Предел и непрерывность функции одного аргумента

Лекция 5. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА § Понятие предела функции в точке Если каждому элементу х из множества Х ( х  Х ) поставлен в соответствие определенный элемент y из множества Y ( y  Y ), то говорят, что на множестве Х задана функция Определение понятия функции одного аргумента y  f (x ) со значениями во множестве Y. Элементы x  X называют значениями аргумента, а элементы y  Y  значениями функции. Множество Х называется областью определения функции, а множество всех значений функции – областью значений функции. В случаях, когда множества Х и Y  числовые множества, соответствующие функции, называют числовыми функциями. Степенная y  x , n y  ax, Логарифмическая y  log a x , Показательная Основные элементарные функции Определение предела функции f(x) в точке x = a. Тригонометрические y  sin x, y  cos x, y  tgx, y  ctgx , Обратные тригонометрические y  arcsin x, y  arccos x, y  arctgx, y  arcctgx , постоянная y  c . Число A называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a ( x  a ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  (  0) существует такое положительное число  , зависящее от  ( ( )  0) , что для всех значений x  a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству x  a   , следует выполнение неравенства f ( x)  A   . Используя логические символы, можно записать: lim f ( x)  A x a (  0)( ( )  0)(x  X , x  a, x  a   )  f ( x)  A   1 Определение предела справа для функции f(x): lim f ( x )  A x a 0 Число A называется пределом справа для функции f(x) при х, стремящемся к a ( x  a ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  (  0) существует такое положительное число  , зависящее от  ( ( )  0) , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству 0  x  a   , следует выполнение неравенства f ( x)  A   . Используя логические символы, можно записать: lim f ( x)  A x a  0 (ε  0)(δ (ε )  0)(x  X , 0  x  a  δ )  f ( x)  A  ε Точки х берутся справа от точки х = а. Правосторонний предел обозначают также f ( a  0) . Определение предела слева для функции f(x): lim f ( x )  A x a 0 Число A называется пределом слева функции f(x) при х, стремящемся к a ( x  a ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  (  0) существует такое положительное число  , зависящее от  ( ( )  0) , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству:   x  a  0, следует выполнение неравенства: f ( x)  A   . Используя логические символы, можно записать: lim f ( x)  A x a 0 (ε  0)(δ (ε )  0)(x  X , δ  x  a  0)  f ( x)  A  ε Точки х берутся слева от точки х = а. Левосторонний предел обозначают также f ( a  0) . 2 Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предела А функции f(x) в точке х=а Определение непрерывной в точке х = x0 функции Три условия для непрерывной в точке x = х0 функции Теорема о непрерывности элементарных функций Предел А функции f (x) в точке х = а существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы этой функции в точке х = а и эти односторонние пределы равны между собой: lim f ( x )  lim f ( x )  A , или f ( a  0)  f ( a  0)  A x a 0 x a  0 Функция f(x) называется непрерывной в точке х0  Х , если предел функции в точке x = х0 равен f ( x)  f ( x 0 ) . значению функции в этой точке: xlim x 1. Функция f (x) определена в точке x= х0. 2. Существует предел функции f(x) при x  х0. 3. Предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке. Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. Из теоремы о непрерывности элементарных функций и определения непрерывной функции в точке х = а следует, что при вычислении предела элементарной функции, прежде всего, вместо х нужно подставить точку а в выражение, задающее эту функцию f (х). Если при этом получается число А, то оно и является пределом данной функции f (х) в данной точке х = а (при х а), то есть lim f (x) = f (a) = A. x a ( 2 x  1)  2  5  1  9 . Например, lim x 5 Но очень часто, подставляя точку х = а в выражение, задающее функцию f(x), получают неопределенности одного из следующих видов: 0      ,   , 0   ,    , 1  , 0  ,   0   3 Такого вида неопределенности следует раскрывать при помощи соответствующих различных приемов. § Вычисление пределов. 0  f ( x)   , x  a, a   0  Какие преобразования Вид функции f(x) нужно сделать № n/n 1 n 2 Pn ( x)  Qm ( x) Разделить многочлены Pn(x) и Qm(x) на разность (х  а), сократить f(x) на эту a 0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...  a n  . разность (х  а) и b0 x m  b1 x m1  b2 x m 2  ...  bm подставить вместо х значение х = а. P (a)  Q (a)  0 f ( x)  m Функция f(x) содержит иррациональность вида u1 ( x)  u 2 ( x) 3 Функция f(x) содержит иррациональность вида 3 u1 ( x)  3 u2 ( x) или 3 u1 ( x)  3 u 2 ( x) c = const ≠ 0, b = const ≠ 0 Результат преобразований 0       0;    ; c  с c  с    ;    0; 0     ( х) d  , x a  ( х ) b lim d  const ; 0   – повторить 0 прием Умножить и разделить функцию f(x) на сопряженное иррациональное выражение ( u1 ( x)  u 2 ( x) ) , ------ // ------ использовать формулу сокращенного умножения (А–В)(А+В)=А2–В2 и сократить f(x) на разность (х – а). Умножить и разделить разность кубических корней на неполный квадрат суммы, а сумму кубических корней – на неполный квадрат разности, воспользоваться формулами сокращенного умножения: (А–В)(А2+АВ+В2)=А3–В3; (А+В)(А2– АВ+В2)=А3+В3 и сократить функцию f(x) на разность (х – а). 0       0;    ; c  с c  с    ;    0; 0     ( х) d  , x a  ( х ) b lim d  const ; 0   – повторить 0 прием 4 3 ( x  1)( x 2  x  2) ( x  1)( x 2  x  2) 0  x  3x  2     lim  lim  2 2  2x  1  0  ( x  1) 2 x 1 x 1 x 1 x  2x  1 x2  x  2 ( x  1)( x  2) 0   lim     lim  lim( x  2)  3. x 1 x 1 0  x 1 x 1 x 1 lim x Замечание. При делении многочлена Pn(x) или Qm(x) на разность (х – а) опираются на теорему Безу: если число х = а является корнем многочлена (при х = а многочлен равен нулю), то этот многочлен делится на разность (х – а) без остатка. Деление многочлена на разность (х – а) осуществляется по тем же правилам, по которым делятся столбиком числа: _a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an xa n n-1 a0x  aa0x a0xn-1 + (a1 + aa0)xn-2 + … = Pn-1(x) _ (а1 + aa0)xn-1 + a2xn-2 (a1 + aa0)xn-1 – a(a1 + aa0)xn-2 _ (a2 + a(a1 + aa0))xn-2 + a3xn-3 …………………………… …………………………… Обратите внимание на то, что индекс в обозначении многочлена соответствует старшей степени х этого многочлена. В результате деления получим представление многочлена Рn (х) в виде произведения многочлена Pn-1 (x) на разность (x–a) : Рn(x) = (x – а) Рn-1(х). Пусть f(x) = qx, q = const. Предел этой функции, если 1) |q| < 1  lim q x  0; x 2) q = 1  lim q x  1; x 3) 1 < q <   lim q   ; x x  4)   < q  1  lim q  не существует. x x  § Бесконечно малые функции. Первый и второй замечательные пределы Определение бесконечно малой функции Функция  (х ) называется бесконечно малой при х  а , если предел этой функции равен нулю при х  а : lim  ( x )  0 . xa Аналогично определяются бесконечно малые функции при х   и при х   : lim  ( x )  0; lim  ( x )  0 . x  x   5 sin x Теорема Предел функции f ( x )  при x о первом sin x замечательном lim  1. единице: пределе x 0 x x  0 существует и равен 1 x Предел функции f ( x )  (1  x ) , если x  0 , и функции x  1 f ( x)  1   , если x   , существует и равен числу  x Теорема о втором замечательном пределе e  2,718281828459045 ... . x  1 lim(1  x)  lim 1    e x 0 x   x 1 x lim (1  f ( x)) f ( x ) 0 1 f ( x)  1   lim 1   g ( x )   g ( x)  g ( x) e § Сравнение бесконечно малых функций  (х) и  (х) – б. м. ф., эквивалентные при х  а, если  ( x)  1  (x)~(x); x a  ( x) lim Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых функций Если б.м.ф.  (x ) эквивалентна б.м.ф. 1 ( x) : (x) ~ 1(x); а б.м.ф.  (x ) эквивалентна б.м.ф. 1 ( x) : (x) ~ 1(x) при x a, ( x) , x  a ( x )  ( x) то существует и lim 1 , причем имеет место равенство: x  a 1 ( x ) и существует lim  ( x)  ( x)  0      lim 1 . x a  ( x )  0  xa 1 ( x) lim Применение первого и второго замечательных пределов позволяет доказать справедливость формул в таблице эквивалентных бесконечно малых функций при х  а. 6  ( x)  0 при х  а 1 6 loga (1   ( x )) ~ sin ( x) ~  (x)  ( x) ln a 2 tg (x ) ~  (x) 6а ln(1   ( x)) ~  (x) 3 arcsin ( x) ~  (x) 7 a ( x )  1~  ( x) ln a 4 arctg (x) ~  (x) 7а e ( x )  1 ~  (x) 8 (1   ( x ))   1 ~  ( x ) 5 1  cos ( x ) ~ например, вычислим lim x 0 ( ( x )) 2 2 arcsin 2 x x . tg ( ) 2 x Так как при x  0  arcsin 2 x ~ 2х, tg ( ) ~ , 2 2 x то имеет место arcsin 2 x 2x 4  lim  . x 0 x 0 x x  tg( ) 2 2 lim равенство: Примеры. 1 3 4  2 x  x 2  6  3x lim(  )      lim  x 2 2  x x 2 8  x3 8  x3 x 2  5 x  2  4  10  2 12   lim    x 2 8  x3 0  3 3 2 lim x ( x3  2  x3  2)  (  )  lim x  x 2 ( x3  2  ( x3  2)) x3  2  x3  2 x   lim x  3 3 4x 2 4x 2 2   x 1  3   x   3 2   x 1  3  x    lim x  3   2 2  x  1 3  1 3  x x   3 2  2. v Чтобы вычислить предел lim u , можно воспользоваться основным x a логарифмическим тождеством  u v  ev ln u u  lim u и формулой lim x a x a v  lim V xa . 7 Например. 1 x lim 1  5 x  lim(1  5 x)  1 x x 0  x 0 e lim x0 ln(15 x ) x  0  lim     e x0 x  e5 . 0  5x Если же u  1, v   , то есть в случае неопределенность вида 1 , можно применить следующую последовательность тождественных преобразований: lim u  lim(1  (u  1))  lim(1  (u  1)) v xa v xa 1 ( u 1)v u 1 lim ( u 1)v  e x a xa 5 x x 2 x 2   5x 5 lim  x  3  5  x3      x x   Например. lim   1  lim 1   1  lim 1   e  e5 .      x  2   x  x  2   x  x  2 x           x x § Исследование функции на непрерывность Определение непрерывной в точке х = x0 функции Функция f(x) называется непрерывной в точке х0  Х , если предел функции в точке x = х0 равен значению функции в этой точке: lim f ( x)  f ( x 0 ) . x  x0 Три условия для непрерывной в точке x = х0 функции 1) функция f (x) определена в точке x= х0.; 2) существует предел функции f(x) при x  х0; 3) предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке. Теорема о непрерывности элементарных функций Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. Определение непрерывной на интервале (а, b) функции Функция называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Определение непрерывной на отрезке a, b функции Функция f(x) называется непрерывной на отрезке a, b, если она непрерывна на интервале (a, b) и в точке х = а – справа ( f ( a  0)  f ( a ) ), а в точке х = b – слева ( f (b  0)  f (b) ). Определение точек разрыва функции Точки, в которых нарушается хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называются точками разрыва графика функции, или просто точками разрыва. 8 Если в точке х = а функция не определена или не задана, а Определение точек устранимого односторонние пределы функции при x  a  0 конечны и разрыва функции равны между собой, то х = а точка устранимого разрыва. Определение точек разрыва первого рода функции Определение точек разрыва второго рода функции Если в точке х = а односторонние пределы функции конечны, но не равны между собой, то х = а точка разрыва первого рода. Если хотя бы один из односторонних пределов функции при x  a  0 равен бесконечности или не существует то x  a точка разрыва первого рода. Элементарные функции терпят разрыв в точках, не принадлежащих области их определения. Для исследования элементарной функции на непрерывность можно применить такой план: 1. Найти точки, которые не принадлежат области определения данной функции. 2. Вычислить односторонние пределы функции в этих точках. 3. Сделать вывод о характере разрыва функции в исследуемых точках. Например, исследуем на непрерывность функцию f ( x )  1  cos x . x 2 (1  x ) 1. Функция f ( x ) определена на интервалах ( ;  1)  ( 1; 0)  (0; ) . В точках х = 1 и х = 0 знаменатель функции обращается в нуль, следовательно, эти точки не принадлежат области определения данной функция и являются точками разрыва функции. 2. Найдем односторонние пределы данной функции в точках разрыва функции.   c  1  cos x  1  cos( 1)  х = –1: x lim       . 2 2 1 0 x (1  x )  ( 1) (1  ( 1  0))    0  Число c  1  cos(1)  положительное, так как cos x  1 для всех вещественных значений аргумента х.   c  1  cos x  1  cos( 1) lim 2        2 x  1 0 x (1  x ) (  1 ) ( 1  (  1  ))    0 х = 0: y  cos x и y  x  четные, поэтому пределы функции f(x) будут одинаковыми при x  0 и x  0 . Функции 2 9 Если х  0 , то функция y  1  cos x является бесконечно малой, и ее можно заменить эквивалентной функцией 1  cos x x2 . 2 x2 1  cos x 1 1 lim 2  lim 2 2  lim  . x  0 x (1  x ) x  0 x (1  x ) x  0 2(1  x ) 2 Замечание. Если доопределить данную функцию f (x ) в точке х = 0 значением, равным ее пределу в этой точке, то функция станет непрерывной в точке х = 0. То есть разрыв можно устранить, но получится уже другая функция:  1  cos x  x 2 (1  x) , x  0, f1 ( x )   1  , x  0.  2 3. В соответствии с классификацией точек разрыва функции делаем вывод о том, что: в точке х = 1 функция терпит разрыв второго рода, а в точке х = 0 имеет устранимый разрыв. Элементарные функции терпят разрыв в точках, не принадлежащих области их определения. Функция называется кусочно-аналитической, если она состоит из «кусочков» аналитических, то есть элементарных, функций и не является элементарной. Такая функция может иметь разрыв в точках, где эта функция не определена, а также в точках, где происходит переход от одного аналитического задания функции к другому (от одной формулы к другой) – это точки, «подозрительные» на разрыв. В точке, «подозрительной» на разрыв, функция может оказаться непрерывной, если в этой точке выполняются все три условия непрерывности функции: 1) функция f (x) определена в точке x= х0.; 2) существует предел функции f(x) при x  х0; 3) предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке. Для исследования кусочно-аналитической функции на непрерывность можно предложить такой план: 1. Найти точки, в которых данная функция не определена – точки разрыва графика функции. 2. Указать точки, в которых происходит переход от одной формулы задания функции к другой формуле,  точки, «подозрительные» на разрыв. 3. Вычислить односторонние пределы функции во всех этих точках (найденных по предыдущим двум пунктам плана). 4. Сделать вывод о характере разрыва или о непрерывности функции в исследуемых точках. 10 Например, исследуем на непрерывность кусочно-аналитическую функцию  2 x , 1  x  1,  f ( x)   x  1, 1  x  4,  5, x  1.  1. Функция определена во всех точках отрезка   1;4  , поэтому ее можно исследовать на непрерывность только на этом отрезке. 2. Точка, «подозрительная» на разрыв, одна: х = 1. 3. Вычислим односторонние пределы данной функции в точке х = 1. Слева от точки х = 1 функция задана при помощи основной элементарной функции y  2 , поэтому x lim f ( x)  lim 2x  2 , x 10 x 10 как предел основной элементарной функции y  2 в точке х = 1. x Справа от точки х = 1 функция задана при помощи элементарной функции y  x  1 , поэтому lim f ( x)  lim ( x  1)  0 . x 1 0 x 1 0 4. В соответствии с классификацией точек разрыва функции в точке х = 1 функция f  x  терпит разрыв первого рода (случай конечного скачка): f (1)  5,    f (1  0)  2  5,  f (1  0)  0  5.  Изобразим функцию на графике. Замечание. Если бы в точке x  1 значение функции было равно двум: f 1  2 , то функция была бы непрерывной слева, а если бы выполнялось равенство: f 1  0 , то функция была бы непрерывной справа. 11