Прикладная механика

МЧС РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ К.С. Иванов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Раздел I. Теоретическая механика Раздел II. Теория механизмов и машин Раздел III. Сопротивление материалов Курс лекций Санкт-Петербург - 2012 Раздел I. Теоретическая механика 1. Тема 1.1. Предмет теоретической механики. Элементы статики. Учебные вопросы: 1.Предмет и метод теоретической механики. 2. Предмет статики. Основные понятия статики. 3. Система сходящихся сил. Связи. Реакции связей. Под названием “механика” объединяется ряд наук, изучающих механическое движение и механическое взаимодействие твердых и деформируемых тел, а также жидких и газообразных сред. Механическое движение – один из видов движения материи, выражающееся в изменении с течением времени взаимных положений тел или их частей. Механическое взаимодействие – один из видов взаимодействия материи, вызывающий изменение механического движения тел или их частей, а также препятствующий изменению их взаимных положений. Теоретическая механика – изучает законы механического движения и механического взаимодействия, общие для любых тел. Общность законов, пригодность для любых тел и систем, достигается абстрагированием (отвлечением) от несущественных особенностей рассматриваемого тела и выделением наиболее важных особенностей. Именно по этому теоретическая механика является базовой наукой, на основе которой изучаются другие прикладные технические дисциплины. Методы теоретической механики. 1.Метод абстракций. 2. Метод логических рассуждений. 3. Метод математических вычислений. При изучении условий равновесия вполне допустимо пренебрегать малыми деформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между каждыми двумя точками которого всегда остается постоянным. Теоретическая механика состоит из трех разделов: Статика – изучает условия относительного равновесия механических систем. Для осуществления равновесия необходимо определенное соотношение сил, поэтому в статике изучаются общие свойства сил, правила замены сил другими силами, эквивалентными с точки зрения равновесия. Кинематика – изучает механическое движение без учета сил, вызывающих это движение или влияющих на него. Таким образом, устанавливаются некоторые количественные меры движения с чисто геометрической точки зрения. Динамика – изучает механическое движение в связи с действующими силами на объект движения. Таким образом, изучается связь между движением и действующими силами. Предмет статики. Основные понятия статики Сила – мера механического взаимодействия. Сила моделируется вектором, характеризуемым направлением, величиной (модулем) и точкой приложения. Кинематическое состояние тела – состояние покоя или движения с неизменными параметрами. Система сил – совокупность сил, приложенных к рассматриваемому объекту. Равнодействующая – сила, эквивалентная системе сил, т.е. не изменяющая кинематическое состояние. Эквивалентная система сил – заменяет данную систему сил без изменения кинематического состояния объекта. Взаимно уравновешенная система сил – под ее действием объект находится в равновесии. Сила. Система сил. Распределённая нагрузка Величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой. Рассматриваемые в механике величины можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их числовым значением, и векторные, т.е. такие, которые помимо числового значения характеризуются еще и направлением в пространстве. Сила — величина векторная. Ее действие на тело определяется: 1) числовым значением или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Длина этого отрезка выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, точка А является точкой приложения силы (силу можно изобразить и так, что точкой приложения будет конец силы). Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Распределённая нагрузка Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м). Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой. Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q. По модулю Приложена сила Q в середине отрезка АВ. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения. Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину AВС. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника АВС Аксиомы статики 1. Аксиома инерции – Под действием взаимно уравновешенной системы сил тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. 2. Аксиома двух сил – Если тело под действием двух сил находится в равновесии, то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Такие две силы представляют собой простейшую взаимно уравновешенную систему сил. 3. Аксиома присоединения – Если к заданной системе сил присоединить (или изъять) взаимно уравновешенную систему сил, то кинематическое состояние тела не изменится. Следствие из аксиомы присоединения – Кинематическое состояние тела не изменится, если силу перенести по линии ее действия. 4. Аксиома параллелограмма – Равнодействующая двух пересекающихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. 5. Аксиома действия и противодействия – Всякому действию соответствует равное и противоположное противодействие (III закон Ньютона). 6. Аксиома отвердевания – Равновесие деформируемого тела сохраняется при его затвердевании (обратное справедливо не всегда). • Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются в одной точке. План исследования любой системы сил соответствует последовательному решению трех вопросов : 1. Как упростить систему? 2. Каков простейший вид системы? 3. Каковы условия равновесия системы? 1 Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). Сложим первые две силы F1 и F2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R12 со следующей силой F3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил. Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. 2. Простейший вид системы – сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе – равнодействующей (силе, эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы. 3. Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой системы силы будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему достаточно приложить силу, равную полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является обращение равнодействующей в ноль. Это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника определенным образом, а именно, направление всех сил при обходе по контуру не изменяется по направлению: Связи и реакции связей Свободное тело – свобода перемещений тела не ограничивается никакими другими телами. Несвободное тело – его движение ограничено другими телами. Связь – тело, ограничивающее свободу перемещений объекта. Реакция связи – сила, действующая на объект со стороны связи. Принцип освобождаемости от связи – несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями. Виды связей и их реакции: Общее правило для связей любого вида: Если связь препятствует одному или нескольким перемещениям (максимальное число перемещений – три поступательных и три вращательных), то по направлению именно этих и только этих перемещений возникают соответствующие реакции (силы и моменты). 1. Нить, шарнирный стержень: Реакция нити (стержня) Направлена по нити (по стержню). 2. Абсолютно гладкая поверхность: Реакция гладкой поверхности направлена перпендикулярно общей касательной плоскости, проведенной к соприкасающимся поверхностям тела и связи. 3. Неподвижный цилиндрический шарнир: Реакция неподвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и имеет произвольное направление. Реакцию неподвижного шарнира можно разложить на две составляющие, например, Rx и Ry, параллельные координатным осям. 4. Подвижный цилиндрический шарнир: Реакция подвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания. 5. Неподвижный сферический шарнир: Реакция неподвижного сферического шарнира проходит через центр шарнира и имеет произвольное направление в пространстве. Реакцию неподвижного сферического шарнира можно разложить на три составляющие, например, Rx, Ry, Rz, параллельные координатным осям. 6. Жесткая плоская заделка: В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы Rx и Ry, а также реактивный момент (пара сил) MA . Задачи статики : • 1) преобразование систем сил, действующих на твердое тело, в системы им эквивалентные, в частности приведение данной системы сил к простейшему виду; • 2) определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело. Решать задачи статики можно или путем соответствующих геометрических построений (геометрический и графический методы), или с помощью численных расчетов (аналитический метод). В курсе будет главным образом применяться аналитический метод, однако следует иметь в виду, что наглядные геометрические построения играют при решении задач механики чрезвычайно важную роль. 2. Тема № 1.3. «Произвольная плоская система сил. Центр тяжести». Учебные вопросы: 1. Момент силы относительно точки. Пара сил. Теоремы о парах. 2. Метод Пуансо. Главный вектор и главный момент. 3. Уравнения равновесия. Три формы уравнений равновесия. Теорема Вариньона.. Плоская произвольная система сил – силы лежат в одной плоскости и их линии действия не пересекаются в одной точке. Для рассмотрения такой системы сил необходимо ввести новые понятия: 1. Момент силы относительно точки на плоскости. 2. Пара сил. Момент пары сил. 3. Момент силы относительно точки на плоскости – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на плечо, взятая со знаком + (плюс), если вращение плоскости под действием силы происходит против часовой стрелки, и со знаком – (минус) в противном случае. Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Пара сил – совокупность двух параллельных друг другу сил, равных по величине и направленных в противоположные стороны. Пара сил более не может быть упрощена (не может быть заменена одной силой) и представляет собой новую силовую характеристику механического взаимодействия. Момент пары сил на плоскости (теорема о моменте пары сил) – не зависит от выбора центра приведения (полюса) и равен произведению модуля любой из сил пары на плечо пары, взятым со знаком + (плюс), если вращение плоскости под действием пары сил происходит против часовой стрелки, и со знаком – (минус) в противном случае. Плечо пары сил – длина перпендикуляра, опущенного из любой точки на линии действия одной из сил пары на линию действия другой силы этой пары. В независимости момента пары от выбора полюса можно убедиться вычислением суммы моментов от каждой из сил относительно любого центра. Теоремы о парах: О переносе пары сил в плоскости ее действия – Пару сил можно перенести в любое место в плоскости ее действия. Кинематическое состояние тела не изменится. Об эквивалентности пар сил – Пару сил можно заменить другой парой сил, если их моменты алгебраически равны. Кинематическое состояние тела не изменится. О сложении пар сил на плоскости – Систему пар сил на плоскости можно заменить одной парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных пар. Кинематическое состояние тела не изменится. Условие равновесия системы пар сил - Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо) – силу можно перенести параллельно самой себе в любую точку плоскости, если добавить соответствующую пару сил, момент которой равен моменту этой силы относительно рассматриваемой точки. Добавим к системе в точке A две силы, равные по величине между собой и величине заданной силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны и параллельные заданной силе: Кинематическое состояние не изменилось (аксиома о присоединении). Исходная сила и одна из добавленных сил противоположно направленная образуют пару сил. Момент этой пары численно равен моменту исходной силы относительно центра приведения. Приведение плоской произвольной системы сил к заданному центру – выбираем произвольную точку на плоскости и каждую из сил переносим по методу Пуансо в эту точку. Вместо исходной произвольной системы получим сходящуюся систему сил и систему пар. Условием равновесия плоской произвольной системы сил является одновременное обращение главного вектора и главного момента системы в ноль: Уравнения равновесия (I форма) получаются в виде системы трех уравнений из условий равновесия с использованием выражений для проекций главного вектора: Существуют еще две формы уравнений Равновесия (II и III формы): Сходящаяся система сил приводится к одной силе, приложенной в центре приведения, которая ранее называлась равнодействующей, но теперь эта сила не заменяет исходную систему сил, поскольку после приведения возникла система пар. Система пар приводится к одной паре (теорема о сложении пар), момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных сил относительно центра приведения. В общем случае плоская произвольная система сил приводится к одной силе, называемой главным вектором и к паре с моментом, равным главному моменту всех сил системы относительно центра приведения: - главный вектор, - главный момент. Следует обратить внимание на то, что II и III формы уравнений равновесия имеют ограничения, связанные с выбором одной из осей, например, x, и точки С относительно положения точек A и B. Ограничения, накладываемые на выбор оси x (не перпендикулярно AB) и точки C (не лежит на AB), гарантируют, что ни одно из уравнений не обращается в тождество, при выполнении двух других уравнений. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей – Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно того же центра. Доказательство: Пусть система сил F1, F2, F3 … приводится к равнодействующей, приложенной в точке O. Такая система не находится в равновесии (R ≠ 0). Уравновесим эту систему силой R’, равной равнодействующей R, направленной по линии ее действия в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, система исходных сил F1, F2, F3 … и уравновешивающей силы R’ находится в равновесии и должна удовлетворять уравнениям равновесия, например: Поскольку сила R’, равна равнодействующей R и направлена по линии ее действия в противоположную сторону, то MA(R’) = - MA(R). Подстановка этого равенства в уравнение равновесия дает: или Примеры использования теоремы о моменте равнодействующей: 1. Определение момента силы относительно точки, когда сложно вычислять плечо силы. Например: Силу F разложим на составляющие F1 и F2. Тогда момент силы F относительно точки A можно вычислить как сумму моментов каждой из сил относительно этой точки: 2. Доказательство необходимости ограничений для II и III форм уравнений равновесия: Если то система приводится к равнодействующей, при этом она проходит через точку A, т.к. ее момент относительное этой точки должен быть равен нулю (теорема Вариньона). Если при этом то равнодействующая должна также проходить через точку B. Тогда проекция равнодействующей на ось, перпендикулярную AB, и момент равнодействующей относительно точки, лежащей на AB, будут тождественно равны нулю при любом значении равнодействующей. Сложение параллельных сил … Основной результат – две параллельные и направленные в одну сторону силы приводятся к одной силе – равнодействующей, приложенной в точке, делящей прямую на расстояния, обратно пропорциональные величинам сил. Последовательно складывая попарно параллельные силы приходим также к одной силе – равно действующей R: Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения силы (равнодействующей) по существу не определена. Если все силы повернуть на один и тот же угол и вновь провести сложение сил, то получаем другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий действия равнодействующих может рассматриваться, как точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил Центр параллельных сил –точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. Для аналитического определения положения центра параллельных сил применим теорему Вариньона: или . Каждую из сил представим с помощью единичного вектора e , параллельному линиям действия сил: и . Тогда предыдущее равенство примет вид : или после перестановки скалярных множителей в векторных произведениях Из равенства векторных произведений и идентичности второго сомножителя следует: , откуда Проекции полученного соотношения для радиуса-вектора центра параллельных сил на координатные оси дают аналитические формулы для определения координат центра параллельных сил: Центр тяжести – центр приложения равнодействующей сил тяготения (веса) материального тела. При определении положения центра тяжести тела используются гипотезы: 1. Линии действия сил тяготения, приложенные к отдельным частицам тела, параллельны (рассматриваемые тела имеют размеры много меньшие радиуса Земли и углом между линиями действия сил тяготения частиц тел можно пренебречь); 2. Ускорение свободного падения g = const (высота рассматриваемых тел много меньше радиуса Земли и изменением величины ускорения свободного падения по высоте тела можно пренебречь) 3. Рассматриваемые тела – однородные (нет включений материалов с другой плотностью) и сплошные (нет пустот). С учетом принятых гипотез при определении положения центра тяжести можно использовать формулы для определения положения центра параллельных сил: где G – силы тяжести элементарных объемов. 3. Тема 1.2. Кинематика точки 1. Основные понятия кинематики. 2. Способы задания движения точки. 3. Частные случаи движения точки. 1. Основные понятия кинематики. Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве и во времени независимо от тех причин (сил), которые обуславливают это движение. При таком узком подходе движение должно быть задано, а определяются лишь его пространственно-временные характеристики (путь, скорость, ускорение). В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи – механическое движение, т.е. происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом (выбор определяется целью исследования). Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной. При изучении движений на Земле за условно неподвижную систему отсчета обычно принимают систему осей, неизменно связанных с Землей. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство, и все измерения проводятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается метр, а за единицу времени – одна секунда. Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) – значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Считается, что движение точки по отношению к какой-либо системе отсчета задано, если известен способ, по которому можно определить ее положение в любой момент времени. Установление математических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Прежде, чем изучать движение тела, необходимо рассмотреть кинематику точки. Основные задачи кинематики точки • описание способов задания движения точки; • определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения). Скорость точки – это величина, которая характеризует как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Ускорение точки – это мера движения, которая характеризует как быстро и в каком направлении меняется скорость точки в пространстве. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИ ТОЧКИ 1. Векторный способ задания движения 2. Координатный способ задания движения 3. Естественный способ задания движения 1. Векторный способ Векторный способ задания движения точки состоит в том, что задается закон изменения радиус−вектора движущейся точки М как функции времени: Рис. 1 Положение точки М в пространстве относительно начальной точки О определяется радиусом – вектором: (см. рис. 1). Это равенство называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме. Определение скорости точки Пусть радиус−вектор, определяющий положение точки М в момент времени t; – радиус−вектор, определяющий положение точки М в момент времени t1 = t + Δt Тогда , где ∆ r- вектор перемещения точки за промежуток времени Δt. Средней скоростью перемещения точки называется вектор, равный отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt. Средняя скорость перемещения есть вектор, направленный по вектору перемещения. Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Следовательно, скорость точки в данный момент времени равна векторной производной от радиуса−вектора точки по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение ускорения точки Пусть - скорость точки в момент времени t - скорость точки в момент времени t1 = t + Δt ∆U- векторное приращение скорости точки за промежуток времени Δt. Средним ускорением точки называется вектор, равный отношению вектора приращения скорости точки к промежутку времени Δt. Среднее ускорение точки есть вектор того же направления, что и вектор приращения скорости. Ускорением в данный момент времени называется предельное значение среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Таким образом Ускорение точки есть вектор, равный первой производной вектора скорости по времени или второй производной от радиуса−вектора точки по времени. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории. 2. Координатный способ Требует предварительного выбора системы координат. Чаще всего используют декартову прямоугольную систему координат. Рис. 2 Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами x, y, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значение координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости Эти уравнения называются уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Уравнения являются параметрическими, в которых роль параметра играет время t. По ним легко определить уравнение траектории точки в декартовых координатах. Чтобы записать уравнение траектории в явном форме, надо исключить из них время. Как известно из математики, радиус−вектор выражается формулой: Где x (t), y (t), z (t) − проекции радиус−вектора на оси декартовой системы координат; Формула (1) выражает связь между координатным и векторным способами задания движения. Определение скорости точки По определению Так как Следовательно, Продифференцировав выражение, получаем: С другой стороны Следовательно, Проекции скорости точки на оси неподвижных декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Определение ускорения точки Из определения ускорения: Так как Следовательно, 3. Естественный способ Естественный способ задания движения точки применяется, когда траектория движения точки заранее известна. Траекторией может быть как прямая, так и кривая линия. Рис. 3 Движение точки определено, если известны следующие элементы: 1) траектория точки, 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета, 3) закон движения точки вдоль траектории в виде . Определение скорости точки Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1. Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt. Отношение пройденного пути Δs к промежутку времени Δt называется средней скоростью точки за время Δt. Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, то есть Следовательно, Алгебраическое значение скорости в данный момент времени равно производной от дуговой координаты по времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Определение ускорения точки Пусть Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на естественные оси. Эти оси направлены следующим образом Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Ось Мτ направлена по касательной к траектории в положительном направлении отсчета дуговой координаты. Ось Мn направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории. Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена так, чтобы она образовывала с ними правую тройку. Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция вектора ускорения на бинормаль равна нулю, то есть Таким образом где Эта составляющая характеризует изменение скорости по модулю. Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от дуговой координаты по времени. Эта составляющая характеризует изменение скорости по направлению Проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой. Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на касательной и нормальной составляющих. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю 3. Частные случаи движения точки. Равномерное движение точки Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости не изменяется во время движения, то есть Уравнение равномерного движения точки имеет вид: Равнопеременное движение точки Равнопеременным движением точки называется такое движение, при котором касательное ускорение является величиной постоянной, то есть Уравнение равнопеременного движения точки имеет вид: Если то равнопеременное движение называется равноускоренным. то равнопеременное движение называется равнозамедленным Если движение равномерное, то Следовательно, Если движение прямолинейное, то Следовательно, Следовательно 1.Движение равномерное и прямолинейное Следовательно 2.Движение переменное и прямолинейное. Приведен случай замедленного движения. 3. Движение равномерное и криволинейное. Следовательно, 4. Движение переменное и криволинейное. Следовательно, Пример По заданному уравнению движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны. При 1. Определим траекторию движения точки М. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1). В результате произведенных вычислений получаем: Траекторией движения является парабола. Начальное положение точки М: М0(0; 4). Положение точки М в момент времени t1: М1(–2; 0). 2. Определим скорость точки М. По определению 4. Тема 2.1. Кинематика точки Учебные вопросы 1. Основные понятия кинематики. 2. Способы задания движения точки. 3. Частные случаи движения точки. 5. Тема 2.2. Кинематика твёрдого тела Учебные вопросы. 1 Работа силы, приложенной к материальной точке. 2 Кинетическая энергия. 3 Динамика механической системы. Механическое движение в результате взаимодействия механических систем может переноситься с одной механической системы на другую: 1. без превращений в другую форму движения, т.е. в качестве того же механического движения, 2. с превращением в другую форму движения материи (потенциальную энергию, теплоту, электрическую энергию и т.д.) Каждый из этих случаев имеет свои измерители (меры) механического движения и механического взаимодействия, отстаиваемые в свое время Декартом и Лейбницем (см. таблицу): Мера механического движения Мера механического взаимодействия Декарт Количество движения Импульс силы Лейбниц Кинетическая энергия Работа силы Импульс силы является мерой действия силы при изменении механического движения. Работа является количественной мерой превращения механического движения в какую-либо другую форму движения материи. Работа силы, приложенной к материальной точке. Пусть точка приложения переменной по величине и направлению силы перемещается по некоторой произвольной траектории. На малом (элементарном) перемещении силу можно считать постоянной и элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения (касательную к траектории движения), умноженной на элементарное перемещение : Знак элементарной работы определяется величиной угла  и знаком cos : Поскольку часто более удобно работать с острыми углами, то в этом случае используют острый угол и знак присваивают по следующему простому правилу: если сила и перемещение совпадают по направлению, то присваивается знак +, если противоположны по направлению, то знак . Элементарная работа может быть записана в виде скалярного произведения: и в проекциях: Работа на конечном перемещении M M1 получается суммированием или интегрированием: Частные случаи: 1. Сила постоянная по величине (F = const) и направлению ( =const): 2. Сила постоянная по величине (F = const) и параллельна перемещению ( =0): 3. Сила перпендикулярна перемещению: Можно доказать следующие теоремы и утверждения: • 1.Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении: 2.Работа постоянной сил по величине и направлению на составном перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на каждом из составляющих перемещений: 3.Работа внутренних сил неизменяемой системы равна нулю: 4.Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению силы тяжести на разность высот 5. Работа линейной силы упругости (реакции пружины) при перемещении из состояния равновесия: Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Запишем выражение для элементарной работы силы, приложенной к точке, и выразим элементарное перемещение через угол поворота тела: • работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, выражается через момент силы относительно оси: Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, для конечного угла поворота: В частном случае постоянного значения момента силы относительно оси работа равна произведению момента силы на угол поворота: Мощность. Мощность – величина, характеризуемая количеством работы, произведенной в единицу времени: Мощность силы, приложенной к точке: Мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу: Кинетическая энергия. Кинетическая энергия характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого движения: Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении: Кинетическая энергия системы материальных точек: Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении: Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении: Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении: Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Изменение кинетической энергии точки равно работе сил, действующих на точку на том же перемещении: Запишем основной закон динамики точки: Выразим ускорение через скорость и умножимлевую и правую части соотношения скалярно на дифференциал радиуса-вектора : Проинтегрируем полученное соотношение: После подстановки пределов получаем: Теорема об изменении кинетической энергии системы. Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы: Запишем теорему об изменении кинетической энергии для произвольной точки системы, при этом выделим работу внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке: Просуммируем левые и правые части соотношений: В левой части получили разность кинетических энергий системы: Для неизменяемой системы: Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки – Снаряд массы m выбрасывается пружинным устройством из канала под углом  к горизонту. Длина нерастянутой пружины жесткостью c равна длине канала l0. Перед выстрелом пружина сжимается на величину d. Определить скорость снаряда при вылете из канала, а также максимальную высоту полета. Дано: , c, d, m, l0 Найти: v1, H Решение: 1. Выбираем объект - снаряд 2. Отбрасываем связи – ствол, пружину 3. Заменяем связи реакциями – N, R 4. Добавляем активные силы – G 5. Записываем теорему об изменении кинетической энергии для точки: Начальная скорость снаряда равна нулю: Работа сил, приложенных к объекту, равна: Работа нормальной реакции равна нулю (направление реакции перпендикулярно перемещению): Работа силы тяжести: Работа упругой реакции пружины (направление реакции совпадает с перемещением): Подставляем определенные величины в теорему: Отсюда величина скорости вылета снаряда: Определяем максимальную высоту полета (повторяем шаги 1-5): Вертикальная скорость снаряда в наивысшей точке траектории равна нулю : Горизонтальная скорость снаряда постоянная (из закона сохранения проекции на ось x количества движения точки) и равна: Работа силы тяжести: Подставляем определенные величины в теорему: После некоторых сокращений и преобразований: Отсюда максимальная высота полета: 6. Тема: 3.6 Аналитическая механика. Учебные вопросы 1.Обобщенные координаты. Уравнения связей. Принцип возможных перемещений. 2.Уравнение Лагранжа II рода. Кинетический потенциал. Связями принято называть ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Если на перемещения системы не наложено никаких ограничений или связей, она называется свободной системой. При наличии одной или нескольких связей она становится несвободной системой. Уравнения, которым из-за наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени), принято называть уравнениями связей. В общем случае уравнение связи имеет вид: (1.1) в котором 6п + 1 аргументов: - 3п координат точек P; - 3п проекций их скоростей и время t. Функция f предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Например, если материальная точка может перемещаться только в некоторой пло­скости, совпадающей с плоскостью Оху декартовой системы координат, то уравнением связи будет z=0. Предположим, точка перемещается по сфере, радиус которой изменяется во времени: R =f (t).Если центр сферы совпадает с началом координат, а х, у, z — координаты движущейся точки, то уравнение связи будет х2 + у2 + z2 - f(t) = 0 . Когда две материальные точки Р1 и Р2 соединены нерастяжимой нитью длиной l, уравнение связи имеет вид l2 - ( - )2 0 . Если материальная точка перемещается в пространстве, оставаясь внутри или на границе первого октанта системы координат, условия связи задают неравенствами: х В зависимости от вида функции (1) связи подразделяют на: 1) геометрические и дифференциальные; 2) голономные и неголономные; 3) стационарные и нестационарные; 4) удерживающие и неудерживающие. К геометрическим связям относят такие связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы (и, может быть, время). Дифференциальными связями считают связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат и первые производные от этих координат по времени (и, может быть, время). Примеры дифференциальных связей: связи конька при движении его по льду, связи колеса при качении его без скольжения по некоторой поверхности. Геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, называются голономными связями. Неголономными связями принято называть дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы. В качестве примера рассмотрим качение диска по наклонной плоскости без скольжения (рис. 1). Рис. 1 Положение диска определяется координатой хс центра С диска и углом поворота . При качении выполняется соотношение , или , где R — радиус диска. Следовательно, имеет место дифференциальная связь. Однако полученное уравнение можно проинтегрировать (), т. е. получить зависимость между координатами, определяющими положение диска. Таким образом, рассматриваемая связь — голономная. Механические системы по виду связей подразделяют на голономные с голономными связями и неголономные, на которые наложены неголономные связи. Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными связями, а в противном случае — нестационарными связями. Для точки, перемещающейся по сфере, связь нестационарная, в остальных примерах выше описаны стационарные связи. Кроме того, различают связи удерживающие, если налагаемые ими ограничения не зависят от положения системы, и неудерживающие связи, не обладающие таким свойством, в описании которых (см. уравнение (1.1)) имеется как знак равенства, так и знак неравенства. В двух первых примерах связи удерживающие. Механические системы с неудерживающими связями ниже не рассматриваются. Конструктивно связи осуществляют в виде поверхностей, стержней, нитей, шарниров, направляющих и др. 2. Принцип возможных перемещений. Возможные перемещения. В статике действие связей учитывают их реакциями. Однако вместо реакций можно рассматривать перемещения, допускаемые связями. Тогда и в уравнениях равновесия (движения) механической системы не будет неизвестных реакций связей. Когда материальная, точка Р под действием приложенных сил перемещается по поверхности, движущейся в системе координат Oxyz (рис. 2), поверхность, уравнение которой f(, t) = 0 или f(x,y,z,t) = 0 , (2.2) является для точки Р удерживающей, нестационарной и голономной связью. Рис. 2. Элементарное действительное d и возможные перемещения точки Р Предположим, что в момент времени t точка занимает положение Р(х, у, z), определяемое радиус-вектором , а за время dt точка вместе с поверхностью переместится в положение , при этом радиус-вектор изменится на d . Перемещение точки из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, выражаемое дифференциалом радиус-вектора точки, представляет собой элементарное перемещение точки: Вектор d , действительное перемещение точки, направлен по касательной к траектории точки, так как d = dt. Если в некоторый момент времени t сообщить точке воображаемое малое перемещение, допускаемое ее связями, то радиус-вектор точки Р получит малое приращение называемое изохронной вариацией радиус-вектора точки. Это название отражает то, что изменение радиус-вектора происходит изохронно t. Любое допускаемое наложенными связями элементарное перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в некоторый момент времени, выражаемое изохронной вариацией радиус-вектора этой точки, называется возможным или виртуальным перемещением точки: Проекции, или вариации, возможного перемещения формально вычисляются как дифференциалы функции (2.2) при постоянном значении времени t и, следовательно, должны удовлетворять уравнению (2.3) Производные df/дх, df/ду, df/dz — компоненты вектора grad f, и уравнение (2.3) можно представить в виде скалярного произведения векторов: (2.4) Градиент функции f — это вектор, направленный вдоль внешней нормали к поверхности (2) в рассматриваемой точке Р. (Градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой) Из уравнения (2.4) видно, что любой вектор возможного перемещения точки перпендикулярен к нормали к поверхности, по которой движется точка. Следовательно, в рассматриваемый момент времени векторы находятся в плоскости, касательной к этой поверхности в точке Р (рис. 3). Рис. 3. Возможные перемещения при стационарной связи Еще раз подчеркнем, что возможные перемещения точки представляют собой воображаемые малые перемещения, которые она могла бы совершать из данного положения без нарушения наложенных связей при отсутствии действующих на точку сил при остановленном времени. Отметим, что при стационарных связях вектор d точки будет одним из возможных д (см. рис. 3), а в случае нестационарной связи d не совпадает ни с одним из д (см. рис. 2). Возможное, или виртуальное, перемещение механической системы — это любая совокупность возможных перемещений точек данной системы, допускаемая всеми наложенными на нее связями. Возможные перемещения системы или твердого тела должны удовлетворять двум условиям: 1) быть малыми, чтобы конфигурация системы и ее положение в пространстве оставались неизменными; 2) связи, наложенные на систему, не должны нарушаться при ее возможных перемещениях. Например, возможное перемещение рычага АВ (рис. 4) — поворот его на элементарный угол относительно точки О. При таком повороте точки А и В перемещаются по дугам окружностей и . Эти перемещения с точностью до величины первого порядка малости можно заменить возможными перемещениями = АА' и = ВВ' в виде прямолинейных отрезков на касательных к траекториям точек Рис. 4. Возможное перемещение: рычага Возможным перемещением кривошипно-ползунного механизма ОАВ (рис. 5) будет перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно малый угол относительно оси О. Тогда возможное перемещение точки А кривошипа будет соответствовать отрезку касательной АА' к дуге окружности с центром в точке О: = АА' = ОА. Возможным перемещением ползуна В в этом случае является элементарный отрезок его прямолинейной траектории: = . Заметим, что перемещение кривошипно-ползунного механизма из положения, показанного на рисунке, в положение, когда = 0, нельзя рассматривать как возможное, так как при = 0 эффект наложенных связей будет другим, в частности изменяются условия равновесия механизма. Число степеней свободы механической системы. Любая механическая система может иметь множество возможных перемещений, среди которых можно выделить некоторое число перемещений, не зависящих одно от другого. Так, если для рычага АВ (см. рис. 4.) за независимое возможное перемещение принять вектор , то возможное перемещение точки С, например, можно выразить через следующим образом: Модули возможных перемещений точек рычага пропорциональны расстояниям от них до оси поворота. Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы. Число степеней свободы механической системы с геометрическими связями равно числу независимых координат, описывающих положение этой системы. Некоторые примеры. 1).Свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Независимыми являются три возможных перемещения точки вдоль трех координатных осей; положение точки определяется тремя независимыми координатами, например х, у, z. 2).Материальная точка при движении по поверхности обладает двумя степенями свободы. Ее положение на поверхности определяется двумя независимыми координатами. 3).Свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Оно может перемещаться вдоль координатных осей и поворачиваться относительно этих осей. 4).Механическая система из двух материальных точек, соединенных жестким стержнем, при движении в плоскости имеет три степени свободы. 5).Кривошипно-ползунный механизм, показанный на рис. 5, имеет одну степень свободы. Обобщенные координаты. Рассмотрим механическую систему из п материальных точек , на которые наложено l голономных связей . Положение этой системы в пространстве может быть задано 3п декартовыми координатами, которые к тому же должны удовлетворять l уравнениям связей. Следовательно, число независимых координат s = 3п — l. (2.5) Независимые между собой параметры, которые при наименьшем числе однозначно определяют положение механической системы, называются обобщенными координатами и обозначаются , В качестве обобщенных координат можно принять s из 3п декартовых координат или, что удобнее, s других независимых величин: расстояния, длину отрезков и дуг, углы, площади, объемы. Обобщенные координаты могут и не иметь геометрического смысла. Декартовы координаты точек механической системы можно выразить через обобщенные координаты и время: , j = 1, 2,..., n. (2.6) Функции (2.6) предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. При решении задач механики часто нет необходимости принимать во внимание уравнения голономных связей (1.1), если из условия задачи видно, как следует выбрать обобщенные координаты, необходимые и достаточные для определения возможных положений системы. Возможные перемещения, или вариации, , точек механической системы могут быть определены с использованием равенства (2.6) через вариации , обобщенных координат: j= 1, 2,..., n. (2.7) Отсюда следует, что для голономной системы число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы этой системы. Принцип возможных перемещений. Исследуем общие условия равновесия механической системы. Под равновесием понимается такое состояние механической системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в покое относительно рассматриваемой системы отсчета. Равновесие является частным случаем движения механической системы, когда скорости всех ее точек равны нулю. В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными удерживающими стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы суммарная элементарная работа всех действующих на нее активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю: (2.8) Это уравнение называется общим уравнением статики. Докажем необходимость условия (2.8). Когда система из п материальных точек находится в равновесии при действии активных сил и реакций идеальных удерживающих стационарных связей, для любой точки можно записать уравнение равновесия: . Определив работу заданных сил на возможном перемещении всех точек и просуммировав выражения почленно, найдем для всей системы: Равенство (2.8) в координатной форме: (2.9) Общее уравнение статики (2.8) в обобщенных координатах записывается в виде (2.10) где Q, — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ; s — число степеней свободы системы. В случае голономной системы число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы этой системы, вариации обобщенных координат в уравнении (2.10) не зависят одна от другой, и равенство (2.10) выполняется тогда и только тогда, когда множители при равны нулю. Следовательно, для равновесия системы с голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю: , i= 1, 2, ..., s. (2.11) Принцип возможных перемещений используют при изучении механических систем, находящихся в состоянии равновесия: из уравнений равновесия исключаются неизвестные реакции идеальных связей, причем нет необходимости рассматривать равновесие отдельных частей или тел системы. Если требуется определить силы трения и реакции связей, то их относят к активным силам. Число уравнений равновесия равно числу степеней свободы системы. 3. Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода). Предположим, что механическая система из п материальных точек имеет S степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор любой точки этой системы является функцией обобщенных координат и времени t: =(, t) Обобщенные координаты системы являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки определяется по правилу дифференцирования сложной функции: == (3.1) или = (3.2) Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями. Из выражения (3.1) следует, что частная производная от по какой-либо обобщенной скорости равна коэффициенту при в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате : (3.3) Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле: Т= (3.4) Из выражения (3.2) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных: Т= Т (3.5) Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (3.4) как сложную функцию: Преобразуем последнее выражение на основании равенства (3.3): Продифференцируем это выражение по времени: (3.6) Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (3.6), учитывая, что для несвободной материальной точки . 1. С помощью равенства, определяющего обобщенную силу, находим: == 2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение . Частная производная является функцией тех же переменных, от которых зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем как сложную функцию времени: = (3.7) Найдем частную производную , дифференцируя по выражение (1): = (3.8) Правые части выражений (3.7) и (3.8) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно, = Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (3.6): == Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (3.6) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых : , или (3.9) Систему S дифференциальных уравнений (3.9) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем S уравнений движения механической системы в обобщенных координатах: Раздел 2 Теория механизмов машин 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МЕХАНИЗМОВ. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ 4.1. Понятие анализа и синтеза механизмов Теория механизмов – это наука, изучающая строение, кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и синтезом. Анализ – исследование структурных, кинематических и динамических свойств механизмов. Синтез – проектирование механизмов с заданными структурными, кинематическими и динамическими свойствами для осуществления требуемых движений. Всякий механизм состоит из отдельных деталей: подвижных и неподвижных. Каждая подвижная деталь или группа деталей, образующая одну жесткую подвижную систему тел, носит название подвижного звена механизма. Все неподвижные детали образуют одну жесткую неподвижную систему тел, называемую неподвижным звеном или стойкой. То есть в любом механизме имеется одно неподвижное и одно или несколько подвижных звеньев. Соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение, называется кинематической парой. Система звеньев, связанных между собой кинематическими парами, называется кинематической цепью. 4. 2. Кинематические пары и кинематические цепи На относительное движение каждого звена кинематической пары накладываются ограничения, зависящие от способа соединения звеньев пары. Эти ограничения называются условиями связи. В общем случае всякое свободно движущееся в пространстве абсолютно твердое тело, положение которого определяется тремя произвольно выбранными точками A, B, C, обладает в пространстве шестью степенями свободы. В самом деле, положение твердого тела в пространстве фиксируется координатами трех его точек A, B, C (т.е. девятью координатами). Между собой эти координаты связаны тремя условиями постоянства расстояний: AB, BC, CA. (См. рис. 4.2.1). Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение твердого тела в пространстве, т.е. число его степеней свободы, равно шести. Движение такого тела может быть всегда представлено тремя вращениями вокруг осей x, y, z и тремя поступательными движениями вдоль тех же осей, т.е. шестью видами независимых возможных движений. Число условий связи S кинематической пары должно быть меньше шести, так как при S=6 звенья теряют относительную подвижность, и кинематическая пара переходит в жесткое соединение двух звеньев. Точно так же число условий связи не может быть меньше единицы, так как при =0 звенья не соприкасаются, то есть имеется два тела, движущиеся в пространстве одно независимо от другого. Итак, число условий связи S, наложенных на относительное движение каждого звена кинематической пары, находится в пределах: 1 ≤ S ≤ 5. Следовательно, число степеней свободы H звена кинематической пары в относительном движении может быть выражено зависимостью H = 6 – S. (1) Все кинематические пары делятся на классы (I, II, III, IV, V) в зависимости от числа условий связи. Класс кинематической пары может быть определен из зависимости (1): S = 6 – H. (2) Пример 1. Число степеней свободы звеньев данной кинематической пары H = 5. Действительно, движение шара вдоль оси z ограничено плоскостью, а в сторону, обратную плоскости, невозможно, так как нарушило бы соприкосновение звеньев. Таким образом, движение шара может быть представлено как вращение вокруг трех осей и движение вдоль двух осей: число простейших движений шара равно пяти. Следовательно, число степеней свободы звеньев данной кинематической цепи H=5. Тогда число условий связи равно S = 6 – H = 6 – 5=1. Поэтому пара, изображенная на рис. 2, относится к парам I класса (пятиподвижная пара). Для решения вопроса, к какому классу относится та или иная кинематическая пара, целесообразно использовать следующий метод. Одно из звеньев, входящих в кинематическую пару, представить неподвижным. Связать с ним систему координат Oxyz и, ориентируясь по ней, проследить, какие движения другого звена пары невозможны из шести движений, которые оно имело бы возможность совершать, не входя в пару. Число этих невозможных движений (как равное числу связей в паре) представит собой номер класса пары. Пример 2. Свяжем систему координат Oxyz с плоскостью. Рассмотрим цилиндр. Находясь в кинематической паре с плоскостью, он лишен возможности совершать поступательное движение вдоль оси Oz, а также вращательное движение вокруг оси Oy Таким образом, число условий связи равно двум. Поэтому данная кинематическая пара относится к парам II класса (четырехподвижная пара). Таким образом, существует следующее соответствие между классом кинематической пары и числом степеней свободы ее звеньев: Кинематическая пара I класса – пятиподвижная пара; кинематическая пара II класса – четырехподвижная пара; кинематическая пара III класса – трехподвижная пара; кинематическая пара IV класса – двухподвижная пара; кинематическая пара V класса – одноподвижная пара. Таблица. Условные обозначения кинематических пар Класс пары Число условий связи Число степеней свободы Название пары Рисунок Условное обозначение I 1 5 Шар-плоскость II 2 4 Шар-цилиндр III 3 3 Сферическая III 3 3 Плоскостная IV 4 2 Цилиндрическая IV 4 2 Сферическая с пальцем V 5 1 Поступательная V 5 1 Вращательная V 5 1 Винтовая Кинематические пары делятся на низшие и высшие. Кинематическая пара, которая может быть выполнена соприкосновением элементов ее звеньев по поверхности, называется низшей. (Пример низшей кинематической пары: два цилиндра, находящиеся в постоянном соприкосновении, из которых один вращается внутри другого). Кинематическая пара, которая может быть выполнена соприкосновением элементов ее звеньев только по линиям или точкам, называется высшей. (Пример высшей кинематической пары: см. рис. 4.2.2). 4.3. Структура механизмов Кинематической цепью называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами. Кинематические цепи делятся на простые (у которых каждое звено входит не более чем в две кинематические пары) и сложные (у которых хотя бы одно звено входит более чем в две кинематические пары). Цепи также бывают замкнутые (звенья образуют замкнутый контур) и незамкнутые (без контура). Механизм – это кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев относительно любого из них все остальные звенья совершают однозначно определяемые движения. Звено (звенья) механизма, которому сообщается движение, преобразуемое в требуемое движение других звеньев механизма, называется входным звеном (входными звеньями). Звено (звенья) механизма, совершающее требуемое движение, для которого предназначен механизм, называется выходным звеном (выходными звеньями). Для краткости используются термины «вход» и «выход». Остальные подвижные звенья называются соединительными или промежуточными. Ведущим называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, является положительной. Ведомым называется звено, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, является отрицательной или равна нулю. В плоском механизме все звенья движутся параллельно одной общей плоскости. Структурная формула кинематической цепи общего типа Если на движение звена в пространстве не наложено никаких условий связи, то оно обладает шестью степенями свободы. Тогда, если число звеньев кинематической цепи равно k, то общее число степеней свободы, которым обладают k звеньев до их соединения в кинематические пары, равно 6k. Соединение звеньев в кинематические пары накладывает различное число связей на относительное движение звеньев, зависящее от класса пар. Пусть число пар I класса, в которые входят звенья рассматриваемой цепи, равно p1, число пар II класса – p2, число пар III класса – p3, число пар IV класса – p4, число пар V класса – p5. Тогда из 6k степеней свободы, которыми обладали звенья до их вхождения в кинематические пары, необходимо исключить те степени свободы, которые отнимаются вхождением звеньев в кинематические пары. Следовательно, число степеней свободы H, которым обладает кинематическая цепь, равно: H=6k – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1. (3) Пояснение: одна пара V класса (одноподвижная) лишит кинематическую цепь пяти степеней свободы; p5 таких пар лишит данную кинематическую цепь 5p5 степеней свободы. Все пары IV класса отнимут у кинематической цепи 4p4 степеней свободы и т. д. Если одно из звеньев кинематической цепи неподвижно (является стойкой), то общее число степеней свободы цепи уменьшится на шесть, и число степеней свободы W относительно неподвижного звена будет равно W = H – 6. (4) Число W степеней свободы кинематической цепи относительно звена, принятого за неподвижное, называется числом степеней свободы кинематической цепи или, кратко, степенью свободы. Подставляя в формулу (4) вместо H его выражение из соотношения (3), получаем W = 6(k – 1) – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1 (5) Если в равенстве (5) обозначить величину k – 1 через n, то получим (6) где n – число подвижных звеньев кинематической цепи. Равенство (6) носит название формулы подвижности или структурной формулы кинематической цепи общего вида (формула Сомова-Малышева). Частным случаем этой формулы является структурная формула для плоских механизмов общего вида: W = 3n – 2p5 – p4. Примеры исследования кинематических цепей Пример 1. Рассмотрим пример на определение числа степеней свободы замкнутой кинематической цепи. (Рис. 4.3.1) Рис. 4.3.1. Четырехзвенный пространственный механизм (к примеру 1) Решение. Звенья 1 (стойка) и 2 входят в пару A (V класса), звенья 2 и 3 – в пару B (V класса), звенья 3 и 4 – в пару С (IV класса) и, наконец, звенья 4 и 1 (стойка) входят в пару D (III класса). Число подвижных звеньев: n=3; число пар V класса p5 равно двум; число пар IV класса p4 равно единице; число пар III класса p3 также равно единице. Подставляя числа звеньев и пар в формулу (6), получаем W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 =63 – 52 – 41 – 31 = 1, т. е. рассматриваемая кинематическая цепь обладает одной степенью свободы. Пример 2. Определить число степеней свободы незамкнутой кинематической цепи, показанной на рисунке 5. Рис. 4.3.2. Незамкнутая пространственная кинематическая цепь (к примеру 2) Решение. Звенья 1 (стойка) и 2 входят в пару A (III класса), звенья 2 и 3 – в пару B (IV класса), звенья 3 и 4 – в пару С (V класса). Число подвижных звеньев: n=3. Подставляя числа звеньев и пар в формулу (6), получаем W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 =63 – 51 – 41 – 31 = 6, т. е. рассматриваемая кинематическая цепь обладает шестью степенями свободы. 5. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ 7. 5. 1. Центроиды в абсолютном и относительном движениях Основной задачей кинематики механизмов является изучение движения звеньев механизмов вне зависимости от сил, действующих на эти звенья. Рис. 5.1.1. Схема четырехзвенного шарнирного механизма с построенными на ней центрами мгновенного вращения Из теоретической механики известно, что при плоскопараллельном движении твердого тела (звена механизма) это движение в каждый момент времени может быть представлено как вращение вокруг некоторой точки, называемой мгновенным центром вращения. В механизмах мы можем рассматривать движение звеньев относительно стойки и относительно любого из звеньев механизма. Если движение звена относительно стойки принять за абсолютное движение, то соответствующий мгновенный центр вращения будем называть мгновенным центром вращения в абсолютном движении рассматриваемого звена. Если же рассматривается движение звена относительно любого подвижного звена механизма, то соответствующий мгновенный центр вращения будем называть мгновенным центром вращения в относительном движении рассматриваемых звеньев. На рис. 5.1.1 изображена схема механизма шарнирного четырех-звенника. Мгновенные центры вращения звеньев 2 и 4 относительно стойки 1 совпадают соответственно с точками А и D. Обозначим эти центры соответственно через P21 и P41. Мгновенным центром вращения звена 3 относительно звена 2 является точка В, которую мы обозначим через Р32. Наконец, мгновенный центр вращения P43 звена 4 относительно звена 3 совпадает с точкой С. Чтобы найти мгновенный центр вращения звена 3 относительно стойки 1, следует продолжить линии ВА и CD, точка пересечения которых Р31 и оказывается центром мгновенного вращения звена 3 относительно стойки 1. Как известно из теоретической механики, мгновенный центр вращения располагается на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростей точек звена. В изображенном на рис. 1 механизме линии А В и DC как раз и являются перпендикулярами к векторам скоростей точек В и С. Мгновенные центры Р32, Р21 и Р31, имеющие индексы, представляющие собой сочетания из цифр 1,2, 3 по два, лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой лежат мгновенные центры Р43, Р41 и Р31, индексы которых представляют собой сочетания цифр 1, 3 и 4. Это следует из известной теоремы механики о сложении двух вращений вокруг параллельных осей. Результирующее вращение происходит вокруг оси, лежащей в их плоскости и параллельной первым двум. Этим свойством можно воспользоваться, например, для нахождения мгновенного центра вращения P42 в относительном движении звена 4 относительно звена 2. Мгновенный центр вращения Р42 должен одновременно лежать на прямой, соединяющей мгновенные центры Р32 и P43, и на прямой, соединяющей центры Р21 и P41, т.е. мгновенный центр вращения Р42 лежит на пересечении прямых СВ и DA. Это свойство мгновенных центров вращения в механизмах впервые было указано английским ученым Кеннеди. Установленное свойство мгновенных центров вращения позволяет определить все мгновенные центры вращения заданного механизма. Как известно из теоретической механики, геометрическое место мгновенных центров вращения образует так называемую центроиду. Рис. 5.1.2. Схема шарнирного антипараллелограмма с показанными на ней центроидами в относительном движении звеньев 2 и 4 На рис. 5.1.2 показан четырехзвенный шарнирный механизм антипараллелограмма, у которого противоположные звенья попарно равны. Пусть требуется построить центроиду в движении звена 2 относительно звена 4. Останавливаем звено 4 (условно принимаем его за стойку). Мгновенный центр вращения Р24 находится в пересечении прямых АВ и CD. Поворачиваем звено А В на полный оборот. Геометрическое место точек Р24 образует центроиду Ц24, которая для данного механизма является эллипсом с фокусами в точках А и D. Так как за стойку мы приняли звено 4, то центроида Ц24 принадлежит этому звену и может быть с ним жестко соединена. Если требуется построить центроиду в движении звена 4 относительно звена 2, то надо условно принять за стойку звено 2 и построить все положения мгновенного центра Р42. Кривая Ц42, представляющая собой эллипс с фокусами в точках С и В, является центроидой в движении звена 4 относительно звена 2. Центроиду Ц42, принадлежащую звену 2, мы можем жестко соединить с ним. Теперь движения звена 2 относительно звена 4, или наоборот, звена 4 относительно звена 2, могут быть осуществлены качением друг по другу без скольжения построенных центроид Ц24 и Ц42. В зависимости от того, какие из звеньев механизма ABCD будут приняты за стойку, центроиды Ц24 и Ц42 могут быть центроидами или в абсолютном движении звена, или в относительном. Так, останавливая звено 4 и жестко связанную с ним центроиду Ц24 мы можем воспроизвести абсолютное движение звена 2 как качение без скольжения подвижной центроиды Ц42 по неподвижной центроиде Ц24. Таким образом, в этом случае центроиды Ц24 и Ц42 оказываются соответственно подвижной и неподвижной центроидами в абсолютном движении звена 2. Наоборот, если остановить звено 2, то центроида Ц42 будет неподвижной центроидой, а центроида Ц24 будет подвижной центроидой в абсолютном движении звена 4. Если теперь остановить одно из звеньев 1 или 3, то обе центроиды Ц24 и Ц42 станут подвижными и качение одной центроиды по другой будет воспроизводить относительное движение звеньев 2 и 4 и центроиды Ц24 и Ц42 будут центроидами в относительном движении. Если остановить звено 1, то центроида Ц24 будет вращаться вокруг оси А, а центроида Ц42 — вокруг оси В. Таким образом, вращение вокруг осей А и В звеньев 4 и 2 по закону шарнирного антипараллелограмма может быть воспроизведено также путем посадки на эти оси двух фрикционных эллиптических колес, профили которых представляют собой центроиды Ц24 и Ц42, т. е. механизм шарнирного антипараллелограмма заменяется механизмом фрикционных эллиптических колес. Такое движение окажется возможным, если между центроидами установлена связь, обеспечивающая их движение без скольжения. Как было показано выше, для любого механизма в любом его положении могут быть определены все мгновенные центры вращения в абсолютном и в относительном движениях его звеньев. Следовательно, если имеется механизм, воспроизводящий то или иное движение, то такое же движение звеньев может быть осуществлено механизмом, представляющим собой две сопряженные центроиды. Так, например, передача движения между кривошипами AD и СВ шарнирного антипараллелограмма (рис. 2) может быть воспроизведена двумя эллиптическими фрикционными колесами. При этом законы движения звеньев остаются такими же, как и для механизма шарнирного антипараллелограмма. Механизмы, в которых передача движения осуществляется центроидами, носят название центроидных механизмов. Практически редко можно пользоваться центроидными механизмами на всем желательном интервале движения, так как в некоторых случаях центроидами служат кривые сложного вида (самопересекающиеся, с бесконечно удаленными точками и т. д.). 5. 2. Аналоги скоростей и ускорений При кинематическом исследовании механизмов скорости и ускорения звеньев и точек, им принадлежащих, удобно выражать в функции поворота φ или перемещения s начального звена. Так, если угол поворота k какого-либо k-го звена задан в виде функции k = k (), то угловая скорость k этого звена может быть представлена так: (2.1) где  - угловая скорость начального звена, имеющая размерность с-1, а есть безразмерная угловая скорость звена k. Безразмерная угловая скорость ,k называется аналогом угловой скорости звена k. Таким образом, действительная угловая скорость k равна произведению угловой скорости  начального звена на аналог угловой скорости ,k звена k. Дифференцируя уравнение (2.1) по времени t, получим величину углового ускорения k звена k. Имеем (2.2) где - аналог углового ускорения звена k. Аналогично могут быть получены уравнения для скорости и ускорения какой-либо точки т звена k. Пусть rт есть радиус-вектор, определяющий положение точки т. Из теоретической механики известно, что скорость vm и ускорение ат точки т могут быть получены последовательным двукратным дифференцированием радиуса-вектора rт по времени t. Имеем (2.3) где  — угловая скорость начального звена, имеющая размерность рад/с, a - есть аналог скорости точки т, имеющий размерность длины. Таким образом, действительная скорость vm точки т равна произведению угловой скорости  начального звена на аналог скорости  точки т. Дифференцируя выражение (2.3) по времени t, получим величину ускорения ат точки т. Ускорение ат в общем случае состоит из четырех составляющих: нормального ускорения, направленного вдоль радиуса-вектора rт к его началу, тангенциального ускорения, направленного перпендикулярно к радиусу-вектору rт, относительного релятивного ускорения, направленного вдоль радиуса вектора rт, и, наконец, кориолисова ускорения, направленного перпендикулярно к радиусу-вектору rт. Пользуясь равенством (2.3), получаем (2.4) В уравнении (4)  и  — угловые скорость и ускорение начального звена. Величины 2 и , входящие в уравнение (2.4), имеют размерность с-2. Величина аналога скорости  имеет размерность длины. Величина есть аналог ускорения точки т, имеющая также размерность длины. При поступательном перемещении звена k аналог его скорости обозначается , а аналог его ускорения . Таким образом, скорости и ускорения звеньев и их точек могут быть всегда выражены через соответствующие аналоги скоростей и ускорений и угловые скорость и ускорение начального звена механизма. Если закон движения начального звена задан в виде функций s = s (), где s — линейное перемещение начального звена, то нахождение аналогов скоростей и ускорений может быть сделано аналогично. 5. 3. Мгновенный центр ускорений и радиус кривизны траектории Ранее нами был рассмотрен вопрос об определении мгновенных центров вращения звеньев механизмов. Для многозвенных механизмов эта задача усложняется тем, что для определения мгновенного центра вращения одного из промежуточных звеньев механизма обычно приходится определять мгновенные центры и всех остальных звеньев. Поэтому в некоторых случаях удобно положение мгновенного центра вращения звена определять с помощью его плана скоростей, если таковой нами был построен. Для этого можно воспользоваться условием, что точка звена, совпадающая в рассматриваемый момент времени с его мгновенным центром вращения, должна иметь скорость, равную нулю. Тогда задача определения мгновенного центра вращения звена сведется к отысканию точки звена, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Рис. 5.3.1. Определение мгновенного центра вращения звена: а) схема звена с мгновенным центром вращения, б) план скоростей звена Пусть задано звено ВС и известны скорости vB и vC точек В и С этого звена (рис. 5.3.1, а). Строим план скоростей звена (рис. 5.3.1, б). Определяем далее точку звена, скорость которой в данный момент времени рана нулю. Очевидно, что на плане скоростей скорость этой точки изобразится вектором, равным нулю, т. е. вектором, совпадающим с полюсом р плана скоростей. Как было показано выше, фигура, изображающая на плане скоростей скорости отдельных точек звена, подобна фигуре самого звена и повернута относительно нее на угол 90°. Тогда на звене ВС можно отыскать такую точку Р, вектор скорости которой на плане скоростей совмещается с точкой р. Для этого достаточно на звене (рис. 5.3.1, а) построить треугольник ВСР, подобный треугольнику bcр плана (рис. 5.3.1, б). Для этого из точки В проводим прямую, перпендикулярную к отрезку bр плана, а из точки С — прямую, перпендикулярную к отрезку плана ср. Точка Р пересечения этих двух прямых и является той точкой звена, скорость которой в данный момент времени равна нулю, т. е. vP = 0. Так как полученная точка Р совпадает с мгновенным центром вращения звена ВС, то скорости vB и vC точек В и С этого звена могут быть представлены следующим образом: и где  есть угловая скорость звена ВС (рис. 5.3.1, а). Величина скорости любой точки D звена ВС может быть определена по формуле направление же ее перпендикулярно к отрезку PD. Рис. 5.3.2. К определению мгновенного центра ускорений звена: а) схема звена с мгновенным центром ускорений; б) план ускорений Аналогично мгновенному центру вращения звена для общего случая его движения может быть найдена точка звена, абсолютное ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Положение этой точки на звене может быть всегда определено, если известен план ускорений звена. Пусть, например, дано звено ВС (рис. 5.3.2, а) и его план ускорений πbс (рис. 5.3.2, б). Из свойств плана ускорений следует, что точка звена П, ускорение которой равно нулю, изображается на плане ускорений вектором, равным нулю и совпадающим с точкой π плана. Чтобы определить на звене ВС точку, не имеющую ускорения, надо на нем построить фигуpy ВСП, подобную фигуре bсπ плана. Полученная точка П (рис. 5.3.2, а) и является мгновенным центром ускорений, так как вследствие подобия треугольников ВСП и bсπ ускорение точки П равно нулю, т. е. аП = 0. Построение подобной фигуры ВСП можно сделать по углам  и  , измеренным на плане ускорений (рис. 5.3.2, б). Точка пересечения прямых ВП и СП является мгновенным центром ускорений. При обходе контуров треугольников ВСП и bсπ в одном и том же направлении порядок букв должен быть одинаковым. Вектор относительного ускорения аСВ повернут относительно звена ВС на угол , определяемый по формуле (3.1) где  есть угловое ускорение звена ВС, а  — его угловая скорость. Таким образом, сторона bс треугольника bсπ образует со стороной ВС треугольника ВСП угол . Вследствие подобия треугольников bсπ и ВСП стороны πb и πс образуют со сторонами ПВ и ПС тот же угол , и вектор ас образует угол со стороной ВП, вектор ас — угол со стороной СП. Векторы абсолютных ускорений любых других точек звена наклонены под тем же углом , к радиусам-векторам, соединяющим эти точки с точкой П. Ускорение любой точки звена может быть всегда выражено через ускорение переносного поступательного движения с ускорением точки П и ускорение относительного движения вокруг этой точки. Например, вектор аВ ускорения точки В может быть доставлен в виде следующей геометрической суммы: , где аП = 0. Вектор ускорения направлен от точки В к точке П, а вектор ускорения перпендикулярен к отрезку ВП (рис. 4, а). Так как и , то величина полного ускорения точки В равна . (3.2) Точно так же величина ускорения точки С равна , (3.3) где постоянная m равна . Таким образом, полные ускорения всех точек звена пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений. Очевидно, что движение точки звена, совпадающей с центром П, как не имеющей ускорения, может быть с точностью до бесконечно малых третьего порядка принято за равномерное прямолинейное. Рис. 5.3.3. К определению радиуса кривизны траектории точки D: а) схема звена; б) план скоростей звена; в) план ускорений звена Покажем теперь, как определить центр кривизны р траектории какой-либо точки D звена ВС (рис. 5.3.3, а), если построены его план скоростей (рис. 5.3.3, б) и план ускорений (рис. 5.3.3, в). Центр кривизны лежит на прямой Dn, проведенной через точку D (рис. 5.3.3, а) перпендикулярно к вектору скорости vD, т. е. перпендикулярно к отрезку (pd) плана скоростей (рис. 5.3.3, б). Прямая Dn является нормалью к траектории описываемой точки D в рассматриваемом положении этой точки и проходит через центр мгновенного вращения Р звена ВС. Вектор полного ускорения aD точки D представлен на плане ускорений в виде отрезка (d) (рис. 5.3.3, в). Разложим вектор aD по направлениям Dn и перпендикулярному к нему. Составляющая, направленная по Dn, будет нормальным ускорением anD точки D. Имеем (3.4) откуда и определится величина радиуса кривизны р. Получаем . (3.5) Зная р, можно найти положение центра кривизны О траектории точки D. 5. 4 Кинематические диаграммы При кинематическом исследовании механизмов необходимо бывает проводить это исследование за полный цикл движения исследуемого механизма. Для этого аналитическое или графическое исследование перемещений, скоростей и ускорений ведется для ряда положений механизма, достаточно близко отстоящих друг от друга. Полученные значения кинематических величин могут быть сведены в таблицы или по полученным значениям этих величин могут быть построены графики, носящие название кинематических диаграмм. В зависимости от характера движения исследуемых звеньев или отдельных точек механизма могут быть построены и различные кинематические диаграммы. В практических задачах теории механизмов каждая кинематическая диаграмма обычно представляет собой графическое изображение изменения одного из кинематических параметров звена: перемещения, скорости или ускорения точки звена исследуемого механизма в функции времени или перемещения начального звена механизма, т. е. в функции обобщенной координаты. Рис. 5.4.1. Кинематическая схема кривошипно-ползучего механизма Например, если мы имеем кривошипно-ползунный механизм (рис. 6), то для перемещений sc, скоростей vc и ускорений ас точки С, как перемещающейся прямолинейно, удобно строить кинематические диаграммы в виде зависимостей этих величин от времени t или от обобщенной координаты , т. е. строить графическое изображение зависимостей (4.1) или (4.2) если угол поворота звена 2 выбран в качестве обобщенной координаты. В некоторых случаях может потребоваться построение и других зависимостей, например или ас = ас (sc). (4.3) Зависимости (4.3) могут быть получены из зависимостей (4.1) исключением из первой и второй зависимостей или из первой и третьей зависимостей параметра t. Если исследованию подлежат угловые перемещения , угловые скорости и угловые ускорения шатуна 3 (рис. 6), то можно построить графическое изображение зависимостей , , , или , , , а также зависимости или Рис. 5.4.2. Кривошипно-ползунный механизм: а) кинематическая схема; б) графики, изображающие зависимости В качестве примера рассмотрим построение кинематических диаграмм sc = sc (t), vc = vc {t) и ас = ac (t) для перманентного движения точки С кривошипно-ползунного механизма ABC, и т. е. когда кривошип вращается с постоянной угловой скоростью (рис. 5.4.2, а). Для этого производим разметку путей точек В и С. Отсчет перемещений точки С удобно вести от крайнего левого положения ползуна. Проводим две оси координат (рис. 5.4.2, б) и на оси абсцисс откладываем отрезок l мм, представляющий собой в масштабе время Т одного полного оборота кривошипа, т. е. , (4.4) где п — частота вращения кривошипа в оборотах в минуту. Из равенства (4) получаем масштаб времени. Имеем (4.5) Отрезок l разбиваем на 12 равных частей и в соответствующих точках 1, 2, 3, ... откладываем расстояния, пройденные точкой С (рис. 5.4.2, а) от крайнего левого положения С1, ползуна. Так, в точке 2 (рис. 5.4.2, б) откладываем в направлении, параллельном оси ординат, отрезок С1С2, в точке 3 — отрезок С1С3 и т. д. Если отрезки С1С2, (C1C3), ... откладывать прямо со схемы (рис. 5.4.2, а), то масштаб диаграммы sc = sc (t) по оси ординат будет равен , т. е. масштабу построения схемы. С положения С7, когда точка С займет крайнее правое положение (рис. 5.4.2, а), расстояния C7C8, С7С9 вычитаются из ординаты С1С7 отложенной в положении С7, и, таким образом, кривая sc = sc (t) в положении, когда кривошип 2 придет в начальное положение, будет иметь ординату, равную нулю. Полученная кривая является кривой расстояний точки С от крайнего левого положения ползуна. Если надо построить кривую путей, пройденных точкой С, то от положения С7 расстояния C7C8, C7C9 надо прибавлять к ранее отложенному отрезку С1С7. На рис. 5.4.2, б эта часть кривой путей показана штрихами. Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью можно считать, что по оси абсцисс отложено не время t, а углы поворота звена 2, т. е. диаграммы sc = sc (t), vc = vc (t) и ас = ac (t) будут одновременно и диаграммами и Масштаб в этих диаграммах по оси абсцисс будет равен , где отрезок l должен быть взят с чертежа в миллиметрах. Для построения диаграмм vc = vc (t) и ас = ас (t) отрезки, изображающие на плане скоростей и ускорений скорость vc и ускорение ас, откладывают на ординатах, проведенных в точках 1, 2, 3, ... (рис. 7, б), учитывая при этом знак скорости vc и ускорения ас. Если отрезки откладываются непосредственно с планов скоростей и ускорений, то масштабы ординат кривых vc = vc (t) и ас = ас (t) будут равны масштабам р и планов скоростей и ускорений. Эти же диаграммы будут и диаграммами и . 6. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ 6.1. Условия статической определимости кинематических цепей. Определение реакций в кинематических группах Рассмотрим, как будут направлены реакции в различных кинематических парах плоских механизмов. Во вращательной паре V класса результирующая сила реакции F проходит через центр шарнира (рис. 6.1.1). Величина и направление этой реакции неизвестны, так как они зависят от величины и направления заданных сил, приложенных к звеньям пары. В поступательной паре V класса (рис. 6.1.2) реакция перпендикулярна к оси движения х – х этой пары. Она известна но направлению, но неизвестны ее точка приложения и величина. Наконец, к высшей паре IV класса (рис. 6.1.3) реакция F приложена в точке С касания звеньев 1 и 2 и направлена по общей нормали п – п, проведенной к соприкасающимся профилям звеньев 1 и 2 в точке С, т. е. для высшей пары IV класса нам известны направление реакции и ее точка приложения. Рис. 6.1.1. Изображение вращательной кинематической пары со схематизированными конструктивными формами Рис. 6.1.2. Схема поступательной кинематической пары Рис. 6.1.3. Изображение высшей кинематической пары со схематизированными конструктивными формами Таким образом, для определения реакции в каждой из низших пар V класса необходимо найти по две неизвестных, а для определения реакции в высшей паре IV класса – только одну неизвестную величину. Обозначим число подвижных звеньев плоской кинематической цепи через п, число пар V класса — через р5 и число пар IV класса – через р4. Составим теперь условие статической определимости плоских кинематических цепей. Так как для каждого звена, имеющего плоскопараллельное движение, можно написать три уравнения равновесия, то число уравнений, которое мы сможем составить при п звеньях, будет равно Зп. Число неизвестных, которое необходимо определить, будет равно для пар V класса 2р5 и для пар IV класса р4. Следовательно, кинематическая цепь будет статически определима, если удовлетворяется условие 3n = 2р5 + р4. (1.1) Любой механизм с парами IV и V классов может быть заменен механизмом с парами только V класса. Поэтому для рассмотрения общего случая достаточно ограничиться рассмотрением групп, звенья которых входят только в пары V класса. Группы с парами IV класса могут быть приведены к группам с парами V класса и могут быть рассчитаны теми же методами. Тогда формула (1.1) может быть написана так: (1.2) откуда . Таким образом, числа звеньев и пар связаны между собой соотношением (1.2). Так как числа п и р5 должны быть целыми, то этому соотношению удовлетворяют следующие ряды чисел звеньев и кинематических пар (таблица): Таблица Как нам уже известно, первое сочетание звеньев и пар, т. е. два звена, входящих в три пары, представляет собой группу II класса; второе сочетание из четырех звеньев, входящих в шесть пар, представляет собой группу III класса третьего порядка или группу IV класса второго порядка и т. д. Таким образом, статически определимыми являются кинематические цепи, названные выше группами. Определение реакций в кинематических парах групп. В качестве примера рассмотрим задачу об определении реакций в кинематических парах группы II класса BCD первого вида (рис. 6.1.4). Рис. 6.1.4. Кинематическая схема двухповодковой группы первого вида Рис. 6.1.5. Двухповодковая группа первого вида: а) кинематическая схема с показанными на ней силами и моментами пар сил; б) план сил Введем следующие обозначения: звено, к которому присоединяется звено ВС, обозначим номером 1, звено ВС – номером 2, звено CD – номером 3 и звено, к которому присоединяется звено CD, номером 4. Силу, действующую на звено с номером l со стороны звена с номером k, будем обозначать через Flk, момент силы Fh относительно точки А – через МА (Fk), расстояние между двумя какими-либо точками А и В звена АВ – через lАВ и, наконец, момент пары, действующий на звено с номером k, - через Mk. Пусть рассматриваемая группа II класса (рис. 6.1.4) нагружена силами F2 и F3 и парами с моментами М2 и М3. Требуется определить реакции в кинематических парах. Эта задача может быть решена методом планов сил. В точках В и D прикладываем неизвестные пока реакции F21 и F34 и, составляя уравнение равновесия группы BCD (рис. 6.1.5, а), приравниваем нулю сумму всех сил, действующих на группу. Имеем F21 + F2 + F3+F34 = 0. (1.3) В этом уравнении нам известны силы F2 и F3 по величине, направлению и точкам приложения. Реакции же F21 и F34 нам известны только по точкам приложения. Для определения величин этих реакций раскладываем каждую из них на две составляющие: одну, действующую по оси звена, и другую, перпендикулярную к оси звена. Будем обозначать первую составляющую реакции индексом п, а вторую составляющую – индексом t. Тогда получаем (1.4) Величины и могут быть получены из уравнений равновесия, написанных для каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности. Для этого рассмотрим сначала равновесие звена 2. Звено 2 находится под действием следующих сил и пар: силы F2, составляющих и реакции F21, реакции F32 и пары с моментом M2. Составим уравнение моментов всех сил относительно точки С. Так как знак силы , нам неизвестен, то при составлении уравнения моментов задаемся произвольным знаком момента этой силы. Если после определения величины этой силы она окажется отрицательной, то ее истинное направление должно быть выбрано противоположным. Имеем . В это уравнение моменты от сил и не входят, так как линии действия этих сил проходят через точку С, т. е. и . Далее, так как , то составленное уравнение моментов принимает вид , откуда и определяем величину силы . Имеем . (1.5) Знак силы , как было указано выше, определяется знаком правой части формулы (1.5). Аналогично из условия равновесия звена 3 получаем уравнение моментов , так как и . Для величины силы теперь получаем . (1.6) Знак силы определяется знаком правой части уравнения (1.6). Полученные выражения для и , подставляем в уравнение (1.3): . В этом уравнении нам неизвестны только величины составляющих и реакций и , направленных по осям звеньев ВС и DC. Величины этих составляющих могут быть определены построением плана сил. Для этого из произвольной точки а (рис. 6, б) откладываем в произвольном масштабе силу F2 и прибавляем к ней силу F3. Прикладываем к ним в том же масштабе соответственно силы и , которые определены по формулам (1.5) и (1.6). Эти силы перпендикулярны к осям звеньев ВС и CD. Далее из точки d проводим прямую, параллельную оси ВС, а из точки е - прямую, параллельную оси звена DC. Точка f пересечения этих двух прямых и определяет величины составляющих и . Полные реакции F21 и F34 могут быть получены как результирующие согласно уравнениям (1.4). Первая реакция на плане сил получается, если соединить точки f и а, вторая – если соединить точки с и f. Для определения реакции F32 звена 2 на звено 3 напишем уравнение равновесия сил, действующих на звено 3: F34 + F3 + F32 = 0. Единственной неизвестной по величине и направлению силой в этом уравнении является сила F32. Величина ее может быть получена построением по уравнению силового треугольника. Для этого на плане сил на рис. 5, б достаточно соединить точки f и b. Очевидно, что реакция F23, равная по величине реакции F32, но противоположная ей по знаку, может быть определена из уравнения равновесия звена 2 F21 + F2 + F23 = 0. На плане сил вектор F23 представлен тем же отрезком (bf), что и реакция F32, но имеет противоположное направление. 6. 2. Кинетостатический расчет типовых механизмов При решении задач силового расчета механизмов закон движения ведущего звена предполагается заданным; точно так же предполагаются известными массы и моменты инерции звеньев механизма. Таким образом, всегда могут быть определены те силы инерции, которые необходимы для решения задач силового расчета с помощью уравнений равновесия. Вопрос о силовом расчете механизмов начнем с рассмотрения вопроса об определении реакций в кинематических парах. В тех случаях, когда при расчете в число заданных сил не входят силы инерции звеньев, расчет называется статическим. Если в число заданных сил при расчете входят и силы инерции звеньев, то такой расчет называется кинетостатическим. Так как метод расчета для обоих случаев является общим, то в дальнейшем будем предполагать, что в число заданных сил входят и силы инерции, известные нам по величине, направлению и точкам приложения. Далее в первом приближении будем вести расчет без учета сил трения. Рассмотрим вопрос о силосом расчете одного из типовых механизмов – кулисно-рычажного механизма с равномерно вращающимся начальным звеном 1, показанного на рис. 6.2.1. Рис. 6.2.1 Кинематическая схема кулисно-рычажного механизма с показанными на ней силами Найти реакции в кинематических парах от силы F5, приложенной в точке S5 звена 5, силы F4 приложенной в точке S4 звена 4, силы F3, приложенной в точке S3 звена 3, и пары сил с моментом М3, приложенной к тому же звену. Сила F3 образует с направлением BD угол . Сила F5 параллельна оси х — х, а сила F4 перпендикулярна к ней. Линия действия т — т уравновешивающей силы Fy проходит через точку перпендикулярно к его оси. Рассматриваемый кулисно-рычажный механизм – это механизм II класса и состоит из двух групп II класса: группы третьего вида (группа, состоящая из звеньев 2 и 3) и группы второго вида (группа, состоящая из звеньев 4 и 5). а ) б) Рис. 6.2.2. Двухповодковая группа 4 - 5 механизма, изображенного на рис. 6: а) кинематическая схема группы 4 - 5; б) план сил Определение реакций в кинематических парах начнем с последней в порядке присоединения группы, состоящей из звеньев 5 и 4. Разлагаем реакцию F43 (рис. 6.2.2, а), действующую в пape D, на составляющие и . . Составляем далее уравнение моментов всех сил, действующих на звено 4, относительно точки Е (рис. 6.2.2, а): , откуда получаем , где h4 – плечо силы F4 относительно точки Е и lDE – расстояние между точками D и Е звена 4. Составляем далее общее уравнение равновесия всей группы, приравнивая нулю сумму всех сил, действующих на группу: . Силы F4, F5 и Ft43 нам известны. Силы Fn43 и F50 известны по направлению. Сила Fn43 параллельна оси DE звена 4, сила F5o перпендикулярна к оси х — х. Для определения величин сил Fn43 и F50 строим в произвольно выбранном масштабе план сил (рис. 6.2.2, б). Для этого из точки d откладываем силу Ft43 в виде отрезка da. К силе Ft43 прикладываем силу F4 в виде отрезка аb и к ней прикладываем силу F5 в виде отрезка bc. Через точку с проводим прямую в направлении силы F50l, т. е. перпендикулярно к оси х — х, а через точку d — в направлении силы Fn43, т. е. параллельно направлению DE звена 4. Точка е пересечения этих прямых определяет начало вектора силы Fn43 и конец вектора силы F50. Соединив точку е с точкой а, получим силу F43 в виде отрезка еа. Реакция F54 в виде отрезка eb определяется, если соединить точки е и b. Точку К приложения силы F50 (рис. 6.2.2, а) найдем из уравнения моментов всех сил, действующих на звене 5, относительно точки Е: откуда получаем величину плеча h05 = ЕК (рис. 7, а) силы F50 относительно точки Е Если заданы конструктивные размеры ползуна 5, то необходимо силу привести к центру Е ползуна. 1 Рис. 6.2.3. Двухповодковая группа 2 — 3 механизма, изображенного на рис. 1: а) кинематическая схема группы 2— 3, б) план сил Переходим далее к рассмотрению группы, состоящей из звеньев 2 и 3 (рис. 6.2.3, а). На эту группу действует внешняя сила F34, приложенная в точке D, равная по величине и противоположная по направлению силе F43, сила F3, приложенная в точке S3 и пара с моментом М3. Рассмотрим равновесие звена 3. Так как звено 2 не нагружено, то реакция F32 оказывается приложенной в точке С и направлена перпендикулярно к направлению BD звена 3. Величина силы F32 определяется из уравнения моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки В: МВ (F34) + МВ (F32) + МВ (F3) + M3 = 0. Из этого уравнения определяем величину силы F32. Имеем , где h3 и h43 — плечи сил F3 и F34 относительно точки В. После определения силы F32 можно найти силу F30, приравнивая нулю сумму всех сил, действующих на звено 3: F32 + F3 + F34 + F30 = 0. Решаем графически это уравнение. Из точки а (рис. 6.2.3, б) откладываем в масштабе силу F32 в виде отрезка аb и к ней прикладываем силу F3 в виде отрезка bc. Далее из точки с откладываем силу F34 в виде отрезка cd. Отрезок da представляет силу F30. Рис. 6.2.4. Начальное звено 1 механизма, изображенного на рис. 1: а) кинематическая схема звена; б) план сил Далее рассматриваем равновесие начального звена 1 (рис. 6.2.4). На него действует сила F12, равная по величине и противоположно направленная силе F21. Линия действия уравновешивающей силы Fy задана прямой т – т, перпендикулярной к оси АС звена 1 (рис. 6.2.4, а). Величина уравновешивающей силы Fy при равномерном вращении звена 1 определяется из уравнения MA (Fy) + MA (F21) = 0 откуда где h21 и hy — плечи сил F12 и Fy относительно точки А. Определение реакции F10 в паре А производим графически (рис. 6.2.4, б) при помощи векторного уравнения равновесия всех сил, действующих на начальное звено 1, F12 + Fy + F10 =0. Из точки а откладываем в масштабе силу F12 в виде отрезка ab и к ней прикладываем силу Fy в виде отрезка bc. Отрезок ca представляет собой силу F10. 6.3. Уравновешивание сил инерции звеньев механизма. Вибрационные машины Для уравновешивания только главного вектора сил инерции плоского механизма (без уравновешивания моментов сил инерции), достаточно, чтобы общий центр S масс всех звеньев механизма оставался неподвижным и удовлетворялось условие xs = const и ys = const. (3.1) Два равенства (3.1) могут быть заменены одним векторным rS = const, (3.2) где rs — вектор, определяющий положение общего центра масо звеньев механизма. Радиус-вектор rs центра S масс звеньев механизма определяется как геометрическая сумма отрезков, представляющих векторы главных точек отдельных звеньев. Так, для механизма шарнирного четырехзвенника ABCD (рис. 6.3.1), если обозначить массы звеньев 1, 2 и 3 соответственно через т1, тг и т3, расстояния центров тяжести S1, S2 и S3 этих звеньев от точек А, В и С — через a1, a2 и а3, и длины звеньев — через l1, l2 и l3, то радиус-вектор rs центра S масс его звеньев будет равен геометрической сумме векторов главных точек rs = h1 + h2 + h3, где модули векторов h1, h2, h3 определяются по формулам , (3.3) , (3.4) , (3.5) Рис. 6.3.1. Схема механизма шарнирного четырехзвенпика с противовесами на звеньях 1 и 3 Для удовлетворения условия (3.2) необходимо, чтобы соблюдалось условие h1 + h2 + h3 = const. (3.6) Это условие может быть удовлетворено, если модули векторов h1, h2 и h3 подобрать так, что векторный многоугольник, образованный ими, будет подобен четырехугольнику ABCD, образуемому осями звеньев механизма (рис. 6.3.1). При таком подборе модули h1, h2 и h3 должны удовлетворять пропорциям . (3.7) Вследствие параллельности векторов h1, h2 и h3 соответственно сторонам АВ, ВС и CD их векторный многоугольник является как бы вторым шарнирным четырехзвенным механизмом AH1H2S, подобным основному механизму, и следовательно, все точки фигуры AH1H2S описывают траектории, подобные траекториям соответствующих точек звеньев данного механизма. Общий центр S масс звеньев механизма ABCD в этом случае находится на прямой AD и за все время движения механизма остается неподвижным, при этом удовлетворяется условие (3.1), или условие (3.2), и следовательно, силы инерции звеньев шарнирного четырехзвенника оказываются уравновешенными. Механизм будет уравновешен при любом положении точки S на прямой AD как между точками А и D, так и вправо или влево от них. Подставляя в пропорции (3.7) значения h1, h2 и h3 из формул (3.3), (3.4), (3.5) получаем для заданных размеров l1, l2 и l3 следующие два уравнения: , (3.8) . (3.9) Из этих уравнений непосредственно следует, что при решении задачи о подборе масс механизмов, удовлетворяющих условию его уравновешенности, можно получить бесчисленное множество решений, так как в эти два уравнения входят шесть переменных m1, т2, m3, a1, а2 и a3, из которых четыре могут быть выбраны произвольно. Из уравнений (3.8) и (3.9) также следует, что если задать одно из трех расстояний а1, а2 или а3 на оси звена между шарнирами, остальные два расстояния до центров тяжести получаются за крайними шарнирами звена, и, считая, что расположение центра масс за шарнирами соответствует как бы установке противовеса (дополнительной массы), можно сказать, что уравновешивание результирующей силы инерции звеньев механизма шарнирного четырехзвенника может быть достигнуто путем установки противовесов на двух его звеньях. Например, при а3 > l3 и при установке противовеса Е на звене CD за точкой D (рис. 10) из уравнения (3.9) следует, что а2 > 0, т. е. центр масс S2 звена ВС должен быть расположен от точки B вправо. Если при этом а2 < l2, то из уравнения (3.8) имеем a1 < 0 и центр масс звена АB должен быть расположен вне звена, за точкой А. Следовательно, противовесы F и Е необходимо расположить на звеньях 1 и 3 так, как показано на рис. 10. Если a2 > l2, то а1 > 0, и следовательно, звенья 2 и 3 имеют центры масс вне этих звеньев, то противовесы должны быть расположены на звеньях 2 и 3 так, как показано на рис. 6.3.2. Рис. 6.3.2. Схема механизма шарнирного четырехзвенника с противовесами на звеньях 2 и 3 Вибрационные машины Силы инерции не всегда являются вредными, с которыми надо бороться. В настоящее время имеется много машин, в которых, для выполнения того или иного технологического процесса намеренно возбуждаются колебания. Машины, в которых технологический процесс выполняется на основе возбужденных колебаний, называют вибрационными машинами. Возбудителями колебаний в этих машинах могут быть механические и электромагнитные вибраторы, гидравлические и пневматические пульсаторы. Рабочему органу машины, взаимодействующему с обрабатываемой средой, необходимо придать колебательное движение с желаемой частотой колебаний и амплитудой. Вибрационные машины получили большое распространение в различных отраслях промышленности и в сельском хозяйстве. С помощью вибраций дробят, измельчают, транспортируют кусковой и сыпучий материал, разделяют смеси, уплотняют бетон, погружают сваи и шпунт в грунт, просеивают различные продукты. Используют вибрации и в быту (например, вибрационные бритвы). Обрабатываемые среды под действием вибраций становятся более «податливыми», что способствует интенсификации технологического процесса. 6. 4. Силы, действующие на звенья механизма При работе механизма к его звеньям приложены внешние задаваемые силы, а именно: силы движущие, силы производственных сопротивлений, силы тяжести и др. Кроме того, при движении механизмов в результате реакций связей в кинематических парах возникают силы трения, которые можно рассматривать как составляющие этих реакций. Реакции в кинематических парах, так же как и силы трения, по отношению ко всему механизму являются силами внутренними, но по отношению к каждому звену, входящему в кинематическую пару, оказываются силами внешними. Реакции в кинематических парах возникают не только вследствие действия внешних задаваемых сил на звенья механизма, но и вследствие движения отдельных масс механизма с ускорениями. Составляющие реакции, возникающие от движения звеньев с ускорениями, можно считать дополнительными динамическими давлениями в кинематических парах. Эти дополнительные динамические давления могут быть определены из уравнений равновесия звеньев, если к задаваемым силам и реакциям связей добавить силы инерции. Движущимися силами в механизме называются те силы, которые стремятся ускорить движение механизма. Иначе, движущими силами называются те силы, приложенные к звеньям механизма, которые совершают положительную работу. Силами сопротивления в механизме называются те силы, которые стремятся замедлить движение механизма, Иначе, силами сопротивления будем называть те силы, приложенные к звеньям механизма которые, совершают отрицательную работу. Силами производственного сопротивления, или силами полезного сопротивления, будем считать те силы сопротивления, преодоление которых необходимо для выполнения требуемого технологического процесса. Силами непроизводственных сопротивлений, или силами вредных сопротивлений, будем называть те силы сопротивления, на преодоление которых затрачивается дополнительная работа сверх той, которая необходима для преодоления полезного сопротивления. Например, у двигателя внутреннего сгорания движущей силой является давление расширяющегося газа на поршень. Силами сопротивления будут; сила трения в подшипниках и цилиндрах, сопротивление воздуха, сопротивление той рабочей машины, которая приводится в движение двигателем, и т. п. При этом сопротивление рабочей машины, которая приводится двигателем в движение, будет производственным сопротивлением, а силы трения, сопротивление воздуха и т. д. будут непроизводственными сопротивлениями. Необходимо отметить некоторую условность в разделении сил на силы движущие и силы сопротивления. Например, силы тяжести звеньев при подъеме их центров тяжести оказываются силами сопротивления, а при опускании центров тяжести — силами движущими. Силы трения, возникающие в подшипниках, являются силами сопротивления, а силы трения, возникающие в точках контакта при обхвате ремнем шкива ременной передачи, являются силами движущими и т. д. Работа движущих сил называется иногда затрачиваемой работой, работа сил производственных сопротивлений — полезной работой и работа непроизводственных сопротивлений — вредной работой. 7. КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ 8. 7.1. Уравнение движения механизма, выраженное через работу сил Полным временем движения механизма называется промежуток времени от момента начала движения механизма до момента конца его движения. Так как закон движения всех звеньев механизма определяется законом движения начального звена, то полным временем движения механизма является также промежуток времени от момента начала движения начального звена до момента конца его движения. Полное время движения механизма состоит из трех частей: а) времени разбега; б) времени установившегося движения; в) времени выбега. Время разбега характеризуется возрастанием скорости начального звена от нулевого значения до некоторого среднего значения, соответствующего нормальной рабочей скорости этого звена механизма. Установившимся движением механизма называется движение, при котором его кинетическая энергия является периодической функцией времени. Во время установившегося движения обычно скорость начального звена механизма колеблется около среднего значения, соответствующего нормальной рабочей скорости этого звена механизма. Промежуток времени, по истечении которого положение, скорость и ускорение начального звена механизма принимают первоначальные значения, является периодом изменения кинетической энергии механизма и называется циклом установившегося движения механизма. Время выбега характеризуется убыванием скорости начального звена от среднего значения нормальной рабочей скорости механизма до нулевого ее значения. Полное время Т движения механизма состоит из времени Tр разбега, времени Ту д установившегося движения и времени Тв выбега. Время установившегося движения имеет четыре цикла. Каждому циклу соответствует время Тц. Таким образом, общее время Т равно Т = Тр + Ту.д + Тв а время Tу.д равно Ту.д = k Тц где k – число циклов. Продолжительность времени Тр, времени Тв и времени Тц зависит от соотношений между действующими силами, массами и метрическими параметрами механизма, и если эти соотношения известны и достаточны, то всегда можно определить время Тр разбега, время Тв выбега и время Тц одного цикла движения. Полное время Ту.д установившегося движения может состоять из любого числа циклов движения и зависит от того, сколь долго необходимо и возможно поддерживать рабочий режим движения механизма – режим со средней рабочей угловой скоростью ср. Необходимо отметить, что многие машины и механизмы могут и не иметь четко разграниченных стадий движения. Так, например, в грузоподъемных кранах, экскаваторах, некоторых транспортирующих машинах и др. полное время движения того или иного механизма может состоять из времени разгона и времени выбега, и в этих механизмах отсутствует время установившегося движения с характерными для него циклами движения. Периодическим движением механизма называется такое движение, при котором в течение некоторого промежутка времени механизм обладает постоянными циклами движения, причем в течение каждого цикла движение происходит по одному и тому же закону. Цикл может соответствовать одному или нескольким оборотам начального звена. Так, например, вал насоса с кривошипно-ползунным механизмом в течение цикла делает один оборот. У четырехтактного двигателя внутреннего сгорания в течение цикла коленчатый вал делает два оборота. В некоторых машинах один цикл соответствует и большему числу оборотов ведущего вала. Рассмотрим теперь, чем характеризуются с точки зрения динамики разбег, установившееся движение и выбег. Для этого напишем уравнение кинетической энергии. Это уравнение применительно к механизму может быть написано так: , (1.1) где Ад есть работа всех движущих сил, Ас — работа всех сил, сопротивления, - кинетическая энергия механизма, а и суть скорости в начале и в конце рассматриваемого перемещения. Для времени разбега механизма необходимым является условие, в соответствии с которым конечная скорость v была бы по величине больше начальной скорости v0, а это влечет за собой требование, чтобы работа сил движущих за все это время была больше работы сил сопротивления: Ад > Ас. Для времени установившегося движения через каждый цикл движения величина скорости v становится равной величине скорости v0, и, следовательно, за тот же цикл работа движущих сил должна быть равна работе сил сопротивления: Ад = Ас. Для времени выбега v < v0 и потому должно быть Ад < Ас. Соответственно указанному, правая часть уравнения (1.1) принимает последовательно следующие значения: для времени разбега ; (1.2) для целого числа циклов во время установившегося движения (1.3) для времени выбега (1.4) Из полученных выражений видно, что за время разбега механизма происходит приращение его кинетической энергии. Во время установившегося движения это приращение за целый цикл движения механизма равно нулю. За время выбега механизма происходит отдача кинетической энергии, накопленной им за время разбега. 7. 2. Уравнение движения механизма в форме интеграла энергии Рассмотрим вопрос об энергии, потребляемой машиной на преодоление различных видов сопротивлений, и установим соотношения между работами, производимыми отдельными силами, действующими на машину. Для этого уравнение кинетической энергии механизма (1.1) представим в следующем виде: . Величина, стоящая в скобках, может быть условно представлена как работа Аи сил инерции. Тогда уравнение (14.5) будет иметь вид АД – АС ± АИ = 0. (1.6) Двойной знак у работы Аи стоит в силу того, что кинетическая энергия в зависимости от значений величин v0 и v может быть положительной и отрицательной. Далее в уравнении (1.6) выделим отдельно работу Ап.с производственных сопротивлений, работу Ат сил трения и других непроизводственных сопротивлений и работу Ас.т сил тяжести звеньев. Тогда уравнение (1.6) будет иметь следующий вид: Ад – Ап.с – Ат ± Аи ± Ас.т = 0. (1.7) Работа Ас.т имеет двойной знак, так как при подъеме общего центра масс звеньев механизма работа Ас.т получается отрицательной, а при его опускании – положительной. Если кроме указанных в уравнении (1.7) работ имеются работы и других сил, то они также могут быть включены в уравнение (1.7) с соответствующими знаками. Например, в некоторых случаях в это уравнение необходимо включать работу сил упругости пружин в зависимости от конструкции механизма и характера его работы. Уравнение. (1.7) справедливо и для элементарных работ: dAд – d Ап.с – d Ат ± dAи ± dAс.т = 0. (1.8) Разделив все члены уравнения (1.8) на дифференциал времени dt, получим , или РД – РП.С – РТ ± РИ ± РС.Т =0, (1.9) где Рд — мощность, развиваемая движущими силами, РП.С — мощность, затрачиваемая на преодоление производственных сопротивлении, PТ — мощность, затрачиваемая на преодоление всех сил трения и других непроизводственных сопротивлений, Ри — мощность, затрачиваемая на изменение кинетической энергии механизма или, наоборот (в зависимости от знака), получаемая за счет изменения кинетической энергии машины, Рс.т— мощность, затрачиваемая на преодоление сил тяжести или, наоборот (в зависимости от знака), развиваемая силами тяжести. Уравнение (1.9) можно назвать уравнением энергетического баланса машины. Из уравнения (1.9) следует, что в некоторые моменты времени мощности Ри и Рс.т могут быть положительными, в другие моменты времени — отрицательными. В случае знака плюс они увеличивают мощность РД, которую надо развить на ведущем звене механизма, в случае знака минус они ее уменьшают. Например, в течение времени разбега (см. уравнение (1.2)) мощность РИ положительна, и, следовательно, при разбеге машины мощность Рд должна быть больше, чем для времени выбега, когда мощность Ри отрицательна. 7. 3. Регулирование движения машин При периодических колебаниях скоростей начального звена машины (звена приведения механизма) во время установившегося и неустановившегося движений необходимо соединить начальное звено регулируемого объекта с особым механизмом, носящим название скоростного регулятора. Задача регулятора состоит в установлении устойчивого (стационарного) изменения скорости, режима движения начального звена регулируемого объекта, что может быть достигнуто выравниванием разницы между движущими силами и силами сопротивления. Если по каким-либо причинам уменьшается полезное сопротивление и регулируемый объект начинает ускорять свое движение, то регулятор автоматически уменьшает приток движущих сил. Наоборот, если силы сопротивления увеличиваются, и регулируемый объект начинает замедлять свое движение, то регулятор увеличивает движущие силы. Таким образом, как только нарушается равновесие между движущими силами и силами сопротивления, регулятор должен вновь их сбалансировать и заставить регулируемый объект работать с прежними или близкими к прежним скоростями. Конструкции регуляторов и схемы регулирования разнообразны. Например, в практике применяются так называемые центробежные регуляторы, плоские и пространственные, в которых используется центробежная сила инерции. Имеются также инерционные регуляторы, использующие тангенциальные силы инерции. Применяются регуляторы электрического типа и др. 2. Хотя конструкции механизмов регуляторов и схемы регулирования различные, но в большинстве случаев автоматическое регулирование выполняется по схеме замкнутого контура. Принципиальная схема автоматического регулирования по замкнутому контуру представлена на рис. 3.1. Рис. 7.3.1.Принципиальная схема системы регулирования: 1 – регулируемый объект; 2 – источник возмущений; 3 – чувствительный элемент; 4 – регулирующий орган Регулируемый объект 1 находится под внешним воздействием источника возмущения 2. В результате этого воздействия происходит отклонение регулируемого параметра от заданного. Эти изменения воспринимаются чувствительным элементом 3, который передает необходимую информацию регулирующему органу 4, восстанавливающему заданный параметр у регулируемого объекта: 1 – 3 – 4 – 1 (обратная связь). Регулируемый объект 1 посредством обратной связи воздействует на чувствительный элемент 3, который в свою очередь действует на регулируемый объект 1. На рис. 7.3.1 дана простейшая схема системы автоматического регулирования. Обычно в состав системы автоматического регулирования входят различные дополнительные устройства, обеспечивающие надежность действия этой системы. В машинном агрегате регулируемым объектом обычно бывает двигатель, а источником возмущения является рабочая машина, приводимая в движение двигателем. Чувствительный элемент может быть механическим устройством, чаще всего механизмом регулятора центробежного типа, или электрическим типа тахогенератора, представляющего собой электрический генератор, развивающий напряжение, пропорциональное угловой скорости. Этим напряжением можно пользоваться для воздействия на регулирующий орган. Регулирующие органы могут быть различными в зависимости от технологического назначения машины. 3. Рассмотрим некоторые схемы автоматического регулирования угловой скорости начального звена машинного агрегата. На рис. 7.3.2 показан машинный агрегат, состоящий из рабочей машины 2 и теплового двигателя 1. Чувствительным элементом является центробежный регулятор 3. Регулятор состоит из двух тяжелых шаров К, сидящих на звеньях АС и BD. Эти звенья входят во вращательные пары С и D со звеньями СЕ и DF, которые в свою очередь входят во вращательные пары Е и F с муфтой N, имеющей возможность свободно скользить вдоль направляющей z – z. Звенья АС и BD связаны пружиной L, стремящейся сблизить шары. Рис. 7.3.2. Схема прямого регулирования машинного агрегата: 1 – двигатель; 2 – рабочая машина; 3 – регулятор; 4 – заслонка паропровода Регулятор приводится в движение от начального звена двигателя посредством промежуточного механизма, например парой конических колес Н и G. При вращении начального звена двигателя с угловой скоростью регулятор вращается с угловой скоростью , где и1р есть передаточное отношение от начального звена к регулятору. При различных угловых скоростях начального звена муфта N занимает различные положения. С муфтой N соединен рычажный механизм, увеличивающий или уменьшающий подачу движущей энергии Рд (например, пара или газа) в двигатель. Этот механизм состоит из звеньев OR и RT и заслонки 4. Палец М, принадлежащий звену OR, скользит в направляющих, принадлежащих муфте N. Предположим, что в результате уменьшения сил полезных сопротивлений в рабочей машине 2 угловая скорость регулятора увеличилась. Тогда шары К под действием центробежных сил будут удаляться от оси вращения z — z и муфта N будет перемещаться вверх. При этом звено RT будет действовать на заслонку 4, которая, опускаясь вниз, уменьшит сечение канала, по которому поступает в двигатель 1 рабочее вещество (пар, газ и т. д.). Тогда движущие силы уменьшатся, угловая скорость также уменьшится, муфта N начнет перемещаться вниз, и следовательно, заслонка 4 будет перемешаться вверх, увеличивая сечение канала. После увеличения подачи движущей энергии процесс может снова повторяться и т. д. Таким образом, работа регулятора представляет собой некоторый колебательный процесс. Регулятор отзывается автоматически на изменение величины угловой скорости начального звена двигателя и обеспечивает подачу необходимой энергии для передвижения регулирующего органа. Следует отметить, что описанный способ регулирования обладает тем недостатком, что после сброса нагрузки угловая скорость оказывается несколько выше той, с которой двигатель вращался до сброса нагрузки, хотя движение машинного агрегата вновь получается установившимся, но скорости этого движения уже иные и несколько больше, чем в начале процесса регулирования. Чтобы избежать указанного изменения скорости, в технике применяются более сложные схемы регулирования. Описанная система регулирования называется системой прямого регулирования, так как в ней регулятор непосредственно соединен с механизмом, увеличивающим или уменьшающим подачу движущей энергии. Раздел III. Сопротивление материалов 9. Тема 3.1 Основные понятия и определения сопротивления материалов 1. Основные понятия. 2. Метод сечений. Определение внутренних усилий. 3. Центральное растяжение-сжатие. Вопрос 1. Основные понятия При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой на первый взгляд незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции. Прочностью называется способность тел выдерживать необходимые внешние нагрузки в течение длительного времени не разрушаясь. Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость. Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации. Жесткость - способность конструкции и ее элементов противостоять внешним нагрузкам в отношении деформаций (изменение формы и размеров). При заданных нагрузках деформации не должны превышать определенных величин, устанавливаемых в соответствии с требованиями к конструкции. Деформации многих конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб сжатого стержня – при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание прямолинейного стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющий целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость. Устойчивостью называют свойство элементов машин или сооружений сохранять первоначальную форму упругого равновесия. Признаком потери устойчивости является внезапная смена одной формы равновесия другой. Основная задача курса сопротивления материалов - рациональный выбор формы и размеров поперечного сечения элементов, обеспечивающих прочность, жесткость, устойчивость и долговечность при минимальном расходе материалов. При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его дешевизной, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материала. Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется строительной механикой. Одним из разделов строительной механики является - сопротивление материалов. Другими ее разделами являются теория упругости (математическая и прикладная), теория пластичности и теория сооружений (включающая статику, динамику и устойчивость сооружений). В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций. В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций изготовлены из материалов, которые при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов. Сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования. Краткий исторический обзор. Начало развития сопротивления материалов относят к 1638 году и связывают с именем итальянского ученого Галилея, выполнившего первые теоретические расчеты балок при изгибе. В 1660 году Роберт Гук сформулировал закон линейной пропорциональности между деформациями и внутренними силами. С развитием техники развивалась и наука о сопротивлении материалов. Много в этой области сделано русскими учеными. MB. Ломоносов разработал основы учения о твердости и сконструировал прибор для раздавливания материалов. Яков и Даниил Бернулли в начале XVIII столетия исследовали деформацию изгиба балок. Л. Эйлер решил задачу об устойчивости сжатого стержня. В 1850 году Д.И. Журавский разработал теорию скалывания при изгибе. Он же создал метод расчета составных балок. Широко известны работы Ф.С. Ясинского, И.Г. Крылова, А.Н. Динника. Н.В. Корноухова и др. Основные гипотезы сопротивления материалов. Так как реальные материалы обладают весьма сложной структурой, то для упрощения их заменяют некоторой идеальной средой, приняв ряд гипотез (допущений). 1. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее, указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых существенно превышают не только межатомные расстояния, но и размеры кристаллических зерен. С понятием однородности тесно связано понятие сплошности среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот. Это допущение позволяет использовать в сопротивлении материалов методы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления). 2. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. предполагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Материалы, имеющие различные свойства в разных направлениях, называют анизотропными (например, дерево). Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал изотропен. Металлы и сплавы, как правило, изотропны. В настоящее время широкое распространение получили анизотропные композиционные материалы, состоящие из двух компонентов – наполнителя и связующего. Наполнитель состоит из уложенных в определенном порядке высокопрочных нитей – матрицы, что и определяет значительную анизотропию композита. Композиционные материалы имеют высокую прочность при значительно меньшем, чем металлы весе. 3. Принимается, что до определенной величины деформации материалов подчиняются закону Гука и весьма малы относительно размеров тела, поэтому все расчеты выполняются по исходной, т.е. недеформированной, схеме, к которой применим принцип независимости действия сил. 4. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструкций абсолютно упругий. Это допущение справедливо, пока нагрузки не превышают определенного значения. При больших нагрузках в элементах конструкций появляются пластические деформации. 5. Перемещения, возникающие под действием внешних сил в упругом теле, малы по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции. 6. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагружения. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. 7. Принимается гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации. 8. Считается, что ненагруженное тело свободно от каких бы то ни было внутренних сил любой природы. Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1, а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т. е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной оси. Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1, б). Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью. Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1, в). Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1, г). Рис. 1.1 РАСЧЕТНАЯ СХЕМА НАГРУЗКИ Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему. В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса. Точки приложения сил на оси бруса и сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет. Рис. 2.1 На рис. 2.1, а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы Р1 Р2, Р3. На рис. 2.1, б дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами Р и моментами М, приложенными к его оси. (Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.) Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например, к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии. Связи и опорные устройства Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и другое. Основным видом связей в расчетной схеме является шарнирная связь. Простой шарнир (рис. 1.2) накладывает две связи. Рис. 1.2 В расчетную схему входит основание, т.е. тело, на котоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной. Неподвижность расчетной схемы относительно основания обеспечивается опорными связями (опорами). Все опорные связи условно делятся на три основных типа: - Подвижная шарнирная опора (рис.1.3, а). Такая опора не препятствует вращению конца бруса и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через ось катка (R). - Неподвижная шарнирная опора (рис.1.3, б). Такая опора допускает вращение конца бруса, но устраняет поступательное движение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль оси бруса (Н), другая - перпендикулярно к оси бруса (R). - Жесткая заделка или защемление (рис.1.3, в). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре в общем случае может возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (H и R) и момент защемления (М). При рассмотрении реального объекта в число внешних сил включаются не только заданные нагрузки, но и реакции связей (опор), дополняющие систему сил до равновесного состояния. Рис. 1.3 Вопрос 2. Метод сечений. Определение внутренних усилий. Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение (увеличение или уменьшение) внутренних сил, т. е. появление дополнительных внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. 2.1, а). (Напоминаем, что в число внешних сил входят как заданные активные силы, так и реакции связей.) Мысленно рассечем элемент плоскостью I. Рис. 2.1 Силы воздействия отсеченной правой части элемента на его левую часть (на правый ее торец) являются по отношению к ней внешними; для всего же элемента в целом они являются внутренними силами. Этим силам (на основании известного закона механики: действие равно противодействию) равны по величине и противоположны по направлению внутренние силы воздействия левой части элемента на правую. В общем случае пространственной задачи взаимодействие между левой и правой частями элемента можно представить некоторой силой R, приложенной в произвольно выбранной точке О сечения I, и моментом М относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (рис. 2.1,б, в). Сила R является главным вектором, а момент М — главным моментом системы внутренних сил, действующих по проведенному сечению. Определение внутренних сил, возникающих в брусе, обычно производится для сечений, перпендикулярных к его продольной оси; т. е. для поперечных сечений бруса. Точка О принимается расположенной на оси бруса, т. е. совпадающей с центром тяжести его поперечного сечения. Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой (рис. 2.2, а). Рис. 2.2 Момент М раскладывается на два составляющих момента: момент МК, действующий в плоскости поперечного сечения и называемый крутящим моментом, и момент МИ действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению, и называемый изгибающим моментом (рис. 2.2, б). Каждому из внутренних усилий N, Т, МК и МИ соответствует определенный вид деформации бруса, Продольной силе N соответствует растяжение (или, сжатие), поперечной силе Т – сдвиг, крутящему моменту МК – кручение, а изгибающему моменту МИ – изгиб. Различные их сочетания, например, сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложные сопротивления. Внутренние усилия N и МК характеризуются каждое одним параметром – величиной усилия. Поперечная сила Т характеризуется двумя параметрами, например, величиной этой силы и ее направлением (в плоскости поперечного сечения бруса). Более удобно силу Т определять через составляющие ее поперечные силы QZ и QY, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (см, рис. 2.2, а). Изгибающий момент МИ также характеризуется двумя параметрами; его обычно раскладывают на два составляющих изгибающих момента МZ и МY относительно осей z и у. Таким образом, взаимодействие любых двух частей конструкции характеризуется тремя составляющими N, QZ и QY главного вектора и тремя составляющими МК, МZ и МY главного момента внутренних сил, возникающих, в рассматриваемом поперечном сечении. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями. Рассмотрим общий прием определения внутренних усилий, называемый методом сечений. Рассечем стержень (рис. 2.3, а) плоскостью /, совпадающей с поперечным сечением стержня. В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних усилий: N, QZ , QY , МК, МZ и Му (рис. 2.3,б,в). Правая часть стержня (рис 2.3, в) находится в равновесии; значит, внешние силы Р4 и Р5, приложенные к ней, уравновешиваются внутренними усилиями, действующими на правую часть. Но те же внешние силы уравновешиваются и нагрузками, приложенными к левой части стержня (силами Р1 , Р2 ,Рз), так как весь стержень в целом (рис 2.3, а) также находится в равновесии. Следовательно, нагрузки, приложенные к левой части стержня (силы Р1 , Р2 ,Рз), и внутренние усилия, действующие на правую часть, статически эквивалентны друг другу. Рис. 2.3 Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равна проекции на эту ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении, действующих со стороны левой части стержня на правую, равен моменту всех внешних сил, приложенных к левой части относительно этой оси. Из шести внутренних усилий, действующих в поперечном сечении стержня, проекции пяти усилий на каждую из осей х, у, и z равны нулю. Аналогично равны нулю и моменты пяти внутренних усилий относительно каждой из указанных осей. Это позволяет легко определять внутренние усилия в стержне, проецируя на ось х, или у, или z все внутренние усилия, действующие на правую часть стержня (рис. 2.3, в), и все внешние силы, приложенные к левой части (рис. 2.3,б), или определяя их моменты относительно одной из указанных осей. Определим, например, величину продольной силы N в поперечном сечении I, показанном на рис. 2.3. Из рис. 2.3, в видно, что проекция на ось х всех внутренних усилий, действующих на правую часть стержня, равна +N, если для проекций положительным считать направление справа налево. Поэтому сила N равна сумме проекций на ось х всех внешних сил, действующих на левую часть стержня (т. е. сил Р1 , Р2 ,Рз – см. рис. 2.3, б). Аналогично значение, например, крутящего момента МК в поперечном сечении стержня равно сумме моментов сил Р1 , Р2 ,Рз (рис. 2.3, б) относительно оси х, если положительными считать моменты, направленные по часовой стрелке (при взгляде с левого конца оси х на правый) и т. д. Внутренние силы, действующие в сечении со стороны левой части на правую, можно определить по внешним силам, приложенным не к левой, а к правой части. В этом случае полученные направления проекций внешних сил на выбранные оси и моментов относительно этих осей необходимо изменять на противоположные. Вопрос 3. Центральное растяжение-сжатие. Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, изгибающие моменты и крутящий момент) равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием). На рис. 3.1, а изображен прямой брус, закрепленный одним концом и нагруженный на другом конце силой Р, направленной вдоль его оси. Во всех поперечных сечениях этого бруса возникают только продольные растягивающие силу, и, следовательно, такой брус по всей длине является центрально растянутым. При противоположно направленной силе Р (рис, 3.1, б) брус по всей длине испытывает сжатие. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными. Рис. 3.1 На рис. 3.1, а изображен брус, нагруженный силами Р1 и Р2, направленными вдоль его оси, двумя силами Р3, параллельными оси и приложенными на равных расстояниях от нее в поперечном сечении с, а также двумя силами Р4, направленными под углом а к оси бруса, и приложенными в поперечном сечении d на равных расстояниях от оси. На рис. 3.1, б изображена расчетная схема, полученная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси. Силы Р1 и Р2 на расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы Р3 и силы Р4, показанные на рис, 3.1, а, приводятся соответственно к силам 2Р3 и 2P4 cos, также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчетной схеме (рис. 3.1, б) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следовательно, в поперечных сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы. Определим в качестве примера продольную силу N, в сечении / — / (см. рис. 3.1, б). На рис. 3.1, в, г показаны продольные силы N, действующие на левую (по отношению к сечению / — /) и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположении, что они являются растягивающими (т. е. положительными). Если в результате расчета значение N получится со знаком «минус», то это будет означать, что в действительности брус в сечении / — / сжат. Для определения силы N воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (см. рис. 3.1, в): откуда Этот же результат можно получить, и не составляя уравнения равновесия, а используя то положение, что на основании метода сечений проекция внутренних сил на ось бруса (т. е. продольная: сила), действующих со стороны левой его части на правую, равна сумме проекций на эту же ось всех внешних сил, прило­женных к левой части. Следовательно, Силы Р1 и 2Р3 взяты со знаком «плюс», потому что их направление совпадает с положительным направлением силы N/ действующей на правую часть бруса. Аналогично найдем продольные силы в сечениях //—//, III—III, IV—IV (рис. 3.1,б), проецируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса: ; ; Очевидно, что на всем участке аЬ (между точками приложения сил Р1 и Р2) продольная сила постоянна и равна Р1, аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения. Построим график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой N). Для этого проведем ось эпюры ае, параллельную оси бруса (рис. 3.1, д), и перпендикулярно к ней отложим ординаты, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса. Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, перпендикулярными к ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. В поперечном сечении, в котором к брусу приложена сосредоточенная сила, не перпендикулярная к его оси, значение продольной силы изменяется скачкообразно: слева от этого сечения, продольная сила имеет одно, а справа — другое значение, отличающееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 3.1, д, имеет скачки (уступы) в точках а, в, с, d, e, равные соответственно величинам Р1 —Р2, 2Р3, — 2P4cosa и значению реакции опорного закрепления бруса. Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях бруса, нет необходимости изображать и брус с действующими на него нагрузками и расчетную схему, а достаточно привести один из этих чертежей. Точно так же нет необходимости изображать отдельные части бруса, на которые он расчленяется поперечными сечениями. Например, для решения рассмотренной задачи можно изобразить лишь брус (рис. 3.1, а) или его расчетную схему (рис. 3.1, б), а также эпюру продольных сил N (рис. 3.1, д) и мысленно представить остальные схемы, приведенные на рис. 3.1. При действии на брус внешней распределенной осевой (т. е. направленной вдоль оси бруса) нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно. 10. Тема 3.2: «СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ И НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ» Учебные вопросы 1. Расчет статически определимых стержневых систем. 2. Расчет статически неопределимых стержневых систем. 3. Метод сил. Метод сравнения деформаций. Вопрос 1. Расчёт статически определимых стержневых систем. Под стержневой системой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму стержня. Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то стержневая система называется фермой (рис.1). Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники. Для фермы характерно приложение внешних сил в узлах. Рис. 1 Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой. Рис. 2 Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов расположены в одной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рис. 2, а). Наряду с плоскими имеются так называемые плоскопространственные системы. Для такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости. Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости (см. рис. 2, б). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (см. рис. 2, в). Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении. Расчёт статически определимых стержневых систем (последовательность) а) условие статической определимости: m = 2n – 3 где: m – количество стержней; n – количество узлов; б) определение реакций опор от заданных внешних нагрузок; в) выполнение проверки вычислений реакций опор; г) определение усилий во всех стержнях фермы методом вырезания узлов Расчётная схема фермы Выбираем и проводим оси координат. m = 2n – 3 7 = 2·5 – 3 где m – количество стержней (m = 7); n – количество узлов (n = 5); 7 = 7, следовательно, заданная ферма статически определима. 1). Вычисляем реакции опор от заданных внешних нагрузок. Мысленно отбрасываем опоры и заменяем их реакциями (условно вычерчиваем реакции опор на той же расчётной схеме). Составляем три уравнения равновесия: S Р (х) = 0 RВх + Р1 – RАх = 0; S Р (у) = 0 RВу – Р2 = 0; S М(В) = 0 RАх · 2 L tgα – Р1 · L tgα – Р2 · 2 L = 0; Решая систему этих трёх уравнений с тремя неизвестными, определяем реакции опор. RАх = (Р1 · L tgα + Р2 · 2 L) / 2 L tgα RВх = – Р1 + RАх 2). Производим проверку вычисления реакций опор. S М(А) = 0 RВх · 2 L tgα + Р1 · L tgα – Р2 · 2 L = 0 Подставляем в это выражение полученные числовые значения реакций опор, получаем: 0 = 0 Следовательно, реакции опор вычислены верно! 3). Определяем усилия во всех стержнях методом вырезания узлов. Вычисления усилий в стержнях фермы начинаем с узла, в котором сходится не более двух стержней, усилия внутри которых неизвестны. В данной ферме это узлы «В» и «Е». Рассмотрим узел «В». Узел «В» (определяем усилия в стержнях 1 и 4) 1) Мысленно вырезаем узел «В», заменяя действие отброшенной части фермы усилиями в стержнях 1 и 4. Усилия в них направляем от узла. 2) Вычерчиваем узел с приложенными к нему внешними нагрузками, проводим оси координат. Поскольку рассматриваемый узел находится в равновесии, составляем два уравнения равновесия (по количеству неизвестных): S Р (х) = 0 S4 · cosα + RВх = 0 (1) S Р (у) = 0 S1 + RВу + S4 · sin α = 0 (2) Из (1) уравнения вычисляем S4, из (2) уравнения вычисляем S1: Узел «А» (определяем усилия в стержнях 2 и 3) S Р (х) = 0 – RАх + S3 · cosα + S2 = 0 (3) S Р (у) = 0 – S1 – S3 · sinα = 0 (4) Из (3) уравнения вычисляем S2, из (4) уравнения вычисляем S3: Узел «С» (определяем усилия в стержнях 5 и 6) S Р (х) = 0 S6 = S2 S Р (у) = 0 S5 = 0; Этот узел относится к лемме о нулевых стержнях. Узел «Е» (определяем усилие в стержне 7) S Р (х) = 0 – S6 – S7 cosα = 0 (5) Для данного узла достаточно одного уравнения равновесия (5), из которого определяем S7: Узел «D» (проверочный) S Р(х) = 0 Р1 + S7 · cosα – S3 · cosα – S4 · cosα = 0 Подставляем найденные значения усилий в стержнях и получим, что 0 = 0. Следовательно, усилия в стержнях найдены верно! Вопрос 2. Расчёт статически неопределимых стержневых систем 1). Связи, накладываемые на систему. Степень статической неопределимости. Под статически неопределимой системой имеется в виду такая, для которой определение внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия. Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени, или числа статической неопределимости. В зависимости от этого числа системы разделяют на один, два, три, ..., п раз статически неопределимые. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее. Положение жесткого тела в пространстве определяется шестью независимыми координатами, иначе говоря, жесткий стержень обладает шестью степенями свободы. На него могут быть наложены связи, т.е. ограничения, обусловливающие его определенное положение в пространстве. Наиболее простыми связями являются такие, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений. Наложение одной связи снимает одну степень свободы. Следовательно, если на свободный жесткий стержень наложено шесть связей, то положение его в пространстве будет, за некоторыми исключениями, определено полностью, и система из механизма, обладающего шестью степенями свободы, превращается в кинематически неизменяемую систему. То число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, носит название необходимого числа связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительной. Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы. Связи в рамах и стержневых системах делят обычно на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимаются условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы. Если, например, на левый конец бруса (рис. 3, а) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно ее изображают в виде двух шарниров или катка. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное смещение, говорят, что наложены две внешние связи (рис. 3, б). Заделка в плоской системе дает три внешние связи (рис. 3, в). Рис. 3 Внешние связи часто, как уже упоминалось, делят на необходимые и дополнительные. Например, на рис. 4 показана плоская рама, имеющая в случае а три, а в случае б- пять внешних связей. Для того чтобы определить положение рамы в плоскости как жесткого целого, необходимо наложение трех связей. Следовательно, в случае а рама имеет необходимые внешние связи, а случае б, кроме того, две дополнительные внешние связи. Рис. 4 Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Здесь также можно говорить как о необходимых, так и о дополнительных связях. Например, плоская рама, показанная на рис.5 а, имеет необходимое количество как внешних, так и внутренних связей между элементами. Рис. 5 Это - кинематически неизменяемая система. Если будут заданы внешние силы, мы сможем при помощи уравнений статики найти как реакции опор, так и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении рамы. В той же раме, показанной на рис.5 б, кроме внешних наложены две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное смещения точек А и В. Система в данном случае дважды статически неопределима (иногда добавляют: внутренним образом). Рис. 6 В раме, показанной на рис. 4, а и б, также имеются внутренние дополнительные связи. Контур рамы полностью замкнут. Разрезая его в любом сечении (рис. 6), мы, не нарушая кинематической неизменяемости, получаем возможность при заданных силах найти внутренние силовые факторы в каждом сечении рамы. Следовательно, разрезая замкнутую раму, мы снимаем дополнительные связи, т.е. позволяем сечениям А и Б поворачиваться и смещаться в двух направлениях одно относительно другого. Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский контур имеет три дополнительные взаимные связи, т.е. трижды статически неопределим. Таким образом, рама, показанная на рис. 4 а, трижды статически неопределима, а рама, представленная на рис. 4, б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза - внешним). Рассмотрим теперь несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем. На рис. 7 показано несколько рам. Последовательно рассмотрим их. а. Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и три внутренние связи, т.е. семь раз статически неопределима. б. Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует. Тогда имеются две внешние и три внутренние дополнительные связи. Система без шарнира А была бы пять раз статически неопределимой. Рис 7 Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира (рис.8). Так как каждый шарнир снимает одну связь, т.е. разрешает поворот одного сечения относительно другого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти – три раза статически неопределимой. Рис 8 Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней. В данном случае в шарнире А сходятся три стержня, и шарнир снимает две связи. в. Если бы шарнир А отсутствовал, система была бы статически неопределимой четыре раза внешним образом и три раза внутренним образом, т.е. всего семь раз. Шарнир А снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней, т.е. три связи. Рама четыре раза статически неопределима. г. Рама три раза статически неопределима. д. Внешние связи не удовлетворяют условиям кинематической неизменяемости. Это - механизм, точнее говоря, мгновенный механизм. Система имеет возможность поворачиваться относительно верхней опоры как жесткое целое. Понятно, что угол поворота будет небольшим. Нижняя связь заклинится и будет достигнуто какое-то положение равновесия:, но новое положение связей будет зависеть от жесткости системы. К раме неприменимы основные принципы сопротивления материалов: принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил. Вопрос 3. Метод сил. Метод сравнения деформаций Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданную статически неопределимую систему освобождают от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяют силами и моментами. Значения этих сил и моментов подбирают так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладывают на систему отброшенные связи. Таким образом, при указанном способе раскрытия статической неопределимости неизвестными оказываются силы. Отсюда и название "метод сил". Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяют и другие методы, например метод перемещений, в котором за неизвестные принимают не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы. Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 9 а, можно предложить основные системы б-е, которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 10 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах - с другой. После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводят силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводят моменты. Рис 10 Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать , где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные силы и моменты прикладывают как к правой, так и к левой частям системы. На рис. 11 показано пять возможных способов приложения неизвестных сил, соответствующих задающей основной системе. Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится понятным без дальнейших пояснений. Рис 11 Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных. 3). Канонические уравнения метода сил Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим систему, представленную на рис. 12. Рассматривается конкретная семь раз статически неопределимая система. Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через обозначать взаимное смещение точек системы. Первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй –силе, вызвавшей это перемещение. В рассматриваемой раме в точке А отброшена опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать: Рис 12 Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1 а индекс (Х1Х2,...,Р) показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных. Аналогично можно записать: и т.д. Так как под величиной понимается взаимное смещение точек, то обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, - горизонтальное взаимное смещение тех же точек, - взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением в рассматриваемой системе будет также (Х1Х2,...,Р) В точках А и D смещения являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы. Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений (Х1Х2,...,Р): ; Аналогичным образом запишем, и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых , входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы, указанной в первом индексе, и под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, можно записать в следующем виде: = (1) Что касается перемещений и т. д., то под Р в индексе будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной. Поэтому величины ,… в уравнениях оставим неизменными. Теперь уравнения примут вид: ; ; . . . . . . . . . . . . ; Эти уравнения носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. Пример. Прямой однородный стержень (Рис. а) жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определить наибольшие напряжения, возникающие в стержне. Рис. а Система, очевидно, один раз статически неопределима, поскольку две реакции опор R и Rb не могут быть определены из одного уравнения равновесия RA + RB = P. Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на столько же сократится нижняя. Следовательно, || = -|| выражая удлинения через силы и используя закон Гука, получим: или Ra = 2RB. Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим: Ra = 2/ЗР, RB = 1/ЗР. Наибольшее напряжение тлх = 2P/(3F). 11. Тема 3.3. «СДВИГ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ» Учебные вопросы Сдвиг, срез, смятие. Геометрические характеристики плоских сечений. Вопрос 1. Сдвиг, срез, смятие Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла малого элемента бруса (рис.1.1) под действием касательных напряжений . Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием. Примером сдвига является резка полосы ножницами. На сдвиг работают жесткие соединения конструкций – сварные, заклепочные и так далее. Деформация сдвига оценивается взаимным смещением граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис. 1.2), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом (углом сдвига) , являющимся безразмерной величиной. В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле , где Q – поперечная сила в данном сечении. Условие прочности записывается по минимальной площади среза Amin, отражающей минимальное число соединяющих элементов (заклепок, болтов, штифтов и т.д.) или минимальную длину сварного шва. При расчете болтовых или заклепочных соединений учитывается смятие контактирующих поверхностей, то есть пластическую деформацию, возникающую на поверхности контакта. , где Aсм – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость. При выполнении проектного расчета, то есть при определении необходимого диаметра заклепки, болта или при определении их количества необходимо учитывать условие прочности на срез и на смятие, из двух значений следует взять большее число, округлив его до ближайшего целого в меньшую сторону. Примечания: 1. Так как болты и заклепки ослабляют соединяемые листы, последние проверяют на разрыв в ослабленных сечениях . В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу – это закон Гука при сдвиге; G – модуль сдвига, Н/м2, характеризующий жесткость материала при сдвиге. Закон Гука при сдвиге через абсолютные деформации: , где а – расстояние между сдвигаемыми гранями; А – площадь грани. Модуль сдвига G, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона материала связаны зависимостью Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений. Расчет заклепок на срез При простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения. На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига. В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены сваркой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).    Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (рис. 1.3). Заклепки, расположенные в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил P. Рис. 1.3 Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов. На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при n заклепках в соединении, изображенном на рис. 1.3, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы (рис. 1.4); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов. Рис. 1.4 Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (рис. 1.4). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение: Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: . Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде: т. е. действительное касательное напряжение в материале заклепки должно быть равно допускаемому , или меньше его. Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок : Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может взять на себя каждая заклепка. Пусть тогда Рис. 1.5 При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (рис. 1.5) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk. Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются. При проектировании строительных конструкций применяется следующее условие прочности на срез для заклепок и болтовых соединений где Q – поперечная сила, равная внешней силе F, действующей на соединение; Rbs – расчетное сопротивление на срез; – расчетная площадь сечения болта или заклепки; d – диаметр заклепки или наружный диаметр болта; ns – число срезов одного болта или заклепки; – коэффициент условий работы соединения, имеющий значения в интервале ; n – число болтов или заклепок. Если величины F, Rbs, , ns известны, то задаваясь числом заклепок или болтов n, можно найти необходимый для обеспечения прочности на срез диаметр . А зная d, F, Rbs, , ns, можно определить потребное число заклепок или болтов Расчет заклепок на смятие и листов на разрыв Помимо среза заклепкам и соединяемым листам в конструкции угрожают и иные опасности. Так как передача сил на заклепочный стержень происходит путем нажатия стенок заклепочного отверстия на заклепку, то необходимо установить, не произойдет ли наружное обмятие этого стержня или стенок отверстия, — произвести проверку на смятие. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникающую в соединениях на поверхностях контакта. Возникающие при этом напряжения являются нормальными, закон распределения которых по поверхности контакта достаточно сложен. На рис. 1.7 указана примерная схема передачи давлений на стержень заклепки. Закон распределения этих давлений по цилиндрической поверхности нам неизвестен; он во многом зависит от неправильностей формы заклепочного отверстиями стержня, вызванных условиями изготовления конструкции. Поэтому расчет производится условно. Принято считать, что неравномерное давление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется равномерно по диаметральной плоскости сечения заклепки. При этом напряжение по этой диаметральной плоскости оказывается примерно равным наибольшему сминающему напряжению в точке А поверхности заклепки. Рис. 1.7 Чтобы вычислить это условное напряжение смятия, необходимо разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения ВСС'В'. Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которого служит диаметр заклепки, другая же равна толщине листа, передающего давление на стержень заклепки. Так как давление на одну заклепку равно , то условие прочности на смятие будет иметь вид: где — допускаемое напряжение на смятие. Отсюда необходимое число заклепок Допускаемое напряжение на смятие принимают обычно в 2 - 2,5 раза больше основного допускаемого напряжения на растяжение и сжатие , так как расчет на смятие по существу является упрощенной проверкой прочности по контактным напряжениям. Таким образом, определяется число заклепок, необходимое для прочного соединения листов. Из двух полученных значений , конечно, надо взять большее. Если мы вернемся к рассмотренному ранее примеру и примем , , то получим: Таким образом, условие прочности заклепок на перерезывание требует постановки двадцати четырех заклепок; условие же прочности на смятие — пятнадцати заклепок. Очевидно, необходимо поставить двадцать четыре заклепки. В этом примере работа заклепок на срез оказывается опаснее работы их на смятие. Это обычно бывает в соединениях с так называемыми односрезными заклепками, в которых каждая заклепка перерезывается в одной плоскости. а) расчетная схема, б) действующие усилия Рис. 1.8 В несколько других условиях будут работать заклепки соединения, показанного на рис. 1.8, а. Здесь стык двух листов осуществлен при помощи двух накладок. Сила Р при помощи первой группы заклепок передается от левого листа обеим накладкам, а от последних при помощи второй группы заклепок передается правому листу. Называя через число заклепок, необходимое для передачи усилия Р от листа на накладки и от накладок на другой лист, получаем, что на каждую заклепку передается усилие от основного листа . Оно уравновешивается усилиями , передающимися на заклепку от накладок (рис. 1.8, б). Стержень заклепки теперь подвергается перерезыванию уже в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается влево. Допускают, что срезывающая сила равномерно распределяется по двум сечениям, mk и gf. Напряжение и условие прочности для двухсрезной заклепки принимает вид: и Таким образом, при двойном перерезывании число заклепок по срезыванию оказывается в два раза меньше, чем при одиночном перерезывании. Переходим к проверке на смятие. Толщина склепываемых листов ; толщина накладок не должна быть меньше 0,5t, так как две накладки должны взять от основного листа всю силу Р. Поэтому: Сила сминает и среднюю часть заклепки и верхнюю с нижней. Опаснее будет смятие той части, где площадь смятия меньше. Так как толщина среднего листа не больше суммы толщин обеих накладок, то в худших условиях по смятию будет средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие останется таким же, как и при односрезных заклепках: Таким образом, для рассматриваемой конструкции число заклепок в первой и во второй группах определится из полученных условий. Пусть Тогда: . В этом случае при двухсрезных заклепках условия их работы на смятие тяжелее, чем на срезывание; следует принять . На двух рассмотренных примерах мы установили общие методы проверки прочности заклепочных соединений. В металлических конструкциях иногда приходится склепывать целые пакеты соединяемых элементов. В таких пакетах заклепки могут работать и на большее число срезов. Однако методы расчета многосрезных заклепок не отличаются от изложенных. Для вычисления касательных напряжений следует разделить силу, относящуюся к одной заклепке, на суммарную площадь среза, воспринимающую эту силу. Для вычисления же напряжений смятия следует найти ту часть заклепки, которая находится в наиболее опасных условиях, т. е. воспринимает наибольшую силу на наименьшем протяжении. Напряжения смятия получаются делением этой силы на площадь диаметрального сечения наиболее напряженной части заклепки. Затем останется написать два условия прочности и получить . Наличие заклепок вносит некоторые изменения и в проверку прочности на растяжение или сжатие самих склепанных листов. Опасным сечением каждого листа (рис. 1.9) будет теперь сечение, проходящее через заклепочные отверстия; здесь рабочая ширина листа будет наименьшей; принято говорить, что это сечение ослаблено заклепочным отверстием. Называя полную ширину листа b, получаем для него такое условие прочности: где — число отверстий, попадающих в сечение (в нашем случае — два). Рис. 1.9 Отсюда можно найти величину , задавшись толщиной листа t. Площадь ослабленного сечения называется площадью нетто, площадь же полного сечения листа называется площадью брутто. Этот учет влияния заклепочных отверстий на прочность склепываемых листов общепринят, но является весьма условным. На самом деле, влияние отверстия в листе вызывает у его краев, на концах диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения, значительные местные напряжения, которые могут достичь предела текучести материала и вызвать остаточные деформации, захватывающие, однако, весьма небольшой объем материала листа. Некоторую опасность в отношении образования трещин эти местные напряжения могут представить лишь при действии переменных нагрузок в материале, имеющем низкий предел усталости. Однако в обычных условиях работы заклепочных соединений эта опасность может считаться исключенной. Во избежание возможности разрушения листов заклепками заклепки размещаются на определенных расстояниях друг от друга и от края листа. Расположение заклепок в плане производится как по условиям обеспечения прочности и плотности соединения, так и по чисто производственным соображениям. Расстояния между центрами заклепок принимаются не менее 3d и не более 7d. Расстояния до края листов должны быть не менее (рис.5.23). Чтобы длина стыка была возможно меньше, берут , а в целях меньшего ослабления сечения расстояние е берут возможно большим (до 7d), что позволяет уменьшить число рядов, а следовательно, и ослабление. Рис. 1.10. Практические рекомендации по расположению заклепок в соединении. При проектировании заклепочных соединений для котлов и резервуаров, где добиваются плотных швов, помимо расчета на срез производят проверку сопротивления скольжению за счет трения. Однако допускаемое напряжение по скольжению дается в МПа поперечного сечения заклепки; таким образом, проверка на трение при односрезных заклепках сводится к проверке на срез лишь с другим допускаемым напряжением. При двухсрезных заклепках в расчет на трение вводится, конечно, одна площадь сечения заклепки, но зато повышается почти вдвое допускаемое напряжение на трение за счет двух накладок. Поэтому так называемый расчет заклепок на трение является, по существу, проверкой прочности на срез с другими лишь допускаемыми напряжениями на квадратный сантиметр площади поперечного сечения заклепки. Правильнее было бы сохранить лишь один метод проверки заклепочных соединений на смятие и срез, учитывая влияние сил трения при назначении допускаемых напряжений в зависимости от способа клепки, качества отверстий и требований, предъявляемых ко шву в отношении плотности. В заклепочных соединениях для котлов принимают обычно допускаемое напряжение на скольжение (на 1 см2 площади заклепки): - от 50 до 70 МПа при швах внахлестку, - от 90 до 120 с двумя накладками. При проверке по этим данным, очевидно, надо вести расчет, как при заклепках одиночного перерезывания, с допускаемым напряжением от 50 до 70 или от 90 до 120 МПа. При проектировании строительных конструкций применяется следующий алгоритм расчета болтовых и заклепочных соединений на смятие. Рис. 1.11 Упрощая расчет, площадь, подвергающуюся смятию, принимают равной где d – диаметр заклепки (болта); n – их число; – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Сминающей будет та же сила F, которая производит и срез. Таким образом, условие прочности на смятие имеет вид: где Rbp – расчетное сопротивление на смятие. Из условия можно найти либо необходимый диаметр d по известным величинам F, t, n, Rbp,: , либо определить потребное число заклепок n . Из двух значений диаметров, рассчитанных ранее по формулам, берут больший, округляя его до стандартного значения. Точно так же из двух значений n, выбирают большее число, естественно, округленное до большего целого. У к а з а н и я 1. В заклепочных и болтовых соединениях при действии поперечной силы Q , проходящей через центр тяжести соединения, распределение этой силы между заклепками или болтами принимают равномерным. 2. При действии на соединение момента, вызывающего сдвиг соединяемых элементов, распределение усилий на болты или заклепки следует принимать пропорционально расстояниям от центра тяжести соединения до рассматриваемого болта или заклепки. 3. Болты или заклепки, работающие одновременно на срез и растяжение, следует проверять отдельно на срез и на растяжение. Дополнительные задачи на сдвиг Задачи на сдвиг встречаются не только при расчете заклепочных и болтовых соединений. Имеются и другие элементы конструкций, испытывающие деформацию сдвига, и поэтому при их расчете необходимо всякий раз удовлетворять условию прочности на срез и условию прочности на смятие Например, при расчете соединения деревянных элементов в качестве условия применяется условие прочности на скалывание вдоль волокон где Rск – расчетное сопротивление скалыванию. Вопрос 2. Геометрические характеристики плоских сечений Прочность и жесткость стержней зависит от геометрических характеристик их поперечных сечений. Геометрическими характеристиками плоских сечений являются: площадь; координаты центра тяжести; статические моменты площади; полярный, осевые и центробежные моменты инерции, радиусы инерции. Рис. 2.1 Площадь поперечного сечения стержня определяет его прочность и жесткость при деформациях растяжения, сжатия, сдвига. При рассмотрении деформации растяжения-сжатия, мы считали, что продольная сила направлена вдоль оси стержня, проходящей через центр тяжести поперечных сечений, определяющих очертания оси бруса. Из курса теоретической механики мы знаем, что координаты центра тя-жести определяются через соответствующие статические моменты площади. Статическим моментом площади фигуры относительно некоторой оси называется взятая по всей ее площади F сумма произведений площади элементарных площадок dF на их расстояния до оси. Для двух взаимно перпендикулярных осей OX и OY, лежащих в плоскости фигуры, статические моменты определяются соотношениями: ; Статический момент может быть как положительным, так и отрицательным. Размерность статического момента – размерность единицы длины в третьей степени: , , . Обозначим координаты центра тяжести сечения точки С через и . Тогда статические моменты и можно выразить по известным из курса теоретической механики формулам: = F; = F. Откуда следует выражение для определения координат центра тяжести: = ; = ,или = ; =. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, называются центральными осями. Отсюда вытекает следующее определение: центром тяжести плоской фигуры называется точка пересечения ее центральных осей. Чтобы вычислить координаты центра тяжести составной фигуры, ее разбивают на отдельные простые фигуры, положение центров тяжести которых известно, и используют соотношение: = ; = . Моменты инерции сечения. Моменты инерции поперечных сечений определяют жесткость стержня при действии внешних моментов, вызывающих деформации кручения или изгиба. Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, называется взятая по всей его площади F сумма произведений площадей элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой оси, то есть: = ; = . Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой точки, то есть: = , или = + . Центробежным моментом инерции плоской фигуры относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называют взятую по всей ее площади сумму произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, то есть: = . Моменты инерции имеют размерность единицы длины в четвертой степени: , , . Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны и в ноль не обращаются! Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным или нулевым! Оси, для которых полярный момент инерции обращается в ноль, называются главными осями плоской фигуры. Если хотя бы одна из двух координатных осей является осью симметрии, то центробежный момент инерции равен нулю. Отношение осевых моментов инерции плоской фигуры к ее площади определяет радиусы инерции плоской фигуры: = ; = . Моменты инерции для различных фигур: 1. Для квадрата: == 2. Для прямоугольника: =; = 3. Для равностороннего треугольника: =; = 4. Для прямоугольного треугольника: =; = 5. Для круга: == 6. Для кольца: == 12. Четверть круга Jy=Jx=0,055R4 Jxy=0,0165R4 Jx0=0,0714R4 Jy0=0,0384R 4 13. Полукруг Моменты инерции относительно параллельных осей: Jx1 = Jx + a2F; Jy1 = Jy + b2F Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента: Двутавр Швеллер Уголок Моменты инерции сечений сложной формы. Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси: , что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их. Пример. Определить момент инерции сечения относительно оси симметрии, a=10 см. Решение: Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг. Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле: . Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: для равнобедренного треугольника: ; для прямоугольника: ; для круга: . Окончательно получим: 14. Тема 3.4. «ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ» Учебные вопросы 1. Прямой поперечный изгиб. 2. Определение внутренних усилий при изгибе. 3. Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. Вопрос 1. Прямой поперечный изгиб. Изгибом называется деформация, сопровождающаяся изменением кривизны оси стержня. При изгибе прямолинейного стержня ось его получает криволинейное очертание; продольные волокна у вогнутой стороны стержня укорачиваются, а у выпуклой удлиняются (рис. 1.1). Рис. 1.1 Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов, действующих в плоскости, проходящей через его ось. Если в поперечных сечениях бруса не действуют никакие другие внутренние силовые факторы, кроме изгибающих моментов М, то изгиб называют чистым. В общем случае изгиба в поперечных сечениях возникают еще и внутренние поперечные силы Q. Если внешняя нагрузка, действующая на стержень, направлена перпендикулярно его оси, то изгиб называют поперечным (рис. 1.1). Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Если плоскость внешней нагрузки, проходит через одну из главных центральных осей инерции каждого поперечного сечения балки, то изгиб называют прямым (или плоским), в противном случае косым. При косом изгибе изогнутая ось стержня не расположена в плоскости действия нагрузки. В случае если после деформации ось стержня оказывается плоской кривой, то изгиб называется простым. В данном разделе мы будем изучать плоский поперечный изгиб. Рассмотрим три основные типа опор балок (рис. 1.2). 1. Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.2,а). В опоре возникает только одна реакция в виде силы А, перпендикулярной опорной плоскости (и оси балки). 2. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.2,б). В опоре возникает реактивная сила, проходящая через центр шарнира. Её составляющими являются сила А, препятствующая смещению закрепленного сечения в направлении, перпендикулярном оси балки, и сила RА, препятствующая смещениям вдоль оси балки. 3. Защемление или заделка (рис. 1.2,б). Защемленный конец балки не может ни смещаться, ни поворачиваться. В опоре могут возникать три реакции: силы А, RА и реактивный момент в заделке МА. Рис. 1.2 Мы будем рассматривать только статически определимые балки при плоской системе внешних нагрузок. Примеры схем таких балок приведены на рис. 1.3,а и 1.3,б, опорные реакции определяем из уравнений статики: ; ; . Рис. 1.3 Если внешние нагрузки перпендикулярны оси балки, то продольная составляющая опорной реакции RА равна нулю. К балкам могут быть приложены внешние нагрузки следующих видов (рис. 1.4): - сосредоточенная нагрузка Р ; - распределенная нагрузка интенсивностью q, Н/м; - пара сил М, Нм. Рис. 1.4 Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, какой вид деформации называется изгибом. Выяснили, что изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Узнали, в каких случаях изгиб называют чистым, чем отличается прямой изгиб от косого изгиба. Рассмотрели три основные типа опор балок. Вопрос 2. Определение внутренних усилий при изгибе. 2.1. Внутренние силовые факторы при изгибе (изгибающий момент и поперечная сила) Рассмотрим балку на двух опорах, на которую действует система сил Р1, Р2, Р3 и опорные реакции А и В (рис. 2.1). Для определения внутренних усилий в сечении балки воспользуемся методом сечений. Проведем произвольное сечение I-I и рассмотрим равновесие одной отсеченной части, например, левой. Левая часть балки под действием внешних и внутренних сил находится в равновесии. Очевидно, что внутренние силы сводятся к поперечной силе Q и паре сил М, которые можно определить из уравнений статики: , , здесь точка 1 – центр тяжести поперечного сечения I-I удаленного от начала координат на расстояние . Рис. 2.1. Силу Q называют внутренней поперечной силой, а пару сил М – внутренним изгибающим моментом. Таким образом, поперечной силой называется алгебраическая сумма проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на перпендикуляр к оси балки. Изгибающим моментом называется алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести поперечного сечения балки. 2.2. Дифференциальные зависимости при изгибе Рассмотрим балку, загруженную произвольной нагрузкой (рис. 2.4). Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки малой длины dz. Рассмотрим равновесие выделенного элемента. В сечении с координатой z действует внутренняя поперечная сила Qz и изгибающий момент Мz. В сечении с координатой (z+dz) сила Qz и момент Мz получат приращение dQz и dМz, вызванное действием распределенной по длине нагрузки интенсивности q. Из-за малости dz будем считать dq=0. Рис. 2.4 Воспользуемся уравнениями статики. Рассмотрим сумму проекций всех сил, действующих на элемент, на ось у: ; ; (2.1) Итак, первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной его оси. Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов, действующих на него сил, относительно центра тяжести правого сечения точки К (рис. 2.4): Здесь - величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Получаем, что: , или . (2.2) Первая производная от изгибающего момента, по длине балки равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского. Подставляя Qz= dMz/dz в первое соотношение, находим: . (2.3) Вторая производная от изгибающего момента по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки. 2.3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов М называются графики изменения этих величин по длине балки. При построении и контроле правильности построения эпюр Q(z) и M(z) используют ряд правил, вытекающих из полученных выше дифференциальных зависимостей: - если участок балки нагружен распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q ,то функция Q(z) будет линейной, а M(z) – квадратичной, при этом выпуклость кривой M(z) будет обращена на встречу направлению распределенной нагрузки; - если распределенная нагрузка отсутствует (q=0), то поперечная сила будет постоянна (Q(z)=const) , а изгибающий момент будет изменяться по линейному закону, при этом знак Q(z) будет определять направление наклона прямой: если Q(z)>0, то M(z) возрастает и наоборот; - если поперечная сила обращается в нуль, то изгибающий момент в этой точке достигает экстремального значения; - если в сечении приложена пара внешних сил, то на эпюре M(z) имеет место разрыв на величину момента пары, а на эпюре Q(z) изменений нет; - если в сечении приложена внешняя сосредоточенная сила Р, то на эпюре Q(z) имеет место разрыв на величину силы Р, а на эпюре M(z) происходит излом зависимости M(z). Рассмотрим последовательность построения эпюр Q и M. 1. Определяют опорные реакции из условий статического равновесия балки. В дальнейшем опорные реакции учитываются точно так же, как и другие внешние нагрузки. 2. Разбивают балки на участки с однородным нагружением. Границами участков являются: начало и конец балки; сечения в которых приложены внешние силы Pi, или пары сил ; начало и конец распределенной нагрузки qk. 3. Для каждого i - го участка методом сечения с учетом правила знаков определяют зависимости Q(zi) и M(zi), причем координата сечения zi может отсчитываться как от левого, так и от правого края балки. Следует помнить, что для силы Q правило знаков противоположное для левой и правой части, а также то обстоятельство, что при построении эпюры М надо определять знак внешней нагрузки только в зависимости от того, какую форму она придает изогнутой оси балки: выпуклостью вверх или вниз, независимо от того знака, который был присвоен этой нагрузке при построении эпюры Q. Правила знаков для эпюр Q и М разные! 4. В зависимости от вида функций Q(z) и M(z) определяют число опорных точек, по которым строят участок эпюры: одна точка, если Q=const (или M=const); две точки, лежащие на границах участка для линейной функции, три точки для квадратичной функции; две из них на границах участка и одна – точка экстремума, или, если экстремума нет, то рассматривают точку посередине участка. 5. Проверяют правильность построения эпюр Q и М, по правилам изложенным в начале данного подраздела. Рассмотрим примеры построения эпюр Q и M. Вывод: В рассмотренном вопросе мы выяснили, какие внутренние силовые факторы возникают при изгибе. Рассмотрели дифференциальные зависимости при изгибе. Узнали правила и последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Вопрос 3. Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. При определении знаков нагрузок используют следующие правила знаков. Поперечная сила считается положительной, если внешняя сила, расположенная слева от сечения, направлена вверх, или сила, расположенная справа от сечения, направлена вниз (рис. 2.2). Рис. 2.2 Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, и наоборот (рис. 2.3). Рис. 2.3 Пример 1. Построить эпюры Q и М для балки, показанной на рис.2.5. Определим опорные реакции. Система нагружения симметричная, следовательно А=В. Учитывая, что находим А=В=Р. Разбиваем балку на участки. Здесь мы имеем три участка балки. Будем рассчитывать координаты сечения от левого края: 1 участок: ; 2 участок: ; 3 участок: . Рис. 2.5. Построим эпюру Q. 1) Q(z1)=P 2) Q(z2)=P - P= 0 3) Q(z3) =P - P - P = - Р На всех участках поперечная сила постоянна, что и отражено на эпюре Q (рис. 2.5,б). Скачки на эпюре соответствуют внешним нагрузкам. Построим эпюру M: 1) M(z1) = Pz1; при z1=0, M(z1) = 0, при z1=a, M(z1) = Pa. 2) M(z2) = Pz2 – P(z2 – a)= Pa = const. 3) M(z3) = Pz3 – P(z3 – a) – P(z3 – a - b)= - P(z3 – 2a - b) при z3 = a+ b, M(z3)=-P(a+ b–2a– b )= Pa; при z3 = 2a + b, M(z3) = – P(2a + b - 2a - b) = 0. На первом и втором участке зависимость М(z) - линейная, строится по двум точкам. На первом участке Q(z1)>0, поэтому M(z1) возрастает, на третьем участке, наоборот, Q(z3)< 0 и M(z3) убывает (рис.2 5,в). На втором участке Q(z2)=0, и поэтому M(z2)=const. Второй участок представляет собой пример частного случая изгиба, который во введении был назван чистым изгибом: в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент. Пример 2. Рассмотрим балку на двух шарнирных опорах, загруженную распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q (рис. 2.6). Требуется построить эпюры Q и М. Рис. 2.6. Определим опорные реакции. Из-за симметрии схемы нагружения А=В. Так как . Имеем один участок нагружения. Введем начало отсчета координаты сечения от левого края. Построим эпюру Q(z): Q(z )= A – qz = . Зависимость Q(z) - линейная. Для её построения необходимо задать две точки (рис.2.6,б): при z=0: Q(z) = при z = l: Q(z) = . Перейдем к построению эпюры M(z): M(z) = . Уравнение M(z) является уравнением квадратичной зависимости: при z=0: M(z)=0 ; при z=l: M(z) = . Максимальный момент имеет место в сечении, в котором . Из эпюры Q(z), следует, что координата этого сечения z=. Следовательно, Mmax (z) = M(l/2) = . Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали правила знаков, принятые при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, и закрепили пройденный материал, рассмотрев два примера на построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Тема 3.5: «Сложное сопротивление. Косой изгиб. Внецентренное растяжение» Учебные вопросы Анализ напряженного и деформированного состояния в точке тела. Сложное сопротивление. Косой изгиб. Расчет по теориям прочности. Вопрос 1. Анализ напряжённого и деформированного состояния в точке тела Компоненты напряжений в точке. Если твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений, действующих на этих площадках, характеризует напряженное состояние в данной точке. Исследование напряженного состояния в теле связано с получением зависимостей, позволяющих определить напряжения по любой площадке в любой точке тела. В теле, нагруженном произвольной системой сил (рис. 3.1, а) выделим в окрестности некоторой точки элементарный объем в виде параллелепипе­да, по граням которого действуют внутренние силы, заменяющие действие отброшенных частей тела (рис. 3.1, б). Полное напряжение, возникающее на гранях элемента, можно разложить на три составляющие. В обозначении нормального напряжения индекс указывает ось, параллельно которой оно направлено. В обозначении касательного напряжения два индекса: первый показывает, к какой оси перпендикулярна площадка, на которой действует напряжение, второй — направление действия напряжения. Величины называют компонентами напряжений в рассматриваемой точке. Рис. 3.1. Напряжения на гранях элементарного куба в окрестности произвольной точки нагруженного тела Закон парности касательных напряжений. Параллелепипед, выделенный в окрестности рассматриваемой точки, должен находиться в равновесии при действии сил, приложенных к его граням. Нормальные силы на гранях параллелепипеда взаимно уравновешены, и, следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей, можно получить следующие три равенства: (3.1) Итак, касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам и перпендикулярные к их общему ребру, одинаковы и направлены либо к ребру, либо от ребра. Это и есть закон парности касательных напряжений. Растягивающее нормальное напряжение считают положительным, сжимающее — отрицательным. Знак касательных напряжений зависит от направления осей координат. Главные площадки и главные напряжения. Определение напряжений по граням выделенного элемента — только первый шаг в решении задач, связанных с проверкой прочности детали (конструкции) при ее сложном напряженном состоянии, и называется определением напряженного состояния детали (конструкции). Составляющие полного напряжения зависят от ориентации площадки. Можно найти положение такого элементарного объема, по граням которого будут действовать только нормальные напряжения. Такие площадки принято называть главными, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями . В теории упругости доказывается, что в общем случае в любой точке напряженного тела всегда есть как минимум три взаимно перпендикулярные главные площадки, при этом Линейное и плоское напряженное состояние Общие положения. В зависимости от числа главных напряжений, отличных от нуля, различают напряженное состояние тела трех видов: линейное, плоское и объемное. Если все три главных напряжения отличны от нуля, имеет место объемное (трехосное) напряженное состояние. При плоском (двухосном) напряженном состоянии одно из главных напряжений равно нулю, а остальные отличны от нуля. Если из трех главных напряжений только одно отлично от нуля, напряженное состояние линейное (одноосное). Оно имеет место обычно в элементах, работающих на осевое растяжение или сжатие. Исследование напряженного состояния в точке сводится к определению напряжений, возникающих на площадках, наклоненных под любым углом к главным. Линейное напряженное состояние. Рассмотрим случай линейного напряженного состояния, когда одно главное напряжение отлично от нуля (), а 2 = 3 = О (рис. 3.2, а). Чтобы установить зависимость между главными напряжениями и напряжениями, действующими по наклонной площадке, рассечем элемент наклонной плоскостью и рассмотрим условия равновесия элементарной призмы (рис. 3.2,б) Рис. .3.2. Напряжения на наклонной площадке при линейном напряженном состоянии откуда (3.2) (3.3) Таким образом, при а = 45° ; Следовательно, при линейном напряженном состоянии наибольшие нормальные напряжения возникают по нормальным площадкам, а наибольшие касательные напряжения — по площадкам, расположенным под углом 45° к ним. Плоское напряженное состояние. В инженерной практике часто многие элементы конструкций и машин работают в условиях плоского напряженного состояния (рис. 3.3, а). Найдем нормальное и касательное напряжения по любой наклонной площадке, перпендикулярной к плоскости Оху. Для этого рассечем параллелепипед наклонной плоскостью и рассмотрим условия равновесия треугольной призмы (рис. 3.3, б, в). Силу в наклонном сечении представим двумя составляющими: adAa , adAa . Спроецируем все силы на направление напряжений и : Рис. 3.З. Напряжения по наклонной площадке при плоском напряженном состоянии Учитывая, что , получим: (3.4) (3.5) Для определения напряжений и , действующих на площадке, перпендикулярной к заданной (рис. 3.3 г), необходимо в формулы (3.4) и (3.5) поставить вместо угол . В результате получаем: (3.6) (3.7) Сумма выражений (3.4) и (3.6) = const, т. е. сумма нормальных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам -величина постоянная. Очевидно, можно найти такие площадки, на которых нормальные напряжения будут иметь экстремальные значения, т. е. главные площадки. Чтобы определить положение главных площадок, достаточно выражение (3.5) приравнять нулю. Тогда (3.8) где - угол наклона главных площадок, отсчитываемый от линии действия (положительный угол отсчитывают против хода часовой стрелки). Подставив значение в уравнения (3.4) и (3.6), получим главные напряжения. Из выражений главных напряжений можно исключить и определить (3.9) В формуле (3.9) знак «плюс» перед радикалом соответствует максимальному главному напряжению , знак «минус» — минимальному . Если по уравнению (3.9) минимальное напряжение отрицательное, его обозначают , так как в этом случае (2 = 0. Если одно из напряжений , равно нулю, формулу (3.9) можно записать в виде . (3.10) Объемное напряженное состояние. Напряжения по наклонным площадкам к трем главным напряжениям определяются в этом случае по формулам: (3.11) , (3.12) где , — углы между нормалью к площадке и направлениями напряжений Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, что исследование напряженного состояния в теле связано с получением зависимостей, позволяющих определить напряжения по любой площадке в любой точке тела. Узнали о законе парности касательных напряжений и о трех видах напряженного состояния тела: линейном, плоском и объемном. Вопрос 2. Сложное сопротивление. В общем случае нагрузка на брус может быть такой, что в его поперечных сечениях возникает одновременно несколько внутренних силовых факторов (поперечная и продольная силы, изгибающий и крутящий моменты). Такой случай принято называть сложным сопротивлением бруса. Расчеты на прочность и жесткость бруса при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе независимости действия сил. Опыт показывает, что, пока деформации малы, этот принцип может быть использован. Поэтому для определения полных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе в результате действия на нее любой системы нагрузок, можно геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие различным видам простейших деформаций. При простом напряженном состоянии элемента все напряжения одного вида (например, нормальные) суммируют алгебраически, а при сложном напряженном состоянии (имеют место и нормальные, и касательные напряжения) используют различные теории прочности. Необходимо отметить, что в некоторых случаях расчета деталей можно пренебречь второстепенными деформациями и привести, таким образом, сложное сопротивление к более простому. При расчете на жесткость определяют в общем виде деформацию от каждого силового фактора и, найдя суммарную деформацию, оценивают жесткость элемента. Изгиб с растяжением (сжатием). При таком виде сложного сопротивления внутренние силы в сечении приводятся только к продольной силе N и изгибающему моменту М, вызывающему либо плоский, либо косой изгиб. На рис. 1.2 показан случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консоль действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей инерции сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса. Разложим силу F на три составляющие. В данном случае положение опасного сечения очевидно, и нет необходимости строить эпюры внутренних силовых факторов. Напряжение в произвольно выбранной точке В с координатами х, у, если пренебречь действием поперечных сил, (1.4) где А — площадь поперечного сечения. Рис.1.2 Изгиб бруса с растяжением Если сечение имеет две оси симметрии (двутатвр, прямоугольник), наибольшее напряжение определяют по формуле (1.5) Так как напряженное состояние в любой точке бруса можно считать линейным (влиянием касательных напряжений пренебрегают), условие прочности имеет вид Внецентренное растяжение (сжатие). В некоторых случаях продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса (рис. 1.3, а). Применив метод сечений и приведя внецентренно приложенную силу F к центру тяжести, находим, что в любом поперечном сечении бруса действуют три внутренних силовых фактора (рис. 1.3, б): N = F, Мх = FyF , Му = FxF , где yF , xF — координаты точки приложения силы. В любой точке поперечного сечения нормальное напряжение определяется формулой (1.4). Чтобы найти точку в сечении, где действует максимальное напряжение, определим положение нейтральной линии. Для этого приравняем нулю выражение (1.4), подставив в него x0 и yQ — координаты точки на нейтральной линии. Эта линия не проходит через центр тяжести сечения. Ее положение определяется точками пересечения с координатными осями: при ;у0 =0 х0 = — NIy /(АМу ), а при х0 = 0 у0 = —NIX I(AMX ). Отсюда следует, что нейтральная линия и действующая нагрузка расположены по разные стороны от центра тяжести сечения (рис. 1.3. в). Рис. 1.3. К анализу внецентренного нагружения бруса Кручение с изгибом. Одновременные кручение и изгиб характерны для работы валов машин и механизмов. В общем случае в поперечных сечениях вала возникают крутящий момент Мк , изгибающие моменты Мх , Му и поперечные силы QX, QY . Влиянием поперечных сил обычно пренебрегают из-за незначительности касательных напряжений, ими вызываемых, по сравнению с напряжениями от изгибающих и скручивающих моментов. Рассмотрим вал круглого сечения (рис. 1.4, а), нагруженный силой F и скручивающим моментом Т. Используя принцип независимости действия сил, строим эпюры изгибающих моментов от нагрузок, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюру крутящих моментов (рис. 1.4, б—г). Из рассмотрения эпюр видно, что опасным является сечение в заделке. Суммарный изгибающий момент определяем, как показано выше. Нормальные напряжения достигают максимума на поверхности вала: (1.6) Рис.1.4 Кручение с изгибом Касательные напряжения от скручивающего момента распределены вдоль любого радиуса сечения по линейному закону и достигают максимального значения в точках контура сечения: (1.7) Проведя в опасном сечении (в плоскости действия суммарного изгибающего момента) диаметр kd параллельно F, найдем наиболее опасные точки. Выделим в точке d элементарный объем (рис. 1.4, d). По четырем его граням действуют касательные напряжения от кручения, а по граням, параллельным плоскости поперечного сечения, действуют также нормальные напряжения от изгиба. Таким образом, при изгибе с кручением элемент. в опасной точке находится в плоском напряженном состоянии, и главные напряжения определяются формулой (*) Расчет в этом случае ведут по эквивалентному напряжению. По теории наибольших касательных напряжений условие прочности имеет вид Подставляя значения 1 и 3 , полученные по формуле (*), находим: . С учетом выражений (1.6) и (1.7) (1.8) По энергетической теории прочности Подставив вместо главных напряжений их значения, определенные по формуле (*), получим (1.9) Выражения (1.8) и (1.9) можно записать в виде где МЭ — эквивалентный (приведенный) изгибающий момент, равный числителю дроби в этих формулах (W — осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса; для круга W = 0,1d3 ). Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, какой вид деформации называется сложным сопротивлением. Выяснили, что косой изгиб имеет место быть, когда плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса. Узнали, что при изгибе с растяжением (сжатием) внутренние силы в сечении приводятся только к продольной силе N и изгибающему моменту М, вызывающему либо плоский, либо косой изгиб. Узнали, что касательные напряжения от скручивающего момента распределены вдоль любого радиуса сечения по линейному закону и достигают максимального значения в точках контура сечения. Вопрос 3. Косой изгиб. Если плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса, имеет место косой изгиб. В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы изгибающие моменты Мх , Му . Однако влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают. Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения, в плоскости торца которой приложена сила F (рис. 1.1, а) и ее вектор составляет угол с главной осью инерции сечения Оу. Разложим силу F на две составляющие: Fх = Fsin и Fу = Fсos, которые создают в сечении, отстоящем на z от торца балки, изгибающие моменты М=Fz и М = Fz. Индексы х и у при М обозначают главные оси, относительно которых действуют изгибающие моменты. Рис. 1.1. Косой изгиб балки На основе принципа независимости действия сил нормальное напряжение в любой точке рассматриваемого поперечного сечения определяется как алгебраическая сумма нормальных напряжений вследствие прямого изгиба балки в двух плоскостях: (1.1) где х, у — координаты рассматриваемой точки в системе главных центральных осей сечения балки. Знак перед каждым слагаемым обычно назначают, ориентируясь на характер деформации балки. Например, для точки D (рис. 1.1, б) напряжение от Мх положительное — напряжение растяжения (сила Fх вызывает искривление бруса выпуклостью вверх), а напряжение от Му отрицательное — напряжение сжатия (сила Fх искривляет балку выпуклостью вправо), т. е. Уравнение нейтральной линии при косом изгибе получим, приравняв нулю выражение (1.1) для напряжений в ее точках: (1.2) где — координаты точки, лежащей на нейтральной линии. Из уравнения (1.2) следует, что нейтральная линия при косом изгибе призматической балки проходит через центр тяжести ее сечения. Из выражения (1.1) и рис. 1.1, в видно, что тангенс угла наклона нейтральной линии к оси Ох Нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии (см. уравнение (1.2), так как и плоскость действия сил не совпадает с плоскостью изгиба балки. Только в сечениях, когда 1Х = 1у (круглое или квадратное сечение), нейтральная и силовая линии пересекаются под углом 90°. Зная положение нейтральной линии в сечении балки, можно определить положение точек, где возникают наибольшие напряжения (точек А и В). По координатам этих точек в системе главных центральных осей инерции сечения находят напряжения и их знаки. Отложив значения напряжений на базисной линии, перпендикулярной к нейтральной линии, получают эпюру нормальных напряжений в сечении (рис. 1.1, в). Условие прочности при косом изгибе имеет вид (1.3) где , — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси. Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности где Wx , Wy — моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей. Если материал бруса не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, проверку его прочности выполняют по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям. Проверку прочности брусьев круглого сечения ведут по формулам плоского изгиба по суммарному изгибающему моменту M= Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов по направлению главных осей: f= Вопрос 4. Расчёт по теориям прочности Теории предельных состояний. Предельное напряженное состояние тела характеризуется началом текучести материала, значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельству­ющих о начале его разрушения. Оценка прочности детали по напряженному состоянию в опасной точке поперечного сечения является важной задачей сопротивления материалов. При простейших напряженных состояниях детали, характеризуемых только одним главным напряжением (растяжение, сжатие) или только касательным напряжением (чистый сдвиг), оценку ее прочности осуществляют сравнением действующих в ней напряжений с результатами опытов по разрушению образцов в лабораторных условиях при таком же напряженном состоянии. Большинство деталей при эксплуатации испытывают либо плоское, либо объемное напряженное состояние. Как показывают исследования, прочность материала при сложном напряженном состоянии зависит не только от значений главных напряжений, но и от их соотношения. Из-за неограниченности вариаций такого соотношения экспериментальное изучение предельного (опасного) состояния детали при сложном напряженном состоянии практически невозможно. Теории предельных состояний используют для определения условий прочности материала при сложном напряженном состоянии на основании экспериментальных данных, полученных при простых видах нагружения: растяжении, сжатии, чистом сдвиге. Некоторые из этих гипотез (теорий) связывают прочность материала с нормальными напряжениями, другие — с касательными напряжениями или с энергией деформации. Суть их состоит в том, что, определив главную причину разрушения материала, можно найти эквивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии и составить условие прочности материала. Эквивалентное напряжение — это напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным. Оценка прочности материала заключается в сравнении эквивалентного (расчетного) напряжения при сложном напряженном состоянии с допускаемым напряжением при простом растяжении (сжатии). Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Согласно этой теории, опасное состояние материала при любом напряженном состоянии имеет место, когда наибольшее по модулю нормальное напряжение достигает предельного значения для данного материала при простом растяжении или сжатии. Условие прочности = или = (2.1) где — допускаемое напряжение при простом растяжении, а — при сжатии. Рассматриваемая теория дает удовлетворительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов (бетона, камня, кирпича) и неприменима для пластичных материалов, так как не учитывает возможность появления пластических деформаций. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности). В этой теории в качестве критерия разрушения принято наибольшее по модулю относительное удлинение. Считается, что опасное состояние материала имеет место, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего предельному при простом растяжении или сжатии. Экспериментально эта теория не подтверждается. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). Согласно этой теории, причиной разрушения материала является сдвиг, вызываемый касательными напряжениями. Полагают, что в общем случае напряженного состояния материал разрушается, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала. При объемном напряженном состоянии максимальное касательное напряжение определяют по формуле (3.13):. При линейном напряженном состоянии шах = /2. Условие прочности (2.2) Теория наибольших касательных напряжений хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Теория энергии формоизменения (энергетическая теория). Эта теория предполагает, что пластичный материал находится в опасном состоянии, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения. Условие прочности (2.3) Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Теория Мора. Эта теория базируется на опытных данных и исходит из предположения, что прочность материала в общем случае напряженного состояния зависит в основном от значений и направлений наибольшего и наименьшего 3 главных напряжений. Напряжение 2 не рассматривают. В теории Мора введен также коэффициент неравнопрочности материала к = , чтобы можно было ее распространить и на материалы, неодинаково сопротивляющиеся растяжению и сжатию. Теория Мора является по существу обобщенной теорией: она учитывает влияние на процесс разрушения и касательных, и нормальных напряжений. Условие прочности по теории Мора (2.4) Для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, [р ] = [с ] и к = 1. В этом случае теория прочности Мора и третья теория прочности эквивалентны. Теорию Мора используют для оценки прочности пластичных и хрупких материалов. Общие сведения о механизме разрушения тел. В зависимости от условий нагружения материал детали (конструкции) может находиться в различных. состояниях. Если внешние нагрузки таковы, что возникают только упругие деформации, материал находится в упругом состоянии. При росте нагрузки могут возникать остаточные деформации, тогда состояние материала будет пластическим. Дальнейший рост внешних нагрузок приводит к образованию трещин и разрушению детали. В сопротивлении материалов опасное состояние напряженного тела определяется двумя напряжениями — нормальным и касательным, которым соответствуют, и два различных типа разрушения: разрушение от действия происходит путем отрыва частиц материала (хрупкое разрушение); разрушение от действия является результатом пластической деформации материала. Возможен также и смешанный тип разрушения тела, когда трудно разграничить влияние и . По современным представлениям любой тип разрушения характеризуется зарождением и образованием микротрещин, их дальнейшим распространением, приводящим к разрушению тела. Существование микротрещин в объеме материала обусловлено разными причинами. Особенно опасными являются трещины в поверхностных слоях деталей, так как чаще всего на их поверхности и возникают максимальные напряжения от внешней нагрузки. В то же время наличие микротрещин в объеме детали не всегда приводит к ее разрушению. Только при определенных условиях нагружения трещина получает развитие. Энергия, затраченная на образование и распространение трещины, определяет тип разрушения. При хрупком разрушении материала эта энергия возрастает до критической. В критическом состоянии материала трещины распространяются без дополнительных затрат энергии, происходит внезапное разрушение детали (конструкции). При пластиче­ском же разрушении имеет место постоянный прирост энергии до конца разрушения тела. Понятие о теоретической прочности материалов. Реальная прочность материалов значительно ниже теоретической, установленной исходя из условий разрушения идеальной кристаллической решетки. Полагают, что теоретическая прочность материала при действии на него внешних нагрузок определяется силами связи между атомами идеальной кристаллической решетки, препятствующими отрыву или сдвигу одной плоскости атомов относительно другой. Различие между теоретической и реальной прочностью материалов объясняется наличием дефектов кристаллической решетки в реальных материалах. Дефекты структуры материала являются концентраторами напряжений, способствующими возникновению микротрещин, которые, развиваясь при росте нагрузки, приводят к разрушению детали. В пластичных материалах концентрация напряжений приводит к возникновению пластической деформации в микрообъемах материала, а затем к ее распространению по всему его объему. Вывод: В рассмотренном вопросе мы выяснили, что теории предельных состояний используют для определения условий прочности материала при сложном напряженном состоянии на основании экспериментальных данных, полученных при простых видах нагружения: растяжении, сжатии, чистом сдвиге. Узнали о четырех основных теориях прочности, и о теории Мора, которая по существу является обобщенной теорией: она учитывает влияние на процесс разрушения и касательных, и нормальных напряжений. 15. Тема 3.6.: «ТОНКОСТЕННЫЕ СОСУДЫ И ОБОЛОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ» 1. Расчет безмоментных оболочек вращения. 2. Устойчивость стержней. 3. Понятие критической силы. Формула Эйлера. Вопрос 1. Расчет безмоментных оболочек вращения. Большинство элементов инженерных сооружений, подлежащих расчету на прочность, может быть сведено к расчетным схемам стержня или оболочки. До сих пор в основном рассматривались элементы конструкций, сводящиеся к схемам стержня. Перейдем теперь к оболочкам. Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной. В зависимости от формы очертания внешнего контура пластины могут быть круглыми, прямоугольными, трапециевидными и пр. Если срединная поверхность образует часть сферы, конуса или цилиндра, оболочку соответственно называют сферической, конической или цилиндрической. Геометрия оболочки определяется не только формой срединной поверхности. Нужно знать также закон изменения толщины оболочки. Однако все встречающиеся на практике оболочки имеют, как правило, постоянную толщину. Осесимметричными, или просто симметричными, оболочками называются такие, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения. Будем полагать в дальнейшем, что нагрузка, действующая на такую оболочку, также обладает свойствами осевой симметрии. Для таких оболочек задача расчета значительно упрощается. Получается это потому, что все внутренние силы для такой оболочки по дуге круга не изменяются и зависят только от текущего радиуса или длины дуги, измеренной вдоль образующей тела вращения. Для несимметричных оболочек распределение напряжений определять значительно сложнее. К схеме осесимметричной оболочки сводится расчет очень многих строительных сооружений, котлов и баков, деталей машин и приборов. Со схемой пластины приходится иметь дело при расчетах плоских днищ баков, стенок различных резервуаров, плоских перегородок в самолетных конструкциях и многих других. Понятно, что расчет стенки бака или гибкой коробки вариометра не может быть произведен при помощи тех приемов. Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда можно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, она не нагружена сосредоточенными силами или моментами, то к ее расчету может применяться безмоментная теория. Расчет на прочность осесимметричных оболочек производят по уравнению Лапласа: , где - окружное (экваториальное) напряжение, МПа; - меридиональное напряжение, МПа; - радиус кривизны в экваториальной плоскости, мм; - радиус кривизны в меридиональной плоскости, мм; p – давление внутри оболочки, МПа; t - толщина оболочки (стенки сосуда), мм. Для элемента, показанного на рис.1, можно составить еще одно уравнение, проецируя все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать, однако, не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис.1) Pис. 1. Обозначив через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим Отсюда легко найти меридиональное напряжение т. Таким образом, согласно безмоментной теории, напряжения т и в оболочке можно определить из уравнений равновесия. Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления p на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси. Теорема 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над жидкостью. Вывод: В рассмотренном вопросе мы выяснили, чем отличаются оболочки от пластин, что оболочку в зависимости от вида срединной поверхности называют сферической, конической или цилиндрической. Узнали о безмоментной теории оболочек, и к расчету каких оболочек применима эта теория. Обратили внимание на то, что расчеты на прочность осесимметричных оболочек производят по уравнению Лапласа. Узнали две теоремы о проекции равнодействующей сил давления на заданную ось и о вертикальной составляющей сил давления. Вопрос 2. Устойчивость стержней. Деформируемые тела так же, как абсолютно твёрдые тела могут находиться в устойчивом и неустойчивом положении. Напомним, что при устойчивом равновесии тело, выведенное из первоначального положения внешним воздействием, возвращается к нему после устранения причины отклонения. При неустойчивом равновесии, напротив, незначительное возмущение вызывает резкое необратимое отклонение. Для деформируемых тел внешними возмущениями являются нагрузки, а за возможное отклонение следует принимать ту или иную дополнительную деформацию или связанное с ней отклонение от равновесного состояния, характеризуемого определённой формой и размерами тела. Поэтому для деформируемых тел правильнее говорить не о положении равновесия, а о форме равновесия. Рассмотрим стержень на двух шарнирных опорах (рис. 2), на который действует продольная сжимающая сила Р, приложенная к концу В, закреплённому шарнирно-подвижно. Под действием силы Р в шарнирно неподвижной опоре А возникает реакция А, направленная навстречу силе и равная ей по величине: А = -Р. Если силы, сжимающие стержень, невелики, то первоначальная форма равновесия, при которой ось стержня остаётся прямолинейной, является устойчивой. При снятии нагрузки стержень восстанавливает первоначальную форму. При увеличении сжимающей силы Р до величины Ркр, стержень получает незначительное искривление. Однако при снятии нагрузки восстанавливается прямолинейная первоначальная форма. При дальнейшем незначительном нарастании нагрузки характер деформации стержня резко изменяется, причём, и после снятия нагрузки ось остаётся криволинейной. Рис. 2 Описанное явление называется продольным изгибом и связано с потерей устойчивости. Напряжение в стержне быстро возрастает и возникает опасность разрушения. Таким образом, критическая сила (Ркр)- это наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Исходя из сказанного, критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка. Увеличение нагрузки свыше Pкр недопустимо, так как вызовет потерю устойчивости. Впервые задачу об определении критической силы для сжатого стержня на шарнирных опорах решил Леонард Эйлер, поэтому её называют задачей Эйлера. Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, что абсолютно твёрдые тела могут находиться в устойчивом и неустойчивом положении; что критическая сила - это наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой; что увеличение нагрузки до критической вызывает потерю устойчивости - это задача Эйлера. Вопрос 3. Понятие критической силы. Формула Эйлера. Рассмотрим стержень с шарнирно закреплёнными концами, сжатый силой Р (рис. 3.1). Найдём наименьшую силу Ркр, которая удержит стержень в искривлённом состоянии. Полагаем, что деформации остаются малыми и выполняется закон Гука. Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси, как известно, имеет вид: , где М - изгибающий момент, ЕI - жёсткость сечения при изгибе. При изгибе стержня продольная сила Р создаёт в сечении с координатой z изгибающий момент М = -Ру , где· у - прогиб сечения (см. рис. 3.1.). Подставляя М = -Ру в уравнение (см.выше), получаем: . Обозначим: . (*) Тогда уравнение принимает вид: (**) Уравнение (**) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка и решение его можно представить в форме: y = A1 sin kz + A2 cos kz. Постоянные интегрирования А1 и А2 определяем из граничных условий (условий закрепления стержня). На опорах прогибы равны нулю, следовательно, имеем два граничных условия: при z = 0, y = 0, отсюда 0 = A1 sin 0 + A2 cos 0;  A2 = 0; при z = l, y(l) = 0, следовательно, 0 = A1 sin kl. (9.4) Очевидно, , так как мы рассматриваем искривлённое состояние стержня (в противном случае при А1 = О, y(z) = О, и ось остаётся прямолинейной). Отсюда следует, что для обращения уравнения (9.4) в тождество должно выполняться условие: sin kl = О, тогда kl = ,2, ... ,n; Подставляя в соотношение (*) получаем, откуда: . Мы поставили задачу определения минимальной критической силы, которая соответствует n = 1 , поэтому Здесь Imin - минимальный из двух главных моментов инерции поперечного сечения стержня. Эта формула носит имя Эйлера. Под действием критической силы Ркр стержень искривляется по синусоиде . Здесь А1 - малая неопределённая величин, не равная нулю. Критическая сила при различных закреплениях концов стержня. Рассмотрим другие случаи закрепления стержня. На рис. 3.2 показана схема стержня защемлённого одним концом; второй конец свободен. Рис. 3.2 Мысленно дополнив изогнутую ось до полуволны (пунктиром показана симметричная несуществующая ветвь), приходим к только что рассмотренной задаче. Причём приведённая длина стержня l пр = 2l Воспользовавшись формулой Эйлера, находим: . На рис. 3.3 приведена схема стержня, один конец которого защемлён, а второй шарнирно опёрт. В данном случае точка перегиба изогнутой оси находится на расстоянии примерно равном 0,3l от жёсткой заделки. Подставляя в формулу длину, соответствующую одной полуволне lkp= 0.7l , находим . Очевидно, что все полученные выше результаты для Р кр можно свести к одной формуле: , где lпр = l - приведённая длина стержня, а - коэффициент приведения длины: = 1/т; m - число полуволн изогнутой оси стержня для заданных условий закрепления. Для консольного стержня т = 0.5, а = 2; для стержня с двумя шарнирными опорами т = 1 и = 1. Если оба конца стержня защемлены, то т = 2, = 0.5. Если один конец защемлён, а другой шарнирно опёрт, то m=10/7, а = 0.7. Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали о понятии критической силы, вывели формулу Эйлера, рассмотрели несколько способов закрепления концов стержня. 16. Тема 3.7: «ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ» Учебные вопросы 1. Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций. 2. Удар. 3. Усталость. Расчет по несущей способности Вопрос 1. Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций В предыдущих темах курса были рассмотрены расчеты элементов конструкций при действии статической нагрузки, а также при возникновении в них переменных во времени напряжений. В этой, последней, главе курса даются краткие сведения о некоторых динамических задачах сопротивления материалов. К задачам динамики в сопротивлении материалов относятся: 1) - расчеты движущихся деталей при заданных ускорениях; 2) - расчеты на действие ударной нагрузки; 3) - расчеты на прочность и жесткость при колебаниях. Здесь будут рассмотрены лишь решения некоторых простейших задач, относящихся к первым двум категориям задач динамики. Определение напряжений и перемещений при заданных ускорениях основано на приведении задач динамики к задачам статики с помощью известного из курса теоретической механики принципа Даламбера (метода кинетостатики). Напомним, что этот принцип состоит в следующем: если в любой момент времени к каждой материальной точке данной системы приложить силу инерции этой точки, тo эти силы инерции будут уравновешиваться заданными силами, действующими на систему, и реакциями связей, т. е. система может рассматриваться как находящаяся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Сила инерции равна произведению массы материальной точки на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. Применение этого метода к задачам сопротивления материалов показано на ряде примеров. Пример 1. Определить при требуемый диаметр троса, на котором подвешен груз массой .m=3000 кг поднимаемый с постоянным ускорением Решение. Применяя принцип Даламбера прикладываем к поднимаемому грузу силу инерции , направленную противоположно ускорению (рис. 1.1б). Рис. 1.1. Применяя метод сечений (рис. 1.1,в), определяем продольную силу, возникающую в поперечном сечении троса: где G = mГg— сила тяжести груза (g=9,81 м/с2 — ускорение свободного падения); Так как массу троса не учитываем, то продольная сила во всех его поперечных сечениях одинакова. При тГ в кг, g и а в м/с2 получаем силу тяжести G в Н. Условие прочности откуда требуемый диаметр троса Подставляя числовые данные, получаем принимаем d=28 мм. Вывод: В рассмотренном вопросе мы выяснили, какие задачи сопротивления материалов относятся к задачам динамики, вспомнили принцип Даламбера (метода кинетостатики), узнали, как применить этот метод к задачам динамики. Вопрос 2 Удар Общие положения. Ударное нагружение имеет место, когда скорость ударяющего тела или скорость движения элемента механической системы изменяется в течение очень короткого промежутка времени. При ударе в элементах возникают значительные напряжения и деформации, определение которых является весьма сложной задачей. Обычно в практических расчетах для приближенного определения напряжений и перемещений систем используют энергетический метод. В основу теории удара положены следующие гипотезы. Предполагают, что деформация системы происходит в упругой стадии работы материала, а поэтому можно использовать закон Гука. Считают, что имеет место неупругий удар, т. е. после удара ударяющее тело остается в соприкосновении с ударяемым и движется вместе с ним. Кинетическая энергия ударяющего тела полностью преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации системы. Масса ударяемого тела мала по сравнению с массой ударяющего тела, т. е. исходная упругая система рассматривается как невесомая. Динамический коэффициент. Предположим, что на упругую невесомую систему падает с высоты h груз массой т (рис. 2.1). Такой системой может быть балка, стержень и др. Рис 2.1 После падения груза система деформируется, а груз производит работу где — наибольший динамический прогиб системы (перемещение точки удара). Эта работа численно равна работе некоторой статически приложенной нагрузки, вызывающей то же перемещение системы, что и груз при ударе. Здесь С — жесткость системы в направлении удара, которая равна отношению силы к вызванному этой силой перемещению точки ее приложения в направлении действия силы. Потенциальная энергия деформации системы Выше было принято допущение, что при ударе кинетическая энергия ударяющего тела полностью преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации системы, а поэтому, приняв mg = F, получим: откуда . Поскольку перемещение, вызываемое силой F при ее статическом приложении), , или В результате получено квадратное уравнение, корни которого: Наибольшее перемещение =), (2.1) где выражение в скобках представляет собой динамический коэффициент Следовательно Так как обычно (очень мало по сравнению с h), приближенно динамический коэффициент можно определять по формуле Из уравнения (2.1) видно, что чем больше деформация системы, т. е. меньше ее жесткость (больше податливость), тем динамический коэффициент меньше. При h = 0 (внезапное динамическое приложение нагрузки) кд = 2. Условие прочности системы при динамическом нагружении имеет вид . Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, что ударное нагружение имеет место, когда скорость ударяющего тела или скорость движения элемента механической системы изменяется в течение очень короткого промежутка времени, выяснили, что при ударе в элементах возникают значительные напряжения и деформации, узнали, для чего необходим динамический коэффициент. Вопрос 3. Усталость. Расчет конструкций по несущей способности. Как уже известно, при расчете прочности элементов сооружения допускаемой нагрузкой считается такая, при которой наибольшее напряжение (в опасной точке элемента) равно допускаемому напряжению. При этом допускаемое напряжение принимается равным пределу текучести, деленному на нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности [n]: . Величина нагрузки [Р], при которой напряжение в опасной точке элемента равно допускаемому, называется допускаемой нагрузкой, а величина Рт, при которой напряжение в этой точке равно пределу текучести, — опасной нагрузкой. При напряжениях в материале, не превышающих предела пропорциональности, усилия и напряжения в конструкции прямо пропорциональны действующим на нее нагрузкам. Поэтому коэффициент [п\ является коэффициентом запаса не только по напряжениям, но и по нагрузкам: . При нагрузке Рт, как правило, еще не происходит полное исчерпание несущей способности конструкции, так как при этой нагрузке напряжения лишь в ограниченной зоне равны пределу текучести; в остальной части конструкции имеются меньшие напряжения. Например, в стальной балке, изображенной на рис. 3.1, при опасной нагрузке РT только в верхних и нижних точках опорного сечения 1 — 1 нормальные напряжения равны пределу текучести . Во всех остальных точках сечения 1 — 1 при опасной нагрузке напряжения меньше предела текучести. Рис 3.1 Следовательно, несущая способность (прочность) конструкции будет полностью исчерпана при некоторой нагрузке Рпр, превышающей значение Рт; величина Рпр называется предельной нагрузкой Расчет по предельным нагрузкам позволяет более полно использовать несущую способность конструкций, чем расчет по напряжениям, и потому он является более экономичным. Такой способ расчета называют также расчетом по несущей способности, расчетом по предельному состоянию, расчетом по разрушающим нагрузкам. Предельную нагрузку, деленную на нормативный коэффициент запаса прочности [п], назовем предельно допускаемой нагрузкой и обозначим [Р]пр . В большинстве случаев предельно допускаемая нагрузка больше допускаемой нагрузки, подсчитанной с тем же значением коэффициента запаса, а в некоторых случаях равна ей, т. е. Рпр [Р]. Значения нормативного коэффициента запаса для расчета по предельным нагрузкам устанавливаются, как правило, такими, чтобы напряжения во всех точках конструкции при предельно допускаемых нагрузках были меньше предела текучести. Ниже рассмотрены способы определения величин предельных нагрузок для простых систем. Во многих случаях задачи определения предельных нагрузок являются весьма сложными. Такие задачи в настоящем курсе не рассматриваются. Расчет по предельным нагрузкам может производиться лишь при конструкциях, изготовленных из пластичных материалов и при действии статической нагрузки. Он неприменим для конструкций из хрупких материалов и при действии переменных напряжении, которые вызывают хрупкое разрушение материала. При расчете по предельным нагрузкам действительная диаграмма деформации материала заменяется условной диаграммой, называемой диаграммой Прандтля (по имени предложившего ее немецкого ученого). Материал, деформация которого характеризуется диаграммой Прандтля, называется идеальным упруго-пластическим Рис 3.2 Диаграмма Прандтля основана на предположении, что предел пропорциональности совпадает с пределом текучести, а площадка текучести имеет неограниченную протяженность (рис.3.2). Если после достижения предела текучести напряжения ( или ) уменьшают, например, начиная от точки 3 диаграммы (сначала путем разгрузки, а потом путем приложения нагрузки противоположного направления), то материал ведет себя как упругий; линии разгрузки (3 — 4) и нагружения нагрузкой противоположного направления (4— 5) параллельны линии 1 — 2 (рис. 3.2). После того как напряжения достигают предела текучести (точка 5 на рис. 3.2) дальнейшая деформация происходит при постоянном напряжении (участок 5 — 6). Вывод: В рассмотренном вопросе мы узнали, чем отличается допускаемая нагрузка от опасной нагрузки, узнали, что коэффициент запаса прочности является коэффициентом запаса не только по напряжениям, но и по нагрузкам. Выяснили, что расчет по предельным нагрузкам неприменим для конструкций из хрупких материалов и при действии переменных напряжении, которые вызывают хрупкое разрушение материала. Узнали о применении диаграммы Применять при расчетах по предельным нагрузкам. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. СПб.: Лань, 2004 – 768 с. 2. Куприянов Д.Ф., Метальников Г.Ф. Техническая механика. М., 1995г. 3. Цывильский В.Л. Теоретическая механика. М.: Высш.шк., 2004. – 343 с. 4. И.И.Артоболевский. Теория механизмов и машин. М.: Наука. 2001 – 640 с. 5. И.И.Артоболевский, Б.В. Эдельштейн. Сборник задач по теории механизмов и машин. М.: Наука. 2000 – 255 с. Оглавление Раздел I. Теоретическая механика 2 Тема 1.1. Предмет теоретической механики. Элементы статики. 2 Тема № 1.3. «Произвольная плоская система сил. Центр тяжести». 14 Тема 1.2. Кинематика точки 24 Тема 2.1. Кинематика точки 44 Тема 2.2. Кинематика твёрдого тела 57 Тема: 3.6 Аналитическая механика. 68 Раздел II Теория механизмов машин 84 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МЕХАНИЗМОВ. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ 84 5. 1. Центроиды в абсолютном и относительном движениях 92 7.1. Уравнение движения механизма, выраженное через работу сил 117 Раздел III. Сопротивление материалов 125 Тема 3.1 Основные понятия и определения сопротивления материалов 125 Тема 3.2: «СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ И НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ» 144 Тема 3.3. «СДВИГ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ» 164 Тема 3.4. «ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ» 189 Тема 3.5: «Сложное сопротивление. Косой изгиб. Внецентренное растяжение» 200 Тема 3.6.: «ТОНКОСТЕННЫЕ СОСУДЫ И ОБОЛОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ» 221 Тема 3.7: «ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ» 230