Проверка статистических гипотез

1 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. ÐÝÓ èì. Ã.Â. Ïëåõàíîâà 2020-2021 Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç Ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçîé íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïðåäïîëîæåíèå î ñâîéñòâàõ ã.ñ., ïðîâåðÿåìîå ïî âûáîðêå. Ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó íàçûâàþò îñíîâíîé èëè íóëåâîé è îáîçíà÷àþò H0, ïðîòèâîïîëîæíóþ ãèïîòåçó íàçûâàþò êîíêóðèðóþùåé èëè àëüòåðíàòèâíîé è îáîçíà÷àþò H1. Ìàòåìàòè÷åñêè îáîñíîâàííîå ïðàâèëî ñîïîñòàâëåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû ñ äàííûìè âûáîðêè íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèåì. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèÿ èñïîëüçóåòñÿ íåêîòîðàÿ ñòàòèñòèêà T (X1, . . . , Xn), êîòîðóþ íàçûâàþò ñòàòèñòèêîé êðèòåðèÿ èëè êðèòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé. 2 3 Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñòàòèñòèêè T , ïðè êîòîðûõ íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ V . Ìíîæåñòâî R\V íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèíÿòèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû. 4 Îøèáêîé ïåðâîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü îòâåðãíóòü íóëåâóþ ãèïîòåçó, êîãäà îíà íà ñàìîì äåëå âåðíà. Îíà íàçûâàåòñÿ òàêæå óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ α. Îøèáêîé âòîðîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü íóëåâóþ ãèïîòåçó, êîãäà îíà íà ñàìîì äåëå íåâåðíà (îáîçíà÷àåòñÿ β ). Âåëè÷èíà 1 − β íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ. Óðîâåíü çíà÷èìîñòè îáû÷íî çàäàí. Äëÿ ìèíèìèçàöèè îøèáêè 2 ðîäà íóæíî èñïîëüçîâàòü êðèòåðèé ñ íàèáîëüøåé ìîùíîñòüþ (åãî íàçûâàþò íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèåì ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè). Êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ Ïóñòü L0(X) è L1(X)  çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âûáîðêè X = (x1, . . . , xn), âû÷èñëåííûå â ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåç H0 è H1. Ïóñòü T = L1/L0, òîãäà, ÷åì ïðàâäîïîäîáíåå ãèïîòåçà H0, ò.å. ÷åì áëèæå îíà ê âûáîðî÷íûì äàííûì, òåì ìåíüøå çíà÷åíèå ôóíêöèè T . Ñòàòèñòèêó T íàçûâàþò îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ. 5 6 Êðèòåðèåì îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ïðàâèëî: H0 H1 ãäå P ïðè ïðè T (X) < C, T (X) ≥ C,
{T (X) ≥ C}|H0 = α. Òåîðåìà ÍåéìàíàÏèðñîíà. Êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèåì äëÿ çàäàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α. 7 Ñðàâíåíèå âûáîðî÷íîé ñðåäíåé ñ ãèïîòåòè÷åñêîé ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé a0 íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Ïóñòü X = x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (a, σ), a íåèçâåñòíî, σ èçâåñòíî. H0 : a = a0 . Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ: T (X) = xσ/−√an0 . Φ(uγ ) = γ . o n I H1 : a > a0 . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≥ u 1 −α . 2 o n I H1 : a < a0 . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≤ −u 1 −α . 2 n o I H1 : a 6= a0 . Êðèò. îáëàñòü V : |T (X)| ≥ u 1−α . 2 Ïóñòü X = x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (a, σ), a è σ íåèçâåñòíû. H0 : a = a0 . Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ: T (X) = xS/−√an0 .  êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Tn−1 óðîâíÿ γ . I H1 : a > a0 . Êðèò. îáëàñòü V : {T (X) ≥ t1−α, n−1 }. I H1 : a < a0 . Êðèò. îáëàñòü V : {T (X) ≤ −t1−α, n−1 }. n o I H1 : a 6= a0 . Êðèò. îáëàñòü V : |T (X)| ≥ t1− α , n−1 . 2 tγ,n−1 8 9 Ñðàâíåíèå èñïðàâëåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ñ ãèïîòåòè÷åñêîé ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèåé σ0 íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Ïóñòü X = x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (a, σ), a è σ íåèçâåñòíû. H0 : σ = σ0 . 2 Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ: T (X) = (n −σ21)S . 2 2 χγ,n−1  êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ χn−1 óðîâíÿ γ .  I H1 : σ > σ0 . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≥ χ21−α, n−1 .  I H1 : σ < σ0 . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≤ χ2α, n−1 . I H1 : σ 6= σ0 . n  o Êðèò. îáëàñòü V : T (X) 6∈ χ2α2 , n−1, χ21− α2 , n−1 . 10 Ñðàâíåíèå äâóõ äèñïåðñèé íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé Ïóñòü x1, . . . , xnx è y1, . . . , yny  âûáîðêè èç íîðìàëüíûõ ã.ñ. ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè, Sx > Sy . H0 : σx = σy . 2 Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ: T (X) = SSx2 . y Fγ (nx − 1, ny − 1)  êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ F (nx − 1, ny − 1) óðîâíÿ γ . I H1 : σx > σy . Êðèò. îáëàñòü V : {T (X) ≥ F1−α(nx − 1, ny − 1)}. I H1 : σx 6= σy . n o Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≥ F1− α2 (nx − 1, ny − 1) . Ñëåäñòâèå èç îïðåäåëåíèÿ χ . Ïóñòü X ∼ χ2n, Z =X +Y ∼ Y ∼ χ2m , X χ2n+m Ïóñòü x1, . . . , xnx , Òîãäà . 2 k è Y íåçàâèñèìû. Òîãäà y1 , . . . , yny  âûáîðêè èç ñëåäñòâèÿ 2.  x − y ∼ N  ax − ay , 11 s σx2 nx  + σy2  ny . (∗) Ñðàâíåíèå äâóõ ñðåäíèõ íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, äèñïåðñèè êîòîðûõ èçâåñòíû (íåçàâèñèìûå âûáîðêè) Ïóñòü x1, . . . , xnx  âûáîðêà èç N (ax, σx), y1 , . . . , yny  âûáîðêà èç N (ay , σy ), ax è ay íåèçâåñòíû, σx è σy èçâåñòíû. H0 : ax = ay . ,s σx2 σy2 + . nx ny Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ: T (X) = (x − y) Φ(uγ ) = γ . n o I H1 : ax > ay . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≥ u 1 −α . 2 n o I H1 : ax < ay . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≤ −u 1 −α . 2 o n I H1 : ax 6= ay . Êðèò. îáëàñòü V : |T (X)| ≥ u 1−α . 2 12 Ñðàâíåíèå äâóõ ñðåäíèõ íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, äèñïåðñèè êîòîðûõ íåèçâåñòíû è ðàâíû (íåçàâèñèìûå âûáîðêè) Ïóñòü x1, . . . , xnx  âûáîðêà èç N (ax, σ), y1, . . . , yny  âûáîðêà èç N (ay , σ), ax, ay , σ  íåèçâåñòíû. H0 : ax = ay . Ñòàòèñòèêà v êðèòåðèÿ: un + n − 2 x−y u x y ·q T (X) = u . 1 t 1 2 + (n − 1)S 2 (n − 1)S + x y x y nx ny  êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Tnx+ny −2 óðîâíÿ γ .  H1 : ax > ay . Êðèò. îáëàñòü V : T (X) ≥ t1−α, nx +ny −2 .  H1 : ax < ay . Êðèò. îáëàñòü V : nT (X) ≤ −t1−α, nx +ny −2 o. H1 : ax 6= ay . Êðèò. îáëàñòü V : |T (X)| ≥ t1− α , nx +ny −2 . 2 tγ, 13 nx +ny −2 Ñðàâíåíèå äâóõ ñðåäíèõ íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, äèñïåðñèè êîòîðûõ íåèçâåñòíû (çàâèñèìûå âûáîðêè) Ïóñòü x1, . . . , xn, y1, . . . , yn  çàâèñèìûå âûáîðêè èç íîðìàëüíûõ ã.ñ. ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. H0 : ax = ay . 14 Ïóñòü di = xi − yi, d è Sd2  âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è èñïðàâëåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ íîâîé âûáîðêè. Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ: T (X) = S /d√n . d Êðèòè÷åñêèå îáëàñòè ñòðîÿòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ H0 : a = a0 , ãäå σ íåèçâåñòíà. 15 Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Êðèòåðèÿìè ñîãëàñèÿ íàçûâàþò êðèòåðèè ïðîâåðêè ãèïîòåç î ïðåäïîëàãàåìîì çàêîíå íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ χ Ïèðñîíà. 2 Ïóñòü X = x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ., çàäàþùåé ñ.â. ξ ñ íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì F . Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà H0 : F = F1 , ãäå F1  ïðåäïîëàãàåìîå ðàñïðåäåëåíèå. Åñëè F1  äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ñòðîèì ä.ñ.ð. x1 , . . . , xk , íàõîäèì ÷àñòîòû n1 , . . . , nk , è òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè pi = P (ξ = xi). Åñëè F1  íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ñòðîèì è.ñ.ð., ðàçáèâàÿ âûáîðêó íà k èíòåðâàëîâ, íàõîäèì ÷àñòîòû n1 , . . . , nk , è òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè
pi = P ξ ∈ [hi−1 , hi ) . Åñëè íåèçâåñòíû òàêæå è ïàðàìåòðû θ
1, . . . , θs ðàñïðåäåëåíèÿ F , òî pi = pi θe1, . . . , θes , ãäå θei  îöåíêà θi. Òåîðåìà ÏèðñîíàÔèøåðà. Åñëè íóëåâàÿ ãèïîòåçà âåðíà, òî ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Tχ = k X (ni − npi )2 i=1 16 npi ïðè n → +∞ è ôèêñèðîâàííîì k ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ χ2k−s−1. ×òîáû ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü ñòàòèñòèêó Tχ äëÿ ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû npi ≥ 5 ïðè âñåõ i. Òå èíòåðâàëû / âàðèàíòû, äëÿ êîòîðûõ ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, íóæíî îáúåäèíèòü ñ ñîñåäíèìè. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî îáúåäèíÿþòñÿ èíòåðâàëû / âàðèàíòû ñ ni < 5. Àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà: H1 : F 6= F1.  Êðèò. îáëàñòü V : Tχ(X) ≥ χ21−α, k−s−1 , ãäå χ21−α, k−s−1  êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ χ2k−s−1 óðîâíÿ 1 − α. 17