Примеры расчета переходных процессов в RL-цепях первого порядка

68 Лекция 9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL -ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА План 1. Переходные процессы в RL-цепях первого порядка. 2. Примеры расчета переходных процессов в RL-цепях первого порядка. 3. Заключение. 1. Переходные процессы в RL-цепях первого порядка Рассмотрим разветвленную резистивную цепь, к внешним зажимам которой подключен индуктивный элемент (рис. 9.1, а). Примем, что начальный ток индуктивного элемента iL   I  . Представим резистивный двухполюсник эквивалентной схемой Нортона (рис. 9.1, б). а б Рис. 9.1 Параметры эквивалентного резистивного двухполюсника Gэ  1 Rвх . Уравнение по первому закону Кирхгофа для этой цепи: J э  I кз ,  J э  Gэu L  iL   . Учитывая, чтo u L  L diL , запишем уравнение состояния: dt R R diL   э iL  э J э . dt L L (9.1) 69 В данном случае переменной состояния является ток индуктивного элемента iL . Обозначим   L / Rэ , тогда уравнение (9.6) примет вид diL     iL  J э . dt   (9.2) Как и в случае RC-цепи, τ называют постоянной времени. Решение уравнения (9.2) можно представить в следующем виде: iL t   I   iуст e t /   iуст (9.2) В равенстве (9.2) первое слагаемое представляет свободную составляющую переходного тока iL (t ) , а второе – установившуюся, или принужденную, составляющую. Значение свободной составляющей определяется начальным и установившимся значениями тока индуктивного элемента, а также постоянной времени τ . Формулу (9.2) можно записать в ином виде iL  t   I 0e t    1 e t  i уст . (9.3) Первое слагаемое в выражении (9.3) является реакцией при нулевом входном сигнале (реакция при нулевом входе). Второе слагаемое представляет реакцию при нулевом начальном состоянии. Рассмотрим, как изменяются токи и напряжения в ветвях резистивной подсхемы. Считаем, что требуется определить закон изменения тока k-й ветви ik t  . В соответствии с принципом наложения его можно представить в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется независимыми источниками, действующими в резистивной подсхеме. Вторая составляющая определяется током индуктивного элемента iL t  . Если в цепи действуют только источники постоянных напряжений и токов, то первая составляющая – постоянная величина, не зависящая от времени. В соответствии с (9.2) первая составляющая зависит от тока индуктивного элемента в моменты t  0 и t   , а также от постоянной времени . Поэтому для определения закона изменения тока ik t  необходимо знать значения этого тока при t  0  , t   и постоянную времени . Как и в RCцепи, постоянная времени одинакова для всех переходных токов и напряжений. 70 Рассмотрим порядок расчета переходных процессов в RL-цепях первого порядка. Считаем, что в цепи действуют источники постоянных напряжений и токов. Переходный процесс вызван замыканием или размыканием идеального ключа в момент t  0 . 1. Анализируем цепь в момент, предшествующий коммутации (при t  0 ), и определяем ток индуктивного элемента iL 0 . 2. Заменяем индуктивный элемент источником тока iL 0 . Анализируя полученную схему замещения, определим начальные значения искомых напряжений или токов uk  , ik   . 3. Замыкаем накоротко зажимы, к которым подключен индуктивный элемент. Определяем установившиеся значения интересующих нас токов и напряжений iуст , uуст . 4. Определяем входное сопротивление резистивной цепи со стороны зажимов, к которым подключен индуктивный элемент. Рассчитываем постоянную времени цепи по формуле   L / Rэ или   LGэ . 5. Записываем решение в виде ik t   ik 0    iуст e t   ik уст . (9.4) 9.3. Примеры расчета переходных процессов в цепях первого порядка Рассмотрим примеры расчета переходных процессов в RL-цепях первого порядка. Считаем, что в цепи действуют источники постоянных напряжений и токов. Переходный процесс вызван замыканием или размыканием идеального ключа в момент t  0 . Пример 9.1. Рассчитать ток i1 в цепи на рис. 9.2 после замыкания ключа. R  R  R   Ом, L   Гн, E   В . Рис. 9.2 71 Решение. Поскольку сначала ключ был разомкнут, начальные условия в цепи нулевые: iL   , i     . Рассчитаем ток i в начальный момент после коммутации. Схема замещения, соответствующая моменту t  0  , показана на рис. 9.3, а. Поскольку начальные условия нулевые, индуктивный элемент заменен разрывом. Из схемы на рис. 9.3, а следует, что i     E    . A . R  R    а б Рис. 9.3 Определим установившееся значение тока i . Схема замещения, соответствующая моменту времени t   , показана на рис. 9.3, б. Установившееся значение тока i1уст  E 60   0.4 A . R2 R3 100  50 R1  R2  R3 Входное сопротивление цепи относительно зажимов, к которым подключен индуктивный элемент Rвх  R  R R      Ом . R  R Рассчитаем постоянную времени: L     . с . Rвх  Рис. 9.4 Таким образом, ток i изменяется по закону i t   .  e t  . . 72 Кривая тока i t  показана на рис. 9.4. Пример 9.2. Для быстрого гашения тока в обмотке возбуждения электрической машины ее отключают от источника и присоединяют без разрыва цепи к резистору с сопротивлением R (рис. 9.5). Рассчитать ток it  и напряжение на обмотке u t  . Индуктивность обмотки L  1Гн , R   Ом . Сопротивление резистора сопротивление R   Ом . Напряжение источника E   B . Рис. 9.5 Решение. Ток в обмотке до коммутации iL     I   E     A. R  По закону коммутации iL 0   iL 0   I 0 . Поскольку обмотка отключается от источника ЭДС, установившееся значение тока iLуст  iL    . Постоянная времени цепи L L      . с . Rвх R  R    Закон изменения тока в обмотке после отключения от источника: iL t   I  e t   e t . Напряжение на обмотке ut    R2 I 0 e t   60e 50t . 73 5. Заключение Расчет переходных процессов в цепях первого порядка выполняется в следующей последовательности. 1. Анализируем цепь в момент, предшествующий коммутации (т. е. при t  0  ), и определяем независимые начальные условия - напряжение uС  или ток iL 0 . 2. Анализируем цепь при t  0  и находим начальные значения искомых токов и напряжений. Индуктивный элемент при этом заменяем источником тока iL 0 , а емкостный – источником напряжения uС  . 3. Рассчитываем установившиеся значения искомых токов и напряжений, анализируя цепь в момент времени t   . Если в цепи действуют источники постоянного напряжения и тока, зажимы, к которым подключен емкостный элемент, размыкаем, а зажимы индуктивного элемента закорачиваем. 4. Определяем входное сопротивление резистивной цепи со стороны зажимов, к которым подключены индуктивный или емкостный элемент. Рассчитываем постоянную времени цепи по формуле   Rвх C (в случае RCцепи) или   L Rвх (для RL-цепи). 5. Решение записываем в виде   ik t   ik 0    ik уст e t   iуст .