Простые проценты

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ 1.1 Определение простых процентов Процентом числа называется сотая часть этого числа, т.е. 1% числа 2, записанный в виде десятичной дроби, есть 0,02 (делим число 2 на 100). Число сотых долей, которое требуется найти, называется ставкой процента. Например, 4% от числа 30 есть 1,2 (делим 30 на 100 и умножаем на 4); 150% от числа 10 есть 15 и т.д. Если говорится об i %, то в формулах буквой i обозначается запись i % в виде десятичной дроби. Если сумма P увеличивается на i %, то полученная в результате сумма S называется наращенной суммой и вычисляется по формуле S = P + Pi Величина Р называется первоначальной суммой, а I = P i суммой начисленных процентов, или процентом Если имеется несколько периодов времени, в каждый из которых исходная сумма Р увеличивается на i %, то говорят что на сумму Р начисляются простые проценты. Если число периодов n, то наращенная сумма S выражается формулой S = P + P in или S = P (1 + in). (1) Формула (1) называется формулой простых процентов. Процентная ставка i указывается до сотых долей процента. Отметим, что процентная ставка за период применяется не только как инструмент наращивания суммы денег, но и как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой или кредитной операции. Действительно, из формулы (1) получим, что процентная ставка равна i SP P n , (2) т.е. процентную ставку можно определить как относительное приращение суммы денег (доход) за один период. Пример 1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий в год 10%, сумму P = 1800 руб. Какая сумма будет на его счету через 5 лет? Решение. По формуле (2) S = 1800 (1 + 0,1∙ 5) = 2700 руб. Пример 2. Кредит в сумме P = 100 тыс. руб. выдан на срок n = 2 года с условием возврата S=150 тыс. руб. Определите доходность данной финансовой операции т.е. процентную ставку. 2 Решение. Доходность - это годовая процентная ставка i. По формуле (2) i= S  P 150  100 = = 0,25 или i = 25 %, 100  2 P n т. е. доходность финансовой операции равна 25 % за один год. Если на последовательных интервалах времени n1 и n2 используются простые ставки процентов i1 и i2 , то сумма процентов, начисленных за эти два интервала, будет равна I = I1 + I2 = n1 i1 P+ n2 i2 P = P(n1 i1 + n2 i2 ) (3) Наращенная сумма за время (n1 + n2 ) составит: S = P + I = (1 + n1 i1 + n2 i2 ) (4) Когда число временных интервалов не два, а больше, в общем случае N , то сумма процентов, начисленных за N интервалов будет равна: I = I1 + I2 + .. + IN = n1 i1 P+ n2 i2 P + ... + nN iN P или I = P (n1 i1 + n2 i2 +...+ n N i N ). (5) Количество же слагаемых типа nk ik в формуле для вычисления наращенной суммы также увеличится - их будет ровно столько, сколько интервалов, т.е. S = P + I = ( 1 + n1 i1 + n2 i2 + ...+ nN iN ). (6) Коэффициент наращения за период n1 + n2 + ...+ nN равен k = 1 + n1 i1 + n2 i2 + ...+ nN iN Пример 3. начале года 12 % через три месяца год. Решение. (6а) Процентная ставка банка по вкладам, составлявшая в годовых, через полгода была уменьшена до 10% , а еще до 8% годовых. Определите коэффициент наращения за По формуле (6а) k = 1 +0,5  0,12 + 0,25 0,1 + 0,25 0,08 = 1,105. Если срок финансовой сделки выражается в днях, то срок в днях, K =360 и формула (1) принимает вид: S = P (1+ i  t / K) n = t / K , где t - 3 1.2. Простой дисконт Простым дисконтом (взимание комиссионных) называется процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент ее выдачи. Если процентная ставка простого дисконта равна r %, величина ссуды - S руб. (эта сумма должна быть возвращена), P - величина ссуды, полученная в момент ее выдачи, n - срок, на который выдается ссуда, то простой дисконт равен S∙r∙ n и P = S – S∙ r ∙n или P = S(1 – r∙ n). (7) Пример 4. Господин А желает получить ссуду 20 000 руб. на три месяца. Сколько он должен вернуть, если возьмет ссуду под 10% простого дисконта? Решение. По формуле (7), где Р = 20 000 руб., r= 0,1, n = 0,25, имеем 20 000 = S (1 - 0,1 0,25) , тогда S = 20 512,82 руб. Пример 5. Сколько должен вернуть господин А из примера 4, если он возьмет ссуду под 10% простых годовых? Решение. По формуле (1), где Р = 20 000 руб., i = 0,1, n = 0,25, имеем S = 20 000 (1 + 0,1 0,25) = 20 500,0 руб. Сравнивая полученный результат с результатом примера 4, мы видим, что кредитору выгоднее давать ссуду под простой дисконт, чем под простой процент. 1.3 Дисконтирование При дисконтировании решается задача, обратная вычислению наращенной суммы, т.е. по заданной заранее наращенной сумме S определить, какую сумму P надо инвестировать, чтобы через время n при постоянной ставке простого процента i получить сумму S. Из формулы (1) следует, что S P  (8) 1 in Сумма P называется современным или приведенным значением будущей суммы S. Операция вычисления современной стоимости будущей суммы денег называется математическим дисконтированием, а величина (1 + i∙ n)-1 дисконтирующим множителем или множителем приведения. Разность D = S - P называют дисконтом суммы. 4 Пример 6. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 20 % годовых с условием вернуть 300 тыс. руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора? Решение. По формуле (8), учитывая, что n = t / K, где t = 180 дней, K =360, получим: P = 300 / (1 + 0,20  180/360 ) = 272,73 тыс. руб.; Пример 7. Какую сумму инвестор должен внести сегодня под простые проценты по ставке 50 % годовых, чтобы накопить 100 тыс. руб.: а) за полгода; б) за два года. Решение. По формуле (8 ) имеем (в рублях) : а) Р = 100 000 / (1 + 0,5  0,5) = 80 000; б) Р = 100 000 / (1 + 0,5  2) = 50 000. Второй вид дисконтирования называется банковским учетом. Суть его в следующем. Банк приобретает вексель у вкладчика до наступления срока платежа по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. учитывает вексель с дисконтом (скидкой). При учете векселя применяется банковский учет. Для этого банк вводит учетную ставку d . Размер дисконта D = S nd  d, где d - годовая учетная ставка, nd - срок от момента учета до даты погашения векселя в годах. Сумма, которую получит вкладчик при учете векселя, равна P = S – S  nd  d = S (1 - nd  d). Учет производится по банковскому правилу, т. е. К = 360, число дней ссуды точное. Если на векселе указана процентная ставка i, то полученная сумма Р = P0(1+ n i) (1 –nd d), где n - общий срок обязательства, P0 - стоимость векселя, Р – сумма, полученная при учете. Пример. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 100 тыс. руб. с уплатой 18 ноября. Владелец векселя учел его в банке 24 сентября по учетной ставке 20%. Определите сумму, полученную при учете. Решение. Срок от момента учета до даты погашения nd = 322 – 267 = 55 дням.(322 и 267 – это порядковые номера дней в году 18 ноября и 24 сентября соответственно). Тогда искомая сумма равна: P = S (1 – n d  d ) = 100 000 ( 1 - 55/360  0,2 ) = 96 944,4 руб. 5 Дисконт составит 100 000 - 96 944,4 = 3 055,6 руб. Задачи 1.1. Годовая ставка простых процентов равна i. Через сколько лет начальная сумма удвоится? Решите задачу при i = 10,5 %. 1.2. Фирма получила в банке ссуду в размере 2 млн руб. под 50 % годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля (год не високосный). Определите возвращаемую сумму. 1.3. Выдан в кредит 50 000 руб на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10 % в месяц. Найдите наращенное значение долга в конце каждого месяца. Покажите, что получившиеся суммы образуют арифметическую прогрессию. 1.4. В банк было положено 200 000руб. Через 2 года 6 месяцев на счету было 240 000 руб. Какова годовая процентная (простая) ставка банка ? 1.5. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов: а) за первый квартал - 20 % годовых, за второй квартал - 25 % годовых, за третий и четвертый кварталы - 22 % годовых; б) за первый квартал - 10 % ежемесячно, за второй и третий кварталы-20 % ежемесячно, за четвертый квартал - 30 % ежемесячно. Определите коэффициент наращения за год в каждом из двух вариантов. 1.6. На некоторую сумму ежемесячно в течение квартала начисляются простые проценты по ставке 9 % в первый месяц, 10 % - во второй, 11 % - в третий. Определите коэффициент наращения за квартал при реинвестировании. (Операция, при которой в момент каждого изменения ставки, наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под простой процент, называется реинвестированием). 1.7. Определите коэффициент наращения в предыдущей задаче без реинвестирования. 1.8. Вексель, выданный на сумму 15 000 руб. с уплатой через 100 дней, с условием начисления простых процентов по ставке 10 % годовых, был учтен в банке за 50 дней до наступления срока по простой учетной ставке 15%. Определите полученную владельцем сумму при учете векселя и величину дисконта, полученную банком. 1.9. Владелец векселя в 100 тыс. руб. со сроком погашения 5 мес. учитывает его в банке спустя два месяца. Банк учитывает вексель за 94 тыс. руб. Определите дисконт D, d3 - учетную ставку банка за 3 месяца, годовую учетную ставку d и учетную стоимость векселя за месяц до погашения. 1.10. Вексель выписан 10 января 2004 года с датой погашения 10 октября 2004 года. Проценты по векселю начисляются по ставке 12 % в год. Определите учетную (выкупную) стоимость векселя, если вексель учтен в банке 10 мая 2004 года по учетной ставке 10 %. 6 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 2.1 Определение сложных процентов Говорят, что на сумму Р начисляются i сложных процентов течение n периодов, если в конце каждого периода к сумме, имевшейся на начало этого периода, прибавляется i% от этой суммы. Если положить в банк сумму P и банк выплачивает сложные проценты по годовой ставке i, то через год сумма будет равна S1 = P + I = P + i P = P (1+ i), где I = i P – процент, начисленный за первый год. В конце второго года вкладчик получит сумму: S2 = P + P i + (P + P i) i = P (1+ i)2, Где (P+Pi)i – процент, начисленный за второй год от суммы (P+Pi). Присоединение начисленных процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов. Несложно понять, что через n лет вкладчик получит сумму n S = P (1+ i ) . (9) Формула (9) называется формулой сложных процентов. В общем случае в формуле (9) n - число периодов начисления, i - ставка за период. n Величина (1 + i) называется коэффициентом наращения. Пример 1. Депозит в размере 500 тыс. руб. положен в банк на 3 года. Определите сумму начисленных процентов по простой и сложной ставках, если годовая ставка составляет 10 %. Решение. По простой ставке I = P ·n ·i = 500 ·3 · 0,1 = 150 тыс. руб. n По сложной ставке I = P[(1+ i ) - 1] = 500 [(1+ 0,1)3 - 1] = 165,5 тыс. руб. По определению для произвольного числа лет (может быть и нецелого) наращенная сумма при начислении сложных процентов вычисляется по формуле t St = P (1+ i) . (9а) Пример 2. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8 % сложных. Клиент положил в банк 20 000 руб. Какая сумма будет на счету клиента через 6 лет и три месяца? Решение. По формуле (9а), где n = 6,25, P = 20 000, находим: 7 S = 20 000(1+0,08)6,25 = 32 354,04 руб. При дробном числе лет можно применять смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода, т. е. a St = P (1+ i ) (1 + i· b), где a - целое число периодов (лет), b - дробная часть периода (года). (t = a +b) В качестве иллюстрации этой формулы используем предыдущий пример. Имеем: S = 20 000 (1+ 0,08)6 (1 + 0,25 ·0,08) = 32 372,24 руб. Очевидно, что смешанный метод дает немного больший результат, чем точный. 2.2. Номинальная процентная ставка В практике финансовых расчетов начисление сложных процентов может производиться каждое полугодие, квартал, месяц и даже день. При этом за каждый период, равный 1/m части года, начисляются сложные проценты по ставке i/m . В этом случае формула сложных процентов (9) примет вид mt S = P (1 +i / m ) , где t – количество лет начисления процентов. Например, в случае одного квартала t = 0,25. Итак, дадим определение. Номинальная процентная ставка - это годовая ставка сложных процентов i, начисление по которой производится m раз в году (m  1) по ставке i/m за каждый период, равный 1/m части года. Обозначим ее через jm. Следовательно, последняя формула запишется так: S = P (1 + jm / m ) mt , (10) С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут. Пример 4. Господин А вложил 10 000 руб. в банк, выплачивающий j4 = 8%. Какая сумма будет на его счету через пять лет? 8 Решение. По формуле (10) S = 10 000 (1 + 0,08/4)4∙5 = 14 859,47 руб. 2.3. Эффективная процентная ставка Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз, введем понятие эффективной ставки процентов. Эффективная годовая ставка процентов iэф - это ставка, измеряющая реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, т. е. iэф - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке за период i = jm / m . Эффективная ставка находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год: 1 + iэф = ( 1 + jm / m )m. Отсюда следует, что iэф = ( 1 + jm / m )m - 1 (11) Пример 5. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j4 = 18 %. Решение. По формуле (11) 4 iэф = ( 1 + 0,18 / 4 ) - 1 = 0, 1925 ( или 19, 25 %). Пример 6. Найдите эффективную ставку, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов. Решение. iэф = ( 1 + 0,25 / 12 )12 - 1 = 0,2807 или 28,07 %. Для сторон в сделке безразлично, применить ставку 25% (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07 %. Пример 7. Найдите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов. Решение. Пусть j2 - процентная ставка, соответствующая начислению по полугодиям, j12 - по месяцам. Из равенства коэффициентов наращения получаем: 2 12 ( 1 + j2 / 2 ) = ( 1 + j12 / 12 ) , отсюда 6 1 + j2 / 2 = ( 1 + j12 / 12 )  j2 = 2[( 1 + j2 / 12 )6 - 1] = 6 = 2 [( 1 + 0,24/12) - 1 ] = 0,25 или j2 = 25 %. 9 2.4. Непрерывное начисление процентов Сумма, наращенная за t лет по формуле (10) при постоянной процентной ставке jm с увеличением числа m увеличивается, но при неограниченном возрастании m сумма S = Sm стремится к конечному пределу. Действительно  j  lim Sm  lim P1  m  m m  m mt  Pe jt . Этот факт дает основание применять непрерывное начисление процентов по годовой ставке . При этом наращенная сумма за время t определяется формулой S = Pe t. (12) Процентная ставка  называется силой роста. Пример 8. Банк начисляет проценты по непрерывной ставке =8 % на сумму 20 тыс. руб. в течение 5 лет. Найти наращенную сумму. Решение. Из формулы (12) следует, что наращенная сумма 0,085 S = 20 000 ∙e 0,4 = 20 000  e = 20 000  1,49182 = 29 836,49 руб. 2.5 Дисконтирование по сложной процентной ставке Решим следующую задачу: сколько надо вложить в банк сегодня, чтобы накопить сумму S через некоторое время t в будущем. Решение этой задачи называется дисконтированием (приведением) суммы S на начальный момент времени (см. п. 1.3). Эта задача решается формулой P = S (1 + i)-t, если начисление сложных процентов по ставке i производится один раз в год в течение t лет, и формулой P = S (1 + jm / m)-mt, (13) если начисление процентов производится m раз в году по ставке i = jm / m за период, равный 1/m части года в течение t лет. Множитель (1 + i)-t называется дисконтным множителем. Пример 9. Г-н А хочет вложить некоторую сумму так, чтобы через 5 лет получить 40 000 руб. Какова должна быть вложенная сумма, если банковская ставка j2 = 10%? Решение. По формуле (13) P = 40 000 (1 + 0,1/2)-2 ∙5 = 40 000 ∙ 0,613913 = 24 556,52 руб. 10 2.6 Учет векселей по сложной учетной ставке Операция банковского учета, рассмотренная в п. 1.3, иногда производится по сложной учетной ставке dс, начисляемой один раз в год, или по сложной учетной ставке dm, которая начисляется m раз в год в размере dm/m. В этих случаях сумма P, выплачиваемая банком за вексель на сумму S, вычисляется соответственно по формулам: P = S (1 - dс)t и P = S (1- dm / m) m t, где t - величина промежутка времени от момента учета векселя до срока его погашения (в годах). Пример 10. Финансовый инструмент на сумму 500 000 руб., срок платежа по которому наступает через 5 лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке d4 = 15% годовых. Какова сумма продажи? Решение. P = S (1 - dm / m) m t = 500 000 (1 – 0,15/4) 4∙5 = 232 800,96 руб. 2.7 Эквивалентность процентных ставок Различные финансовые сделки могут предусматривать различные виды начисления процентов и для сравнения таких сделок надо научиться приводить различные виды процентных ставок к одному виду. Для этой цели вводятся понятия эквивалентности процентных ставок. Мы познакомились с семью видами процентных ставок, применяемых в финансовых расчетах. Это: простые iп и сложные iс проценты, начисляемые один раз в год; годовая ставка jm, с начислением процентов m раз в году; ставка непрерывных процентов ; простая dп и сложная dс учетные ставки и учетная ставка dm, начисляемая m раз в году. Напомним формулы для вычисления наращенной суммы S для всех семи видов процентных ставок: 1) S = P (1 + iпt), t 2) S = P (1+ ic ) , 3) S = P ( 1 + jm / m ) 4) S = Pe t, mt , 11 5) S = P/ (1 - t  dп), 6) S = P/ (1 - dс) t , 7) S = P/ (1- dm / m) m t. Во всех формулах t есть число лет (оно может быть дробным). Две процентные ставки называются эквивалентными, если применение их к одинаковым суммам в течение одинаковых промежутков времени дает одинаковые наращенные суммы. Приравнивая правые части каких-либо двух из приведенных выше формул и выражая из этого равенства одну процентную ставку через другую, мы получаем условие эквивалентности соответствующих процентных ставок за t лет. Пример 11. Приравнивая правые части формул 1) и 2) получим уравнение t P (1 + iпt) = P (1+ ic) , Решая которое относительно iп и ic, получим условие эквивалентности этих ставок: (1  i с ) t  1 iп  ; t i c  t 1  ti п  1 . Из формул 2) и 3) получаем условия эквивалентности ic и jm: i с  (1  j m / m ) m  1; j m  m ( m 1  ti c  1) . Аналогично находятся условия эквивалентности других процентных ставок. Задачи 2.1. Сумма 400 тыс. руб. инвестируется на 2 года под 30 % годовых. Найдите наращенную сумму и сложные проценты за этот срок. 2.2. Кредит размером 500 тыс. руб. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Вычислите полную сумму долга к концу срока. 2.3. Определите сложные проценты за полтора года, начисленные на 70 тыс. руб. по ставке 5 % за квартал. 2.4. На срочный вклад в банке зачислено $200 по ставке 6 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 2, 3, 4 и 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов; в) непрерывных процентов. 12 2.5. Рассчитайте эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 36 %, при ежемесячном начислении процентов. 2.6. Для номинальной ставки 12 % с начислением процентов два раза в год вычислите эквивалентную ставку, проценты по которой начисляются ежемесячно. 2.7. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку jm должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если а) m = 2, б) m = 6, в) m = 12, г) m = ∞. 3. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ В современных условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма условную величину. В реальной жизни инфляция проявляется в падении покупательной способности денег и общим уровнем повышения цен. Следовательно, ее необходимо учитывать при проведении финансовых операций. Рассмотрим способы ее учета. Темпы инфляции измеряются с помощью системы индексов инфляции, которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени. Пусть стоимость корзины в момент времени t равна S(t). Индексом цен или индексом инфляции JP за время от t1 до t2 называется безразмерная величина JP = S( t2 ) / S( t1 ), а темпом инфляции за этот период называется относительный прирост цен: h= S(t 2 )  S(t1) = JP - 1. S(t1) Отсюда индекс цен JP = 1 + h. Если срок рассмотрения инфляции включает в себя каждом из которых средний темп инфляции равен h, то n периодов, в n JP = (1 + h) . Приведем пример, иллюстрирующий эту формулу. Определим значение годового индекса инфляции Jгод и годового темпа инфляции hгод в зависимости от среднего темпа инфляции в месяц hмес. Полученные результаты приведены в таблице. 13 hмес Jгод 1% 1,13 2% 1,27 3% 1,43 4% 1,60 5% 1,80 10% 3,14 12% 3,90 15% 5,35 20% 8,92 hгод 13% 27% 43% 60% 80% 214% 290% 435% 792% В случае, когда темп инфляции в i-ом периоде равен hi, индекс инфляции за n периодов вычисляется по формуле JP = (1 + h1) (1 + h2)…(1 + hn). Индекс инфляции JP показывает во сколько раз, а темп инфляции h на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. Индекс покупательной способности денег JD равен обратной величине индекса цен: JD = 1 / J P = 1/ ( 1 + h). Пример 1. Вы имеете сумму в 140 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены выросли в два раза, т.е. индекс цен JP = 2. В этом случае индекс покупательной способности денег равен JD = 1/2. Значит, реальная покупательная способность 140 тыс. руб. составит в момент получения всего 140  1/2 = 70 тыс. руб. в деньгах двухлетней давности. Если h - годовой темп инфляции, то годовой индекс цен равен 1 + h, поэтому наращенная сумма с учетом инфляции S и= P ( 1 + i ) n 1 (1  h) n n 1 i  = P   . 1 h  Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции h равен ставке процентов i, то Sи = P, т.е. роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией. Если h  i , то реальная сумма меньше первоначальной. Только в ситуации h  i происходит реальный рост. Пример 2. Постоянный темп инфляции на уровне 10% в месяц за год приводит к росту цен в размере JP = 1,112 = 3,14. Таким образом, годовой темп инфляции h = JP - 1 = 2,14 или 214%. В целях уменьшения воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используется индексация процентной ставки. При этом ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции. Скорректированная ставка называется брутто-ставкой. Вычислим эту ставку, обозначив ее через r. Если компенсируется инфляция при наличии простых процентов, то величину брутто-ставки r находим из равенства множителей наращения: n 1 + n r = ( 1 + n  i ) JP = ( 1 + n  i )( 1 + h ) , 14 Отсюда r (1  n  i)J p  1 n , (14) или (1 ni) (1 h)n 1 r . n Величину брутто-ставки для наращения по сложной процентной ставке находим из равенства (n = 1): 1 + r = (1 + i ) (1 + h ), тогда r = i + h + hi (15) Формулы (14), (15) означают следующее: чтобы обеспечить реальную доходность в i %, при темпе инфляции h нужно назначить ставку в размере r %. Пример 3. Банк выдал на 6 месяцев кредит - 5 млн руб. Ожидаемый месячный уровень инфляции – 2 %, требуемая реальная доходность операции равна 10 % годовых. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа. Решение. Индекс инфляции JP = (1 + 0,02)6 = 1,1262. Из (14) получим величину брутто-ставки: r= (1  0,5  0,1)  1,1262  1 =0,365 (или 36,5 % ). 0,5 Размер наращенной суммы S= P(1 + n r ) = 5 (1 + 0,50,365 ) = 5,9126 млн. руб. Величина процентного платежа ( плата за кредит ) I = 5,9126 - 5,0 = 0,9126 млн. руб. Пример 4. Кредит в 1 млн. руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определите ставку процента при выдаче кредита, а также наращенную сумму. Решение. По формуле (15) r = 0,11+0,16+ 0,11 0,16 = 0,2876; 2 S = 1,0 ( 1 + 0,2876 ) = 1,658 млн. руб. 15 Задачи 3.1. Кредит 500 тыс. руб. выдается с 20.06.01г. по 15.09.01г. При выдаче кредита считается, что индекс цен к моменту его погашения составит 1,3. Определите брутто-ставку и погашаемую сумму. 3.2. Кредит в размере 5 млн руб. выдается на 3 года. Реальная доходность операции должна составлять 3 % годовых по сложной ставке. Расчетный уровень инфляции составляет 10% в год. Вычислите бруттоставку и погашаемую сумму. 3.3. В банк помещен вклад в сумме 100 тыс. руб. под 10 % годовых сроком на 5 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции h = 12 % в год. Определите реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пяти лет: а) с учетом инфляции; б) без учета инфляции. 3.4. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 11% реальная доходность оказалась 6 %. 3.5. Кредит 12 млн. руб. выдан на три года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% в год по сложной ставке процента. 3.6. Вклад в сумме 1 млн. руб. помещен на банковский депозит на один год. Процентная ставка банка. Найти ожидаемый реальный доход вкладчика за год, если в печати опубликованы прогнозы трех организаций о месячном темпе инфляции, согласно которым темп будет постоянным и равен соответственно 0,03, 0,05 и 0,01. Вкладчик оценивает вероятности этих прогнозов соответственно как 0,3, 0,5 и 0,2. 4. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ 4.1 Обычная годовая рента Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примером могут служить погашение займа, арендная плата и т.д. Такие последовательности платежей называют потоком платежей. При изучении потока платежей возникают две основные задачи: 1. Найти наращенную сумму и современное значение потока платежей. 2. По наращенной сумме найти величину отдельного платежа. Рассмотрим частный вид потока платежей – финансовую ренту. Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t0, а заканчивается в момент tn . Выплаты Rk (k = 1,2,..,n) происходят в моменты tk . Обычно полагают t0 = 0 (рис. 1). Финансовой рентой называется последовательность периодических выплат Rk , R k  0 , осуществляемых через равные промежутки времени. 16 Выплаты Rk называют членами ренты. Если все выплаты одинаковы, т.е. Rk = R , то рента называется постоянной. Пусть d - период ренты, а n - число выплат, тогда произведение периода на число выплат nd представляет собой календарный срок ренты. Если выплата производится в конце каждого периода (рис. 1), то рента называется обычной, а если в начале периода, то приведенной (рис. 2). R1 R2 R3 Rn 1 2 3 n t Р и с. 1 R1 R2 R3 R4 Rn 1 2 3 n -1 t Р и с. 2 Выбирая базовую единицу времени, зададим процентную ставку ренты (сложную). Найдем наращенную сумму S обычной годовой ренты, состоящей из n выплат, т.е. сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока. Для этого рассмотрим следующую задачу. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (рис. 3). Выведем формулу для наращенной суммы ренты S в момент времени n. Для этого просуммируем платежи начиная с последнего, учитывая время, за которое начисляются проценты на каждый платеж. R R R R 1 2 3 n t Р и с. 3 Тогда наращенная сумма S состоящая из n слагаемых имеет вид S = R + R( 1 + i ) + R( 1 + i )2 + ...+ R( 1 + i )n-1 Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем (1 + i). По формуле суммы геометрической прогрессии получим наращенное значение годовой ренты: (1  i) n  1 SR . i (16) 17 Выражение (1  i) n  1 i обозначается символом s(n;i) и называется коэффициентом наращения обычной ренты. Формулу (16) можно переписать в виде S = R  s(n; i). Для значений коэффициента наращения s(n; i) составлены таблицы (см. Приложение ). Современной стоимостью ренты A называется сумма всех членов ренты, приведенных на начало срока ренты. Из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты находим современное значение ренты А: n -n S = A( 1 + i ) или A = S( 1 + i ) . Таким образом, 1  (1  i) n AR . (17) i 1  (1  i) n Выражение обозначается символом a(n;i) и называется i дисконтирующим множителем обычной ренты или коэффициентом приведения ренты. Таким образом, современное значение ренты A = R  a(n; i). Для значений коэффициента приведения a(n; i) составлены таблицы. Пример 1. Найдите текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тыс. руб. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24 % годовых. Решение. Эффективная ставка за месяц равна 24 %:12 = 2 % Текущее значение вычисляется по формуле (17): A = 320 1  (1,02 ) 24 = 6052, 4619 тыс. руб., 0,02 Или, используя Приложение 2, находим a(24; 2%) = 18,9139. Тогда А = R  a(n; i) = 320 ∙18,9139 = 6052, 460 тыс. руб. Наращенное значение вычисляется по формуле (16) или с помощью таблицы Приложения 1: S = 320 (1,02 ) 24  1 = 9734,9952 тыс. руб. 0,02 Пример 2. Фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 100 тыс. руб. под 20 % годовых с последующей их капитализацией, т.е. 18 прибавлением к уже накопленной сумме. Найдите сумму инвестиционного фонда. Решение. Здесь рассматривается рента с ежегодными платежами R = 100 тыс. руб. в течение n = 5 лет. Процентная ставка i = 20%. Требуется найти наращенную сумму ренты. По формуле (16) находим: S = 100 (1  0,2) 5  1 = 744,160 тыс. руб. 0,2 Или, используя таблицу Приложения 1, получим S = R  s(n; i) = 100  s(5; 20%) = 100 ∙ 7,4416 = 744,160 тыс. руб. 4.2. Приведенная рента Различие между обычной рентой и приведенной заключается в том, что все выплаты R у приведенной ренты смещены влево на один период относительно выплат обычной ренты. На Рис. 4а и 4б изображены обычная и приведенная ренты соответственно. R R 1 R 2 R 3 n t а) R R 1 R 2 R 3 R n -1 t б) Рис. 4 Легко понять, что на каждый член приведенной ренты начисляется процентов на один период больше, чем в обычной ренте. Отсюда наращенная сумма приведенной ренты SP больше в (1 + i) раз наращенной суммы обычной ренты: SP = S (1 + i) и sP (n; i) = s(n; i) (1 + i), где sP (n; i) - коэффициенты наращения приведенной ренты. Точно такой же зависимостью связаны современные стоимости обычной ренты А и приведенной ренты АP : АP =А (1 + i), аP (n; i) = a(n; i) (1 +i), (18) 19 где аP (n; i) - коэффициент дисконтирования приведенной ренты. Пример 3. Кредит в сумме 5 млн. руб. погашается 12 равными ежемесячными выплатами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i =3 % в месяц. Найдите сумму ежемесячного взноса R при платеже: а) постнумерандо (обычная рента), б) пренумерандо (приведенная рента). Решение. a) для обычной ренты R  a(12; 3%) = 5 млн. руб. 1  (1  0,03) 12 Коэффициент приведения a(12; 3%) = = 9,95400 . 0,03 Тогда R = 5млн. руб./ 9,95400 = 502311 руб. б) для приведенной ренты: R  aP (12; 3%) = 5 млн. руб. По формуле (18): аP (12;3%) = a(12;3%)  (1+ i) = 9,954  1,03 = 10,25262. Следовательно, R= 5 млн. руб./10,25262 = 487680 руб. 4.3 Отложенная рента Если срок ренты начинается в некоторый момент в будущем, то такая рента называется отложенной или отсроченной. Отложенную ренту будем считать обычной. Длина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодом отсрочки. Так период отсрочки ренты с выплатами по полугодиям и первой выплатой через два года равен 1,5 годам (рис. 5). Аk A 1 2 3 R R 4 5 п о л у го д и я Р и с. 5 На рис. 5 цифра 3 (1,5 года) означает начало ренты. Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Ясно, что сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело - современная стоимость ренты А. Пусть рента выплачивается спустя k лет (или периодов) после 20 начального периода времени. На рис.5 начальный период обозначен цифрой 0, а современная стоимость обычной ренты - А. Тогда современная величина отложенной на k лет ренты Аk равна приведенной величине А, то есть А = А(1+ i )-k = R·а (n;i) (1+ i )-k . ( 19 ) k Пример 4. Найдите современное значение отложенной ренты с выплатами по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, если первая выплата произойдет через два года, а последняя - через пять лет. Проценты начисляются по ставке 20 % за полгода. Решение. Начало ренты через три полугодия. Первая выплата производится в конце четвертого полугодия, а последняя - в конце седьмого. Всего 7 выплат. Из формулы (18) при k = 3; n = 7; i = 0,2 , получим: А3 = 100· 1  (1,2)  7 = 208599 руб. 0,02  (1,2)3 Пример 5. Найдите величину ежегодных выплат отложенной на два года ренты сроком 5 лет, современное значение которой 430 тыс. руб. Проценты начисляются по ставке 21 % годовых. Решение. Из формулы (19) находим: R = Аk (1+ i )k /а(n;i). При k = 2; n = 5; i = 0,21 , получим: R = 430 ·1,212 0,21 = 215163 руб. 1  (1,21) 5 Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы и современной величины ренты, когда выплаты производятся один раз в году и начисление процентов происходит также один раз в году. Однако в реальных ситуациях (в контрактах) могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей, а также порядок начисления на них процентов. 4.4. Годовая рента при начисление процентов m раз в году В этом случае рентные платежи R вносятся 1 раз в конце года, а проценты начисляются m раз в год по ставке jm. Величина наращенной суммы ренты получится из формулы (16) , если в ней положить в качестве процентной ставки i = (1+ jm /m )m – 1, которая находится из уравнения эквивалентности процентных ставок (п. 2.7): (1+i)n = (1+ jm /m )mn. Решая это уравнение относительно i, получим предыдущую формулу. В результате находим наращенную сумму ренты: 21 j (1  m m ) mn  1 SR j (1  m m ) m  1 Разделив числитель и знаменатель на j j  [(1  m m ) mn  1]/  m m    , SR j j  [(1  m m ) m  1]/  m m    (20) jm / m, получим или S=R s(mn; jm / m) s(m; jm / / m) . Для вычисления наращенной суммы можно использовать таблицу коэффициентов наращения (см. Приложение). Пример 6. Страховая компания, заключившая договор с фирмой на 3 года, ежегодные страховые взносы в размере 500 тыс. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму, полученную страховой компанией по этому контракту. Решение. Полагая в формуле (20) m = 2; n = 3; R = 500; j2 = 0,15 , получим: (1  0,152 ) 23  1 S = 500 = 1 746 500 руб. (1  0,152 ) 2  1 4.5 P - срочная рента Рентные платежи вносятся р раз в году равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года (m = 1). В этом случае член ренты будет равен R/р, а формула для наращенной суммы получается из формулы (16), в которой ставка за период, равный 1/p части года (обозначим эту ставку через iP ), находится из условия эквивалентности процентных ставок (п. 2.7): (1 + i ) = (1 + iP)P , i P = (1+ i )1/P – 1. Подставляя полученную ставку за период iP в (16), и учитывая, что всего периодов р·n, получим формулу для наращенной суммы: SR (1  i) n  1 p((1  i) 1/p  1) . (21) Пример 7. Страховая компания принимает установленный годовой страховой взнос 500 тыс. руб. дважды в год в течение 3 лет. Банк, 22 обслуживающий страховую компанию, начисляет ей сложные проценты из расчета 15 % годовых один раз в году. Определите сумму, полученную компанией по истечении срока договора. Решение. Здесь R = 500; n = 3; P = 2; m = 1. По формуле (21) находим: S= 500 (1  0,15) 3  1 · = 1779 тыс. руб. (1  0,15)1/ 2  1 2 4.6. Вечная рента Под вечной рентой понимается рента с бесконечным числом платежей. Очевидно, что наращенная сумма такой ренты бесконечна, но современная величина такой ренты равна A = R/i. Для доказательства этого факта используем формулу (17) для конечной ренты: A = R[1-(1+i)-n]/i. Переходя в этой формуле к пределу при n  , получим, что A = R/i. Пример 8. Фирма арендует здание за $5 000 в год. Какова выкупная цена здания при годовой ставке процента 10 %? Решение. Выкупная цена здания есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна A = R/i = 50 000 дол. 4.7 Рента с периодом больше года Так называется рента, в которой платежи, равные Rr выплачиваются через каждые r лет (r > 1). Сложные проценты по годовой ставке i начисляются ежегодно. Рента изображена на рис. 6. 0 1 2 Rr Rr r n-r Rr n Рис.6 За n лет производится n/r платежей. Суммировать платежи начнем с последнего. Он входит в наращенную сумму без изменения, т.е. в размере Rr. Предпоследний платеж сделан за r лет до момента n, т.е. в момент (n-r). Следовательно, в наращенную сумму он входит как Rr (1 + i)r; второй от конца платеж равен Rr (1 + i)2r, и так далее. Первый платеж сделан за (n-r) лет от момента n, следовательно наращенная на него сумма в момент n равна Rr(1 + i)n-r; Наращенная за n лет сумма ренты равна 23 S = Rr + Rr(1 + i) r + Rr(1 + i) 2r + … + Rr(1 + i) n-r. Суммируя это выражение как геометрическую прогрессию, получим S= Rr (1  i) n  1 (1  i) r  1 . (22) Разделив числитель и знаменатель на i, получим S= Rr [(1  i) n  1] / i [(1  i) r  1] / i = Rr s(n; i) . s ( r; i) (23) Пример 9. Предприятие образовало фонд развития, в который каждые 2 года отчисляет 3 млн. руб., вкладывая их в банк, который начисляет на вложенные деньги 10% годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 10 лет? Решение. Взносы в фонд образуют ренту с периодом больше года. Rr = 3 млн. руб., r = 2, i = 0,1, n = 10. Накопленную сумму вычисляем по формуле (22), или, используя Приложение 1, по формуле (23): (1  i) n  1 (1  0,1)10  1 S = Rr = 3 000 000 = 3 000 000 ∙ 1,59374246/0,21= (1  i) r  1 (1  0,1) 2 1 22 767 749,43 руб. 4.8 (m, p) – рента В этом случае ежегодно выплачивается член ренты R, но платежи производятся p раз в году через равные промежутки времени. Каждый платеж равен R/p. Начисление процентов будет производиться m раз в году по ставке jm/m%. Величина наращенной суммы получится из формулы (16) , если в ней положить в качестве процентной ставки i ставку за 1/p часть года. Обозначим ее через ip. Эта ставка находится из условия эквивалентности процентных ставок: (1+ jm /m )m = (1 + ip)p. Решая это уравнение относительно ip, получим: ip = (1+ jm /m )m/p- 1. Подставляя это выражение в формулу (16), получаем величину наращенной суммы ренты: 24 R (1 i)n 1 R (1  j m / m ) S = i p p m pn p m p 1 . (1  j m / m ) - 1 R (1  j m / m ) mn  1 S= . m p (1  j m / m ) p - 1 (24) Разделив числитель и знаменатель последней дроби на jm/m, получим S = R/p s ( mn ; j m / m ) s ( m / p; j m / m ) . (25) При наличии таблиц для коэффициентов наращения можно воспользоваться формулой (25). 4.9 Объединение и замена рент Общее правило объединения рент: находятся современные величины рент (слагаемых) и складываются, а затем подбирается рента, с полученной современной величиной и нужными остальными параметрами. Пример 10. Найдите объединение двух рент: первая длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, вторая - 8 и 800. Годовая ставка процента 8 %. Решение. Современные величины рент равны: A1 = R1  a(5;8%) = 1000  3,993 = 3993; A2 = R  a(8;8%) = 8005,747=4598. А = А1 + А2 = 3993 + 4598 = 8591. Следовательно, у объединенной ренты современная величина А = 8591. Далее можно задать либо длительность объединенной ренты, либо годовой платеж, затем второй из этих параметров определяется из формул для рент. Вопрос о замене данной ренты другой с измененными параметрами решается так: находится современная величина данной ренты, а затем подбирается рента с такой современной величиной и нужными параметрами исходя из уравнений R1 ∙ a(n;i) = R2∙ a(m;i), или R1 ∙ a(n;i) = R2∙ a(n;j),. 4.10. Деление ренты Рассмотрим следующую задачу. Годовая рента делится между двумя участниками (речь может идти о наследстве или о другом виде передачи собственности). Условия деления: а) каждый участник получает 50% капитализированной стоимости 25 ренты; б) рента выплачивается последовательно сначала первому участнику, затем второму. Решение задачи сводится к расчету срока получения ренты первым участником. Обозначим этот срок через n1. Пусть рента имеет параметры R, n. Ясно, что первый участник получает немедленную ренту, второй – отложенную на n1 лет. II участ. I участ. A1 = A′2 A′2 n1 n1+n2 A2 На рисунке A1 - современная стоимость ренты первого участника, ее срок n1. A2 - современная стоимость ренты второго участника, приведенная к моменту времени n1, ее срок n2. A′2 - современная стоимость ренты второго участника, приведенная к начальному моменту времени. Ясно, что n1 + n2 = n. Из условия деления ренты: n A1 = A′2 или R  a(n1; i) = R  a(n2; i)(1 + i)- 1 , и учитывая, что n2 = n - n1, находим: n (n -n ) 1 n 1  (1  i) 1 1  (1  i)  (1  i) 1 i i . Решая это уравнение относительно n1, получим:  ln{[1  (1  i)  n ] / 2} n1 = . ln(1  i) Пример 11. Срок годовой ренты 10 лет, i = 20%. Рента делится на две части. Найти доли участников в общем сроке ренты. Решение. По формуле для n1 находим:  ln{[1  1,2 10 ] / 2} n1 = = 2,891 ≈ 3 года. ln 1,2 4.11 Погашение долгосрочной задолженности единовременным платежом Рассмотрим следующую ситуацию. Должник взял сумму S руб., которую он должен вернуть через n лет. Каждый год он выплачивает 26 кредитору проценты по ставке q. Одновременно он создает погасительный (страховой) фонд, в который делает ежегодные взносы с целью накопить к моменту возвращения долга сумму S. На деньги в фонде начисляются проценты по ставке i% в год. Требуется определить срочную уплату α т.е. суммарные ежегодные затраты заемщика. Срочная уплата состоит из уплачиваемых на долг процентов, которые равны Sq, и взноса в страховой фонд R. Взносы являются членами годовой ренты, наращенная сумма которой в момент n равна S. Следовательно, R = S / s(n;i). Тогда срочная уплата определится формулой: α = Sq + S / s(n;i). (26) Пример 12. Фирма получила кредит 10 млн. руб. на 4 года под 8% годовых в банке А. Погашение долга производится разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма создала страховой фонд, открыв счет в банке Б, где на взносы начисляются 10% годовых. Определите ежегодные расходы фирмы по погашению долга т.е. ежегодную срочную уплату, при условии, что в страховой фонд вносятся ежегодно равные суммы. Решение. Параметры финансовой операции: A = 10,0; q = 8 %; i = 10 %; n = 4, s (4;10%) = 4,641000; Срочная уплата, согласно формуле (26), равна α = Sq + S / s(n;i) = 10 000 000 ∙ 0,08 + 10 000 000/ 4,641000 = 2 954 470,8 руб. 4.12. Погашение долгосрочной задолженности несколькими платежами Рассмотрим ситуацию, когда долг погашается не единовременным платежом, а несколькими равными платежами, которые делаются через равные промежутки времени. Такая форма погашения задолженности распространена, например, в потребительском кредите. Ситуация здесь следующая. Заемщик взял ссуду, равную А руб., и обязался вернуть долг, сделав n равных срочных уплат. Требуется определить величину срочной уплаты α при условии, что на долг начисляются сложные проценты по ставке i за каждый период времени. В этом случае последовательность срочных уплат (α) образуют ренту с n членами, и современной стоимостью А (Рис. 7). Следовательно, по формуле (17) A = α  a(n; i), откуда α = А / a(n; i), A α α α α 1 2 3 n t Рис. 7 Пусть k - номер периода. Тогда срочная уплата для любого k: α = (выплачиваемые проценты на долг в k–ом периоде + сумма погашения 27 долга в k–ом периоде ), т.е. α = Ак ∙ i + αk , где Ак - остаток долга на начало k–го периода. Ясно, что при такой схеме погашения долга каждая следующая срочная уплата включает большую сумму погашения долга, чем предыдущая, и меньшую сумму выплачиваемых процентов. Другими словами, с возрастанием k величина Ак уменьшается, а αk увеличивается. Пример 13. Долг в 300 000 руб. надо погасить равными срочными уплатами за 5 лет, делая платежи в конце каждого года. За долг выплачиваются проценты по ставке i = 5%. Составить план погашения. Решение. По условию задачи n = 5, А = 300 000, i = 0,05. Вычисляем коэффициент приведения а(5; 5%) = 4,3294766 и находим срочную уплату: α = А / a(n; i) = 300 000/ 4,3294766= 69 292 руб. План погашения записываем в виде таблицы: год Остаток долга на начало к-го года Ак Срочная уплата α Выплаченные проценты в к-ом году Ак i 1 2 3 4 5 300 000 245 708 188 701 128 844 65 994 69 292 69 292 69 292 69 292 69 292 15 000 12 285 9 435 6 442 3 300 Сумма погашения долга в k-ом году ak = α - Ак i 54 292 57 007 59 857 62 850 65 992 Задачи 4.1. На депозитный счет с начислением сложных процентов по ставке 80 % годовых будут ежегодно в течение 5 лет вноситься суммы по 500 тыс. руб. в начале каждого года. Определите накопленную сумму. 3 167 964, 52 . 4.2. На депозитный счет в конце каждого квартала будут вноситься суммы по 12,5 тыс. руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке 10 % годовых. Определите накопленную за 20 лет сумму. 4.3. Вычислите сумму, которую необходимо положить на счет частного пенсионного фонда, чтобы он смог выплачивать своим участникам ежемесячно 10 млн. руб. Фонд может инвестировать свои средства по постоянной ставке 5 % в месяц. (Указание: использовать модель вечной ренты ). 4.4. Бизнесмен арендовал коттедж за $10 000 в год. Какова выкупная цена коттеджа при годовой ставке 5 %. 28 4.5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г-н А недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние два года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г-н А. 4.6. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $1000 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 5 % по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет. 4.7 Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $700 шестилетней годовой рентой. Годовая ставка 8 %. 4.8. Какую сумму необходимо положить в банк родителям студента, обучающегося в платном институте, чтобы раз в полгода в течение 4 лет банк перечислял в институт $600. Банковская ставка 8 % в год. 4.9. Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить равными срочными уплатами в течение 5 лет. За заем выплачиваются проценты по ставке 10 % годовых. Определите величину ежегодной выплаты. 4.10. Долг в размере 100 тыс. руб. получен под 8 % годовых на 4 года. Одновременно с получением ссуды для ее погашения создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы, На деньги, внесенные в фонд, выплачиваются 5 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу. 4.11. Фермер взял в банке 500 тыс. руб. под 10 % годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу. 4.12. Решите предыдущую задачу при условии, что на деньги, вкладываемые в страховой фонд, начисляются 8 % годовых. 4.13. Владелец магазина получил в банке ссуду $20 000 сроком на 4 года. Банковская процентная ставка 10 % годовых. Для погашения ссуды владелец магазина создал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j4=5 %. Какова ежегодная срочная уплата по долгу? 4.14. Сравниваются два варианта строительства объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн. руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн. руб. каждые пять лет. Для второго соответственно: 7 млн. руб. и 4 млн. руб. каждые 10 лет. Временной горизонт, учитываемый в расчете – 20 лет. Процентная ставка 10% годовых. Выберите лучший вариант. 5. УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. КОНСОЛИДАЦИЯ И ЗАМЕНА ПЛАТЕЖЕЙ 5.1 Современная стоимость денег На практике часто приходится решать вопрос о том, как соотносятся между собой суммы денег, полученные в различные моменты времени. 29 Финансовая теория исходит в этом случае из принципа невозможности межвременного арбитража: ценность некоторой суммы денег S в будущем эквивалентна такой сумме денег P в текущий момент времени, которая будучи подходящим образом использованной на финансовом рынке, принесет нам в точности сумму S на рассматриваемый будущий момент времени. Если в качестве подходящего использования денег мы рассматриваем возможность инвестировать их (положить в банк, купить акции и т.п.) под t сложную процентную ставку i, то сумма денег через t лет будет S = P (1+ i ) . Поэтому современная (приведенная) стоимость P суммы S, которая будет получена через t лет, вычисляется по формуле P = S (1 + i)-t. В пункте 2.5 вычисление современной стоимости денег по будущей сумме S мы назвали дисконтированием. Пример 1. Кредитор дает деньги в долг, получая вексель, по которому через 2 года будет выплачено 10 000 руб. Какую сумму следует дать под этот вексель сегодня, если за взятые в долг деньги выплачиваются проценты по ставке j4 = 6%? Решение. В задаче надо найти современную стоимость суммы 10 000 руб. По формуле (13) , где S=10 000, m = 4, jm = 0,06, t = 2, имеем P = S (1 + jm / m)-mt = 10 000 (1 + 0,06 / 4)-4∙2 = 8 877,1 руб. Итак, в условиях задачи современная стоимость 10 000 руб. равна 8 877,1 руб. 5.2 Замена платежей В реальной ситуации нередко одна из сторон коммерческой сделки обращается к другой с предложением изменить условия ранее заключенных соглашений. Наиболее часто предлагается изменить сроки платежей в сторону их увеличения, произвести объединение нескольких платежей в один (консолидировать платежи) с установлением единого срока погашения. Принцип, на котором базируется такое изменение контракта, называется принципом финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта. Количественно этот принцип выражен в уравнении эквивалентности: два контракта считаются эквивалентными, если современные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. Покажем, каким образом получаются уравнения эквивалентности. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени, оказываются равными. На рис. 8. S1 и S2 - суммы, приуроченные к моменту времени t = 2 и t = 4 соответственно. 30 S1 1 S2 2 3 t 5 Рис. 8 Приведем обе суммы S1 и S2 к начальному моменту времени по ставке приведения i: -2 -4 A2 = S2 (1 + i) . A1 = S1 (1 + i) , Если A1 = A2 , то суммы S1 и S2 эквивалентны. Следовательно, замена суммы S1 при t = 2 на сумму S2 при t = 4 и наоборот, не изменит финансовых отношений сторон участников коммерческой сделки. Рассмотрим рис.9. S1 1 S2 2 3 4 P1 P2 5 6 7 t Рис. 9 Здесь сравниваются два потока платежей: S1 , S2 и P1, P2 по сложной процентной ставке i. Для того чтобы заменить суммы S1 и S2 на две другие, эквивалентные по своим финансовым последствиям, суммы P1 и P2, применим принцип финансовой эквивалентности. Именно, приведем платежи S1 и S2 к начальному моменту времени (можно к любому другому) и сложим их: -2 S1 (1 + i) -4 (27) -7 (28) + S2 (1 + i) . То же самое проделаем с платежами P 1 и P 2: -5 P1 (1 + i) + P2 (1 + i) . Приравнивая (27) и (28), получим уравнение эквивалентности: -2 S1 (1 + i) -4 + S2 (1 + i) -5 = P1 (1 + i) -7 + P2 (1 + i) . (29) Очевидно, что данный метод распространяется на любое конечное число сумм. Если сравнение происходит по простой ставке i, то уравнение (29) примет вид: S1 (1 + 2i)-1 + S2 (1 + 4i)-1 = P1 (1 + 5i)-1 + P2 (1 + 7i)-1. 31 В случае, когда несколько платежей S1, S2, S3 со сроками n1, n2, n3 соответственно, заменяются одним S0 со сроком n0, то уравнение эквивалентности в случае простых процентов запишется в виде: S 0 = S1 (1 + (n0 - n1 )i) + S 2 (1 + (n0 - n2 )i) + S3 (1 + (n0 - n3 ) i), если n 0  n1, n2, n3. В другом случае, если n1  n0  n3, нужно применять как наращение (при n0  nk), так и дисконтирование (n0  nk). Если проценты сложные, то, если n1  n0  n2  n3, уравнение эквивалентности примет вид (суммы приводятся к моменту n0): S0 = S1 (1 + i) (n0 – n ) 1 + S2 (1 + i) -(n – n ) 2 - (n – n ) 3 + S3 (1 + i) . Пример 2. Два платежа - 1 и 0,5 млн руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней - объединяются в один со сроком 200 дней. Определите консолидированную сумму долга, если стороны согласились на применение простой ставки, равной 20 % в год. Решение. Приводя суммы 1 и 0,5 млн руб. к сроку n0 = 200 дней, получим уравнение эквивалентности (К = 360): S0 = 1000 (1 + 200150 200180 0,2) + 500 (1 + 0,2) = 1533,32 тыс. руб. 360 360 Пример 3. Господин Петров вложил в банк 7000 руб. Банк выплачивает проценты по ставке j4 = 6%. Через 6 месяцев г-н Петров снял со счета 3000 руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Какую сумму он получил при закрытии счета? Решение. Суммы, которые г-н Петров снимал со счета, изобразим под осью времени, а сумму, которую он вложил, над осью. Одно деление оси равно одному кварталу. 7000 1 2 3 3000 10 x t Приводим суммы 3000 руб. и x руб. к сумме 7000 руб., т. е., суммарная современная стоимость снятых со счета денег равна современной стоимости вложенных денег (уравнение эквивалентности): 7000 = 3000 (1 + i)-2 + x (1 + i)-10, где i = 0,06/4 = 0,015. Из этого уравнения находим x: 32 x = 7000 (1 + i)10 - 3000 (1 + i)8 = 7000 (1,015)10 -3 000 (1,015)8= 4 743,3 руб. 5.3 Консолидация (объединение) платежей Рассмотрим задачу замены нескольких платежей одним. При объединении (консолидации) платежей надо свести несколько платежей S1, S2,…,Sk, со сроками выплаты, t1, t2,…,tk, соответственно в один платеж S0. При этом могут возникнуть две задачи: 1)определить величину объединенного платежа S0, если он должен быть сделан в заданный момент времени t0, 2) определить t0 срок заданного платежа S0. Изобразим данную ситуацию на оси времени: S1 S2 S0 Sk t t2 t1 tk t0 Запишем уравнение эквивалентности для платежей Si . Для этого приравняем приведенный к моменту 0 платеж S0 к сумме приведенных к тому же моменту времени платежей S1, S2,…,Sk,: k -t  Sj (1 + i)-tj, S0 (1 + i) 0 = (30) j1 где i – ставка сложных процентов за период. Для решения первой задачи находим из этого уравнения S0: k t S0 = (1 + i) 0  Sj (1 + i)-tj, (31) j1 Для решения второй задачи находим из уравнения (30) t0. Для этого логарифмируем обе части уравнения (30) и решая получившееся выражение относительно t0, получаем последовательно: k ln (S0 (1 + i) -t 0 )= ln  Sj (1 + i)-tj,; j1 k ln S0 - t0ln(1 + i) = ln  Sj (1 + i)-tj,; j1 t0 = -t k ln S0 - ln j1S (1+ i) j l ln(1 i) . (32) 33 Пример 4. Предприниматель должен выплатить кредитору через полгода 800 тыс. руб., еще через полгода 1500 тыс. руб. и еще через 8 месяцев – 1300 тыс. руб. Эти платежи решено объединить в один и выплатить весь долг через год. Какую сумму надо выплатить, если на долг начисляются 6% годовых (сложных)? Решение. Приводя все платежи к настоящему моменту времени и применяя формулу (31), получаем: S0 = (1 + 0,06)1 [0,8 (1 + 0,06)-0,5 + 1,5 (1 + 0,06)-1 + 1,3 (1 + 0,06) -1,(6) ]. S0 = 3 574 118,97 руб. Пример 5. Предприниматель из примера 4 хочет выплатить долг одним платежом, равным 3 600 тыс. руб. В какой момент он должен сделать такой платеж? Решение. По формуле (32) ln3,6 - ln (0,81 ,06-0,5  1,5 1 ,06-1  1,3 1 ,06-1,(6) ) t0 = = 1,1238 ln1,06 t0 = 1 год 45 дней. Задачи 5.1. Долг в размере 300 тыс. руб. должен быть выплачен через два года. Найдите эквивалентные значения для этой суммы (ставка сравнения 25 %): а) в конце первого года, б) через 5 лет. 5.2. Вычислите эквивалентное значение долга, которого он достигнет через два года, если в настоящее время он составляет 42 тыс. руб. Проценты начисляются поквартально по ставке 40 % годовых. 5.3. Исходный поток платежей составляет: 200 тыс. руб. - через один год, 175 тыс. руб. - через два года, 210 тысяч руб. - через 4 года. Замените его эквивалентным множеством, состоящим из двух выплат, равных по величине, первая из которых осуществляется через 1,5 года, а вторая - через 4 года. Проценты начисляются по ставке 8 % годовых каждые полгода. 5.4. Долг должен быть погашен двумя платежами: 100 тыс. руб. через один год и 370 тыс. руб. через три года. Определите срок, при котором замена обеих выплат одной, в размере 480 тыс. руб., будет эквивалентной при ставке – 15 % годовых. 5.5. Фермер взял в банке кредит на сумму 5 млн. руб. под 8% годовых сложных. Через год он вернул банку 3 млн. руб., а еще через год взял кредит в сумме 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку? 5.6. Строительная фирма получила в банке долгосрочный кредит в размере 5 млн. руб. под 6 % годовых (проценты сложные), срок погашения через 5 лет. Впоследствии стороны пересмотрели условия займа и 34 выработали новые: через три года производится выплата 3 млн. руб., остальная сумма выплачивается через 4 года. Процентная ставка сохраняется прежней. Определите сумму окончательного платежа. 5.7. Заемщик должен уплатить кредитору 10 млн руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга: через 2 года выплачивается 3 млн руб., а оставшийся долг спустя 4 года после первой выплаты. Определите сумму окончательного платежа, если сложная процентная ставка равна 10 % годовых. 5.8. Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 3500 тыс. руб. через 2 месяца после покупки, 3000 тыс. руб. – еще через 2 месяца и 5200 тыс. руб. – еще через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платеж, если на деньги начисляются 8% годовых? 6. ОПЕРАЦИИ С ФИНАНСОВЫМИ КОНТРАКТАМИ 6.1 Примеры финансовых операций с продажей контрактов Пример 1. Магазин продал автомобиль, заключив контракт, по которому покупатель обязался выплачивать ежеквартально по 10000 рублей в течение 5 лет. Хозяин магазина, нуждаясь в деньгах, продает этот контракт банку, который покупает на ссуженные деньги проценты по ставке j4 = 12 %. Какую сумму заплатит банк хозяину магазина за данный контракт? Решение. По контракту банк получает ренту – 20 платежей по 10000 рублей каждый. За эту ренту банк должен заплатить ее современную стоимость. A = R∙a(n; i), R = 10000, n = 20, i = j4/ 4 = 3% - процентная ставка за квартал. а(20;3%) = 14,877475; A = 104 ∙ a(20; 3%) = 148774,75 руб. Выводы: 1) Хозяин магазина при продаже контракта теряет 200000 – 148774,75 = 51225,25 рублей, но при этом получает деньги немедленно. 2) Банк получает доход = 51225,25 рублей. Эта сумма – плата за риск, который несет банк. Пример 2. Г–н А купил костюм за 20000 рублей в кредит, оплачивая его ежемесячными платежами в течение года. Проценты за долг составляют j12= 6%. Хозяин магазина продает этот контракт финансовой компании, которая желает получать доход по j12 = 12%. Сколько должна заплатить компания за этот контракт? Решение. а) Находим величину каждого платежа из 12. Эти платежи – рента с современной стоимостью А = 20000, i = 6% / 12 = 0,5 %. Тогда 35 R = A / a(12; 0,5%) = 20000 / 11,618932 = 1721,33 руб. б) следовательно, компания хочет купить контракт из 12 платежей по 1721,33 руб., получая доход по ставке j12 = 12 %. (ставка за период i = 12 % /12 = 1 %). Искомая сумма, которая равна современной стоимости ренты, вычисляется по формуле A = R∙ a(n; i) = 1721,33 ∙ a (12; 1%) = 1721,33∙11,255077 = 19373,7 руб. Выводы: 1) Г–н А имеет костюм, выплачивая за него 1721,33  12 = 20655,96 рублей. 2) Хозяин магазина теряет сумму: 20000 – 19373,7 = 626,3 рубля. 3) Финансовая компания получает в течение года прибыль: 20655,96 – 19373,70 = 1282,26 рублей. Это премия за риск (отказ г–на А платить долг). Пример 3. Сравнить следующие контракты: 1-й контракт: товар стоит 20 млн. руб.; делается 3 авансовых платежа по 3 млн. руб. каждый: первый - в момент заключения контракта, второй – через год, третий – еще через год. Поставка товара производится по окончанию авансовых платежей. Кредит дается на 6 лет, считая с момента поставки товара под 5% годовых, и погашается разовым платежом в конце срока кредита. 2-ой контракт: товар стоит 21млн. руб.; в момент заключения контракта делается один авансовый платеж, равный 5 млн. руб. Поставка производится в момент заключения контракта. Кредит выдается на 10 лет под 5% годовых с погашением равными ежегодными срочными уплатами. Ставка сравнения i=10%. Решение. Найдем современную стоимость каждого из контрактов. Современную стоимость первого контракта А1 находим по формуле (33) при С=20 млн. руб., t1=0, t2=1, t3=3, T=2, N=6, g=0,05, P1=P2=P3=3 млн. руб.: A1= 3(1+i)0 + 3(1+i)-1 + 3(1+i)-2 + (20-9)(1+0,05)6(1+i)-(2+6)= 16,083 млн. руб. Современную стоимость второго контракта А2 вычисляем по формуле (34) при С=21 млн. руб., t1 = 0, P1 = 5, T = 0, N = 10, g=5%: 36 A2=5(1+i)0 + (21-5) а (10, 10%) (1 + 0,1)-0 = 17,732 млн. руб. а (10, 5%) Вывод: хотя второй контракт менее выгоден покупателю, чем второй, но он предпочтительнее, т.к. поставка товара по нему производится немедленно, а по первому контракту – с отсрочкой на два года. 6.3. Доходность контракта для кредитора Доход от выдачи кредита кредитор получает в виде процентов от выданной ссуды, комиссионных, дисконта при учете векселей и т.п. Доходность операции измеряется годовой ставкой сложных процентов, когда все вложения и доходы рассматриваются как эквивалентная им ссудная операция. Эта ставка iэф - эффективная процентная ставка. Рассмотрим, как определяется доходность некоторых финансовых операций. І. Ссуда выдана под простые проценты iп, или под сложную процентную ставку jm и т.д. Доходность операции определяется эквивалентной процентной ставкой iэф (см. п. 2.7): 1+ iп t = (1+ iэф)t, тогда iэф = t 1  t i п  1 , Аналогичным образом задача решается для ставки jm и т.д. ІІ. Ссуда в размере Р руб. выдана на 2 года под iп =12 % годовых (простые). Определить доходность этой операции, если а) комиссионные не взимаются; б) комиссионные удерживаются в размере 0,5 % от суммы ссуды; в) 0,5 % и срок ссуды 4 года. Решение: а) аналогично п.I, iэф = t 1  t i п  1 = 1  2  0,12  1 = 0,1136 = 11,36 % б) Наращенная сумма с удержанием комиссионных т.е. (P-gP)(1+ iэф)n, должна быть равна возвращаемой должником сумме P(1+iпn). Следовательно, доходность операции iэф определяется из уравнения (P-gP)(1+ iэф)n = P(1+iпn). Сократив на Р и разделив обе части на (1 - g), получим (1 + i э ф ) n = Откуда находим i э ф : 1  ni п , 1 g 37 iэф = n 1  ni n 1  2  0,12 1  1=11. 63 %. 1 g 1  0, 005 в) решение аналогично пункту б): iэф  n 1  ni n 1  4  0 ,12 1  4  1  10.44 % 1 r 1  0 , 005 Вывод: взимание комиссионных увеличивает доходность сделки для кредитора, а увеличение срока ссуды уменьшает доходность сделки. ІІІ. Ссуда в размере Р руб. выдана на n лет под jm% годовых. Определить доходность этой операции, если комиссионные удерживаются в размере g % от суммы ссуды. Решение. Рассуждая аналогично случаю б) из п. II, полу ча е м : (P - g P )( 1 + i э ф ) n = P (1 + jm / m ) iэф  1  j m /mm n 1 g mn ,  1. ІV. Банк учитывает вексель за n лет до срока его погашения по простой учетной ставке dп, удерживая при этом g % комиссионных от выплачиваемой за вексель суммы Р, т.е. б а н к вы п л а ч и ва е т ( P- P g ) р у б . и п о л у ча е т п о векселю через n лет сумму S=P/(1 - ndп) (см. п. 1.3). Эта с ум м а д о л ж н а б ы т ь р а в н а с ум м е ( P - P g )( 1 + i э ф ) n . Эффективность сделки iэф находим, решая уравнение (P - P g )( 1 + i э ф ) n = P , 1  nd n С л е д о ва те л ьн о , iэф = 1 n 1  nd n 1  g  1. 6 . 4 . П о р т ф е л ь ве кс е л е й (э ф ф е к т пр о д а ж и ) Постановка задачи. Портфель векселей (несколько векселей) выдан в уплату за товар. Каждый вексель выдан на сумму V руб. и сроки оплаты которых наступают р раз в год в течение n лет (всего np векселей). Продавец учитывает в банке все эти векселя одновременно сразу после их поступления по простой учетной ставке d п . Рассчитать доходность этой операции для банка в виде годовой ставки сложных процентов i э ф . Решение. За вексель, погашаемый первым (через 1/p часть года), б а н к выплачивает Q1= V(1 – 1/p dп) руб.; (здесь использована формула п. 1.3 P=S (1- d п t) ). 38 За вексель, погашаемый вторым (через 2/p часть года), банк выплачивает Q 1 = V ( 1 – 2 / p d п ) р уб . ; За вексель, погашаемый последним (через np/p = n лет), банк выплачивает Q n p = V ( 1 – n ∙ d п ) р уб . Портфель состоит из np-векселей и, следовательно, сумма Q, которую банк выплачивает за портфель, равна np np   id n  d n np     V np  Q =  Q i  V   1   i ;  p p   i 1 i 1  i 1  По формуле суммы k первых членов арифметической прогрессии с первым членом а1 = 1, разностью d = 1 и числом членов k = np получаем np 2  1np  1 1  np 2a  d k  1 i np  np . S = 1 k = 2 2 2 i 1  То г д а  d 1  np  . Q = V 1  n (3 5 ) p 2   Погашая эти векселя, банк получает р-срочную ренту, состоящую из р платежей ежегодно в течение n лет по V руб. т.е. ежегодно банк получает V∙p руб. Современная стоимость этой ренты: A = V∙p∙ а (р ) ( n ; i эф ) . Доходность в виде iэф находится из условия равенства современной стоимости А и современного значения суммы Q, выплачиваемой банком в настоящий момент за данный портфель векселей: A = Q, или Q = V∙p∙ а ( р) ( n ; i эф ) . о т к уд а а ( р ) ( n ; i эф ) = Q/Vp. (36) Пример 4. Банк учитывает портфель, состоящий из 12 векселей по 100 тыс. руб. каждый, погашаемых ежеквартально. Простая учетная ставка банка 6 % в год. Определить доходность этой операции для банка. Решение. По формуле (35) найдем сумму, которую банк заплатил за этот портфель векселей. По условию задачи p = 4; n = 3 ; V = 1 0 0 ты с . р уб . ; d п = 6 %. Q = 1 0 0 ∙3 ∙4 1   1 3 4  0,06  = 1 0 8 3 т ы с . р уб . 24  Находим значение i э ф , решая уравнение (3 6 ) : 39 а (р) 1083 ( n ; i эф ) =  2.7075 , и л и 100  4   1  1  i эф 3 =2.7075 4 1  i эф 1 / 3  1    Решить это уравнение можно с помощью компьютера, (например с помощью программы Mathcad). В результате находим i э ф = 6,62%. Задачи. 6.1. Сравните два контракта. 1-й контракт: товар стоит 100000 руб.; делаются два авансовых платежа: 1-ый – 20000 руб. – в момент заключения контракта: 2-ой – 10000 руб. – через год после заключения контракта. Поставка товара производится после второго авансового платежа. Кредит выдается на три года, считая от момента поставки товара, под 8 % годовых и погашается разовым платежом в конце срока. 2-й контракт: товар стоит 110000 руб.; делаются три авансовых платежа 10000 руб. каждый. 1-ый – в момент заключения контракта; 2-ой – через год после заключения контракта; 3-й – еще через год. Кредит выдается на 10 лет, считая с момента поставки, под 3 % годовых и погашается равными срочными ежегодными уплатами. Ставка сравнения i =10 %. 6.2. Ссуда выдается на 5 лет под j4=8 %. Определите доходность этой операции, если: а) комиссионные не взимаются; б) комиссионные 0,6 % от суммы ссуды; в) при условии б) срок ссуды 10 лет. 6.3. Банк учитывает вексель за 3 месяца до срока его оплаты по учетной ставке dп = 8%.Определить доходность операции для банка, если: а) комиссионные не взимаются; б) комиссионные взимаются в размере 0,6 % от суммы, выплачиваемой за вексель; в) удерживаются комиссионные в размере 0,6 % от суммы, выплачиваемой за вексель, и период времени до оплаты векселя 6 месяцев. а ) i э ф = 8 , 4 2 %; б ) i э ф = 1 1 , 6 % ; в ) i э ф = 9 , 8 2 %. 7. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ В условиях рыночной экономики инвестирование позволяет нарастить капитал. Для этого надо уметь анализировать инвестиционные процессы. В инвестиционном проекте средства сначала вкладываются в какуюлибо сферу (производство, строительство, торговля, ценные бумаги и т.д.) а затем они постепенно возвращаются, принося инвестору к концу срока проекта определенную прибыль. Задача инвестора: на основе имеющихся на момент начала проекта данных о доходности вложений в различные сектора рынка и их прогнозе на период реализации проекта выбрать оптимальный вариант вложения имеющихся у него финансовых средств. Хотя такая задача сложна и содержит в себе моменты неопределенности и риска, но даже простые модели позволяют многое 40 прояснить, выяснить связи между параметрами инвестиционных процессов, допустимые диапазоны их изменения и т.д. и, в конечном счете, принять правильное решение. Непосредственным объектом анализа инвестиционных процессов являются потоки платежей, в которых инвестиции отрицательны, доходы положительны. 7.1. Модель дискретного потока платежей Рассмотрим модель детерминированного дискретного потока денежных расходов (капитальных вложений) и поступлений в инвестиционном процессе. Пусть инвестиционный проект начинается в момент t=0 с капвложения R(0) рублей. Затем в моменты tk происходят инвестиции в размере R(tk ) или доходы в размере P(tS ) руб. Определение. Современной стоимостью PV (Present Value) потока платежей называется сумма приведенных к моменту t=0 величин этих платежей. В нашем случае современные стоимости инвестиций и доходов вычисляются cоответственно по формулам: m PV R  R(0)   R(t k )v(t k ) s 1 n PV P   P(t s )v(t s ). s 1 -t Здесь v(tk) = (1+i) k - коэффициент приведения (дисконтирования). Определение. Чистым приведенным доходом (чистой современной стоимостью потока платежей) NPV (Net Present Value) называется алгебраическая сумма всех платежей, приведенных к моменту t=0 по ставке процента i: NPV = VPP - PVR . Чистый приведенный доход можно представить в виде n NPV(i) =  C(ts) (1 + i) -ts , (30) s1 где C(ts) – поток платежей в инвестиционном проекте, причем расходы инвестора будем считать отрицательными величинами, а доходы – положительными. Чистый приведенный доход характеризует общий абсолютный результат инвестиционной деятельности. Ставка процентов, по которой производится дисконтирование, называется ставкой сравнения. 41 Пример 1. Найти NPV при ставках сравнения i = 10% и i = 20% для следующего потока платежей: С = (-30; 25; 10), t = (0; 1; 2). Решение. NPV(i) = -30 + 25 / (1 + i) + 10 / (1 + i)2. NPV(10%) ≈ 1 > 0, NPV(20%) ≈ -2 < 0. Этот пример показывает, что величина чистого приведенного дохода зависит от процентной ставки приведения. Ставку приведения выбирают, исходя из среднерыночных или макроэкономических условий, т.е. уровня доходности который преобладает на рынке в момент анализа выгодности инвестиционного проекта. Для определения рыночных ставок доходности краткосрочных инвестиционных проектов ориентируются на соответствующие по срокам ставки банковского процента. Для среднесрочных и долгосрочных инвестиционных проектов ориентируются на показатели доходности по государственным ценным бумагам. Если производится анализ инвестиционного проекта в производство, строительство или торговлю, то используются среднеотраслевые показатели доходности аналогичных по классу предприятий. 7.2. Модель непрерывного потока платежей В коммерческой практике встречается случай, когда фирме приходится производить частые, но небольшие денежные расходы и поступления. Если баланс финансового потока подсчитывается также часто, то такие платежи при теоретическом финансовом анализе можно описать с помощью модели непрерывного потока платежей. Пусть на временном отрезке [0,T] расходы и доходы поступают с интенсивностью R(t) руб/год. На отрезке [t, t+t] величина потока платежей составит R(t) t руб. Приведенная величина этого потока на момент t = 0 на данном отрезке приблизительно равна R(t)v(t) t, -t где v(t)=(1+i) . Суммируя по всему отрезку [0,T] и переходя к пределу при t  0, получим: T n lim  r(t i )v(t i )Δt i   r(t)v(t)dt Δt 0 i1 Следовательно, чистый приведенный доход на отрезке [0,T] равен 42 T NPV [0; T] = 0 r ( t ) v ( t ) dt . Данная модель позволяет анализировать те этапы инвестиционного проекта, когда не было значительных вложений или поступлений. Пример 2. Рассмотрим инвестиционный проект, реализация которого потребует Т=12 лет и предполагает следующий дискретно-непрерывный поток платежей (десятки. тыс. долл.): С(0) = 5; С(1) =  10; С(12) = 6; r(t) = 3 при 3  t  12. Найти NPV данного проекта при ставках сравнения Решение. i = 10 % и 15 %. 12 10 3 6 NPV(i)  5   dt   t 12 1 i ( 1  i ) ( 1  i ) 3 -5- NPV(10 %) = 1,44; 10 3 1 1 6  (  ) . 3 12 1  i ln(1  i) (1  i) (1  i) (1  i)12 NPV(15 %) = - 2,47. 7.3. Показатели эффективности инвестиций Методы, которыми осуществляют оценку эффективности инвестиционного процесса, основаны на приведении финансовых потоков инвестиций к одному моменту времени, следовательно, важным моментом является выбор ставки сравнения, по которой производится приведение (дисконтирование). Какую ставку принять в данной ситуации - дело макроэкономического анализа и прогноза. В общем случае для решения таких задач применим и стохастический анализ и экономико-математическое моделирование. Для выбора вариантов инвестиционного проекта (ИП) применяемые методики чаще всего основаны на использовании четырех показателей: 1) Чистая современная стоимость (NPV); 2) Период (срок) окупаемости; 3) Внутренняя норма доходности; 4) Индекс рентабельности (рентабельность). Каким образом вычисляется первый показатель, мы уже рассмотрели в предыдущем пункте. Отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора данного варианта ИП. Среди вариантов с NPV  0 выбирают тот, у которого NPV больше. Однако этот лучший с точки зрения NPV проект надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, учитывая, что риск в этом случае меньше. Рассмотрим пример, для которого последовательно вычислим все показатели эффективности ИП. 43 Пример 3. (основной). Даны два варианта ИП А и Б, которые характеризуются следующими потоками платежей (все показатели отнесены на конец года) (Рис. 8): СА = (-100; -150; 50; 150; 200; 200), СБ = (-200; -50; 50; 100; 100; 200). -100 1 -150 2 50 3 -200 -50 50 150 4 100 200 5 200 6 100 200 Рис. 8 Первый показатель у каждого потока отнесен к первому году, следующий ко второму и т.д. Тогда чистая современная стоимость n NPV(i) = –ts  C(ts) (1 + i) = -100 / (1+i) – 150 / (1+i)2 + 50 / (1+i)3 + s1 +150 / (1+i) 4 + 200 / (1+i) 5 + 200 / (1+i) 6. При ставке сравнения i = 10% получим для потока СА: NPVА = 162,2; Аналогично вычисляется NPV(i) для потока СБ : NPVБ = 57,7. Следующий показатель - срок окупаемости (nок). Это срок, за который можно возвратить инвестированные в проект деньги. Рассмотрим определение срока окупаемости без учета фактора времени. В этом случае nок находим последовательным суммированием доходов и подсчетом времени до тех пор, пока сумма дохода не окажется равной сумме инвестиций. Пример 4. Сравним по сроку окупаемости nок два варианта ИП из основного примера. Для варианта А суммируем годовые доходы: 50 + 150 + 200x = 250, x = 0,25 года. Отсюда, для варианта А имеем nок = 2 + 0,25 = 2,25 года. Аналогично для варианта Б находим: 50 + 100 + 100 = 250, следовательно, nок = 3 года. С финансовых позиций более обоснованными являются методы расчета срока окупаемости, учитывающие фактор времени. Рассмотрим простейший из них. Более сложные методы см., например, в [1]. Представим данный метод в виде алгоритма. 1. Находим величину инвестиций К, приведенную к моменту их завершения; 2. Вычисляем сумму последовательных членов чистых доходов Рm приведенных на момент завершения инвестиций до тех пор, пока, 44 m Pm  K  Pm 1 , где Pm  k Rk v , v k  k .  1 i k 1 Тогда m - целое число лет, составляющих срок окупаемости nt. m+1 Доля года рассчитывается по формуле (К- Рm)/Rm+1V . 3. Окончательно имеем nt = m + (К- Рm)/Rm+1V m+1 . Оценим nt для основного примера. Здесь t = 2 - момент завершения инвестиций, ставка сравнения i = 10 %. Вариант А: сумма инвестиций, приведенная на момент их завершения КА = 100(1+0,1) +150 = 260. Далее, Р2 = 169,4; Р3 = 319,7 т.е. Р2  КА  Р3. Следовательно, m = 2 годам, тогда A nt  2 260169,4 30,6  2  2,6 года. 150,4 2001,13 Аналогично для варианта В: КВ = 200(1+0,1) +50 = 270, Р3 = 203,2; Р4 = 339,8 т.е. Р3  КВ  Р4, тогда m = 3 годам и окончательно: n Bt  3  270  203,2 4 2001,1  3,5 года. Основной недостаток срока окупаемости в том, что он не учитывает доходы после момента полного возмещения вложенных средств. Особенно нагляден этот недостаток в случае, когда отдачи от вложений капитала неравные. Поэтому срок окупаемости не должен служить критерием выбора инвестиционного проекта, а использоваться в виде ограничения при принятии решения о данном инвестиционном проекте. Внутренняя норма доходности. Найдем такую ставку процента iB, при которой становятся равными дисконтированная стоимость потоков расходов и дисконтированная стоимость потока доходов. Проведем финансовый анализ для инвестора, т.е. будем считать его расходы отрицательными, поступления положительными. Если обозначить члены финансового потока через RS (RS  0 - расходы, RS  0 - доходы), то ставка процента iB определится из уравнения (см. формулу (30)): n f(i) = NPV(i) =  R(ts) (1 + i) s0 -ts = 0. (31) 45 Если уравнение NPV(i) = 0 имеет единственный положительный корень iB, то его называют ставкой доходности или внутренней нормой доходности (internal rate of return = iRR) инвестиционного проекта. Эта норма доходности представляет собой максимальную ставку процента, под которую инвестор мог бы взять кредит для финансирования ИП, а доходы, поступающие от реализации проекта, использовались бы для погашения суммы кредитов и процентов. Пусть кредит получен по ставке i, тогда при i = iB положение инвестора не изменится при принятии такого проекта (бесприбыльный проект). Если i > iB , то такой ИП нужно отвергнуть. При i < iB проект можно принять, выбрав из всех вариантов проект с наибольшим значением iB. Таким образом, экономическая задача свелась к решению математической задачи отыскания корней уравнения NPV(i)=0. Здесь уместно сделать следующее замечание относительно существования и единственности положительного корня уравнения (31). В [2] сформулирована теорема, утверждающая, что если последовательность (R(1), R(2),…, R(n )), где R(k)= R1 + R2 +…+ Rk - сумма накопленных платежей до момента tk, причем, R0 0 и R(n)  0, имеет ровно одну перемену знака, то уравнение (31) имеет единственный положительный корень. На практике вначале проверяют выполнения условия теоремы, и если оно выполнено, то с помощью компьютера находят корень уравнения (31). Однако этот корень можно вычислить с помощью линейной интерполяции. Именно, если f(a) и f(b) имеют разные знаки, например, f(a)  0, f(b)  0, то приближенное значение корня можно вычислить по формуле iB  a  f(a) (b  a) . f(b)  f(a) (32) Пример 5. Определим внутреннюю норму доходности для потоков платежей основного примера. Решение. Проверим условие теоремы для потока А. Rk= (-200, -350, -300, -150, 50, 250), т.е. последовательность {Rk} имеет ровно одну перемену знака. Следовательно, уравнение fA(i) = - 100 (1 + i)-1 - 150 (1 + i)-2 + 50(1 + i)-3 + 150 (1 + i)-4 + +200 (1 + i)-5 + 200 (1 + i)-6 = 0. имеет единственный положительный корень iB. Решая это уравнение относительно i (например, с помощью математического компьютерного пакета Mathcad или методом линейной интерполяции), получим: iB,А = 31,2%. Решение с помощью программы Mathcad выглядит так: 46 y ( x)  100 ( 1  x) 1  150 ( 1  x) 2  50 ( 1  x) 3  150 ( 1  x) 4  200 ( 1  x) 5  200 ( 1  x) 6 x  0. 1 root ( y ( x)  0  x)  0.312 Аналогично для потока потока платежей Б: Rk = (-200, -350, -300, -200, -100, 100), т.е. последовательность { Rk } также имеет ровно одну перемену знака. Следовательно, уравнение имеет единственный положительный корень iB. fБ(i) = - 200 (1 + i)-1 - 50 (1 + i)-2 + 50(1 + i)-3 + 100 (1 + i)-4 + +100 (1 + i)-5 + + 200 (1 + i)-6 = 0. Решая данное уравнение, получим iB,Б = 17,1%. Данное значение внутренней нормы доходности значительно меньше, чем предыдущее. Это объясняется другим распределением во времени потока платежей, особенно доходов. Пример 6. Пусть некоторому ИП соответствует следующий поток платежей: Rk = (-5, 1, -3, 8, 4) при tk = (0, 1, 2, 3, 4). Найдем внутреннюю норму доходности iB. Решение. В этом примере воспользуемся формулой (32). Вначале проверим условие теоремы. Rk= (-5, -4, -7, 1, 5), т.е. последовательность {Rk} имеет ровно одну перемену знака. Следовательно, уравнение f(i) = -5 + (1+i)-1 –3(1+i)-2 + 8 (1+i)-3 + 4(1+i)-4 = 0 имеет единственный положительный корень iB. Составляя таблицу значений f(i) от 0,20 до 0,25 с шагом 0,01, заметим, что f(0,22)  0, f(0,23)  0 т.е. iB(0,22; 0,23). Используя формулу линейной интерполяции (32) с шагом 0,01, получим: iB = 0,22  f(0,22) (0,23  0.,22)  0,2211. f(0,23)  f(0,22) Следовательно, внутренняя норма доходности данного ИП iB = 22.11 %. Замечание. Если поток платежей такой, что уравнение (31) имеет несколько положительных корней, то простейший выход из этой ситуации – выбрать в качестве iB наименьший корень. 47 Последний из рассматриваемых показателей эффективности – индекс рентабельности (рентабельность) r ИП, который представляет собой отношение суммы всех дисконтированных денежных доходов от инвестиций к сумме всех дисконтированных инвестиционных расходов:  Pk v r j n k s  Rsv s 1 , где Pk - показатели чистого дохода в момент времени tk, Rk - размеры инвестиционных затрат, s=1, 2, 3, … n1; j = 1, 2, … n2, где n1 – продолжительность процесса инвестиций, n2 – продолжительность периода отдачи от инвестиций. Если r  1, то проект должен быть отклонен. Среди проектов, у которых r  1, следует отдать предпочтение проекту с наибольшим индексом рентабельности. Заметим, что не всегда проект с наибольшим r будет иметь и самую большую NPV. Пример 7. Вычислим рентабельность для ИП из основного примера (ставка процента i = 10 %). Имеем: 50 1,13  150 1,14  200 1,15  200 1,16 rA   1,595 , 100  150 1,11 3 4 5 6 501.1 1001.1  100 1.1  200 1.1 rB   1.144. 1 200 501.1 В заключение сделаем некоторые замечания о методике выбора ИП на основе рассмотренных четырех показателей эффективности. Если для фирмы важен, например, период окупаемости, тогда сначала на его основе отвергают неприемлемые варианты. Если же этот показатель для фирмы не очень важен, то его не применяют вообще. Как было показано выше, все показатели эффективности строятся на основе дисконтирования инвестиционного потока, поэтому результаты сравнения зависят от выбора важнейшего параметра анализа – принятой ставки сравнения. Действительно, если в последнем примере ставка сравнения была бы равна 20 %, то rA= 1,105, rB = 0,763. Это объясняет тот факт, почему многие фирмы применяют не один, а два и более показателей эффективности. Наибольшей популярностью у инвесторов пользуется внутренняя норма доходности, которая считается основным критерием, а остальные – дополнительными. 48 В странах с развитой рыночной экономикой большинство крупных фирм в качестве пары «основной - дополнительный критерий» используют чаще всего пару «iB- NPV» и «NPV - iB». Если при выборе ИП с помощью выбранной пары возникают заметные расхождения, то привлекают третий показатель, или проводят более глубокий финансовый анализ (см. [ 6 ]). Для окончательного решения привлекаются и дополнительные критерии, связанные, например, с экологией и безопасностью персонала. 7.4. Учет инфляции в инвестиционных проектах Рассмотрим случай, когда все платежи за период [0,T] инвестиционного проекта подвержены одинаковой инфляции с прогнозируемым темпом инфляции h за базовую единицу времени (например, за год). В этом случае все платежи индексируются с учетом h, так что прогнозные оценки значений компонент дискретного потока платежей Ch(t0), Ch(t1), …, Ch(tn), принимают вид t Ch(ts) = (1 + h) s C(ts). Поэтому в силу формулы (30) приведенная на момент t0 = 0 стоимость потока платежей при ставке процента i составит n C (t ) n h s -ts  NPVh(i) = (33) t s =  Ch(ts) (1 + j) , s  0 (1  i ) s0 где j = i h 1 h - ставка процента с учетом инфляции, причем при h ≥ i инвестиции не имеют смысла. Формулу (33) можно записать в виде NPVh(i) = NPVh(j) (34) Обозначим внутреннюю норму доходности для NPVh(i) через iB,h, а для NPVh(j) - через iB. Тогда, в силу формулы j = iВ,h  h 1 h i h , получим 1 h = iB. Отсюда iB,h = iB (1 + h) + h, где iB,h - внутренняя норма доходности инвестиционного проекта с учетом инфляции. 49 Задачи 7.1. Инвестор вкладывает 10 денежных единиц (д.е.) в момент t = 0, затем 4 д.е. через 2 года и получает 20 д.е. через 5 лет. Найдите NPV, iB для этого проекта, если i = 10%. 7.2. ИП характеризуется следующим потоком платежей: R = (-80, 10, 10, 20, 40, 30, 50), t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Определите PV доходов, срок окупаемости nок (без учета фактора времени), если i = 10%. 7.3. Для финансового потока R = (-90, 10, 20, 30, 30, 40, 50), t = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) определите NPV (10%). 7.4. Фирме предоставляется возможность инвестировать 1000$ за доход в 500, 1000 и 200$ в конце первого, второго и третьего года соответственно в рамках проекта, срок которого три года. Фирма может кредитовать и заимствовать под 5 % годовых. Выгоден ли такой проект фирме с точки зрения NPV, если i = 10%? 7.5. Вычислите индекс рентабельности двух ИП А и Б, каждый из которых требует единовременных затрат в размере 500 д.е. и 800 д.е. соответственно. Доходы ожидаются в конце года для проекта А в размере 715 д.е., для проекта Б – 1100 д.е. Ставка дисконта 10%. 7.6. Найдите NPVA и NPVB для инвестиционных проектов из предыдущей задачи. 7.7. Для основного примера вычислить iB., если i = 10% 50 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 Приложение 1 Коэффициенты наращения ренты s(n;i) i 1% 1,0000 2,0100 3,0301 4,0604 5,1010 6,1520 7,2135 8,2857 9,3685 10,462 11,567 12,683 13,809 14,947 16,097 17,258 18,430 19,615 20,811 22,019 23,239 24,472 25,716 26,973 28,243 29,526 30,821 32,129 33,450 34,785 48,886 64,463 81,670 100,68 121,67 2% 1,0000 2,0200 3,0604 4,1216 5,2040 6,3081 7,4343 8,5830 9,7546 10,950 12,169 13,412 14,680 15,974 17,293 18,639 20,012 21,412 22,841 24,297 25,783 27,299 28,845 30,422 32,030 33,671 35,344 37,051 38,792 40,568 60,402 84,579 114,05 149,98 193,77 3% 1,0000 2,03000 3,0909 4,1836 5,3091 6,4684 7,6625 8,8923 10,159 11,464 12,808 14,192 15,618 17,086 18,599 20,157 21,762 23,414 25,117 26,870 28,676 30,537 32,453 34,426 36,459 38,553 40,710 42,931 45,219 47,575 75,401 112,80 163,05 230,59 321,36 4% 1,0000 2,0400 3,1216 4,2465 5,4163 6,6330 7,8983 9,2142 10,583 12,006 13,486 15,026 16,627 18,292 20,024 21,825 23,698 25,645 27,671 29,778 31,969 34,248 36,618 39,083 41,646 44,312 47,084 49,968 52,966 56,085 95,026 152,67 237,99 364,29 551,24 5% 1,0000 2,0500 3,1525 4,3101 5,5256 6,8019 8,1420 9,5491 11,027 12,578 14,207 15,917 17,713 19,599 21,579 23,657 25,840 28,132 30,539 33,066 35,719 38,505 41,430 44,502 47,727 51,113 54,669 58,403 62,323 66,439 120,80 209,35 353,58 588,53 971,23 6% 7% 1,0000 1,0000 2,0600 2,0700 3,1836 3,2149 4,3746 4,4399 5,6371 5,7507 6,9753 7,1533 8,3938 8,6540 9,8975 10,260 11,491 11,978 13,181 13,816 14,972 15,784 16,870 17,888 18,882 20,141 21,015 22,550 23,276 25,129 25,672 27,888 28,213 30,840 30,906 33,999 33,760 37,379 36,786 40,995 39,993 44,865 43,392 49,006 46,996 53,436 50,816 58,177 54,865 63,249 59,156 68,676 63,706 74,484 68,528 80,698 73,640 87,347 79,058 94,461 154,76 199,64 290,34 406,53 533,13 813,52 967,93 1614,1 1746,6 3189,1 8% 1,0000 2,0800 3,2464 4,5061 5,8666 7,3359 8,9228 10,637 12,488 14,487 16,645 18,977 21,495 24,215 27,152 30,324 33,750 37,450 41,446 45,762 50,423 55,457 60,893 66,765 73,106 79,954 87,351 95,339 103,97 113,28 259,06 573,77 1253,2 2720,1 5886,9 Продолжение таблицы приложения 1 51 Приложение 2 Коэффициенты дисконтирования ренты a(n;i) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 n 1 2 3 4 5 6 i 9% 10% 12% 15% 1,0000 2,0900 3,2781 4,5731 5,9847 7,5233 9,2004 11,028 13,021 15,193 17,560 20,141 22,953 26,019 29,361 33,003 36,974 41,301 46,018 51,160 56,765 62,873 69,532 76,790 84,701 93,324 102,72 112,97 124,14 136,31 337,88 815,08 1944,8 4619,2 10951 1,0000 2,1000 3,3100 4,6410 6,1051 7,7156 9,4872 11,436 13,579 15,937 18,531 21,384 24,523 27,975 31,772 35,950 40,545 45,559 51,159 57,275 64,002 71,403 79,543 88,497 98,347 109,18 121,10 134,21 148,63 164,49 442,59 1163,9 3034,8 7887,5 20474 1,0000 2,1200 3,3744 4,7793 6,3528 8,1152 10,089 12,300 14,776 17,549 20,655 24,133 28,029 32,393 37,280 42,753 48,884 55,750 63,440 72,052 81,699 92,503 104,60 118,16 133,33 150,33 169,37 190,70 214,58 241,33 767,09 2400,0 7471,6 23223 72146 1,0000 2,1500 3,4725 4,9934 6,7424 8,7537 11,067 13,727 16,786 20,304 24,349 29,002 34,352 40,505 47,580 55,717 65,075 75,836 88,212 102,45 118,81 137,63 159,28 184,17 212,79 245,71 283,57 327,10 377,17 434,75 1779,1 7217,7 29220 1,2·105 4,8·105 20% 1,0000 2,2000 3,6400 5,3680 7,4416 9,9299 12,916 16,499 20,799 25,959 32,150 39,581 48,497 59,196 72,035 87,442 105,93 128,12 154,74 186,69 225,03 271,03 326,24 392,48 471,98 567,38 681,85 819,22 984,07 1181,9 7343,9 45497 2,8.105 1,7•106 1,1•10 7 24% 1,0000 2,2400 3,7776 5,6842 8,0484 10,980 14,615 19,123 24,712 31,643 40,238 50,895 64,110 80,496 100,82 126,01 157,25 195,99 244,03 303,60 377,46 469,06 582,63 723,46 898,09 1114,7 1383,1 1716,1 2129,0 2640,9 22729 2,0•105 1,7•106 1,4 •10 7 1,2•10 8 28% 32% 1,0000 1,0000 2,2800 2,3200 3,9184 4,0624 6,0156 6,3624 8,6999 9,3983 12,136 13,406 16,534 18,696 22,163 25,678 29,369 34,895 38,593 47,062 50,398 63,122 65,510 84,320 84,853 112,30 109,61 149,24 141,30 198,00 181,87 262,36 233,79 347,31 300,25 459,45 385,32 607,47 494,21 802,86 633,59 1060,8 812,00 1401,2 1040,4 1850,6 1332,7 2443,8 1706,8 3226,8 2185,7 4260,4 2798,7 5624,8 3583,3 7425,7 4587,7 9802,9 5873,2 12941 69377 2,1•105 8,2•10 5 3,3•106 9,7•10 6 5,4•107 1,1•108 8,6•108 1,4•109 1,4•1010 i 1% 0,9901 1,9704 2,9410 3,9020 4,8534 5,7955 2% 0,9804 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135 5,6014 3% 0,9709 1,9135 2,8286 3,7171 4,5797 5,4172 4% 0,9615 1,8861 2,7751 3,6299 4,4518 5,2421 5% 0,9524 1,8594 2,7232 3,5460 4,3295 5,0757 6% 0,9434 1,8334 2,6730 3,4651 4,2124 4,9173 7% 0,9346 1,8080 2,6243 3,3872 4,1002 4,7665 8% 0,9259 1,7833 2,5771 3,3121 3,9927 4,6229 52 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 6,7282 7,6517 8,5660 9,4713 10,3676 11,2551 12,1337 13,0037 13,8651 14,7179 15,5623 16,3983 17,2260 18,0456 18,8570 19,6604 20,4558 21,2434 22,0232 22,7952 23,5596 24,3164 25,0658 25,8077 32,8347 39,1961 44,9550 50,1685 6,4720 7,3255 8,1622 8,9826 9,7868 10,5753 11,3484 12,1062 12,8493 13,5777 14,2919 14,9920 15,6785 16,3514 17,0112 17,6580 18,2922 18,9139 19,5235 20,1210 20,7069 21,2813 21,8444 22,3965 27,3555 31,4236 34,7609 37,4986 6,2303 7,0197 7,7861 8,5302 9,2526 9,9540 10,6350 11,2961 11,9379 12,5611 13,1661 13,7535 14,3238 14,8775 15,4150 15,9369 16,4436 16,9355 17,4131 17,8768 18,3270 18,7641 19,1885 19,6004 23,1148 25,7298 27,6756 29,1234 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109 8,7605 9,3851 9,9856 10,5631 11,1184 11,6523 12,1657 12,6593 13,1339 13,5903 14,0292 14,4511 14,8568 15,2470 15,6221 15,9828 16,3296 16,6631 16,9837 17,2920 19,7928 21,4822 22,6235 23,3945 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217 8,3064 8,8633 9,3936 9,8986 10,3797 10,8378 11,2741 11,6896 12,0853 12,4622 12,8212 13,1630 13,4886 13,7986 14,0939 14,3752 14,6430 14,8981 15,1411 15,3725 17,1591 18,2559 18,9293 19,3427 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601 7,8869 8,3838 8,8527 9,2950 9,7122 10,1059 10,4773 10,8276 11,1581 11,4699 11,7641 12,0416 12,3034 12,5504 12,7834 13,0032 13,2105 13,4062 13,5907 13,7648 15,0463 15,7619 16.1614 16,3845 5,3893 5,9713 6,5152 7,0236 7,4987 7,9427 8,3577 8,7455 9,1079 9,4466 9,7632 10,0591 10,3356 10,5940 10,8355 11,0612 11,2722 11,4693 11,6536 11,8258 11,9867 12,1371 12,2777 12,4090 13,3317 13,8007 14,0392 14,1604 5,2064 5,7466 6,2469 6,7101 7,1390 7,5361 7,9038 8,2442 8,5595 8,8514 9,1216 9,3719 9,6036 9,8181 10,0168 10,2007 10,3711 10,5288 10,6748 10,8100 10,9352 11,0511 11,1584 11,2578 11,9246 12,2335 12,3766 12,4428 Окончание таблицы приложения 2 53 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 i 9% 10% 0,9174 0,9091 1,7591 1,7355 2,5313 2,4869 3,2397 3,1699 3,8897 3,7908 4,4859 4,3553 5,0330 4,8684 5,5348 5,3349 5,9952, 5,7590 6,4177 6,1446 6,8052 6,4951 7,1607 6,8137 7,4865 7,1034 7,7862 7,3667 8,0607 7,6061 8,3126 7,8237 8,5436 8,0216 8,7556 8,2014 8,9501 8,3649 9,1285 8,5136 9,2922 8,6487 9,4424 8,7715 9,5802 8,8832 9,7066 8,9847 9,8226 9,0770 9,9290 9,1609 10,0266 9,2372 10,1161 9,3066 10,1983 9,3696 10,2737 9,4269 10,7574 9,7791 10,9617 9,9148 11,0480 9,9672 11,0844 9,9873 12% 0,8929 1,6901 2,4018 3,0373 3,6048 4,1114 4,5638 4,9676 5,3282 5,6502 5,9377 6,1944 6,4235 6,6282 6,8109 6,9740 7,1196 7,2497 7,3658 7,4694 7,5620 7,6446 7,7184 7,7843 7,8431 7,8957 7,9426 7,9844 8,0218 8,0552 8.2438 8,3045 8,3240 8,3303 15% 0,8696 1,6257 2,2832 2,8550 3,3522 3,7845 4,1604 4,4873 4,7716 5,0188 5,2337 5,4206 5,5831 5,7245 3.8474 5,9542 6,0472 6,1280 6.1982 6,2593 6,3125 6,3587 6,3988 6,4338 6,4641 6,4906 6,5135 6,5335 6,5509 6,5660 6,6418 6,6605 6,6651 6,6663 20% 0,8333 1.5278 2,1065 2,5887 2,9906 3,3255 3,6046 3,8372 4,6310 4,1925 4,3271 4,4392 4,5327 4,6106 4,6755 4,7296 4,7746 4,8122 4,8435 4,8696 4,8913 4,9094 4,9245 4,9371 4,9476 4,9563 4,9636 4,9697 4,9747 4,9789 4,9966 4,9995 4,9999 5,0000 24% 0,8065 1,4568 1,9813 2,4043 2,7454 3,0205 3,2423 3,4212 3,5655 3,6819 3,7757 3,8514 3,9124 3,9616 4,0013 4,0333 4,0591 4,0799 4,0967 4,1103 4,1212 4,1300 4,1371 4,1428 4,1474 4,1511 4,1542 4,1566 4,1585 4,1601 4,1659 4,1666 4,1667 4.1667 Контрольное задание Решить задачи: по главе 1: по главе 2: по главе 3: по главе 4: по главе 5: 1.5; 1.6; 1.9 2.3; 2.4; 2.5 3.4; 3.6; 4.6; 4.9; 4.11; 4.12 5.3; 5.4; 5.7 28% 0,7813 1,3916 1 8684 2,2410 2,5320 2,7594 2,9370 3,0758 3,1842 3,2689 3,3351 3,3868 3,4272 3,4587 3,4834 3,5026 3,5177 3,5294 3,5386 3,5458 3,5514 3,5558 3,5592 3,5614 3,5640 3,5656 3,5669 3,5679 3,5687 3,5693 3,5712 3,5714 3,5714 3,5714 32% 0,7576 1,3315 1,7663 2,0937 2,3452 2,5342 2,6775 2,7860 2,8681 2,9304 2,9776 3,0133 3.0404 3,0609 3,0764 3,0882 3,0971 3,1039 3,1090 3,1129 3,1158 3,1180 3,1197 3,1210 3,1220 3,1227 3,1233 3,12:37 3,1240 3,1242 3,1250 3,1250 3,1250 3,1250 54 по главе 6: по главе 7: 6.1; 6.2; 7.3; 7.5; 7.6. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело ЛТД, 1995. 320с. 2. Четыркин Е.М. Финансовая математика.. М.: Дело ЛТД, 2004. 3. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. 247с. 4. Мелкумов Я.С., Румянцев В.Н. Финансовые вычисления в коммерческих сделках. М.: Интел - Синтез, 1994. 5. Бухвалов А.В., Идельсон А.В. Самоучитель по финансовым расчетам. М.: Мир, Пресс-сервис, 1997. 176с. 6. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.: "Издательство ПРИОР", 1998. 144с. 7. Грошев Л.Н. Финансовая математика. М.: Издательство МЭИ, 2002 - 40с. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ……………………………………………………………….. 3 Темы для подготовки к экзамену…………………………………. ……... 4 1. Простые проценты ………………………………………………………. 5 1.1 Определение простых процентов 5 1.2 Простой дисконт 7 1.3 Дисконтирование 8 Задачи ……………………………………………………………………. 9 2. Сложные проценты……………………………………………………... 10 2.1 Определение сложных процентов …………………………………… 10 2.2 Номинальная процентная ставка ……………………………………. 12 2.3 Эффективная процентная ставка ……………………………………. 12 2.4 Непрерывное начисление процентов ………………………………… 13 2.5 Дисконтирование по сложной процентной ставке .………………... 14 55 2.6 Учет векселей по сложной учетной ставке…………………………... 14 2.7 Эквивалентность процентных ставок ……………………………... 15 Задачи ……………………………………………………………………. 16 3. Учет инфляции …………………………………………………………. 16 Задачи ……………………………………………………………………. 19 4. Финансовые ренты ……………………………………………………… 20 4.1 Обычная годовая рента ……………………………………………... 20 4.2 Приведенная рента ………………………………………………….. 22 4.3 Отложенная рента …………………………………………………... 24 4.4 Годовая рента при начислении процентов m раз в году ……... 25 4.5 р - срочная рента 26 …………………………………………………. 4.6 Вечная рента ………………………………………………………….. 26 4.7 Рента с периодом больше года ………………………………………. 27 4.8 (m, p) – рента ………………………………………………………….. 28 4.9 Объединение и замена рент ………………………………………….. 28 4.10 Деление ренты ……………………………………………………….. 29 4.11 Погашение долга единовременным платежом …………………. 30 4.12 Погашение долга несколькими платежами ………………………. 31 Задачи ……………………………………………………………………. 32 5. Уравнение эквивалентности. Консолидация и замена платежей …... 33 5.1 Современная стоимость денег……………………. ………………….. 33 5.2 Замена платежей ………………………………………………………. 34 5.3 Консолидация (объединение) платежей ……………………………. 36 Задачи ………………………………………………………………….. 37 6 Операции с финансовыми контрактами………………………………. 39 6.1 Примеры финансовых операций с продажей контрактов …………… 39 6.2 Выбор оптимального контракта для покупателя …………………….. 40 6.3 Доходность контракта для кредитора ………………………………… 42 6.4 Портфель векселей (эффект продажи) ……………………………….. 44 Задачи …………………………………………………………………. 45 56 7 Анализ эффективности инвестиционных процессов …………………. 46 7.1 Модель дискретного потока платежей ……………………………….. 46 7.2 Модель непрерывного потока платежей ……………………………. 47 7.3 Показатели эффективности инвестиций ……………………………… 48 7.4 Учет инфляции в инвестиционных проектах ………………………… 54 Задачи …………………………………………………………………….. 55 Приложение 1……………………………………………………………….. 56 Приложение 2 ………………………………………………………………. 58 Ответы ………………………………………………………………………. 60 Контрольные вопросы ……………………………………………………. 61 Библиографический список 61 …………………………………………….