Прямой изгиб

Лекция 6. Прямой изгиб Традиционно тема «Изгиб» считается центральной, самой важной и самой трудной в сопротивлении материалов. Особенные трудности возникают при определении перемещений и решении статически неопределимых задач. Но мы этим заниматься не будем. Мы в этой теме изучим лишь один сравнительно простой вопрос – расчёт на прочность по нормальным напряжениям. Правда, для его изучения потребуется уделить значительное внимание вспомогательному материалу – построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов... 6.1 Терминология и определения Изгибом называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. Изгиб имеет ряд разновидностей. Если изгибающий момент – единственный ВСФ, возникающий в поперечных сечениях, то изгиб называют чистым. Такой изгиб вызывают пары сил, действующих в плоскости, проходящей через продольную ось бруса. Если помимо изгибающего момента в поперечных сечениях возникают и поперечные силы, то изгиб называют поперечным. Такой изгиб возникает под действием сил, перпендикулярных продольной оси бруса. При изгибе ось бруса искривляется. Брус, работающий на изгиб, называют балкой. В этой лекции мы рассмотрим изгиб только таких брусьев, поперечные сечения которых имеют хотя бы одну ось симметрии (известно, что эта ось является главной центральной осью), а силовая плоскость (плоскость, в которой действуют нагрузки) при этом совпадает с плоскостью, проходящей через продольную ось и ось симметрии. Такой изгиб называют прямым (в противном случае - косым). При прямом изгибе деформация бруса происходит в силовой плоскости, при косом – изогнутая ось бруса находится в плоскости, не совпадающей с силовой. На рис. 6.1 показана схема двухопорной балки. Расстояние между опорами балки l называют её пролетом, а часть балки, расположенную по одну сторону от опор, консолью. q – интенсивность равномерно распределённой нагрузки, Н/м; F - сосредоточенная сила, Н; M – пара сил с моментом M, Нм. M RA RB F A q B b l a Рис. 6.1. Схема двухопорной балки 6.2 Опоры и опорные реакции Реакции возникают там, где имеются связи (опоры). Если опора ограничивает какое-либо из возможных перемещений тела, то в этом направлении возникает реакция: реактивная сила, если опора ограничивает линейное перемещение, или реактивный момент, если ограничивается угловое перемещение... Опоры балок разделены на следующие три основных типа (рис. 6.2): Рис.6.2 Опоры балок  Шарнирно – подвижная опора допускает не только свободный поворот опорного сечения, но и продольное смещение балки, препятствуя лишь поперечному смещению. Такая опора даёт лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению (реакция перпендикулярна опорной плоскости).  Шарнирно – неподвижная опора допускает свободный поворот опорного сечения балки, но препятствует смещению его как в продольном, так и в поперечном направлениях. Неизвестную по величине и направлению реакцию такой опоры мы будем заменять двумя составляющими: одной вертикальной YА, другой – горизонтальной XА;  Жёсткое защемление (заделка) не допускает ни поворота опорного сечения, ни продольного или поперечного его смещения. В общем случае плоского нагружения в заделке возникают реактивный момент МА и реактивная сила, которую обычно раскладывают на две составляющие: YА и XА. 6.3 Поперечные силы и изгибающие моменты Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную сосредоточенной силой (рис. 6.3). Будем считать, что опорные реакции известны. ВСФ определяют методом сечений. M x   m X (FK ) Qy   FKy Изгибающий момент Mx в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно оси x (относительно центра тяжести сечения). Поперечная сила Qy в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось y. Напомним, что оси x, y лежат в плоскости выбранного сечения, а начало координат расположено в центре тяжести сечения. Установим правила знаков Mx и Qy (рис. 6.4). Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки по часовой стрелке, вызывает положительную поперечную силу, и наоборот. Внешняя сила или момент, изгибающие отсеченную часть балки выпуклостью вниз (растягиваются нижние волокна), создают положительный изгибающий момент, и наоборот. Рис. 6.3. Внутренние силовые факторы при изгибе При таком правиле знаков внешние силы, направленные вверх, всегда дают положительный изгибающий момент вне зависимости от того, по какую сторону от сечения они приложены. Иными словами, эпюру изгибающих моментов строят на сжатых волокнах. Полезно использовать мнемонический приём для запоминания этого правила – правило «рюмки – зонтика». Если на балку льётся вода и она не стекает, то изгибающий момент положителен, если стекает – отрицателен. Рис. 6.4. Правила знаков ВСФ при изгибе 6.4 Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил существенно облегчается при использовании дифференциальных зависимостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки. На основе этих зависимостей выведены правила контроля правильности построения эпюр, которые приведены в сборнике [3] с.50. Рекомендуем при построении эпюр смотреть эти правила, а постепенно в процессе решения задач они Вам запомнятся... Определим для изображённой на рис. 6.5 балки ВСФ в двух смежных сечениях I и II через внешние силы, расположенные слева от сечения. Рис. 6.5. К выводу дифференциальных зависимостей между Mx, Qy и q. Поперечная сила. Сечение I: Qy  RA  F  qz Сечение II: Qy ` RA  F  q( z  dz) Приращение dQy на участке dz равно: dQy  Qy `Qy  qdz , откуда q  dQ y dz . Первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределённой нагрузки в сечении q. Изгибающий момент. Сечение I: M x  R A z  F ( z  a)  qz 2 2. M x ` R A ( z  dz)  F ( z  dz  a)  q( z  qz) 2 Приращение dM x на участке dz равно: dMx  M x `M x = Qydz. Сечение II: 2. dM x dz При определении dM x бесконечно малая величина высшего порядка была отброшена. Таким образом, первая производная от изгибающего момента по длине Откуда Qy  балки равна поперечной силе. Из полученных зависимостей следует также, что интенсивность распределённой нагрузки равна второй производной от d 2М x q изгибающего момента по длине балки: dz 2 6.5 Эпюры изгибающих моментов Mx и поперечных сил Qy. Представьте себе, что перед Вами стоит задача не просто научиться плавать, а получить разряд по плаванию. Опытный тренер читает Вам лекцию о технике, о способах плавания, затем ассистент демонстрирует различные способы плавания в бассейне. И лекцией, и демонстрацией Вы остались довольны. Затем тренер выдаёт Вам задание на самостоятельную работу. Он предлагает Вам переплыть реку, говорит, что будет ждать Вас на противоположном берегу. Способны Вы выполнить такое задание самостоятельно? Конечно, нет. А вот после упорных тренировок, может быть, Вы и добьетесь успеха. Примерно то же самое с построением эпюр. Успеха Вы добьетесь лишь после упорных тренировок – самостоятельного решения большого числа задач. Наряду с обязательными расчётно-проектировочными заданиями полезны устные решения простых тестовых задач. Примеры таких задач приведены в пособии [4]... Пример 6.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консольной балки, защемлённой одним концом и нагруженной на свободном конце парой сил с моментом М (рис.6.6). Проведём произвольное поперечное сечение на расстоянии z от свободного конца балки ( 0  z  l ). Чтобы не определять реакции заделки, определим ВСФ через внешние силы, расположенные левее выбранного сечения.. Очевидно, что Qy = 0 (пара сил ни на одну ось не проецируется). Mx = M = const (момент пары относительно любой точки плоскости есть величина постоянная, равная произведению силы пары на плечо пары). Mx >0, так как балка изгибается выпуклостью вниз. Балка испытывает чистый изгиб (случай, когда Mx = const, Qy = 0). Рис. 6.6 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консольной балки. Пример 6.2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двухопорной балки, нагруженной силой F (рис. 6.7) . Рис. 6.7. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов двухопорной балки 1. Определяем реакции опор.  mA ( Fk )  0 RB l  Fa  0  mB ( Fk )  0  Ra l  Fb  0 RB  RA  Fa l Fb l Знаки плюс у реакций показывают, что их направление выбрано верно. R A  RB  F  0 Проверка:  Fky  0 0 = 0. Реакции определены верно. Строим эпюры Mx и Qy аналитическим способом. При использовании аналитического способа балку разбивают на участки. Участком балки называют ту ее часть, в пределах которой законы изменения поперечной силы и изгибающего момента остаются постоянными. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (активные или реактивные) силы или пары сил, а также сечения, в которых изменяется интенсивность распределённой нагрузки. Балка имеет два участка. I участок: 0  z1  a при z1  0 при z1 a M x  RA z1 , это уравнение прямой линии Mx  0 Mx  Fab l Qy  RA  Fb  const l II участок: 0  z 2  b . Так как справа от сечения внешних сил меньше, чем слева, то ВСФ определяем через внешние силы, расположенные правее от выбранного сечения. M x  RB z2 – это уравнение прямой линии при z 2  0 при z 2  b Mx  0 Fab Mx  l Q y   RB   Fa  const l По найденным значениям Mx и Qy строим эпюры. Убеждаемся, что дифференциальная зависимость между Mx и Qy соблюдается на каждом участке балки. Проблемный вопрос. Чему равна поперечная сила в сечении С, где приложена сила F? Студенты нередко предлагают такие ошибочные ответы: Fb l ,  Fa l или F. Подумайте, почему третий ответ содержит самую грубую ошибку. Правильный ответ. Скачок – это следствие использования общепринятой абстракции – сосредоточенной силы. Таких сил не существует, а потому ответить прямо на поставленный вопрос нельзя. Можно лишь сказать, что бесконечно близко слева от сечения поперечная сила равна Fb l , а бесконечно близко справа  Fa l . Фактически на каком-то малом участке продольная сила изменяется от первого до второго значения. Но кривую, отображающую характер этого изменения, установить мы не можем и заменяем её скачком. Пример 6.3. Построить эпюры Mx и Qy для двухопорной балки, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q (рис. 6.8). 1. Определяем реакции опор. Ввиду симметрии R A  RB  2. Строим эпюры Mx и Qy. Брус имеет один участок Q y  R A  qz (это уравнение прямой линии). ql . 2 0 zl ql ql ql ; при z = l Q y   ql   2 2 2 2 z qlz qz M x  RA z  qz   (это уравнение параболы). 2 2 2 При z = 0 M x  0 ; Mx  0 . при z = l Так как в пределах участка Qy, непрерывно изменяясь, меняет знак, определим положение сечения, в котором Qy = 0 (в этом сечении M x будет иметь максимальное значение, так как Q y меняет знак с При z = 0 Qy  RA  «плюса» на «минус»). при z  z0  l 2 ql l  qz0  0 z 0  2 2 2 2 2 ql ql ql   Мx max  4 8 8 Qy  По найденным значениям строим эпюры Qy и Мх и убеждаемся, что дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки соблюдаются на каждом участке. Рис. 6.8. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов двухопорной балки 6.6 Нормальные напряжения при чистом изгибе Ранее мы установили, что M x   ydA (1). Чтобы использовать это A выражение для определения  , надо знать закон распределения  по сечению бруса. Этот закон устанавливают наблюдением за деформацией резинового образца. На боковые грани резинового образца прямоугольного поперечного сечения наносят сетку из параллельных и перпендикулярных оси рисок (рис. 6.9). Затем к образцу прикладывают по его концам изгибающие моменты M, действующие в плоскости симметрии, т.е. подвергают брус чистому прямому изгибу. I dz II O I II растяжение II b O O c c I b II b b' O M M dφ сжатие y dφ O y O I b O O c c' ρ dφ Рис. 6.9. Модель и схема деформации балки при чистом изгибе Эти наблюдения позволили сделать следующие допущения:  поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и во время деформации. Они поворачиваются друг относительно друга на некоторые углы d ;  слои бруса не давят друг на друга, расстояния между слоями не меняется;  при изгибе меняется форма поперечного сечения: в области сжатых волокон сечение становится шире, в области растянутых – уже (так как       . ). При чистом изгибе не равен нулю только один ВСФ – M x. Остальные пять ВСФ, в том числе и продольная сила Nz, равны нулю, то есть: N z   dA  0 . A Следовательно, элементарные силы dA в поперечном сечении внутренне уравновешены. Это означает, что часть волокон (на выпуклой стороне балки) растянуты, другая их часть (на вогнутой стороне) сжаты. Очевидно, что между растянутыми и сжатыми слоями должен находиться некоторый слой ОО, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Этот слой называют нейтральным, а радиус кривизны нейтрального слоя при изгибе обозначают буквой  . Таким образом, нам надо найти положение и радиус кривизны нейтрального слоя, а также установить закон распределения напряжений по сечению. Двумя смежными сечениями I и II выделим элемент dz. Рассмотрим деформацию волокна bb, расположенного на выпуклой стороне на расстоянии y от нейтрального слоя. Сечение II повернется относительно сечения I на угол d . При этом длина волокна OO, расположенного на нейтральном слое, не изменится, длина волокна bb увеличится, а волокна СС, расположенного на вогнутой стороне, - уменьшится. Абсолютная продольная деформация волокна bb: l  bb`bb  yd . l yd yd y    . Относительная продольная деформация   bb OO d    E  E По закону Гука y (2)  Формулу мы получили, но чтобы пользоваться ею, надо знать радиус кривизны  и положение нейтрального слоя. Подставим  из уравнения (2) в E E равенство (1). Получим: N z   dA   ydA  0 .  0 , значит  ydA  0 . Этот  A A  A интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси Sx. Известно: если статический момент относительно оси равен нулю, то эта ось – центральная, т.е. проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Подставим значение  из уравнения (2) в уравнение (1), получим: Mx  E E y 2 dA  J x (3)  A  Интеграл 2  y dA  J x называется осевым моментом инерции и является A одной из геометрических характеристик плоского сечения. Из выражения (3) получаем формулу для определения нейтрального слоя: Величина 1   Mx (4). EJ x EJ x называется жесткостью поперечного сечения балки при изгибе. Подставив значение 1  из равенства (4) в уравнение (2), получим: Mxy (5).  Jx Нормальные напряжения по высоте поперечного сечения балки распределяются по линейному закону: они пропорциональны расстоянию от нейтрального слоя. На уровне нейтрального слоя при y = 0  =0. Максимальные напряжения  E y кривизны  растяжения  max в области растянутых волокон и сжатия  max в области сжатых волокон возникают в наиболее удаленных от нейтрального слоя точках. t c По модулю они равны: Здесь выражение  max  Mx M ymax  x . Jx Wx Jx  Wx называется осевым моментом сопротивления. ymax 6.7 Расчеты на прочность Расчет балок на прочность при чистом и, в большинстве случаев, при поперечном изгибе ведут по наибольшим нормальным напряжениям. При поперечном изгибе балок в сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, но последние обычно невелики и при расчетах не учитываются. Мы ограничимся расчетами балок, поперечные размеры которых по всей длине постоянны. Для таких балок опасными будут те сечения, в которых возникает наибольший по модулю изгибающий момент M x max (или M y max). В опасном сечении должно соблюдаться условие прочности: M  max  x max   adm при изгибе в вертикальной плоскости Wx M y max   adm Wy Моменты сопротивления круга, кольца, прямоугольника определим по Jx Jy W  W  x приведенным ранее формулам: . y ymax ; x max при изгибе в горизонтальной плоскости  max  d d 3  0.1d 3 . Круг: J x  J y  ; x max  y max  ; Wx  W y  32 64 2 D d 4 (1  C 4 ) ; xmax  ymax  . Кольцо: J x  J y  64 2 3 D 4 3 4 d 4 Wx  Wy  (1  С )  0.1D (1  С ) . 32 Прямоугольник с размерами b  h : bh3 Jx  ; 12 hb2 Wу  . 6 y max  h hb3 bh 2 ; Wx  ; Jy  ; 6 2 12 x max  b ; 2 Для прокатных стандартных профилей значения Wx и Wy даны в таблицах. Условие прочности позволяет решать три типа задач: проверочный расчёт, проектный расчёт (подбор сечения), определение предельно допускаемого изгибающего момента (определение несущей способности конструкции). Подбор сечения при изгибе существенно отличается от подбора его при растяжении (сжатии). При растяжении (сжатии) благодаря равномерному распределению напряжений по сечению он сводится лишь к определению потребной площади, а форма сечения принимается исключительно из конструктивных соображений. При изгибе прочность определяется моментом сопротивления, который зависит не только от размеров, но и от формы сечения. Можно получить большой момент сопротивления при малой площади и, наоборот, малый – при большой площади. Очевидно, что первый вариант выгоднее с точки зрения расхода материала, хотя он может оказаться невозможным по конструктивным соображениям. При изгибе выгодны такие формы поперечного сечения, у которых основная часть площади сечения удалена подальше от нейтральной линии. Этому условию в первую очередь удовлетворяет двутавровое сечение. Менее выгодно прямоугольное сечение, особенно если оно вытянуто вдоль нейтральной линии. Ещё менее выгодно круглое сечение, так как оно имеет наибольшую толщину на уровне нейтральной линии. Полое сечение всегда выгоднее сплошного, равноценного по площади. В этом Вы убедитесь при выполнении расчётно-проектировочного задания. Таким образом, подбор сечения при изгибе должен начинаться с выбора рациональной формы, одновременно удовлетворяющей конструктивным требованиям. При проектировании металлических конструкций широко применяют прокатные профили (двутавры, швеллеры, уголки, трубы и др.). Допускаемые напряжения Допускаемое напряжение  adm принимается при статическом нагружении балки таким же, как и при растяжении (сжатии) бруса из того же материала. Симметрическое сечение M X ymax IX M y  X IX y ymax h y t  max  O нейтральный слой c  max Рис. 6.10. Распределение нормальных напряжений при изгибе по симметричному поперечному сечению балки. Для пластичных материалов  adm   adm   adm , поэтому при симметричном относительно оси Х сечении безразлично, для каких волокон (растянутых или сжатых) проверяется прочность (рис. 6.10). Хрупкие материалы работают на сжатие значительно лучше, чем на t c растяжение, поэтому при симметричном относительно оси Х сечении в качестве допускаемого напряжения принимают  adm . Применение симметричных сечений для балок из хрупкого материала не рационально, т.к. материал в сжатой зоне будет значительно недогружен. Для балок из хрупких материалов целесообразно применять сечения, не симметричные относительно нейтральной оси, например, тавровые (рис. 6.11). Для таких балок надо делать две проверки на прочность: отдельно для сжатых и для растянутых волокон, условие прочности балки выражается двумя неравенствами: M x max h2 M x max h1 t t c c  max    adm  max    adm ; Jx Jx t c h1  adm  t . Наиболее рационально материал будет использоваться при h2  adm где h1 и h2 – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно сжатой и растянутой зон сечения Несимметричное (тавровое) сечение. y h1 c  max x h2 O t max Рис. 6.11. Распределение нормальных напряжений по несимметричному поперечному сечению балки. 6.8. Перемещения при изгибе и расчёты на жёсткость Для правильной работы передач и подшипников оси и валы должны быть достаточно жёсткими, то есть такими, при которых перемещения при изгибе прогибы и углы поворота сечений - не превышают допустимых значений... Изогнутая ось балки называется упругой линией. Уравнение упругой линии в общей форме имеет вид: y = f(z). Деформация балки характеризуется двумя величинами: прогибом y, то есть перемещением точки оси балки перпендикулярно к её недеформированной оси, и углом поворота сечения  . Наибольший прогиб f называется стрелой прогиба. Для обеспечения жёсткости на изгиб необходимо, чтобы действительное значение  max и f не превышали допускаемых значений, то есть:  max  [  ], f  [ f]. При малых углах поворота (на практике   10):  = dy ; и dz d 1 M =  dz  EI Приближённое дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид: EI x d2y  Мх dz 2 где Е – модуль упругости материала; Iх – осевой момент инерции сечения; Мх – изгибающий момент в рассматриваемом сечении. Для определения перемещений дифференциальное уравнение необходимо проинтегрировать. При этом постоянные интегрирования определяются из граничных условий. Существует несколько способов определения перемещений при изгибе: графоаналитический метод, по универсальным уравнениям, метод Мора. Эти методы изложены в учебнике [1] §§ 59, 60, 62. Знакомство с этими способами не предусмотрено программой дисциплины. При расчёте валов на жёсткость валов мы будем пользоваться готовыми таблицами, в которых даны прогибы и углы поворота сечений при типовых случаях нагружения. Рис. 6.12. К определению перемещений при изгибе Проверочные вопросы. Какой изгиб называют чистым, какой - поперечным? Перечислите типы опор балок. Как определить изгибающий момент и поперечную силу в каком либо сечении балки? Как формулируются правила знаков при определении величин изгибающих моментов и поперечных сил? Сделайте вывод дифференциальной зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки. Выведите формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при чистом изгибе. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях балки? Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе? Что представляет собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены? Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность? По каким формулам определяются моменты сопротивления прямоугольника, круга, кольца? По какой формуле производится расчёт балок при чистом изгибе? Как выгоднее нагрузить балку прямоугольного сечения при изгибе?