Линейные уравнения

1 . Линейные модели, сводящиеся к системам алгебраических линейных уравнений, c достаточно высокой точностью соответствуют описываемым ими явлениям, с их помощью решаются многие управленческие задачи. Рассмотрим основные понятия, относящиеся к таким системам. Система уравнений вида  a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1   a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2  i i i i i i i i i i i i a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m  называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Числа a ik ( i = 1, 2, ..., m ; k = 1, 2,..., n ) называются коэффициентами си- стемы, bi – свободными членами, xk – неизвестными. В матричной форме такая система записывается в виде A ⋅ X = B , где  a 11  a 21 A=  ... a  m1 a 12 a 22 ... a m2 a 1n  ... a 2 n  ; ... ...  ... a mn  ...   X =    x1   b1  b x2  ; B = 2 ...   ... b x n   m   .    Матрица А называется матрицей системы. Расширенная матрица системы получается из А добавлением столбца свободных членов:  a 11 a  21  ...  a  m1 a 12 a 22 ... a m2 a 1n b1  ... a 2 n b 2  . ... ... ...   ... a mn b m   ... Решением системы называется всякий набор чисел, подстановка которых в уравнения вместо неизвестных обращает все уравнения в верные равенства. 2 Совместной называется система, имеющая хотя бы одно решение, в противном случае система несовместна. Определённой называется система, имеющая единственное решение, а имеющая более одного решения – неопределённой. Эквивалентными называются системы, имеющие одинаковое решение, они получаются при элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Этим методом можно решать лишь такие системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. При этом матрица А – квадратная, её определитель ∆ называется определителем системы. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными:  a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1 ,   a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 ,  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ,  a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n .  (1) a 11 a 21 Если ∆ = ... a 12 a 22 ... ... a 1 n ... a 2 n ≠ 0 , то по теореме Крамера система имеет един... ... a n1 a n2 ... a nn ственное решение, определяемое формулами Крамера: xk = ∆k ∆ ; k = 1, 2, ..., n , (2) где ∆ k – определитель, получаемый из ∆ заменой столбца № k (т.е. столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном) столбцом свободных членов  b1   b2 B= ...   bn     .    3  3 x + 2 y − 6z = −11  Пример 1. Решить систему  2 x − 3 y + 5z = 11 по формулам Крамера. x + y + z = 6  Решение. По правилу треугольников находим: 3 2 −6 ∆ = 2 −3 5 = −9 + 10 − 12 − 18 − 15 − 4 = −48, 1 1 1 −11 2 −6 ∆ 1 = 11 −3 5 = 33 + 60 − 66 − 108 − 22 + 55 = −48, 6 1 1 3 −11 −6 5 = 33 − 55 − 72 + 66 + 22 − 90 = −96, ∆ 2 = 2 11 1 6 1 3 2 −11 ∆ 3 = 2 −3 11 = −54 + 22 − 22 − 33 − 24 − 33 = −144, 1 1 6 x= ∆1 ∆ = −48 = 1, −48 y= ∆2 ∆ = −96 = 2, −48 z= ∆3 ∆ = −144 = 3. −48 Пример 2. Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу: из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Тип заготовки А Б В 1 3 1 4 Способ раскроя 2 2 6 1 3 1 2 5 Требуется найти сколько листов материала нужно для каждого способа раскроя. Решение. Запишем в математической форме условия выполнения задания. 4 Обозначим через x , y , z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3 x заготовок типа А, при втором – 2 y , при третьем – z . Для полного выполнения задания по заготовкам типа А должно выполняться равенство: 3 x + 2 y + z = 360 . Аналогично для второго и третьего способов раскроя получаем уравнения: x + 6y + 2 z = 300, 4 x + y + 5z = 675 . Решаем систему уравнений  3 x + 2 y + z = 360,   x + 6 y + 2 z = 300,  4 x + y + 5z = 675.  Полученная система уравнений выражает в математической форме условие выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решаем систему по формулам Крамера: 3 2 1 360 2 1 ∆ 6030 ∆ = 1 6 2 = 67, ∆ 1 = 300 6 2 = 6030, x = 1 = = 90, 67 ∆ , 675 1 5 4 1 5 3 360 1 ∆ 1005 ∆ 2 = 1 300 2 = 1005, y = 2 = = 15, 67 ∆ 4 675 5 3 2 360 ∆ 4020 ∆ 3 = 1 6 300 = 4020, z = 3 = = 60. 67 ∆ 4 1 675 Ответ. x = 90 , y = 15 , z = 60. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы Так можно решать лишь системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Рассмотрим систему (1) и предположим, что её определитель ∆ ≠ 0 , следовательно, обратная матрица A−1 существует. Запишем равенство (1) в матричной форме 5 A⋅X = B (3) и умножим слева обе части на A−1 : A −1 ( AX ) = A −1B . (4) Поскольку ( ) A −1 ( AX ) = A −1 A X = EX = X , (5) то из (4) и (5) получим X = A −1 ⋅ B . (6)  x 1 + 2 x 2 = 5 , Пример. Методом обратной матрицы решить систему   3 x 1 + 4 x 2 = 11. 1 2 Решение. A =  , 3 4   5 B =  ,  11  ∆= 1 2 3 4 = 4 − 6 = −2 . Найдём сначала обратную матрицу методом присоединённой матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Aik элементов aik матрицы A . A11 = 4 , A12 = −3 , A21 = −2 , A22 = 1 . A −1 1  A11 = ⋅ ∆  A12 −2 A21  1  4 −2   = ⋅ = 3 A22  −2  −3 1    2 1  1. −  2 По формуле (6) находим: X=A Получили: x 1 = 1 ; −1  ( −2 ) ⋅ 5 + 1 ⋅ 11   −2 1  5   = 1 .   ⋅B = 3 ⋅  = 3 1 1    −   11   ⋅ 5 − ⋅ 11   2  2  2 2  2  x2 = 2.