Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА, МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ, МЕТОДОМ ГАУССА ПОЛНАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Основные обозначения:  система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): b1,  а11х1 + а12 х2 + ... + а1n хn =  а х + а х + ... + а х =  21 1 22 2 2 n n b2 ,   .............................................. аm1х1 + аm 2 х2 + ... + аmn хn = bm.  матричная запись СЛАУ:  а11 а12 ... а1n  где а A  21  ...   аm1 X А⋅ Х=В , а2 n  − основная матрица системы, ... ... ...   аm 2 ... аmn   х1   b1  х  b  2  2  − столбец неизвестных системы , B   − столбец свободных членов =           х  n  bm  а22 ...  расширенная матрица системы:  однородная СЛАУ:  а11 а12 а а22 21  A=  ... ...   аm1 аm 2 а1n ... а2 n ... ... ... аmn ... b1  b2  ; ...   bm  0,  а11х1 + а12 х2 + ... + а1n хn =  а х + а х + ... + а х = 0,  21 1 22 2 2n n   .............................................. аm1х1 + аm 2 х2 + ... + аmn хn = 0; Методы решения СЛАУ:  правило Крамера;  матричный  метод метод; Гаусса Правило Крамера  Решает системы n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными общего вида b1,  а11х1 + а12 х2 + ... + а1n хn = а х + а х + ... + а х = b2 ,  21 1 22 2 2n n   ..............................................,  аn1х1 + аn 2 х2 + ... + аnn хn = bn, причем определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы называется главным определителем системы, обозначается ∆: ∆= а11 а21 а12 а22 .... .... аn1 аn 2 ... а1i а2i ... а1n а2 n ... ... . .... .... .... .... ... аni ... аnn Правило Крамера Вспомогательный определитель ∆i получается из определителя ∆ путем замены соответствующего iго столбца столбцом свободных членов: а11 а12 ... b1 а21 а22 ... b2 ∆i = .... .... .... .... аn1 аn 2 ... bn ... а1n а2 n ... .... .... ... аnn Теорема (правило Крамера)  Если главный определитель ∆ системы размерности n×n отличен от нуля, то система имеет решение, и притом, единственное. Это решение можно найти по формулам: ∆n ∆i ∆2 ∆1 , x1 = , x2 = , ... xi = , ... , xn = ∆ ∆ ∆ ∆ Алгоритм решения СЛАУ матричным методом: Вычисляем главный определитель ∆ системы, убеждаемся, что он отличен от нуля. 2. Находим матрицу A-1, обратную основной матрице системы. 3. Находим решение системы по формуле −1 = X A ⋅B . 4. Делаем проверку, подставляя полученное решение в исходную систему. 1. Метод Гаусса решения СЛАУ Суть метода Гаусса Чтобы решить систему m – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными методом Гаусса, необходимо записать расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования расширенной матрицы системы, привести ее к трапециевидной форме. 1. 2. 3. 4. 5. Элементарные преобразования расширенной матрицы системы : перестановка строк (столбцов) матрицы; умножение строки матрицы на действительное число отличное от нуля и сложение с другой строкой; вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю; вычеркивание одной из пропорциональных строк матрицы; умножение строки матрицы на число отличное от нуля. В результате этих преобразований матрица примет один их трех видов: а) б) в)  Если матрицу можно свести к виду а) , то система совместна и имеет единственное решение.  Если матрицу можно свести к виду б) , то система совместна и имеет множество решений.  Если матрицу можно свести к виду в) , то система несовместна. Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть rang(A) = rang(А ) = r, причем, если r = n – числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если r < n, то система имеет множество решений. А ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА- Система неоднородная Система однородная Ранг КАПЕЛЛИ АХ=В, где АХ=0, где m – уравнений, m – уравнений, n – неизвестных n – неизвестных Это невозможно при 1. rang(A) ≠ rang( А) b1=b2=…= bn=0, то Система несовместна есть однородная система rang(A) = rang( А ) Система совместна всегда совместна Совместна Решение только а) r = n Решение единственное тривиальное (х1= х2= …= хn=0) Имеются 2. б) r < n Решений множество нетривиальные решения (решений множество) Общая схема исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений Записываем СЛАУ в матричном виде. 2. Выписываем расширенную матрицу системы. 3. Находим ранг основной и расширенной матриц системы: а) если ранги матриц различны, то система несовместна; б) если ранги матриц равны, причем r = n, где n – число неизвестных, то система совместна, имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью методов: правила Крамера, матричного метода, метода Гаусса; в) если ранги матриц равны, но r < n, то система совместна, имеет множество решений, которое можно найти только методом Гаусса, вводя r – базисных переменных и n – свободных переменных. 1.