Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли

БСБО-01-18−БСБО-04-18; Дифференциальные уравнения. Лекция 2 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли. §1. Однородные дифференциальные уравнения Def1.1. Уравнение первого порядка вида y  f ( x; y) называется однородным, если его правая часть f ( x; y) является однородной функцией нулевого измерения, т.е. при любом   0 справедливо равенство: f x;y   f x; y  . Замечание 1. Уравнение  y y  f    x (1)  y  y  f    f   удовлетворяет  x  x  определению однородности нулевого измерения. является однородным, так как функция Def1.2. Уравнение вида M ( x; y)dx  N ( x; y)dy  0 называется однородным, если M ( x; y) и N ( x; y)  однородные функции одного порядка измерения однородности, т.е. M (x;y)   m M ( x; y) и N (x;y)   m N ( x; y). Пример 1. Выяснить, является ли однородным следующее уравнение xdy  ( x  y)dx ? Решение. Покажем, что функции M ( x; y)  ( x  y) и N ( x; y)   x являются однородными функциями m  1 измерения. M (x;y)  x  y   ( x  y)    M ( x; y). N (x;y)  x    N ( x; y). Следовательно, уравнение является однородным. Метод решения однородного уравнения Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены функции y(x) по формуле: y z x 1 БСБО-01-18−БСБО-04-18; где z  z (x)  новая функция, относительно которой и получится уравнение с разделяющимися переменными.  y Решение однородного уравнения y  f   в выполняется с помощью  x  y  z  x; замен  y  zx  z.  В результате замены и дальнейших преобразований имеем: zx  z  f ( z ), zx  f ( z )  z , dz  x  f ( z )  z  dx, dx dz  x  ( f ( z )  z )dx. Разделяя переменные и затем интегрируя полученное равенство получаем: dz dx  , f ( z)  z x dz dx  .  f ( z)  z x dz . f ( z)  z y После выполнения обратной замены z  в последнем равенстве x имеем общий интеграл данного уравнения: F ( z )  ln x  c, где F ( z )    y F    ln x  c. x После нахождения общего интеграла необходимо проверки, исключающие потерю решений исходного уравнения. выполнить y y  Пример 2. Решить уравнение: y   e x . x  y Данное уравнение имеет вид y  f  . Следовательно,  x является однородным. Выполним замену: y  z  x  y  zx  z Решение. zx  zx dz Получим: zx  z   e x  zx  e  z   x  e  z  dx x dx 2 БСБО-01-18−БСБО-04-18; dz  x  e  z dx : x(e  z )  0  e z dz  e z  ln x  c, где z  dx dx   e z dz   x x y y y  e x  ln x  c   ln(ln x  c) x x y  x ln(ln x  c)  общее решение уравнения, где с  R. При разделении переменных и делении на xe z могло быть потеряно решение x  0. Однако функция x  0 не является решением данного уравнения. Ответ: y  x ln(ln x  c) , где с  R. §2. Линейные дифференциальные уравнения Определение 1. Уравнение вида: y  p( x) y  q( x), (3) где p(x) и q(x) – непрерывные функции на (a; b), называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка. Если q( x)  0 при x  (a; b), то уравнение имеет вид: y  p( x) y  0 и называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). А если q( x)  0 при x  (a; b), то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ). Для решения ЛДУ первого порядка используют два метода: 1. Метод вариации произвольной постоянной; 2. Метод Бернулли. 1. Метод вариации постоянной.: с 1) Сначала решаем однородное уравнение y  p( x) y  0 . Это уравнение разделяющимися переменными. Имеем: y  p( x) y  0 , dy   p ( x) y , dx dy  y   p( x)dx ln y   p( x)dx  ln c 3 БСБО-01-18−БСБО-04-18;  p( x)dx ln y  ln e   ln c . Получаем  p( x)dx y  ce  (4) 2). Заменяем в формуле (4) постоянную c на неизвестную функцию в уравнение (2), c(x) и подставляем это выражение вместо y предварительно найдя y. 4) Из полученного уравнения находим функцию записываем ответ.  p( x)dx y( x)  с( x; c~)  e  , ~) с ( x; с и где с~  произвольная постоянная. Литература. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов, том II. Глава XIII,§§1-4. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под редакцией Б.П.Демидовича. Глава IX, §§1-3. 3. Лекция 1. Антиповой Т.Н. для групп БСБО-01-18 − БСБО-04-18. 4