Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

1.6. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока 1.6.1. Метод составления уравнений электрического равновесия по законам Кирхгофа Методические указания Этот метод основан на составлении и совместном решении системы уравнений электрического равновесия, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Общее число независимых уравнений (n) должно быть равно числу неизвестных токов, то есть числу ветвей электрической схемы (р), за исключением ветвей, содержащих источник тока. Последовательность решения Выбрать условное положительное направление токов в ветвях. По первому закону Кирхгофа для схемы, содержащей (q) узлов, составить (q -1) уравнений электрического равновесия. По второму закону Кирхгофа составить уравнений электрического равновесия для независи­мых контуров. При составлении уравнений электрического равновесия сле­дует обратить внимание на знаки. Если заданное или произвольно выбран­ное направление токов и ЭДС совпадают с выбранным обходом контуров, то перед ними в уравнениях электрического равновесия ставят знак плюс, знак у падений напряжений берется в соответствии со знаком тока. Решить полученную систему уравнений электрического равновесия относительно неизвестных токов в ветвях. Выполнить проверку полученного решения по первому закону Кирх­гофа для узлов заданной электрической схемы. Пример решения задачи Для заданной электрической цепи (рис. 1.20) с параметрами: E = 65,5 В; J1 = 3,5 A; J2 = 8 А; R1 = 9 Ом; R2 = 7 Ом; R3 = 5 Ом; Rвн = 3 Ом; Gвн = 0,5 См, определить токи в ветвях. В рассматриваемой электрической цепи неизвестными являются три тока (I3, I4, I5), для определения этих токов необходимо иметь систему из трех уравнений электрического равновесия, которые составляем по законам Кирхгофа: два уравнения электрического равновесия по первому закону Кирхгофа, предварительно задавшись положительными направлениями то­ков в ветвях (для узлов 1 и 2); третье уравнение электрического равновесия по второму закону Кирхгофа. Рис. 1.20. Схема заданной электрической цепи Принимаем контур (R3 – Gвн – R1 – Rвн – E), минуя ветви с источниками тока, и задаемся положительным направлением его обхода (рис. 1.20) (1.29) (1.30) В результате решения системы уравнений (1.30) получим: I3 = 3 А; I4 = 1,5 А; I5 = 6,5 А. 1.6.2. Метод контурных токов Методические указания Этот метод заключается в представлении действительных токов в вет­вях, являющихся общими для двух или большего числа смежных контуров, алгебраической суммой составляющих, каждая из которых является током, замыкающимся в одном из выбранных контуров. Эти составляющие назы­ваются контурными токами. При решении задачи этим методом в расчет вводят контурные токи, составляют уравнения электрического равновесия только на основании второго закона Кирхгофа. Вычислив контурные токи, определяют действительные токи в ветвях. Последовательность решения Выбрать для рассматриваемой схемы независимые контуры, не со­держащие источники тока (J). Задавшись положительными направлениями обхода контуров, соста­вить для выбранных независимых контуров уравнения электрического рав­новесия по второму закону Кирхгофа, принимая направления контурных токов совпадающими с выбранным обходом контуров. В уравнениях элек­трического равновесия учитывать и падения напряжений, обусловленные источниками тока (J) на соответствующих сопротивлениях рассматривае­мого контура. Определить контурные токи. Вычислить действительные токи ветвей как алгебраические суммы токов как контурных, так и источников тока, протекающих через рассмат­риваемую ветвь. Пример решения задачи Для определения трех неизвестных токов выбираем три независимых контура (рис 1.21) и задаемся положительными направлениями их обхода, совмещая положительные направления контурных токов I11, I22, I33 с на­правлениями их обхода: I11 = J1 = 3,5 А; I22 = J2 = 8 А. Рис. 1.21. Схема электрической цепи для метода контурных токов Таким образом, неизвестным является лишь контурный ток I33. Для третьего контура () составляем уравнение электриче­ского равновесия по второму закону Кирхгофа и определяем контурный ток I33 ; (1.31) ; отсюда I33 = 6,5 А. Действительные токи в ветвях: 1.6.3. Метод наложения Методические указания Этот метод основан на том, что действительный ток в рассматри­ваемой ветви равен алгебраической сумме составляющих токов в этой ветви, вызванных каждой из ЭДС и источника тока в отдельности при исключении действия остальных источников ЭДС и тока. Последовательность решения Составить (нарисовать) электрические цепи с одним источником ЭДС или тока, при этом зажимы остальных источников тока размыкать, а источники ЭДС замыкать накоротко. Задаться положительными направлениями токов в ветвях. Определить составляющие токов в ветвях, вызванных рассматри­ваемым источником. Определить действительные токи ветвей как алгебраическую сумму составляющих. Пример решения задачи Определяем составляющие токов в ветвях (I′3, I′4, I′5), вызванные источником ЭДС (E) при исключении источников тока (J1) и (J2) (рис. 1.22, а). Направление токов в цепи определяется согласно направлению источника ЭДС (E): . Рис. 1.22. Схема электрической цепи для метода наложения при исключении источника тока (а) и вызванные источником тока (б) Определяем составляющие токов в ветвях (I′′3, I′′4, I′′5), вызванные ис­точником тока (J1) (рис. 1.22, б) при исключении источника тока (J2) и источ­ника, ЭДС (Е) которого закорачивается. Направление токов в ветвях опре­деляется согласно направлению (J1). Определяем составляющие токов в ветвях (I3"', I4'", I5'"), вызванные источником тока (J2) (рис. 1.23, а) при исключении источника тока (J1) и ис­точника, ЭДС (E) которого закорачивается. Направление токов в ветвях определяется согласно направлению (J2). Рис. 1.23. Схема электрической цепи для определения составляющих токов в ветвях, вызванных источником тока (а) и при исключении (б) Действительные токи в ветвях определяем как алгебраическую сумму составляющих, вызванных каждым из источников энергии (см. рис. 1.23, б): Проверку решений выполняем, применяя первый закон Кирхгофа для трех узлов. 1.6.4. Метод узловых потенциалов Методические указания Этот метод заключается в определении потенциалов узлов, на основа­нии чего вычисляются токи в ветвях по закону Ома. Потенциалы узлов оп­ределяются на основании системы уравнений электрического равновесия (1.32), составленных по первому закону Кирхгофа. При этом токи в уравне­ниях электрического равновесия выражают через потенциалы согласно за­кону Ома для участка цепи. Потенциал одного из узлов принимается рав­ным нулю. , (1.32) где φ1, φ2, φ3 – потенциалы узлов; G11, G22, G33 – собственная (узловая) проводимость, равная сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле, без учета проводимостей ветвей с источниками тока; G12, G21, G31, G13, G23, G32 – взаимная проводимость, равная сумме проводи­мостей ветвей между двумя узлами, без учета проводимостей ветвей с ис­точниками тока; I11, I22, I33,… – узловой ток, равный алгебраической сум­ме токов (J) источников тока и произведений (G-E) (ЭДС ветвей, сходя­щихся в рассматриваемом узле, на их проводимости); эти величины вхо­дят в выражения узловых токов со знаком плюс, если токи (J) и ЭДС (E) направлены к рассматриваемому узлу. Последовательность решения Пронумеровать узлы. Потенциал одного из узлов принять равным ну­лю. Составить систему (q – 1) уравнений электрического равновесия (1.32) Вычислить собственные и взаимные проводимости, узловые токи и подста­вить в систему уравнений электрического равновесия (1.32). Определить потенциалы узлов, решив систему уравнений электриче­ского равновесия (1.32). Определить токи ветвей по закону Ома. Ток ветви равняется разности потенциалов двух узлов, деленной на сопротивление ветви: . (1.33) Пример решения задачи Заземляем один из узлов (например, 3, рис. 1.24), потенциал этого узла (φ3) теперь равен нулю. Для определения потенциалов двух других узлов составляем систему из двух уравнений электрического равновесия по пер­вому закону Кирхгофа: (1.34) откуда φ1 = – 3 В ; φ2 = 29,5 В. Рис. 1.24. Схема электрической цепи для метода узловых потенциалов Токи в ветвях: 1.6.5. Метод эквивалентного генератора Методические указания Этот метод основан на применении теоремы об активном двухполюснике. Согласно теореме, любой активный двухполюсник, содержащий один или несколько источников энергии, можно заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (рис. 1.25). При определении тока, например, в ветви ab любой электрической схемы, эту схему представляют в виде двух частей: рассматриваемой ветви ab и остальной части схемы – эквивалентного генератора (Еэг). Ток в ветви ab определяют по формуле: , (1.35) где Uab xx – напряжение холостого хода активного двухполюсника (эквивалентного генератора) относительно зажимов рассматриваемой ветви; Rвх – входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов ab; Rab – сопротивление рассматриваемой ветви ab. Рис. 1.25. К методу эквивалентного генератора Последовательность решения Определить напряжение Uab xx с помощью одного из известных методов расчета электрических цепей, согласно исходной схеме без рассматри­ваемой ветви ab. Вычислить входное сопротивление Rвх пассивного двухполюсника, т. е. сопротивление исходной электрической цепи относительно точек ab без ветви ab, при замкнутых источниках токов ЭДС и разомкнутых ис­точников токов. Вычислить ток в рассматриваемой ветви ab (см. рис. 1.25) по формуле (1.35). Пример решения задачи Определить ток ветви ab. Определяем Uаb xx. При размыкании ветви ab исходная схема (рис. 1.26) преобразуется в схему, изображенную на рис. 1.26, а. По второму закону Кирхгофа составляем уравнение электрического равновесия для контура а-b-с-а, не содержащего источников тока, обходя контур по часовой стрелке, (1.36) Рис. 1.26. Схема электрической цепи для метода эквивалентного генератора: а - исходная; б – преобразованная Определяем входное сопротивление относительно зажимов выделенной ветви Uаb xx, при этом зажимы источника ЭДС закорачиваем, а зажимы источников тока размыкаем. В результате получается электрическая цепь (рис. 1.26, б):