Приложения финансовой математики для разработки плана погашения средне- и долгосрочных кредитов

Раздел 7. КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ 7.1. Планирование погашения задолженности Одним из практических приложений финансовой математики является разработка плана погашения средне- и долгосрочных кредитов. К среднесрочным, как правило, относят кредиты, выданные на срок от 2 до 5 лет. Кредиты, выданные на более длительный срок, являются долгосрочными. Расходы, связанные с погашением займа, должны включать как текущие выплаты процентов, так и средства, предназначенные для погашения суммы займа, или основного долга. В совокупности они называются расходами заемщика по обслуживанию долга или амортизацией займа. Существуют различные способы погашения задолженности. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности. Одним из важнейших элементов плана является определение количества выплат в течение года, т.е. определение числа так называемых срочных уплат и их величины. Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначение для погашения, как основного долга, так и текущих процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, может выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются только проценты за кредит, а сам долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом. Погашение кредита может также производиться в виде финансовой ренты, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т.п. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться и в льготном периоде. Рассмотрим некоторые методы разработки планов погашения кредитов. 7.2. Потребительский кредит. Погашение основного долга равными выплатами Потребительный кредит предоставляется для покупки предметов личного потребления. Существуют различные формы потребительского кредита, отличающиеся друг от друга методами и сроками его погашения. Так, например, кредит может быть предоставлен с отсрочкой платежа и последующим разовым погашением всей суммы. Другой метод предусматривает погашение платежа в рассрочку, частями. Если кредит, выданный потребителю, будет погашен равными выплатами, то наращенная сумма долга будет определяться по формуле: . Сумму разового погасительного платежа, если платеж осуществляется m раз в году, можно определить по формуле: . Пример. Холодильник ценой 8 тыс. руб. продается в кредит на два года под 10 % годовых. Погасительные платежи вносятся ежемесячно. Определить размер разового платежа. Решение: Сумма, подлежащая погашению за весь срок кредита: Разовый платеж: 7.3. Погашение потребительского кредита изменяющимися суммами - правило «78». При погашении кредита иногда возникает необходимость определить сумму, идущую на погашение основного долга, и суммы процентных платежей. Такая ситуация возможна, например, при досрочном погашении долга. Для решения этого вопроса можно воспользоваться правилом «78». Для того чтобы объяснить происхождение названия этого правила, рассмотрим следующий пример: Кредит предоставлен на 1 год с ежемесячным погашением. Сумма порядковых номеров месяцев года равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78. В соответствии с этим правилом уплата при первом платеже составит величину 12/78 общей начисляемой суммы процентов. А оставшуюся часть платежа пойдет на уплату основного долга. При втором платеже: на оплату процентов идет 11/78 общей суммы начисления процентов, а оставшаяся часть погашает основной долг и т.д. В общем случае знаменатель этих дробей можно определить по формуле:, где к – количество платежей в году. После определения знаменателя, составляют следующую последовательность дробей: Величина каждой из этих дробей, в сумме составляющих единицу, показывает какая часть общей начисляемой суммы процентов идет на уплату процентов. Оставшаяся часть платежа идет на погашение основного долга. Схема с убывающей величиной процентной платы соответствует логике ссудно-заемных операций. Поскольку с течением времени сумма основного долга снижается, то и сумма процентов, начисляемых на непогашенный остаток долга, должна снижаться. Эта схема страхует кредитора на случай досрочного погашения долга, если эта возможность предусмотрена кредитным договором. При досрочном погашении долга заемщик понесет определенный убыток, т.к. большая часть процентов он уже заплатил в начале срока кредитования. Пример. Кредит в сумме 15000 рублей выдан на 2 года под 20% годовых. Проценты простые. Погашение задолженности производится ежемесячными платежами. Составить план погашения задолженности. Решение: Наращенная сумма долга в конце периода составит Сумма начисленных процентов D = 21 000 – 15 000 = 6 000 рублей. Количество платежей в году - 12, следовательно, за весь рассматриваемый период количество платежей к = 12·2 = 24. Определим значение знаменателя Определим величину разового платежа: В соответствии с правилом «78» уплата при первом платеже составит величину 24/300 общей начисляемой суммы процентов (6 000 рублей). Оставшаяся часть платежа пойдет на уплату основного долга. При втором платеже на оплату процентов пойдет 23/300 общей суммы начисленных процентов, а оставшаяся часть будет направлена на погашен6ие основного долга и т.д. В соответствие с этим получим следующий план погашения долга: (руб.) Остаток основного долга на начало месяца Сумма погашения процентных платежей Сумма погашения основного долга 15000 24/300 480 395 14605 23/300 460 415 14190 22/300 440 435 13755 21/300 420 455 13300 20/300 400 475 12825 19/300 380 495 12330 18/300 360 515 11815 17/300 340 535 11280 16/300 320 555 10725 15/300 300 575 10150 14/300 280 595 9555 13/300 260 615 8940 12/300 240 635 8305 11/300 220 655 7650 10/300 200 675 6975 9/300 180 695 6280 8/300 160 715 5565 7/300 140 735 4830 6/300 120 755 4075 5/300 100 775 3300 4/300 80 795 2505 3/300 60 815 1690 2/300 40 835 855 1/300 20 855 Σ 1,000 6000 15000 7.4. Погашение займа одним платежом в конце срока Пусть заем выдан на лет под сложных годовых процентов. К концу -го года его наращенная величина составит . Если предполагается отдать заем одним платежом, то это и есть размер данного платежа. Пример. Заем величиной 20000 руб. был выдан на 8 лет под 10% годовых. Долг с процентами должен быть погашен одним платежом в конце срока займа. Определить размер этого платежа. Решение: Величина долга с процентами составит: 7.5. Погашение основного долга одним платежом в конце срока Расходы заемщика по обслуживанию долга состоят из основного долга, равного самому займу, и процентных денег – платы за пользование кредитом. Пусть заем выдан на лет под сложных годовых процентов. За первый год процентные деньги составят . Если их выплатить в конце года, то останется только долг в размере . Если выплачивать в конце каждого года наращенные за этот год процентные деньги , то сумма долга останется постоянной в течение всего срока ссуды. В конце - го последнего года выплаты составят величину + - процентные деньги за последний год и основной долг. Пример. Заем величиной 100000 руб. был выдан на 3 года под 15% годовых сложных процентов. Составить схему погашения основного долга, если в течение рассматриваемого срока выплачиваются процентные деньги , а в конце периода - процентные деньги и основной долг +. Решение: Определим процентные деньги за использование суммы в 100000 руб. в течение года: Составим схему погашения долга: конец 1 года- 15000 руб.; конец 2 года – 15000 руб.; конец 3 года – 15000+100000=115000 руб. 7.6. Погашение основного долга равными выплатами Пусть заем выдан на лет под сложных годовых процентов. При рассматриваемом способе выплаты долга в конце каждого года выплачивается -я доля основного долга, т.е. величина . В конце первого года, кроме того платятся проценты с суммы , которой пользовались в течение этого года, т. е. . Весь платеж в конце первого года равен: ; Основной долг при этом уменьшится на и составит . В конце 2-го года выплата составит и т.д. Пример. Заем величиной 5000 $ выдан на 5 лет под сложные проценты 10% годовых. Составим план погашение задолженности с условием, что основной долг гасится равными выплатами. Решение: Основной долг гасится равными выплатами: Процентные деньги за первый год составят 5000·0,1=500$. Таким образом, в конце первого года должник выплатит 1500$ (1000+500). На начало второго года основной долг уменьшится на 1000$ и составит 4000$. Следовательно, процентные деньги за второй год составят 4000·0,1=400$. Вместе с суммой, направленной на погашение основного долга, это составит 1400 $, и т. д. Таким образом, схема погашения долга следующая: 7.7. Погашение займа равными годовыми выплатами Пусть заем выдан на лет под сложных годовых процентов. При рассматриваемом способе его выплаты в конце каждого периода выплачивается одинаковая сумма . Выплаты можно рассматривать как годовую ренту длительностью лет с годовым платежом . Приравняем современную величину этой ренты величине займа. Тогда , где - коэффициент приведения ренты. Отсюда определим величину годового платежа: . Пример. Заем 5000 $ выдан на 5 лет под сложные проценты 10% годовых. Найдите величину годового платежа, если долг должен быть погашен равными годовыми выплатами. Решение: 7.8. Погашение займа равными выплатами несколько раз в год Пусть выплаты размером производятся раз в году в течение лет. Тогда количество выплат составит ·. На эти выплаты начисляют проценты раз в году по ставке . Выплаты образуют ренту. Ее наращенная величина может быть определена по формуле: Пусть - размер займа. Наращенная величина займа к концу срока составит: . Составим уравнение эквивалентности, приравняв приведенные к концу срока финансовой операции величины займа и ренты: = . Из этого равенства определим размер выплаты. ; Пример. Заем в 10000 $ выдан на 3 года под 12 сложных годовых процентов. Выплаты производятся а) ежеквартально (= 4) б) ежемесячно (=12) Найти величину разовой выплаты. Решение: а) б) . Пример. Заем в 500 000 руб. выданный на 5 лет под 10% сложных годовых, должен быть погашен ежеквартальными выплатами. Найти величину разовой выплаты. Решение: 7.9. Формирование погасительного фонда Долг может погашаться различными способами. Например, заемщик может создать специальный погасительный фонд и накапливать на нем средства, чтобы погасить долг с процентами одним платежом в конце срока. Очевидно, что это имеет смысл, если у заемщика есть возможность поместить деньги погасительного фонда под более высокие проценты, чем те, под которые он взял заем. Пусть заем размером взят в начале года на лет под ставку сложных процентов в год. Тогда к концу - го долг с процентами составит . Ежегодные платежи в погасительный фонд образуют ренту с годовым платежом и годовой ставкой сложных процентов. Тогда в фонде к концу - го года накопится сумма , из которой и будет погашен заем величиной . Величина разовых платежей может быть определена из равенства: = . Пример. Льготный кредит в 9000 $ взят под 4% годовых на 10 лет. Заемщик имеет возможность поместить валютные средства под 8% годовых. Он намерен образовать погасительный фонд, перечисляя определенную сумму денег в конце каждого года. Определить размер ежегодного платежа в погасительный фонд. Решение: Для того, чтобы погасить долг с процентами, необходимо к концу срока накопить в фонде следующую сумму: Для того, чтобы определить размер ежегодного платежа в накопительный фонд, составим следующее уравнение: Разрешив его относительно R, получим величину годового платежа: