Прямая на плоскости

Лекция ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим наклонную прямую, пересекающую ось ординат при y  b и образующую с осью абсцисс угол  (0    90). Тогда эта прямая может быть задана уравнением y  kx  b, k  tg( ). у – у0 = k (х – х0), где (х0, у0) – заданная точка на прямой Общее уравнение прямой. Пусть дана фиксированная точка M ( x0 , y0 ), лежащая на прямой, и вектор N ( A, B), перпендикулярный прямой, называемый вектором нормали. Тогда данная прямая может быть задана с помощью уравнения A( x  x0 )  B( y  y0 )  0. -уравнение прямой, проходящей через точку М0 (х0, у0) с заданным нормальным вектором N ( A, B), Раскрывая скобки и упрощая, получаем общее уравнение прямой Ax  By  C  0. Каноническое уравнение прямой. Пусть дана фиксированная точка М0 (х0, у0) лежащая на прямой, и вектор s{m; n} лежащий на прямой параллельной данной или на самой прямой, называемый направляющий вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Предположим теперь, что нам известны координаты двух точек, лежащих на прямой: K ( x1 , y1 ), L( x2 , y2 ) Нетрудно понять, что в этом случае нам известен направляющий вектор прямой KL( x2  x1 , y2  y1 ) и точка K ( x1 , y1 ), лежащая на прямой. Подставляя эти данные в каноническое уравнение прямой, получаем следующее равенство x  x1 y  y1  . x2  x1 y2  y1 Угол между прямыми. Пусть прямые заданы общими уравнениями A1 x  B1 y  C1  0, A2 x  B2 y  C2  0. Из общих уравнений можно найти координаты нормальных векторов к прямым. Поскольку угол между прямыми совпадает с углом между их нормальными векторами, то он находится по формуле A1 A2  B1B2   arccos . 2 2 2 2 A1  B1  A2  B2 Пусть прямые заданы каноническими уравнениями x  x1 y  y1  , ax ay x  x2 y  y2  . bx by Из канонических уравнений можно найти координаты направляющих векторов прямых. Поскольку угол между прямыми совпадает с углом между их направляющими векторами, то он находится по формуле axbx  a yby   arccos . ax2  a y2  bx2  by2 Расстояние от точки до прямой на плоскости. Пусть нам даны: координаты точки M ( x0 , y0 ) и общее уравнение прямой Ax  By  C  0. Тогда расстояние от точки M до заданной прямой может быть найдено по следующей формуле: d Ax0  By0  C . A2  B 2 В случае, когда прямая задается уравнением y  kx  b kx0  y0  b d . формула принимает вид 2 k 1 Расстояние между параллельными прямыми. Рассмотрим две параллельные прямые, заданные своими общими уравнениями: A x  B y  C  0, 1 1 1 A2 x  B2 y  C2  0. Поскольку у параллельных прямых векторы нормалей коллинеарны, то коэффициенты A2 B2 уравнений, соответствующие   t. координатам этих векторов A1 B1 пропорциональны. C2  . C 2 Введем обозначение: t C1  C2 Расстояние между прямыми в данных d  . 2 2 A  B обозначениях равно: 1 1