Принцип максимума Понтрягина

МФТИ МФТИ Методы обработки информации и принятия решений в системах управления Кварацхелия Нина Георгиевна Кандидат технических наук, доцент Тел: +7-916-392-68-20 Эл.почта: ngkvara@gmail.com Московский физико-технический институт МФТИ Программа курса, часть 2 • Методы принятия решений в системах управления • Оптимальное управление. Вариационные методы • Метод множителей Лагранжа • Метод Эйлера-Лагранжа • Принцип максимума Понтрягина • • • • 04.05.2021 Теорема разделения Линейный регулятор Игровые задачи управления Методы выбора (принятия решений) Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 2 МФТИ Принцип максимума Понтрягина Задача динамической оптимизации с нефиксированным концом U(t) F Х(t) 𝒙(𝒕) - параметры состояния объекта управления 𝒖(𝒕) - управление (управляющие воздействия) 𝑭 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 = 𝟎 – модель поведения системы 𝒙 𝒕𝟎 = 𝒙𝟎 – начальные условия 𝜽 𝒙∗, 𝒕∗ = 𝟎 – целевое (конечное) состояние системы Момент достижения цели 𝒕∗ не известен Критерий оптимизации 𝑱𝟏 = 𝒕∗ 𝝋 𝒕𝟎 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 𝒖* - оптимальное управление Необходимо найти (𝒙∗, 𝒕∗, 𝒖*) 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 3 МФТИ Принцип максимума Понтрягина Модель системы: 𝑭 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 = 𝟎 или 𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒖, 𝒕) Критерий оптимизации в форме Больца 𝑱 = 𝜽 𝒙, 𝒕 + 𝒕∗ 𝝋 𝒕𝟎 𝒙, 𝒙, 𝒖, 𝒕 𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 Гамильтониан: 𝑯 = 𝝋 + 𝝀𝑻𝒇 Уравнения Понтрягина: 𝝏𝑯 𝝏𝝀 𝝏𝑯 𝝏𝒙 𝝏𝑯 𝝏𝒖 =𝒙 𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒖, 𝒕) = -𝝀 𝝏𝝋 𝝏𝒙 𝝏𝝋 𝝏𝒖 + 𝝏𝒇 𝝀 𝝏𝒙 𝝏𝒇 𝝀 𝝏𝒖 = -𝝀 =𝟎 + =0 𝒙 𝒕𝟎 = 𝒙𝟎 – начальные условия 𝝀(𝒕∗) = 04.05.2021 𝝏𝜽 𝝏𝒙 t=t* - условия трансверсальности Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 4 МФТИ Линейный регулятор 𝒖 B 𝒙 1/S 𝒙 A Модель объекта: 𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 Начальные условия: 𝒙 𝒕𝟎 = 𝒙𝟎 Целевое состояние системы: 𝒙𝑻𝑺𝒙 → 𝒎𝒊𝒏 Критерий оптимальности: 𝒕 𝑱 = 𝒙𝑻𝑺𝒙 + 𝒕 ( 𝒙𝑻𝑸𝒙 + 𝒖𝑻𝑹𝒖)𝒅𝒕 → 𝒎𝒊𝒏 – минимизация ресурсов 𝟎 Найти оптимальное управление 𝒖* , конечное состояние 𝒙* и момент времени 𝒕∗ 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 5 МФТИ Линейный регулятор Гамильтониан: 𝑯 = 𝝋 + 𝝀𝑻𝒇 = 𝒙𝑻𝑸𝒙 + 𝒖𝑻𝑹𝒖 +𝝀𝑻(𝑨𝒙 + 𝑩𝒖) Уравнения Понтрягина: 𝝏𝑯 𝝏𝒙 𝝏𝑯 𝝏𝒖 =−𝝀 (𝑸𝑻 + 𝑸)𝒙 +𝑨𝑻𝝀 = − 𝝀 (1) =𝟎 𝑹𝑻 + 𝑹 𝒖 +𝑩𝑻𝝀 = 0 (2) Из уравнения (2) получаем: 𝒖 = − 𝑹𝑻 + 𝑹 -1𝑩𝑻𝝀 Из условия трансверсальности: ∗ 𝝀(𝒕 ) = 𝝏𝜽 𝝏𝒙 t=t* следует, что 𝝀(𝒕 ∗) = (𝑺𝑻 + 𝑺)𝒙(𝒕 ∗) 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 6 МФТИ Линейный регулятор Введем 𝝀 𝒕 = 𝑷(𝒕)𝒙(𝒕) Если 𝝀 = 𝑷𝒙 то 𝝀 = 𝑷𝒙 + 𝑷𝒙 Из уравнения Понтрягина (1) (𝑸𝑻 + 𝑸)𝒙 +𝑨𝑻𝝀 = − 𝝀 Получаем: − 𝑷𝒙 − 𝑷𝒙 = (𝑸𝑻 + 𝑸)𝒙 +𝑨𝑻𝑷𝒙 (3) Далее 𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 = 𝑨𝒙 − 𝑩 𝑹𝑻 + 𝑹 −1𝑩𝑻𝑷𝒙 (4) Подставим в (3) − 𝑷𝒙 − 𝑷𝑨𝒙 + 𝑷𝑩 𝑹𝑻 + 𝑹 −1𝑩𝑻𝑷𝒙 = (𝑸𝑻 + 𝑸)𝒙 +𝑨𝑻𝑷𝒙 Отсюда получаем уравнение Рикатти: 𝑷 =− 𝑷𝑨 − 𝑨𝑻𝑷 + 𝑷𝑩 𝑹𝑻 + 𝑹 −1𝑩𝑻𝑷 − (𝑸𝑻 + 𝑸) (5) Оптимальное управление: 𝒖 ∗= − 𝑹𝑻 + 𝑹 𝒖 ∗= −𝑲𝒙 04.05.2021 -1𝑩𝑻𝑷𝒙 = −𝑲𝒙 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 7 МФТИ Линейный регулятор 𝒖* 𝒙 B 1/S 𝒙 A -K ∗ 𝒖 = −𝑲𝒙 - оптимальное управление 𝑲 = 𝑹𝑻 + 𝑹 -1𝑩𝑻𝑷 – коэффициент усиления 𝑷 =− 𝑷𝑨 − 𝑨𝑻𝑷 + 𝑷𝑩 𝑹𝑻 + 𝑹 уравнение Рикатти 04.05.2021 −1𝑩𝑻𝑷 − (𝑸𝑻 + 𝑸) – Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 15. 8