Свойства и характеристики сигналов

ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ ЛЕКЦИЯ Свойства и характеристики сигналов Доцент кафедры 405, к.т.н. Баев А.Б. Кафедра «Теоретическая радиотехника» Основы радиотехники 1. 2. 3. 4. И.С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. Том 1, том 2. Сергиенко A.Б. Цифровая обработка сигналов. B.P. Lathi, Essentials of Digital Signal Processing, 2014. Сайт кафедры: http://www.mai-trt.ru/ Описание линейных систем вход s (t ) s [ n] Линейная система Аналоговая система Цифровая система выход y (t ) y [ n] Классификация сигналов  детерминированные, случайные;  импульсные, периодические;  непрерывные, дискретные по времени;  аналоговые, цифровые Классификация сигналов Импульсный сигнал 1 Δ 0 − 2 Периодический сигнал 𝑠𝑠(𝑡𝑡) Δ 2 1 𝑡𝑡 −𝑇𝑇 1 −𝑇𝑇 Δ 0 − 2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) Δ 2 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇 ∀𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = cos(2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋) 𝑇𝑇  Т – период сигнала 𝑡𝑡 𝑇𝑇 𝑡𝑡 Классификация сигналов Непрерывный сигнал 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑡𝑡 Дискретный сигнал 𝑠𝑠[𝑛𝑛] 01 𝑛𝑛 Классификация сигналов Непрерывные 𝑠𝑠 𝑡𝑡 Дискретные Аналоговые 𝑠𝑠[𝑛𝑛] Цифровые 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑠𝑠[𝑛𝑛] 𝑛𝑛 𝑛𝑛 Преобразования сигналов Операции над сигналами  сдвиг;  масштабирование;  инвертирование Сдвиг по времени 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 − 𝑏𝑏 𝑠𝑠 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡  исходный сигнал  задержка  опережение Преобразования сигналов Масштабирование по времени  Сжатие сигнала: 𝑠𝑠 а𝑡𝑡 , 𝑎𝑎 > 1 1  Растяжение сигнала: 𝑠𝑠 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 1 𝑇𝑇1 𝑡𝑡 𝑠𝑠(2𝑡𝑡) 𝑇𝑇1 𝑇𝑇1 2 𝑡𝑡 𝑎𝑎 , 𝑎𝑎 > 1 1 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑠𝑠 2 𝑇𝑇1 2𝑇𝑇1 𝑡𝑡  Масштабирование по времени не меняет базовую функцию. Функция s(•) имеет максимальное значение при t = T1. Функция s(2t) будет максимальна при 2t = T1 или t = T1/2. Аналогично, s(t/2) будет максимальна при t/2 = T1 или t = 2T1. Преобразования сигналов Инвертирование сигнала во времени 1 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 1 𝑇𝑇1 𝑡𝑡 −𝑇𝑇1 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑇𝑇1 𝑡𝑡  Инвертирование сигнала во времени является частным случаем масштабирования по времени s(at) при a = – 1. Преобразования сигналов Комбинированное преобразование сигналов Пример: 1 −4 −2 𝑠𝑠(𝑡𝑡)  Изобразить сигналы 2 𝑠𝑠 2𝑡𝑡 − 6 ; 𝑠𝑠 −2𝑡𝑡 + 4 𝑡𝑡 1 −4 −2 2 4 𝑡𝑡 Преобразования сигналов Ответ: 1 1 𝑠𝑠 2𝑡𝑡 − 6 1 −4 −2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 2 1 4 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑠𝑠 −2𝑡𝑡 + 4 1 4 𝑡𝑡 Модели непрерывных сигналов Единичная ступенчатая функция (функция Хэвисайда) 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 1 −2 2 Прямоугольный импульс rect(𝑡𝑡) = 𝑢𝑢 𝑡𝑡 + 0,5 − 𝑢𝑢 𝑡𝑡 − 0,5 1 rect(𝑡𝑡) −0,5 0 0,5 𝑡𝑡 0, 𝑡𝑡 < 0 1 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = , 𝑡𝑡 = 0 2 1, 𝑡𝑡 > 0 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 rect Δ 5 −2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 0 2 𝐴𝐴 = 5 В Δ=4c 𝑡𝑡 Модели непрерывных сигналов Дельта-функция 𝛿𝛿(𝑡𝑡) 𝛿𝛿 𝑡𝑡 = � (1) −2 2 𝑡𝑡 ∞ 0, 𝑡𝑡 ≠ 0 ∞, 𝑡𝑡 = 0 � 𝛿𝛿 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 −∞ Модели непрерывных сигналов Свойства дельта-функции 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝛿𝛿(𝑡𝑡) = 𝑠𝑠 0 𝛿𝛿(𝑡𝑡) 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇) = 𝑠𝑠 𝑇𝑇 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑇𝑇) Фиксирующее свойство ∞ � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝛿𝛿 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 0 −∞ ∞ � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 𝑇𝑇 −∞ 0, 𝑡𝑡 < 0 1 � 𝛿𝛿 𝜈𝜈 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = , 𝑡𝑡 = 0 2 −∞ 1, 𝑡𝑡 > 0 𝑡𝑡 𝑑𝑑 𝛿𝛿 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Модели непрерывных сигналов Экспоненциальная функция 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝜎𝜎+𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡 𝑝𝑝 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑒𝑒 𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑒𝑒 𝜎𝜎𝜎𝜎 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑗𝑗 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)  константа: 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑒𝑒 0 , 𝑝𝑝 = 0  экспонента: 𝑒𝑒 𝜎𝜎𝜎𝜎 , 𝑝𝑝 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝑗, 𝜔𝜔 = 0  косинусоида: cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = Re 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝜎𝜎 = 0  затухающая косинусоида: 𝑒𝑒 𝜎𝜎𝜎𝜎 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = Re 𝑒𝑒 1 0,37 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑢𝑢 𝑡𝑡 1 𝜏𝜏 = 𝛼𝛼 𝑡𝑡 𝜎𝜎+𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑡𝑡 Модели непрерывных сигналов Экспоненциальная функция Модели непрерывных сигналов Функция sinc(x) sin 𝑥𝑥 sinc 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 1 −2 −1 sinc(𝜋𝜋𝑡𝑡) 1 1 𝜋𝜋𝜋𝜋 2 𝑡𝑡 Свойства сигналов Четная и нечетная симметрия  четная  нечетная 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = −𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 1 −𝑇𝑇1 𝑠𝑠(𝑡𝑡) −𝑇𝑇1 𝑇𝑇1 𝑠𝑠 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠ч 𝑡𝑡 = 2 𝑡𝑡 1 𝑠𝑠(𝑡𝑡) −1 𝑇𝑇1 𝑠𝑠 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠н 𝑡𝑡 = 2 𝑡𝑡 Свойства сигналов Пример: 1 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑢𝑢 𝑡𝑡 1 0,5 𝑠𝑠 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠ч 𝑡𝑡 = 2 𝑡𝑡  Изобразить 𝑠𝑠ч 𝑡𝑡 , 𝑠𝑠н 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠ч 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠н 𝑡𝑡 1 0,5 𝑠𝑠 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠(−𝑡𝑡) 𝑠𝑠н 𝑡𝑡 = 2 −0,5 𝑡𝑡 Энергия и мощность сигналов Энергия ∞ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝐸𝐸𝑠𝑠 = � 𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 , [Дж] −∞ 𝑡𝑡 Энергия и мощность сигналов Мощность 𝑇𝑇 2 1 𝑇𝑇 2 𝑃𝑃𝑠𝑠 = � 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 , [Вт] 𝑇𝑇 0 1 𝑃𝑃𝑠𝑠 = lim � 𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇→∞ 𝑇𝑇 −𝑇𝑇 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 2 𝑡𝑡 Энергия и мощность сигналов 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑡𝑡  сигнал с конечной энергией 𝑡𝑡  сигнал с конечной мощностью Преобразования сигналов Операции над сигналами  сложение сигналов;  умножение сигналов;  дифференцирование, интегрирование сигналов;  свёртка сигналов