Случайные величины

Раздел II. Случайные величины 4. Многомерные случайные величины Обычно для описания результатов эксперимента необходимо использовать не одну, а несколько числовых случайных величин, которые в совокупности образуют многомерную (-мерную) случайную величину (случайный вектор) . Одномерные случайные величины , называются компонентами величины . Значением такого случайного вектора является точка n - мерного векторного пространства , . Простейшей многомерной случайной величиной является двумерная случайная величина. В этом частном случае компоненты случайной величины обычно обозначаются символами и , . Значение такой величины удобно рассматривать как точку на координатной плоскости. Закон распределения вероятностей случайной величины можно задать аналитически с помощью функции распределения , значения которой в точке равно вероятности события : . Знания функции распределения достаточно для нахождения вероятностей попадания случайной величины в -мерные параллелепипеды . Правило нахождения таких вероятностей существует, но выглядит сложнее, чем в одномерном случае. Например, для двумерной случайной величины такое правило принимает вид: , (см. Дополнения). Применяя операцию перехода к дополнительному множеству, операции счетного объединения и счетного пересечения множеств, можно из параллелепипедов получить широкий класс борелевских множеств , для которых определены вероятности . Класс борелевских множеств содержит, в частности, все открытые и все замкнутые множества (множество называется открытым, если вместе с любой точкой оно содержит некоторую ее окрестность; замкнутым называется множество, дополнение к которому открыто). Законом распределения вероятностей случайной величины можно называть правило, согласно которому задается множество возможных значений этой случайной величины, и для каждого борелевского множества задается вероятность попадания в это множество. Среди всех случайных величин выделяются два важных класса: дискретные и непрерывные случайные величины. Многомерная (n-мерная) случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно, то есть все значения можно перенумеровать: , , и все вероятности отличны от нуля. Конечно, значения и вероятности вполне определяют закон распределения вероятностей случайной величины . Событие достоверно, кроме того, события попарно несовместны. Применяя аксиому счетной аддитивности вероятности, получим: . Другими словами, как и в одномерном случае, верно равенство . Для практики особенно важен простейший двумерный случай многомерности. Если – дискретная двумерная случайная величина, и множество ее возможных значений конечное, то закон распределения можно задавать с помощью таблицы, в которой указаны возможные значения , случайных величин , и вероятности . Такая таблица изображена на рисунке 8. Может случиться, что какое-либо из чисел равно нулю. Это означает, что событие невозможно, то есть точка на самом деле значением не является. Но реальные значения случайной величины находятся среди точек , поэтому справедливо равенство: . … … … … … … … Рисунок 8. Таблица распределения вероятностей величины Зная закон распределения вероятностей многомерной величины, можно восстановить законы распределения составляющих величин. В случае двумерной дискретной случайной величины верны равенства: , . Для получения закона распределения компоненты надо складывать табличные вероятности в столбцах, а для компоненты суммирование табличных вероятностей надо производить по строкам. ПРИМЕР 1. Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины задан таблицей: Найти значение , восстановить законы распределения величин и . РЕШЕНИЕ. Так как сумма всех вероятностей в таблице должна быть равна единице, то . Законы распределения составляющих и получим, суммируя значения вероятностей таблицы в столбцах и в строках соответственно: –1 1 2 0,2 0,3 0,4 0,1 1 2 3 0,4 0,4 0,2 Случайная величина называется непрерывной (абсолютно непрерывной), если ее распределение вероятностей можно задать с помощью неотрицательной функции , точнее, если вероятность попадания в любой параллелепипед равна интегралу от функции по этому параллелепипеду: . Функция называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины . Как и в одномерном случае должно выполняться равенство: . Связь между функцией распределения вероятностей многомерной непрерывной случайной величины и ее плотностью распределения вероятностей задается формулой: . Кратный интеграл можно записать в форме повторного интеграла: . Предполагая, что в одномерной окрестности точки функция непрерывна при фиксированных значениях и применяя теорему о производной интеграла по переменному верхнему пределу, получим равенство: . Снова и снова записывая последний интеграл в форме повторного, и применяя теорему о производной интеграла по переменному верхнему пределу, получим формулу: . Конкретный пример распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины рассматривается в дополнениях. Комментарии. Аксиоматическая теория Колмогорова распространяется на многомерные случайные величины по аналогии с одномерными случайными величинами (I.4,II.1) без всякого труда. В общем многомерном случае сингулярной случайной величиной называется величина , множество возможных значений которой имеет лебегову меру нуль, но которая не является дискретной случайной величиной. Полезной для понимания многих вероятностных понятий является «механическая» интерпретация закона распределения вероятностей для одномерной, двумерной и трехмерной случайной величины. Представим себе, что единичная масса вещества (кусок пластилина массой 1 кг) распределяется вдоль прямой, по плоскости или по пространству. В результате возникает распределение массы (закон распределения массы вещества). Массу можно распределять кусочками, а можно размазывать по плоскости или деформировать в пространстве непрерывно. Вот и получаются дискретные и непрерывные распределения. При такой интерпретации закона распределения аналогом вероятности попадания случайной величины в некоторое множество служит масса вещества в этом множестве. Приведем практическое обоснование понятия закона распределения вероятностей. Предположим, что случайная величина полностью описывает (моделирует) случайные результаты эксперимента или, во всяком случае, те результаты, которые нас интересуют. В то же время интересующие нас результаты эксперимента, как это, по существу, и предполагалось в предыдущем разделе пособия, могут быть описаны с помощью достаточно полного набора случайных событий. Как связаны между собой эти способы описания одного и того же эксперимента? Пусть – случайное событие, связанное с экспериментом. Будем повторять эксперимент, выделять те из экспериментов, в которых произошло событие , и отмечать соответствующие значения . Естественно предположить, что такие значения «в пределе» заполняют некоторое множество . Поэтому абстрактное событие отождествляется с событием : . Если мы хотим знать «все» об эксперименте с вероятностной точки зрения, то мы должны знать вероятности всех случайных событий, связанных с экспериментом. Точнее, вероятности тех случайных событий, для которых само понятие вероятности имеет смысл (с точки зрения статистического подхода не существует никакой вероятности у «нехорошего» случайного события, относительные частоты которого не желают стабилизироваться при увеличении длин серий экспериментов). Так как событию соответствует подмножество множества значений случайной величины, то мы будем знать «все» об этом эксперименте, если будут заданы вероятности попадания случайной величины в достаточно хорошие (борелевские) подмножества множества ее возможных значений, то есть, если будет задан закон распределения вероятностей. Дополнения. Пусть – двумерная случайная величина. Значение функции распределения вероятностей в точке равно вероятности попадания величины в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке . Как показано на рисунке 9, бесконечный прямоугольник с вершиной в точке может быть представлен в виде объединения прямоугольников , и . Множество и прямоугольник не пересекаются. Поэтому события и несовместны, и вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей: . (1) . Рисунок 9. Определение вероятности попадания двумерной случайной величины в прямоугольник Для любых двух множеств событие заключается в том, что случайная величина принимает значение хотя бы в одном из множеств , другими словами, это событие равно сумме событий и : . А событие состоит в том, что принимает значение, принадлежащее одновременно множеству и множеству . Это событие равно произведению событий и : . Поэтому: , (2) потому что . Из равенств (1), (2) вытекают равенства: . Следовательно, . ПРИМЕР 2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины отлична от нуля только в области и в этой области задана формулой: . Найти значение константы . Определить вероятность попадания случайной величины в прямоугольник. Восстановить законы распределения вероятностей составляющих величин и . РЕШЕНИЕ. Область возможных значений случайной величины совпадает с внутренностью треугольника на рисунке 10: Рис 10. Область значений непрерывной случайной величины Плотность распределения вероятностей имеет вид: . Гипотенуза треугольника является частью прямой линии, заданной уравнением или . Для определения значения используем равенство . Вне области плотность равна нулю, поэтому интеграл по всей плоскости сводится к интегралу по области : . Получается, что , . Вероятность попадания в прямоугольник равна интегралу от плотности по этому прямоугольнику. Но так как вне области плотность обращается в нуль, то интеграл от плотности по всему прямоугольнику сводится к интегралу по пересечению прямоугольника с областью, а это пересечение совпадает с квадратом . Поэтому: . Отметим, опуская доказательство, что компоненты непрерывной случайной величины тоже непрерывны. В двумерном случае формулы для плотностей распределения вероятностей составляющих величин непрерывной случайной величины можно получить, используя разумную аналогию. В формулах для вероятностей компонент дискретной двумерной случайной величины надо заменить суммы интегралами, а вероятности заменить «элементом вероятности» . В результате получим формулы: , . В примере 2 плотность распределения равна нулю при любом значении , если не принадлежит интервалу . Кроме того плотность равна нулю при любом значении , если только не принадлежит интервалу . Если , то справедливы равенства: . Для того чтобы правильно расставить пределы интегрирования, уравнение запишем в виде . При значении получим: . Окончательные формулы для плотностей распределения вероятностей компонент случайной величины имеют вид: , . 5. Функции от случайных величин, математическое ожидание функции Пусть – набор случайных величин, связанных с данным экспериментом, – обычная числовая функция от n аргументов . Одномерная случайная величина называется функцией от случайных величин , если ее значение в конкретном эксперименте совпадает со значением функции в точке , которая является значением случайной величины в том же эксперименте. Функции от случайных величин часто встречаются в практических задачах. Например, в физическом эксперименте обычно измеряется не то, что интересует экспериментатора, а то, что можно измерить с помощью имеющихся приборов. А значение величины, которая представляет интерес, вычисляется по некоторой «формуле», то есть эта величина является функцией от измеряемых величин . При измерении неизбежны случайные ошибки измерения, потому что абсолютно точных измерительных приборов и методов измерения не существует. Да и сами измеряемые величины могут обладать случайной внутренней природой. Поэтому результаты измерения следует рассматривать как случайные величины , а вычисляемую величину – как функцию от случайных величин. Если известен совместный закон распределения составляющих величин , то можно найти закон распределения функции от этих случайных величин. В общем случае, вероятность попадания случайной величины на полуинтервал должна вычисляться по правилу: , где множество является прообразом полуинтервала по отношению к отображению , , заданному функцией , . А значение функции распределения вероятностей случайной величины в точке находится по правилу: . Для того чтобы сделать проведенные рассуждения вполне строгими, необходимо наложить дополнительные условия на функцию . Она должна быть определена на множестве возможных значений случайной величины и измерима по Борелю. Последнее означает, что должны быть определены, по меньшей мере, все вероятности , то есть все множества вида должны быть борелевскими. Практическое восстановление закона распределения вероятностей функции в общем случае является непростой задачей. Но для определения математического ожидания функции совсем необязательно находить закон распределения вероятностей случайной величины . Если – дискретная случайная величина, – ее возможные значения, , – функция, определенная во всех точках и такая, что ряд сходится абсолютно, то справедлива формула: . Действительно, пусть – возможные значения случайной величины , , , . Тогда и верны равенства: . В частности, если – двумерная дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей задан с помощью таблицы распределения, а – функция двух переменных, то формула для математического ожидания функции случайных величин принимает вид: . Заменяя дискретные значения непрерывными, суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности или , получим формулы для математического ожидания функции одной непрерывной случайной величины и функции двумерной величины : и . В общем случае математическое ожидание функции непрерывной -мерной случайной величины находится по формуле: . Замечание. В непрерывном случае необходимым условием существования математического ожидания функции случайных величин является абсолютная сходимость несобственных интегралов. Другими словами, в общем случае следует считать, что математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда существует математическое ожидание модуля случайной величины. Дополнения. ПРИМЕР 1. Закон распределения вероятностей одномерной дискретной случайной величины задан таблицей: 0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 0,1 Найти закон распределения случайной величины , представить его в форме таблицы. Найти функцию распределения вероятностей случайной величины , записать ее аналитически. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины . РЕШЕНИЕ. Значениями функции в точках являются числа . Значение принимается в точках , поэтому справедливы равенства: . Значение 1 принимается в точках , поэтому . Значение функция принимает в точке , поэтому Таблица распределения вероятностей случайной величины имеет вид: 0,2 0,5 0,3 Функция распределения вероятностей величины имеет вид: . .