Система дифференциальных уравнений, описывающая большие перемещения пространственного бруса

dx 1 ds dx 2 ds dx 3 ds d1 ds d 2 ds d 3 ds dQ 1 ds dQ 2 ds dQ 3 ds dM 1 ds dM 2 ds dM 3 ds  cos  2  cos  3  sin  3 Система дифференциальных уравнений, описывающая большие перемещения пространственного бруса  sin  2  cos  3   1  cos  1  tg  3   2  sin  1  tg  3   3  cos  1 sin  1 2  3 cos  3 cos  3 κi   sin  1   2  cos  1   3  q1  q2  q3   ( l 21  Q 3  l 31  Q 2  m 1 )   ( l 31  Q 1  l 11  Q 3  m 2 )   ( l 11  Q 2  l 21  Q 1  m 3 ) 1 Bi 3  j1 M j  l j 1  κ i0 (i  1 ,2 ,3 )  C 2 C 3  C 1C 2 S 3  S 1 S 2 S 1C 2 S 3  C 1 S 2   l( s )   S 3 C 1C 3  S 1C 3  S C C S S  S C  S 1 S 2 S 3  C 1 C 2  2 3 1 2 3 1 2    B1  E I кр , B 2  EI 2( 1   ) 2 , B 3  EI 3 5 Прощелкивание упругой арки 6 Деформирование упругой арки 7 На этапе построения численной модели предполагается, что конкретная задача погружена в параметрическое семейство тем или другим способом сходных задач. F(X (1) , X (2) )  0 Параметры рационально условно разделит на внутренние параметры (переменные), характеризующие состояние системы, и внешние параметры или параметры управления, которые определяют так называемую коразмерность задачи x (j1 ) ( j  1 , 2 ,..., m ) x (j 2 ) ( j  1 , 2 ,..., n ), Совокупность всех решений для заданного числа m+n внешних и внутренних параметров, интерпретируется как некоторая поверхность (гиперповерхность) равновесных состояний, построенная в эвклидовом пространстве параметров R(m+n) 8 Наиболее простым случаем является однопараметрическая задача (коразмерность задачи равна 1) для которой все компоненты вектора X(2) пропорциональны одной независимой переменной q: X (2)  X (2) (q ) Для решения однопараметрической нелинейной задачи используются различные методы решения, известные под общим названием методы продолжения решения по параметру. Их суть в следующем. Если уравнять параметр q с внутренними параметрами системы, то для замыкания исходной системы ее необходимо решать совместно с дополнительным уравнением: f (X, )  0 Независимая переменная  называется параметром продолжения. Дополнительное уравнение может формулироваться различными способами. 9 Теоретическая зависимость верхних – В и нижних – Н критических нагрузок пологого сферического купола в зависимости от параметра тонкостенности в сравнении с результатами экспериментов. Зависимость прогиба в центре для пологой сферической оболочки от давления – задача Месколла (1966) Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. – М.: МГТУ «МАМИ», 2004.– 162с. 10 Процедура реализации счета для однопараметрических нелинейных задач при прохождении окрестности предельных точек предложена Н.В. Валишвили (1968) и известна как прием смены параметра. Валишвили Н.В. Ободном алгоритме решения нелинейных краевых задач// ПММ, т.32, 1968, вып. 6, с. 1089-1091. Валишвили Надари Варламович (1932 – 2017) 11 Рассмотрим тонкостенные элементы процесс нелинейного деформирования которых можно описать с помощью уравнений геометрически нелинейной лагранжевой теории тонких упругих стержней и оболочек. К особенностям записи определяющих соотношений, следует отнести целенаправленное введение в уравнения двух и более независимых (управляющих) параметров, определяющих нелинейный процесс деформирования. Параметры управления могут входить в описание геометрии элемента, свойств материала, условий закрепления, внешних термомеханических воздействия и т.д. Алгоритм численного исследования основан на использовании метода продолжения решения по параметру в сочетании с приемом смены подпространства управляющих параметров. 12 Метод продолжения по параметру Этап « ПРЕДИКТОР» Этап «КОРРЕКТОР» Экстраполяция решения{ X } в следующей точке траектории равновесных состояний : Основное рекуррентное соотношение метода Ньютона-Рафсона:  { X 0 } ( n 1)  { X 0 } ( n )  J Где, Траектория равновесных состояний вR мерном пространстве (0)  1 {r } ( n ) [J 0] - Матрица Якоби; {r } - Вектор невязки решения; ( m 1) Геометрическая интерпретация метода Ньютона13 Рафсона