Решение дифференциальных уравнений в частных производных (уравнение теплопроводности стержня).

Решение дифференциальных уравнений в частных производных (уравнение теплопроводности стержня). Тема 5. Лекция Если в сплошной среде температура зависит от координат и времени U(x,y,z,t), то возникают тепловые потоки, направленные от более нагретых точек к точкам менее нагретым. Эти тепловые потоки описываются следующим дифференциальным уравнением: с – удельная теплоёмкость материала ρ – плотность материала λ – коэффициент теплопроводности F – плотность тепловых источников ΔU – оператор Лапласа в прямоугольных координатах: Предполагается, что внутренних источников тепла нет. F(x,y,z,t)=0 Оператор Лапласа для длинного стержня примет вид: Уравнение теплопроводности стержня имеет вид: (1) U – температура, (С), a – коэффициент температуропроводности, (м2/с), а=λ/(с*ρ) t – время, x – пространственная координата. Уравнение верно для стены с заданной толщиной. Задача решается методом сеток в пространственно-временной системе координат с различными шагами по координате x и t. Для решения уравнения необходимо задать начальные и граничные условия. Для описания начальных и граничных условий используем двумерный массив U(t,x). Начальные условия Изменение температуры по длине стержня в начальный момент времени: U(0,x)=f(x) Граничные условия Заданы изменения температуры во времени на обоих концах стержня: При x = 0 U(t,0)=φ(t), При x = l U(t,l)=ψ(t). Приведение уравнения теплопроводности к конечно-разностному виду. Разделим стержень на m участков с шагом h. (l=m*h) Температуру определяем в узловых точках U(t,x) => Uij. Для времени устанавливаем шаг k=σ*h2. Заменяем производные в исходном уравнении конечными разностями. Находим значение параметра Ui+1,j как функцию. Ui+1,j = σaUi,j+1+(1-2σa)Ui,j+ σaUi,j-1 Наиболее точным расчет получается при Получаем окончательное уравнение: Ui+1,j = (Ui,j+1+4Ui,j+Ui,j-1)/6 Ниже приведена блок-схема решения уравнения теплопроводности: Исходные данные заполнить вручную согласно полученного варианта, а программу оформить в виде макроса и назначить какому-нибудь объекту.