Случайные события

ГЛАВА 1.СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1.1.Алгебра событий Фундаментальным понятием математической логики является высказывание, под которым здесь понимаем простое грамматическое предложение. Одно высказывание или несколько высказываний, связанных грамматическими союзами будем называть событием. Таким образом, события могут быть простыми или сложными, в соответствии с грамматическими предложениями. Каждое простое или сложное событие можно рассматривать как утверждение, которое либо произойдет (синонимы: наступит, имеет место) или не произойдет, в некоторых задачах в случае наступления события будем ставить ему в соответствие число 1, если событие не наступает, обозначим его как 0. При этом никаких промежуточных чисел, так как чисел меньше нуля или больше единицы не рассматриваем. Для обозначения событий используются латинские буквы А, В, С,... или те же буквы с индексами. С точки зрения наступления или не наступления события каждое событие принимает только два значения 0 или 1. Наступление или не наступление события зависит от некоторых обстоятельств (исходов). Вводится понятие исходов, благоприятствующих событию из всего пространства исходов. Два события будем называть равными, если множество исходов, благоприятствующих каждому событию, совпадают. Равенство событий А =В определяется не словесным содержанием грамматических предложений, а совпадением обстоятельств, в результате которых события А и В одновременно наступают. События классифицируются на : достоверные и невозможные, зависимые и независимые, совместные и несовместные в соответствии с грамматическим смыслом приводимых прилагательных. Так при составлении сложных грамматических предложений ограничимся рассмотрением союзов "и", "или" и отрицания "не". Каждое из них определяется как алгебраическая операция над событиями. Суммой двух событий А +В называется такое третье событие, которое происходит тогда и только тогда, когда имеет место или событие А, или событие В, или оба события А и В вместе. Грамматически речь идет о двух утверждениях, связанных между собой союзом "или" (синоним "либо"). Следует учесть, что логический смысл союза "или" в алгебре логики не совпадает с бытовым смыслом этого союза. В алгебре логики утверждение "купить молоко или кефир" означает купить или молоко, или кефир, или то и другое вместе. В алгебре логики, использующей только 0 или 1 (Булева алгебра), сумма двух событий определяется табл. 1.1. Произведением двух событий АВ называется такое третье событие, которое происходит тогда и только тогда, когда имеет место событие А , и событие В вместе. Грамматически речь идет о двух утверждениях, связанных союзом "и". Так, если событие А - "есть радиовызов", событие В - "пилот слышит радиовызов", то событие С = АВ означает "радиовызов есть и пилот слышит его". В алгебре Буля операции умножения двух событий определяется табл.1.2. Отрицанием события А называется противоположное событие Ᾱ, которое наступает тогда, когда не наступает событие А, и событие Ᾱ не наступает тогда, когда наступает событие А. Грамматически противоположное событие определяется частицей "не". В алгебре Буля противоположное событие определяется табл.1.3. Табл.1.1 Табл.1.2. Табл.1.3. Два события А и В могут быть связаны между собой союзом "если". Новое событие А/В означает наступление события А, если событие В наступило. В теории вероятностей для связи событий используются только союзы "или", "и", "если" и отрицание "не". При решении задач этого и последующих параграфов используется понятие полной группы событий случайного эксперимента. Полной группой событий случайного эксперимента называют такие события Н1, Н2,...,Нn, которые удовлетворяют условиям: Hi*Hj= О, i ≠ j, (1.1) H1 + H2 + ... + Hn = D, (1.2) Где О - невозможное событие, D - достоверное событие. Условие (1) означает, что два разных события из полной группы событий в результате одного эксперимента произойти могут. В то же время согласно условию (1.2) одно из событий H1, H2, ..., Hn обязательно произойдет. Для некоторых случайных экспериментов вводится понятие элементарных исходов для элементарных событий. В частности это такие события, которые не раскладываются на более элементарные события. Если случайным экспериментом является однократное подбрасывание игральной кости, то элементарными событиями будут появление конкретной цифры от 1 до 6. Такие 6 элементарных событий составляют полную группу событий случайного эксперимента. Решение типовых примеров ПРИМЕР 1. Пусть события А1 и А2 означают попадание в мишень соответственно при первом и втором выстрелах; тогда события Ᾱ1 и Ᾱ2 - промахи при соответствующих выстрелах. Выразить через А1 ,А2, Ᾱ1, Ᾱ2 следующие события: а) В - равно одно попадание в мишень при двух выстрелах, б) С - два попадания при двух выстрелах, в) D - хотя бы одно попадание в мишень при двух выстрелах, г) Е - ни одного попадания в мишень при двух выстрелах. РЕШЕНИЕ. а) Событие В может произойти в случае попадания в мишень при I выстреле (событие А1) и промаха при II выстреле (событие Ᾱ2 ) или - промаха при I выстреле (событие Ᾱ1) и попадания при II выстреле (событие А2), то есть в случае совмещения событий (А1 и Ᾱ2) или (А2 и Ᾱ1 ). Следовательно: В=А1 Ᾱ2 + А2 Ᾱ1. б)событие С имеет место в случае попадания в мишень при I и II выстрелах (совмещение событий А1 и А2), то есть С=А1А2. в)событие D означает, что имеет место либо дно попадание в мишень (событие В), либо два (событие С). Таким образом D = B + C = A1 Ᾱ2 + A2 Ᾱ1 + A1A2. г) Событие Е означает совмещение промаха при I и II выстрелах, то есть Е = А1 Ᾱ2. ПРИМЕР 2. Участок электрической цепи имеет вид, изображенный на рис.1. Разрыв цепи (событие А) может произойти вследствие выхода из строя элементов I , II, III (соответственно, событий А1, А2, А3). Выразить событие А через А1, А2, А3. Рис. 1.1 РЕШЕНИЕ. Здесь событие А может произойти в одном из трех случаев: А1, А2, А3 - выход из строя всех элементов I, II, III одновременно: А1, Ᾱ2, А3 - выход из строя только I и III. Таким образом, А = А1А2А3 + А1Ᾱ2А3 + А1А2Ᾱ3. Можно рассуждать и по-другому: разрыв цепи произойдет либо при одновременном выходе I и II элементов (событие А1А2), либо если элемент II работает, при выходе из строя I и III элементов (событие Ᾱ2А1А3). Значит А = А1А2 + А1Ᾱ2А3 = А1(А2 + Ᾱ2А3). Это выражение для А можно получить из первого чисто алгебраически: А = А1А2А3 + А1А2Ᾱ3 + А1Ᾱ2А3 = А1А2(А3 + Ᾱ3) + А1Ᾱ2А3 = А1А2 + А1Ᾱ2А3 = А1(А2 + Ᾱ2А3). ПРИМЕР 3. Случайный эксперимент заключается в подбрасывании монеты три раза подряд. Элементарными событиями являются события вида ООR: первый раз выпала решка, второй и третий раз выпали орлы. а) Построить полную группу событий случайного эксперимента . б) С помощью алгебраических операций выразить через элементарные события следующие события: А: выпало не менее двух орлов. РЕШЕНИЕ. Полная группа событий строится на основе сложения чисел в двоичной системе: буква О играет роль нуля, буква R - роль единицы. Получаем набор событий: OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR. Эти события составляют полную группу, так как в результате случайного эксперимента одно из этих событий произойдет и два события вместе произойти не могут. б) Событие А означает, что выпадет два или более орла. Таким образом, имеем операцию сложения: А = OOO + OOR + ROO + ORO. Задачи для упражнений 1. Опыт - три выстрела по мишени. Являются ли следующие события достоверными: а) А1 - выбито четное количество очков; б) А2 - выбито нечетное количество очков; в) А3 - выбито неотрицательное количество очков. 2. Опыт - бросание трех игральных костей. Являются ли следующие события невозможными: а) В1 - появление более двух очков; б) В2 - появление двадцати очков; в) В3 - появление менее трех очков; 3. Опыт - два выстрела по мишени. Являются ли случайными следующие события: а) С1 - ни одного попадания; б) С2 - три попадания; в) С3 - два попадания; 4. Образуют ли полную группу следующие множества событий: а) опыт - студент сдает экзамен; события: А1 - получил "отлично"; А2 - получил "хорошо"; А3 - получил "удовлетворительно"; б) опыт - два выстрела по мишени; события: В0 - ни одного попадания; В1 - одно попадание; В2 - два попадания; в) опыт - два выстрела по мишени; события: С1 - хотя бы один промах; С2 - хотя бы одно попадание; 5. Являются ли несовместимыми следующие события: а) опыт - три выстрела по мишени; события: А0 - ни одного попадания; А1 - одно попадание; А2 - два попадания; А3 - три попадания; б) опыт - три выстрела по мишени; события: В1 - два попадания; В2 - хотя бы один промах. 6. Являются ли совместимыми следующие события: а) опыт - бросание игральной кости; события: Е1 - появление не менее двух очков; Е2 - появление более пяти очков; Е3 - появление четного числа очков; б) опыт - бросание игральной кости; события: F­­1 - появление не менее четырех очков; F2 - появление четырех очков. 7. По мишени производится три выстрела. Рассмотрим элементарные события: А1 - попадание при 1-м выстреле (1 = 1, 2, 3). Ᾱ1 - промах при 1-м - выстреле. Выразить через А1 и Ᾱ1 следующие события: а) А - все три попадания; б) В - ровно два попадания; в) С - все три промаха; г) D - хотя бы одно попадание; д) E - более одного попадания; е) F - не более одного попадания. 8. Монета подбрасывается три раза. А, В, С - выпадение орла при I, II, III подбрасывании. Выразить через события А, В, С: а) E - орел выпал ровно один раз; б) F - ни одного раза не выпала решка; в) G - орел выпал не менее двух раз подряд. Ответ: в) G = ABC + BC 9. Есть три патрона. Стреляют до первого попадания в мишень. Аk - попадание в мишень про k-м выстреле (k=1, 2, 3). Найти следующие события: а) А - мишень поражена; б) В - не все патроны израсходованы; в) С - израсходованы все патроны. Ответ: С = Ᾱ1 Ᾱ2. 10. Два стрелка стреляют по одному разу по мишени. Пусть событие А - мишень поразил I стрелок, В - мишень поразил II стрелок. Выразить через А и В следующие события: а) С – в мишени две пробоины; б) D - в мишени хотя бы одна пробоина; в) F - в мишени одна пробоина. Ответ: D = A + AB; F = AB + AB. 11. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Пусть события: А1 - в течение часа не потребует внимания 1-й станок (i = 1, 2, 3). Найти события: а) В - все три станка не потребуют внимания; б) С - все три станка потребуют внимания; в) D - какой-нибудь один станок потребует внимания. Ответ:D = А1А2Ᾱ3 + А1Ᾱ2A3 + Ᾱ1А2A3. 12. Дана электрическая цепь (рис 1.2). Событие Аk­ - k-й ключ замкнут. Выразить событие Е - сигнал проходит через цепь, с помощью событий Аk: Рис.1.2 Ответ: а) Е = А1 (А2 + А3) б) Е = (А1 + А2)(А3 + А4) в) Е = А1(А2А3 + А4) 13. Радист три раза вызывает корреспондента. События А1, А2, А3 - принят первый, второй, третий вызов. Событие А - корреспондент услышит радиста. Найти А. 14.Цепь, состоящая из трех ламп Л1, Л2, Л3, подключается к источнику напряжения (рис 1.3). Пусть событие Ак (к=1, 2, 3) заключается в исправности лампы Лк, событие В - в наличии тока в цепи. Выразить В через А1, А2, А3. Рис 1.3 Ответ: в) В = А3 + А1А2. 15. Прибор состоит из трех блоков. Пусть событие Вк (к=1,2,3) означает исправность к-го блока, А - неисправность прибора. Выразить событие А через событие В­к , если прибор работает нормально. Ответ: А = В1В2В3. 16. В урне три белых и два черных шара. Случайный эксперимент - последовательное (i = 1,2,3) извлечение шаров до появления первого белого шара. События А­i - появление белого шара, Bi - появление черного шара при i-м извлечении шара. Найти событие А - появление белого шара в результате случайного эксперимента. Ответ: А = А1+В1А2+В1В2В3. 17. На цель направляется четыре ракеты. Событие Аi (i = 1,2,3,4) - попадание в цель i-й ракеты. Найти событие В - попадание в цель хотя бы одной ракеты. Ответ: В = Ᾱ1 Ᾱ2 Ᾱ3 Ᾱ4. 18. Поражение двухмоторного самолета может произойти либо в случае поражения сразу двух двигателей (поражение одного двигателя событие А1 и А2), либо при поражении кабины пилотов (событие К), либо при поражении топливного бака (событие Т). Найти событие А - поражение самолета. Ответ: А = А1А2 + К + Т. 1.2. Элементы комбинаторики Комбинаторика - это раздел математики, в котором рассматриваются конечные множества элементов и различные комбинации выборки элементов из этих множеств. Правило умножения. Если из некоторого множества элементов элемент "а" может быть выбран m способами, после выборки элемента "а" элемент "b" может быть выбран n способами, то упорядоченная пара (а,b) может быть выбрана mn способами. Перестановки из n элементов называются такие комбинации, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов. Речь идет об очередях, которые можно создать из n поименованных элементов. Число перестановок из n элементов обозначается Рn и вычисляется по формуле Рn = n!, где n! = n*(n - 1)*...*2*1. Вывод формулы (1.3) осуществляется на основе правила умножения: на первое место в очереди претендует n элементов, на второе - (после того как первое место занято) претендует (n - 1) элемент и так далее. Размещениями из n элементов по m элементов в каждом называются такие комбинации, из которых каждая содержит m элементов из данных n элементов, отличающихся друг от друга либо порядком их следования, либо самими элементами. Число замещений из n элементов по m в каждом обозначается через и вычисляется по формуле = n*(n - 1)*(n - 2)*...*(n - m + 1) или = Наряду с комбинациями, данными во втором определении, встречаются такие, где элементы повторяются, то есть мы имеем размещения с повторениями, которые обозначаются Аn и вычисляются по формуле = nm Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие комбинации, из которых каждая состоит из m элементов, из данных n элементов, отличающихся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m элементов в каждом обозначается через и вычисляется по формуле = или = Принято считать 0!=1. Кроме того, из свойств сочетаний имеем = , = 1, = 1, = n. Решение типовых примеров ПРИМЕР 1. Из цифр 1, 2, 3 составить все возможные трехзначные числа с не повторяющимися цифрами. РЕШЕНИЕ. Всего таких чисел будет шесть: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Составляя каждое из этих чисел, мы устанавливаем в нем определенный порядок, то есть эти числа отличаются лишь порядком следования. Имеем Р3 = 3! = 6. ПРИМЕР 2. Из цифр 1, 2, 3, 4 составить все возможные двузначные числа с не повторяющимися цифрами. РЕШЕНИЕ. Замечаем, что искомые числа отличаются либо порядком следования цифр (элементов), либо самими цифрами (хотя бы одной цифрой): 12, 21, 13, 31, 14, 23, 41, 32, 24, 42, 34, 43. Следовательно мы имеем размещение из четырех элементов по два, то есть = 4*3 = 12. ПРИМЕР 3. Составить из пяти курсантов все возможные наряды из трех человек в каждом. РЕШЕНИЕ. При составлении нарядов мы должны исходить из того, что они должны отличаться хотя бы одним курсантом (порядок выбора курсантов в данном случае несущественен). Следовательно, мы имеем число сочетаний из пяти по три, то есть = = 10. ПРИМЕР 4. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить с помощью цифр 1 и 2 ? РЕШЕНИЕ. Мы имеем дело с размещениями из двух элементов четыре с повторениями, то есть Ã2 = 24 = 16. ПРИМЕР 5. В партии из 20 деталей 16 стандартных. Наудачу берутся 6 деталей. Сколькими способами можно выбрать 4 стандартные и 2 нестандартные детали? РЕШЕНИЕ. Так как порядок выбора стандартных и нестандартных деталей не имеет значения, то 4 детали из 16 стандартных можно выбрать способами, а 2 детали из 20 - 16 = 4 нестандартных деталей можно выбрать способами. Следовательно, искомое число способов выбора 4 стандартных и 2 нестандартных деталей равно: = = = 10920. ПРИМЕР 6. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек? РЕШЕНИЕ. Поля для белых шашек можно выбрать способами. После этого остается 20 полей, из которых можно способами выбрать поля для черных шашек. Всего по правилу умножения имеем . Задачи для упражнений 1. В столовой имеется 4 первых блюда и 6 вторых. Сколькими способами можно составить из них обед? Ответ:24. 2.Из 33 букв русского алфавита составляются слова из четырех букв так, что соседние буквы в слове различны. Сколько таких слов можно составить (допускаются и слова, не имеющие в русском языке смысла)? Ответ:1081344. 3. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в 4-местной каюте. Ответ:24. 4.Сколькими способами пять курсантов в наряде могут распределить между собой пять различных обязанностей? Ответ:120. 5.10 книг - 7 книг различных авторов и трехтомник одного автора – помещены на одной книжной полке. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом? Ответ:3!*8!. 6.Имеется 5 флагов различных цветов. Сколько различных сигналов можно сделать, поднимая по три флага в любом порядке? Ответ:60. 7.Сколькими способами собрание из 30 человек может выбрать рабочий президиум в составе председателя, заместителя, секретаря? Ответ:24360. 8.В классе 20 мальчиков и 20 девочек. Для участия в концерте нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из мальчика и девочки). Сколькими способами это можно сделать (при условии, что все умеют петь, танцевать и выполнять гимнастические упражнения)? Ответ:46785600. 9.15 занумерованных бильярдных шаров расположены по шести лузам. Сколькими способами это можно сделать? Ответ:615. 10.Из группы в 30 человек в течение часа могут быть опрошены 4 различных студента. Сколько всего возможно комбинаций? Ответ:27405. 11.На объект ПВО налетают 10 самолетов противника, из которых 4 истребителя. Группировкой ЗРВ сбито 7 самолетов. Сколько комбинаций сбитых самолетов может быть, если среди них 2 истребителя? Ответ:36. 12.Стрелок имеет 20 патронов, из них два с осечкой. Наудачу берут 3 патрона, один из них с осечкой. Сколько таких исходов может быть? Ответ:. 13.На объект ПВО налетают 8 самолетов противника, из них два с ядерным вооружением. Группировкой ЗРВ сбито 4 самолета, среди них один с ядерным вооружением. Сколько возможно таких комбинаций? Ответ:. 14.Группа учащихся из 7 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего потребовалось фотокарточек? Ответ:30. 15.На олимпиаде участвуют 10 студентов, борьба идет за I, II, III места. Сколькими способами эти места могут быть распределены между участниками? Ответ:720. 16.Сколько различных пятизначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4? Ответ:1024. 17.Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Ответ: 27216. 18.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 если: а) цифры не могут повторяться; б) цифры могут повторяться; в) числа должны быть четными ( цифры могут повторяться); г) число должно делиться на 5 ( цифры не могут повторяться). Ответ: а) 48 ; б) 100 ; в) 60 ; г) 12. 1.3.Нахождение вероятности события Если результат можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместимы и равно возможны, вероятность события А равна отношению числа m, благоприятствующему этому событию исходов опыта, к общему числу n всех возможных исходов, т.е. Р (А) = Свойства вероятности 1. 0 ≤ Р(А) ≤ 1. 2. Р(А) = 1 - Р(Ᾱ). Отношение числа появления события А N(A) к общему числу произведенных испытаний N называется частотой этого события, т.е. W(A) = Геометрическая вероятность При решении практических задач нахождение вероятности сводится к нахождению отношения геометрических мер - площадей, объемов, величин углов и т.д., т.е. Р(А) = , где мера Ma и мера N - соответственно меры благоприятствующего и общего числа исходов. Вероятность, определяемая таким образом, называется геометрической. Решение типовых примеров ПРИМЕР 1. Произведено 4 пуска зенитных управляемых ракет по уголковому отражателю. Из них 3 ракеты взорвались вблизи уголкового отражателя. Чему равна частота подрыва ракеты? УКАЗАНИЕ. Анализ и решение задач, связанных с частотой события, можно выполнить по следующей схеме: 1. Сформулируйте событие, частоту наступления которого необходимо найти. 2. Подсчитайте число произведенных испытаний (N). 3. Подсчитайте, сколько раз наступило событие [N(A)]. 4. Вычислите работу этого события. РЕШЕНИЕ. Обозначим через А событие, состоящее в подрыве ЗУР при запуске их по уголковому отражателю. Общее число запусков N = 4. Число запусков N(A), в которых произошло событие А, равно 3. Следовательно, W(A) = = = 0,75. ПРИМЕР 2. При стрельбе роты зенитных пулеметов по конус-мишени, буксируемой самолетом, получено 3 попадания. Сколько патронов израсходовала батарея, если частность попадания равна 0,002? РЕШЕНИЕ. Пусть событие А - попадание в конус-мишень при стрельбе из зенитных пулеметов; тогда W(A) = 0,002. Число запусков N(A), в которых произошло событие А, равно 3. Тогда общее число израсходованных патронов N = = = 150 шт. ПРИМЕР 3. В любые моменты времени промежутка Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность по времени между этими сигналами будет меньше τ. Определить вероятность того, что приемник будет забит. УКАЗАНИЕ. При решении многих практических задач нахождение вероятности сводится к нахождению отношения геометрических мер площадей, объемов, величин углов, весов, длин и т.д., т.е. P(A) = , где мера m и мера n - соответственно меры благоприятствующего и общего числа исходов. РЕШЕНИЕ. Обозначим событие А - приемник забит. Пусть х и у - моменты поступления сигналов в приемник. Областью возможных значений х , у является квадрат площадью Т2 = мера n. Приемник будет забит, если |x - y| < τ (рис 1.4). Данная область лежит между прямыми х-у=τ и х –у =- τ. Ее площадь, т.е. мера mSБ = T2 - (T- τ) (SБ - размер области, попадание в которую благоприятствует событию А). Следовательно, искомая вероятность будет Р(А) = = = 1 - (1 - )2. у Т τ τ Т х Рис.1.4. ПРИМЕР 4. Из 35 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью целых чисел от 1 до 35, наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число кратное трем. УКАЗАНИЕ. Типовые задачи, в которых применяется классическое определение вероятности, могут быть выполнены по следующей схеме. 1. Уясните, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задачи. 2. Выясните, являются ли исходы испытания несовместимыми и равновероятными. 3. Подсчитайте число всех возможных исходов испытания (N). 4. Сформулируйте и обозначьте событие, вероятность наступления которого необходимо найти (А). 5. Подсчитайте число исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию (N(A)). 6. По формуле Р(А) = вычислите вероятность появления рассматриваемого события. РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в том, что извлекается один билет. Т.к. того, они несовместимы. Число возможных исходов N=35. Событие А - билет берется наудачу, то все исходы испытания равновероятны и, кроме номер взятого билета кратен 3. этому событию благоприятствует 11 исходов, т.е. N(A) =11. P(A) = = . ПРИМЕР 5. В партии N из изделий M - бракованные. Из партии выбирается наугад К изделий. Определить вероятность того, что среди этих К изделий будет ровно L бракованных. РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в том, что из партии N изделий наугад выбирается К штук, т.е. все исходы испытания равновероятны и несовместимы. Число возможных способов взять К изделий из N равно n = . Событие А - среди К изделий ровно L бракованные. Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа М бракованных изделий взято L (это можно сделать способами), а остальные К - L изделий не бракованные, т.е. они взяты из общего числа N - M (количество способов равно ). Следовательно, m = . Тогда искомая вероятность будет Р(А) = . Задачи для упражнений 1. Определить частоту промаха, если при стрельбе из миномета по цели из 24 выстрелов получено 7 попаданий. Ответ: 17/24. 2. В партии из 100 деталей ОТК обнаружил 8 нестандартных деталей. Чему равна частота появления нестандартных деталей. Ответ: 0,08. 3. При стрельбе двадцатью патронами была получена частота попаданий 4/5. Определить число промахов. Ответ: 4 промаха. 4. Стреляя ночью по бегущей фигуре, автоматчик получил частоту попаданий в 3 раза меньшую, чем при стрельбе в тех же условиях днем. Определить число попаданий в цель ночью, если частота попаданий при стрельбе днем была 2/3 и оба раза израсходовано 18 патронов. Ответ: 4 попадания. 5. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди них один выигрыш в 50 руб., пять выигрышей по 20 руб., двадцать выигрышей по 10 руб. и пятьдесят выигрышей по 5 руб. Найти вероятность: а) выиграть не менее 10 руб. б) какого-либо выигрыша. Ответ: а) 0,026; б) 0,076. 6. Стрелок имеет 20 патронов, из них два с осечкой. Какова вероятность того, что: 1) взятый патрон, окажется с осечкой. 2) взятые наудачу два патрона окажутся с осечкой. Ответ: 1) 0,1; 2) 1/190. 7. Слово "керамит" состоит из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются и из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность того, что 4 карточки в порядке выхода составят слово "река". Ответ: 1/840. 8. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 деталей 2 окажутся нестандартными. Ответ: 0,08. 9. На объект ПВО налетают восемь самолетов противника, из них два с ядерным вооружением. Группировкой ЗРВ сбито четыре самолета. Найти вероятность того, что среди сбитых самолетов будет хотя бы один с ядерным вооружением. Ответ: 0,786. 10. В квадрат вписан круг. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, окажется внутри круга. Ответ: π/4. 11. В течение промежутка времени от 11 ч. до 11 ч. 30 мин. должен последовать сигнал. Какова вероятность того, что сигнал пройдет в последние 10 минут указанного промежутка времени (момент сигнала случаен). Ответ: 1/3. 12. Имеется магнитофонная лента длины l=200 м, на обеих сторонах которой записаны сообщения: на одной стороне сообщение длины l1 = 30 м, на другой - l2 = 50 м. Местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить участок длины l0 = 10 м, начинающийся на расстоянии 80 м от начала ленты. Найти вероятность следующих событий: А1 - ни та, ни другая записи не повреждены; А2 - первая запись повреждена, вторая - нет; А3 - вторая запись повреждена, первая - нет; А4 - обе записи повреждены. Ответ: Р(А1)=0,474; Р(А2)=0,259; Р(А3)=0,173; Р(А4)=0,094. 13. В группе 25 курсантов, из них 5 отличников. Наугад выбирается 7 курсантов. Какова вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 отличника. Ответ:. 14. Бомбы, сбрасываемые с самолета распределяются равномерно по площади, равной 2000 м2. Какова вероятность попасть в КП, если последний находится на участке бомбометания и представляет собой квадрат со стороной 10 м. Ответ: 0,05. 15.При стрельбе по конус-мишени, буксируемой самолетом, получено два попадания. Сколько снарядов израсходовано батареей, если частота попадания равна 0,016? Ответ: 125 снарядов. 16.В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того , что они окажутся разного цвета? Ответ: 9/13. 17.10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в три пакета с равным количеством фруктов. Найти вероятность событий: а) в каждом пакете по 1 груше; б) в случайном выбранном пакете нет груш. Ответ:а) 49/1140 ; б) 26/95. 1.4. Теоремы сложения и умножения 1) Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В). 2) Вероятность суммы двух совместимых событий определяется по формуле Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). 3) Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже наступило. 4) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть Р(АВ) = Р(А)Р(В). 5) Вероятность произведения двух зависимых событий вычисляется по формуле Р(АВ) = Р(А)Р(В/А). Решение типовых примеров УКАЗАНИЕ. Анализ и решение задач, включенных в данный параграф, можно выполнять по следующей схеме: 1.Уяснить, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание. 2.Обозначаем буквами события, рассматриваемые в условии задачи. 3.С помощью введенных обозначений выражаем событие, вероятность наступления которого необходимо найти. 4.Если требуется найти вероятность суммы событий, выясняем совместны или несовместны рассматриваемые события. Если требуется найти вероятность произведения событий, выясняем, зависимы или независимы рассматриваемые события. 5. Выбираем соответствующую условию задачи формулу и выполняем необходимые вычисления. ПРИМЕР 1. Стрелок ведет огонь по цели, движущейся на него. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4 и увеличивается на 0,1 при каждом последующем выстреле. Какова вероятность получить два попадания при трех независимых выстрелах? РЕШЕНИЕ. Случайный эксперимент состоит в том, что производится три выстрела по цели. Пусть событие А - два попадания при трех выстрелах. Тогда события А1, А2, А3 - попадания в цель соответственно при первом, втором и третьем выстрелах. События Ᾱ1, Ᾱ2, Ᾱ3 - соответствующие промахи. Выразить событие А, вероятность наступления которого надо найти, через введеные события. А = А1А2 Ᾱ3 + А1 Ᾱ2А3 + Ᾱ1А2А3. Каждое слагаемое является несовместным событием, а события А1, А2, А3, Ᾱ1, Ᾱ2, Ᾱ3 - независимы. Тогда Р(А) = Р(А1)Р(А2)Р(Ᾱ3) + Р(А1)Р(Ᾱ2)Р(А3) + Р(Ᾱ1)Р(А2)Р(А3). Так как Р(А1) = 0,4; Р(А2) = 0,5; Р(А3) = 0,6 , то Р(Ᾱ1) = 0,6; Р(Ᾱ2) = 0,5; Р(Ᾱ3) = 0,4 , тогда Р(А) = 0,38. ПРИМЕР 2. При разрыве ЗУР у двух близколетящих самолетов могут быть поражены оба самолета или один из них. Вероятность поражения первого самолета 0,5 . второго - 0,6. Поражение одного из самолетов не влияет на возможность поражения другого. Найти вероятность того, что будет поврежден один из самолетов. РЕШЕНИЕ. Рассмотрим события: А - поражение первого самолета; В - поражение второго самолета; С - поражение одного из самолетов. Тогда С = А + В. Так как при разрыве одной ЗУР события А и В совместны, то Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,5 + 0,6 - 0,5*0,6 = 0,8. ПРИМЕР 3. Донесение передается на промежуточный узел по радио, а затем в штаб по телефону. Вероятность искажений при передаче по радио равна 0,35 , при передаче по телефону - 0,2. Определить вероятность неискаженной передачи донесения. РЕШЕНИЕ. Введем обозначения событий: А - неискаженная передача донесения; В - неискаженная передача донесения по радио; С - неискаженная передача донесения по телефону. Тогда А = ВС. События В и С независимы. Следовательно, Р(А) = Р(В)Р(С). Нам по условию задачи даны противоположные события: Р(В) = 0,35 и Р(С) = 0,2. Тогда прямое событие Р(В) = 1 - Р(В) = 1 - 0,35 = 0,65 Р(С) = 1 - Р(С) = 1 - 0,2 = 0,8. Окончательно искомая вероятность Р(А) = Р(В)Р(С) = 0,65*0,8 = 0,52. ПРИМЕР 4. В части 2% солдат имеют слабую подготовку, 60% остальных являются классными специалистами. Определить вероятность того, что вызванный наудачу солдат окажется классным специалистом. РЕШЕНИЕ. Рассмотрим события: А - наудачу вызванный солдат кажется классным специалистом; В - солдат не является слабым; С - солдат является классным специалистом среди неслабых. Тогда имеем А = ВС. Так как событие В и С зависимы, будем иметь: Р(А) = Р(ВС) = Р(В)Р(С/В), где Р(В) = 1 - Р(В) = 1 - 0,02 = 0,98. Р(С/В) = 0,6. Следовательно, Р(А) = Р(ВС) = 0,98*0,6 = 0,588. Задачи для упражнений 1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. Ответ:20/91. 2. Электрическая цепь составлена по схеме (рис. 1.5, 1.6, 1.7). Элементы цепи работают независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя за время t элемента а равна 0,1 , элемента b - -0,2 , элемента с - 0,3. Найти вероятность разрыва цепи. Ответ:Р1(А) = 0,154, Р2(А) = 0,044, Р3(А) = 0,006. 3. Два пеленгатора независимо пеленгуют объект, каждый с вероятностью успеха, равной 0,4. Какова вероятность определения пеленга? Ответ: 0,64. 4. В читальном зале 6 учебников по теории вероятности, из которых три в переплете. Библиотекарь выбирает наугад дважды по одному учебнику. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете. Ответ: 1/5. 5. Электрическая цепь составлена по схеме (рис.1.8). Элементы цепи работают независимо. Вероятность бесперебойной работы элемента а равна 0,6 , элемента b - 0,7 , элемента с - 0,8 и элемента d - 0,9. Найти вероятность бесперебойной работы этой цепи. Ответ: 0,8624. 6. При стрельбе из автомата вероятность поражения цели одной очередью равна 0,4. Какова вероятность поражения цели при очередях. Ответ: 0,784. 7. Для поражения цели достаточно одного попадания. Вероятность поражения при одном выстреле равна 0,5. Определить расход снарядов боевого задания с вероятностью 0,9. Ответ: n ≥ 4. 8. Производится стрельба комплекса ЗУР по трем бомбардировщикам противника. На индикаторе кругового обзора РЛС бомбардировщики отображаются в виде одной отметки, т.е. представляют собой как бы одну цель. По этой цели запускается ЗУР. Вероятность прямого попадания ракеты в бомбардировщики соответственно равна 0,35 , 0,3 , 0,28. При попадании в один из них поражаются все три. Найти вероятность того, что бомбардировщики будут поражены. Ответ: 0,93. 9. Контрольная работа состоит из трех задач по геометрии и трех задач по анализу. Вероятность правильно решить задачу по геометрии равна 0,6 , а по анализу - 0,8. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из разделов? Ответ: 0,617. 10. Вероятность недолета, попадания в цель , перелета при одном выстреле из некоторого орудия равна 0,3 , 0,6 , 0,1. Орудие стреляет дважды. Найти вероятность следующих событий: а) двух попаданий; б) одного попадания и одного недолета; в) двух перелетов. Ответ: а) 0,36; б) 0,36; в)0,01. 11. В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей , в другой 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Найти вероятность того, что оба они окужутся юношами либо оба — девушками. Ответ: 5/11. 12. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,9 , второй — 0,8 , третий — 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания ; б) хотя бы один станок потребует внимания ; в) только третий станок потребует внимания рабочего. Ответ: а) 0,375 ; б) 0,46 ; в) 0,18. 13. При автоматическом изготовлении болтов допускается в среднем 3% брака. Какова вероятность того, что среди взятых для контроля 5 болтов не окажется : а) ни одного бракованного; б) один бракованный ? Ответ: а) 0,86 ;б) 0,13. 1.5. Формула полной вероятности 1. Если событие А может наступить только лишь при условии появления одного из n несовместных событий Н1, Н2, Н3,..., Нn, образующих полную группу событий, причем вероятность этих событий известны и, кроме того , известны условные вероятности Р(A/Hi), то вероятность события А определяется следующим образом: Р(А) = . (1.9) Иногда события Н1, Н2, Н3, ... Нn называют гипотезами. Имеют место равенства: = 1; = 0, если i ≠ j. Формула (1.9) называется формулой полной вероятности. 2. Если событие А произошло и требуется найти вероятность событий Н1, Н2, Н3, ... Нn, то применяется теорема гипотез или формулы Байеса Р(Нi/A) = , для i = 1,2,...,n , где вероятность Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности и гипотезы Нi составляют полную группу несовместных событий. Решение типовых примеров ПРИМЕР 1. На двух станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9 , а на втором - 0,84. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества. РЕШЕНИЕ. Пусть А - событие, Заключающееся в том, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества. Событие А может произойти с одной из следующих гипотез: Н1 - делать изготовлена на первом станке; Н2 - деталь изготовлена на втором станке. Так как производительность данного станка в два раза больше второго, то Р(Н1) = 2/3; Р(Н2) = 1/3. Условные вероятности события А: Р(А/Н1) = 0,9; Р(А/Н2) = 0,84. По формуле полной вероятности найдем Р(А) = P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2) = 2/3 * 0,9 + 1/3 * 0,84 = 0,88. ПРИМЕР 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3; для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Найти вероятность того, что выстрел был произведен вторым стрелком. РЕШЕНИЕ. Пусть событие А - цель поражена. Гипотезы: Н1 - на линию огня вызвали первого стрелка; Н2 - на линию огня вызвали второго стрелка; Н3 - на линию огня вызвали третьего стрелка. Так как все гипотезы равновозможны , то Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3. Условные вероятности: Р(А/Н1) = 0,3; Р(А/Н2) = 0,5; Р(А/Н3) = 0,8. Событие А произошло. Поэтому, применяя формулу Байеса, получим: P(H2/A) = = = 0,312. Задачи для упражнений 1. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных. Во второй коробке 10 радиоламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки будет стандартной. Ответ: 0,9. 2. На индикатор РЛС от приемного устройства поступают либо сигнал от цели с помехой, либо одна помеха. Вероятность наличия сигнала от цели равна Р. Оператор может принять решение о наличии сигнала при его отсутствии с вероятностью α (вероятность ложной тревоги); в то же время может принять решение об отсутствии сигнала при его наличии с вероятностью β (вероятность пропуска цели). Определить вероятность неправильного решения. Ответ: Р*β + (1 - Р)*α. 3. Вероятность наличия цели в зоне наблюдения радиолокатора равна 0,4. Вероятность обнаружения отраженного от цели сигнала на фоне помех равна 0,6. Вероятность появления ложного сигнала на индикаторе за счет помех при отсутствии цели равна 0,02. Какова вероятность того, что появление сигнала на экране индикатора вызвано появлением цели, а не случайным действием помехи. Ответ: 20/21. 4. Из 40 экзаменационных билетов два курсанта могут ответить на 30 билетов, одних и тех же для обоих. Курсанты по очереди берут билеты. У кого из них (первого или второго) вероятность вытащить счастливый билет больше? Ответ: вероятности равны. 5. По самолету производится 3 одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором 0,5; при третьем - 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2; при двух попаданиях с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя. Ответ: 0,458. 6. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС. Известно, что вероятность передачи каждой последовательность 0,3; 0,4; 0,3. В результате помех буква принимается правильно с вероятностью 0,6. Вероятность приема переданной буквы за две другие равны 0,2 и 0,2. Найти вероятность того, что передано АААА, если на приемное устройство получено АВСА (буквы искажаются независимо друг от друга). Ответ: 0,62. 7. Студент два раза извлекает по одному билету из 34 предложенных на экзамене. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил только 30 билетов и первый раз вынул неудачный билет. Ответ: 0,107. 8. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Курсант подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить только 22 задачи. Какова вероятность того, что вынув наудачу один билет, курсант ответит на все вопросы. Ответ: 0,625. 9. Три самолета - один ведущий и два ведомых посылаются на бомбометание по объекту. Радионавигационное оборудование, без которого выход к цели невозможен, имеется только у ведущего самолета. После выхода на цель самолеты выполняют бомбометание независимо, вероятность разрушить объект для каждого из них равна 0,3. Перед выходом на цель самолеты проходят зону ПВО противника, в которой каждый из них может быть сбит с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что объект будет разрушен. Ответ: 0,476. 10. В инспекторских стрельбах участвуют 40 стрелков, из них 10 человек стреляют отлично, 20 - хорошо, 6 - удовлетворительно, 4 - плохо. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличника равна 0,9 , для хорошего - 0,8 , для удовлетворительного - 0,6 , для плохого - 0,4. На линию огня наугад вызываю одного из стрелков. Он производит один выстрел. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель. Ответ: 0,755. 11. От подразделения в учении участвуют три РЛС, каждая из которых может выйти из строя во время учений с вероятностью 0,3. Вероятность пропуска цели при работе одной РЛС равна 0,5 , двух - 0,3 , трех - 0,1. Определить вероятность пропуска цели. Ответ: 0,27. 12. Из 10 ламп, среди которых две непроверенные, берут наугад одну и она не работает. Вероятность безотказной работы проверенной лампы равна 0,7 , а непроверенной - 0,2. Какова вероятность того, что была взята непроверенная лампа? Ответ: 0,4. 13. Истребитель атакует бомбардировщик, производя по нему за атаку оду очередь с дальностью 2000, 1500 и 1000 м. Вероятность того, что стрельба ведется с этих дальностей равны 0,2; 0,3; и 0,5. Вероятности сбития бомбардировщика с этих дальностей соответственно равны 0,2; 0,3; и 0,4. В результате атаки бомбардировщик сбит. Найти вероятность того, что стрельба производилась с дальности 1000 м. Ответ: 0,6. 14. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6 , 2-м — 0,7, 3-м — 0,8.При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2 , при двух — равна 0,6 , при трех — цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели. Ответ: 0,6448. 15. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,25% брака, 2-й — 0,40% , 3-й — 0,60%. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 2000, со 2-го — 1500 и с 3-го -1300 деталей? Ответ: 47/12000. 16. В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й — 30, 3-й — 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 70% первосортных, а среди изделий 2-го — 80% , 3-го — 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что это изделие выпущено 1-м заводом? Ответ: 5/11. 1.6. Формула Бернулли 1. Если производится n независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых постоянна и равна p, то вероятность Pn(m) того, что это событие произойдет ровно m раз при n независимых опытах, определяется формулой Бернулли: Pn(m) = pm qn-m , где q = 1 - p. 2. Вероятность появления события не менее m раз при n опытах вычисляется по формулам: Pn(m ≤ k ≤ n) = или Pn(m ≤ k ≤ n) = 1 - . 3. Вероятность появления события хотя бы один раз при n опытах будет Pn(1) = 1 - qn. 4. Количество n опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью надежности Pn можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле n ≥ , где P - вероятность этого события в каждом опыте, Pn - заданная надежность. 5. Наивероятнейшее число m0 наступления события А в независимых испытаниях находится по формуле np - q ≤ m0 ≤ np + p. Если границы этого промежутка являются дробными числами, то мы получаем одно значение наивероятнейшего числа m0 (целое число, заключенное между границами промежутка). Если же границы являются целыми числами, то получаем два значения наивероятнейшего числа. Решение типовых примеров ПРИМЕР 1. В части имеется восемь РЛС, каждая из которых в течение дня может выйти из строя с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что: а) за день потребуют ремонта ровно 3 РЛС; б) потребуют ремонта не менее 6 РЛС и не менее 2 РЛС; РЕШЕНИЕ. а) Событие А - за день потребуют ремонта ровно 3 РЛС. Надо определить вероятность того, что событие А наступит ровно 3 раза из 8 возможных, то есть Р(А) = Р8(3) = p3 q5. В нашем случае р = 0,2; g = 1 - p = 0,8. Следовательно, Р(А) = Р8(3) = (0,2)3 (0,8)5 = 0,147. б) В первом случае вероятность того, что потребуется ремонт менее 6 РЛС, определяется по формуле: Р8(k ≥ 6) = = P8(6) + P8(7) + P8(8) = * (0,2)6 * (0,8)5 + * (0,2)7 * 0,8 + * (0,2)8 * 0,80 = 0,00123 Во втором случае выгоднее воспользоваться вероятностью противоположного события, так как при этом вместо семи слагаемых придется суммировать только два. Пусть событие А - потребуют ремонта не менее 2 РЛС, тогда Ᾱ - потребуют ремонта менее 2 РЛС, тогда Р(Ᾱ) = 1 - Р(А). Р(Ᾱ) = Р8(0) + Р8(1) = * 0,20 * 0,88 + * 0,2 * 0,87 = 0,503. Следовательно, Р(А) = 1 - 0,503 = 0,497. Ответ: а) 0,147; б) 0,00123; 0,497. ПРИМЕР 2. В условии предыдущего примера вычислить наивероятнейшее число РЛС, потребующих ремонта в течение дня. РЕШЕНИЕ. Наивероятнейшее значение m числа события А в n независимых испытаниях найдем по формуле np - g ≤ m ≤ np + p. Причем, m равно целой части числа np + p, а при целом np + p наивероятнейшими являются два числа. Для нашего случая np + p = 1,8 - дробное число, следовательно, m достигает максимума при целой части [1,8]. 0,8 ≤ m ≤ 1,8. Ответ: 1. ЗАМЕЧАНИЕ. Если в этом примере взять n = 14, то 14 * 0,2 - 0,8 ≤ m ≤ 14 * 0,2 + 0,2; 2 ≤ m ≤ 3. Следовательно, наивероятнейших значений числа РЛС, потребующих в течение дня ремонта, будет два, то есть 2 и 3. ПРИМЕР 3. Для поражения баллистической ракеты выделяется противоракетный комплекс. Каждая управляемая ракета комплекса ПРО поражает БР с вероятностью 0,6. Сколько нужно выделить ракет для того, чтобы ожидать поражения БР, с вероятностью надежности 0,9? РЕШЕНИЕ. Исходя из условия примера имеем, что р=0,6, а рнад=0,9. Тогда по формуле n ≥ . Найдем необходимое число ракет для сбития БР с заданной вероятностью надежности. n ≥ = ≈ 3. Ответ: 3 ракеты. Задачи для упражнений 1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить, чему равна вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей три окажутся стандартными. Ответ: 0,0729. 2. По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета. Ответ: 0,31744. 3. Вероятность попадания в самолет при стрельбе из зенитной мелкокалиберной пушки равна 0,1. Найти вероятность получения при 10 выстрелах по самолету: а) промаха; б) десяти попаданий; в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания; Ответ: а) 0,349; б)10-10; в) 0,651; г) 0,387. 4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз. Ответ: 0,0456. 5. Найти вероятность того, что событие А наступило ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. Ответ: 0498. 6. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит в большинстве событий. Ответ: 0,959. 7. В ангаре имеются 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работы работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой. Ответ: 0,559. 8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равно 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз. Ответ: 0,273. 9. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что появится не менее 1470 раз и не более 1500 раз. Ответ: 0,4236. 10. Производится 5 независимых выстрелов из 37 -мм пушки по воздушной цели, вероятность попадания в которую равна 0,2. Для поражения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Ответ: 0,0579. 11. Производится 3 независимых пуска управляемых ракет по головной части баллистической ракеты, вероятность попадания в которую равна 0,6. Для поражения БР необходимо одно попадание. Найти вероятность одного попадания управляемой ракеты в головную часть БР. Ответ: 0,288. 12. Вероятность того, что сентябрь будет дождливым, равна 0,7. Какова вероятность того, что из ближайших 7 лет четыре года сентябрь будет дождливым. Ответ: 0,227. 13. Зенитный ракетный дивизион стреляет по железнодорожной станции. Вероятность попадания ракеты в служебное здание 0,6 , в жилые помещения - 0,3 и вне станции - 0,1. Определить наивероятнейшее число попаданий в служебные здания, если по станции запущены 6 ракет. Ответ: 4. 14. Группа студентов из 23 человек прибыла для участия в лыжном кроссе на дистанцию 10 километров. Вероятность выполнения норматива для каждого студента 0,9. Определить, какое число участников наиболее вероятно выполнит норматив и вероятность этого события. Ответ: 21; 0,276. 15. Зенитный ракетный дивизион ведет стрельбу по мосту шириной 12 метров, расположенному перпендикулярно плоскости стрельбы. Определить наивероятнейшую комбинацию из числа попаданий и промахов и отвечающую ей вероятность при 8 выстрелах, если средняя траектория проходит так, что вероятность попадания в мост при одном выстреле равна 0,13. Ответ: 1,7; 0,841. 16. Вероятность попадания из винтовки по самолету при одном выстреле равна 0,004. Сколько стрелков должны одновременно произвести выстрел, чтобы с вероятностью 0,98 ожидать попадания в самолет хотя бы одной пули? Ответ: 976. 17. Истребитель-перехватчик наводится системой наведения на бомбардировщик с вероятностью 0,5. После того, как истребитель захватил бомбардировщик, он запускает ракету, которая попадает в него с вероятностью 0,4. Какое количество ракет необходимо запустить по бомбардировщику с истребителя, чтобы вероятность сбития его была равна 0,97. Ответ: ≈12. 18. Вероятность попадания в самолет-снаряд одной зенитной ракеты равна 0,2. Сколько нужно запустить ракет, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно ожидать попадания одной ракеты в самолет-снаряд? При попадании ракеты самолет-снаряд уничтожается. Ответ: ≈12. 19. Боезапас самолета составляет 120 патронов. Стрельба ведется очередями длительностью в 1 секунду. Скорострельность оружия 600 выстрелов в минуту. Стрельба прекращается, когда получено хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания для каждой очереди равна 0,1. Найти вероятность того, что самолет израсходует свой боезапас. Ответ: 0,313. 20. Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения равна 0,2. Найти: а) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказало не менее 4 элементов; б) наивероятнейшее число отказавших элементов; в) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов. Ответ: а) 0,007 ,б) 1 , в) 0,41.