Случайные величины

ТЕМА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайной называют величину, которая в испытании принимает одно и только одно из возможных значений, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (𝑋, 𝑌, 𝑍). Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, связывающее возможные значения случайной величины с вероятностями этих значений. Выделяют дискретные (прерывные) и непрерывные случайные величины. Дискретной называют случайную величину, которая принимает на числовой оси отдельные, изолированные значения с определёнными вероятностями. Количество значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным. Пример 1. Количество солнечных дней в марте – дискретная случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до 31. Пример 2. Стрелок стреляет по мишени до первого промаха. Количество истраченных патронов – дискретная случайная величина, которая может принимать целые значения от 1 до бесконечности. Непрерывной называют случайную величину, которая принимает все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество значений непрерывной случайной величины бесконечно. Заметим, что данное определение непрерывной случайной величины является неточным. Более точное определение будет дано позднее. 1 Закон распределения дискретной случайной величины Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является вероятностный ряд – таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑝𝑖 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛 Чтобы придать вероятностному ряду более наглядный вид, иногда прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности. Полученные точки соединяют отрезками прямых. Такая ломанная называется многоугольником распределения. И вероятностный ряд, и многоугольник распределения являются законами случайной величины и могут применяться только для дискретной случайной величины. Кроме вероятностного ряда и многоугольника закон распределения дискретной случайной величины может быть выражен через функцию распределения 𝐹 (𝑥) и в некоторых случаях аналитически, то есть с помощью формул. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто нет возможности или необходимости характеризовать случайную величину полностью, в этих случаях довольствуются меньшими сведениями – числовыми характеристиками случайных величин. Числовые характеристики дискретной случайной величины Все виды случайных величин имеют одни и те же числовые характеристики, имеющие сходный смысл, однако их подсчёт производится по разным формулам, для начала рассмотрим эти характеристики для дискретной случайной величины. 2 Важнейшей числовой характеристикой является математическое ожидание, характеризующее положение случайной величины на числовой оси, то есть указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Для дискретной случайной величины, имеющей конечное количество значений, математическое ожидание вычисляется по формуле: 𝑛 𝑀(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝑖=1 Для дискретной случайной величины, имеющей бесконечное количество значений, математическое ожидание вычисляется по формуле: ∞ 𝑀(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝑖=1 и существует только тогда, когда ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Заметим, что из определения следует, что математическое ожидание случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Математическое ожидание числа появлений события в однократном испытании равно вероятности этого события –𝑝. Математическое ожидание числа появлений события в многократных испытаниях приближенно равно (тем точнее, чем больше испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине. 𝑀(𝐶 ) = 𝐶. 3 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: 𝑀(𝐶𝑋) = 𝐶𝑀(𝑋). 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: 𝑀(𝑋𝑌) = 𝑀 (𝑋)𝑀(𝑌). 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: 𝑀 (𝑋 + 𝑌) = 𝑀(𝑋) + 𝑀(𝑌). Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, применяют дисперсию. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание». Казалось бы, для оценки разброса проще было бы найти все отклонения случайной величины от её математического ожидания, а затем найти их среднее значение. Однако этот способ ничего не даст, так как среднее арифметическое отклонений для любой случайной величины равно нулю. Это можно легко доказать, пользуясь свойствами математического ожидания. 𝑀(𝑥 − 𝑀(𝑥)) = 𝑀(𝑋) − 𝑀(𝑀 (𝑋)) = 𝑀 (𝑋) − 𝑀(𝑋) = 0. По этой причине пользуются средним значением квадрата отклонения – дисперсией. Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: 2 𝐷(𝑋) = 𝑀(𝑋 − 𝑀 (𝑋)) Иначе эту формулу можно переписать для дискретной случайной величины, имеющей конечное количество значений следующим образом: 𝑛 𝐷(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝑀(𝑋)) 𝑖=1 4 2 Для дискретной случайной величины, имеющей бесконечное количество значений, дисперсия может быть вычислена по аналогичной формуле: ∞ 𝐷(𝑋) = ∑(𝑥𝑖 − 𝑀(𝑋)) 2 𝑖=1 и существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. На практике часто пользуются другой формулой для подсчёта дисперсии, эта формула выводится из исходной с использованием свойств математического ожидания. 𝑛 𝐷(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖2 𝑝𝑖 − [𝑀(𝑥)]2 𝑖=1 Важно заметить, что дисперсия случайной величины, так же, как и математическое ожидание – величина неслучайная (постоянная). Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: 𝐷 (𝐶 ) = 0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: 𝐷 (𝐶𝑋) = 𝐶 2 𝐷(𝑋). 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: 𝐷 (𝑋 + 𝑌) = 𝐷(𝑋) + 𝐷(𝑌). Отсюда следует, что дисперсия суммы случайной и постоянной величин равна дисперсии случайной величины 𝐷(𝑋 + С) = 𝐷 (𝑋) + 𝐷 (С) = 𝐷 (𝑋). 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: 𝐷(𝑋 − 𝑌) = 𝐷 (𝑋) + 𝐷 (𝑌). Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, что не вполне удобно для наглядной характеристики рассеивания. 5 Поэтому широко используется среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии:: 𝜎 (𝑋) = √𝐷(𝑋). Среднеквадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов среднеквадратических отклонений этих величин: 𝜎(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ) = √𝜎 2 (𝑋1 ) + 𝜎 2 (𝑋2 ) + ⋯ + 𝜎 2 (𝑋𝑛 ) Есть ещё один способ задания случайной величины, применимый как для дискретных, так и для непрерывных величин: функция распределения случайной величины. Одинаково распределённые взаимно независимые случайные величины Рассмотрим 𝑛 взаимно независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения, а, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение). Пусть каждая из этих величин имеет математическое ожидание равное 𝑎, дисперсию равную 𝐷 и среднее квадратическое отклонение равное 𝜎. Большой интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин. Обозначим среднее арифметическое 𝑋̅. Легко доказывается, что 𝐷 𝑀 (𝑋̅) = 𝑎; 𝐷 (𝑋̅) = 𝑛 ; 𝜎 (𝑋̅) = 𝜎 √𝑛 . Пусть 𝑥 – действительное число. Функцией распределения случайной величины называют функцию 𝐹 (𝑥), определяющую вероятность того, что случайная величина 𝑋примет в результате испытания примет значение, меньшее, чем 𝑥, то есть: 6 𝐹 (𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) Иногда функцию распределения называют интегральной функцией или интегральным законом распределения. Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна единице. С помощью функции распределения можно дать более точное определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Свойства функции распределения. 1. 0 ≤ 𝐹 (𝑥) ≤ 1 2. Функция распределения – неубывающая функция. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (𝑎; 𝑏 ) равна приращению функции распределения на этом интервале. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определённое значение равна нулю. 5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (𝑎; 𝑏 ), то 𝐹 (𝑥) = 0, при 𝑥 ≤ 𝑎 и 𝐹 (𝑥) = 1, при 𝑥 ≥ 𝑏 6. F(∞)=0, F(+∞)=1. Функция плотности распределения. Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения 𝐹 (𝑥). Найдём вероятность её попадания на участок (𝑥; 𝑥 + 𝛥𝑥): 𝑃(𝑥 < 𝑋 < 𝑥 + 𝛥𝑥) = 𝐹 (𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝐹 (𝑥) 7 Разделим данную вероятность на длину участка и получим среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины участка. Устремив 𝛥𝑥 к нулю, в пределе имеем производную функции распределения 𝐹 (𝑥) 𝐹 (𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝐹 (𝑥) = 𝐹 ′ (𝑥) 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑙𝑖𝑚 Плотностью распределения вероятности называют функцию 𝑓 (𝑥) – первую производную от функции распределения 𝐹 (𝑥). Это ещё один способ задания непрерывной случайной величины. 𝑓(𝑥) = 𝐹 ′ (𝑥) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. 𝑥 𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 −∞ Заметим, что для дискретной случайной величины функция плотности неприменима. Часто функцию плотности называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом, а её график – кривой распределения. Выразим для непрерывной случайной величины вероятность попадания в интервал (𝑎; 𝑏 ). Очевидно, что геометрически она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью абсцисс, а по бокам прямыми 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, другими словами: 𝑏 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ) = ∫ 𝑓 (𝑥) ⅆ𝑥 𝑎 Свойства функции плотности распределения. 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: 𝑓 (𝑥) ≥ 0. 2. Условие нормировки: 8 +∞ ∫ 𝑓 (𝑥) ⅆ𝑥 = 1 −∞ Геометрически это означает, что полная площадь под кривой распределения равна единице. В частности, если все значения случайной 𝑏 величины принадлежат интервалу (𝑎; 𝑏 ), то ∫𝑎 𝑓 (𝑥) ⅆ𝑥 = 1 Числовые характеристики непрерывной случайной величины Для непрерывной случайной величины применяются те же характеристики, что и для дискретной, вычисляемые в данном случае по формулам: Математическое ожидание: +∞ 𝑀(𝑋) = ∫ 𝑥 ⋅ 𝑓 (𝑥) ⅆ𝑥 −∞ Или, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (𝑎; 𝑏 ), то 𝑏 𝑀(𝑋) = ∫ 𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 𝑎 Дисперсия: +∞ 2 𝐷(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝑀(𝑋)) ⋅ 𝑓 (𝑥) ⅆ𝑥 −∞ Или, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (𝑎; 𝑏 ), то 𝑏 𝐷 (𝑋) = ∫(𝑥 − 𝑀(𝑋))2 ⋅ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 𝑎 На практике для вычисления дисперсии часто применяю более удобные формулы: 9 +∞ 𝐷 (𝑋) = ∫ 𝑥 2 ⋅ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 − (𝑀(𝑋))2 −∞ Или, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (𝑎; 𝑏 ), то 𝑏 𝐷(𝑋) = ∫ 𝑥 2 ⋅ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 − (𝑀(𝑋))2 𝑎 Следует заметить, что математическое ожидание и дисперсия существуют не для всех случайных величин, так как соответствующие сумма или интеграл могут быть расходящимися. Среднеквадратическое отклонение для определяется аналогично дискретному случаю: 𝜎(𝑥) = √𝐷(𝑋). 10 непрерывных величин