Вычисления по простым процентам

Раздел 2. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ 2.1. Расчеты при начислении простых процентов Начисление простых процентов может происходить дискретно в зависимости от условий договора раз в год, полугодие, квартал или месяц. Иногда проценты начисляют и за более короткий срок. Пусть задана исходная стоимость денег . Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим через . Число процентных периодов, т.е. периодов начисления процентов - . Ставку процентов за период- . Тогда простые обычные проценты за один процентный период начисляются следующим образом: Следовательно, в конце первого процентного периода сумма денег составит . В конце второго процентного периода сумма увеличится еще на и составит: . В конце третьего - и т.д. Наконец, в конце n-го процентного периода наращенная сумма составит: . Таким образом, процесс наращения суммы денег за счет начисления простых процентов моделируется как арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Следовательно, наращенная сумма денег за счет начисления простых процентов за процентных периодов времени имеет вид: (2.1) Формулой (2.1) можно воспользоваться, например, для исчисления суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты; размера срочного вклада с процентами и пр. Множитель называется множителем наращения простых процентов. Он показывает, во сколько раз увеличилась сумма вклада (или долга) к концу срока финансовой операции. Сумма начисленных процентных денег может быть определена по формуле: . Разность называется дисконтом. Пример. Вклад 100 000 рублей размещен в сберегательный банк на 3 года под обычные простые проценты 4,5 % годовых. Определите наращенную сумму вклада. Решение: Найдем наращенную сумму вклада по формуле (2.1): Наращение суммы вклада (процентные деньги) составит 13500 рублей. В рассмотренном примере срок финансовой операции составляет 3 года. Однако, как правило, к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд, срок которых менее года (n<1). Рассмотрим более общий случай, когда n не является целым числом. Отметим, что при использовании формулы (2.1) размерности n и ί должны быть согласованы. Если n измеряется в годах, то ί – ставка годовых процентов (показывает рост за год). В случае если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет, периоды начисления процентов n выражают дробным числом, как отношение продолжительности финансовой сделки в днях к количеству дней в году (или отношение продолжительности финансовой сделки в месяцах к числу месяцев в году). Обозначим срок операции (time), В качестве временной базы выберем продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и .Обозначим ее (year-год). Подставим отношение вместо в формулу (2.1), получим формулу (2.2) (2.2) Иногда при расчете простых процентов предполагают, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом. Проценты, рассчитанные по временной базе Y=360 дней, называются обыкновенными или коммерческими процентами (ordinary interest). При использовании действительной продолжительности года (365 или 366 дней) получают точные проценты (exact interest). Число дней финансовой операции также можно измерить приближенно и точно. В первом случае ее продолжительность определяется из условия, согласно которому месяц принимается равным 30 дням. Точное число дней финансовой операции определяется путем подсчета числа дней между датой ее начала и датой ее окончания по календарю. Первый и последний день финансовой операции считается за один день. На практике для подсчета ее продолжительности можно пользоваться табл. 1 и 2 (приложение 1). В таблицах приведены порядковые номера дней в году (для обычного и високосного годов соответственно). Срок проведения финансовой операции рассчитывается как разность между порядковыми номерами даты ее окончания и даты начала. Таким образом, на практике применяют три варианта расчетов: 1) Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант дает самые точные результаты. Он обозначается 365/365.Он применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например в Великобритании. 2) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker’s Rule), распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции. Он обозначается как 365/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. 3) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360. Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется. Пример. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20 января до 5 октября включительно под 18 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока? Найти решение тремя способами. Определим точное число дней ссуды. Дате 20 января соответствует № 20 (таблица 1 приложения 1). Дате 5 октября - № 278. Таким образом, точное число дней ссуды составит 258 дней (278 – 20). Определим приближенное число дней ссуды. При этом продолжительность каждого месяца принимается за 30 дней. Количество полных месяцев срока ссуды равно 8 (с 20 января по 20 сентября). Срок от 20 сентября по 5 октября составляет 15 дней: (30-20)+5. Приближенное число дней ссуды рассчитывается таким образом: 8·30+15=240+15=255 дней. Определим величину долга в конце срока тремя методами: 1.Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365): = 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360) 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) 2.2 Переменные процентные ставки В условиях динамично меняющегося состояния финансового рынка при заключении финансового соглашения может быть установлена не только постоянная на весь период финансовой сделки, но и переменная, изменяющаяся во времени процентная ставка. Предположим, что в течение периода времени установлена ставка простых процентов , тогда приращение капитала за этот период составит . Если в течение периода времени действует ставка простых процентов , то начисленные за этот период проценты составят . Пусть число периодов начисления процентов - . Тогда при установлении переменной, т.е. дискретно изменяющейся во времени процентной ставки, наращенная сумма определяется по формуле: , (2.3) где — ставка простых процентов в периоде , где ; Пример. Банк предлагает вкладчикам следующие условия по срочному годовому депозиту: первое полугодие процентная ставка 12% годовых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 2,5%. Проценты начисляются только на первоначально внесенную сумму вклада. Определите наращенную за год сумму, если вкладчик поместил в банк на этих условиях 400,0 тыс. руб. Решение: 2.3. Реинвестирование Если по прошествии некоторого периода зафиксированная к данному моменту наращенная сумма инвестируется вновь, то такая операция называется реинвестированием (повторным инвестированием) или капитализацией полученных на каждом этапе наращения средств. В этом случае проценты начисляют на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение. Предположим, что в течение периода времени установлена ставка простых процентов , тогда к концу этого периода наращенная сумма составит . Затем эта сумма будет помещена наследующий срок под простых процентов. К концу периода наращенная сумма будет равна величине и т.д. Таким образом, итоговая наращенная сумма определится по формуле: (2.4.) где — продолжительность периодов наращения; - процентные ставки, по которым производится реинвестирование. Пример. Клиент поместил в банк 500,0 тыс. руб. Какова будет наращенная за 3 месяца сумма вклада, если за первый месяц начисляются проценты в размере 10% годовых, а каждый последующий месяц процентная ставка возрастает на 5% с одновременной капитализацией процентного дохода? Решение: 2.4. Математическое дисконтирование по простым процентам В финансовой практике часто приходится решать задачу, обратную вычислению наращенной суммы, которая может быть сформулирована таким образом: определить сумму , которую необходимо инвестировать в данный момент времени, с тем, чтобы через некоторый определенный период получить при установленной ставке процента требуемую наращенную сумму . Для решения этой задачи применяется операция дисконтирования. Дисконтирование позволяет по известным наращенной сумме, процентной ставке и сроке финансовой операции определить современную стоимость этой наращенной суммы. Другими словами дисконтирование позволяет определить, какую первоначальную сумму надо дать в долг, чтобы получить в конце срока сумму при условии, что на долг начисляются проценты по ставке . В зависимости от вида процентной ставки применяются два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае при расчете применяют обычные (декурсивные), а во втором – авансовые проценты. Рассмотрим, как производится математическое дисконтирование. Выразив из формулы (2.1) , получим формулу математического дисконтирования: , (2.5) Здесь - современная стоимость наращенной (будущей) суммы денег ; - срок проведения финансовой операции (число процентных периодов); - процентная ставка. Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в его окончательной сумме . Пример. Заемщик должен возвратить кредит единовременным платежом с процентами за период 2 года. Проценты по кредиту составили 12% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему равен дисконт, если сумма к возврату составляет 1 500 000 рублей? Решение: FV=1500 000 рублей; n=2 года; i= 0,12 , . В случае если срок финансовой операции задан в днях или в месяцах, из формулы (2.2) получим формулу математического дисконтирования для <1: , (2.6) где - длительность финансовой операции в днях (в месяцах); - число дней (месяцев в году). Пример. Какую сумму инвестор должен внести сегодня под 16% годовых, чтобы через 180 дней после подписания договора накопить 310 тыс. руб. при условии, что начисляются простые точные проценты. Решение: FV=310 000 рублей; t=180 дней; i=0,16; Y=365 дней. 2.5. Банковское дисконтирование (учет) по простым процентам При начислении авансовых (антисипативных) процентов доход, получаемый кредитором, начисляется в начале периода финансовой операции относительно конечной суммы долга и выплачивается в момент предоставления кредита. Операция предварительного начисления процентов называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Банковский, или коммерческий учет используется при операциях с векселями и другими краткосрочными обязательствами. Суть этой операции заключается в том, что банк или другие финансовые учреждения до наступления срока платежа по векселю покупает его у владельца (векселедержателя) и берет весь риск по получению денег на себя. При этом цена, по которой банк покупает вексель, должна быть меньше той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока (т.е. цены, выплачиваемой по векселю вместе с причитающейся ему частью дисконта). Получив при поступлении срока деньги по векселю, банк, таким образом, реализует дисконт. Прежний владелец векселя с помощью учета векселя получает деньги ранее указанного в нем срока. То есть в определенном выигрыше оказываются обе стороны сделки. При банковском учете проценты за пользованием ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды. Применительно к учету векселя, это означает, что проценты начисляются на сумму, которую должен выплатить должник в конце срока векселя. Ставка, по которой в этом случае начисляются проценты, отличается от декурсивной ставки процентов . Она называется учетной или дисконтной ставкой и обозначается . Напомним, что по определению учетная ставка находится как отношение: ∙ В соответствии с этим размер дисконта, удерживаемого банком, будет равен Расчет суммы, получаемой владельцем при учете векселя в банке, производится по формуле: Таким образом, формула банковского или коммерческого учета имеет вид: (2.7) Здесь – банковский дисконтный множитель. В случае если срок финансовой операции задан в днях или в месяцах, , (2.8) где - срок вексельного кредита в днях (в месяцах); - число дней (месяцев в году). Обычно при вексельных расчетах принимают дней. Очевидно, что операция учета векселя имеет смысл только в том случае, если , что равносильно неравенству . При учете векселя задолго до срока платежа по нему и при высоком уровне учетной ставки дисконт может стать настолько большим, что сумма, которую должен получить владелец векселя становится равной 0 (при ) или даже становится отрицательной (при >). Понятно, что в этих случаях операция учета векселя лишена смысла. Пример. Вексель выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17 ноября. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября по учетной ставке 20%. Определите полученную при учете сумму (без уплаты комиссионных) и дисконт. Решение: FV=1000 000 рублей; d=0,2. Определим срок, до погашения векселя t: 17ноября - №321; 23 сентября - № 266. Следовательно t=266-321=55дней; Дисконтирование по учетной ставке обычно производится по временной базе, равной 360 дням, следовательно, Y=360дней. Таким образом, сумма, которую получил векселедержатель: Дисконт банка составил 30556 рублей (1000000- 969444). Простая учетная ставка может быть использована при расчете суммы, которую получит владелец векселя при его погашении в момент наступления срока платежа. Для этого следует использовать формулу определения наращенной суммы: (2.9) Пример. Вексель, учтен в банке по учетной ставке 18% годовых за 150 дней до его погашения. При этом владелец векселя получил 925000 рублей. Определите номинал векселя. Примечание. Номинал – это сумма денег указанная на векселе, которую получит владелец векселя при его погашении в момент наступления срока платежа. Решение: PV=925 000 рублей; d=0,18; t=150 дней.