Решение задачи устойчивости стержня со ступенчатым изменением жесткости и величины продольной нагрузки. Метод начальных параметров

Решение задачи устойчивости стержня со ступенчатым изменением жесткости и величины продольной нагрузки. Метод начальных параметров Во многих случаях сжатые стержни имеют непостоянную жесткость по длине, а нагрузка приложена в нескольких уровнях. Такая конструкция имеет меньшую массу и, поэтому более эффективна. Расчет таких конструкций может быть проведен с использованием обычных уравнений для сжатого стержня, однако для учета изменений жесткости и нормальных сил необходимо разделять стержень на несколько участков вводя условия совместности перемещений и равновесия на границах. Это делает задачу очень трудоемкой. Уменьшить трудоемкость можно при использовании метода начальных параметров, подобно тому, как это было сделано при расчете круглых пластин. Рассмотрим стержень, сечение которого меняется скачкообразно. Разделим стержень на участки таким образом, чтобы каждый участок имел постоянное сечение, а связи и продольные силы были только на границах участков (рис. 36). Рис. 36 В этом случае каждый участок стержня имеет постоянное сечение и нагружен силами и моментами на концах. Дифференциальное уравнение такого сжато-изогнутого стержня мы уже рассматривали. Для участка с номером i можем записать: . Дифференциальное уравнение изгиба в этом случае принимает вид: Вводя обычные обозначения, можем записать: . Решение уравнения примет вид: Предположим, что условия на концах стержня заданы и попробуем определить константы. Перемещение на нижнем краю известно – vi-1 ;. Из этих условий можно определить константы A и B. Используя значения констант, запишем все искомые величины для верхнего края. Удобно перейти к матричной форме. Введем вектор состояния Тогда , где Если в задаче можно выбрать вектор состояния в нулевом сечении, то при заданных нагрузках, переходя от одного сечения к другому можно получить вектор состояния для верхнего конца стержня. Последнее уравнение связывает краевые условия на концах стержня, оно однородное и из условия существования ненулевого решения находится критическая нагрузка. Если в задаче не требуется использование поперечных сил, то можно оперировать укороченным вектором состояния и неполной матрицей. Вектор состояния в этом случае имеет вид :, матрица перехода Рассмотрим пример, показанный на рис. 37. Стержень имеет два участка. Краевые условия - в нижней точке поворот запрещен. Выбираем начальный вектор u0 Для определения матриц перехода нужны ki Тогда: Для выполнения краевых условий на верхней кромке M2 должно быть равно 0 Отсюда r22=0 Предположим, есть параметр нагрузки , тогда: .Теперь можно вычислить k и задача сводится к одному уравнению, которое и определяет критическую силу.