Случайные величины

ЛЕКЦИЯ № 1 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ  Случайной величиной называется переменная величина, числовые значения которой определяются случайными исходами опыта (событиями), образующими полную группу. Сумма вероятностей этих событий равна единице. n  рi  1 i 1  Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z,…, а их значения строчными x, y, z,… Случайная величина Дискретная Непрерывная Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.  Для дискретной СВ: f ( xi ) = P ( X = xi ) Закон распределения может иметь разные формы: в виде таблицы, графика или функции распределения.  Дискретные и непрерывные случайные величины отличаются формой задания их законов распределения.  Функцией распределения СВ X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее, чем x: F(x) = Р( Х < x) . Свойства функции распределения 1. F(x) – неотрицательна и ограничена 0  F ( x)  1, x (,  ). 2. F(x) – неубывающая функция, т.е. при F ( x1 )  F ( x2 ). x1  x 2 3. F ()  0, F ()  1, в частности, если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F (а)  0, F (b)  1. 4. P(a  X  b)  F (b)  F (a). Литература     Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: 1995 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач. М: 1995 Косенкова С. А., Ясеновская И. В. Теория вероятностей (случайные величины), 2000. Кравченко Е.Н., Ясеновская И.В. Теория вероятностей. Сборник задач, 2013 ЛЕКЦИЯ № 2 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДСВ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, СВОЙСТВА 3. ДИСПЕРСИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА ЕГО Определение. Математическим ожиданием М(X) (или mx) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: M ( X )  x1 p1  x2 p2    xn pn или коротко n M ( X )   xi pi . i 1 При этом, как ранее указывалось, n  рi  1. i 1 Замечание. Размерность математического совпадает с размерностью изучаемой СВ. ожидания Свойства математического ожидания Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: М(С) = С, где С = Const. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(С ∙ Х) = С ∙ М(Х), где С = Const. Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) конечного числа любых случайных величин равно суммы (разности) их математических ожиданий: М(Х1 ± Х2 ± … ± Хn) = М(Х1) ± М(Х2) ± … ± М(Хn). Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(Х1 ∙ Х2 ∙ … ∙ Хn) = М(Х1) ∙ М(Х2) ∙ … ∙ М(Хn). Определение. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания mx: D( X )  M ( X  m x )2 . (1) Замечание. В качестве числа, определяющего степень разброса случайной величины Х, нельзя взять просто отклонения (без квадрата) случайной величины от ее математического ожидания mx, то есть М(Х-mx), так как эта величина всегда равна нулю: M ( X  mx )  М ( X )  М (mx )  mx  mx  0 Вторая формула для нахождения дисперсии дискретной случайной величины Х D( X )  M ( X 2 )  m x2 . (2) Литература     Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: 1995 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач. М: 1995 Косенкова С. А., Ясеновская И. В. Теория вероятностей (случайные величины), 2000. Кравченко Е.Н., Ясеновская И.В. Теория вероятностей. Сборник задач, 2013 ЛЕКЦИЯ № 3 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ 1.Равномерный закон 2.Биноминальный закон 3.Закон Пуассона 1. Равномерный закон распределения Теорема. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной дискретной случайной величины вычисляются по 2 n n 2  n  формулам  xi  xi   xi   i 1  i  1 i  1 M (X )  ; D( X )   n n n      2. Биноминальный закон распределения (закон Бернулли) Закон распределения случайной величины Х, которая может принимать значения k = 0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли Pn (k )  Cnk pk q n k , называется биноминальным законом (или законом Бернулли). Случайная величина Х – число появлений события А при n независимых испытаниях, производимых в одинаковых условиях (схема Бернулли). Закон назван «биноминальным» потому, что выражение Cnk p k q nk можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: (q  p)n  q n  Cn1 p1q n1  Cn2 p 2q n2  ... Cnk p k q nk  ... p n . 3. Закон Пуассона Закон распределения случайной величины Х, которая может принимать значения k = 0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона a k a Pk  e k! при a  np, называется законом Пуассона. Случайная величина Х – число появлений события А при n независимых испытаниях, производимых в одинаковых условиях (схема Бернулли). Литература     Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: 1995 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач. М: 1995 Косенкова С. А., Ясеновская И. В. Теория вероятностей (случайные величины), 2000. Кравченко Е.Н., Ясеновская И.В. Теория вероятностей. Сборник задач, 2013