Резонанс

Теория электрических цепей Лекция 6. Резонанс Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 1 Колебательные конуры. Понятие резонанса Особое внимание у радиотехнике занимают колебательные контуры (КК). Простейший колебательный контур – это цепь содержащая индуктивный (L) и ёмкостный (C) элементы. Различают два типа простейших колебательных контуров: последовательный и параллельный. Особенность этих цепей состоит в том, что в них может возникать электрический резонанс, который сопровождается увеличением тока в цепи и увеличением напряжения на элементах. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 2 Различают два типа резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов. В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном - резонанс токов. Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной частотой. Резонанс происходит тогда, когда частота входного сигнала и собственная резонансная частота контура совпадает. Колебательные контуры широко используются для построения полосовых фильтров. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 3 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из конденсатора и катушки, соединенных последовательно. Типы схем последовательного КК: 1) Принципиальная схема 2) Схема замещения 3) Упрощённая схема Комплексное сопротивление контура зависит от частоты: Z( j ) Павлова М.М. R j L 1 j C R j( L Лекция 6. Резонанс 1 ) C R jX 4 колебательном контуре возникают сложные электрические процессы. При определенной частоте воздействия, в контуре ток достигает максимального значения. В механике увеличение амплитуды колебаний на определённой частоте называется амплитудным резонансом. В 1.1 Явление резонанса напряжений в последовательном колебательном контуре Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонического напряжения Ė и последовательного колебательного контура. Цепь линейная, поэтому для определения тока воспользуемся методом комплексных амплитуд. I Павлова М.М. E Z( j ) Лекция 6. Резонанс E R j( L 1 C 5 ) При изменении частоты от 0 до ∞ R - активное сопротивление остается неизменным. Реактивное сопротивление зависит от частоты и на определенной частоте ω0 она может обратиться в ноль: Х( Откуда частота, резонансной равна: ) ( 0L которая 1 ) 0C называется 1 LC Она определяется параметрами элементов контура L, C. Ток в контуре на этой частоте достигнет максимальной величины, которая зависит только от R. I( 0) Павлова М.М. E R I max Лекция 6. Резонанс 6 В радиотехнике такой электрический режим в колебательном контуре называют фазовым резонансом, а частоту ω0 – резонансной частотой. Это название связано с тем, что разность фаз между напряжением и током на этой частоте, т.е. фаза комплексного сопротивления контура равно нулю ( 0) X ( 0) arctg R Таким образом, условием резонанса в колебательном контуре является: X ( 0) 0 Резонанс возникнет в том случае, если частота сигнала будет равна резонансной частоте контура Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 7 Резонанс в последовательном контуре характеризуется не только отсутствием разности фаз между напряжением и током, не только максимальным током, но и величиной напряжения на реактивных элементах. Напряжение на емкости и индуктивности: UC ( Напряжение на сопротивлении равно ЭДС: UR ) UL ( I R ) E Q E Вывод: амплитуда напряжений на реактивных элементах в Q раз больше ЭДС источника. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений По фазе напряжения ÚC и ÚL противоположны. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 8 Параметры контура Первичными характеристическими параметрами контура являются величины входящих в него элементов: R, L, C. Вторичными характеристическими параметрами контура являются: 1. Характеристическое (волновое) сопротивление - это сопротивление реактивных элементов (индуктивности и емкости) контура на резонансной частоте ( 100 500 Ом) L C L LC * C LC L LC 1 0C L Q 2. Добротность контура (Q 100 300) 3. Затухание контура (d 0.003 0.01) Павлова М.М. d 1 Q R Лекция 6. Резонанс x( 0) r R 4. Резонансная частота 1 LC 9 1.2 Частотные характеристики последовательного КК Комплексное входное сопротивление контура: Z вх ( j ) R j L 1 j C R j( L Модуль сопротивления – АЧХ: Z ( ) вх 2 1 C L Аргумент – ФЧХ: ( ) Z arctg Резистивная и реактивная части: R( ) Павлова М.М. R R 1 ) C R L 1 C arctg Z вх ( ) cos ; Лекция 6. Резонанс jX 2 R 2 Х 2 X R X( ) Z вх ( ) sin 10 В связи с тем, что полное сопротивление контура зависит от частоты входного сигнала, будет зависеть от частоты и ток в цепи, и напряжения на отдельных элементах контура. Ток в цепи: I U Z U R Модуль тока: Павлова М.М. . j( L |U| |Z| 1 ) C Ue R 2 ( L j U 1 2 j ) e C z | U | j( e |Z | Аргумент: u 1 ) C ( L U Лекция 6. Резонанс Z , где Z arctg z) R 11 Определим комплексную передаточную функцию по напряжению относительно индуктивного элемента. Для реальной цепи, когда R не равно нулю, зависимость отношений напряжения на индуктивности к входному выражается следующим образом: jX L I U вх UL HL ( j ) U вх [R j L L R 2 1 2 ) e C ( L L HL ( ) R 2 X 2 Павлова М.М. arctg j arctg R L 1 С R R 2 j( L j( X 2 e 2 1 ) C ) амплитудно частотная характеристика ( АЧХ ) 2 L ( ) L j L U вх jX L 1 j( L )] U вх C 1 R C фазо частотная характеристика(ФЧХ ) Лекция 6. Резонанс 12 Максимум передаточной функции будет приходиться на частоту, несколько большую, чем резонансная, причем, для высокодобротных контуров разница в частотах практически незаметна. АЧХ: ФЧХ: Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 13 Аналогично можно рассчитать комплексную передаточную функцию по напряжению относительно емкостного элемента: UC HC ( j ) U вх jX C I U вх U вх jX C R jХ U вх 1 j C R 2 X j arctg X 2 e R АЧХ: 1 HC ( ) C R 2 X 2 ФЧХ: C Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс ( ) 2 X arctg R 14 , По виду АЧХ последовательного колебательного контура, можно сделать вывод, что контур является полосовым фильтром. На резонансной частоте коэффициент передачи равен добротности. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 15 1.3 Виды расстроек Если на вход КК подается сигнал той же частоты, что и резонансная частота КК, то контур настроен в резонанс. При отклонении частоты входного сигнала от резонансной, контур расстроен. Расстройка – это отклонение частоты сигнала от резонансной частоты. Различают три типа расстройки: 1. Абсолютная расстройка (размерность частоты): или f f f0 2. Относительная расстройка (величина безразмерная): 3. Обобщённая расстройка (величина безразмерная): X( ) R 1 C L Павлова М.М. R 2 0L ( R 1 0 LC ) Q( Лекция 6. Резонанс ) 2 Q 2Q 16 1.4 Избирательные свойства контура 1) Зависимость полосы пропускания (ПП) контура от его параметров Абсолютной полосой пропускания называется диапазон частот, в котором значение сигнала уменьшается в √2 раз по сравнению с максимальным значением. Абсолютная полоса пропускания численно равна разности верхней и нижней граничных частот и измеряется либо в Гц, либо в рад/сек: f гр 2 f гр1 П[ Гц ] гр 2 гр1 рад П[ ] с На уровне полосы пропускания сопротивление контура должно быть в √2 раз больше резонансного значения R. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 17 Т.к. модуль обобщенной расстройки при резонансе равен гр 2Q Q 2 Q П 1 где 2∆ – полоса пропускания, то полосу пропускания можно определить через добротность и резонансную частоту контура: П Q Ширина полосы пропускания тем больше, чем ниже добротность! Добротность контура зависит от величины активных потерь в контуре Q Поэтому, при подключении нагрузки к контуру полоса пропускания контура расширяется, а его избирательность падает. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 18 R 2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Параллельный КК – это цепь, составленная из конденсатора и катушки, соединённых параллельно. Принципиальная схема и схема замещения Для изучения свойств контура нужно воспользоваться параллельной схемой замещения: Lпосл R R R C.пар L.пар R R C.пар L.пар Павлова М.М. L пар L 2 R C.пар Cпосл C C пар 2 R L.пар R при ρ >> R, R0 >> R. Лекция 6. Резонанс 19 2.1 Явление резонанса тока в параллельном КК Комплексная проводимость параллельного КК: Yвх ( j ) G0 1 R0 G0 j( C 1 L ) G0 jB - резистивная проводимость контура. Условием резонанса в параллельном КК является равенство нулю реактивной проводимости контура на какой-то частоте входного сигнала. Эту частоту будем называть резонансной - ω0 Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 20 При подаче на вход контура гармонического сигнала с частотой, равной 0, входная проводимость контура будет величиной чисто активной, и фазовый сдвиг между напряжением на контуре и входным током будет равен нулю. Y B( 0 ) 0 ( 0) 0 B ( 1 C L ) Резонансная частота параллельного КК совпадает с резонансной частотой последовательного КК и ровна: 1 Павлова М.М. LC Лекция 6. Резонанс 21 Рассмотрим цепь, состоящую из генератора тока J и параллельного КК. Резонансное напряжение контура: Uк Uk ( ) J R0 Определим токи в ветвях контура: . IL( j ) . Ic( j Uk ( j 0 ) j 0 L 2 J R0 j 0L J j e R 2 j J Q e j ) UK ( j ) j C J Q e 2 2 Токи через реактивные элементы на резонансной частоте в Q раз больше тока генератора. По фазе токи противоположны. Резонанс в параллельном контуре называют резонансом токов. IC Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс IL J Q 22 2.2 Частотные характеристики параллельного КК Комплексное входная проводимость контура: Yвх ( j ) G0 j C 1 L Модуль сопротивления – АЧХ: Y ( ) вх G0 2 Y ( ) arctg G0 Резистивная и реактивная части: G0 ( ) Лекция 6. Резонанс jB C 1 L C Аргумент – ФЧХ: Павлова М.М. G0 2 1 arctg G0 L 2 B 2 B G0 Yвх ( ) cos ; B( ) Yвх ( ) sin 23 По структуре уравнения проводимости параллельного контура совпадают с выражениями сопротивления последовательного контура . Входное сопротивление параллельного КК на резонансе будет максимально возможным, а последовательного – минимальным. При отклонении частоты от резонансной сопротивление последовательного колебательного контура растёт, а параллельного уменьшается. Вывод: параллельный колебательный контур следует подключать к источнику сигнала с большим внутренним сопротивлением, чтобы не ухудшить его избирательные свойства. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 24 Источник с большим внутренним сопротивлением называют источником тока. Сопротивлением Rист можно пренебречь, если Rист >>Rн. Избирательные свойства параллельного контура такие же, как и в последовательном – зависят от добротности. Павлова М.М. Лекция 6. Резонанс 25