Проверка статистической значимости (достоверности) различий двух выборок

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ (ДОСТОВЕРНОСТИ) РАЗЛИЧИЙ ДВУХ ВЫБОРОК Пример 1. У двух групп борцов (независимые выборки) измерили кистевую динамометрию. Результаты в кг представлены в таблице. 1 группа (Х) 65 67 63 64 2 группа (Y) 62 66 58 72 69 64 70 68 64 74 63 56 68 66 64 60 68 58 61 64 62 - Цель – определить, одинаковая ли подготовка у спортсменов этих групп (борцов) по данному параметру (кистевая динамометрия) при уровне значимости р = 0,05 (вероятность ошибки). Для этого нужно решить 2 задачи. Задача 1. Сравнить дисперсии этих выборок (разброс данных в выборках). Для этого выдвигаем следующие гипотезы. 1. Гипотезы Н0: дисперсии генеральных совокупностей D(X) = D(Y), различие дисперсий статистически незначимо. Н1: дисперсии генеральных совокупностей D(X)  D(Y), различие дисперсий статистически значимо. Алгоритм решения примера 1 в LibreOfficeCalc (Excel) Объем выборки n1 = СЧЁТ(данные Х). Объем выборки n2 = СЧЁТ(данные Y). Средние значения хср и уср = СРЗНАЧ(соответствующие данные). Исправленные выборочные дисперсии 𝑠𝑥2 и 𝑠𝑦2 = ДИСП.В(соотв. данные). Наблюдаемое значение критерия Фишера 𝐹набл. = 𝑆б2 𝑆м2 , где 𝑠б2 – большая дисперсия; 𝑠м2 – меньшая дисперсия; поэтому 𝐹набл. = МАКС(𝑠𝑥2 ; 𝑠𝑦2 )/МИН(𝑠𝑥2 ; 𝑠𝑦2 ). Критическое значение критерия Фишера Fкр.(р, k1, k2) = F.ОБР.ПХ (р, k1, k2), где k1 = n1 – 1; k2 = n2 – 1, причем n1 – объем выборки с большей дисперсией; n2 – объем выборки с меньшей дисперсией, поэтому k1 = ЕСЛИ(𝑠𝑥2 > 𝑠𝑦2 ;n1 – 1;n2 – 1); k2 = ЕСЛИ(𝑠𝑥2 < 𝑠𝑦2 ;n1 – 1;n2 – 1). Критическая область правосторонняя. Область принятия гипотезы Критическая область Fкр. F Возможны два случая. Если Fнабл. < Fкр., то гипотезу Н0 принимаем, т. е. различия дисперсий статистически незначимы. Если Fнабл.  Fкр., то гипотезу Н0 отвергаем, т. е. различия дисперсий статистически значимы. Результаты вычислений в примере: n1= 13; n2 = 12; хср = 65,23; уср = 64; 𝑠𝑥2 = 8,19; 𝑠𝑦2 = 31,27; Fнабл. = 3,82 k1 = 11; k2 = 12; Fкр.(0,05; 11, 12) = 2,72. Вывод: т. к. Fнабл.  Fкр., то гипотезу Н0 отвергаем, различия дисперсий статистически значимы. Задача 2. Сравнить средние значения этих выборок. Для этого выдвигаем следующие гипотезы. 2. Гипотезы Н0: генеральные средние Xср. = Yср.; различие между средними значениями результатов статистически незначимо. Н1: генеральные средние Xср.  Yср.; различие между средними значениями результатов статистически значимо. Наблюдаемое значение критерия Стьюдента для независимых выборок |𝑇набл. | = ABS(хср – уср) / КОРЕНЬ(𝑠𝑥2 /n1 + 𝑠𝑦2 /n2) Критическое значение критерия Стьюдента Ткр.(p, k) = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (p, k), Критическая область двусторонняя. где k = n1 + n2 – 2. Критическая область Область принятия гипотезы -Ткр. Критическая область Ткр. Т Возможны два случая: если Тнабл.< Ткр., то гипотезу Н0 принимаем; т.е. различие между средними значениями результатов статистически незначимо; если Тнабл.> Ткр., то гипотезу Н0 отвергаем; т.е. различие между средними значениями результатов статистически значимо. В примере: 𝑇набл. = 0,68; Ткр.(0,05; 23) = 2,07. Вывод: т. к. Тнабл.< Ткр., то гипотезу Н0 принимаем; т.е. различие между средними значениями результатов статистически незначимо. Пример 2. У группы конькобежцев с интервалом в один месяц измерили результаты в беге на 500 м. Результаты в секундах представлены в табл. 1 измерение (Х) 42 45 38 44 41 38 40 42 43 2 измерение (Y) 41 44 37 43 40 37 39 42 44 di = xi – yi 1 1 1 1 1 1 1 -1 Цель – определить, эффективны ли тренировки при уровне значимости р = 0,05 (вероятность ошибки). Гипотезы Н0: генеральные средние Xср. = Yср.; изменение результатов статистически незначимо. Н1: генеральные средние Xср.  Yср.; изменение результатов статистически значимо. Алгоритм решения примера 2 в LibreOfficeCalc (Excel) Количество сравниваемых пар n = СЧЁТ(данные Х). Разница результатов di = xi – yi. Средняя разность значений dср = СРЗНАЧ(данные di). Стандартное отклонение Sd = СТОТКЛ.В(данные di) в Excel СТАНДОТКЛОН.В(данные di) Наблюдаемое значение критерия Стьюдента для зависимых выборок |𝑇набл. | = |dср|*КОРЕНЬ(n)/ Sd . Критическое значение критерия Стьюдента Ткр.(р, k) = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (р, k), Критическая область двусторонняя. где k = n – 1. Результаты вычислений в примере: n = 9; dср = 0,67; Sd = 0,71; |𝑇набл. | = 2,83; k = 8; Ткр.(0,05; 8) = 2,31. Вывод: т. к. Тнабл.> Ткр., то гипотезу Н0 отвергаем, принимаем гипотезу Н1, т. е. изменение результатов статистически значимо, тренировки эффективны.