Сложные проценты; наращение по сложной процентной ставке

ТЕМА . СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 2.1. Наращение по сложной процентной ставке В долгосрочных финансово-кредитных операциях (n > 1), если проценты не выплачиваются сразу же после их начисления, а присоединяются к сумме долга (капитализируются), как правило, применяют сложные проценты. База для начисления сложных годовых процентов увеличивается в конце каждого года, и процесс увеличения суммы долга обычно происходит ускоренно. Сложные проценты (compound interest) широко применяются в средне- и долгосрочных финансовых операциях, т.е. срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д.) Сущность таких операций заключается в том, что проценты начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. Таким образом, база для исчисления сложных процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов. Процентная ставка называется сложной, если проценты начисляются не только на первоначальную сумму, но и на проценты, начисленные в предыдущие периоды. Присоединение процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов. Процесс наращения по сложной процентной ставке представлен в табл. 5. Таблица 5 - Наращение по сложной процентной ставке Порядковый номер периода Наращенная стоимость к концу периода S 1 2 3 … … n-1 n – наращение по сложной процентной ставке. – множитель наращения по сложной процентной ставке. Наращенная сумма растет по геометрической прогрессии, где первый член геометрической прогрессии S, а знаменатель . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q, называется геометрической прогрессией. Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость: bn+1=bn⋅q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то возможно найти любой член прогрессии. b2=b1⋅q; b3=b2⋅q=b1⋅q⋅q=b1⋅q2; b4=b1⋅q3 и т. д. Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя формулу: bn = b1⋅qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член последовательности, q — знаменатель. 2.2 Сравнение роста наращенных сумм при сложных и простых процентах Для того, чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. При условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения: — для срока меньше года наращенная стоимость при простых процентах больше наращенной стоимости при сложных процентах: если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ; — для срока, равного году, множители наращения равны друг другу. если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n . — для срока больше года наращенная стоимость при сложных процентах больше наращенной стоимости при простых процентах: если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ; Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке *. Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам, значительно выше, чем по простым. Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит: · более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года); · более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год; · обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов. 2.3. Определение срока платежа и процентных ставок при наращении сложных процентов ; ; ; 2.4. Наращение по сложной номинальной процентной ставке. На сегодняшний день зачастую банковские институты используют начисление процентов не один, а несколько раз в году. Некоторые зарубежные компании практикуют даже начисление процентов ежедневно или при совершении конкретной операции. При таких операциях используется номинальная процентная ставка. Номинальной процентной ставкой называется годовая процентная ставка j, при которой проценты начисляются m раз в год по ставке j/m Таким образом, m – число начислений процентов за 1 год. Ежедневное начисление процентов, m=360 (365). Еженедельное, m=52 Ежемесячное, m=12 Ежеквартальное, m=4 Процесс наращения процентов по номинальной ставке представлен в табл. 7. Таблица 7 Наращивание процентов по номинальной ставке Период Наращенная сумма на конец периода S … … 2 3 . . . . . . N – наращение по номинальной процентной ставке. – множитель наращения по номинальной процентной ставке за один год. – множитель наращения по номинальной процентной ставке за n лет. 2.5 Определение срока платежа и процентных ставок при наращении сложных номинальных процентов ; 2.6 Эффективная процентная ставка Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту. Эффективной процентной ставкой i (effective percentage rate — EPR) называется годовая процентная ставка сложных процентов, начисление по которой дает тот же финансовый результат, что и начисление процентов по ставке m раз за период. Полученную при этом величину называют ставкой сравнения, т.к. она вводится для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один раз и m раз. То есть ставка, фиксируемая в договоре – номинальная ставка, а действительная ставка – эффективная. Например, годовая ставка 12 %, фиксируемая в договоре называется номинальной. Клиент оплачивает кредит поквартально, таким образом, период начисления равен 4 месяцам, т.е. множитель наращения равен (1 + 0,03)4 = 1,126, т.е. реальная ставка равна 12,6 %. Определение эффективной процентной ставки через номинальную процентную ставку. Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении. Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов. 2.7 Дисконтирование по сложным процентной и учетной ставкам а) Математическое дисконтирование – дисконтирование на основе сложной процентной ставки. – множитель дисконтирования на основе сложной процентной ставки. – дисконтирование на основе номинальной процентной ставки; – множитель дисконтирования на основе номинальной процентной ставки. б) Банковское дисконтирование (учет векселей) Процесс дисконтирования наращенной суммы представлен в табл. 8. Таблица 8 - Дисконтирование на основе сложной учетной ставки Порядковый номер периода Интервал дисконти-рования Дисконтированная величина N S n-1 1 n-2 2 n-3 3 … … … 1 n-1 n – дисконтирование на основе сложной учетной ставки. – множитель дисконтирования на основе сложной учетной ставки. ; ; 2.8 Определение срока платежа и процентных ставок при дисконтировании по сложной учетной процентной ставке ; ; ; 2.9. Дисконтирование по номинальной учетной ставке Номинальной учетной называется годовая учетная ставка f, при которой дисконтирование происходит по ставке f/m m раз за период. Процесс дисконтирования по номинальной учетной ставке представлен в табл. 9. Таблица 9 Дисконтирование по номинальной учетной ставке Период Дисконтированная стоимость S … … … … 2 3 … … n – дисконтирование на основе номинальной учетной ставки; – множитель дисконтирования по номинальной учетной ставке за один период (год); – множитель дисконтирования по номинальной учетной ставке за n лет. 2.10 Определение срока платежа и процентных ставок при дисконтировании по сложной номинальной учетной процентной ставке ; ; 2.11 Эффективная учётная ставка Существует эффективная учётная ставка эквивалентная номинальной учетной ставке. Эффективная учётная ставка (d) характеризует степень дисконтирования в целом за год. Эти ставки (номинальная и эффективная) эквивалентны в финансовом отношении, т. е. дают одинаковый результат за один и тот же промежуток времени, и определяются на основании равенства соответствующих дисконтных множителей. Эффективной учетной ставкой называется сложная годовая учетная ставка d, эквивалентная номинальной при дисконтировании m раз за период по ставке f/m. ; ; – определение эффективной учетной ставки через номинальную учетную ставку; – определение номинальной учетной ставки через эффективную учетную ставку. Дисконтирование m раз в году замедляет процесс дисконтирования, следовательно, уменьшает сумму дисконта. Замечание! Эффективная процентная ставка больше, чем номинальная процентная ставка. Учетная эффективная ставка меньше, чем номинальная учетная ставка. 2.12 Наращение по сложной учетной ставке Бывают ситуации когда, необходимо определить сумму, которую надо проставить в векселе, если известна текущая сумма долга. В этом случае применяется наращение по учетной ставке. – наращение по сложной дисконтной ставке; – множитель наращения по сложной учетной ставке. – наращение по номинальной учетной ставке; – множитель наращения по номинальной учетной ставке.