Поверхностные плазмоны

Лекция N 23 Поверхностные плазмоны 1.Введение На Лекции N 16 мы получили дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов на границе раздела двух диэлектриков в случае p – поляризации. Это уравнение имеет вид: ∥ = ⋅ (1) + Диэлектрическая проницаемость плазмы имеет вид: ( )= − Ω (2) Найдем частоту, при которой диэлектрическая проницаемость обращается в ноль: ( )=0 (3) Подставляя выражение (2) в (3), получим: − Ω =0 ω (4) Откуда получаем: ω = Ω (5) Тогда диэлектрическая проницаемость плазмы приобретает вид: ( )= Следовательно, для − Ω = 1− Ω = 1− ω ( ) получаем выражение: ( )= 1− ω (6) Подставим значение = в (1), получим: = ⋅ = ⋅ + = ∥ (7) + Откуда получаем: ∥ + или: (8) ∥ Рассмотрим нерелятивистский случай → ∞, для этого в формуле (8) пе- рейдем к этому пределу, получим: + =0 (9) Найдем из этого выражения частоту поверхностного плазмона в этом случае → ∞: 0= + = + − Ω ω ⟹ Откуда получаем выражение для квадрата частоты поверхностного поляритона в нерелятивистском случае: = (10) + Нам для дальнейшего анализа понадобится представление о том, каким образом соотносятся между собой частоты ω , < . Из (5) и (10) следует, что < Преобразуем дисперсионное уравнение (1) для поверхностных плазмонов с учетом введенной частоты ω . Имеем: 1 = + + ( ): Преобразуем выражение для ( )= 1− 1 ω −ω = (11) Тогда: 1 + 1 = = ( = ) + ( = + −ω − ω = −ω ) − ∙ ) + − ω = −ω ) ( − + Ω + −ω + ( −ω ) = ( −ω ) = ( − ω = −ω ) + ( = −ω + + ∙ + = ∙ + −ω ω = −ω −ω Тогда получаем: + = 1 + 1 = ∙ + −ω −ω ⟹ Следовательно, мы получили дисперсионное уравнение для поверхностных плазмонов в виде: ∥ = ⋅ + ⋅ − − (12) Проведем анализ полученного выражения. Напомним, что само существование поверхностного плазмона возможно только в области частот, где ( ) < 0. ⟹ В соответствие с формулой (3), заключаем, что эта область существования поверхностного плазмона имеет вид: < < (13) Представим теперь дисперсионное уравнение в безразмерном виде. Вводим безразмерную частоту = (14) Ω Далее, вводим безразмерные продольную и поверхностную частоты: ω = , = Ω Ω (15) Тогда, с учетом формул (5) и (10), получаем: = = Поэтому для и Ω ω Ω = 1 (16) 1 + = (17) получаем выражения = 1 (18) 1 + = (19) Тогда дисперсионное уравнение (17) для поверхностных поляритонов преобразуется следующим образом ∥ ∥ = ⋅ + = ⋅ ⋅ + −ω = −ω −ω −ω ⋅ ⋅ + (12) ⋅ − − = = Ω ⋅ − − ⋅ + ⟹ Следовательно, дисперсионное уравнение приобретает вид: ∥ = ⋅ ⋅ + − − (13) Вводим безразмерное волновое число для поверхностного поляритона: ∥ = ∥ (14) Ω ⟹ Следовательно, дисперсионное уравнение для поверхностных поляритонов записывается в следующем безразмерном виде: ∥ = + ⋅ ⋅ − − (15) На следующей Лекции будут приведены результаты расчета дисперсионных кривых для нескольких кристаллов. 2.Дисперсионная кривая для поверхностных плазмонов на границе серебро - воздух В качестве такого примера рассматривается образец серебра, для которого диэлектрическая проницаемость в бесконечности равна Плазменная частота равна Ω =9 eV. Для параметров = 5. и получаем зна- чения: = 0.447, = 0.408 На Рисунке 1 приведена дисперсионная кривая для поверхностных плазмонов на границе серебро – воздух, а на Рисунке 2 – диэлектрической проницаемости плазмы от безразмерной частоты. Из этих Рисунков видно, что поверхностный поляритон существует в области отрицательных значений ( ). Кроме этого, во всей области его существования выполняется еще одно необходимое требование: | ( )| > n||^2 12 10 8 6 n||^2 4 2 0,005 0,02 0,035 0,05 0,065 0,08 0,095 0,11 0,125 0,14 0,155 0,17 0,185 0,2 0,215 0,23 0,245 0,26 0,275 0,29 0,305 0,32 0,335 0,35 0,365 0,38 0,395 Рис. 1. Зависимость ∥ от безразмерной частоты epsCorr -10 0,005 0,02 0,035 0,05 0,065 0,08 0,095 0,11 0,125 0,14 0,155 0,17 0,185 0,2 0,215 0,23 0,245 0,26 0,275 0,29 0,305 0,32 0,335 0,35 0,365 0,38 0,395 -20 -30 epsCorr -40 -50 -60 -70 Рис. 2. Зависимость диэлектрической проницаемости плазмы от безразмерной частоты