Радиотехнические цепи и сигналы

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ Конспект лекций 3 Красноярск 2007 УДК 621.372 В конспекте лекций по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» приводятся теоретические материалы для подготовки специалистов в соответствии с учебным планом подготовки по укрупненной группе 210000 – Электронная техника, радиотехника и связь, направление 210200.62 – Радиотехника. / Сост. В.Г. Патюков, Е.В. Патюков, В.Б. Кашкин. – Красноярск.: СФУ. -200 с. 4 Предисловие Конспект лекций по РТЦиС представляет собой учебное пособие по дисциплине "Радиотехнические цепи и сигналы", которая преподаётся для студентов Радиотехнического факультета Сибирского Федерального Университета (СФУ) по специальности "Радиотехника". Материал лекций соответствует общим требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования подготовки дипломированного специалиста по направлению 210200.62 – Радиотехника. Тематика конспекта лекций излагается в соответствии с утвержденным учебным планом, учитывающим параллельное проведение практических занятий, лабораторных работ, выполнение расчетно-графического задания и курсовой работы. Практикум предполагает решение задач по отдельным разделам курса и работу на персональных компьютерах (ПК) в среде MatLab, MathCad, Electronics Workbench и программах разработки кафедры Радиотехника СФУ – SpectrAn и SdCad по моделированию сигналов и их преобразованиям в различных цепях. Курс теории РТЦиС в настоящее время занимает одно из центральных мест среди дисциплин профессиональной подготовки не только радиоинженеров – разработчиков радиотехнических систем самого различного назначения, но и других специальностей, в той или иной мере связанных с регистрацией, обращением, обработкой и использованием самых различных информационных данных, а также пользователей различных систем. Это определяется тем, что информация, наряду с материей и энергией, относится к фундаментальным категориям естествознания и является одной из движущих сил современного развития науки и техники. Но информация не относится к числу материальных объектов и не существует в явной физической форме. Носителями информации являются сигналы в любой форме их материального представления в пределах функционирования конкретных систем, вне которых понятия сигналов также не имеют смысла. Все это и приводит к тому, что профессионально грамотная и эффективная регистрация информации, её обработка, интерпретация и использование возможны только при хороших знаниях теории сигналов и цепей. Для успешного усвоения материала лекций предполагается знакомство с предшествующими курсами – "Высшая математика", "Физика", "Информатика" и др. в объеме программ технических вузов, по крайней мере, на элементарном уровне, а фундаментальные понятия, как правило, поясняются соответствующими иллюстрациями и программами. Большинство приведенных формул пригодны для непосредственного использования, например, в системе Mathcad, в которой выполнено большинство иллюстраций учебного пособия. Самостоятельное изучение материала также рекомендуется сопровождать практическими занятиями и лабораторным практикумом, рекомендо- 5 ванной литературой и несомненную помощь окажут материалы сайта по курсу РТЦиС (www.ire.krgtu.ru ). Важные исторические даты и результаты. Используемые и разрабатываемые в настоящее время разнообразные радиоэлектронные устройства и системы решают самые различные задачи и в первую очередь они обеспечивают передачу и обработку больших объёмов информации об исследуемых процессах и явлениях (например, в радиолокации, радионавигации, связи и др.), решают задачи контроля и управления (например, спутниками Земли, автоматическими аппаратами на других планетах и др.). Такие системы достаточно сложны, в них используются для передачи информации разнообразные сигналы и методы их обработки. Мы живем в информационном мире, который постоянно изменяется. Мы хотим знать больше о себе и обо всём, что нас окружает на малых, очень малых и больших расстояниях и эти новые познания постоянно пополняются. Всё, что мы видим, слышим, знаем, изучаем – все это различные формы информации. Земной цивилизации потребовались многие десятки лет, чтобы научится передавать и обрабатывать информацию. А всё начиналось с величайшего открытия электромагнитного поля, связанное с именами трёх выдающихся учёных 19-века – М. Фарадей, установил закон электромагнитной индукции (1831 г.); Дж. Максвелл, создал теорию электромагнитного поля (1865 г.); Г. Герц впервые экспериментально получил электромагнитные волны (1887 г.), доказал наличие излучения электромагнитных волн, показал возможность их распространения, отражения, преломления, интерференцию и поляризацию. На рис. 1 приведены фотографии Г. Герца и установки, позволяющей проводить опыты по излучению электромагнитных волн. Рис. 1. Г. Герц и экспериментальная установка для изучения электромагнитных волн. Практически это первый прообраз системы связи, который в дальнейшем совершенствовался и в настоящее время воплотился, например, в популярные и бурно развивающиеся сотовые системы связи. А. Попов продолжил исследования, начатые Г. Герцем для увеличения дальности передачи и регистрации сигналов, а также в части совершенство- 6 вания оборудования. Его первые эксперименты и аппараты стали известны уже в 1895 г. На рис. 2 приведены фотографии А. Попова и одной из схем, по которой была реализована система передачи и приёма сигналов того времени. В схеме угадываются элементы, которые после усовершенствования используются и в настоящее время. Рис. 2. А. Попов и его схема обеспечения дальней связи На рис. 3 приведена фотография одного из первых образцов промышленно выпускаемых устройств связи и фотография из мемориальной комнаты А. Попова в г. Санкт-Петербурге с разработками А. Попова и дипломами, которыми эти разработки были отмечены на различных значимых международных выставках. Рис. 3. Первый промышленный аппарат и уголок музея в г. С.-Петербурге За рубежом наиболее широко известен итальянец Гульемо Маркони (1874–1937), применивший электромагнитные волны для радиосвязи после опубликования работ А. С. Попова, но много сделавший для развития радио. Так он в 1901 г. осуществил радиосвязь через Атлантический океан и за рубежом его считают изобретателем радио, поскольку Г. Маркони запатентовал 7 грозоотметчик почти такой же конструкции, как и грозоотметчик А. С. Попова, который свое изобретение не запатентовал. Основы радиотехники и, в частности, современной (статистической) теории связи были заложены в фундаментальных трудах В. А. Котельникова по теории потенциальной помехоустойчивости (1947 г.) и К. Э. Шеннона по теории информации (1948 г.). Отдельные вопросы этой теории рассматривались в работах X. Найквиста (1928 г.), А. Я. Хинчина (1938 г.), А. Н. Колмогорова (1941 г.) и Н. Винера (1943 г.). Дальнейшее развитие отдельных разделов теории получены в трудах Р. Фано, Л. М. Финка, Д. Витерби, В. И. Сифорова и других отечественных и зарубежных ученых. Радиотехника в общем и системы связи, в частности, играют все большую роль в жизни земной цивилизации, объединяя и сближая отдельные страны, континенты и объекты космоса. Последние годы отмечены интенсивным развитием как проводных, оптико-волоконных систем связи, спутниковых, так и подвижных систем радиосвязи, а также развитием других радиотехнических систем, например, – радиолокационных и радионавигационных, повышением их точности при измерении параметров передаваемых сигналов, быстродействия при обработке и помехоустойчивости. Окончание XX-го века и начало XXI-го ознаменовались революционными процессами в различных областях человеческой деятельности и, в частности, в радиотехники. Эти процессы произошли не мгновенно, а в результате кропотливых исследований отдельных разделов теории радиотехники не одним поколением ученых и постепенного накопления информации в течение многих десятилетий. Одним из характерных примеров являются революционные процессы, происходящие в настоящее время в области нанотехнологий [3]. По мнению многих исследователей наноиндустрия открывает невиданный по своему размаху научно-технический прорыв, который изменит облик мира уже в ближайшее десятилетие. Следовательно, 21-й век – век нанотехники и нанотехнологий («нано» – миллиардная часть метра, т. е. 10-9 доля метра). Развитие этого направления – путь к невиданной по размаху научно-технической революции, которая повлияет на все области человеческой деятельности, научит разумным манипуляциям с атомами и молекулами, при создании новых веществ и необходимых интеллектуальных устройств. Наномир, с которым приходится общаться в области нанотехнологий, бросает вызов многим привычным представлениям о характере различных физико-химических преобразований различных веществ, где раскрываются новые свойства этих веществ и новые возможности их использования. Многие развитые страны приняли национальные программы, способствующие развитию нанотехники. Примерами новых ожидаемых результатов в ближайшее время, на основе нанотехнологий, могут служить – увеличение в тысячи раз быстродействия современных компьютеров; создание материалов и изделий методом сборки атомов и использование их для применения, напри- 8 мер, в аэрокосмической технике как более лёгких и, как минимум, на порядок более прочных, чем современные; прорывы в генной инженерии для распознавания канцерогенных и других инородных клеток и их лечения методами наноинженерии и многое другое. Решение отмеченных задач немыслимо без глубокого знания теории сигналов, с помощью которых выполняется передача и обмен информацией. Разделы теории сигналов – в настоящее время наиболее динамично и постоянно развивающаяся дисциплина. Это связано с тем, что необходимо всё глубже понимать окружающий мир, а, следовательно, разрабатывать новые устройства, работающие на новых принципах, новых физических эффектах, используя новые модели сигналов и методы их обработки, приводящие к построению высокоточных, быстродействующих и помехоустойчивых систем различного назначения. Успешное решение подобных вопросов всегда базируется на соответствующем математическом аппарате и многие годы таким аппаратом служил и служит аппарат рядов и интегралов Фурье. Первую широкую информацию о возможных представлениях различных функций, Фурье сделал в 1807 г., когда опубликовал книгу в 1822 г. С тех пор теория рядов Фурье, постоянно совершенствуясь, является мощным математическим аппаратом исследователей. Стандартное преобразование Фурье является весьма популярным инструментом, использующимся при спектральном анализе сигналов. Собственно сам термин "спектр" начал использоваться более интенсивно именно для описания результатов преобразований Фурье, хотя впервые был введён ещё Ньютоном в 1664 г. при описании результатов исследования разложения призмой света на отдельные компоненты. В случаях анализа стационарных сигналов преобразование Фурье является универсальным и чрезвычайно удобным инструментом для их сравнения и анализа. Данное свойство обеспечивается исключительно за счет интегрирующих свойств преобразования Фурье, причем интегрирование выполняется по всей временной оси. Именно здесь и используется стационарность сигналов. В дальнейшем оказалось, что Фурье-анализ мало пригоден при исследовании нестационарных процессов. Поэтому в середине 80-х годов XX-го века во всем мире появился большой интерес исследователей к новому математическому аппарату, позволяющему выполнять разложение функций по компактным, хорошо локализованным по времени и частоте ортогональным базисным функциям (вейвлет-функциям). Этот аппарат, в отличие от преобразования Фурье, позволяет описывать нестационарные сигналы и нашел применение во многих технических областях. Бурное развитие этой тематики началось в 90-х гг. после опубликования работы И. Добеши (I. Daubechies), опубликовавшей способ нахождения таких базисов с заранее заданными 9 свойствами. И. Добеши и С. Маллат [10, 12] показали, что практическая реализация вейвлет-преобразований осуществляется посредством двухполосного банка фильтров анализа-синтеза, известного ранее в теории субполосного кодирования. В настоящее время теория вейвлет-анализа сигналов в основном разработана и идёт интенсивное внедрение при обработке сигналов в различных областях радиотехники, обеспечивая повышение помехоустойчивости различных радиосистем и возможность сжатия передаваемой информации. Главная задача радиотехники состоит в передаче информации на расстояние с помощью электромагнитных колебаний. Науку, занимающуюся изучением физических основ радиотехники, называют радиофизикой. В более широком смысле современная радиотехника – область науки и техники, связанная с генерацией, усилением, преобразованием, обработкой, хранением, излучением и приемом электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона, используемых для передачи информации на расстояние. Как следует из сказанного, радиотехника и радиоэлектроника очень тесно связаны и часто эти термины заменяют друг друга. Преобразование и обработка сигналов осуществляется в системах. Понятия сигнала и системы неразрывны, так как любой сигнал существует в пределах какой-либо системы. Система обработки сигналов может быть реализована как в материальной форме (специальное устройство, измерительный прибор, совокупность физических объектов с определенной структурой взаимодействия и т. п.), так и программно на ЭВМ или любом другом специализированном вычислительном устройстве. Форма реализации системы существенного значения не имеет, и определяет только ее возможности при анализе и обработке сигналов. Другим примером революционных преобразований в науке и технике является интенсивное внедрение, при разработке и анализе разнообразных процессов, методов современного анализа сигналов на основе вейвлетпреобразований [10, 11]. Использование таких методов позволяет повысить точность и помехоустойчивость систем связи, радиолокации, навигации и существенно улучшить функционирование многих систем и приборов. Технический прорыв в различных областях и современное высокотехнологическое производство продукции становится возможным лишь на основе использования эффективных технологий. Составной частью таких технологий являются высокоточные измерительные системы и приборы различного назначения. Только высокоточный контроль за технологическими процессами позволяет создать конкурентно способную продукцию и стимулировать развитие производства. Сами измерительные системы и приборы создаются на современной элементной базе с использованием микропроцессоров, микроконтроллеров и других быстродействующих элементов, включая и разработки на основе нанотехнологий. 10 Совместное использование новых направлений потребует и новых подходов при подготовке высококвалифицированных специалистов, разработке новых программ и новой технологии обучения студентов. 1. Теоретические основы управляющих сигналов и дискретизация 1.1. Введение в теорию сигналов и цепей 1.1.1. Общие сведения и основные понятия. Мир сигналов многообразен, а в технических приложениях сигнал представляет собой функцию определённого аргумента (информационную функцию), несущую сообщение (информацию) о физических свойствах, состоянии или поведении какой-либо физической системы, исследуемом объекте или среды. При приёме и обработке сигналов основной задачей исследователей является извлечение определенных сведений об исследуемом процессе, объекте или переданной информации, которые представлены конкретными сигналами и преобразование этих сведений в форму, удобную для восприятия и дальнейшего использования. Сигнал характеризует взаимосвязи между определёнными величинами, и такие взаимосвязи появились как функциональные зависимости в теории математики ещё в 18-м веке. Большое развитие функциональные зависимости получили в технике связи, радиолокации и радионавигации, где, например, для теоретических расчётов и анализе различных преобразований временных функций реальные сигналы часто идеализируют и широко используют математические модели, применяя обозначения вида s(t), f(t) или u(t). Конкретные функциональные зависимости, полученные в виде математических моделей позволяют исследовать свойства сигналов, определять его способность передавать необходимую информацию, обеспечивать возможность построения и функционирования различных быстродействующих, высокоточных и помехоустойчивых систем связи, радиолокации, радионавигации и многих других устройств. Математическая модель может быть задана в виде аналитических выражений, графиков или таблиц. Одна и та же математическая модель позволит исследователю характеризовать как ток и напряжение, так и свойства линейных цепей или получить вероятностное описание случайного процесса. Примером обобщённой математической модели может служить широко распространенная функция Гаусса, представляемая в общем виде формулой: 2 y ( x ) = A exp(− ( ( x − x0 ) / ∆x ) ) , где параметр А характеризует амплитуду исследуемой функции, х – аргумент, определяющий функциональную зависимость, х0 и ∆х определяют координату максимального значения и протяжённость функции. Такая обобщённая функция, например, позволит исследователю описать свойства сигнала во временной или частотной области и отме- 11 тить характерные особенности в зависимости от изменения параметров. Для этого следует записать формулу соответствующей математической модели сигнала, характеризующего изменение, например, напряжения, как функцию 2 времени, в виде: s ( t ) = u (t ) = U m exp(− ( (t − t0 ) / τ è ) ) , где Um – амплитуда исследуемого напряжения, t0 – координата максимального значения, а τи – длительность импульса. График рассмотренной модели функции напряжения для разных значений параметров t0 и τи приведён на рис. 1.1а. Такой же математической зависимостью можно охарактеризовать некоторые линейные цепи, представив модуль комплексной передаточной функции цепи (амплитудно-частотной характеристики – АЧХ) в виде: 2 Κ ( jω ) = Κ 0 exp(− ( (ω − ω0 ) / ∆ω ) ) , где К0 – значение АЧХ при ω − ω0 = 0 , а ∆ω – полоса пропускания исследуемой цепи (протяжённость функции). График рассмотренной модели функции АЧХ для разных значений параметров ω0 и ∆ω приведён на рис. 1.1б. И, наконец, эта же формула может быть использована для описания других функциональных зависимостей, например, законов распределения случайных процессов. Так, одну из основных вероятностных характеристик случайного процесса – плотность распределения, часто встречающуюся при решении различных радиотехнических задач можно представить формулой: ω ( x) = (1/ σ 2π ) exp[− ( ( x − x0 )2 / 2σ 2 )] , где x0 – координата экстремального значения функции, а σ 2 – характеризует интенсивность флуктуаций. Характерные графики рассмотренной модели плотности распределения ω ( x ) для разных значений параметров x0 и σ 2 приведёны на рис. 1.1с. Ìîäåëü ôóíêöèè À×Õ öåïè - Ê(w) Ìîäåëü ôóíêöèè íàïðÿæåíèÿ u(t) 50 Âðåìÿ ( ñ) 100 0.1 0.5 50 ðàä ÷àñòîòà c 100 Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ìîäóëü À×Õ ëèíåéíîé öåïè Íàïðÿæåíèå (B) 0.5 Ìîäåëü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ - w(x) 1 1 0.05 50 Çíà÷åíèÿ ñèãíàëà 100 ( Â) а) б) с) Рис.1.1. Варианты использования одной математической модели (Гауссовой) для описания разных функциональных зависимостей 1.1.2. Информация, сообщение и сигнал. Сигналы при разнообразных их описаниях представляют физический процесс, содержащий в себе информацию, которую необходимо передать. Один из основателей теории информации К. Шеннон отмечал, что "Информация – послание, которое уменьшает неопределенность", т. е. неопределенность знаний об исследуемом объекте. Следовательно, в широком смысле информацию можно определить как сово- 12 ω купность знаний об окружающем мире. В отличие от других характеристик окружающего нас мира (например, энергетических), информационные характеристики не уменьшаются при потреблении, а накапливаются со временем и с помощью технических средств относительно просто их можно обрабатывать, хранить и имеется возможность обмениваться информацией на значительных расстояниях. Особенность информации состоит в том, что часто она появляется в одном месте, а может использоваться в другом. Для передачи или хранения информации используют различные знаки (символы), позволяющие выразить или представить ее в определенной форме. Этими знаками могут быть слова и фразы человеческой речи, рисунки, различные формы колебаний, математические формулы и т. д. Очень часто наряду с информацией используются данные. Данные могут рассматриваться как зарегистрированные результаты эксперимента, которые по различным причинам могут не использоваться, а только хранится. Когда же появляется возможность использования этих данных для уточнения определенных событий о чем-либо, они превращаются в информацию. Поэтому информацией можно считать используемые данные. Информация, подлежащая передаче и выраженная в определенной форме, называется сообщением. Сообщение может быть представлено в форме текста телеграммы, некоторых сведений, передаваемых по телефону, факсу, радио, телевидению или телеграфу и т. д. Сообщения могут быть функциями времени, например речь при телефонных разговорах, температура, давление при передаче телеметрических данных, спектакль при передаче по телевидению и т. д. Сообщение может и не являться функцией времени (например, текст телеграммы, неподвижное изображение и пр.). Сообщение (информация) может быть передано на какое-либо расстояние с помощью определенного материального носителя. В радиотехнике и теории связи в качестве носителей сообщений используют различные сигналы. Сигнал – физический процесс (или явление), несущий информацию о состоянии какого-либо объекта наблюдения. Сигнал позволяет переносить информацию в пространстве и времени. По своей физической природе сигналы бывают электрическими, световыми, звуковыми и др. В радиотехнике используются электрические или магнитные сигналы. Так, электрический сигнал позволяет передавать сообщения во времени, то есть является функцией времени, даже если сообщение, представляет собой постоянные данные, например, неподвижное изображение, которое во времени не изменяется, то есть сигнал всегда является функцией времени. Современная радиоэлектроника – это обобщенное название ряда областей науки и техники, связанных с передачей и преобразованием информации на основе использования и преобразования электромагнитных колебаний 13 и волн радиочастотного диапазона; основными из этих областей являются: радиотехника, радиофизика и электроника. Основная задача радиотехники состоит в передаче информации на расстояние с помощью электромагнитных колебаний. В более широком смысле современная радиотехника – область науки и техники, связанная с генерацией, усилением, преобразованием, обработкой, хранением, передачей и приемом электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона, используемых для передачи информации на расстояние. Как следует из этого, радиотехника и радиоэлектроника тесно связаны и часто эти термины заменяют друг друга. Науку, занимающуюся изучением физических основ радиотехники, называют радиофизикой. 1.1.3. Основные параметры сигналов. Полезный сигнал также является объектом транспортировки (передачи), а техника связи – по существу техникой транспортирования сигналов по каналам связи. Поэтому целесообразно определить параметры сигнала, которые являются основными с точки зрения его передачи. Такими параметрами являются [4, 5] – длительность сигнала Тc, его ширина спектра Fc и динамический диапазон D c. Практически каждый сигнал, рассматриваемый как временной процесс, имеет начало и конец. Поэтому длительность сигнала Тc является естественным его параметром, определяющим интервал времени, в пределах которого сигнал существует. Ширина спектра сигнала Fc дает представление о скорости изменения сигнала внутри интервала его существования. Спектр передаваемого сигнала в принципе может быть неограниченным. Однако для любого сигнала можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена его основная (до 90%) энергия. Этим диапазоном и определяется ширина спектра полезного сигнала. В радиотехнике и, в частности, в системах связи реальную ширину спектра передаваемого сигнала часто сознательно сужают. Это связано с тем, что аппаратура и линия связи имеют ограниченную полосу пропускаемых частот. Сужают спектр исходя из допустимых искажений сигнала. В частности, при телефонной связи требуется, чтобы речь была разборчива и абоненты могли узнать друг друга по голосу. Для выполнения этих условий достаточно передать речевой сигнал в полосе от 0.3 до 3.4 кГц. Передача более широкого спектра речи в этом случае нецелесообразна, поскольку ведет к техническим усложнениям аппаратуры и увеличению затрат. Точно также необходимая ширина спектра телевизионного сигнала определяется требуемой четкостью изображения. Если применяется стандарт с 625 строками, то верхняя частота спектра сигнала составляет 6 МГц. Спектр сигнала изображения много шире спектра сигнала звукового сопровождения, что существенно усложняет построение телевизионных систем по сравнению с системами звукового вещания. 14 Как правило, спектр модулированного сигнала шире спектра передаваемого сообщения и зависит от вида модуляции. Поэтому в теории сигналов используют такой параметр, как база сигнала [4]: Вc = 2FcTc 1.1) или вводят более общую характеристику – объём сигнала: V c=TcFcDc. 1.2) Объём сигнала дает общее представление о возможностях данного множества сигналов как переносчиков сообщений. Чем больше объём сигнала, тем больше информации можно "упаковать" в этот объём, но тем труднее передать такой сигнал по каналу связи с требуемым качеством. И, наконец, динамический диапазон Dc – это отношение наибольшей мгновенной мощности передаваемого сигнала к той наименьшей мощности, которую необходимо отличать от нуля при заданном качестве передачи. Он выражается обычно в децибелах (N дБ=20 lgU 1/ U2) и, например, динамический диапазон речи телевизионного диктора равен 25…30 дБ, небольшого вокального ансамбля – 45…65 дБ, а симфонического оркестра – 75…100 дБ. Во избежание перегрузок канала в радиовещании динамический диапазон часто сокращают до 35…45 дБ. Как правило, электрические сигналы, непосредственно отражающие сообщения, маломощны и низкочастотны. Известно, что электрические сигналы с низкими частотами не могут эффективно излучаться в свободное пространство. Передавать их непосредственно можно только по проводным или кабельным линиям (телефонная, телеграфная связь и т. д.). Для передачи информации используют специальные электрические сигналы (переносчики сообщений), которыми являются хорошо излучающиеся и распространяющиеся в свободном пространстве высокочастотные гармонические электромагнитные колебания (несущие колебания). Сами несущие колебания не содержат информации, а только ее переносят. Передаваемая по каналам связи информация закладывается в один или несколько параметров несущего колебания. Длина волны электромагнитного колебания связана с ее циклической частотой и скоростью распространения света следующей формулой: λ = с/f, где с=3 ·108 м/с – скорость света; f – частота, Гц. 15 1.3) В современной радиотехнике и теории связи используют электромагнитные колебания, расположенные в диапазоне частот от 10 до 1013 Гц. Электромагнитные колебания с такими частотами принято называть радиоволнами или просто волнами. 1.1.4. Классификация диапазонов радиоволн и частот. Общепринятая международная классификация диапазонов радиоволн и соответствующих им диапазонов радиочастот приведена в табл. 1.1. Таблица 1.1 Наименования волн Диапазон волн Диапазон частот Декамегаметровые 105 км …10 4 3…30 Гц Мегаметровые 104 км …10 3 Гектокилометровые 103 …102км Устаревшие (нерегламентные) термины 30.. .300 Гц 300.. .3000 Гц Мириаметровые 100…10 км 3…30 кГц Километровые 10…1 км 30...300 кГц Длинные (ДВ) Гектометровые 1000…100 м 300...3000 кГц Декаметровые 100…10 м 3…30 МГц Короткие (KB) Метровые 10…1 м 30...300 МГц Дециметровые 100…10 см 300...3000 МГц Ультра- Сантиметровые 10…1 см 3…30 ГГц короткие Миллиметровые 10…1 мм 30...300 ГГц (УКВ) Децимиллиметровые 1…0.1 мм Сверхдлинные Средние (СВ) 300...3000 ГГц Для обеспечения устойчивой и надежной радиосвязи очень важна длина волны несущего колебания. На выбор диапазона радиоволн для конкретной системы передачи информации влияет ряд факторов, связанных с осо- 16 бенностью излучения и распространения электромагнитных волн; характером имеющихся в заданном диапазоне помех; параметрами сообщения; характеристиками и габаритными размерами передающих и приемных антенн. Механизм возникновения и распространения высокочастотных электромагнитных колебаний (электромагнитных волн) достаточно сложен и до настоящего времени не имеет четкого физического обоснования, и его невозможно описать, основываясь на привычных понятиях о постоянных электрическом и магнитном полях. Как известно из курса физики, постоянные электрические и магнитные поля не могут существовать без породивших их источников – зарядов или токов. Возбужденное же каким-либо источником переменного тока электромагнитное поле может существовать само по себе в отрыве от источника и, после излучения в виде электромагнитных волн в свободное пространство, будет распространяться в нем практически со скоростью света. В радиовещании широкое применение нашли средние волны. В этом диапазоне осуществляется наиболее устойчивый прием, однако трудно обеспечить большую дальность (меньшая дифракционная способность по сравнению с более длинными волнами). Поэтому в этом диапазоне работает преимущественно местное радиовещание в зоне с радиусом в несколько сотен километров. Однако в России есть очень мощные станции этого диапазона, обслуживающие и большую территорию. Диапазон коротких волн позволяет обеспечить большую дальность действия при относительно малой мощности передатчика и направленном излучении антенны. Основным недостатком этого диапазона являются так называемые замирания – колебания уровня принимаемого сигнала, что приводит к искажению принятого сообщения. Исследования показали, что имеются оптимальные длины волн для различных часов суток и времени года. Короткие волны успешно применяют в радиовещании, радиотелеграфии на магистральных линиях связи, в морской и авиационной радионавигации. Освоение высокочастотных диапазонов позволило развить такие области как телевидение и космическая связь. Благодаря распространению волн только в пределах прямой видимости и отсутствию поверхностной волны практически полностью исключены явления интерференции волн и, следовательно, искажения сообщений. Из-за высокой несущей частоты в этих диапазонах можно разместить большое число несущих, т. е. передавать большое число различных сообщений независимо друг от друга. Большим достоинством высокочастотных диапазонов является возможность построения антенн, соизмеримых с длиной волны, только при этом условии имеет место эффективное излучение (сотовые системы связи). Применение искусственных спутников Земли позволяет эффективно использовать распространение волн в пределах прямой видимости для построения систем связи большой дальности. 17 1.1.5. Общая характеристика радиотехнических цепей. Общая классификация цепей может быть проведена по виду аналитического описания взаимосвязи между выходными и входными сигналами. Обычно это дифференциальные уравнения n-го порядка учитывающие такие взаимосвязи и по характеру коэффициентов уравнения радиотехнические цепи подразделяются в соответствии с рис. 1.2. Линейные цепи преобразования сигналов описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, причем для них верен принцип суперпозиции, согласно которому реакция систем на сложный сигнал, состоящий из суммы простых сигналов, равна сумме реакций от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на гармоническое колебание с определенной частотой определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд гармоник по частотному спектру сигнала. Широкое использование гармонических функций при анализе сигналов объясняется тем, что они являются достаточно простыми ортогональными функциями [1] и определены при всех значениях t. Немаловажное значение имеет и то обстоятельство, что для гармонических функций и их комплексного представления по Эйлеру разработан мощный математический аппарат, который будет использован в дальнейшем. Цепи Линейные Нелинейные Параметрические Рис. 1.2 Структура обобщенного функционального преобразования сигнала в произвольной цепи приведена на рис. 1.3. Рис. 1.3. Функциональное преобразование сигнала Отмеченная на рис. 1.3 формализованная цепь представляет собой системный оператор (алгоритм) преобразования входного сигнала s(t) – воздействия или возбуждения, в сигнал на выходе системы y(t) – отклик или вы- 18 ходную реакцию системы. Символическое обозначение операции преобразования (трансформации сигнала – transformation) обозначается: y(t)=T[s(t)]. 1.1.6. Классификация радиосистем и решаемых ими задач. В каждой радиотехнической системе используемые сигналы подвергаются различным преобразованиям. Некоторые из них являются обязательными для всех систем, независимо от назначения и характера передаваемой информации. На рис.1.4 приведена обобщенная структурная схема произвольной системы передачи информации, из которой видно, что для большинства систем обязательны – передатчик и приемник, а воздействующие помехи могут оказывать влияние не только на сигнал, сформированный передатчиком, но и на сигнал, обрабатываемый приемником. Рис. 1.4. Обобщенная структурная схема произвольной системы передачи информации Под действием помех сигнал, проходя через канал связи, искажается. Поэтому одной из задач при организации канала связи является повышение помехоустойчивости канала. К основным задачам, обычно решаемым радиосистемами, относятся: • обнаружение сигналов с учетом воздействия помех; • различение сигналов с учетом воздействия помех; • декодирование и оценка параметров; • воспроизведение сообщений. Структурная схема передающей части канала связи представлена на рис. 1.5. 19 Рис. 1.5 На рис. 1.5 – датчик преобразовывает передаваемую информацию в электрический сигнал – сообщение. Кодирующее устройство выполняет функцию преобразования сообщения в сигнал другой формы, более пригодной для передачи. Этот сигнал часто называют управляющим. В цифровых системах это устройство преобразует непрерывный сигнал в цифровой код. Запоминающее устройство хранит сигнал до момента его передачи. Модулятор осуществляет изменение (модуляцию) одного или нескольких параметров высокочастотного несущего колебания по закону управляющего сигнала. Типовое радиоприемное устройство произвольной радиосистемы (рис. 1.6) состоит из избирательного усилителя, детектора – обеспечивающего выделение передаваемого сообщения, декодирующего устройства и устройства обработки принятого сигнала (оконечное устройство). Рис. 1.6 На рис. 1.7 приведен вариант цифровой обработки сигнала цифровой радиосистемы. Фактически – это цифровой фильтр, характеристики которого можно изменять, с помощью изменения программы работы цифрового процессора (ЦП). В соответствии с рисунком можно заметить, что существенным отличием цифровой обработки от аналоговой является наличие аналогоцифрового (А/Ц) и цифро-аналогового (Ц/А) преобразователей. Временные диаграммы позволяют проследить качественный характер преобразования 20 сигнала в отдельных блоках. Рис. 1.7. Структура построения основных блоков цифрового приемника 2. Сигналы, их особенности и классификация 1.2.1. Классификация сигналов. То, что в радиотехнике называют словом – «сигнал» происходит от латинского «signum», т. е. в переводе – «знак» и представляет собой физический процесс, изменяющийся во времени (временная область). Более широко, под этим понимаются изменения сигнала одновременно и в частотной (спектральной) области. Общее представление и принятые обозначения понятия «сигнал» приведены на рис. 1.8. Поэтому, когда используется «сигнал», то уточняется область его представления. В наиболее общей формулировке «сигнал» это зависимость одной величины от другой (то есть с математической точки зрения сигнал является функцией). Чаще всего рассматриваются зависимости от времени, хотя это не обязательно. Например, в системах оптической обработки информации сигналом может являться зависимость интенсивности света от пространственных координат. Физическая природа сигнала может быть различной. Очень часто это напряжение, несколько реже – ток, возможны и многие другие физические величины. Для теоретического изучения и расчёта сигналов составляется аналитическое выражение (математическая модель) исследуемого сигнала, что позволяет сравнить сигналы между собой, выявить их основные свойства, провести классификацию и др. Сигнал s (t ) – колебание во временной области S ( jω ) – функция в частотной области Рис. 1.8 Анализ – один из ключевых компонентов обработки сигналов. Под "анализом" сигналов понимается не только их чисто математические описания и преобразования, но и получение на основе этих преобразований выводов об их специфических особенностях. Целями анализа сигналов обычно являются: – определение или оценка числовых параметров сигналов (например, энергии, средней мощности, среднеквадратического значения и др.); 21 – разложение сигналов на элементарные составляющие для сравнения свойств различных сигналов. Такое разложение производится с использованием рядов и интегральных преобразований, важнейшими среди которых яв– ляются ряд Фурье и преобразование Фурье; – сравнение степени близости ("похожести") различных сигналов, в том числе с определенными количественными оценками. Такое сравнение (измерение) производится с применением аппарата корреляционного анализа. На рис. 1.9 приведена структура обобщенной классификации сигналов, которая может быть использована для описания сигналов, как во временной области, так и при исследовании характеристик сигналов в частотной области. Более точные вопросы разделения сигналов сопряжены с их особенностями и уточняются на этапе конкретного рассмотрения отдельных свойств конкретных групп сигналов. Сигналы Детерминированные Периодические Случайные Непериодические Стационарные Нестационарные Рис. 1.9. Первый этап классификации сигналов 1.2.2. Детерминированные и случайные сигналы. Детерминированный сигнал (континиус, континуальный – т. е. полностью известный) – это сигнал, мгновенные значения которого в любой момент времени известны и поэтому не представляет интереса для исследования, т. к. не содержит информации, но важен для изучения общих свойств сигналов. Примерами детерминированных сигналов могут быть: последовательности импульсов (форма, амплитуда и положение во времени которых известны), непрерывные сигналы с заданными амплитудно-фазовыми соотношениями и др. Способы задания модели сигнала могут быть различные: аналитическое выражение (формула), осциллограмма или спектральное представление. Один из примеров модели детерминированного сигнала s(t)=UmSin(ω 0t+ϕ0) приведен на рис. 1.10. Это гармонический сигнал, который является одним из широко распространенных тестовых сигналов и особенно часто применяется для анализа характеристик различных цепей. Такой гармонический сигнал 22 полностью определяется тремя числовыми параметрами: амплитудой U m, частотой ω 0 и начальной фазой ϕ0. s(t) S(ω) Um t ω ω0 Рис. 1.10. Детерминированный гармонический сигнал и его спектр В некоторых разделах радиотехники детерминированные сигналы достаточно условно разделяют на чисто детерминированные и квазидетерминированные (от лат. quasi – "почти"). Квазидетерминированные сигналы – это сигналы с частично известным характером изменения во времени. Они наиболее интересны в метрологии и измерительной технике. В свою очередь детерминированные и квазидетерминированные сигналы делятся ещё на элементарные, описываемые простейшими математическими формулами, и сложные. Элементарными являются постоянный и гармонический сигналы, а также сигналы, описываемые некоторыми специальными функциями. К сложным относятся импульсные и модулированные сигналы. Случайный сигнал – сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени заранее неизвестно, а может быть предсказано лишь с некоторой вероятностью, меньше единицы (при вероятности равной единице – сигнал известен). Примером случайного сигнала может быть напряжение, соответствующее человеческой речи, музыке; последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приемника; помехи, шумы и др. На рис. 1.11 приведены примеры графиков (реализаций) случайных сигналов. s(t) t t Рис. 1.11. Примеры реализаций случайных процессов 23 1.2.3. Сигналы, применяемые в радиотехнике. Одни из основных моделей сигналов, являются сигналы непрерывные по величине (уровню) и непрерывные по времени (непрерывные или аналоговые – рис. 1.10), которые принимают произвольные значения s(t) и существуют в любой момент в заданном временном интервале. Непрерывные по величине и дискретные по времени (рис. 1.12а) сигналы заданы при дискретных значениях времени (на счетном множестве точек), величина сигнала s(t) в этих точках принимает любое значение в определенном интервале по оси ординат. Квантованные по уровню и непрерывные по времени сигналы (рис. 1.12б) заданы на всей временной оси, но величина s(t) может принимать лишь дискретные (квантованные) значения. Обычно используются общепринятые понятия – квантование по уровню и дискретизация по времени (более подробно в разделе – Дискретизация сигналов). Термин «дискретный» характеризует способ задания сигнала на оси времени. s(t) s(t) t t а) б) Рис. 1.12. Непрерывный по уровню и дискретный по времени сигнал – (а), квантованный по уровню и непрерывный по времени сигнал – (б) Квантованные по уровню и дискретные по времени (цифровые) сигналы (рис. 1.13) – когда передаются значения уровней сигнала в цифровой форме. Простейшая математическая модель дискретного сигнала s(t) – это счетное множество точек {ti} (i – целое число) на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала s i. Как правило, шаг дискретизации ∆t=t 1 + i - t i и для каждого сигнала постоянен. S i −1 s(t) Si S i+1 t ti −1 t ti ti +1 Рис. 1.13. Квантованные по уровню и дискретные по времени сигналы 24 Еще один признак, используемый для классификации сигналов и существенно влияющий на методы их анализа – это периодичность. Для периодического сигнала (пример на рис. 1.9) с периодом T, измеряемого в секундах (с), выполняется соотношение s(t) = s(t + nT) при любом t, где n – произвольное целое число. Если величина T является периодом сигнала s(t), то периодами для него будут и кратные ей значения: 2T, 3T и т. д. Как правило, говоря о периоде сигнала, имеют в виду минимальный из возможных периодов. Величина, обратная периоду, называется частотой повторения сигнала, измеряемой в Герцах (Гц): f =1/T. В теории сигналов также часто используется понятие круговой частоты: ω = 2πf, измеряемой в радианах в секунду (рад/с). Импульсные сигналы. Импульс – колебание (сигнал), существующее лишь в пределах конечного отрезка времени. На рис. 1.14 приведены примеры видеоимпульса и радиоимпульса. Следует отметить, что термин "видео" в этом обозначении совсем не подразумевает отношения сигнала именно к телевизионной технике. sв(t) sр(t) τи А τф τср А t t (а) (б) Рис. 1.14. Примеры сигналов – видеоимпульса (а) и – радиоимпульса (б) Для видеоимпульса (пример на рис. 1.14а) обычно вводятся параметры: А – амплитуда; τи – длительность видеоимпульса; τф – длительность фронта; τср – длительность среза. Математическая модель для радиоимпульса (пример на рис. 1.14б): sр(t)=sв(t)sin(ω0t+ϕ0), где sв(t) – видеоимпульс, т. е. огибающая радиоимпульса. 1.2.4. Общая характеристика простейших сигналов. Такие сигналы не так и просты, как их называют, но потому что часто используются в инженерной практике, рассмотрим подробнее эти модели, приведенные в табл. 1.2. Таблица 1.2 Сигнал (функция) Аналитическое выражение График 25 Примечание Функция знака Функция включения (Хевисайда) Дельта-функция (Дирака) Единичный прямоугольный импульс (rect-функция) Дельта-импульс Кронекера sinc-функция s (t ) ⋅ sign(t ) = − s(t ), t < 0 1, t > 0  sign(t ) = 0, t = 0  − 1, t < 0  s (t ) ⋅ (− sign(t )) = − s (t ), t > 0  1, t ≥ 0  σ (t ) = 1(t ) = 0, t − др. 1  ,t = 0 2 σ (t ) = ∞, t = 0 δ (t ) =  0, t − другие δ (t ) =  t  rect   = τu  τ  τu ≤t ≤ u 1, − = 2 2 0, t − другие  t rect  τu dσ (t ) dt   τ   = σ  t + u  − 2     τ  − σ t − u  2   1, t = 0 δ (t ) =  0, t − другие. sinc(t ) = 1 1 + sign (t ) 2 2  t δ (t ) = lim rect  τ u →0 τu    lim sin c(t ) = 1 sin t t t →0 В табл. 1.2 приведенные сигналы являются функциями времени, но следует отметить, что такие же функции используются и в частотной области, где аргументом будет частота. Любую из функций можно смещать во времени в желаемую область временной плоскости и использовать для описания более сложных сигналов. Графики приведенных сигналов и их аналитическое описание приведены в таблице, но следует кратко отметить особенности, некоторые из которых отмечены в примечаниях. 26 Функция знака. Произвольный сигнал, умноженный на функцию знака, изменяет знак сигнала во временных областях отмеченных в примечаниях. Функция включения (единичная функция или функция Хевисайда), позволяет описать процесс перехода некоторого физического объекта из исходного – «нулевого» в «единичное» состояние, причем этот переход совершается мгновенно. C помощью функции включения удобно описывать, например, разнообразные процессы коммутации в электрических цепях. При моделировании сигналов и систем значение единичной функции (функции скачка) в точке t=0 очень часто принимают равным 1, если это не имеет принципиального значения. Эта функция используется также при создании математических моделей сигналов конечной длительности. При умножении любой произвольной функции, в том числе периодической, на прямоугольный импульс, сформированный из двух последовательных функций включения s(t)=σ(t)-σ(t-T), из неё «вырезается» участок на интервале 0-Т, и обнуляются значения функции за пределами этого интервала (следует обратить внимание из аналитической записи этого примера, где «выставлены» эти функции). Произведение произвольного сигнала на функцию включения характеризует начало действия сигнала. Дельта-функция или функция Дирака по определению дополнительно описывается следующими математическими выражениями: ∞ δ(t-τ) = 0 при t ≠ τ, ∫ δ(t-τ) dt = 1, -∞ причем интеграл характеризует тот факт, что эта функция имеет единичную площадь и локализована в конкретной временной точке. Функция δ(t-τ) не является дифференцируемой, и имеет размерность, обратную размерности её аргумента, что непосредственно следует из безразмерности результата интегрирования и, в соответствии с примечаниями таблицы, характеризует скорость изменения функции включения. Значение дельта-функции равно нулю везде за исключением точки τ, где она представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечно большой амплитудой. Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать амплитудное значение, равное бесконечности, в точке t=τ на аналоговой временной шкале, т. е. определенной по времени также с бесконечной точностью. Но во всех случаях, когда площадь импульса равна 1, длительность импульса достаточно мала, а за время его действия на входе какой-либо системы сигнал на ее выходе практически не изменяется (реакция системы на импульс во много раз больше длительности самого импульса), входной сигнал можно считать единичной импульсной функцией со свойствами дельта - функции. При всей своей абстрактности дельта-функция имеет вполне опреде- 27 ленный физический смысл. Представим себе импульсный сигнал прямоугольной формы (выразив его функцией из таблицы – это rect-функция, т. е. сигнал s(t)=(1/τи)rect[(t-τ)/τи], от англ. rectangle – прямоугольник) длительностью τи, амплитуда которого равна 1/τи, а площадь соответственно равна 1. При уменьшении значения длительности τи импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, равную 1, и возрастает по амплитуде. Предел такой операции при τи→0 и носит название дельта-импульса. Этот сигнал δ(t-τ) сосредоточен в одной координатной точке t=τ, конкретное амплитудное значение сигнала не определено, но площадь (интеграл) остается равной 1. Это не мгновенное значение функции в точке t=τ, а именно импульс (импульс силы в механике, импульс тока в электротехнике и т. п.) – математическая модель короткого действия, значение которого равно 1. Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Суть его заключается в том, что если дельта-функция δ(t-τ) входит под интеграл какой-либо функции в качестве множителя, то результат интегрирования равен значению подынтегральной функции в точке τ расположения дельта-функции, т. е.: ∞ ∫ s(t) δ(t-τ) dt=s(τ). -∞ Пределы интегрирования в этом выражении можно ограничить ближайшими окрестностями точки τ. Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем разрешающая способность по аргументу сигнала определяется интервалом его дискретизации ∆t, что позволяет в качестве единичного импульса использовать дискретный интегральный аналог дельта-функции – функцию единичного отсчета δ(k∆t-n∆t), которая равна 1 в координатной точке k=n, и нулю во всех остальных точках. Функция δ(k∆t-n∆t) может быть определена для любых значений ∆t=const, но только для целых значений координат k и n, поскольку других номеров отсчетов в дискретных функциях не существует. Математические выражения функций δ(t-τ) и δ(k∆t-n∆t) называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не следует забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках τ и n∆t, а импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от -∞ до ∞. Дополнительную информацию о рассмотренных функциях определим при знакомстве с методами спектрального анализа сигналов. 1.3. Методы описания сигналов 28 1.3.1. Общие характеристики сигналов. В результате развития радиотехники и методов математического анализа была разработана теория сигналов на основе функционального анализа, в котором сигнал представляется как вектор в специальном бесконечномерном линейном пространстве. Это дало возможность говорить о величине сигнала, проводить сравнительный анализ сигналов и т. д. Линейное множество сигналов наделено специальной структурой, причем выбор структуры характеризуется физическими соображениями (например, электрические сигналы суммируются, умножаются и т. д.). Отметим основные положения этой теории. – В линейном пространстве сигналов вводится координатный базис (координатные оси). Вектора координатного базиса ei линейно независимы, то есть выполняется соотношение: ∑c e = 0 . i • i i Если использовано разложение сигнала s(t) в виде: s (t ) = ∑ ci • ei , i то числа (коэффициенты) сi являются проекциями сигнала s(t) относительно выбранного базиса. – Норма сигнала. Для количественной оценки сигналов в линейном пространстве сигналов вводится понятие нормы как длины вектора сигнала и для действительных аналоговых сигналов норма равна: ∞ ∫ s (t )dt , s (t ) = 2 (1.4) −∞ для комплексных сигналов: ∞ ∫ s(t )s (t )dt , s (t ) = ∗ −∞ для дискретных сигналов: s (t ) = ∞ ∑ (s ) i = −∞ 2 i . В этом случае линейное пространство становится нормированным. 29 – Энергия сигнала – это квадрат нормы равный: ∞ ∫ s (t )dt . Es = s (t ) = 2 2 (1.5) −∞ – Метрика. Расстояние между сигналами в нормированном линейном пространстве называется метрикой. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: ρ (s1 , s2 ) = s1 − s2 . Зная метрику можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует (может заменять) другой. Линейное нормированное пространство становится метрическим. – Угол между двумя сигналами метрического нормированного линейного пространства определяется из их скалярного произведения: ∞ ( s1 , s2 ) = ∫ s (t ) ⋅ s (t )dt , 1 2 −∞ а косинус угла между сигналами находится по формуле: cosθ = ( s1 , s2 ) . s1 ⋅ s2 Линейное пространство с таким скалярным (масштабированным) произведением называется Гильбертовым. – Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (а также и взаимная энергия) равно нулю. (s1 , s2 ) = ∞ ∫ s (t ) ⋅ s (t )dt = 0 . 1 2 −∞ В Гильбертовом пространстве задается ортонормированный базис, для которого скалярное произведение равно: 1, i = j  ( si , s j ) =  . 0, i ≠ j  30 Примером ортонормированного базиса может служить система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом. – Обобщенный ряд Фурье. Произвольный сигнал s(t) в Гильбертовом пространстве можно разложить в обобщенный ряд Фурье в выбранном базисе функций φn(t): s (t ) = ∞ ∑ c ϕ (t ) , n = −∞ n n (1.6) где сn – комплексные коэффициенты ряда, определяемые с учетом ортонормированности выбранного базиса и находятся по формуле: t2 cn = ∫ s (t ) ⋅ ϕn (t )dt . t1 Коэффициенты ряда сn – являются амплитудами (весовыми коэффициентами) выбранных базисных функций. 1.3.2. Спектральные характеристики периодических сигналов. В радиотехнике в качестве базиса ортогональных функций чаще всего используются экспоненциальные или гармонические функции, что связано с простотой их генерации, а также с тем, что гармонические сигналы сохраняют свою форму при преобразованиях в линейных цепях, но может измениться амплитуда и фаза таких сигналов. Спектральное разложение сигнала – это представление сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами и фазами. Частотный спектр – это набор отдельных гармонических составляющих характеризующий исследуемый сигнал в спектральной области. Ряд Фурье в тригонометрической форме, как наиболее часто используемый вариант записи для произвольного периодического сигнала имеет вид: s (t ) = a0 ∞ + ∑ (an cos nω0t + bn sin nω0t ) . 2 n =1 Коэффициенты ряда определяются по формулам: T 2 2 a0 = s (t )dt ; T −T∫ 2 31 (1.7) T 2 2 an = s (t ) cos nω0tdt ; T −T∫ 2 T bn = 2 2 s (t ) sin nω0 tdt . T −T∫ 2 В общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний – гармоник, с частотами ωn = nω0, (n = 0, 1,..) кратными основной частоте ω0=2π/T исследуемого сигнала с известным периодом T. Четный сигнал содержит только косинусоидальные составляющие ряда, а нечетный сигнал – синусоидальные. Каждую гармонику можно описать её амплитудой Аn и начальной фазой ϕn, тогда коэффициенты ряда Фурье принимают вид: an = An cos ϕ n ; bn = An sin ϕ n ; An = an + bn ; tgϕ n = 2 2 bn ; an и эквивалентная формула ряда Фурье равна: s (t ) = a0 ∞ + ∑ An cos(nω0t − ϕn ) . 2 n =1 (1.8) Спектральная диаграмма периодического сигнала – это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Спектральные диаграммы бывают амплитудные и фазовые (рис. 1.15). Как следует из приведенных графиков, спектры периодических сигналов состоят из отдельных линий, то есть они дискретные или линейчатые. ϕ An 1 3 ω⁄ω 0 1 n 3 ω⁄ω 0 Рис. 1.15. Амплитудная и фазовая спектрограммы периодического сигнала Комплексная форма ряда Фурье. Спектральное разложение периодического сигнала можно провести в системе экспоненциальных базисных функций. 32 Функции этого базиса периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени [-T/2,T/2]. Тогда комплексный ряд Фурье, с учетом нормы комплексного сигнала, характеризуется формулами: s (t ) = ∞ ∑c e n= −∞ jnω0t n , T 1 2 cn = s (t )e jnω0t dt. ∫ T −T (1.9) 2 При вычислениях учитывают известную связь экспоненциальных функций с тригонометрическими: e − jn ω 0 t = cos nω0t − j sin nω 0 t ; jn ω0 t − jn ω t +e 0 , 2 jnω 0 t − jn ω t −e 0 j sin nω0t = e . 2 cos nω t = e В случае экспоненциального представления спектр сигнала будет содержать гармоники и в отрицательной области на оси частот, (отмеченные на рисунке приведенном ниже) при этом нужно учитывать, что отрицательная частота это не физическое, а математическое понятие, определяемое представлением комплексных чисел. Для примера рассмотрим ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов s(t) с известными параметрами длительностью импульсов – τи, периодом – Т, амплитудой – А, четной относительно точки t=0. В радиотехнике широко используется отношение q=Т/τи, называемое скважностью последовательности. В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle), равная τи/T. Периодические последовательности импульсов, используемые, например, в радиолокации, имеют значения скважности, достигающие нескольких тысяч. 33 По формулам (1.7) находим (ω1=ω0): Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде На рис. 1.16 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух важных крайних случаях – большой и малой скважности. Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко (q » 1), обладает богатым спектральным составом. аn аn ω ω б а Рис. 1.16. Амплитудный спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов: а – при большой скважности; б – при малой скважности При практических расчетах спектров периодических сигналов вычисление бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности, поэтому обычно ограничиваются суммированием конечного числа слагаемых. Точность аппроксимации исходного сигнала в этом случае зависит от количества суммируемых спектральных составляющих. Проиллюстрируем это на примере аппроксимации суммой гармоник периодической последовательности прямоугольных импульсов напряжения, у которых длительность τи = T / 2 (рис. 1.17). На рис. 1.17 графически показано последовательное суммирование друг с другом 0, 1, 3 и 5-й гармоник. Из анализа представленных графиков нетрудно заметить, как с увеличением количества суммируемых гармоник напряжения (или тока) результирующая 34 аппроксимирующая функция все точнее приближается к форме исходного сигнала u(t) везде, кроме точек её разрыва, в которых образуется выброс. При n → ∞ величина данного выброса ΔЕ составляет ∼9% от амплитуды аппроксимируемого сигнала Е. Причем с увеличением числа суммируемых гармоник n амплитуда выброса в точках разрыва не уменьшается, а его длительность становится бесконечно узкой. Этот дефект сходимости аппроксимирующего ряда Фурье известен в математике и получил название эффекта Гиббса (Дж. Гиббс – американский физик, который впервые дал ему пояснение). По существу эффект Гиббса обусловливает неустранимую погрешность аппроксимации. Для многих аналитических исследований наличие явления Гиббса вызывает определенные проблемы. Так, например, в звуковоспроизводящих системах (в частности в микрофонах) подобное явление носит название "звона". При этом каждый резкий согласный или любой другой внезапный звук сопровождается коротким свистящим, неприятным для слуха, звуком. Это результат аппроксимации «разрывной» импульсной последовательности гармоническими (гладкими) функциями. Выбор другой базисной системы функций в обобщенном ряде Фурье позволяет избавиться от этого эффекта. Рис. 1.17. Демонстрация поэтапной аппроксимации прямоугольных импульсов суммой гармоник Необходимо отметить, что в проведенной выше практической аппроксимации заданного периодического сигнала тригонометрическим рядом Фу- 35 рье суммирование первой и высших гармоник осуществляется только по нечетным коэффициентам n, так как при четных их значениях и длительности импульса τи=T/2=π/ω1 величина sin(nω1τи/2)=sin(nπ/2) обращается в нуль. Наряду со спектральным представлением (гармоническим анализом) сигналов широко используется гармонический синтез – получение заданных колебаний сложной формы путем суммирования ряда гармонических составляющих их спектра. По существу, выше и был проведен синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов из нескольких гармоник (рис. 1.17). Практически такие операции достаточно просто реализуются на компьютере. Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие типы разложения: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, полиномам Чебышева, Лаггера, Лежандра и др. 1.3.3. Спектральное представление непериодических сигналов. В теории спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов используют искусственный прием, позволяющий формально заменить такие сигналы периодическими с бесконечно большим интервалом (периодом) следования, т. е. при Т → ∞. Предположим, что имеется одиночный импульсный сигнал s(t) конечной длительности и произвольной формы. Виртуально (мысленно) дополним его такими же сигналами, периодически следующими через некоторые интервалы времени – Т (рис. 1.18). В результате получим периодическую последовательность sпер(t), которую можно представить в виде ряда Фурье (1.7). Рис. 1.8. К определению непериодических сигналов: а - один импульс; б - условное периодическое представление Для перехода к одиночному импульсу увеличим до бесконечности период повторения импульсов – Т. В этом случае в спектральной области (рис. 1.15 и 1.6) произойдут следующие изменения: 36 частоты nω0 и (n+1)ω 0 окажутся сколь угодно близкими и поэтому дискретную переменную nω0 можно заменить непрерывной – ω, то есть текущей частотой; • амплитудные коэффициенты cn станут бесконечно малыми (стремящимися к нулю) из-за наличия Т→∞ в знаменателе коэффициентов ряда; Из анализа нетрудно заметить, что при увеличении периода следования импульсов линейчатый спектр будет все более плотным. В предельном случае, когда период T → ∞ , равные расстояния между спектральными линиями уменьшаться настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов ω0 = 2 π/ Т → 0 и превращается в dω, дискретная переменная nω1 – в мгновенную (текущую) частоту ω, а знак суммы трансформируется в интеграл. Иначе, рассмотрев интервал частот ∆ω→0 в окрестностях некоторой частоты ω0, то в пределах этого интервала будет содержаться N отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых будут отличаться друг от друга сколь угодно мало (N=∆ω/ω0=∆ωT/2π). В результате отмеченных преобразований спектральные составляющие можно суммировать так, как если они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами. Комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала внутри интервала ∆ω будет равна: • ∆Aω 0 = 2N T ∞ ∫ s(t )e − jω 0 t dt = −∞ ∆ω π ∞ ∫ s (t )e − jω 0 t dt . −∞ При этом обозначим функцией интеграл: S( jω ) = ∞ ∫ s( t )e − jωt dt , (1.10) −∞ который называется спектральной плотностью сигнала s(t) или прямым преобразованием Фурье данного сигнала. Спектральная плотность характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот ω. В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне определенное значение частоты и отстоит от соседней на величину ω0=2π/Т. Необходимо отметить, что дискретный спектр периодического и спектральная плотность непериодического сигналов имеют разные размерности. Так дискретный спектр периодического напряжения или тока имеет размерность 37 амплитуды (В или А). Спектральная же плотность имеет размерность В/Гц или А/Гц. С точки зрения физического смысла спектральная плотность S(ω 0)=S(2πf0) – масштабный множитель, связывающий малую длину интервала частот ∆f и отвечающую ему комплексную амплитуду ∆A гармонического сигнала на центральной частоте f0. При решении обратной задачи, то есть при нахождении сигнала по его спектральной плотности, необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t): s(t) = ∞ ∫ S(jω )e − jω t dt . (1.11) -∞ Часто для упрощения описания сигналов и обозначения взаимосвязи между прямым и обратным преобразованиями Фурье используется общепринятая символика: s(t)↔S(jω). Вследствие того, что непериодический сигнал s(t) и его спектральная плотность S(jω), взаимно однозначно связаны парой преобразований Фурье, последние позволяют аналитически отыскать спектральную плотность по заданной форме сигнала, и наоборот, его форму по спектральной плотности. Следует отметить основное условие существования спектральной плотности сигнала: для того, чтобы сигналу s(t) можно было бы сопоставить его спектральную плотность S(jω), необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем, то есть, чтобы существовал интеграл: ∞ ∫ s(t ) dt < +∞ . (1.12) −∞ Этот интеграл определяет условие существования спектральной плотности сигнала. В математике детально исследован вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция s(t) для того, чтобы ее преобразование Фурье действительно существовало. Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и(t)=Umсоsω0t, существующего на всей бесконечной оси времени. Однако в современной математике разработаны приемы, позволяющие разумным образом вычислять спектральные плотности так называемых «неинтегрируемых» сигналов. Правда, при этом оказывается, что такие спектральные плотности будут уже не обычными, классическими, а обобщенными функциями. 38 Кратко рассмотренные основные положения теории спектрального анализа сигналов позволяют анализировать как сами сигналы, так и прохождение сигналов через радиотехнические цепи, устройства и системы. Рассмотрим примеры вычисления спектральной плотности для некоторых сигналов. • Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса. Пусть данный сигнал описывается rect-функцией (табл. 1.2), т. е. сигнал s(t)=U rect[(t)/τи], имеет амплитуду U, длительность τи и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. Учитывая, что rect-функция имеет единичную амплитуду на основании формулы (3.8) проведем вычисления: S (ξ ) S (0) −π − 2π 0.8 0.6 0.4 0.2 3π π ξ 2π Рис. 1.19. График нормированной спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса как функции с параметром ξ=ωτи/2 Спектральная плотность рассматриваемого сигнала S(jω)=Uτиsin(ωτи/2)/ωτи/2 является вещественной функцией частоты, поэтому введя безразмерную переменную ξ=ωτи/2 можно окончательно представить результат в виде графика, который построенный по полученной формуле изображен на рис. 1.19. Следует отметить, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса (одно из свойств преобразований Фурье): S(0) = Uτи. Применительно к напряжению прямоугольной формы (рис. 1.20а) обычно выполняют построение модуля спектральной плотности (рис. 1.20б), особо подчеркивая, что модуль спектральной плотности сигнала является сплошным (непрерывным) в отличии от периодического сигнала. Анализируя 39 рисунок можно заметить, как будет изменяться модуль спектральной плотности при изменении параметров импульса – амплитуды и длительности импульса. Сравнивая выражения для спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса и спектра периодической последовательности таких же импульсов, нетрудно заметить, что модуль спектральной плотности и огибающая (огибающая – воображаемая линия, которая отображает максимальные значения мгновенных амплитуд) гармоник дискретного спектра совпадают по форме и отличаются лишь масштабом по оси амплитуд. Рис. 1.20. Графики напряжения прямоугольной формы – (а) и модуля спектральной плотности – (б) прямоугольного видеоимпульса В табл. 1.3, для примера, приведены спектры некоторых часто используемых импульсов, где в качестве иллюстраций приведены графики напряжений импульсов различной формы и их амплитудных спектров в области положительных частот. Из приведенных примеров видно, что реальные импульсы ограниченной длительности теоретически имеют бесконечный спектр. Таблица 1.3 τи  τи 1 , − ≤ t ≤ ,  2 2 u (t ) =  0, t < − τ и , t > τ и  2 2 Амплитудный спектр S = S( jω ) Спектральная плотность Сигнал u (t ) u(t ) − τи 2 u(t ) τи  t + 1 , − ≤ t ≤ τ 2 2  и u (t ) =  τ 1 − t , 0 ≤ t ≤ τ и − и  τ и 2 2 2 τи 2 ωτ sin и 2 τи ωτ и 2 τи 2  ωτ и sin τи  4  ωτ 2 и   4 40 S       2 2π τи 4π τи ω 2π τи 4π τи ω S u(t ) τи  cos ω0t , − 2 ≤ t ≤ 0, u (t ) =  τ 0, 0 ≤ t ≤ τ и − и  2 2 ωτ и 4τ и 2 ⋅ 2 π  ωτ и  1−    2  cos τи 2 S 2π τи u (t ) u (t ) = e −( at ) ω S 2 τ − и 2 4π τи τи 2 x − ( 2α ) e α 2 ω ω S u (t ) e−αt , t ≥ 0, u (t ) =  0, t < 0 1 α + jω Известный в математике принцип неопределенности В. Гейзенберга (применительно к одномерным сигналам) гласит: чем сильнее сигнал s(t)=u(t) локализован во времени тем шире его модуль спектра S(jω) в пространстве частот ω. И наоборот – чем меньше ширина модуля спектра S(jω), тем большую область оси времени он занимает (теорема об изменении масштаба) [1]. На практике шириной спектра считают эффективную область частот Fэ, в пределах которой сконцентрировано 90–95 % энергии сигнала. Для колокольного (Гауссова) и экспоненциального импульсов (последние две строчки в табл. 1.3), имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчетов также вводят понятие эффективной длительности Tэ, подразумевая под этим интервал времени, в пределах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала. 1.3.4. Основные свойства преобразований Фурье Итак, между сигналом и его спектральной плотностью существует однозначное соответствие s(t)↔S(jω), установленное полученными выше соотношениями. Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сигнала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спектральной плотности. Рассмотрим несколько основных таких радиотехнических преобразований. 41 Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). Сложение, усиление и ослабление сигналов относятся к линейным операциям, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детерминированных сигналов s1(t), s2(t),…, sN(t) обладающих спектральными плотностями S1(jω), S2(jω), …, SN(jω), то суммарному (разностному) значению сигналов sΣ(t) = s1(t) + s2(t)+ …+ sN(t) соответствует сумма (или разность) их спектральных плотностей SΣ(jω) = S1(jω) + S2(jω) + … + SN(jω). Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (1.10) подставить сумму исходных сигналов и выполнить преобазования. • Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал s1(t) со спектральной плотностью S1(jω), задержан на некоторое время τз. В этом случае s2(t)=s1(t-τз), и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (1.10), будет иметь вид: S1(jω)=S1(jω)e-jωτз. Таким образом, сдвиг сигнала во времени на некоторый интервал τз приводит лишь к изменению аргумента спектральной плотности на величину ωc а её модуль остается неизменным. На практике сдвиг сигнала во времени осуществляется при аудио и видеозаписи на различные носители. Сколь долго (теоретически) не хранилась бы такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений. • Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Смысл данной теоремы заключается в следующем: если S1(jω) – спектральная плотность сигнала s1(t), то спектральная плотность S2(j(ω+ Ω)), полученная путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину Ω соответствует сигналу s2(t)=s1(t)e-jΩt. Это соотношение получают при использовании преобразований Фурье и оно показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину Ω равную частоте сдвига. В итоге s2(t)↔ S2(jω), и подобное преобразование сигнала применяют в различных радиосистемах при необходимости переноса спектра сигнала из одной области частот в другую, например, при модуляции. • Изменение масштаба времени. Предположим, что в исходном сигнале s1(t) изменен масштаб времени таким образом, что аргумент t умножен на некоторый постоянный коэффициент b и s2(t)= s1(bt) Если b > 1, то происходит "сжатие" исходного сигнала; если же 0 < b < 1 – исходный сигнал "растягивается" во времени. Спектральная плотность преобразованного сигнала после вычислений преобразований Фурье будет равна S2(jω)=(1/b)S1(jω/b). Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b раз сопровождается сжатием его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьшение длительности приводит к расширению спектра при одновременной уменьшении его интенсивности в 1/b раз. • 1.3.5. Спектры некоторых неинтегрируемых сигналов. 42 Из курса математики известно, что ряд широко применяемых (в частности в радиоэлектронике и технике связи) сигналов (функций) не удовлетворяют условиям абсолютной интегрируемости (сходимости) отмеченное в (1.12), поэтому их прямое преобразование Фурье определить не просто. • Спектральная плотность дельта-функции общего вида s(t)=δ(t – t0), выставленную в точке временной плоскости t0, определим с помощью прямого преобразования Фурье (1.10): S(jω) = ∫ ∞ −∞ δ(t – t0)exp(-jωt) dt = exp(-jωt0), а для дельта-функции расположенной в начале координат получим: S(jω) = ∫ ∞ −∞ δ(t) exp(-jωt) dt = 1. Графики характеризующие дельта-функцию во временной и спектральной областях приведены на рис. 1.21. Из рисунка следует, что дельтафункция имеет равномерный (сплошной и бесконечный) спектр с единичной интенсивностью на всех частотах. Т. к. в спектральной области модуль спектральной плотности дельта-функции не ограничен по протяженности, это позволяет использовать функцию как испытательную при нахождении временных характеристик линейных цепей – импульсной характеристики. δ(t – Рис. 1.21. Дельта-функция во временной области (а) и её модуль спектральной плотности (б) При таких исследованиях достаточно воздействия не идеальной модели рассматриваемой функции, а просто очень коротких импульсов напряжения на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы длительность реального импульса была бесконечно мала, а амплитуда бесконечно велика. Оказывается достаточным условием является, чтобы длительность импульса была много меньше периода собственных колебаний линейной цепи. Для дельта-функции можно найти обратное преобразование Фурье в виде: 43 ∞ δ(t) = (1/2π) ∫ exp(jωt) dω, −∞ которое широко используется при различных вычислениях. Физически представить свойства и параметры дельта-функции достаточно просто. Так, в момент возникновения импульса (t = 0) все элементарные гармонические составляющие бесконечного спектра дельта-функции суммируются когерентно (синфазно), поскольку в соответствии с полученными выражениями спектральная плотность дельта-функции вещественна. Поэтому при t = 0 наблюдается бесконечно большая амплитуда импульса. Спектральная плотность гармонического сигнала. Определим спектральную плотность гармонического (положим, что косинусоидального) сигнала единичной амплитуды s(t)=cos ω0t, для которого условия применимости преобразования Фурье не выполняются. Подставив в прямое преобразование Фурье (1.10) заданный сигнал, и воспользовавшись формулой Эйлера ejx=cos x + j sin x, а, также выполнив необходимые преобразования, получим: • S(jω) = ∫ ∞ −∞ cos ω0t exp(-jωt) dt = π [δ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)], следовательно, спектральную плотность гармонического сигнала можно отобразить двумя дельта-функциями в частотной области, с координатами – - ω0 и + ω0. По аналогии с косинусоидальным сигналом нетрудно показать, что синусоидальному сигналу s(t)=sinω0t отвечает спектральная плотность S(jω)=π[δ( ω - ω0) - δ (ω + ω0)]. Здесь знак минус появляется вследствие нечетности функции синусоидального сигнала. Спектральная плотность постоянного напряжения (тока). Спектральную характеристику постоянного напряжения, например, единичной амплитуды можно легко определить, приравняв в формулах для спектральной плотности рассмотренных гармонических сигналов частоту ω0 к нулевому значению. В результате получим: S(jω)=2π δ(ω), т. е. это дельта-функция в начале координат частотной области. Физический смысл данного результата достаточно прост и очевиден, т. к. постоянный во времени сигнал может иметь единственную спектральную составляющую в отмеченной области. Подобные расчеты можно продолжить и для других сигналов, но эти исследования являются предметом практических занятий с использованием известных программ. 44 1.4. Операторная форма представления сигналов 1.4.1. Преобразования Лапласа. Тригонометрическая и экспоненциальная формы рядов Фурье представляют вещественный сигнал s(t) в зависимости от действительной частоты ω. Преобразование Лапласа – более общий способ описания сигналов, позволяющий значительно упростить анализ прохождения сигналов через линейные цепи, особенно при быстро меняющихся импульсных воздействиях, когда важны переходные процессы. Преобразование Лапласа использует методы контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты р= σ +j ω , где σ и ω действительные числа. Это преобразование справедливо и для тех сигналов, для которых интегралы Фурье не сходятся. Односторонним прямым преобразованием Лапласа для функции s(t), существующей при 00 в пределах интеграла ограничивает на комплексной плоскости область интегрирования. Значение постоянной С определяется характером функции S(p)ept : путь интегрирования (на рис.1.22 он проходит по прямой С-j∞ , C+j ∞) должен проходить правее полюсов этой функции. Рис. 1.22 Можно вместо прямого пути интегрирования образовать замкнутый контур (пунктир на рис. 1.22) добавлением дуги конечного радиуса, причем величина этого радиуса должна быть такова, чтобы в контуре интегрирования оказались бы все полюса функции S(p). Для функций s(t),определенных для t>0, контур должен быть расположен в левой полуплоскости. Получение оригинала в этом случае сводится к определению: 46 где ∑ res – сумма вычетов в полюсах функции S(p) . Вычет определяется следующим образом. При наличии полюсов изображение всегда можно представить в виде отношения двух полиномов: Полюсами функции S(p) будут корни уравнения W(p)=0, т.е. нули знаменателя. Если функция S(p) имеет в точке p1 простой полюс, то . Если полюс p1 имеет кратность m (m – целое положительное число), то . Более простым способом является использование таблиц соответствия оригинал-изображение для некоторых функций. В таблице 1 соответствия для некоторых часто встречающихся в радиоэлектронике сигналов. Таблица 1.4 Оригинал (t>0) Изображение δ (t) 1 A e- α t 1- e- α t 47 t te- α t sin ω t cos ω t e- α t cos ω 0t Однако не всегда можно сразу обратиться к таблице. В этом случае нужно провести такие аналитические преобразования изображения, чтобы привести его к табличным функциям. 1.5. Теоретические основы дискретных сигналов 1.5.1. Дискретизация сигналов во временной области Современные радиотехнические системы работают с цифровыми сигналами. Поэтому аналоговые сигналы подвергают дискретизации с последующей цифровой обработкой, сущность которой состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и т.д.) преобразуется в последовательность чисел, которая затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Трансформированный цифровой сигнал (последовательность чисел) при необходимости может быть преобразован обратно в напряжение или ток. В теории и практике обработки сигналов широко используется теорема Котельникова-Шеннона (теорема отсчетов) [1, 2]: если наивысшая частота в спектре функции s (t) меньше, чем f m , то функция s (t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1 / 2 f m секунд. Исходный физический сигнал является непрерывной функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты времени, называют аналоговыми, а получаемая последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным ря- 48 дом и не может полностью соответствовать аналоговому сигналу. Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчетами сигнала. Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времени T, называемые периодом дискретизации (или интервалом, шагом дискретизации). Величина, обратная периоду дискретизации, называется частотой дискретизации: fд = 1/T. Соответствующая ей круговая частота определяется как ωд = 2π/T. При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню, а возникающие при этом ошибки округления – ошибками (или шумами) квантования. В соответствии с этой теорема отсчетов сигнал s (t), ограниченный по спектру наивысшей частотой ω m = 2πf m , можно представить рядом Фурье: s( t ) = ∞ ∑ n = −∞ cn ϕn ( t ) = ∞ ∑ n = −∞ s( n∆t )ϕn ( t ) = ∞  n  sin ωm ( t − n / 2 f m ) s .  2 f m  ωm ( t − n / 2 f m )  n = −∞ ∑ (1.15) В этом выражении 1 / 2 f m = ∆t обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а s (n / 2 f m ) = s (n∆t ) – выборки функции в моменты времени t = n∆t . Представление заданной функции s(t) рядом (1.15) иллюстрируется рис. 1.23. 49 S S ( n + 1) ∆t S(t) S ( n ∆t ) t ∆t t = n ∆t t = ( n + 1) ∆t Рис. 1.23. Представление сигнала рядом Котельникова-Шеннона Функция вида ϕ n (t ) = sin ω m (t − n∆t ) , ω m (t − n∆t ) (1.16) обладает следующими важными свойствами: а) в точке t = n ∆ t ϕ n (n∆t ) = 1 , а в точках t= k ∆ t, где k – любое целое положительное или отрицательное число, отличное от n, функция ϕ n ( k∆ t ) = 0 ; б) спектральная плотность функции ϕ 0 (t ) равномерна в полосе частот ω < ω m и равна 1 /2f m = π / ω m . Так как функция ϕ n (t) отличается от ϕ 0 (t) только сдвигом на оси времени на n ∆ t, то спектральная плотность функции ϕ n (t)  1 − jn∆tω − jn∆tω e = ∆te ï ðè − ωm < ω < ωm ,  2 f Φn (ω) =  m 0 ï ðè ω < −ωm è ω > ωm .  (1.17) То, что ряд (1.15) точно определяет заданный сигнал s (t) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины s(n ∆ t). Можно доказать, что ряд (1.15) определяет функцию s (t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t=n ∆ t. Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе. В данном случае разложение производится по функциям вида (1.16), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма равна: 50 ϕn 2 = ∞ sin 2 ω m (t − n∆t ) 1 ∫− ∞ ω2 m (t − n∆t ) 2 dt = ωm ∞ sin 2 x π ∫− ∞ x 2 dx = ωm = ∆t. Значения коэффициентов ряда (1.15), получают, применяя для их определения общую формулу, справедливую для обобщенного ряда Фурье: 1 cn = ∆t ∞ ∫ s( t )ϕ n ( t )dt. −∞ (1.18) Таким образом, вычислив интеграл получим: ∞ ∫ s(t )ϕ n (t )dt = ∆ts (n∆t ). −∞ И окончательное выражение для коэффициентов ряда равно C n = s (n∆t ) , из которого следует, что коэффициентами ряда (1.15) являются выборки функции s (t) в точках t = n∆t . Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s (t), ряд (1.15) сходится к функции s (t) при любом значении t. Если взять интервал между выборками меньшим ∆t = 1 / 2 f m , то это повышает точность представления сигнала s(t), так как исключается возможность потери значений «крыльев» спектра сигнала вне граничных частот, кроме того, ослабляются требования к АЧХ фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал. При увеличении же интервала между выборками по сравнению с исходным, спектр базисной функции становится уже, чем спектр сигнала, и при вычислении требуемых интегралов коэффициенты ряда уже не будут соответствовать исследуемому сигнала и восстановление сигнала становится невозможным. Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s (t) конечна и равна Тс, а полоса частот по-прежнему равна fm. Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром. Однако, практически всегда можно определить наивысшую частоту спектра fm так, чтобы «крылья» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих fm, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала s(t). При таком допущении для сигнала длительностью Тс с 51 полосой частот fm общее число независимых параметров (т. е. значений s(n∆t)), которое необходимо для полного задания сигнала, будет равно N = Tc / ∆t = 2 f mTc . При этом выражение принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки): s(t) = 2 f mTc ∑ s(n∆t) n=0 sin ωm (t − n∆t ) . ωm (t − n∆t) Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s(t), так как даже при произвольном выборе значений s(n ∆ t) сумма полученного ряда определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала. Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок и в результате получим: Ý= 2 f mTc ∑ n=0 [s(n∆t )]2 ϕn =∆t Ý ∆t s (t ) = = Tc Tc 2 2 2 fmTc ∑ n=0 2 fmTc ∑ [s(n∆t )]2 , n=0 1 [s(n∆t )] = 2 f mTc 2 2 fmTc ∑ [s(n∆t )]2. n=0 Из последнего выражения видно, что средняя за время Тс мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно 2fmTc. 1.5.2. Дискретизации сигналов в частотной области Иногда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции S( ω ), а не временных выборок функции s(t). Для функции S( ω ) можно составить ряд, аналогичный выражению (1.15). Для этого базисная функция ϕ n (t ) = sinc[ω m (t − n∆t )] должна быть заменена функцией с частотным аргументом и может быть получена из (1.16) заменой t н а ω , «полуширины» спектра ω m на «половинную длительность» сигнала T с/2 и ∆ t =1/2fm на ∆ω = 2π / Tc : 52 T  T  ϕ n (ω) = sinc  c (ω − n∆ω)  = sinc  c (ω − n 2π / Tc )  2  2  В результате преобразований получим: Τc (ω − n∆ω) 2 ( ω ) = S (ω) = S n ∆ ∑ Tc (ω − n∆ω ) n = − f mTc 2 T  2π  sin c  ω − n  f mTc 2 T  2π  = ∑ S  n Tc  T   2π c  . c n = − f mTc ω − n  2 Tc  f mTc sin Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками ∆ t не должен был превышать 2π / 2ω m , то теперь частотный интервал ∆ω не дол- жен превышать 2π / Tc . При ширине спектра 2ω m , охватывающей область час- тот − ω m < ω < ω m , число выборок равно 2ω m / ∆ω = 2 f mTc . В общем случае выборки S (n2π / Tc ) являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра – действительная и мнимая части S (n2π / Tc ) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки S (n / 2 f m ) – действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что S (n2π / Tc ) и S (−n2π / Tc) являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и числом независимых параметров или степеней свободы сигнала N = 2 f mTc , как и при представлении сигнала во временной области. 1.5.3. Дискретные преобразования ФУРЬЕ Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и обрабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих ос- 53 новных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике. Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = k∆t, fn = n∆f): S(f) = s(t) = ∫ ∞ ∫ ∞ −∞ −∞ s(t) exp(-j2πft) dt, S(f) exp(j2πft) df, S(fn) = ∆t s(tk) = ∆f ∞ ∑ s(tk) exp(-j2πfnk∆t), k= − ∞ (1.19) ∞ ∑ S(fn) exp(j2πn∆ftk). k= − ∞ (1.20) Напомним также, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Для дискретных преобразований s(k∆t) ⇔ S(n∆f), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = N∆t (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2fN = N∆f (от -fN до fN), где N – количество отсчетов, при этом: ∆f = 1/T = 1/(N∆t), ∆t = 1/2fN = 1/(N∆f), ∆t∆f = 1/N, N = 2TfN. (1.21) Соотношения (1.21) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции. Однако представление спектра в комплексной форме – не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине – отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до fN, т.к. информация второй половины диапазона от 0 до – fN является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет. При дискретном представлении сигналов аргумент tk обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию ∆t = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2: N -1 S(fn) ≡ Sn = ∑ sk exp(-j2πkn/N), k= 0 54 n = -N/2,…,0,…,N/2 . (1.22) N/2-1 s(tk) ≡ sk = (1/N) ∑ Sn exp(j2πkn/N), n = - N/2 k = 0,1,…,N-1. (1.23) Главный период спектра в (1.22) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -π до π. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±fN) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (1.23) устанавливается равным N/2. В вычислительных операциях на ПК для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2fN (0 ≤ n ≤ N), а суммирование в (1.23) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам Sn* интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2fN соответствуют отсчеты SN+1-n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2fN являются отсчеты Sn и SN+1n). На рис. 1.24 приведена огибающая значений одной из форм представления главного диапазона спектра сигнала при дискретизации прямоугольного импульса. Независимо от формы представления спектр периодически повторяется. Рис. 1.24. Модули спектра дискретизированного сигнала. Преобразования (1.22, 1.23) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической и её результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки). 55 Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье. 1.5.4. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) В основе БПФ лежит прореживание по частоте и пирамидальный алгоритм, которым исключаются повторные вычисления периодически повторяющихся членов ряда Фурье. Допустим, что массив чисел sk содержит N=2r отсчетов (r – целое). Разделим исходный массив на два первых промежуточных массива с четными и нечетными отсчетами: sk' = s2k, sk" = s2k+1, 0 ≤ k ≤ (N/2)-1. Выполним ДПФ каждого массива с учетом того, что шаг функций равен 2 (при ∆t=1), а период промежуточных спектров будет соответственно равен N/2: sk' ⇒ Sn', sk" ⇒ Sn", 0 ≤ n ≤ (N/2)-1. Для получения одной половины искомого спектра Sn сложим полученные спектры с учетом теоремы запаздывания, т.к. отсчеты функции sk" сдвинуты относительно sk' на один шаг дискретизации: Sn = Sn'+Sn"⋅exp(-j2πn/N). (1.24) Вторая половина спектра, комплексно сопряженная с первой, с учетом периода повторения N/2 промежуточных спектров определяется выражением: Sn+N/2 = Sn'+Sn"⋅exp(-j2π(n+N/2)/N) = Sn'- Sn"⋅exp(-j2πn/N). (1.25) Нетрудно видеть, что для вычисления полного спектра в данном случае потребуется N2/4 операций для вычисления промежуточных спектров плюс еще N операций комплексного умножения и сложения, что создает ощутимый эффект по сравнению с ДПФ. Но деление массивов на две части может быть применено и к первым промежуточным массивам, и ко вторым, и т. д. до тех пор, пока в массивах не останется по одному отсчету, Фурье-преобразование которых равно самому отсчету. Тем самым, алгоритм преобразования превращается в пирамидаль- 56 ный алгоритм перестановок со сложением/вычитанием и с единичным умножением на значение exp(-j2πn/N) соответствующего уровня пирамиды. Первый алгоритм БПФ на данном принципе (из множества модификаций, существующих в настоящее время) был разработан Кули-Тьюки в 1965 г. и позволил повысить скорость вычислений в N/r раз по сравнению с ДПФ. Чем больше N, тем больше эффект БПФ. Так, при N = 1024 имеем r = 10 и соответственно N/r ≈100. Что касается условия по количеству точек N = 2r, то оно рассматривается в варианте Nk ≤ 2r, где r – минимальное целое. Массивы с N k < 2r дополняется до 2r нулями, что не изменяет форму спектра. Изменяется только шаг ∆ω по представлению спектра (∆ω=2π/2r<2π/N), который несколько избыточен по адекватному представлению сигнала в частотной области. В настоящее время существуют и алгоритмы БПФ с другими основаниями и их комбинациями, при которых не требуется дополнения сигналов нулями до 2r. Заметим, что в соответствии с (1.25) отсчеты, сопряженные с правой половиной главного частотного диапазона (0, π), относятся не к диапазону (-π,0), а к диапазону (π,2π), что, учитывая периодичность спектра дискретных данных, значения не имеет. Т. е. выходной частотный диапазон БПФ равен (0, 2π). Общее количество отсчетов комплексного спектра в этом условно главном диапазоне равно количеству точек исходного сигнала (с учетом нулевых точек при дополнении сигнала до N=2 r). Алгоритм быстрого обратного преобразования (ОБПФ) тождественен алгоритму прямого БПФ. Алгоритмы прямого и обратного БПФ широко используются в современном программном обеспечении для анализа и обработки цифровых данных. Пример выполнения БПФ приведен на рис. 1.25, выполненный пакете MathCad [5]. 57 Рис. 1.25. Пример использования БПФ. 1.5.5. Дискретные преобразования Лапласа Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk=k∆t, ω n=n∆ω): Y(p) = ∫ ∞ y(t) exp(-pt) dt, Y(pn) = ∆t ∞ ∑ y(tk) exp(-pntk), k=0 (1.26) где p = σ+jω – комплексная частота, σ ≥ 0. y(t) = (1/2πj) ∫ σ + jω σ − jω y(tk) = ∆t Y(p) exp(pt) dp. ∞ ∑ Y(pn) exp(pntk). n= − ∞ (1.27) Функцию Y(p) называют изображением Лапласа функции y(t) – оригинала изображения. Нетрудно заметить, что при σ = 0 преобразование Лапласа превращается в одностороннее преобразование Фурье, а для каузальных сигналов (локализованных во времени) – в полную аналогию преобразований Фурье. Наиболее существенной особенностью преобразования Лапласа является возможность его применения для спектрального анализа функций, не 58 имеющих Фурье-образов из-за расходимости интегралов Фурье. Для понимания последнего запишем интеграл Лапласа в развернутой форме: Y(p) = ∫ ∞ y(t) exp(-σt-jωt) dt = ∫ ∞ y(t) exp(-σt) exp(-jωt) dt = ∫ ∞ y'(t) exp(-jωt) dt. Правый интеграл для каузальных сигналов представляет собой преобразование Фурье, при этом сам сигнал y'(t) за счет экспоненциального множителя exp(-σt) соответствующим выбором значения σ>0 превращается в затухающий, конечный по энергии, что и требуется для существования его Фурье преобразования. Все свойства и теоремы преобразований Фурье имеют соответствующие аналоги и для преобразований Лапласа. Пример сопоставления преобразований Фурье и Лапласа приведен на рис. 1.26. Рис. 1.26. Пример программы сопоставления преобразований Фурье и Лапласа. 59 1.5.6. Z - преобразование сигналов Определение z-преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых – преобразование Лапласа. Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами sk=s(k∆t), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в соответствие степенной полином по z – переменной, последовательными коэффициентами которого являются значения sk: ∞ sk = s(k∆t) ⇔ Z[s(k∆t)] = ∑ sk zk = S(z). k= − ∞ (1.28) где z=σ+jv=r⋅exp(-jϕ) – произвольная комплексная переменная, а ⇔ – знак символической записи. Полином S(z) называют z-преобразованием или z-изображением функции s(k∆t). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т. е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек. Впервые z-преобразование введено в употребление П. Лапласом в 1779 и повторно "открыто" В. Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-1. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т. к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от -∞ до +∞. В дальнейшем в качестве основной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая будет использована. По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному однозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции. Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-преобразования сигнала s(k) на величину zn означает задержку сигнала на n интервалов: znS(z) ⇔ s(k-n). Z-преобразования с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуемым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и "прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ПК каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, 60 соответствующих отсчетам сигналов "вперед". Последнее применяется, например, при синтезе симметричных операторов фильтров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искажений. При использовании символики z-1 "прошлым" значениям соответствуют значения с отрицательными степенями z, "будущим – с положительными. Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе. Примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов. Импульсы Кронекера. В общем случае, в произвольной точке числовой оси: δ(k-n) =1 при k=n, δ(k-n) = 0 при k ≠ n. ∞ X δ(z) = ∑ δ(k-n) zk = zn. k= − ∞ Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно X δ(z) = z0 =1. Функция Хевисайда (единичный скачок). x(k) = 0 при k < 0, x(k) = 1 при k ≥ 0. ∞ X(z) = ∑ zk = zk. k=0 Ряд сходится при |z| < 1, при этом его сумма равна: X(z) = 1/(1-z), |z|< 1. При использовании символики z-1: X(z) = 1/(1-z-1) = z/(z-1), |z| > 1. Экспоненциальная функция: x(k) = 0 при k < 0, x(k) = ak при k ≥ 0. ∞ ∞ ∞ k= − ∞ k=0 k=0 X(z) = ∑ x(k) zk = ∑ ak zk = ∑ (az)k. Как и в предыдущем случае, ряд сходится при |az| > 1, т.е. при |z| < |a|, при этом: X(z) = 1/(1-az), |z| > |a|. Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Запишем дискретный сигнал sk в виде суммы весовых импульсов Кронекера: 61 ∞ sk = s(k∆t) = ∑ s(n∆t) δ(k∆t-n∆t). n= − ∞ Определим спектр сигнала по теореме запаздывания: ∞ S(ω) = ∑ s(k∆t) exp(-jωk∆t). k= − ∞ Выполним замену переменных, z = exp(-jω∆t), и получим: ∞ S(ω) = ∑ s(k∆t)⋅zk = S(z). k= − ∞ Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при z = exp(-jω∆t). Аналогичной подстановкой z = exp(-p) может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде: S(p) = S(z), z = exp(-p∆t). S(ω) = S(z), z = exp(-jω∆t); (1.29) Обратное преобразование: S(z) = S(ω), ω = ln z/j∆t; S(z) = S(p), p = ln z/∆t. (1.30) При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками z-1 = exp(jω∆t) и z-1 = exp(p). Свойства z-преобразования. Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них. Линейность: Если S(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции. Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n). ∞ ∞ ∞ ∞ k= − ∞ k= − ∞ k= − ∞ m = −∞ Y(z) = ∑ y(k)⋅zk = ∑ x(k-n)⋅zk =zn ∑ x(k-n)⋅zk-n = zn ∑ x(m)⋅zm = zn X(z). Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации. Для z-преобразования действительны все известные теоремы о спектрах. В частности, свертка двух сигналов отображается в z-области произве- 62 дением их z-образов, и наоборот: s(k) * h(k) ⇔ S(z)H(z), s(k)·h(k) ⇔ S(z) * H(z). При z = exp(-jω∆t), z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов k∆t), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента ω). Рис. 1.27. Комплексная z-плоскость Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 1.27). Спектральной оси частот ω на z-плоскости соответствует окружность радиуса: |z| = |exp(-jω∆t)| = cos 2 ( ω ∆t) + sin2 ( ω ∆t) = 1. Подстановка значения какой-либо частоты ω в z = exp(-jω∆t) отображается точкой на окружности. Частоте ω=0 соответствует точка Rez=1 и Imz=0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста ωN = π/∆t (Re z = -1, Im z = 0). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки ± ωN совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс. Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни ai, и переписать полином в виде произведения двучленов: S(z) = a0(z-a1)(z-a2)..., где а0 – последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z). Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-ai) превращаются в 63 двухточечные диполи {-ai, 1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей: sk= a0{-a1,1}*{-a2,1}*{-a3,1}* ... Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции. Обратное z-преобразование в общем случае производится интегрированием по произвольному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа: sk = (1/2πj) ∫ S(z) z k+1 dz c Способом, удобным для практического применения, является разложение рациональных S(z) на простые дроби. С учетом линейности преобразования: N N n= 1 n= 1 S(z) = ∑ an/(1-bnz) ⇔ ∑ an(b n)k = sk. При разложении функции S(z) z-преобразование не вызывает затруднений. по степеням z обратное 1.5.7. Дискретная свертка (конволюция) Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) может быть получено непосредственно из интегрального уравнения свертки при замене интегрирования суммированием мгновенных значений функций с шагом ∆t: y(k∆t) = ∆t Σ n s(n∆t) h(k∆t-n∆t) = ∆t Σ n h(n∆t) s(k∆t-n∆t). (1.31) При выполнении дискретной свертки мы имеем дело с цифровыми массивами, при этом шаг дискретизации для массивов по физическому аргументу свертки должен быть одинаковым и принимается за 1, а в качестве аргумента используется нумерация отсчетов в массивах: y(k) = Σ n h(n)s (k-n) ≡ Σ n hnsk-n ≡ yk. y(k) = h(n) * s(k-n) ≡ s(k) * h(n) ≡ sk * hn. 64 (1.32) Техника свертки приведена на рис. 1.28. Для вычисления свертки массив одной из функций (sk – входного сигнала) располагается по ходу возрастания номеров. Массив второй функции (h n – более короткой, оператор свертки), строится параллельно первому массиву в обратном порядке (по ходу уменьшения номеров, в режиме обратного времени). Для вычисления yk значение h0 располагается против sk, все значения sk-n перемножаются с расположенными против них значениями hn и суммируются. Результаты суммирования являются выходным значением функции yk, после чего оператор hn сдвигается на один номер k вперед (или функция sk сдвигается ему навстречу) и вычисление повторяется для номера k+1 и т.д. Рис. 1.28. Техника дискретной свертки В начальный момент свертки при вычислении значений yk оператор hn, построенный в режиме обратного времени, "зависает" для значений k-n при n>k против отсутствующих отсчетов входной функции. "Зависание" исключают либо заданием начальных условий – дополнительных отсчетов, чаще всего нулевых или равных первому отсчету входной функции, либо началом свертки с отсчета входной функции k=n с соответствующим сокращением интервала выходной функции. Для операторов со значениями -n (вперед по времени) такой же момент может наступать и в конце входного массива. На рис. 1.29 приведен пример выполнения дискретной свертки каузальным (односторонним) и четным (симметричным, двусторонним) оператором одного и того же сигнала. 65 Рис. 1.29. Примеры выполнения дискретной свертки. Для дискретной свертки действительны все свойства и теоремы интегральной свертки. В частности, свертка функций в координатной области отображается произведением их спектров в частотной области, что позволяет использовать ДПФ для вычисления свертки при большой длине функций по следующей схеме: s(k) ⇔ S(ω), h(n) ⇔ H(ω), Y(ω) = S(ω)⋅H(ω), Y(ω) ⇔ y(k). Выполнение произведения спектров может производиться только при одинаковой их длине, и оператор h перед ДПФ обычно дополняется нулями до размера функции s(k). Второй фактор, который следует принимать во внимание, это цикличность свертки при её выполнении в спектральной области, обусловленная периодизацией дискретных функций. Перемножаемые спектры являются спектрами периодических функций, и результат на концевых интервалах может не совпадать с дискретной линейной сверткой, где условия продления интервалов (начальные условия) задаются, а не повторяют главный период. При выполнении свертки через БПФ ощутимое повышение скорости вычислений появляется только при большой длине функций и операторов (например, M>1000, N>100). Следует также обращать внимание на разрядность результатов, т. к. перемножение чисел дает увеличение разрядности в 2 раза. При ограниченной разрядности числового представления с соответствующим округлением это может приводить к погрешностям суммирования. 66 1.6. Корреляционный анализ сигналов 1.6.1. Корреляционный анализ детерминированных сигналов Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие. В качестве такой временной характеристики широко используется корреляционная функция сигнала, характеризующая его быстротечность. Для детерминированного сигнала s(t) конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением: ΚS( τ ) = ∞ ∫ s( t )s ( t + τ )dt , * (1.33) −∞ где τ – временной сдвиг сигнала. Будем рассматривать сигналы, являющиеся вещественными функциями времени, поэтому обозначение комплексного сопряжения можно не учитывать. Из выражения (1.33) видно, что Кs(τ) характеризует степень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на величину τ по оси времени. Ясно, что функция Кs(τ) достигает максимума при τ=0, т. к. любой сигнал полностью коррелирован (похож) с самим собой. При этом ΚS( 0 ) = ∞ ∫ s ( t )dt = Ý , 2 −∞ т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала – это одно из свойств корреляционной функции. С увеличением τ функция К s (τ) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s (t) и s (t + τ ) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.На рис. 1.30. показано построение корреляционной функции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 1.30а). Сдвинутый на τ (в сторону опережения) сигнал s (t + τ ) показан на рис. 1.30б, а произведение s (t) s (t + τ ) – на рис. 1.30в. График функции Кs ( τ ) изображен на рис. 1.30г. Каждому значению τ соответствуют свое произведение s (t) s (t + τ ) и площадь s (t) s (t + τ ). Копию сигнала можно сдвигать и в сторону запаздывания, поэтому возможно обобщение формулы в виде: ΚS( τ ) = ∞ ∫ s( t )s( t + τ )dt = −∞ ∞ ∫ s( t )s( t − τ )dt −∞ 67 Это равносильно утверждению, что Κ S ( τ ) является четной функцией τ . На рис. 1.31а показан сигнал в виде пачки из четырех одинаковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на время T1, а на рис. 1.31б – соответствующая этому сигналу корреляционная функция. Вблизи значений τ , равных 0, ±T 1, ±2T 1 и ±3T 1 , эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного импульса. Максимальное значение корреляционной функции (при τ =0) равно учетверенной энергии одного импульса. S S (t) а) t1 t2 t S S (t + τ) б) τ t1 − τ t 2 − τ в) S (t ) S (t + τ) t S (t + τ ) τ t2 − τ KS t1 t Э г) ( t 2 − t1 ) − ( t 2 − t1 ) τ Рис. 1.30. Построение корреляционной функции для прямоугольного импульса S S(t) 64444444444444744444444444448 τи T1 t 2Э 1 3Э1 Э1 Э1 2Э 1 3Э1 4Э1 ΚS −3T1 3T1 2T1 a) − 2T1 −T1 − τи τи T1 2T1 3T1 τ б) Рис. 1.31. Группа прямоугольных импульсов (а) и корреляционная функция (б) 68 Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции с помощью приведенных выражений неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения: Κ S ï åð ( τ ) = limT →∞ 1 T/2 1 T /2 ∫ s( t )s( t + τ )dt =limT →∞ ∫ s( t )s( t − τ )dt T −T / 2 T −T / 2 При таком определении корреляционная функция приобретает размерность мощности, причем она равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала s (t) усреднение произведения s(t)×s (t+ τ ) или s(t - τ ) s (t) по бесконечно большому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду T. Поэтому выражение для корреляционной функции периодического сигнала можно заменить выражением: Κ S ï åð (τ)= T /2 1 T1 −T / 2 ∫ s( t )s( t + τ )d t = T /2 1 T1 −T / 2 ∫ s( t )s( t − τ )d t Входящие в это выражение интегралы есть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале T1. Обозначая ее через Κ ST ( τ ) , приходим к соотношению 1 ΚS ï åð ( τ ) = Κ T1 ( τ ) / T1 . Очевидно также, что периодическому сигналу s (t) соответствует и периодическая корреляционная функция. Период функции Κ S ï åð ( τ ) совпадает с периодом Т1 исходного сигнала s(t). Например, для простейшего (гармонического) колебания s(t)= A0 cos(ω 0 t + θ 0 ) корреляционная функция ΚS При = ï åð (τ)= À0 2 Ò1 Ò1 / 2 ∫ cos( ω0 t + θ 0 )cos[ ω0 ( t + τ ) + θ 0 ) = − Ò1 / 2 1 2 2π A0 cos ω0 τ, ω0 = . 2 T1 τ =0 2 BS ï åð ( 0 ) = ( 1 / 2 )À0 есть средняя мощность гармонического колебания с ампли- тудой А0. Важно отметить, что корреляционная функция Κ S ï åð ( τ ) не зависит от начальной фазы колебания θ 0. На рис 1.32 б изображен фрагмент корреляционной функции сигнала, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 1.32 а). Каждый из импульсов функции Κ S ï åð ( τ ) совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из периодиче- 69 ской последовательности s (t). Однако в данном случае максимальные ординаты Κ S ï åð ( τ ) пропорциональны не энергии (как на рис. 1.31), а средней мощности сигнала s (t). −T1 −T1 + τи T1 T1 +τи τи Κ S пер −T1 −τи τи T1 τ Рис. 1.32. Периодическая последовательность импульсов (а) и её корреляционная функция (б) Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s1(t) и s 2 (t) используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением: ∞ Κ s1 s2 ( τ ) = ∫ s ( t )s ( t + τ )dt . 1 2 (1.34) −∞ Рассмотренная выше корреляционная функция Κ S ( τ ) является частным случаем функции для двух разных сигналов s1(t) и s2 (t). 1.6.2. Преобразования Винера-Хинчина Воспользуемся теоремой о спектре свертки и в результате получим, что от интегрирования во временной области можно перейти к интегрированию в частотной области: ∞ ∫ −∞ s( t )s( t + τ )dt = ∞ 1 − jωτ * dω = ΚS ( τ ) ∫ S( jω )S ( jω )e 2 π −∞ Учитывая, что произведение комплексных функций равно квадрату модуля S(j ω )S*(j ω )=S2 ( ω ), приходим к соотношению ∞ 1 jωτ ΚS( τ) = S 2 ( ω )e dω ∫ 2π −∞ 70 (1.35) На основании известных свойств преобразований Фурье можно также написать обратное преобразование: S 2( ω ) = ∞ ∫Κ S ( τ )e − jωτ dτ . (1.36) −∞ Итак, полученное прямое преобразование Фурье от корреляционной функции Кs(τ) дает спектральную плотность энергии, а обратное преобразование Фурье дает корреляционную функцию К s (τ). Это известная пара преобразований называется – преобразования Винера-Хинчина. Из полученных выражений вытекают свойства, аналогичные отмеченным теоремам о спектрах: чем шире спектр S( ω ) сигнала, тем меньше интервал корреляции, т. е. сдвиг τ, в пределах которого корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно чем продолжительная корреляционная функция заданного сигнала, тем уже его спектр. Кроме того из последних выражений также видно, что корреляционная функция Кs (т) не зависит от фазочастотного (ФЧХ) спектра сигнала. Так как при заданном амплитудном спектре S( ω ) форма функции s (t) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее важное заключение: различным по форме сигналам s (t), обладающим одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые корреляционные функции Кs (τ). 1.6.3. Корреляционный анализ дискретных сигналов При исследовании корреляционных функций прямоугольных видеоимпульсов, было отмечено, что соответствующие графики имели специфический лепестковый вид. С практической точки зрения, использование автокорреляционных функций (АКФ) для решения задачи обнаружения такого сигнала или измерения его параметров, совершенно несущественно, что отдельные лепестки имеют треугольную форму (рис. 1.34). Важен лишь их относительный уровень по сравнению с центральным максимумом при τ = 0. Поэтому ближайшая задача – изменить определение автокорреляционной функции таким образом, чтобы можно было извлекать из нее полезную информацию, абстрагируясь от постепенных подробностей. Основой для этого служит идея математической модели дискретного сигнала. Если рассматривать описание сложных сигналов с дискретной структурой, то «пачка» прямоугольных видеоимпульсов с различными знаками – простейший представитель класса сложных сигналов, построенных по определенным правилам. Для этого весь интервал времени существования сигнала разделяют на целое число М равных промежутков (М>1), называемых позициями. На каждой из позиций сигнал может находиться в одном из двух состояний, кото- 71 рым отвечают числа +1 и —1. Выбор чисел +1 не имеет принципиального значения и продиктован только удобством анализа Для примера на рис. 1.33 приведены пояснения некоторых способов формирования многопозиционного сложного сигнала – видео и радио кодирование. Для определенности здесь М=3. U0 t −U0 а t б Рис. 1.33. Трехпозиционный сложный сигнал : амплитудное кодирование – а и фазовое кодирование – б Видно, что физический облик дискретного сигнала может быть различным. В случае амплитудного кодирования символу +1 соответствует положительное значение напряжения U0 (амплитуда видеоимпульса), передаваемого на соответствующей позиции; символу -1 отвечает отрицательное значение (-U 0). Тогда считают, что при этом реализовано амплитудное кодирование сложного сигнала. В другом случае (б) происходит фазовое кодирование. Здесь для передачи символа +1 на соответствующей позиции генерируется отрезок гармонического сигнала с нулевой начальной фазой. Чтобы отобразить символ -1, используется отрезок синусоиды такой же длительности и с той же частотой, но его фаза получает дополнительный сдвиг на 180°. Несмотря на различие графиков этих двух сигналов, между ними, в сущности, можно установить полное тождество с точки зрения их математических моделей. Действительно, модель любого такого сигнала – это последовательность чисел {u1, u2, ... uм}, в которой каждый символ ui принимает одно из двух возможных значений ±1. Для удобства анализа в дальнейшем можно дополнять такую последовательность нулями на «пустых» позициях, где сигнал не определен. При этом, например, развернутая форма записи дискретного сигнала {1 1, -1, 1} будет иметь вид: .... 0 0 0 11-110 0 .... 72 Важнейшая операция при обработке дискретных сигналов состоит в сдвиге такого сигнала на некоторое число позиций относительно исходного положения без изменения его формы. В качестве примера ниже представлен некоторый исходный сигнал (первая строка) и его копии (последующие строки), сдвинутые на 1, 2 и 3 позиции в сторону запаздывания: ... 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 ... ... 0 0 1 1 -1 1 0 0 0 ... ... 0 0 1 1-1 1 0 0... … 0 0 1 1 -1 1 0 ... Располагая строки друг под другом с учетом смещения во времени можно вычислить корреляционную функцию. Дискретная автокорреляционная функция. Постараемся так обобщить формулу (1.33) или её варианты, чтобы можно было вычислять дискретный аналог АКФ применительно к многопозиционным сигналам. Ясно, что операцию интегрирования здесь следует заменить суммированием, а вместо переменной τ использовать целое число n (положительное или отрицательное), указывающее, на сколько позиций сдвинута копия относительно исходного сигнала. Так как в «пустых» позициях математическая модель сигнала содержит нули, запишем декретную АКФ в виде: ∞ Κ u ( n ) = ∑ u ju j−n (1.37) −∞ Данная функция представляет собой скалярное произведение дискретного сигнала и его копии. Эта функция целочисленного аргумента n, естественно, обладает многими уже известными свойствами обычной автокорреляционной функции. Так, можно показать, что дискретная АКФ четная, а при нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретного сигнала. Для иллюстрации сказанного вычислим дискретную АКФ трехпозиционного сигнала с одинаковыми значениями на каждой позиции: u1={1, 1, 1}. Выпишем этот сигнал вместе с копиями, сдвинутыми на 1, 2 и 3 позиции по отмеченному выше правилу. Можно заметить, что уже при n=3 сигнал и копия перестают накладываться друг на друга, так что произведения, входящие в формулу (1.37) становятся равными нулю при n ≥3. Рассматривая другой дискретный сигнал, отличающийся от предыдущего знаком отсчета на второй позиции u2={1, -1, 1} и поступая аналогичным образом, получим для этого сигнала другие значения дискретной автокорреляционной функции. Результаты расчетов (которые целесообразно выполнить самостоятельно) приведены на рис. 1.34. 73 3 2 2 1 1 n −2 −1 1 2 3 1 1 n − 2 −1 −2 1 2 −2 Рис. 1.34. АКФ трехпозиционных сигналов u1={1, 1, 1} и u2={1, -1, 1} Из рисунка следует, что боковые лепестки автокорреляционной функции линейно спадают с ростом номера n, подобно тому, как и в случае автокорреляционной функции аналоговых видеоимпульсов (рис. 1.31). Можно заметить, что первый боковой лепесток изменяет свой знак, оставаясь неизменным по абсолютному значению. Наконец, дополнительно рассмотрим трехпозиционный дискретный сигнал с математической моделью вида u3={1, 1, -1}. Результаты расчета его автокорреляционная функция приведены на рис. 1.35. 3 −2 2 −1 n 1 −1 −1 Рис. 1.35. АКФ трехпозиционного сигнала u1={1, 1, -1} Из трех изученных здесь дискретных сигналов можно отметить, что именно третий наиболее совершенен с точки зрения полезных корреляционных особенностей, поскольку при этом реализуется наименьший уровень боковых лепестков автокорреляционной функции равный энергии одного импульса. Сигналы Баркера. Дискретные сигналы с наилучшей структурой автокорреляционной функции явились в 50–60-е годы объектом интенсивных исследований специалистов в области теоретической радиотехники и прикладной математики. Были найдены целые классы сигналов с совершенными кор- 74 реляционными свойствами. Среди них большую известность получили так называемые сигналы (коды) Баркера. Эти сигналы обладают уникальным свойством: независимо от числа позиции М значения их автокорреляционных функций, вычисляемые по формуле (1.37), при всех n≠0 не превышают единицы. В то же время энергия этих сигналов, т. е. величина K u(0), численно равна числу позиций М. Сигналы Баркера удается реализовать лишь при числе позиций М = 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13. Случай М=2 является тривиальным. Сигнал Баркера при М=3 был исследован и его АКФ приведена на рис. 1.35. Математические модели сигналов Баркера и отвечающие им автокорреляционные функции приведены в табл. 1.5. Таблица 1.5. Модели сигналов Баркера Для иллюстрации на рис. 1.36 приведен вид наиболее часто используемого 13-позиционного сигнала Баркера при двух способах кодирования, а также графическое представление его АКФ. 11 5 7 9 10 12 13 t 13 а 1 7 5 10 9 12 11 t 13 n −10 − 8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 в б Рис. 1.36. Сигнал Баркера при М=13: а - амплитудное кодирование; б – фазовое кодирование; в – автокорреляционная функция 75 Исследования показали, что не существует сигналов Баркера с нечетным числом позиций, большим 13. Однако до сих пор неизвестно, можно ли построить сигнал Баркера с четным М>4 [2]. Отметим в заключение, что исследование некоторых свойств дискретных сигналов и их автокорреляционных функций, будет продолжено в последующих разделах. Взаимокорреляционная функция двух сигналов. В ряде теоретических и прикладных разделов радиотехники необходимо использовать особую характеристику совокупности двух сигналов – их взаимокорреляционную функцию (ВКФ), которая единым образом описывает как различие в «форме сигналов» так и их взаимное расположение на оси времени. Для этого обобщая формулу (1.33), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов u1(t) и u2(t) скалярное произведение вида: Ku ( τ ) = ∞ ∫ u ( t )u ( t − τ )dt 1 2 (1.38) −∞ Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть, например, сигналы u1(t) и u2(t) в исходном состоянии ортогональны, так что Ku ( τ = 0 ) = ∞ ∫ u ( t )u ( t )dt = 0 . 1 2 −∞ При прохождении этих сигналов через различные устройствf возможно, что сигнал u2(t) будет сдвинут относительно сигнала u1(t) на некоторое время τ. Ясно, что ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени. Если в формуле (1.38) заменить переменную интегрирования, введя х=t-τ, так что dt=dx, то, можно убедиться, что возможна и такая запись: K uν(τ)= Kν u (-τ) . Результаты расчета по отмеченным формулам совпадут, поскольку одно и то же взаимное положение сигналов будет достигнуто как при сдвиге u2(t) в сторону запаздывания, так и при сдвиге u1(t) в сторону в сторону опережения. В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента τ: K uν(τ)= K uν (-τ). 76 Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена, так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы. Кроме того, следует обратить внимание на то, что при τ=0 значения ВКФ совсем не обязаны достигать максимума. 2. Теоретические основы модулированных сигналов 2.1. Общие определения Для передачи информации на расстояние применяются сигналы, эффективно излучаемые с помощью антенных устройств и обладающие способностью распространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей отправителя и получателя информации. Такими сигналами являются высокочастотные колебания. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим. Частота ω0 этого колебания выбирается в зависимости от расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий распространения радиоволн и ряда других технических и экономических факторов. Но в любом случае ω0 частота должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой Ω m спектра передаваемого сообщения. Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщений через радиотехнические цепи, а также для устранения искажений, возникающих при распространении радиоволн, необходимо чтобы ширина спектра сообщения Ω m была мала по сравнению с ω0 чем меньше отношение Ω m / ω0 , тем меньше проявляется несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость передачи информации и, следовательно, шире спектр сообщения Ω m , тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как правило, выполняется неравенство Ω m / ω0  1. Любой радиосигнал поэтому понимают как «узкополосный» процесс даже при передаче «широкополосных» сообщений. Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от Fm1n = 30–50 Гц до Fmax = 3000–10 3 Гц. Даже на самой длинной волне вещательного диапазона λ =2000м при несущей частоте f0=150 кГц отношение 4 5 Fmax/f0=10 /1,5×10 ≈ 0,06. При передаче тех же сообщений на коротких волнах (при частотах 15–20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот сообщения весьма широка и достигает 5–6 МГц, однако и несущая частота выбирается не менее 50–60 МГц, так что отношение Fmax/f 0 не пре- 77 вышает 10%. В данном разделе Ω m используется для обозначения частоты модулирующей функции. В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию, можно представить в виде: a (t ) = A(t ) cos [ω0t + θ (t )] = A(t ) cosψ (t ) (2.1) в котором амплитуда или фаза могут изменяться по закону передаваемого сообщения. Если A и θ – постоянные величины, то выражение (2.1) описывает простое гармоническое колебание, не содержащее в себе никакой информации. Если A и θ (следовательно, и ψ ) подвергаются принудительному изменению для передачи сообщения, то колебание становится модулированным. В зависимости от того, какой из двух параметров изменяется – амплитуда А или угол θ – различают два основных вида модуляции: амплитудную и угловую. Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на два вида – частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Эти два вида модуляции тесно связаны между собой, и различие между ними проявляется лишь в характере изменения во времени угла ψ при одной и той же модулирующей функции. Модулированное колебание имеет спектр, структура которого зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида модуляции. То обстоятельство, что ширина спектра модулирующего сообщения мала по сравнению с несущей частотой ω0 , позволяет считать А(t) и θ (t) медленными функциями времени. Это означает, что относительное изменение A(t) или θ (t) за один период несущего колебания мало по сравнению с единицей. 2.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией Амплитудная модуляция (AM) является наиболее простым и очень распространенным в радиотехнике способом заложения информации в высокочастотное колебание. При AM огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпадающему с законом изменения передаваемого сообщения, частота же и начальная фаза колебания поддерживаются неизменными. Поэтому для амплитудно-модулированного радиосигнала общее выражение (2.1) можно заменить следующим: s AM (t ) = A(t ) cos(ω0 t + θ 0 ) (2.2) Характер огибающей A (t) определяется видом передаваемого сообщения. При непрерывном сообщении огибающая A(t) совпадает по форме с модулирующей функцией, т. е. с передаваемым сообщением s (t). Рисунок 78 2.1 построен в предположении, что постоянная составляющая функции s (t) равна нулю (в противоположном случае амплитуда несущего колебания А0 при модуляции может не совпадать с амплитудой немодулированного колебания). Наибольшее изменение A (t) «вниз» не может быть больше А0. Изменение же «вверх» может быть в принципе и больше А0. Основным параметром амплитудно-модулированного колебания является коэффициент модуляции. Определение этого понятия особенно наглядно для тональной модуляции, когда модулирующая функция является гармоническим колебанием: s (t ) = S 0 cos(ωt + y ) Огибающую модулированного колебания при этом можно представить в виде A(t ) = A0 + k AM s(t ) = A0 + Am cos(Ωt + ϕ ) , где Ω – частота модуляции; ϕ – начальная фаза огибающей; kAM – коэффициент пропорциональности; ∆Am – амплитуда изменения огибающей (рис. 2.1). Отношение M = Am / A0 называется коэффициентом амплитудной модуляции.  Am A0 2π / ω0 2π / Ω Рис. 2.1. Колебание, модулированное по амплитуде гармонической функцией Таким образом, мгновенное значение модулированного колебания a (t ) = A0 1 + M cos(Ωt + γ ) cos(ω0t + θ 0 ) (2.3) При неискаженной модуляции ( M ≤ 1) амплитуда колебания изменяется в пределах от минимальной Am1n = A0 (1 − M ) до максимальной Am ax = A0 (1 + M ) . 79 Осциллограммы АМ колебания для М<1, М=1 и М>1 показаны на рис. 2.2. Рис. 2.2. В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя за период высокой частоты мощность модулированного колебания. Пикам огибающей соответствует мощность, в (1 + M)2 раз большая мощности несущего колебания. Средняя же за период модуляции мощность пропорциональна среднему квадрату амплитуды A(t): 2 A2 (t ) = A02 [1 + M cos(Ωt + γ )] = A02 (1 + 0,5M 2 ) . (2.4) Эта мощность превышает мощность несущего колебания всего лишь в (1+0,5М2) раз. Таким образом, при 100 %-ной модуляции (М=1) пиковая 1 2 мощность равна 4Р0, а средняя мощность 1,5Р 0 (через P0 = A02 обозначена мощность несущего колебания). Отсюда видно, что обусловленное модуляцией приращение мощности колебания, которое в основном и определяет условия выделения сообщения при приеме, даже при предельной глубине модуляции не превышает половины мощности несущего колебания. При передаче дискретных сообщений, представляющих собой чередование импульсов и пауз (рис. 2.3а), модулированное колебание имеет вид последовательности радиоимпульсов, изображенных на рис. 2.3б. При этом имеется в виду, что фазы костотного заполнения в каждом из импульсов такие же, как и при «нарезании» их из одного 80 Рис. 2.3. Колебание, модулированное по амплитуде импульсной последовательностью непрерывного гармонического колебания. Только при этом условии показанную на рис. 2.2б последовательность радиоимпульсов можно трактовать как колебание, модулированное лишь по амплитуде. Если от импульса к импульсу фаза изменяется, то следует говорить о смешанной амплитудноугловой модуляции. 2.3. Спектр АМ-колебания Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, о котором известно, что частота ω0 и начальная фаза θ0 величины постоянные, а огибающая A(t) содержит в себе передаваемое сообщение s(t). Аналитически такое колебание можно представить с помощью выражения (2.2). Требуется установить связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного, сообщения s(t). Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая A(t ) = A0 [1 + M cos(Ωt + γ )] а модулированное колебание определяется выражением (2.3). Перепишем это выражение в виде a (t ) = A0 cos(ω0t + θ 0 ) + M cos(Ωt + γ ) cos(ω0t + θ 0 ) , где второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся продуктом модуляции, можно привести к виду: M cos(Ωt + γ ) cos(ω0 t + θ 0 ) = после чего развернутое a (t ) = A0 cos(ω0t + θ 0 ) + M M cos [(ω0 + Ω)t + (θ 0 + γ )] + cos [(ω0 − Ω)t + (θ 0 − γ )] 2 2 выражение колебания a(t) принимает вид: MA0 MA0 cos [(ω0 + Ω)t + (θ 0 + γ )] + cos [ (ω0 − Ω)t + (θ 0 − γ )] 2 2 (2.5) Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное немодулированное колебание с частотой ω0 . Второе и третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим), появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих колебаний ω0 + Ω и ω0 − Ω называются верхней и нижней боковыми частотами моΩt + y дуляции. Амплитуды этих двух колебаний одиΩt + y наковы и составляют от амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а их фазы симметричны относительно фазы неC2 Ω C1 A0, ω0 Ω θ0 ω0t 90 0 ω0 Рис.2.4. Векторное представление АМ- колебания 81 сущего колебания. Это иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на рис. 2.4. На этой диаграмме ось времени «вращается» по часовой стрелке с угловой частотой ω0 , причем отсчет угла ω0t ведется от линии ОВ. Поэтому несущее колебание A0 cos(ω0t + θ 0 ) изображается на этой диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной А0, составляющего с горизонталью угол θ0 Мгновенное значение несущего колебания в момент t равно проекции вектора A0 на ось времени (отрезок ОК). Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой ω0 + Ω , превышающей угловую частоту вращения оси временя на величину Ω , необходимо воспользоваться вектором, вращающимся с угловой частотой Ω против часовой стрелки (вектор DC1). Для изображения колебания с частотой ω0 − Ω потребуется вектор, вращающийся с такой же частотой Ω по часовой стрелке (вектор DC2). Поэтому колебания боковых частот – верхней и нижней – изображаются двумя векторами длиной МА0/2, вращающимися во взаимно противоположных направлениях. Начала этих векторов перенесены из точки О в точку D. Их фазы симметричны относительно вектора несущего колебания A0. Это следует из выражения (2.5), которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько измененной форме a (t ) = A0 cos(ω0t + θ 0 ) + MA0 MA0 cos [ (ω0 + Ω)t + (Ωt + γ )] + cos [(ω0 − Ω)t + (Ωt − γ )] 2 2 Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огибающей γ векторы DC1 и DC2, соответствующие колебаниям верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора OD положение, причем векторы колебаний боковых частот образуют с вектором несущего колебания углы, равные ± (Ωt + γ ) .Равнодействующий вектор DF, являющийся геометрической суммой векторов ОС1 и DC1 и называемый вектором модуляции, всегда располагается на линии OD, вследствие чего сумму всех трех колебаний – несущей и двух боковых частот – можно рассматривать как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой. Попутно заметим, что если в результате прохождения через электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания, то возникает качание вектора, представляющего результирующее колебание, относительно направления OD. Это равносильно возникновению паразитной ФМ. Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции можно получить учитывая формулу (2.5) и она приведена на рис. 2.5. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте модуляции 2 Ω , а амплитуды 82 колебаний боковых частот не могут превышать половины амплитуды немодулированного колебания (при M ≤ 1). Аналогичные результаты A можно получить при модуляции любым сложным сигналом. Картину образования спектра амплитудноMA MA 2 модулированного колебания проще 2 всего пояснить на примере, когда модулирующее сообщение s(t) явω ω +Ω ω ω −Ω 2Ω ляется суммой колебаний нескольких колебаний. Допустим, что исРис. 2.5. Спектр колебания при ходное низкочастотное сообщение гармонической AM представляет собой сумму гармонических сигналов: U тогда общее аналитическое выражение для напряжения равно: . В этой формуле Um,0 – амплитуда несущего колебания; Um,n – амплитуды модулирующих сигналов. Качественный спектр такого АМ-колебания при n=2 имеет вид, показанный на рис. 2.6. Рис. 2.6. 83 2.4. Балансная и однополосная амплитудные модуляции В амплитудно-модулированном (АМ) сигнале: значительная доля мощности сосредоточена в несущем колебании Для более эффективного использования мощности передатчика можно формировать АМ-сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную амплитудную модуляцию (БАМ). Однотональный АМ-сигнал с балансной модуляцией имеет вид: Такой сигнал с физической точки зрения является биением двух гармонических сигналов с одинаковыми амплитудами и частотами и . При переходе огибающей биений через нуль фаза высокочастотного заполнения скачком изменяется на 180о, поскольку функция имеет разные знаки справа и слева от нуля. Осуществление балансной модуляции, как и обратного процесса демодуляции (детектирования), технически более сложно, чем при обычной амплитудной модуляции. На рис. 2.7 приведен график сигнала БАМ во временной и спектральной областях. Другим усовершенствованием обычной амплитудной модуляции является удаление всех гармоник справа или слева от несущей частоты. При этом информация не теряется, так как Рис. 2.7. содержится в оставшихся гармониках с другой стороны от несущей. Такая модуляция называется однополосной и позволяет в два раза сократить полосу занимаемых частот радиоканала, при этом существенно усложняется процесс демодуляции с полным восстановле- 84 нием модулирующего сигнала. Возможно устранение в однополосной модуляции и несущего колебания с частотой ω0. 2.5. Импульсно-модулированные сигналы В импульсной модуляции в качестве носителя управляющих (модулирующих) сигналов используется последовательность прямоугольных импульсов. При передачи по радиоканалу эта последовательность преобразуется в высокочастотное колебание (двойная модуляция). Рассмотрим некоторые разновидности таких сигналов. 1) Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), когда по закону управляющего сигнала изменяется приращение амплитуды импульсов. T = const. 2) Модуляция по длительности импульсов (ДИМ), когда по закону управляющего сигнала меняется длительность импульса. Иногда этот вид модуляции называется широтно-импульсной модуляцией( ШИМ). A= const, T= const, τ(t) = t0+ks(t). 3) Временная импульсная модуляция (ВИМ), когда по закону управляющего сигнала происходит смещение импульсов по временной оси (может быть фазовой (ФИМ) или частотной (ЧИМ)). A= const, τи= const, T = const, Dt = ks(t) – ФИМ. A= const, τи = const, 85 Ti(t) = ks(t)+T0 – ЧИМ. 4) Кодово-импульсная модуляция (цифровая) Каждому уровню сигнала (квантованному) приписывается определенный номер (код) обычно в двоичной системе. Вместо передачи величины сигнала s(t) в моменты отсчета функции s(t) передается число (в виде комбинации коротких импульсов), соответствующее номеру уровня сигнала в данный момент. Преобразования, соответствующие такому сигналу, приведены на рисунке. Спектральные характеристики рассмотренных сигналов рассмотрим на примере АИМ-сигнала, который можно представить как где f(t) – периодическая последовательность прямоугольных импульсов с длительностью τи и частотой F=1/T. Спектр f(t) может быть представлен рядом Фурье: , тогда Из анализа полученного результата можно построить качественные спектрограммы видео и радио сигналов с АИМ, которые приведены на рисунке. 86 Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что при АИМ около каждой гармонической составляющей спектра, соответствующей спектру «несущей» периодической последовательности импульсов, появляются боковые составляющие, соответствующие спектру модулирующей функции (избыточность информации). Полезная составляющая, которая выделяется при детектировании, расположена около постоянной спектральной компоненты. При дополнительной высокочастотной модуляции спектр дополнительно сдвигается на частоту несущей ω0 (см. рисунок). 2.6. Радиосигналы с угловой модуляцией Для простого гармонического колебания a (t ) = A0 cos(ω0t + θ 0 ) = A0 cos ϕ (t ) набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t=t1 до t=t2, равен ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) = (ω0t2 + θ 0 ) − (ω0 t1 + θ 0 ) = ω0 (t2 + t1 ) (2.6) Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за какой либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка. С другой стороны, если известно, что набег фазы за время t2=t1, равен ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) , то угловую частоту можно определить как отношение (2.7) ω0 = [ϕ (t2 ) − ϕ (t1 )] /(t2 + t1 ) если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение. Из (2.7) видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость изменения фазы колебания. Переходя к сложному колебанию, частота которого может изменяться во времени, равенства полученные соотношения необходимо заменить интегральным и дифференциальным: 87 t2 ϕ (t2 ) − ϕ (t1 ) = ∫ ω (t )dt , (2.8) t1 dϕ (i ) . (2.9) di В этих выражениях ω (t ) = 2π f (t ) – мгновенная угловая частота коω (t ) = лебания; f (t ) – мгновенная частота сигнала. Согласно выражениям (2.8), (2.9) полную фазу высокочастотного колебания в момент t можно определить как t ϕ(t ) = ∫ ω(t )dt +θ0 (2.10) где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала отсчета до рассматриваемого момента t; θ0 — начальная фаза колебания (в момент t=0). При таком подходе фазу ϕ (t ) = ω0t + θ (t ) , следует заменить на ϕ (t ) = ω0t + θ (t ) + θ 0 . тогда общее выражение для высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, т. е. A(t)=A0, а аргумент ϕ (t ) модулирован, можно представить в виде: a (t ) = A0 cos[ω0 t + θ (t ) + θ 0 )] (2.11) Рассмотрим пример простейшего гармонического ЧМ колебания, когда мгновенная частота определяется выражением ω (t ) = ω0 + ω Ä cos Ωt , (2.12) где ω Ä = 2π f Ä – называется девиацией частоты и представляет собой амплитуду частотного отклонения относительно частоты несущего колебания. Через ω0 и Ω , как и при AM, обозначены несущая и модулирующая частоты. Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока или напряжения), частота которого изменяется по закону (2.12), а амплитуда постоянна. Подставляя в (2.11) ω (t ) из уравнения (2.12), получаем t ϕ (t ) = ∫ (ω0 + ω Ä cos Ωt )dt +θ 0 Выполнив интегрирование, найдем: ϕ (t ) = ω0t + (ω Ä / Ω)sin Ωt + θ 0 Таким образом, 88 (2.13) a (t ) = A0 cos[ω0 t + (ω Ä / Ω) sin Ωt + θ 0 ] . (2.14) Фаза колебания a(t) наряду с линейно-возрастающим слагаемым ω0 (t) содержит еще периодическое слагаемое (ω Ä / Ω) sin Ωt . Это позволяет рас- сматривать a(t) как колебание, модулированное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения частоты. Именно модуляция частоты по закону ω Ä cos Ωt приводит к модуляции фазы по закону (ω Ä / Ω) sin Ωt . Амплитуда изменения фазы равна: θ max = ω Ä / Ω = m (2.15) и называется индексом угловой модуляции. Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от частоты ω0 , а определяется исключительно девиацией ω Ä и модулирующей частотой Ω . При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции. При ЧМ девиация ω Ä пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции Ω . При ФМ величина θ max пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции Ω . Эти положения поясняются рис. 2.8, на котором показаны частотные характеристики величин ω Ä и θ max при частотной и фазовой модуляциях. В обоих случаях предполагается, что на вход модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной амплитудой U, a частота Ω изменяется от Ω min до Ω max . θmax ωД θmax = ω Д / Ω ω Д = mΩ Ω Ω Рис. 2.8. Зависимость индекса θmax и девиации ω Ä от модулирующей частоты при ЧМ – (а) и ФМ – (б) При ЧМ ω Ä , зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды U, будет, постоянной величиной, а индекс модуляции m = ω Ä / Ω = θ max с увели- 89 чением частоты будет убывать (рис. 2.8а). При ФМ m не зависит от Ω , а ω Ä = θ max Ω = mΩ изменяется пропорционально частоте модуляции. Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сигналом) частотная и фазовая модуляции различаются и способом реализации. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебаний генератора. При ФМ генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания модулируется в одном из последующих устройствах. 2.7. Спектральный анализ сигналов с угловой модуляцией Ясно, что спектр сигнала будет значительно сложнее спектра при аналогичной амплитудной модуляции, так как низкочастотный сигнал входит аргументом в такую нелинейную функцию, как косинус или синус (2.14). Выберем функцию мгновенного изменения напряжения в виде: a (t ) = A0 cos(ω0t + m sin Ωt ) Используя тригонометрическое преобразование, запишем: a (t ) = A0 cos(m sin Ωt ) cos ω0t − A0 sin(m sin Ωt ) sin ω0 t . Учитывая, что множители cos(m sin Ωt ) и sin(m sin Ωt ) ) являются периодичёскими функциями времени, разложим их в ряд Фурье. Коэффициенты действительного ряда Фурье определяются с помощью соответствующих функций Бесселя первого рода, аргументом которых является индекс угловой модуляции. Так функции cos(m sin Ωt ) и sin(m sin Ωt ) ) можно представить в виде: sin(m sin Ωt ) = 2 J1 (m) sin Ωt + 2 J 3 (m) sin 3Ωt + 2 J 3 (m)sin 5Ωt + ... cos(m sin Ωt ) = J 0 (m)sin Ωt + 2 J 3 (m)sin 3Ωt + 2 J 4 (m)sin 4Ωt + ... Подставляя эти соотношения в формулу для а(t) получаем: a (t ) = A0 (ω0 t + sin Ωt ) = A0 {J 0 (m) cos ω0t + J1 (m)[cos(ω0 + Ω)t − cos(ω0 − Ω)t ] + + J 2 (m)[cos(ω0 + 2Ω)t + cos(ω0 − 2Ω)t ] + J 3 (m)[cos(ω0 + 3Ω)t − cos(ω0 − 3Ω)t ] + ...} 90 Таким образом, сигнал с тональной угловой модуляцией состоит из бесконечного числа боковых составляющих, расположенных симметрично относительно несущей частоты. Амплитуды всех составляющих, в том числе и несущей, определяются величиной индекса угловой модуляции. Амплитуда несущей равна Аn=J n(m)А0, а амплитуды ближайших боковых составляющих с суммарными и разностными частотами равны. Ниже на рисунке показаны графики поведения нескольких функций Бесселя, из которых видно, что все они имеют осциллирующий характер, глобальные максимумы (особенно при m>>1) функций Jn(m) имеют место при , при некоторых значениях индекса модуляции функция J0 (m) равна нулю, что выгодно использовать для уменьшения уровня мощности самого несущего колебания в модулированном сигнале (m=2, 4 – наименьшее значение индекса модуляции, где J0(m)=0). Чем выше значение индекса модуляции, тем шире полоса частот, занимаемая сигналом с угловой модуляцией. Из формулы для а(t) видно, что нижние нечетные составляющие отличаются от соответствующих верхних составляющих на фазовый угол, равный π. Наличие этого угла и обеспечивает постоянство амплитуды сигнала с УМ. Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях m. Если m << 1, то имеют место приближенные равенства: sin(m sin Ωt ) ≈ m sin Ωt , cos(m sin Ωt ) ≈ 1 , и выражение для а(t) переходит в следующее: m m   a (t ) ≈ A0 cos ω0t − m sin Ωt sin ω0t = A0 cos ω0t + cos(ω0 + Ω)t − cos(ω0 − Ω)t  2 2   91 Сравнивая это уравнение с уравнением для амплитудномодулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ, замечаем, что отличие только в знаке составляющей при нижней частоте спектра ω0 − Ω , т. е. различная фазировка этих составляющих. Также заметим, что ширина спектра при m<<1 равна 2Ω , как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях ω Ä (по сравнению с Ω ) ширина спектра от ω Ä не зависит. При увеличении m увеличиваются амплитуды боковых составляющих высших порядков. Так для m=2 амплитудный спектр сигнала с УМ будет иметь вид, представленный на рисунке. Здесь полоса частот, занимаемая сигналом, составляет примерно 8 Ω . Рассмотрим теперь случай больших значений m. Вопрос сводится к выяснению зависимости поведения Бесселевых функции Jn(m) от порядкового номера n при больших значениях аргумента m. Оказывается, что при m>>1 величина |J n(m)| более или менее равномерна при всех целых значениях |n|, меньших, чем аргумент m. При |n|, близких к m, |J n(m)| образует всплеск, а при дальнейшем увеличении |n| функция |Jn(m)| быстро убывает до нуля. Из общего анализа можно сделать вывод, что наивысший номер n боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции m (в рассматриваемом случае n=100). Приравнивая это максимальное значение nmax величине m, приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания 2 nmax Ω ≈ 2 mΩ , но m = ω Ä / Ω , следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты: 2 nmax Ω ≈ 2ω Ä . 2.8. Обобщенное представление узкополосного колебания. Аналитический сигнал Используются радиосигналы, получаемые в результате одновременной модуляции амплитуды и угла . При этом может возникнуть 92 неоднозначность в выборе функций A(t), ψ(t)=ϕ(t) (можно A(t) представить в виде cos, а ψ(t) – в виде arccos и поменять местами). Однако если сигнал является узкополосным (ширина спектра модулирующих функций много меньше центральной частоты ω0), то неопределенностей A(t) и ψ(t) можно избежать с помощью следующих соотношений: ; где a1(t) – новая функция, связанная с исходной преобразованием Гильберта; ; Мгновенная частота узкополосного сигнала равна: . где Выделив в постоянную часть , можно написать не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. , Из полученного следует, что в точках, где a1(t) = 0 имеем т. к. . Следовательно, в этих точках кривые a(t) и A(t) имеют общие касательные. Кроме того, преобразование Гильберта обеспечивает в точках, где a1(t)=0, значения a(t), близкие к максимальным (амплитудным). Таким образом, функция A(t) касается функции a(t) в её амплитудных значениях и её можно считать простейшей огибающей, если она изменяется медленно по сравнению с быстро осциллирующей функцией a(t), т. е. выполнено условие узкополосного сигнала. Аналитическим представлением сигнала a(t) является комплексный сигнал вида: где 93 – комплексная огибающая узкополосного сигнала. Для спектральных плотностей функций a(t) и a1(t) имеют место соотω > 0, ношения ω < 0, Спектры аналитического сигнала имеют только положительные частоты. Корреляционная функция аналитического сигнала связана с корреляционной функцией узкополосного соотношениями Пример. Сигнал a(t) = cosω0t. Найдем функцию Здесь использована замена t - t = x; Известно, что и тогда при 94 сигнала связана с корреляционной функцией узкополосного сигнала соотношениями 2.9. Автокорреляционная функция амплитудно-модулированного сигнала может быть определена как результат предыдущего анализа: где (постоянная фаза не влияет на функцию корреляции). Учтем необходимые преобразования , Во втором интеграле стоит произведение медленно меняющейся функции A(t)A(t-τ) и быстро осцилирующего члена с частотой 2ω 0.. Вследствие этого второй интеграл существенно меньше первого и им можно пренебречь. Итак, АКФ амплитудно-модулированного сигнала произведению равна и АКФ модулирующей функции. Полная энергия сиг- нала равна за счет усреднения по высокочастотному колебанию. При бесконечной энергии сигнала выполняется аналогичное соотноше- 95 ние между корреляционными функциями, соответствующими мощности модулирующего и амплитудно-модулированного сигнала. где 3. Линейные радиотехнические цепи 3.1. Передаточная функция и импульсная характеристика цепи При определении характеристик линейных цепей обратимся к обобщенному обозначению цепи, представленному на рис. 3.1. Рис. 3.1. В радиотехнических цепях сопротивления нагрузки обычно велики и не влияют на четырехполюсник либо сопротивление нагрузки стандартное и уже учтено в схеме четырехполюсника. Тогда четырехполюсник может характеризоваться одним параметром, устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями при пренебрежении током нагрузок. При синусоидальном сигнале такой характеристикой является передаточная функция цепи (коэффициент передачи), равная отношению комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе: , где – фазочастот- ная характеристика (ФЧХ), – амплитудночастотная характеристика цепи (АЧХ). Передаточная функция линейной цепи вследствие справедливости принципа суперпозиции позволяет анализировать прохождение сложного сигнала через цепь, разлагая его на синусоидальные составляющие. Другой возможностью использования принципа суперпозиции является разложение сигнала на сумму сдвинутых во времени дельта-функций δ(t). Реакцией цепи 96 на действие сигнала в виде δ(t)-функций является импульсная характеристика g(t), т. е. это сигнал на выходе, если сигнал на входе есть δ(t)-функция. при . При этом g(t) = 0 при t < 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала. Экспериментально импульсную характеристику можно определить подавая на вход короткий импульс площадью единица и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи. Так как независимый параметр, связывающий напряжения на выходе и входе цепи, может быть только один, то между импульсной характеристикой и передаточной функцией имеется связь. Пусть на вход подается сигнал в виде δ(t)-функции со спектральной плотностью . На выходе цепи будет импульсная характеристика , при этом все спектральные составляющие входного сигнала умножаются на передаточную функцию соответствующей частоты: . Таким образом, импульсная характеристика цепи и передаточная функция связаны парой преобразований Фурье: . Иногда вводят так называемую переходную характеристику цепи h(t), являющуюся откликом на сигнал – единичный скачок: 1(t)=σ(t) = 1, при t ≥ 0; 1(t) =σ(t) = 0, при t < 0; при этом , h(t) = 0 при t < 0. Учитывая условие, что g(t) должна быть вещественной, приводит к требованию, что , т. е. модуль передаточной функции (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) – нечетная функция частоты. Условие, что при t < 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера [1], возможности реализации устройств: . 97 Например, рассмотрим идеальный фильтр низких частот ФНЧ с передаточной функцией . Модуль передаточной функции (АЧХ и ФЧХ) и импульсная характеристика приведены на рис. 3.2. Рис. 3.2 Здесь интеграл в критерии Пэли-Винера расходится, как и для любой , обращающейся в нуль на конечном отрезке оси частот. Импульсная характеристика такого фильтра (после вычисления по Фурье) равна: , g(t) не равна нулю при t < 0, тем сильнее, чем меньше время задержки , ко(рис. 3.2). Это указывает на нереалиторое определяет её угол наклона зуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших . Существует целый класс радиотехнических цепей, в которых выходной сигнал или некоторая его часть снова подается на вход. Такие цепи называют цепями с обратной связью. Введение обратной связи (ОС) в ряде случаев позволяет существенно улучшить рабочие характеристики цепей. Однако при определенных условиях такие цепи становятся неустойчивыми и в них возникают автоколебания. На этом принципе построены различные автоколебательные системы, прежде всего генераторы гармонических колебаний, которые являются неотъемлемыми элементами любого радиопередающего устройства (см. раздел 5). 98 Обратная связь может вводиться в схему преднамеренно с целью изменения характеристик последней. В этом случае обратная связь является полезной. Однако иногда обратная связь возникает вопреки намерениям разработчика устройства из-за неучтенных электромагнитных связей между входными и выходными цепями. Такая обратная связь называется паразитной. Обобщенная схема устройства с обратной связью представлена на рис. 3.3. Здесь КПП - это канал прямой передачи, являющийся, как правило, активным звеном (усилителем) и имеющий комплексный коэффициент передачи К·(ω) . КОС - это канал обратной связи, обычно представляющий собой пассивный четырехполюсник; его коэффициент передачи обозначен как β·(ω). В теории систем с обратной связью предполагается, что КПП и КОС являются однонаправленными, т. е. в данных устройствах отсутствует передача сигнала с выхода на вход. 3.2. Коэффициент передачи схемы с обратной связью. Выясним, как связан комплексный коэффициент передачи цепи, охваченной обратной связью, с коэффициентами передачи трактов прямой и обратной передачи. Для этого обозначим через s1(t) сигнал на входе КПП (т. е. после суммирующего устройства) и через s2(t) – сигнал на выходе КОС (см. рис. 3.3). Спектры сигналов в различных точках схемы связаны друг с другом очевидным соотношением: (3.1) (3.2) (3.3) 99 Рис. 3.3. Устройство с обратной связью Для того чтобы найти коэффициент передачи цепи с обратной связью , нужно исключить из системы уравнений (3.1)-(3.3) спектры сигналов s1(t) и s2(t). Для этого проведем преобразования и получим: Кроме того найдем Отсюда можно получить выражение для искомого коэффициента передачи: (3.4) При выводе соотношения (3.4) рассматривалась схема общего вида, в которой не конкретизировался вид входного сигнала: это может быть как ток, так и напряжение. Классификация. Рассмотрим структуру К·'(ω) подробнее. Обозначим, в частности, и . С учетом этого 100 Полученное соотношение служит основой для приводимой ниже классификации видов обратной связи. Физическую основу этой классификации составляет различие фазовых соотношений между суммирующимися входным сигналом и сигналом обратной связи. Положительная обратная связь. Если φβ(ω)+ φK(ω) = 2πk, где k = 0, ±1, ±2, ..., то сигнал обратной связи и входной сигнал складываются синфазно, при этом и обратная связь называется положительной (ПОС), причем при β(ω)К(ω)→1 имеем K'(ω) →∞ и цепь с обратной связью приближается к границе устойчивости. При β(ω) K(ω) > 1 цепь неустойчива, т. е. в ней возникают незатухающие колебания и схема работает как генератор. Следует отметить, что данный режим работы цепей будет подробно рассмотрен при анализе работы автогенераторов. Отрицательная обратная связь. Если φβ(ω)+ φK(ω) = 2πk,+π , где k = 0, ±1, ±2, ..., то сигнал обратной связи и входной сигнал складываются в противофазе, при этом и обратная связь называется отрицательной (ООС), т. е. коэффициент передачи цепи с обратной связью в данных условиях практически определяется лишь четырехполюсником обратной связи. В данной ситуации говорят о сильной ООС. Она часто используется при построении разнообразных схем на операционных усилителях. Реактивная и комплексная обратная связь. Если φβ(ω)+φK(ω) = 2πk,±π/2 , где k = 0, ±1, ±2, ... , то обратная связь называется реактивной (при этом фазовый сдвиг между входным сигналом и сигналом обратной связи составляет ±90°), а в остальных, не перечисленных случаях – комплексной. В реальных устройствах фазы коэффициентов передачи каналов прямой и обратной связи неизбежно зависят от частоты. Поэтому зависящим от 101 частоты оказывается и характер обратной связи – на одних частотах она может быть отрицательной, а на других – положительной. Влияние ООС на характеристики усилителя. Отрицательная обратная связь широко используется в радиотехнике. Её применение позволяет, в частности, за счет снижения общего коэффициента передачи улучшить такие важные параметры устройства, как стабильность коэффициента усиления, частотную характеристику, уменьшить искажения. Рассмотрим эти эффекты подробнее. Стабильность коэффициента усиления. Пусть канал прямой передачи на некоторой частоте имеет средний коэффициент усиления K0, а нестабильность этого коэффициента составляет ΔK 0. Относительная нестабильность равна, таким образом, ΔK0 /K0. Рассчитаем нестабильность коэффициента передачи для усилителя, охваченного ООС. Значение коэффициента передачи и его нестабильность, вызванная изменением коэффициента усиления тракта прямой передачи составит Относительная нестабильность коэффициента передачи для усилителя с ООС, таким образом, оказывается равной Анализируя полученные формулы видно, что за счет использования ООС нестабильности, вызванные изменением температуры, разбросом параметров элементов схемы и т. п., уменьшаются в (1 + β0K 0) раз. Коррекция частотной характеристики. Изменение коэффициента передачи K0 в зависимости от частоты также можно рассматривать как его нестабильность. Следовательно, применение ООС позволит при тех же изменениях частоты уменьшить относительное изменение коэффициента усиления в (1 + β0K 0) раз. Таким образом, произойдет расширение АЧХ усилителя. Рассмотрим простейший пример – инвертирующий усилитель с резистивноемкостной нагрузкой (рис. 3.4 а), имеющий комплексный коэффициент передачи 102 где τ = RC (см. рис. 3.4 а). Граничная частота такого усилителя, определяемая по спаду АЧХ до уровня 0,707, очевидно, равна 1/τ. Охватим усилитель петлей частотнонезависимой обратной связи с коэффициентом передачи β(ω) = β0. В результате согласно получим Рис. 3.4. Усилитель с RС-нагрузкой (а) и введение в него отрицательной обратной связи (б) Отсюда видно, что граничная частота усилителя с ОС равна (1+ β0K 0)/τ, т. е. увеличивается в (1 + β0K 0) раз. Разумеется, достигается это не бесплатно, а за счет уменьшения во столько же раз коэффициента усиления, который теперь составляет K0/(1+τ0K 0). На рис. 3.5 приведены графики АЧХ рассмотренного усилителя при различных значениях произведения 103 Рис. 3.5. Влияние отрицательной обратной связи на АЧХ усилителя Реализовать отрицательную обратную связь в данной схеме можно, добавив в цепь эмиттера дополнительный резистор Roc (см. рис. 3.4, б). Протекающий через него ток пропорционален выходному напряжению усилителя, в результате входное напряжение транзистора формируется как разность напряжения входного сигнала и напряжения обратной связи. Уменьшение искажений. Использование ООС дает возможность уменьшить возникающие в усилителе искажения сигнала - фон, внутренние шумы, высшие гармоники и т. п. Такие искажения можно представить как добавление к выходному сигналу канала прямой передачи внешней помехи un(t) (рис. 3.6). В отсутствие ОС такой паразитный сигнал беспрепятственно попадает на выход устройства, но при введений в схему отрицательной ОС ситуация меняется. Теперь сигнал помехи, пройдя по петле обратной связи, приобретает фазовый сдвиг, равный 180°, и суммируется сам с собой в противофазе, уменьшая уровень помехи на выходе. Действительно, коэффициент передачи для помехи можно легко рассчитать, если заметить, что сигнал un(t) попадает на выход через охваченную ООС схему, в которой усиление в канале прямой передачи отсутствует (т. е. коэффициент передачи КПП равен 1), а коэффициент передачи цепи ОС равен β0K0. Согласно рассмотренных коэффициентов передачи для помехи он будет равен: т. е. в (1+ β0-K 0) раз меньше, чем при отсутствии ООС. Такой способ уменьшения искажений широко используется на практике. 104 Рис. 3.6. Структурная схема устройства с обратной связью с учетом воздействия внешних помех 3.3. Условия устойчивости линейной цепи Линейная цепь с постоянными параметрами описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением вида: где ai и bi, – постоянные вещественные коэффициенты и n ≥ т. Решение этого неоднородного дифференциального уравнения в самой общей форме складывается, как известно, из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения связано с входным воздействием uвх(t) и представляет собой вынужденные колебания, тогда как общее решение однородного уравнения соответствует свободным колебаниям цепи. При отсутствии входного сигнала в цепи существуют лишь свободные колебания, подчиняющиеся однородному линейному дифференциальному уравнению Цепь называется устойчивой, если свободные колебания при любых начальных условиях являются затухающими, т. е. если справедливо соотношение 105 Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения при отсутствии кратных корней, как известно, имеет вид где Ai- вещественные постоянные, а pi – корни характеристического уравнения Для устойчивости цепи необходимо, чтобы входящие в решение однородного уравнения экспоненты были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни р 1, p2, ...,pn характеристического уравнения должны быть либо отрицательными действительными числами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем: система устойчива, если действительные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны. При наличии у характеристического уравнения кратных корней в формуле, описывающей общее решение однородного дифференциального уравнения, появляются слагаемые вида Aitk-1 exp(pit), где k – целые числа в диапазоне от единицы до степени кратности корня pi. Такие слагаемые также являются затухающими при Re(pi) <0, так что приведенные ранее рассуждения сохраняют силу. Заметим, что левая часть характеристического уравнения представляет собой знаменатель передаточной функции цепи, записанный в операторной форме: Таким образом, корни характеристического уравнения являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи. 106 Отсюда следует, что сформулированные условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы полюсы передаточной функции К(р) лежали в левой полуплоскости комплексной переменной р. В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей. Однако ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения. Это позволяет сделать теорема Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения с действительными коэффициентами и A0 > 0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители A1, A2, ..., Аn, составленные из коэффициентов уравнения а 1, а2, ..., ап по следующей схеме: и т. д. Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса-Гурвица. При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями. Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя Δn. Так как последний 107 столбец определителя Δn содержит лишь один отличный от нуля элемент Δn, расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство Δn = anΔn-1. Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости можно сформулировать в виде следующих неравенств: Δ1 > 0, Δ2 > 0, ..., Δn-1> 0, ап > 0. Возникновение нарастающих собственных колебаний в электрических цепях возможно лишь тогда, когда в составе цепи, помимо пассивных элементов L, С, R, содержатся активные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников. Распространенной моделью такого активного элемента служит резистор с отрицательным сопротивлением. Система, содержащая такой элемент, может самопроизвольно возбуждаться, если отрицательное сопротивление элемента превосходит (по модулю) некоторое критическое значение. 3.4. Методы анализа преобразования сигналов в линейных цепях Спектральный метод. На основании принципа суперпозиции, сигнал на входе линейной цепи можно разложить на сумму более простых сигналов заданной формы, проанализировать прохождение каждого из них через цепь, а на выходе цепи сложить. В спектральном методе сигнал на входе представляется в виде суммы синусоидальных сигналов и реакцией цепи на каждый из них определяется передаточной функцией цепи. Тогда анализ прохождения сигнала через цепь состоит в следующем: 1. Находим спектр входного сигнала. – интеграл Фурье. – коэффициенты ряда Фурье. 2. Умножаем спектральную функцию сигнала на входе цепи на передаточную функцию цепи и получаем спектр сигнала на выходе: 108 3. Определяем сигнал на выходе по его спектру. или . Частные случаи: а) Полоса пропускания цепи значительно уже спектра сигнала: , где – центральная частота полосы пропускания цепи. б) Полоса пропускания цепи значительно шире спектра сигнала: , где – центральная частота спектра сигнала. Условия отсутствия искажений. Если считать, что информация, заключенная в сигнале, отображается его формой, то для неискаженной передачи сигнала необходимо, чтобы , где К – коэффициент пропорциональности, – время запаздывания сигнала. Коэффициент передачи цепи в этом случае должен удовлетворять следующим требованиям: 1) , т. е. амплитуды всех частотных составляющих сигнала должны изменяться в одинаковое число раз. 2) , т. е. фазы всех спектральных составляющих при запаздывании сигнала должны изменяться пропорционально их частоте. Докажем эти условия: ; 109 ; ; . Метод интеграла наложения (Дюамеля) В методе интеграла наложения в качестве характеристики цепи используется импульсная характеристика цепи g(t), являющейся реакцией цепи на сигнал в виде дельтафункции δ(t). Сигнал произвольной формы разбивается на узкие элементарные импульсы отмеченные на рисунке . Площадь такого элементарного сигнала равна . Величина отклика в момент на такой элементарный импульс будет . Для определения полного значения выходного сигнала в момент t нужно просуммировать действия всех импульсов в промежутке от до . – это интеграл Дюамеля. К сожалению, вычисление интеграла Дюамеля не всегда представляет легкую задачу, поэтому спектральный метод используют чаще. 3.5. Корреляция сигнала на входе и выходе четырехполюсника Пусть на входе четырехполюсника с передаточной функцией и импульсной характеристикой g(t) действует сигнал , обладающий спек. Требуется тральной плотностью и автокорреляционой функцией найти автокорреляционную функцию выходного сигнала и взаимно корреляционную функцию . . 110 Произведению спектральных функций соответствует свертка их оригиналов , где на входе. – автокорреляционная функция сигнала – автокорреляционная функция импульсной характеристики цепи. Найдем взаимно корреляционную функцию выходного и входного сигнала: – согласно выражению для спектра взаимно корреляционной функции; – комплексно-сопряженная функция получим . Заменяя , . Произведению двух спектральных функций соответствует свертка оригиналов . Рассмотрим два характерных крайних случая 1. Полоса пропускания цепи значительно уже спектра сигнала: ; . 2. Полоса пропускания цепи значительно шире спектра сигнала, тогда , 111 . 3.6. Анализ прохождения rect-функции через интегрирующую цепь Анализируемая цепь и преобразования сигнала представлены на рисунке а). Спектральный метод анализа. Коэффициент передачи цепи ; . 1. Спектр сигнала на входе: . 2. Спектр сигнала на выходе: . 3. Импульс на выходе: . Нули знаменателя равны: 112 . При ходе равен интегралу сигнала на входе. Здесь – сигнал на вы- – единичная функция, действующая при : =0; при =1. Появление множителя в спекпри тре сигнала согласно свойству преобразования Фурье и Лапласа указывает на задержку сигнала во времени на . б). Метод интеграла Дюамеля Цепь характеризуется импульсной характеристикой . . Рассмотрим случаи: а) . б) . 3.7. Преобразование rect-функции в дифференцирующей цепи Применим спектральный метод и воспользуемся рисунком: 113 ; . . . ; . При возникают только короткие всплески на фронтах импульса, т. е. происходит дифференцирование сигнала, что соответствует теореме о дифференцировании. 3.8. Воздействие функции включения на контура и передача rectфункции через колебательный контур Для анализа этого примера учтем известные соотношения [1, 2] и рисунок: ; . . 114 Используем табличный интеграл , тогда: . При , . Время установления (затухания): . При передаче прямоугольного импульса затухающие колебания возникают на фронте и срезе импульса. 3.9. Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через колебательный контур. Условия анализа демонстрируются на рисунке. Рассмотрим однотональную модуляцию . Модуль коэффициента передачи . равны: 115 Основные соотношения . ; . При прохождении через настроенный контур амплитудномодулированного сигнала с однотональной модуляцией искажения формы огибающей спектра не происходит, уменьшается глубина модуляции. Если сигнал имеет несколько гармоник, то будет происходить неодинаковое ослабление колебаний различных пар боковых частот. В результате возникнут частотные искажения сигнала после детектирования, т. е. изменяются соотношения колебаний различных частот, входящих в управляющий сигнал. Однако нелинейных искажений, т. е. новых частот после детектирования не появится. При расстройке контура (рис.)относительно несущей, кроме изменения глубины модуляции возникают искажения формы огибающей, она становится отличной от синусоидальной. Это приводит к возникновению нелинейного искажения управляющего сигнала после детектирования (появление новых низких частот). 3.10. Прохождение частотно-модулированного сигнала через колебательный контур , где В этом случае при однотональной модуляции – девиация частоты. ; Результаты преобразования демонстрируются на рисунке. При m << 1 При m >> 1 116 . 1. При m << 1 и настроенном контуре уменьшается m и . При многих частотах возникают частотные (линейные) искажения. 2. При любых m возникает паразитная амплитудная модуляция. Огибающая . 3. При настроенном контуре возникают нелинейные искажения, т. к. по разному ослабляются составляющие спектра, соответствующие одной Ω. Кроме того возможно удвоение частоты модулирующей функции. 4. При расстроенном контуре в любом случае возникают нелинейные искажения. 4. Основы теории случайных процессов в радиотехнике 4.1. Статистическая модель системы передачи информации В первом разделе была дана общая структурная схема канала связи информационной системы. Рассмотрим её статистическую модель. 117 Наблюдатель (человек или автомат) собирает сведения о состоянии некоторой материальной системы. Совокупность сведений, собранных наблюдателем, представляет собой сообщение. Форма представления сообщения в системе связи – электрические сигналы (непрерывные или дискретные). В любом случае сообщение всегда является случайной функцией с произвольным аргументом, но если аргумент – время, то это – случайный процесс, который может быть представлен многомерной случайной величи. В каждом опыте случайный процесс реализуется в виде многомерной ной величины , определяемой в дискретные моменты времени. Зафиксированный отрезок развития случайного процесса называется реализацией. Вероятность каждого такого события, т. е. вероятность каждой возможной реализации , в общем определяется многомерным законом распределения вероятностей источника сообщения . Пример. Пусть сообщение представляет собой гармоническое колебание со случайной фазой при четырёх реализациях (см. рис. 4.1). Рис. 4.1 Многомерный (в данном случае четырехмерный) закон распределения вероятности определяет вероятность каждой реализации, причем . Распределение может быть равновероятным, может быть неравновероятным. Если в данном примере распределение равновероятно, то , где i= 1, 2, 3, 4. Радиопередатчик – это устройство, преобразующее сообщение в электрический сигнал, позволяющий передать сообщение к получателю. Преоб- 118 разование может иметь как аналоговую форму, так и быть более сложным. При аналоговой форме преобразования высокочастотное (несущее) колебание модулируется (кодируется) в соответствии с законом сообщения. При цифровой форме непрерывное сообщение-сигнал подвергается дискретизации в соответствии с теоремой отсчетов, затем квантуется по уровню и переводится в последовательность чисел, после чего числа представляются по данному коду в виде двоичных электрических сигналов, и далее – преобразование в высокочастотный модулированный сигнал. Высокочастотный сигнал излучается антенной передатчика. В целом радиопередатчик можно описать как источник случайного , связанный жесткой функциональной зависимостью с сообщесигнала нием . По многомерному закону можно определить . Источник помех включает в себя все искажающие воздействия на сигнал , которые возникают как в самой системе, так и вне её. Помехи, обусловленные самой системой, называются собственными шумами. Помехи, возникающие в среде распространения, называются внешними. Источниками внешних помех являются атмосферные явления, шумы космического пространства, другие радиоустройства, индустриальные помехи. Обычно помеху как случайный процесс чаще всего обозначают n(t), она характеризуется многомерным законом распределения . Среда распространения электромагнитного колебания является условным местом взаимодействия сигнала с помехой n(t), в результате чего образуется новый случайный сигнал Z(t). В самом простом случае помеха и сигнал складываются аддитивно . Это так называемая аддитивная помеха. В более общем случае имеет место нелинейная комбинация сигнала и помехи. Среда распространения может быть определена как некоторый зависимый источник случайного сигнала. Т. к. и n(t) случайные сигналы, то не может быть жесткой функцио- нальной связи между Z(t) и . Закон нельзя определить по . Именно поэтому среда распространения как источник случайного сигнала описывается не законом распределения вероятностей , а законом распределения условных вероятностей – т. е. вероятности события Z(t) при условии, что произошло событие . Радиоприёмник преобразует сигнал в сообщение . Отсутствие жесткой функциональной связи между Z(t) и приводит к тому, что нет жест- 119 кой связи между принятым и передаваемым сообщениями. Каждое принятое можно только с некоторой вероятностью принять за отклик сообщение на передаваемое сообщение . Отсюда следует вероятностный характер задачи передачи сообщений. При этом можно только говорить о законе распределения апостериорных (послеопытных) условных вероятностей ( , т.е. вероятности причины ), породившей данное следствие ( ), причем . Таким образом, радиоприемник должен обработать каждый принятый так, чтобы был найден для него закон распределения апостерисигнал орных вероятностей. Если этот закон имеет максимум, то это позволит принять решение в пользу конкретного сигнала причиной, вызвавшей сигнал , который скорее всего был на входе приемного устройства. максимума не имеет, то извлечь достоверно полезную Если информацию из принятого сигнала невозможно. Получить закон распределения апостериорной вероятности с возможно более четким максимумом можно за счет соответствующего выбора сигнала и схемы его обработки. Таким образом, в отсутствие помех сигнал на выходе приемника нозначно связан с сигналом на выходе передатчика од- жесткой функциональ- ной зависимостью, т. е. каждому входному сообщению можно сопоставить единственный вариант , несмотря на случайный характер Х и . В этом случае принятое сообщение обязательно соответствует переданному. При этом все системы строятся по единому алгоритму. Искать каждый раз оптимальный вариант в этом случае не требуется: достаточно использовать самый простейший (по логике) алгоритм аналоговой обработки, предусматривающий модуляцию и демодуляцию сигнала. Наличие помех требует поиска оптимального алгоритма обработки сигнала помехи. При этом приходится: с целью ослабления влияния а) выбирать оптимальный сигнал для передачи сообщения, что требует соответствующего выбора схемы радиопередатчика; 120 б) выбирать оптимальную схему радиоприемного устройства с целью повысить отношение сигнал / шум. Классификация решаемых задач радиотехнической системой: 1. Задача обнаружения, обработка сигнала строится так, чтобы получить с максимально возможной достоверностью ответ на вопрос : сосообщение , или это помеха, т. е. . Подержит в себе сигнал лучать на выходе само сообщение не требуется. 2. Задача оценки параметра. В этом случае обработка строится так, чтобы измерить какой-либо параметр обнаруженного сигнала, например, длительность импульса. Эта задача часто решается в измерительных радиотехнических системах. 3. Задача воспроизведения передаваемого сообщения. На выходе приемника нужно получить отображение переданного события. Эта задача решается такими системами связи как телевидение и радиовещание. 4.2. Общие определения случайных процессов Как было показано в разделе, посвященном моделям сигналов и систем, сигналы, действующие на входе радиоприемника являются случайными функциями времени, случайность которых обусловлена как неизвестным законом изменения самого сообщения, так и действия различного рода помех. Для анализа таких сигналов приходится пользоваться методами теории вероятностей и математической статистики. Случайной называется функция, которая в результате опыта может принять неизвестный заранее вид. Если многократно наблюдать такой процесс, то каждый раз он будет протекать по-разному. Каждое наблюдение является реализацией случайного процесса. Случайный процесс можно считать непрерывным, если каждая его реализация представляет собой непрерывную функцию, которая может принимать любое значение в произвольные моменты времени; • непрерывным по времени и квантованным по уровню, если его величины в произвольные моменты времени принимают дискретные значения; • дискретным по времени и непрерывным по уровню, если функция в дискретные моменты времени может принимать любые значения; • дискретным по времени и квантованным по уровню. • Множество реализаций образует ансамбль случайного процесса. 121 Совокупность мгновенных значений случайной функции в некоторый момент времени называется задается сечением случайного процесса , которое также является случайной функцией времени (при изменении ). Вероятность того, что величина интервал [a, b), определяется выражением попадет в какой-либо заданный – одномерная плотность вероятности случайной величины где – интегральная вероятность или просто вероятность. ; Для непрерывных случайных функций выполняется равенство где и самбле. – границы возможных значений случайной величины в ан- Аналогично для случайной величины дискретного типа выполняется равенство Параметр (или i) указывает на то, что данная случайная величина является сечением. В случаях, когда закон распределения не зависит от времени сечения, аргумент t опускают. Для более общего описания используют nмерный закон распределения 4. 3. Параметры и характеристики случайных процессов 122 Наибольшее значение имеют следующие характеристики случайного процесса: • математическое ожидание или первый начальный момент, равный Математическое ожидание – это средняя функция, вокруг которой группируются реализации (см.рис. 4.2). Рис. 4.2 Многие параметры случайного процесса получают путем вычисления простейших функций от математического ожидания. дисперсия (разброс реализаций случайной величины относительно математического ожидания) • Корень квадратный от дисперсии называют среднеквадратическим отклонением (СКО): 123 Если сечения случайного процесса описываются одним и тем же законом распределения, то математическое ожидание и дисперсия являются числами (параметрами). Если , то говорят, что такой процесс имеет нулевое среднее; про- цесс называется центрированным. Математическое ожидание называют первым моментом случайной величины, дисперсию – вторым центральным моментом. Момент n-ого порядка определяется соотношением Если для случайного процесса заданы двумерные плотности вероятности, что бывает необходимо при анализе быстроменяющихся процессов, то определяют так называемую ковариационную функцию которая определяет математическое ожидание произведений случайных функций в моменты и . При имеем т. е. при нулевом интервале между и ковариационная функция определяет математическое ожидание от квадрата случайной величины. Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием определяет флуктуации (изменения) сигнала. Для описания флуктуаций определяется автокорреляционная функция процесса При получаем 124 т.е. автокорреляционная функция в этом случае равна дисперсии. Часто применяют нормированную корреляционную функцию где . Все эти функции: , , – характеризуют связь между значениями случайного процесса, разделенными промежутком времени τ. Чем медленнее меняется случайная функция, тем больше τ, в пределах которого эти функции не равны нулю, т. е. наблюдается статистическая связь между ними. 4.4. Виды случайных процессов Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный. На рис. 4.2 приведен пример случайного процесса нестационарного по математическому ожиданию. Случайный процесс является стационарным, если его многомерная плотность вероятности зависит только от величины ин- тервалов и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента . Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, ; во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от т. е. разности , т.е. и т. д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса: 125 Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае . представляет собой случайный ток или напряжение в электри- Если ческой цепи, то – это постоянная составляющая, а ность флуктуаций. – средняя мощ- 4.5. Примеры случайных процессов 1. Гармоническое колебание со случайной амплитудой Пусть где и – постоянные величины; А – случайная величина, имеющая рав- номерную плотность вероятности в интервале от 0 до Amax cosψ (t1 ) A max x (рис. 4.3) t1 t Рис. 4.3 В момент времени мгновенное значение сигнала может быть любым в интервале от 0 до Поэтому 126 График имеет вид рис.4.4. Рис. 4.4 Математическое ожидание такого процесса равно: Соответствующие вычисления интегралов дают Как видно из приведенных соотношений, первые два момента случайного процесса зависят от времени, а, следовательно, этот процесс нестационарный, и неэргодический. 2. Гармоническое колебание со случайной фазой имеет вид: где - случайная величина, равновероятная в пределах ятности такого случайного процесса равна Одна из реализаций имеет вид 127 , а плотность веро- где – полная фаза, – также случайная величина, плотность вероятности которой имеет тот же вид Определим вероятность того, что в промежутке времени от до мгновенное значение сигнала окажется в заданном интервале (рис. 4.5): x A0 x1 ω 0t x2 ω 0t xk ω 0t x∞ ω 0t Рис. 4.5 Эта вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы в интервалы на периоде, которая в свою очередь равна Таким образом, откуда Так как имеем 128 График этой функции имеет вид, показанный на рис. 4.6. Рис. 4.6 Так как плотность вероятности не зависит от , то этот процесс является стационарным с математическим ожиданием причем ту же величину можно получить путем усреднения по времени одной реализации: что указывает на эргодичность процесса. Корреляционная функция этого процесса равна где . Она также не зависит от положения и . 3. Нормальный (гауссовский) случайный процесс Такой случайный процесс характерен для помех канала связи. Одномерная плотность вероятности стационарного эргодического нормального случайного процесса определяется выражением 129 Чем больше , тем меньше максимум, кривая (рис. 4.7) более пологая, P σx =1 2 2π 1 2 −2 −1 1 2 _ x−x Рис. 4.7 причем всегда т. е. площадь под кривой равна 1 для любых . Широкое распространение нормального закона распределения обьясняется тем, что при сложении большого числа независимых случайных слагаемых распределение суммы близко к гаусовскому при любом законе распределения отдельных слагаемых (центральная предельная теорема). Для гаусовского случайного процесса с нулевым средним вероятность того, что модули значений случайной величины превысят величину 3σх составляет 0,997≈1, т.е. полный размах такого случайного процесса не превышает 6σх (правило трех сигма). Отношение максимумов отклонения случайной величины (пиков) к σх называют пик-фактором случайного сигнала. Для гаусовского шума он равен 3, а для гармонического сигнала со случайной фазой . Знание не дает полного представления о поведении случайного сигнала во времени. Медленно меняющаяся и быстро меняющиеся случайные функции могут иметь одинаковые плотности вероятности, что отражено на рис. 4.8. 130 а) б) Рис. 4.8 Для оценки этих свойств быстротечности используют корреляционные функции. Для случая, показанного на рис. 4.8а , а для рис. 4.8,б 4.6. Энергетический спектр случайных процессов Одним из эффективных средств анализа сигналов является частотный метод, основанный на представлении сигналов при помощи преобразования Фурье, а цепи – в виде частотной передаточной характеристики. Естественным является использовать математический аппарат частотного метода для анализа случайных процессов. Но случайный процесс, представляющий собой множество (ансамбль) детерминированных реализаций, не может быть описан комплексной спектральной плотностью, даже и усредненной, так как из-за случайности и независимости фаз составляющих в различных реализациях усреднение приводит к нулевому результату (при mx=0). Однако можно ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайного сигнала, поскольку средний квадрат не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то её средний квадрат можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе частот, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте. Её размерность определяется отношением мощности к полосе частот, т. е. является размерностью энергии. 131 Для определения спектральной плотности случайного сигнала выделим из ансамбля одну реализацию xk(t) длительностью Т. Для неё как для детерминированной функции может быть определена спектральная плотность: Полная энергия рассматриваемого отрезка k-й реализации равна отсюда получаем среднюю мощность При увеличении интервала Т энергия отрезка возрастает, однако средняя мощность (из-за 1/T) стремится к некоторому пределу где Wk(ω) представляет собой спектральную плотность мощности k-й реализации. Спектральная плотность процесса Wx(ω) получается усреднением по всем реализациям. Если процесс стационарный и эргодический, то Wk(ω ) характеризует весь процесс в целом, и усреднения не требуется, то есть Wх (ω ) = Wk(ω ). Если случайный процесс имеет ненулевое математическое ожидание,то спектральную плотность следует представлять в форме , (4.1) где W*(ω) – cплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей. 132 При интегрировании по частоте f=ω /2π первое слагаемое дает величину m x2, то есть мощность постоянной составляющей, а второе - мощность флуктуаций, то есть дисперсию (4.2) Поскольку спектральная плотность мощности случайного процесса определяется как модуль квадрата спектральной плотности реализации, то функция Wx(ω ) является неотрицательной и четной. 4.7. Спектральные характеристики моделей случайных процессов Широкополосный случайный процесс – белый шум. Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире полосы пропускания цепи, через которую проходит данный сигнал. Если случайный процесс обладает равномерным энергетическим спектром в бесконечно широкой полосе частот (-∞–+∞) то такой шум называют белым по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр. На рис.4.9 приведен пример спектральной характеристики белого шума, где Wx(f) = W0 . Рис. 4.9 Безусловно, такое представление случайного сигнала является идеализацией, т. к. дисперсия его должна иметь значение, равное бесконечности (4.2). В то же время такая идеализация вполне применима, когда АЧХ исследуемой цепи дает возможность считать спектральную плотность на входе приближенно постоянной. 133 Использование понятия белого шума позволяет находить все необходимые характеристики случайного процесса на выходе радиосистемы только через собственные параметры радиоцепей, входящих в её состав. Законы распределения плотности вероятности белого шума могут быть любыми и часто их удобно считать нормальными. К белому шуму обычно относят сигналы, имеющие игольчатую структуру (короткие импульсы) с бесконечно тонкими случайными выбросами. Шум, имеющий равномерную плотность мощности в полосе частот (-f1, f1), также называется широкополосным. Узкополосный случайный процесс. К узкополосным случайным процессам относят процессы, спектральная плотность мощности которых сосредоточена в относительно узкой полосе частот в окрестности некоторой достаточно высокой частоты f0 (рис. 4.10), т. е. ∆ f<1 коэффициенты Берга, равные отношению амплитуды тока n-ой гармоники к равны: амплитуде импульсов тока , а общее число гармоник теоретически – бесконечно. В частности, коэффициент Берга для 2-ой гармонике тока равен: . С повышением номера гармоники, максимум функций щается в область малых значений Θ = 1200/n. переме- α γ1 0,4 0,2 α1 α0 2 α1/ α0 1 α3 40 α2 80 120 160 θ° Рис. 5.3 Приведенные результаты позволяют анализировать работу – усилителей, умножителей частоты и других устройств. Показательная аппроксимация использует формулу I(U)=I0[exp(aU)-1]. Для вычислений спектра используют разложение: , где Jn(m) – модифицированная функция Бесселя к-го порядка. Если входное воздействие имеет вид: 141 , то . 5.4. Воздействие суммы двух гармонических колебаний на нелинейный элемент со степенной характеристикой. В этом случае необходимые преобразования сводятся к следующему: . Подставляем U в выражение для нелинейной характеристики: +… Первые два члена характеристики являются линейными и представляют частоты сигнала и постоянной составляющей. Рассмотрим квадратичную составляющюю: Частоты, образуемые квадратичным слагаемым, можно записать в форме : m = 0, n = 0, ω = 0 – постоянная составляющая; m = 2, n = 0, ω = 2ω1; m = 0, n = 2, ω = 2ω 2 – гармоники второго порядка; m = 1, n = 1, ω = ω 1 ± ω2 – комбинационные частоты второго порядка. Проводя аналогичные преобразования над кубическим членом, получим частоты ω = mω1 ± nω 2 при следующих значениях m и n: m = 1, n = 0, ω = ω1; m = 0, n = 0, ω = ω2 – гармоники первого порядка; 142 m = 3, n = 0, ω = 3ω1; m = 0, n = 3, ω = 3ω 2 – гармоники третьего порядка; m = 1, n = 2, ω = ω1 ± 2ω2; m = 2, n = 1, ω = 2ω1 ± ω2 – комбинационные частоты третьего порядка. Основные выводы сводятся к следующему: 1. Слагаемые четной степени приносят в спектр тока гармоники четных порядков (как и в случае одного гармонического колебания) и, кроме того, комбинационные частоты четных порядков. 2. Слагаемые нечетной степени кроме кратных гармоник нечетных порядков приносят в спектр комбинационные колебания нечетных порядков. 3. Максимально возможный порядок колебаний N = m + n равен степени полинома к, т. е. N max = к. 5.5. Нелинейное резонансное усиление В качестве примера использования нелинейных цепей рассмотрим нелинейный резонансный усилитель. Линейные усилители имеют малый КПД из-за небольшой доли переменной составляющей тока первой гармоники I1 от постоянного тока I0, отбираемого от источника питания. Применяются для усиления слабых сигналов в приемных устройствах. В передающих устройствах из-за большой мощности важно увеличить КПД, что осуществляется переводом в явно нелинейный режим с отсечкой тока. Для сохранения структуры усиливаемого сигнала на выходе ставят фильтры (резонансный или связанные контуры), которые для основной частоты имеют большое сопротивление и, следовательно, дадут на выходе большую амплитуду напряжения, а для кратных гармоник – малое сопротивление, сравнимое с коротким замыканием, что определяет малую амплитуду высших гармоник в выходном напряжении. Рассмотрим работу нелинейного резонансного усилителя. Принципиальная схема замещения для первой гармоники резонансного усилителя имеет вид приведенный на рисунке. 143 Если не учитывать обратной реакции выходного напряжения на ток I1 (внутреннее сопротивление транзистора R i>> Zэкв), то ; ; где – эквивалентное сопротивление контура. Введем среднюю крутизну характеристики для первой гармоники: , причем . При учете влияния выходного напряжения на ток (конечность Ri) часть тока ответвляется и мы получим: , где есть внутренняя проводимость нелинейного эле- мента, приведенная к току первой гармоники. Заменяя здесь . Отсюда коэффициент передачи . 144 , получим Здесь Scp и Ri’ зависят от угла отсечки Θ и, следовательно, амплитуды входного напряжения Е. Тогда КПД усилителя равно . за счет увеличения сопротивления контура может быть доведено до значения, близкого к . Отношение максимально (близко к двум) при малых Θ, однако при этом снижается амплитуда первой гармоники I1. Практически принимают Θ ≈ π/2, при этом угле α1, а следовательно и , слабо зависит от Θ, а следовательно, и от амплитуды входного сигнала. В этом случае , . При наличии амплитудной модуляции КПД снижается на множитель 1/(1 + M), где М – глубина модуляции. Угловая модуляция на КПД не влияет. 5.6. Умножение частоты Наличие в составе тока усилителя, работающего в нелинейном режиме, гармоник, кратных основной частоте возбуждения, позволяет использовать его в качестве умножителя частоты. Для этого необходимо настроить нагрузочный колебательный контур на частоту выделяемой гармоники. Амплитуды высших гармоник растут при уменьшении угла отсечки. , где αn = In/Im – n-й коэффициент Берга, определяющий In при заданном максимальном токе через прибор Im. Максимум n-го коэффициента Берга αn max достигается при Θ = 2π/3n. Для каждой гармоники вводится своя средняя крутизна . Соответственно, и внутреннее сопротивление электронного прибора приводится к используемой гармонике , а коэффициент передачи равен . 145 5.7. Амплитудная модуляция Модуляция амплитуды высокочастотного колебания может быть достигнута воздействием модулирующего напряжения на нелинейный резонансный усилитель, приведенный на рисунке. На вход нелинейного резонансного усилителя подается сумма сигналов: модулирующее низкочастотное колебание – UМОД (сообщение) и высокочастотное несущее колебание с частотой ω0 от независимого источника (автогенератора). Модулирующее колебание изменяет положение рабочей точки на вольтамперной характеристике и в результате изменяется амплитуда несу. щих колебаний на выходе. Напряжение на выходе равно: (при пренебрежении внутренним сопротивлением Ri, т. к. ). Так как изменение Uмод(t) во времени сопровождается изменением угла отсечки Θ и, соответственно, α1(Θ), то форма I1(t) отличается от формы еω(t), что и демонстрирует ся на рисунке. Искажения могут быть достаточно малыми при правильном выборе пределов изменения угла отсечки (при Θ≈90о α1(Θ) изменяется слабо) и работе с не слишком глубокой амплитудной модуляцией (до 40–50%). Коэффициент определяется по формуле , где определяется по углам отсечки Θmax и Θ min. Амплитудная модуляция будет осуществляться и при степенной аппроксимации нелинейного элемента, необходимо только чтобы среднее по- 146 ложение рабочей точки U0 находилось на нелинейном участке характеристики. В результате подачи на вход суммы колебаний несущего ω0 и модулирующего Ω, на выходе кроме этих частот, будут комбинационные частоты ω0+ Ω и ω0-Ω, что и соответствует спектру амплитудно-модулированного сигнала. 5.8. Амплитудное детектирование Простейший амплитудный детектор состоит из нелинейного элемента (чаще всего диода) и низкочастотного фильтра в качестве нагрузки. На детектор подается модулированный сигнал . Квадратичное детектирование осуществляется при малой амплитуде сигнала, полностью укладывающемся на нижнем квадратичном участке характеристики, например схемы приведенной на рисунке. Здесь . Высокочастотные составляющие ω0 и 2ω0 отфильтровываются. Информация содержится в последнем низкочастотном слагаемом. при условии . Если же вывести U 0 на линейный участок характеристики, детектирования вообще не будет. Рассмотрим тональную модуляцию: , тогда 147 Как видно, при квадратичном детектировании появляется паразитная удвоенная частота. При модуляции несколькими частотами возникают дополнительно комбинационные частоты с амплитудами, пропорциональными произведению М1М2. Для уменьшения высших комбинационных гармоник нужно уменьшать глубину модуляции М. Если требуется неискаженное воспроизведение сигналов (например, музыка), то квадратичное детектирование нецелесообразно. Линейное детектирование осуществляется при большой амплитуде сигнала при кусочно-линейной аппроксимации детектора. Характерный режим для коллекторного детектора приведен на рисунке. Пусть Θ = 90о, UH = U0, тогда , . Последовательность импульсов коллекторного тока оказывается промодулированной по амплитуде (сигнал с АИМ). Нулевая составляющая медленно (с частотой Ω) изменяется во времени, причем . Выходное напряжение детектора равно , 148 т. е. амплитуды сигналов на входе и выходе связаны прямой пропорциональностью. 5.9. Преобразование частоты сигнала Преобразование частоты – сдвиг спектра сигнала по оси частот при сохранении структуры сигнала. При воздействии на нелинейный элемент двух и от источника нелинапряжений от гетеродина нейную характеристику будем аппроксимировать полиномом второй степени. . Эффект преобразования иллюстрируется рисунком ниже. Фильтр выделяет необходимую разностную ω0-ωг или суммарную ω0 + ωг частоту, при этом спектр сигнала смещается на частоту гетеродина. Полоса пропускания фильтра должна быть больше ширины спектра модулированного колебания. 5.10. Синхронное детектирование осуществляется при частоте гетеродина, равной частоте несущей сигнала ω0 = ωг , при этом разностная частота ω0 - ωг = 0 и спектр выходного сигнала перемещается на нулевую частоту, т. е. совпадает со спектром модулирующей функции. Таким образом совер- 149 шаются преобразования, обратные амплитудной модуляции. Получающаяся здесь частота ω0 + ωг = 2ω0 не пропускается фильтром. Основные свойства синхронного детектора: 1. При слабых сигналах Es << EГ, детекторная характеристика остается линейной. 2. Повышенная частотная избирательность радиоприема слабых сигналов на фоне шума, т. к. устраняется взаимодействие сигнала с помехой в нелинейном элементе. 3. Напряжение на выходе детектора зависит от разности фаз колебаний гетеродина и сигнала Θ = Θ г-Θs, что требует синхронизации гетеродина с несущей сигнала. Важно отметить, что в синхронном детекторе реализуется параметрический принцип выделения информации. 5.11. Генерирование гармонических колебаний Автоколебательная система обычно рассматривается на основе теории цепей с обратной связью, используя обобщенную схему устройства с обратной связью показана на рис. 3.3 и 5.4. Где используется канал прямой передачи (КПП), являющийся усилителем с комплексным коэффициентом передачи К·(ω), и канал обратной связи (КОС), обычно представляющий собой пассивный четырехполюсник с комплексным коэффициентом передачи β·(ω). Для коэффициента передачи устройства с обратной связью "в целом" в было получено выражение (5.1) Если (5.2) 150 то (5.1) можно переписать в форме, удобной для классификации видов обратной связи: В частности, если φк(ω) + φβ(ω) = 2кπ, где к – 0, ±1, ±2, ..., т. е. сигналы обратной связи и входной складываются синфазно, то Рис. 5.4. Усилитель с цепью обратной связи и обратная связь называется положительной (ПОС). При K(ω)β(ω)→1 имеем /К`·(ω)/→∞ на границе устойчивости, при K(ω)β(ω) > 1 устройство становится неустойчивым и следует предположить возможность возникновения в нем колебаний. При рассмотрении условий устойчивости линейной цепи с обратной связью [1, 2] подчеркивается, что возникновение в ней нарастающих собственных колебаний возможно лишь тогда, когда в составе цепи кроме пассивных R, L, С – элементов содержатся активные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников. Распространенной моделью способного отдавать энергию активного элемента служит резистор с отрицательным сопротивлением. Схема, представленная на рис. 5.5, содержит активный элемент (усилитель) и охвачена положительной обратной связью (внешний входной сигнал на схему не подается, u'вх(t)=0); она является обобщенной схемой автогенератора, т. е. автоколебательной системой; входным сигналом для усилителя КПП служит выходной сигнал цепи КОС. 151 В [1, 2] анализируются подобные цепи, охваченные обратной связью и это такая активная линейная цепь, что предполагает независимость K·'(ω) от уровня (амплитуды) поступающего на усилитель сигнала. Приступая к изучению автоколебательных систем, необходимо сразу предположить наличие такой зависимости. В противном случае невозможно ставить вопрос о стационарном режиме работы автоколебательной системы: возникающие в ней (по тем или иным причинам) при ПОС колебания, очевидно, должны были бы иметь бесконечно возрастающую амплитуду. Рассмотрим этот вопрос подробнее, используя в качестве источника энергии модель резистора с отрицательным сопротивлением. В автоколебательной системе, находящейся в стационарном режиме, имеет место энергетический баланс: расходуемая в ней энергия E- должна равняться доставляемой отрицательным сопротивлением энергии E-. Если E+ > E-, то колебания в системе затухают, если E+ < E-, то избыток получаемой от отрицательного сопротивления энергии идет на увеличение амплитуды колебаний. Рис. 5.5. Автоколебательная система Рис.5.6. Колебательный контур с отрицательным сопротивлением R- 152 Рис.5.7. Энергический баланс в колебательном контуре с RПусть система составлена из некоторого колебательного контура с потерями и отрицательного сопротивления R-(рис. 5.6). Контур является линейной системой и потребляемая им энергия E+ растет пропорционально квадрату амплитуды тока контура I 2тк. B случае линейности R- отдаваемая им энергия E- также была бы пропорциональна I2mк и угловые коэффициенты прямых Е+(Ртк) и E-(I2mк) либо совпадали бы: k+ = k- (баланс E+= E- обеспечен при любой амплитуде I2тк), либо могли бы иметь место случаи: k+ < k- (Iтк неограниченно возрастает, так как сообщаемая контуру энергия E- всегда больше энергии потерь E+), • k+ > k- (колебания не возникают). • Очевидная неудовлетворительность линейной модели эквивалента источника энергии приводит к единственно правильному заключению: колебания с установившейся конечной амплитудой возможны только в нелинейной системе. На рис. 5.7 показан возможный вид кривой E-(I2тк). Если в начале системы координат k+ < k-, система должна "самовозбудиться", колебания должны возникать в ней начиная с амплитуд практически нулевого, флуктуационного уровня, без внешнего воздействия. Установившаяся амплитуда колебаний определяется точкой пересечения линий E+ и E- (энергетический баланс, стационарный режим). Продолжая рассматривать систему с энергетических позиций, заметим, что соответствующая этой точке амплитуда Imк0 устойчива, поскольку при случайном уменьшении амплитуды возникает неравенство E- > E+, стимулирующее рост 1тк, при увеличении амплитуды возникает неравенство E+ > E-, стимулирующее снижение Iтк. 5.12. Баланс амплитуд и баланс фаз Пусть автоколебательная система возбуждена и находится в стационарном режиме генерации гармонического сигнала на частоте ωг; входным сигналом с комплексной амплитудой U·вх для усилителя КПП служит выходной сигнал цепи КОС с комплексной амплитудой Следовательно, в стационарном режиме выполняется условие (5.3) Из этого условия, используя представление (5.2), получим: 153 (5.4) (5.5) Соотношения (5.4) и (5.5) определяют соответственно так называемые баланс амплитуд и баланс фаз, характеризующие стационарный режим работы автогенератора с внешней обратной связью: необходимо, чтобы на генерируемой частоте полное усиление при обходе кольца обратной связи составляло единицу (баланс амплитуд), а полный фазовый сдвиг при обходе кольца обратной связи был равен 0 или кратен 2π (баланс фаз). Полученные результаты соответствуют и выражению для коэффициента передачи цепи с обратной связью (5.1); в самом деле, если предполагается существование режима, при котором u'вх(t) = 0, а uвых(t) ≠0, необходимо положить К·'(ω) →∞ , и, следовательно, K ·(ω)β·(ω) = 1 , т. е. получаются условия (5.3) – (5.5). Коэффициент передачи пассивного четырехполюсника КОС β· не зависит от амплитуды колебаний, поэтому соотношение (5.4) можно использовать для определения установившейся амплитуды колебания. Установленная нелинейность автоколебательной системы проявляется здесь снижением модуля коэффициента передачи К(U выхωг) (коэффициента усиления), происходящим параллельно с нарастанием амплитуды колебаний. Когда коэффициент усиления достигнет значения дальнейший рост амплитуды колебаний прекратится (рис. 5.8). При подаче питания на схему, т. е. в момент, когда U BX = 0 самовозбуждение автоколебательной системы может произойти, если K(0, ω)β(ω) > 1. При K(0, ω)β(ω) ≤ 1 Рис. 5.8. Баланс амплитуд в автоколебательной системе самовозбуждения не будет: нет необходимой компенсации потерь (рассмотренный ранее случай E+ > E-). 5.13. Возникновение колебаний в автогенераторе Рассмотрим схему резонансного усилительного каскада на полевом транзисторе (рис. 5.6). Последовательный колебательный контур – нагрузка 154 каскада и индуктивно (катушка связи LCB) связан с цепью стока. Выходной сигнал усилителя снимается с емкости С. При непосредственном соединении выхода каскада с его входом (затвором транзистора) получается один из возможных вариантов трансформаторной схемы LC-автогенератора (рис. 5.7), которую чаще всего используют для теоретического анализа. Выбрав произвольное направление тока колебательного контура iк(t) запишем уравнение Кирхгофа: (5.6) где и = u(t) – напряжение на конденсаторе (на затворе транзистора), i= i(t) – ток стока. Знаки ± перед слагаемым M di/dt отвечают согласному или встречному включению индуктивностей контура L и катушки связи LCB соответственно. Используя соотношения: iк = С du/dt; • i = Su (справедливо при предположении линейности BAX транзистора; S – крутизна линейной BAX); • ω0= 1/√LС (формула Томсона для резонансной частоты контура без потерь), • Рис. 5.9. Резонансный усилитель с трансформаторной связью Рис. 5.10. LС-автогенератор с трансформаторной связью приведем уравнение (5.6) к виду 155 (5.7) Уравнение (5.7) – линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Введем обозначение (5.8) и для дифференциального уравнения (5.9) запишем характеристическое уравнение р2 + 2αp + ω20 = 0 . Заметим, что при анализе пассивного колебательного контура с потерями в его уравнении состояния, формально совпадающем [1, 2] с уравнением (5.9), параметр α = r/(2L). Для высокодобротных контуров обычно выполняется условие поэтому корни характеристического уравнения записывают в виде а общее решение уравнения (5.9) как (5.10) Постоянные интегрирования А и φ0 решения (5.10) определяются начальными условиями. Для пассивной цепи α= r/(2L) > 0 и (5.10) определяет затухающее колебание. В рассматриваемом случае условием нарастания (неограниченного) амплитуды колебаний или условием самовозбуждения автогенератора будет вытекающее из соотношения (5.8) неравенство α < 0: 156 (5.11) что возможно лишь при отрицательном знаке перед MS/ (LC). Этот знак определяется знаком взаимной индуктивности M, следовательно, для самовозбуждения автогенератора необходимо встречное включение катушек L и LCB. Условие (5.11) удобно представить в виде r < MS/ C. С учетом знака, а для пассивного контура соотношение (5.11) естественно приводит к такой трактовке роли транзистора (активного элемента) в схеме LC-автогенератора: в контур вносится отрицательное активное сопротивление, компенсирующее собственные потери контура, что согласуется с качественным анализом цепей с обратными связями [1, 2]. Предположение о линейности BAX транзистора позволяет сформулировать условие самовозбуждения (5.11), но не дает возможности анализировать стационарный, установившийся режим работы автогенератора. 5.14. Стационарный режим работы автогенератора Теперь сделаем предположение о нелинейности BAX транзистора i=f(u). Вернемся к уравнениям (5.6) и (5.7) и заменим слагаемое M di/dt = MS du/dt на т. е. используем введенную ранее дифференциальную, зависящую от напряжения на затворе, крутизну Sд = df/du. Тогда уравнение (5.7) преобразуется к виду: (5.12) Уравнение (5.12) относится к классу нелинейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка, общие методы решения которых неизвестны. В математической физике решение подобных уравнений ищут, опи- 157 раясь на физические предпосылки, связанные с особенностями исследуемого объекта. Метод укороченного уравнения. В рассматриваемом случае исходным пунктом может быть решение (5.10): u(t) выделяется на высокодобротном контуре, амплитуда колебаний U(t) медленно (относительно ωрt) изменяется. Это позволяет представить предполагаемое решение уравнения (5.12) следующим образом: u(t) = U(t) cos ω0t, (5.13) пренебрегая несущественной в данном случае начальной фазой и положив, на основании неравенства ω0 >> α, ωр ≈ ω0. Используя представление (5.13), определим производные: Учитывая медленность изменения огибающей U(t), запишем неравенство и, сделав на основании неравенства приближения: (5.14) (5.15) подставим выражения (5.14), (5.15) в уравнение (5.12): (5.16) Уравнение (5.16) – это так называемое укороченное (1-го порядка) дифференциальное уравнение, описывающее процессы в LС-автогенераторе с высокодобротным контуром. 158 Средняя крутизна. Производная df/du является дифференциальной крутизной Sд нелинейной BAX активного элемента (транзистора). В стационарном режиме при некоторой фиксированной амплитуде U ток стока можно представить в виде аналога ряда: (5.17) (в силу предположения о высокой добротности колебательного контура будем учитывать только постоянную составляющую и первую гармонику). Тогда, принимая во внимание выражения (5.13) и (5.17), производная будет равна Дифференциальная крутизна, связывающая амплитуду первой гармоники тока стока (коллектора, анода и т. д.) и амплитуду напряжения на затворе (базе, сетке) активного элемента автогенератора, называется средней крутизной BAX, или крутизной по первой гармонике: (5.18) Укороченное уравнение (5.16) с учетом формулы (5.18) принимает вид (5.19) Стационарный режим. Стационарный режим характеризуется установившимся, постоянным значением амплитуды U ст = const и dUcт/dt = 0. Следовательно, в стационарном режиме из уравнения (5.19) вытекает соотношение определяющее среднюю крутизну в рабочей точке: (5.20) 159 и, при известной функции i = f(u), значение Uст. 6. Основы теории линейно-параметрические цепей 6.1. Особенности линейно-параметрических цепей В линейно-параметрической цепи параметры элементов не зависят от уровня сигнала, но могут независимо изменяться во времени. Реально параметрический элемент получают из нелинейного элемента (резистивного, емкостного или индуктивного), на вход которого подается сумма двух сигналов. Один из них – сигнал, несущий информацию и имеющий малую амплитуду, так что в области изменения сигнала параметры цепи практически не изменяются. Вторым независимым сигналом является управляющий сигнал большой амплитуды, который изменяет положение рабочей точки нелинейного элемента, а следовательно, его параметр. Для резистивного элемента таким управляемым параметром является дифференциальная крутизна. . Малость амплитуды сигнала ec (рисунок), сохраняющей линейность цепи, позволяет как и для линейной цепи ввести импульсную характеристику и передаточную функцию, которые дополнительно зависят от момента времени t, при котором фиксируется параметр цепи: , где x – сдвиг времени относительно момента времени t. Так как для линейной цепи принцип суперпозиции верен, то будут верны спектральный метод и метод наложения для анализа прохождения сигналов через цепь. , причем ; преобразованием Фурье: . 160 и связаны В то же время зависимость передаточной функции от времени приводит к появлению в выходном сигнале новых частот. Действительно, пусть передаточная функция изменяется по гармоническому закону с частотой Ω: . При входном сигналe ; Таким образом, как и на нелинейном элементе, появляются комбинированные частоты (ω0+Ω) и (ω0-Ω). Однако кратные частоты сигнала не возникают. Не возникает также взаимодействие между отдельными гармониками сложного входного сигнала. В связи с этим в схемах преобразования частоты сигнала, амплитудной модуляции и синхронного детектирования, где необходимы только разностные или суммарные частоты, используют малую амплитуду сигнала. В этом случае эти цепи можно считать линейнопараметрическими. Другим побочным явлением параметрических цепей является появление на выходе цепи преобразованного управляющего сигнала, в том числе и при отсутствии входного сигнала, что требует установки соответствующих фильтров. 6.2. Схема замещения емкости, изменяющейся по гармоническому закону представлена на рисунке [1]: Подадим на нелинейную емкость слабый сигнал e(t) с частотой ω и сигнал управления (накачки) большой амплитуды. , , E << Ey. Фильтр Ф1 преграждает путь току частотой Ω в цепь источника сигнала, фильтр Ф2 – току частоты сигнала ω в цепь управления. При малой ам- 161 плитуде сигнала Е цепь считаем линейно-параметрической. При dC/dU = const, закон изменения емкости будет также гармоническим: , где . Ток источника сигнала будет равен: . Предположим, что Ω = 2ω, тогда частота ω + Ω = 3ω через фильтр Ф1 не пройдет. Таким образом остается два члена с одинаковой частотой ω для тока. Первый член – ωС0Е sinωt, сдвинутый по фазе на 900 относительно e(t)=E cos ωt создает нулевую среднюю активную мощность. Второй член создает следующее значение мощности, равное полной мощности, отдаваемой источником сигнала. где – эквивалентная активная проводимость. Схема замещения имеет вид Рассмотрим три частных случая значения сдвига фазы φ: 1) φ = 0, G экв = 0 - схема работает как, с постоянной емкостью. 162 2) φ = π/2, G экв = ΔСω/2>0 – здесь источник сигнала отдает энергию источнику накачки. 3) φ= - π/2, Gэкв= - ΔСω/2<0 – энергия передается от источника накачки к источнику сигнала. Аналогичные результаты можно получить и для периодически изменяющейся индуктивности: ; , где . 6.3. Одноконтурный параметрический усилитель Способность управляемых реактивных двухполюсников играть роль активных элементов цепи (источников энергии) послужила основой для создания параметрических усилителей, используемых чаще всего в СВЧдиапазоне как входные ступени высокочувствительных радиоприемных устройств. Основное достоинство параметрических усилителей – низкий уровень собственных шумов, что связано с отсутствием в них дробовых флуктуаций тока. В простейшей схеме одноконтурного параметрического усилителя нагрузка включается параллельно нелинейной реактивной емкости, изменяющейся с частотой Ω = 2ω при фазе Схема включает проводимость источника сигнала Gi. Проводимость нагрузки Gн учитывает также проводимость индуктивности L. Входной контур L, C0 настроен на частоту сигнала ω = Ω/2. 163 При ϕ = - π/2, G экв – отрицательная. Средняя мощность, выделяемая в нагрузке при источнике сигнала в виде генератора тока с амплитудой : . Максимум мощности, выделяемой в проводимости нагрузки при отсут. При включении ствии усиления (Gэкв = 0), достигается при GН = G i. G экв и GH = G i , равен: . Отсюда коэффициент усиления мощности . Условие устойчивости параметрического усилителя (т. к. G экв < 0) будет . Отсюда критическое значение коэффициента параметрической модуляции: . Здесь Q экв – добротность контура с учетом Gi и GH = Gi. При G экв= - GH усиление по мощности равно четырем. Недостатком одноконтурного усилителя является необходимость строгого слежения частоты Ω и фазы ϕ генератора накачки за частотой и фазой сигнала. На практике используется более сложная схема двухконтурного параметрического усилителя, в которой этот недостаток устраняется: Здесь резонансная частота первого контура равна частоте сигнала, а частота второго контура должна от нее отличаться . Частота накачки 164 Вспомогательный контур вместе с переменной емкостью дает эквива, не зависящую от сдвига лентную проводимость, равную фазы между накачкой и сигналом. Кроме того, при изменении частоты сигнала можно не изменять частоту накачки, если одновременно в другую сторону изменять частоту .Коэффициент усиления по мощности двухконтурного усилителя . Здесь – проводимость первого контура вместе с проводимостью источника сигнала, – проводимость второго контура вместе с проводимостью нагрузки. 6.4. Параметрический генератор-параметрон Параметрический генератор можно получить из параметрического усилителя при модуляции нелинейной емкости выше критического значения. Пусть закон изменения емкости определяется выражением , где ω0 – резонансная частота контура при отсутствии накачки . Сопротивление R включает в себя сопротивление индуктивности и сопротивление нагрузки. Запишем дифференциальное уравнение для тока в контуре: , или переходя к заряду: , где , . При высокой добротности контура Qэкв >> 1 решение будет в виде колебания с частотой ω0 и медленно меняющейся амплитудой: , при этом ξ = 0, либо ξ = π – два устойчивых решения, отличающихся знаком, , что легко проверить подстановкой. 165 Для нарастания амплитуды должно выполняться условие µ > 0; , что совпадает с определением mКР. Со временем амплитуда колебаний ограничивается заходом амплитуды на нелинейный участок характеристики C(t), расстройкой контура относительно частоты ω0 и ухудшением условий преобразования энергии накачки. Параметроны могут применяться в устройствах обработки дискретной информации из-за двузначности фазы генерируемых колебаний ξ = 0 и ξ = π при задании в момент запуска генератора начальной фазы с помощью специального сигнала (плюс или минус). В емкостном параметроне в качестве переменной емкости используются два полупроводниковых диода, а индуктивностью контура служит первичная обмотка трансформатора. Напряжение накачки еу(t) подается на диоды синфазно. При этом исключается прохождение частоты накачки 2ω0 на выход. Благодаря симметрии устраняется также прохождение колебания ω0 из контура в цепь накачки. Положение рабочей точки на характеристике p-n переходов задается постоянным напряжением смещения E0. Упрощенные варианты схем приведены на рисунке. В индуктивном параметроне контур состоит из постоянной емкости и катушек, насаженных на ферритовые сердечники, магнитная проницаемость которых периодически изменяется током накачки IН. Катушки включаются встречно. 7. Дискретная обработка сигналов и цифровые фильтры 7.1. Общие вопросы дискретизации сигналов Последние годы характеризуются быстрым дискретных систем управления и систем передачи информации, в которых широко применяется мате- 166 матическое моделирование процессов фильтрации, основанное на использовании ЭЦВМ. Это новое направление оказывает большое влияние на развитие теории и техники цепей и сигналов. Общее представление о принципе цифровой обработки континуального сигнала можно получить из схемы, изображенной на рис. 7.1 (или рис. 1.7). На том же рисунке даны эпюры колебаний в различных точках схемы. Входной сигнал s(t ) подвергается сначала дискретизации по времени с помощью электронного ключа (ЭК), работающего с шагом Т. Дискретизированный сигнал sT (t ) на выходе ЭК имеет вид последовательного равноотстоящих коротких импульсов, являющихся выборками (отсчета) сигнала s(t ) . Каждый из отсчетов запоминается в интегрирующей RC-цепи на время, необходимое для Рис. 7.1. Функциональная схема цифрового фильтра Срабатывания аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Время запоминания должно быть меньше шага Т. В результате, на выходе RC-цепи получается ступенчатое колебание sT (t ) . В АЦП каждый отсчет квантуется по уровню и преобразуется в кодовое слово- двоичное число, составленное из rразрядов, каждый из которых представлен нулем или единицей (паузой или стандартным импульсом). Квантование заключается в том, что отсчет измеряется и ему присваивается один уровень из общего числа возможных. Это число равно 2r. Например, при r=10 получается 210=1024 уровня. Каждому разряду соответствует своя шина, так что на выходе АЦП закодированный цифровой отсчет представлен в виде комбинации из бинарных единиц (пауз и импульсов), возникающих на r выходных шинах одновременно (параллельный код). Максимально возможному значению отсчета соответствует кодовое слово, составленное из r импульсов, нулевому значению отсчета тем выше, чем длиннее кодовое слово, т. е. чем больше в нем бинарных единиц. Последовательность закодированных цифрами отсчетов поступает в цифровой фильтр (ЦФ), представляющий собой вычислительное устройство, в котором над кодовыми словами производятся определенные математические операции (сложение, вычитание, умножение, а также задержка во времени), соответствующие заданному алгоритму. В результате этих операций 167 на выходе ЦФ возникают новые кодовые слова, соответствующие профильтрованному сигналу. В результате цифра- аналог (ЦАП) каждое кодовое слово приводит в действие группу электронных ключей, которые управляют суммированием эталонных напряжений, соответствующих каждому из разрядов. В результате на выходе ЦАП воспроизводятся отсчеты в аналоговой форме. Такое декодирование является процессом, обратным происходящему в АЦП. Напряжение на выходе ЦАП sT (t ) имеет ступенчатую форму, причем высота каждой ступени равна отсчету выходного сигнала в соответствующий момент времени. Таким образом, под выходным дискретизированным сигналом sT âû õ ( t ) следует подразумевать последовательность «тонких» импульсов, представляющих дискретные отсчеты выходного сигнала s вых (t ) . Наконец, в четырехполюснике, который можно назвать синтезирующим фильтром (СФ), осуществляется преобразованием дискретной последовательности в континуальный выходной сигнал s вых (t ) . Очевидно, что перечисленные выше преобразования, производимые над каждым из отсчетов входного сигнала, должны выполняться за время меньшее, чем шаг Т. кроме того, должна обеспечиваться строгая синхронность управления электронными ключами, используемыми для осуществления поразрядного сложения, вычитания и других операций над кодовыми словами. Кроме того, должна обеспечиваться строгая синхронность управления электронными ключами, используемыми для осуществления поразрядного сложения, вычитания и других операций над кодовыми словами. Все это приводит к необходимости применения весьма сложной системы синхронизации вспомогательных импульсных последовательностей, с помощью которых на каждом шаге Т обеспечивается стирание старой информации в двоичных элементах (например, в триггерах) и ввода в них новой информации. Задача решается путем формирования указанных последовательностей из единого гармонического колебания с частотой 1/Т, получаемого от опорного генератора. В связи с тем, что Т является основным параметром цифрового фильтра, особое внимание уделяется повышению стабильности частоты опорного генератора. Применение интегральных микросхем и типовых узлов современной микроэлектроники позволяет с успехом решать перечисленные выше сложные задачи. Цифровые фильтры обладают рядом важных преимуществ. Основные из них – надежность в работе и стабильность характеристик, недостижимые в аналоговых фильтрах, обусловлены преобразованием континуального сигнала в двоичное число, представленное стандартными сигналами (импульсами и паузами). 168 Некоторые другие важные преимущества будут отмечены в дальнейшем, после более детального рассмотрения основных характеристик цифрового фильтра. Следует отметить, что при рассмотрении принципа действия схемы, представленной на рис. 7.1, преобразование аналог – цифра и обратное преобразование цифра – аналог не имеют решающего значения. Можно из допущения, что в вычислительное устройство вводятся неквантованные отчеты (в аналоговой форме), над которыми и совершаются математические операции. В связи с этим в последующих параграфах рассматривается принцип действия дискретных систем сначала без учета АЦП и ЦАП. оценка же погрешности, связанной с квантованием отсчетов, а также некоторые другие особенности цифровой обработки сигналов также рассматриваются. 7.2. Алгоритм дискретной свертки Схема устройства дискретной обработки континуального сигнала представлена на рис. 7.2. Рис. 2. Упрощенная схема дискретной обработки сигнала Процедуру дискретизации входного сигнала удобно рассматривать как умножение функции s(t ) на периодическую последовательность yT (t ) тактовых импульсов. В качестве таких импульсов обычно рассматривают дельтафункции, так что функцию yT (t ) можно определить выражением уΤ = ∞ ∑ δ (t − kT ) . (7.1) k =−∞ График этой функции показан на рис. 7.3, б (цифра единица обозначает площадь тактового импульса). Тогда дискретизированный сигнал s Τ (t ) = s (t ) y Τ (t ) = s (t ) . ∞ ∑δ (t − kT ) = k = −∞ ∞ ∑ k = −∞ s(kT )δ (t − kT ) = s k = s (kT )δ (t − kT ) 169 ∞ ∑s k =−∞ k , (7.2) (7.3) При таком обозначении s k имеет смысл бесконечно короткого импульса, расположенного на оси времени в точке t = kT и обладающего площадью, численно равной выборке s (kT ) из сигнала s(t ) , являются весовыми коэффициентами дельта – функций (рис. 7.3). S(t) -T 0 T 2T 3T S(kT) kT t yT(t) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -T 0 T 2T 3T t yT(t) S(T) S(2T) 0 0 S(kT) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ kT -T 0 T 2T 3T t Рис. 7.3. Дискретизация сигналов Дискретизированный сигнал sT (t ) подается на дискретный фильтр, влияние которого на sT (t ) должно быть эквивалентно влиянию некоторого аналогового фильтра на s(t ) . Пусть импульсная характеристика последнего g (t ) задана. Тогда сигнал на выходе аналогового фильтра определяется cверткой: s ВЫХ (t ) = ∞ ∫ s(t − x )g (x )dx . (7.4) −∞ Дискретный эквивалент свертки при надлежащем выборе шага Т можно записать в форме s ВЫХ (nT ) = ∞ ∑ s[(n − k )T ]g (kT ) , (7.5) n = −∞ где s ВЫХ (nT ) - n-я выборка из s ВЫХ (t ) , а соответствующий этой выборке импульс согласно (7.3) s ВЫХn = s ВЫХ (nT )δ (t − nT ) . 170 (7.6) В выражении (7.5) g (kT ) имеет смысл выборки из импульсной характеристики аналогового фильтра, показанной на рис. 7.4 штриховой линией. Выражение (7.5) можно рассматривать как алгоритм дискретной обработки, эквивалентной пропусканию сигнала через аналоговый фильтр с заданной импульсной характеристикой g (t ) . Рис. 7.4. Дискретизация импульсной характеристики аналогового фильтра При отсчете времени от начала входного сигнала выражение (7.5) принимает вид n s ВЫХ (nT ) = ∑ s[(n − k )T ]g (kT ) (7.5) k =0 Верхний предел суммирования следует из условия, что при k > n s[(n − k )T ] = 0 , а нижний – из уровня, что при t < 0 g (t ) = 0 . Схема устройства, обладающего требуемой характеристикой, представлена на рис. 7.5. на этой схеме буквами a 0 , a1 , K a n обозначены независящие от частоты коэффициенты усиления, а Т – идеальная линия задержки; задержка совпадает с темпом поступления выборок сигнала s(t ) . Подбором коэффициентов можно, в принципе, осуществить весьма сложные импульсные характеристики g T (t ) . Рис. 7.5. Дискретный фильтр Очевидно, что импульсная характеристика рассматриваемого устройства должна записываться в форме g Τ (t ) = g (0)δ (t ) + g (T )δ (t − T ) + g (2T )δ (t − 2T ) + K = a0δ (t ) + a1δ (t − T ) + a2δ (t − 2T ) + K(7.7) Таким образом, a k = g (kT ) является лишь весовым коэффициентом при дельта – функции δ (t − kT ) . При подаче на вход схемы, на рис. 7.5, дискретного сигнала sT (t ) на выходе сумматора получается дискретная последователь- 171 ность импульсов sT âû õ ( t ) , а на выходе синтезирующего фильтра – профильтрованный непрерывный сигнал s вых (t ) . Осуществить дискретный фильтр непосредственно по схеме на рис. 7.5 можно лишь для относительно простых сигналов, обладающих небольшой базой N = 2 f m Tc . Однако алгоритм (7.5) широко используется при моделировании фильтров с помощью ПК. Основная трудность реализации декретного фильтра заключается также, в осуществлении элемента памяти Т. Эта трудность отпадает при переходе к цифровой фильтрации, когда запоминание сигнала на любое необходимое время осуществляется с помощью двоичных элементов (триггеров). Важным параметром дискретного фильтра является память Т. Этот параметр оказывает решающее влияние на основные характеристики фильтра – передаточную функцию и импульсную характеристику. 7.3. Дискретные преобразования Фурье Для выяснения особенностей дискретной фильтрации важное значение имеет выявление структуры спектра дискретизированного сигнала sT (t ) . Пусть заданы спектральная плотность S (ω ) исходного сигнала s(t ) (континуального) и шаг взятия выборок Т. Рассматривая sT (t ) как произведение s(t ) yT (t ) , где yT (t ) определяется (1),находим спектральную плотность функции sT (t ) по формуле S Τ (ω ) = ∞ ∫ s(t ) y (t )e Τ − iωt dt . (8) −∞ Периодическую последовательность дельта-импульсов можно представить в виде ряда Фурье: yΤ (t ) = 1 ∞ inω1t ∑e , T n= −∞ ω 1 = 2π T . (7.9) Коэффициенты этого ряда равны 1/Т поскольку спектральная плотность одиночного дельта-импульса равна единице, а период повторения импульсов равен Т. Подставив (7.9) в (7.8), получим S Τ (ω ) = 1 T ∞ ∞ −∞ n = −∞ inω t − iωt ∫ s(t ) ∑ e 1 e dt = ∞ 1 ∞ 1 ∞  2π s(t )e −i (ω − nω1 )t dt = ∑ S  ω − n ∑ ∫ T n =−∞ −∞ T n = −∞  T 172   . (7.10)  Следовательно, спектр S T (ω ) дискретизированного сигнала представляет собой последовательность спектров исходного сигнала S (ω ) , сдвинутых один относительно другого на величину 2π / T . Если шаг взятия выборок отвечает условию T < 1 / 2 f m и, следовательно, ω m ≤ π / T , то отдельные спектры не перекрываются, как это показано на рис. 7.6, и могут быть разделены с помощью фильтров на выходе устройства. Спектр дискретизированного сигнала приобретает периодическую форму. Рис. 7.6. Спектр дискретизированного сигнала. Выражение (7.10) полезно для установления связи между S (ω ) и S T (ω ) , однако в общем случае, при произвольном соотношении между Т и S (ω ) , когда возможно перекрытие спектров, применение формулы (7.10) становится затруднительным. Кроме того, желательно иметь формулу, позволяющую находить S T (ω ) непосредственно по заданным временным выборкам, без обращения к спектру континуального сигнала. Такую формулу легко получить, если преобразование Фурье применить к выражению (7.2). При отсчете времени от первой выборки получим: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ k =0 k =0 k =0 SΤ ( ω) = ∫ sΤ ( t ) e−ιωt dt = ∫ e−iωt ∑s ( kT ) δ ( t − kT ) dt = ∑s ( kT )∫ e−iωt δ ( t − kT ) dt = ∑s ( kT ) e−iωkT ...(7.11) Реальный сигнал аппроксимируется с помощью конечного числа отсчетов. При числе отсчетов N выражение (7.11) принимает вид: N −1 S Τ (ω ) = ∑ s (kT )e −iωkT . (7.12) k =0 При использовании ПК требуется дискретизация сигнала как во временной, так и в частотной области. В последнем случае частотный спектр 173 S T (ω ) определяется совокупностью своих значений S T (nω 1 ) на дискретных частотах ω = nω 1 . В соответствии с теоремой отсчетов, число степеней свободы сигнала одинаково как по времени, так и по частоте. Частотный интервал ω 1 между соседними отсчетами должен быть приравнен ω 1 = 2ω m / N . Так как ω m = π / T , то ω 1 = 2π / NT . Подставив в выражение (7.12) ω = nω 1 , получим формулу для определения частотных выборок N −1 N −1 k =0 k =0 S Τ (nω 1 ) = ∑ s(kT )e −iω1nkT = ∑ s(kT )e −i 2π nk N , n = 0,±1,±2, K,±(N − 1) / 2 (7.13) Соотношение (7.13) называется дискретным преобразованием Фурье – прямое ДПФ. При увеличении n свыше (N − 1) / 2 функция S T (nω 1 ) повторяется периодически. Это позволяет записать выражение (7.13) в несколько измененной форме, удобной для вычисления на ПК: N −1 S Τ (nω 1 ) = ∑ s (kT )e −i 2π nk N , n=0,1,2,…,N-1. (7.14) k =0 Нумерация отсчетом при нечетном и четном значениях N поясняется рис. 7.7, 7.8 при N =7 и 8. Функция в этих примерах предполагается вещественной, поэтому частотные выборки, расположенные симметрично, должны образовывать комплексно – сопряженные пары. Для выполнения этого условия выборки S T (nω 1 ) должны располагаться в середине соответствующих частотных интервалов. В нижних частях этих рисунков оси n обозначены номера отсчетов, соответствующих отрицательным значениям n, после сдвига отсчетов вправо на N частотных интервалов. Как при четном, так и нечетном N полная ширина спектра 2ω m = Nω 1 . Можно ввести понятие обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). По аналогии с парой преобразований Фурье, дискретное обратное преобразование можно определить как: N −1 s (kT ) = C ∑ S Τ (nω 1 )e −i 2π nk N , k=0, 1, 2,…, N-1 n= 0 Для определения постоянного коэффициента С подставим в это выражение S T (nω 1 ) : 174 2π 2π N −1 i 2π n ( k − m ) N −1  N −1 N −1 − i nm  i nm s (kT ) = C ∑  ∑ s (mT )e N e N = C ∑ s (mT )∑ e N . n= 0 n=0  m =0 m =0  Рис. 7.7. Дискретное преобразование Фурье. Нумерация отсчетов при нечетном N Рис. 7.8. Нумерация отчетов при четном N При т= k внутренняя сумма обращается в N, а при любом другом значении т – в нуль (как сумма векторов, концы которых делят окружность единичного радиуса на равные дуги). Следовательно, в правой части остается одно слагаемое С s(kT)N, из чего вытекает равенство С=1/N. Таким образом, обратное дискретное преобразование Фурье, принимает следующую форму: 175 1 s (kT ) = N N −1 ∑ S (nω )e n= 0 Τ −i 2π kn N 1 , k=0,1,2,…,N-1 (7.15) Как и при прямом ДПФ, вне интервала 0 ≤ k ≤ N-1 функция s(kT) продолжается периодически. Некоторые из свойств непрерывных преобразований Фурье, нетрудно сформулировать также и для ДПФ. 1. Линейность преобразования: спектр суммы (разности) дискретных сигналов равен сумме (разности) их спектров. 2. Сдвиг дискретного сигнала во времени. Повторяя доказательства, принятые для обычного преобразования, нетрудно показать, что если сигналу s (t), представленному совокупностью отсчетов s (kT), k =0, 1, 2, ..., N-1, соответствует ДПФ Sт (n ω 1 ), то сигналу s(t + тТ}, где m – целое число, соответстi 2π nm вует ДПФ e N Sт(n ω 1 ). Иными словами, сдвиг последовательности отсчетов на m интервалов приводит лишь к изменению фазочастотной характеристики ДПФ на величину 2π nm (теорема запаздывания). N 3. Теорема свертки. Если ДПФ SΤ ( nω1 ) соответствует дискретному сигналу N −1 sт(t}= ∑ s(kT )δ (t − kT ) , ДПФ a k =0 g T (t ) = N −1 ∑ g (kT )δ (t − kT ) , то произведению k =0 GT ( nω1 ) – сигналу S T (nω 1 )GT (nω 1 ) соответствует сигнал: N −1 y(mT ) = ∑ s[(m − k )T ]g (kT ) . k =0 В первом разделе отмечалось, что ограничение сигнала одновременно по длительности и по ширине спектра практически неосуществимо. Представление сигнала конечным числом импульсов N и конечным числом частотных выборок N неизбежно сопровождается некоторыми искажениями формы сигнала. Однако эти искажения проявляются не при переходе от S (kT ) к S T (nω 1 ) или при обратном переходе от S T (nω 1 ) к S (kT ) с помощью преобразований ДПФ и ОДПФ, а при переходе от дискретного представления к континуальному. 7.4. Погрешности при дискретизации сигналов В первом разделе отмечалась противоречивость требования ограничить сигнал одновременно по длительности и по спектру. Это противоречие про- 176 является особенно существенно при дискретизации относительно коротких импульсных сигналов. Пусть задан сигнал s(t) длительностью TC и, строго говоря, с бесконечно широким спектром S (ω ) . При выборе шага дискретизации T на основании теоремы Котельникова-Шеннона возникает неопределенность в оценке величины ω m – граничной частоты спектра сигнала. Выбор этой частоты определяет шаг Т=π/ ω m , а при заданной длительности сигнала Tc число дискретных отсчетов N = TC / T = TC ω m / π . Для восстановления сигнала в континуальной форме требуется фильтр с полосой прозрачности ω = ω m |. Для упрощения анализа исходим из идеального фильтра с АЧХ вида: 1 ï ðè ω < ωm , K ( iω) =  0 ï ðè ω ≥ ωm . Фазочастотная характеристика подобного фильтра в полосе прозрачности линейна и вносит лишь задержку сигнала, которую дальше учитывать не будем. Фильтр с указанной выше полосой пропускания подавляет составляющие спектра S (ω ) с частотами ω , превышающими ω m . Поэтому под ошибкой, погрешности дискретизации можно подразумевать функцию времени, соответствующую отсекаемой части спектра. Обозначим эту функцию ∆ s (t). Тогда ∆s(t ) = 1 2π −ω m iωt ∫ S (ω )e dω + −∞ 1 2π ∞ ∫ S (ω )e iωt dω ωm Проиллюстрируем это выражение на примере простого сигнала в виде импульса прямоугольной формы (рис. 7.9, а). Спектральная плотность этого сигнала s (t), равная S (ω ) = ATc sin (ωTc / 2 ) ωTc / 2 является четной функцией ω . Поэтому выражение для ∆ s (t) легко привести к виду 177 ωm ωm ∞ ∞ A  1  Tc  1  Tc  1 1  T    Tc  ∆s(t ) = ∫ sin t + dω − ∫ sin t + dω − ∫ sin ω t − dω + ∫ sinω t − c dω  π  0 ω  2  ω  2 ω ω  2    2 Учитывая известные соотношения π 2 приa > 0 sin ax dx =  x − π 2приa < 0 ∞ ∫ приходим к следующему результату: A ω T  2t  ω T  2t  T  π − si m c 1 +  − si m c 1 −  при t < c , 2  Tc  2  Tc  2 π  ∆s (t ) =  ω m Tc  2t  ω m Tc  2t  T A   1 −  при t ≥ c . − + − si si 1  π   2  Tc  2  Tc  2   y В этих выражениях si( y ) = ∫ sin ax dx – интегральный синус. x 178 Рис. 7.9. Искажение формы импульса при усечении его спектра граничной частотой 2 f m Tc = 16 Пусть для дискретизации импульса отводится N отсчетов. Тогда T = Tc / N ; ω m = π / T = πN / Tc , ω m Tc / 2 = Nπ / 2 и предыдущее выражение записывается в форме   1  π  T 2t  1  π  2t    A1 − si  N 1 +  − si  N 1 −  при t < c , 2   π  2  Tc  π  2  Tc   . ∆s(t ) =    Tc   1  π  2t  1  π  2t  A− π si  N 2 1 + T  + π si  N 2  T − 1 при t ≥ 2   c      c   Графики функции и сигнала на выходе фильтра при A=1 представлены на рис. 7.9, б и в. Следует отметить, что для прямоугольного импульса характер функции определяется лишь параметром N = 2 f mTc . К определению функции можно также подойти, рассматривая воздействие на синтезирующий фильтр последовательности физических импульсов, соответствующих выборкам из сигнала s(t). Отклик фильтра на выборку s(nT) равен s(nT)g(t-nT), где g(t) – импульсная характеристика, определяемая выражением g (t ) = 1 2π ωm ∫e −ω m iωt dω = 1 sin ω m t 1 sin ω m t 1 = = sin c(ω m t ) π t T ω mt T Функция sin c(ω m t ) является базисной функцией теоремы отсчетов. Следовательно функцию, существующую после окончания сигнала, можно найти суммированием функций s (nT )g (t − nT ) от всех выборок, предшествующих моменту t = Tc / 2 . В дискретных точках t = kT функция равна нулю, поскольку все слагаемые в указанных точках равны нулю. Из этого следует, что увеличение интервалов T приводит к искажению сигнала лишь между отсчетными точками. Нетрудно показать, что протяженность функции практически составляет 3–4 такта. Следовательно, с увеличением числа отсчетов N доля указанного отрезка времени от общей длительности импульса уменьшается. 7.5. Реализация цифровых фильтров Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в i-й дискретный момент времени могут использовать следующие данные: 179 а) значение входного сигнала в момент i -го отсчета, а также некоторое число предшествующих входных отсчетов xi −1 , xi − 2 , K xi − m ; б) некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала yi −1 , yi − 2 , K yi − n . Целые числа m и n определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы. Трансверсальные ЦФ. Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом yi = a0 xi + a1 xi −1 + a2 xi − 2 + L + am xi − m , (7.16) где a0 , a1 , a2 , K am – последовательность коэффициентов. Число m является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (7.16), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (7.16), убеждаемся, что Y ( z ) = (a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + K + am z − m ) X ( z ). Отсюда следует, что системная функция [2] равная H ( z ) = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + K + am z − m = = a0 z m + a1 z m −1 + a2 z m − 2 + K + am zm (7.17) является дробно-рациональной функцией z, имеющей m-кратный полюс при z = 0 и m нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра. Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой, приведенной на рис. 7.10. Рис. 7.10. Схема построения трансверсального ЦФ 180 Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse – поперечный). Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами z −1 ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала. При программной реализации трансверсального ЦФ, следует иметь в виду, что структурная схема, изображенная на рис. 7.10 , не является принципиальной схемой электрической цепи, а служит лишь графическим изображением алгоритма обработки сигнала. Для вычисления импульсной характеристики обратимся к формуле (7.17) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции Н(z) дает вклад, равный соответствующему коэффициенту смещенному на n позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь an , {hk } = (a0 , a1 , a2 , K, am ). (7.18) К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (рис. 7.10) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» (1, 0,0, 0,...). Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов. Частотная характеристика может быть получена если в формуле (7.17) провести замену переменной z через экспоненту, то получим частотный коэффициент передачи. При заданном шаге дискретизации ∆ можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра. Рекурсивные ЦФ. Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования i-го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигнала: yi = a 0 xi + a1 xi -1 + L + a m xi - m + b1 y i -1 + b2 yi - 2 + L + bn yi - n , (7.19) причем коэффициенты, определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами. 181 Системная функция рекурсивного ЦФ. Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (7.20), находим, что системная функция H (z) = Y ( z ) a 0 + a1 z −1 + K + a m z − m = = X (z) 1 − b1 z −1 − K − bn z −n a 0 z n + a1 z n −1 + K + a m z n − m , = z n − b1 z n −1 − K − bn (7.20) описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости n полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексносопряженные пары. Структурная схема рекурсивного ЦФ. На рис. 7.11 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (7.20). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае m + 1 масштабных блоков (операций умножения) и m ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты. Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются n последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига тактовым генератором. Рис. 7.11. Структурная схема рекурсивного ЦФ Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел m и n. В качестве примера на рис. 7.12 изображена струк- 182 турная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция H (z) = Y ( z ) a0 + a1 z −1 + a2 z −2 = . X ( z ) 1 − b1 z −1 − b2 z − 2 (7.21) Рис. 7.12. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал {wk} на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения: wk = xk +b1 wk −1 +b 2 wk − 2 , yk = awk + a1wk −1 +a 2 wk − 2 . (7.22) (7.23) Выполнив z-преобразование уравнения (7.22), находим, что W ( z ) = X ( z ) /(1 − b1 z −1 − b2 z −2 ). (7.24) С другой стороны, в соответствии с выражением (7.23) Y ( z ) = (a0 + a1 z −1 + a2 z −2 )W ( z ). (7.25) Объединив соотношения (7.24) и (7.25), приходим к заданной системной функции (7.21). Устойчивость рекурсивных ЦФ. Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т. е. совокупность значений yi −1 , yi − 2 , K, yi − n , то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности yi , yi +1, yi + 2 , K , играющей роль свободных колебаний. 183 Цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастающая последовательность, т. е. значения при n → ∞ не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий. Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (7.20) являются решением линейного разностного уравнения yn yi = b1 yi -1 + b2 yi - 2 + L + bn yi - n . (7.26) По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (7.26) в виде показательной функции yi = α i (7.27) с неизвестным пока значением α . Подставив (7.27) в (7.26) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что α является корнем характеристического n −1 n− 2 уравнения α − b1α − b2α − L − bn = 0. Это уравнение совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции такого ЦФ [2]. n 8 . Оптимальная линейная фильтрация сигналов 8.1. Общие требования к помехоустойчивости радиосистем Одна из основных проблем радиотехники была и остается проблема помехоустойчивости связи. Система связи должна быть спроектированной так, чтобы она обладала способностью наилучшим образом противостоять мешающему действию помех. Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя большое число других проблем, охватывающих все разделы радиотехники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспечивающий благоприятные условия распространения, использование антенн направленного действия, поиски новых видов радиосигналов и новых способов их обработки на фоне помех и др. Для теории радиотехнических цепей и сигналов особый интерес представляет возможность ослабления вредного действия помехи с помощью линейной фильтрации, основанной на использовании линейных частотных фильтров. На протяжении длительного периода развития радиотехники к подобным частотным фильтрам предъявлялось требование возможно более равномерного пропускания спектра сигнала и возможно более полного по- 184 давления частот вне этого спектра. Идеальным считался фильтр с прямоугольной П-образной АЧХ. С развитием теории информации и статистической теории обнаружения сигналов трактовка функций линейного фильтра, а также подход к его построению существенно изменились. Стало очевидным, что указанная выше трактовка имеет следующие недостатки: 1) не учитывается форма сигнала (которая может быть различной при одной и той же ширине спектра сигнала); 2) не учитываются статистические свойства помехи. Поэтому фильтр с П-образной АЧХ не является оптимальным в тех случаях, когда имеется априорная информация о форме сигнала и характеристиках помехи. Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации связан с появлением работ Н. Винера, А. Н. Колмогорова, В. А. Котельникова и других ученых, которые поставили и решили задачу синтеза фильтра, оптимального в определенном смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статистическими характеристиками. В зависимости от решаемой задачи – обнаружение сигнала, измерение его параметров или разрешение (различение) сигналов – критерии оптимальности могут быть разными. Для задачи обнаружения сигналов в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-помеха на выходе фильтра. В настоящем разделе рассматриваются только такие фильтры. Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией К(iω) подается аддитивная смесь сигнала s(t) и шума п(t) (рис. 8.1). Сигнал полностью известен; это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так как для обнаружения его в шумах форма значения не имеет. 185 Рис. 8.1. Воздействие сигнала и помехи на линейный четырехполюсник 8.2. Передаточная функция оптимального фильтра Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции физически осуществимого фильтра, обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения сигнал-помеха. Передаточную функцию будем представлять K ( i ω) = K ( ω) e iωk ( ω) . Таким образом, задача сводится к отысканию АЧХ К (ω) и ФЧХ ϕ k (ω) оптимального фильтра. Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фоне белого шума с равномерным спектром W (ω) = Wo = const. Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) передаточной функции К (iω) составим выражения для сигнала и шума на выходе фильтра сначала порознь, а затем в виде их отношения. Сигнал в фиксированный момент времени t0 определяем общим выражением 1 S вых (t0 ) = 2π ∞ ∫ S (ω ) K (iω )e −∞ iω t0 1 dω = 2π ∞ ∫ S (ω )K (ω )e i[θ s (ω ) +ϕ k (ω ) +ω t0 ] −∞ а среднеквадратическое значение помехи – выражением σ вых  1 =  2π 1/ 2  W ( ω ) K ( ω ) d ω  ∫ −∞  ∞ 2 W = 0  2π 1/ 2  K ( ω ) d ω  ∫ −∞  ∞ 2 (8.2) В выражении (8.1) S (ω) = S(ω) eiθ (ω ) – спектральная плотность заданного входного сигнала s (t), а под t0 подразумевается момент времени (пока еще не s 186 определенный), соответствующий максимуму (пику) сигнала на выходе фильтра. Смысл и минимально возможное значение t0 подробнее рассматриваются в следующем параграфе, однако из простых представлений очевидно, что для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала. Иными словами, t0 не может быть раньше момента окончания сигнала. Составим теперь отношение 1 2π Sвых (t0 ) = σ вых ∞ ∫ S (ω )K (ω )e i[θ s (ω )+ϕk (ω ) +ω0t ] dω −∞ 1/ 2  W0     2π  ∞ 2   ∫ K (ω ) dω   −∞  1/ 2 (8.3) Воспользуемся известным неравенством Шварца [1, 2]: 2 b ∫ F ( x) F ( x)dx 1 2 a b b ≤ ∫ F1 ( x) dx ∫ F2 ( x) dx , 2 2 a a (8.4) где F1 (х) и F2 (х) – в общем случае комплексные функции. Записываем неравенство (8.4) в форме 1 2π ∞ ∫ S (ω )K (ω )e i[θ s (ω ) +ϕ k (ω ) +ω0t ] dω ≤ −∞  1 ≤  2π 1/ 2  1 2 2 ∫−∞ S (ω )dω 2π −∞∫ K (ω )dω  ∞ ∞ . (8.5) Тогда выражение (8.3) позволяет составить следующее неравенство: Sвых (t0 ) = σ вых  1  2π ≤ 1 2π ∞ ∫ S (ω ) K (ω )e i[θ s (ω )+ϕk (ω )+ωt0 ] −∞ 1/ 2  W0     2π  1/ 2 ∞ 2   ∫ K (ω )dω   −∞  1 ∫−∞ S (ω )dω 2π 2 ≤ (8.6) 1/ 2  K ω d ω ( )  ∫ −∞  1/ 2 1/ 2 ∞   W0   2    ∫ K (ω ) dω   2π   −∞  ∞ dω ∞ 2 187 1  1 = 1/ 2  W0  2π 1/ 2  ∫−∞ S (ω )dω  ∞ 2 Учитывая, что выражение в квадратных скобках правой части этого неравенства есть не что иное, как полная энергия Э входного сигнала, приходим к следующему результату: Sвых (t0 ) / σ вых ≤ Э / W0 . (8.7) Из полученных выражений следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия K (ω )ei[ϕk (ω ) +ωt0 ] = AS * (ω ) = AS (ω )e− iθs (ω ) или, что то же, K (iω ) = K (ω )eiωk (ω ) = AS * (ω )e − iωt0 = AS (ω )e −i[θ s (ω ) +ωt0 ] (8.8) Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию фильтра, максимизирующего отношение сигнал-помеха на выходе (при входной помехе типа белого шума). Функция К(iω), отвечающая условию (8.8), согласована со спектральными характеристиками сигнала — амплитудной и фазовой. В связи с этим рассматриваемый оптимальный фильтр часто называют согласованным фильтром. Итак, отношение пика сигнала к среднеквадратическому значению помехи на выходе согласованного фильтра определяется равенством Sвых (t0 ) / σ вых = Э / W0 (8.9) Из соотношения (8.8) вытекают следующие два требования к согласованному фильтру: ФЧХ фильтра должна отвечать условию ϕk ( ω) =−[ θ s ( ω) +ωt0 ] , а АЧХ должна отвечать условию K ( ω) = AS ( ω) . В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе), постоянный коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности спектральной плотности сигнала. Полученные соотношения имеют глубокий физический смысл. Первое из них можно назвать условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку фазовый сдвиг в фильтре – θS (ω) равен по величине и обратен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектра S(ω) входного сигнала. В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характе- 188 ристикой ϕ k (ω) сложение всех компонентов спектра, скорректированных по фазе, образует пик выходного сигнала. Слагаемое фазовой характеристики ϕ k (ω), равное – ωt0, указывает на то, что пик задержан относительно начала сигнала s (t) на время t0. Соотношение, устанавливающие, что АЧХ фильтра К (ω) должна по своей форме совпадать с амплитудным спектром сигнала S (ω), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К (ω), отвечающей полученным условиям, фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравномерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль S(ω). Это приводит к существенному уменьшению мощности шума на выходе фильтра. 8.3. Импульсная характеристика оптимального фильтра Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К (iω) является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала S (ω), указывает на существование тесной связи также и между временными характеристиками фильтра и сигнала. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра. Учитывая формулу (8.8), получаем: 1 g (t ) = 2π ∞ ∞ 1 iω ( t −t ) ∫−∞ K (iω )e dω = A 2π −∞∫ S *(ω )e 0 dω iω t (8.10) Учитывая, что S* (ω) = S (-ω) и переходя к новой переменной ω1=-ω, переписываем выражение (8.10) в виде: A g (t ) = − 2π −∞ ∫ S (ω )e − iω1 ( t − t0 ) d ω1 1 +∞ 1 =A 2π ∞ ∫ S (ω )e 1 −∞ iω1 ( t0 − t ) d ω1 (8.11) Обратимся к вопросу о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задан произвольный сигнал s (t), которому соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра g (t) и преобразование Фурье от этой функции К(iω), определяется полученными выражениями. Возникает вопрос, при каких условиях К (iω) может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника. Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли – Винера, согласно которому неравенство 189 ∞ ∫ ln K (ω ) dω < ∞ 1+ ω2 (8.12) является необходимым условием, чтобы положительная функция K (ω) могла быть модулем передаточной функции электрической цепи. Хотя критерий Пэли – Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия о свойствах электрических цепей. Так как в рассматриваемой задаче синтеза согласованного фильтра задано равенство К (ω) = AS (ω), то условие (8.12) можно записать в виде ∞ ∫ ln S (ω ) dω < ∞ 1+ ω2 190 , и все приведенные выше ограничения на К (ω) можно распространить на модуль спектральной плотности сигнала S (ω). 8.4. Применение согласованных фильтров Рассмотрев идею согласованной фильтрации детерминированных сигналов, обсудим возможные области применения таких фильтров и некоторые связанные с этим вопросы. Повышение разрешения по дальности в локационных системах. Напомним вкратце принцип действия радиолокационных систем. Передатчик излучает зондирующий импульс, он распространяется до цели, отражается от нее и, многократно ослабленный, в смеси с шумом поступает на вход приемника. Для обнаружения цели нужно зафиксировать факт присутствия отраженного сигнала на входе, а для определения расстояния до цели - измерить задержку между зондирующим и отраженным импульсами. Так как форма излучаемого импульса известна, для обнаружения отраженного сигнала нужно использовать согласованный фильтр, позволяющий максимизировать отношение сигнал/шум на выходе. Если имеются две близко расположенные цели, для их разрешения необходимо, чтобы два отраженных сигнала воспринимались раздельно. Поэтому желательно иметь выходной сигнал согласованного фильтра в виде как можно более узкого пика. Этого можно достичь, уменьшая длительность излучаемого импульса, но при этом падает его энергия и, следовательно, отношение сигнал/шум при приеме. Чтобы энергия не уменьшалась, необходимо одновременно с укорочением импульса увеличивать его амплитуду. Однако это нельзя делать бесконечно – электрическая прочность элементов выходного каскада передатчика имеет конечный предел. Но существует и иной путь решения проблемы. Напомним, что выходной сигнал оптимального (согласованного) фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией обнаруживаемого сигнала, а последняя, в свою очередь, связана преобразованием Фурье с энергетическим спектром. Таким образом, для получения узкого пика на выходе согласованного фильтра необходимо расширять спектр сигнала. Как известно, эффективная ширина спектра сигнала и его длительность связаны соотношением неопределенности Δtэф Δfэф ≥1. 191 Сигналы, для которых это соотношение неопределенности близко к равенству, называются простыми. Однако поскольку ширина спектра определяется внутриимпульсной структурой сигнала, существуют сигналы с той же энергией, для которых Δtэф Δfэф>> 1. Такие сигналы называют сложными. Само произведение эффективных значений ширины спектра и длительности называют базой сигнала: В = Δtэф Δfэф. Соответственно, простые сигналы называют также сигналами с малой базой, а сложные – сигналами с большой базой. Сложные сигналы. Таким образом, можно увеличить разрешение по дальности, не уменьшая длительности сигнала, за счет введения внутриимпульсной модуляции. Из-за расширения спектра корреляционная функция (которая по форме совпадает с выходным сигналом согласованного фильтра) сужается и улучшаются разрешающие характеристики радиосистем. Сложным сигналом является ЛЧМ-радиоимпульс. Другими примерами сложных сигналов могут служить, в частности, коды Баркера. График сигнала, манипулированного 13-элементным кодом Баркера, показан на рис. 8.2, а, а его корреляционная функция – на рис. 8.2, б. Пунктиром на этом рисунке изображен график корреляционной функции прямоугольного импульса с такими же длительностью и энергией. Из рисунка следует, что корреляционная функция представляет собой узкий пик, окруженный боковыми лепестками малого уровня. Коды Баркера обеспечивают минимально возможный 192 Рис. 8.2. Сложный сигнал: а – сигнал, манипулированный 13-элементным кодом Баркера, б – его корреляционная функция относительный уровень боковых лепестков, равный 1/N, где N – число элементов кода. К сожалению, такие коды существуют лишь для длин 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11 и 13 элементов. Есть и другие классы сигналов с "хорошими" корреляционными функциями. Скрытная передача сигналов. Тот факт, что отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра определяется лишь энергией полезного сигнала и не зависит от его формы, позволяет "замаскировать" сигнал, "спрятав" его в шумах. Действительно, если сильно уменьшить амплитуду полезного сигнала, соответственно увеличив при этом его длительность, чтобы сохранить энергию постоянной, сигнал перестанет визуально выделяться на фоне шумов (рис. 8.3 а). Так как энергия сигнала не изменилась, отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра останется прежним. Однако если сигнал имеет простую форму, т. е. небольшую базу, такая "маскировка" во временной области приведет к сильному сужению спектра сигнала. 193 Рис. 8.3. Сигналы с малой базой – маскировка во временной области (а) приводит к легкому обнаружению в частотной области (б) и наоборот Рис. 8.4. Сигнал с большой базой может быть замаскирован одновременно во временной (а) и частотной (б) областях Так как энергия остается неизменной, на тех частотах, где сосредоточен спектр сигнала, его спектральная плотность будет значительно превышать (по модулю) спектральную плотность шума (рис. 8.3, б). Такой сигнал замаскирован во временной области, но легко обнаруживается в спектральной области. Если одновременно с удлинением сигнала ввести внутриимпульсную модуляцию, можно избежать сужения спектра и "скрыть" сигнал под шумами как во временной, так и в спектральной области (рис. 8.4 а, б). К применяемым на практике сложным радиосигналам относятся: • • частотно-модулированные (ЧМ) радиосигналы; фазоманипулированные (ФМн) радиосигналы. Для ЧМ-сигналов наиболее распространены следующие законы изменения частоты: • • • квадратичная ЧМ; линейная ЧМ (ЛЧМ); V-образная ЧМ. Соответствующие этим законам графики зависимости мгновенной частоты от времени показаны на рис. 8.5 а, а графики самих сигналов – на рис. 8.5 б. На рис. 8.6 приведен вид корреляционной функции сигнала с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). 194 Рис. 8.5. Сложные сигналы с различными законами изменения частоты Рис. 8.6. Корреляционная функция сигнала с линейной частотной модуляцией Рис. 8.7. Радиосигнал, манипулированный по фазе 13-элементным кодом Баркера В качестве примера ФМн-радиосигнала на рис. 8.7 показан радиосигнал, манипулированный по фазе 13-элементным кодом Баркера. Коррелятор. В случае применения согласованного фильтра для обнаружения сигнала приёмная система должна выглядеть так, как показано на 195 рис. 8.8. Сигнал, получаемый на выходе согласованного фильтра, сравнивается с некоторым порогом, и в случае превышения порога принимается решение о наличии полезного сигнала на входе. Рис. 8.8. Обнаружитель детерминированного сигнала на основе согласованного фильтра Однако при использовании сигналов сложной формы согласованный фильтр трудно реализовать. В этом случае можно использовать показанное на рис. 8.9 устройство, называемое коррелятором. Рис. 8.9.Коррелятор Оно включает в себя перемножитель, на один вход которого подается принимаемый сигнал s(t) + n(t), а на другой – сформированный в приемном устройстве опорный сигнал s(t - τ), форма которого повторяет форму обнаруживаемого сигнала. После цикла интегрирования на выходе будем иметь где А – некоторая константа. Если задержка между принимаемым и опорным сигналами отсутствует (τ= 0), а время интегрирования T равно длительности сигнала s(t), тогда получим 196 Можно убедиться, что это совпадает с выходным сигналом согласованного фильтра в момент окончания полезного сигнала на входе. Таким образом, коррелятор может давать на выходе то же, что и согласованный фильтр, и, следовательно, его заменять. Однако при этом необходимо знать время прихода полезного сигнала на вход, что невозможно (если время прихода сигнала известно, не имеет смысла его обнаруживать). Следует иметь в виду, что согласованный фильтр инвариантен к моменту прихода входного сигнала, а коррелятор неинвариантен к моменту прихода входного сигнала и для радиосигналов ведёт себя как синхронный детектор. Решить эту проблему можно, построив многоканальную схему и подавая в разные каналы опорный сигнал с разной задержкой по времени (рис.8.9). На выходах корреляторов разных каналов, будут формироваться отсчеты корреляционной функции BS1(τ)=КS1(τ) для разных значений τ. При наличии полезного сигнала на входе выходной сигнал того канала, опорный сигнал которого имеет минимальную задержку относительно принимаемого, будет максимален. Рис. 8.9. Многоканальный коррелятор 197 Поэтому для обнаружения сигнала необходимо после выполнения цикла интегрирования сравнить между собой выходные сигналы всех каналов, выбрать из них максимальный и сравнить его с порогом (см. рис. 8.9). В случае превышения порога принимается решение о наличии полезного сигнала на входе, а номер канала, соответствующий максимуму, дает оценку времени его прихода. Для сложных сигналов реализовать схему, показанную на рис. 8.9, часто оказывается проще, чем согласованный фильтр (см. рис. 8.8). Необходимое число каналов и временной сдвиг опорного сигнала между соседними каналами определяются формой корреляционной функции обнаруживаемого сигнала и общими требованиями к системе (возможным диапазоном времени прихода принимаемого сигнала и необходимой точностью измерения этого времени). Для радиосигналов, имеющих быстроосциллирующее внутреннее заполнение, такая система сильно усложняется, так как временной сдвиг опорного сигнала между соседними каналами в данном случае будет определяться именно периодом этого заполнения, что приведет к резкому увеличению необходимого числа каналов. 8.5. Оптимальная фильтрация при небелом шуме Ранее был рассмотрен оптимальный (согласованный) фильтр, осуществляющий оптимальную обработку детерминированного сигнала в том случае, если шум является белым. Теперь рассмотрим более общий случай, когда шумовой случайный процесс имеет произвольную спектральную плотность мощности W1 (ω). Простейшее и само собой напрашивающееся решение состоит в том, чтобы предварительно "обелить" шум с помощью фильтра, коэффициент передачи которого К1(ω) выбран так, чтобы компенсировать неравномерность спектра входного шума (рис. 8.10). Рис. 8.10. Структура оптимального фильтра при обработки сигналов в небелых шумах 198 В этом случае и, следовательно, (8.13) где W0 – произвольная константа, эквивалентная интенсивности сформированного белого шума. Полезный сигнал s′1(t) на выходе этого фильтра будет, очевидно, иметь спектральную плотность, равную (8.14) Итак, на выходе "обеляющего" фильтра мы имеем белый шум со спектральной плотностью мощности W0 и измененный полезный сигнал s′1(t). Так как шум белый, можно использовать рассмотренную теорию оптимальной фильтрации для белого шума, согласованную с сигналом s′1(t), комплексный коэффициент передачи которого, равен где t0' – длительность сигнала s′1(t) на выходе первого фильтра; t`0≥t0 (t0 длительность входного сигнала). Общий коэффициент передачи полученного устройства будет равен Воспользовавшись ранее полученными результатами, окончательно имеем 199 Фильтр K2(jω) оптимален для обнаружения сигнала s′1(t) в белом шуме и из последнего выражения можно увидеть, что максимум коэффициента передачи приходится на область минимальной интенсивности спектра в числителе, а если этот спектр имеет интенсивность белого шума, то полученный результат совпадает с передаточной функцией для белых шумов. 200 Список литературы 1. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноровский. − М.: Радио и связь, 1986. − 510 с. 2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высш. Школа., 2000. – 462 с. 3. Прангишвили, И.В. Нанотехника, наноиндустрия, микросистемы / И.В. Прангишвили, А.Г. Алексенко, Р.Р. Бабаян // Датчики и системы. − 2002. − №7. − С. 57−65. 4. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 608 с. 5. Нефедов, В.И. Основы радиоэлектроники и связи, 2002 6. Давыдов А. В. http://pradav.narod.ru 7. Тихонов, В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов / В. И. Тихонов. − М.: Радио и связь, 1986. − 259 с. 8. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. − М.: Наука, 1978. − 831 с. 9. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И.М. Рыжик. − М.: Наука, 1971. − 1108 с. 10. Daubechies, I. Orthonormal Basis of Compactly Supported Wavelets / I. Daubechies // Comm. Pure Applied Mathematics. − 1988. − Vol.41. − P. 909-996. 11. Mallat, S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation / S. Mallat // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence − 1989. − №7. − P. 674−693. 12. Mallat, S. Multiresolution Approximations and Wavelet of orthonormal Bases of L2(R) / S. Mallat // Transactions of the American Mathematical Society. − 1989. − Vo. 315. − N 1. − P. 69-87. Содержание 201 Предисловие……………………………………………………………….. 3 Важные исторические даты в радиотехнике……………………………. 4 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ И ДИСКРЕТИЗАЦИЯ…................................................................................. 9 1.1.Введение в теорию сигналов и цепей…………………………...…....... 9 1.1.1. Общие сведения и основные понятия………………………......... 9 1.1.2. Информация, сообщение и сигнал………………………...…….. 10 1.1.3. Основные параметры сигналов……………………………...…... 12 1.1.4. Классификация диапазонов радиоволн и частот……….……..... 14 1.1.5. Общая характеристика радиотехнических цепей…….………... 15 1.1.5. Классификация радиосистем и решаемые ими задачи……….... 16 1.2. Сигналы их особенности и классификация……………………......... 18 1.2.1. Классификация сигналов…….…………………………………... 18 1.2.2. Детерминированные и случайные сигналы.…………………..... 20 1.2.3. Сигналы, применяемые в радиотехнике…….………………….. 21 1.2.4. Общая характеристика простейших сигналов……….………..... 23 1.3. Методы описания сигналов……………………………………………. 26 1.3.1. Общие характеристики сигналов………………………….…….. 26 1.3.2. Спектральные характеристики периодических сигналов….….. 29 1.3.3. Спектральное представление непериодических сигналов…...... 34 1.3.4. Основные свойства преобразований Фурье….…………….…… 39 1.3.5. Спектры некоторых неинтегрируемых функций…….………… 40 1.4. Операторная форма представления сигналов……………………........ 42 1.4.1. Преобразования Лапласа………………………………………... 42 1.4.2. Основные свойства преобразований Лапласа…………………. 43 1.2.1. Определение оригинала по изображению……………………… 43 1.5. Теоретические основы дискретных сигналов…………………. 46 1.5.1. Дискретизация сигналов во временной области.………………. 46 1.5.2. Дискретизации сигналов в частотной области………………… 50 202 1.5.3. Дискретные преобразования Фурье…………………………... 51 1.5.4. Быстрое преобразование Фурье………………………………… 53 1.5.5. Дискретные преобразования Лапласа………………………….. 55 1.5.6. Z-преобразование………………………………………………... 57 1.5.7. Дискретная свертка (конволюция)……………………………. 61 1.6. Корреляционный анализ сигналов……………………………………… 64 1.6.1. Корреляционный анализ детерминированных сигналов………….. 64 1.6.2. Преобразования Винера-Хинчина…………………………… 67 1.6.3. Корреляционный анализ дискретных сигналов……………………. 68 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ.... 74 2.1. Общие определения...................................................... 74 2.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией………………... 75 2.3. Спектр АМ-колебания…………………………………………. 78 2.4. Балансная и однополосная амплитудные модуляции…………… 81 2.5. Импульсно-модулированные сигналы…………………………… 82 2.6. Радиосигналы с угловой модуляцией……………………………. 84 2.7. Спектральный анализ сигналов с угловой модуляцией………… 87 2.8. Обобщенное представление узкополосного колебания. Аналитический сигнал…………………………………………….. 90 2.9. Автокорреляционная функция АМ-сигнала……………………... 92 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ………………………….. 93 3.1. Передаточная функция и импульсная характеристика цепи…… 93 3.2. Коэффициент передачи схемы с обратной связью…………….... 96 3.3. Условия устойчивости линейной цепи…………………………. 101 3.4. Методы анализа преобразования сигналов в линейных цепях... 105 3.5. Корреляция сигнала на входе и выходе четырехполюсника….. 107 203 3.6. Анализ прохождения rect-функции через интегрирующую цепь…………………………………………………………………….. 108 3.7. Преобразование rect-функции в дифференцирующей цепи…... 110 3.8. Воздействие функции включения на контура и передача rect-функции через колебательный контур………………………… 111 3.9. Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через колебательный контур…………………………………….. 112 3.10. Прохождение частотно-модулированного сигнала через колебательный контур………………………………………….. 113 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИКЕ……………………………………………………... 114 4.1. Статистическая модель системы передачи информации……… 114 4.2. Общие определения случайных процессов…………………….. 118 4. 3. Параметры и характеристики случайных процессов…………. 119 4.4. Виды случайных процессов……………………………………... 122 4.5. Примеры случайных процессов…………………………………. 123 4.6. Энергетический спектр случайных процессов…………………. 128 4.7. Спектральные характеристики моделей случайных процессов. 130 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ……... 132 5.1. Нелинейные элементы…………………………………………… 132 5.2. Аппроксимация нелинейных характеристик…………………… 133 5.3. Анализ воздействия гармонических сигналов на нелинейные цепи………………………………………………………………... 135 5.4. Воздействие суммы двух гармонических колебаний………….. 139 204 5.5. Нелинейное резонансное усиление……………………………... 140 5.6. Умножение частоты……………………………………………… 142 5.7. Амплитудная модуляция………………………………………… 143 5.8. Амплитудное детектирование…………………………………… 144 5.9. Преобразование частоты сигнала……………………………….. 146 5.10. Синхронное детектирование…………………………………… 146 5.11. Генерирование гармонических колебаний……………………. 147 5.12. Баланс амплитуд и баланс фаз…………………………………. 150 5.13. Возникновение колебаний в автогенераторе…………………. 151 5.14. Стационарный режим работы автогенератора……………….. 154 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПЕЙ…… 157 6.1. Особенности линейно-параметрических цепей………………... 157 6.2. Схема замещения емкости………………………………………. 158 6.3. Одноконтурный параметрический усилитель…………………. 160 6.4. Параметрический генератор-параметрон………………………. 162 7. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ………………………………………………………………… 163 7.1. Общие вопросы дискретизации сигналов………………………. 163 7.2. Алгоритм дискретной свертки…………………………………... 166 7.3. Дискретные преобразования Фурье…………………………….. 169 7.4. Погрешности при дискретизации сигналов…………………….. 173 7.5. Реализация цифровых фильтров………………………………… 176 8 . ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ……... 181 8.1. Общие требования к помехоустойчивости радиосистем……… 181 8.2. Передаточная функция оптимального фильтра...................... 183 8.3. Импульсная характеристика оптимального фильтра…………... 186 205 8.4. Применение согласованных фильтров………………………….. 187 8.5. Оптимальная фильтрация при небелом шуме………………….. 194 206