Предмет и задачи дисциплины «Обработка экспериментальных данных». Интерполяция.

ЛЕКЦИЯ 1 ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ «ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ». ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Вопросы 1. Введение 2. Виды обработки экспериментальных данных 3. Интерполяция 1 Эксперимент – это составная часть научного исследования или каких-то опытно-конструкторских работ, результатом которых является получение новых данных об исследуемом процессе. Проблема извлечения информации из эксперимента относится к важнейшим проблемам всех отраслей научного знания. Термин «эксперимент» имеет широкое толкование. Эксперимент называется активным, если имеет место целенаправленное воздействие на исследуемый процесс с целью всестороннего исследования его свойств. Подача тестовых сигналов на входы технического устройства с целью определения его работоспособности является целенаправленным воздействием на процесс функционирования данного устройства. Эксперимент называется пассивным, если производится только наблюдение за исследуемым процессом. Наблюдение может предполагать и различные измерения с целью накопления данных. Так, объектами исследования в астрономии являются небесные тела. Очевидно, что за ними можно только наблюдать, производя определенные измерения. Какое-либо целенаправленное воздействие на них невозможно. Обычно предполагается, что в процессе эксперимента исследуется некоторая сложная система, поведение которой описывается множеством входных и выходных параметров. Поскольку поведение системы зависит от среды, параметры системы изменяются случайным образом (среда – субстанция неорганизованная). Эти особенности приводят к тому, что задачи извлечения информации, обработки и анализа данных по своей постановке являются вероятностно-статистическими. При дальнейшем изложении предполагается, что данные эксперимента могут быть представлены количественно – числами, векторами или функциями. Если экспериментальные данные (ЭД) не могут быть представлены количественно, а являются качественными характеристиками, утверждениями, высказываниями (актуально для гуманитарных отраслей знания), обработка таких данных производится специалистами по применению различных логических методов. Итак, математическими основами обработки ЭД являются: • теория вероятностей; • теория случайных процессов; • математическая статистика. Теория вероятностей позволяет строить и исследовать модели случайных событий, случайных явлений. Теория случайных процессов позволяет обрабатывать данные, которые могут представляться случайными функциями. Математическая статистика позволяет разрабатывать оптимальные алгоритмы обработки данных, планировать проведение экспериментов, проводить классификацию ЭД. Вероятностные и статистические методы обработки данных используются в самых различных научных направлениях. На основе этих методов сформированы самостоятельные направления исследований. К ним относятся: - статистическая теория управления; - статистическая теория связи; - теория надежности; -теория массового обслуживания; - эконометрика; - метеорология; -сейсмология. Все перечисленные самостоятельные направления исследований имеют как свои характерные особенности, так и общие закономерности обработки ЭД. В дисциплине «Обработка экспериментальных данных» рассматриваются только общие закономерности, они инвариантны (т.е. независимы) к физической , биологической, экономической или какой-то другой природе ЭД. 2 Если ЭД представлены количественно (в дисциплине рассматривается только этот случай), то их обработка заключается в получении формальных (математических) соотношений, характеризующих количественные закономерности изучаемого процесса. Если ЭД получены в виде чисел, то основной формой их представления являются таблицы. Таблица представляет собой ряды дискретных значений величин, которые могут рассматриваться как независимые переменные, и ряд соответствующих им значений зависимой переменной. Вначале целесообразно рассмотреть наиболее простые массивы ЭД, в которых выделяется одна независимая переменная x. Зависимая переменная обозначается через y. Простейший вариант таблицы: x x1 x2 … xn y y1 y2 … yn Предполагается, что , . Интервал охватывает все значения независимой переменно й x. Основные виды обработки ЭД в виде чисел: 1) интерполяция; 2) экстраполяция; 3) аппроксимация. Интерполяция – процедура нахождения промежуточных значений зависимой переменной y, соответствующих заданным значениям x, находящимся в пределах массива данных. Формализация данного определения. Задано: значение x, , , . Требуется: найти , причем установление явного вида зависимости f при интерполяции не требуется. Экстраполяция – это процедура нахождения значений зависимой переменной y для некоторых значений x, находящихся за пределами массива данных. Формализация данного определения. Задано: значение x, . Требуется: найти , причем установление явного вида зависимости f при экстраполяции не требуется. Аппроксимация – это представление неизвестной зависимости между экспериментальными данными более простой по структуре известной зависимостью , которая отражает значимые закономерности изменения исходной (неизвестной) функции. Геометрическая интерпретация определения. 3 Выбор метода интерполяции определяется точностью исходной информации в массиве, характером зависимости между x и y, а также требуемой точностью вычислений. 1. Метод пропорциональных частей (линейная интерполяция). Данный метод основан на предположении, что что между смежными (соседними) значениями x величина y изменяется линейно. Пусть и – две смежные точки из массива экспериментальных данных; x – заданное значение независимой переменной. Из рисунка следует, что соответствующая x величина yʹ, которая находится на кривой, – это истинное, но неизвестное значение зависимой переменной. Расчетное значение зависимой переменной y находится на прямой, соединяющей смежные точки (в силу предположения о линейном изменении зависимой переменной). Тогда в силу пропорциональности сторон двух подобных треугольников (см. рис.) можно составить пропорцию: . (1) Из соотношения (1) выражается искомая величина: . (2) Выражение (2) представляет собой интерполяционную формулу, которая реализует метод пропорциональных частей. Пример 1. Задан массив ЭД: x –2 –1 1 2 y 7 1 1 7 19 Требуется выполнить интерполяцию при . Смежные значения независимой переменной в массиве данных, между которыми находится заданное значение – и . Соответствующие им значения зависимой переменной – и . Из выражения (2) следует: . 2. Метод Лагранжа. Метод Лагранжа основан на предположении, что функциональная зависимость может быть аппроксимирована алгебраическим полиномом с любой заданной точностью. Для того, чтобы получить интерполяционную формулу, рассуждения необходимо разбить на этапы. 1). Требуется найти выражение для алгебраического полинома -й степени , имеющего при значение y1, а при всех остальных значениях x из массива данных – ноль: ; . (3) Такой полином выводится из теоремы Лагранжа и имеет вид: . (4) К сведению – общее выражение алгебраического полинома -й степени: , (5) где коэффициенты , - вещественные числа. Если в выражении (4) перемножить скобки и привести подобные члены, то получится полином вида (5). Тот факт, что полином (4) удовлетворяет требованиям (3), проверяется непосредственной подстановкой. Например ; , так как . 2). Требуется найти выражение для алгебраического полинома -й степени , имеющего при значение y2, а при всех остальных значениях x из массива данных – ноль: ; . (6) Полином имеет вид: . (7) 3) Аналогично строятся полиномы , ,…,. (8) Так, выражение для заключительного полинома: . Соотношение, удовлетворяющее всему массиву данных формируется как сумма полиномов (4), (7), (8): . (9) Пояснение: соотношение удовлетворяет всему массиву экспериментальных данных, когда , ,…,. Соотношение (9) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Также указанная формула может записываться в виде , (10) что вытекает из (4), (7), (8). Интерполяционная формула Лагранжа позволяет проводить интерполяцию любой степени, а не только линейную. Частные случаи интерполяционной формулы Лагранжа. Пусть массив ЭД содержит две пары измерений. x x1 x2 y y1 y2 Тогда выражение (10) принимает вид . (11) С помощью формулы (11) выполняется линейная интерполяция. Пример 2. Пусть задан массив ЭД из примера 1. Требуется выполнить линейную интерполяцию при методом Лагранжа. В выражении (11) – и , , . Тогда . Получен такой же результат, как и в примере 1. Это естественно, поскольку выражениями (2) и (11) реализуется интерполяция первой степени. Пусть массив ЭД содержит три пары измерений. x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 Тогда выражение (10) принимает вид . (12) С помощью формулы (12) выполняется интерполяция второй степени или параболическая интерполяция. Пример 3. Пусть задан массив ЭД из примера 1. Требуется выполнить параболическую интерполяцию при методом Лагранжа. В выражении (12) – и , , , , Тогда . Результат, полученный в данном примере, находится ближе к истинному значению по сравнению с результатом линейной интерполяции. Параболическая интерполяция более точно учитывает особенности реальной зависимости между экспериментальными данными. Аналогичным образом выводятся интерполяционные формулы Лагранжа более высоких степеней. Заключительное замечание: вопросы, связанные с интерполяцией, необходимы в рамках данной дисциплины при использовании статистических таблиц. Указанные таблицы потребуются при рассмотрении регрессионного анализа.