числа, называемые параметрами нормального распределения (σ>0). Соответствующая функция распределения НСВ ξ, имеющей нормальное распределение, обозначается F(x; a, σ2) и, в соответствии с определением, задается соотношением x  1 F ( x; a,  )   e  2  2 ( t a )2 2 2 dt . Условимся называть нормальный закон распределения с параметрами a  0 и σ2=1 стандартным, а его функции плотности и распределения обозначать соответственно f(x; 0, 1) и F(x; 0, 1). На основе функции стандартного нормального распределения вводится функция Лапласа, которая имеет вид: x Ф( x)  1  t2 1   e 2 dt . 2 0 Задание: записать формулы, задающие функции f(x; 0, 1) и F(x; 0, 1). Функции f(x; 0, 1), F(x; 0, 1) и Ф(х) – табулированы, т. е. для них составлены статистические таблицы их значений в зависимости от различных значений аргумента х. Сформулируем специфические свойства нормального закона распределения, в основе которых лежит функция Лапласа: 1). Функция распределения нормальной СВ ξ - F(x; a, σ2) x  R удовлетворяет равенству: 6 F ( x; a ,  2 )  Ф ( xa  ) 1 , 2 где Ф(х) – это функция Лапласа ( ). 2). Вероятность того, что значение нормальной СВ ξ попадет в промежуток <х1, х2>, находится по формуле:  x a  x a P (  x1 , x2 )  Ф 2   Ф 1 .       Определение 10. Нормальной кривой (кривой Гаусса) называется график плотности нормального распределения, т. е. график функции  1 y e  2 ( x a )2 2 2 . Проведем полное исследование нормальной кривой и построим ее график. 1). В соответствии со свойствами показательной функции, нормальная кривая определена на всей оси Ох. 2). Так как параметр σ>0 по определению и ех>0 x  R , то при всех значениях х функция ( ) принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох. 3). Функция ( ) ни четная, ни нечетная, не периодическая, но можно заметить, что разность (х-а) содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график нормальной кривой симметричен относительно прямой х=а. 4). Предел функции ( ) при неограниченном возрастании модуля аргумента равен нулю: lim y ( x)  x  1 lim  2 1 ( x a )2 e 2 2  1 1 lim  0, б.б.  2 х  x  т. е. ось Ох является горизонтальной асимптотой графика нормальной кривой. Других асимптот нет. 5). Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную: 7

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Эконометрика

Случайные величины. Дискретная случайная величина

1 Случайные величины. Дискретная случайная величина Большинство явлений и процессов характеризуется количественными параметрами, которые изменяются сл...

Теория вероятностей

Случайные величины

Раздел II. Случайные величины 4. Многомерные случайные величины Обычно для описания результатов эксперимента необходимо использовать не одну, а нескол...

Высшая математика

Случайные величины

Тема «Случайные величины» Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, приче...

Теория вероятностей

Случайные величины

Лекция 6. Тема: Случайные величины. Рассмотрим случайный эксперимент с пространством элементарных событий Ω. Пусть 𝐾 - 𝜎-алгебра подмножеств множества...

Нефтегазовое дело

Случайные величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины и закона ее распределения. Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной вел...

Теория вероятностей

Случайные величины

Ëåêöèÿ 3. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 57 Ëåêöèÿ 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, å¼ ñâîéñòâà. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷...

Автор лекции

Берков Н.А.

Авторы

Теория вероятностей

Случайные величины

ТЕМА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайной называют величину, которая в испытании принимает одно и только одно из возможных значений, наперёд не известное и...

Теория вероятностей

Случайные величины

ЛЕКЦИЯ № 1 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ  Случайной величиной называется переменная вели...

Теория вероятностей

Многомерные случайные величины. Функции случайной величины. Числовые характеристики случайных величин

ЛЕКЦИЯ 5 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение: Двумерный вектор {ξ ,η} на...

Теория вероятностей

Понятие случайной величины, функция распределения случайной величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Понятие случайной величины, функция распределения случайной величины. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины Довольно часто каждому эле...

Смотреть все