Потери энергии в трубопроводах пневмоприводов

1. Лекция 3. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В ТРУБОПРОВОДАХ ПНЕВМОПРИВОДОВ При течении газов по трубопроводу от источника рабочей среды к объемному двигателю происходят потери механической энергии. Причина потерь энергии - трение частиц в трубопроводе. Это явление сопровождается снижением давления рабочей среды по направлению движения потока где Δр - перепад (потеря) давления рабочей среды; рО и р— давления в начальном и конечном сечениях трубопровода. Опыты показывают, что перепад давления Δр возрастает с повышением расхода Q рабочей среды и длины l трубопровода и уменьшается с увеличением диаметра d проходного сечения. Для математического описания функциональной зависимости Δр = Ф·(Q, l, d) рассмотрим схему течения рабочей среды в однородном трубопроводе с круглым проходным сечением (рис. 3.1.) при установившемся движении. В потоке выделим элементарный объем масса которого равна где ρ – плотность рабочей среды. При движении объема δW рабочей среды со средней скоростью u возникает сила трения где τО – касательное напряжение сил трения на стенке трубопровода. Элементарная работа сил трения при перемещении выделенного рабочей среды вдоль оси трубопровода по координате х: где - частный дифференциал работы сил трения по переменной х. В общем случае элементарная работа сил трения не является полным дифференциалом. Криволинейный интеграл от вдоль замкнутой траектории точки приложения силы не равен нулю, в то время как этот интеграл от полного дифференциала должен быть тождественно равен нулю. Элементарная удельная работа сил трения Касательное напряжение τО на стенке трубопровода определяют экспериментальным путем по перепаду давления Δр. В гидравлике принято длину трубопровода выражать в целых числах диаметров. Чтобы установить связь между величинами Δр и τО выделим в трубопроводе элемент жидкости длиной, равной диаметру d. (рис. 4.1 б), и составим уравнение сил, действующих на него: Решив это уравнение, получим: Для распространения экспериментальных данных на другие потоки в гидравлике принято выражать перепад давления по длине трубопровода зависимостью где λ – коэффициент потерь на трение по длине трубопровода; u – средняя по сечению скорость потока. Для выделенного единичного объема l = d перепад давления и касательное напряжение на стенке трубопровода Дифференциальное уравнение элементарной удельной работы сил трения согласно формуле (4.6): Значение коэффициента сопротивления λ определяется экспериментально. Для распространения экспериментальных данных на различные потоки используют принцип подобия физических процессов. Критерием подобия при расчете сил трения принято число Рейнольдса Re. Для круглого сечения: где μД и ν – соответственно динамическая и кинематическая вязкости рабочей среды. Число Re связано с режимом течения рабочей среды. При Re < 2300 наблюдается ламинарный режим течения, при Re 2300 – турбулентный. На основании многочисленных опытов и обработки их результатов получены следующие зависимости: где СЛ = 75…150 в зависимости от степени деформации стенок трубопровода; СТ = 0,316 и m = 0,25 для гидравлически гладкой трубы. При учете внутренней шероховатости трубы высотой Δ для турбулентного течения рабочей среды применяют формулу: Диапазон ориентировочных значений λ: Составим математическое описание функции Δp = Ф (u,l,d) для всего однородного круглого проходного сечения (рис 1.4 в). Состояние потока в начальном (индекс 0) и конечном сечениях трубопровода длиной l с внутренним диаметром d характеризуется площадями поперечного сечения FО и F, давлениями рО и р, плотностями рабочей среды ρО и ρ, средними по сечению скоростями uО и u и температурами ТО и Т. При отсутствии утечек рабочей среды между рассматриваемыми сечениями массовые расходы через них равны между собой (GО = G). Для однородного трубопровода FO = F = πd 2/4. Так как то уравнение неразрывности потока будет иметь вид: С достаточной для проектирования объемных приводов точностью можно считать, что динамические вязкости в обоих сечениях (μО и μ) одинаковы. Следовательно, при u·ρ = const число Re и зависящий от него коэффициент потерь λ также можно принять постоянными. При установившемся течении рабочей среды средняя скорость потока имеет постоянное направление от начального сечения с более высоким давлением рО к конечному сечению с пониженным давлением р. В процессе течения газов в однородном трубопроводе из-за падения давления (р < рО) существенно уменьшается плотность (ρ < ρO ) и увеличивается скорость (u > uO) вдоль оси трубопровода. Характер изменения скорости по длине трубопровода заранее неизвестен, поэтому не представляется возможным раздельно проинтегрировать правую и левую части уравнения (4.12). Для этого выразим уравнение баланса удельных механических энергий и удельной работы сил трения в дифференциальной форме где аО- фиксированная величина, значение которой зависит от координаты х. Чтобы выразить удельную механическую энергию газа, выберем наиболее общее уравнение политропического процесса (3.25). Течение газов в трубопроводе преимущественно турбулентное, поэтому можно принять α = 1. Гравитационным членом уравнения можно пренебречь (g·z = 0). В соответствии с принятыми допущениями Для политропического расширения идеального газа откуда Далее определим После подстановки найденных выражений получим исходное дифференциальное уравнение баланса удельной механической энергии и удельной работы сил трения в развернутом виде: Для однородного трубопровода в соответствии с уравнением (4.18) имеем в каждом сечении u·ρ = const, откуда du/u = -dρ/ρ. С учетом ранее полученного Преобразуем исходное дифференциальное уравнение, разделив все члены на u2 и подставив du/u: Уравнение (4.27) пригодно для анализа градиента изменения давления р вдоль осевой координаты трубопровода х. Путем алгебраических преобразований получаем: В этом уравнении изменение знака dp/dx свидетельствует о переходе от докритического (дозвукового) течения газов к надкритическому (сверхзвуковому). Из уравнения представляется возможным определить критическую скорость течения газов Если определять местную скорость звука uM , ориентируясь на адиабатный процесс, по формуле то отношение критической скорости течения газов в трубопроводе к местной скорости звука составит где n - показатель политропического процесса; k - показатель адиабатного процесса. Изменения скорости u течения газов вдоль трубопровода в функции давления р в каждом рассматриваемом сечении получим совместным решением уравнения неразрывности u·ρ = uO·ρO и уравнения политропического расширения идеального газа . В результате имеем: В связи с падением давления вдоль потока газов в трубопроводе (р < ро) из-за сил трения скорость течения газов увеличивается (u > uo). Наибольшая скорость потока будет в конечном сечении трубопровода. Для почленного интегрирования уравнения (4.27) предварительно сделаем замену p·u2 в соответствии с уравнениями (4.18) и (4.33): После подстановки найденного выражения проинтегрируем почленно уравнение (4.27) Путем алгебраических преобразований выведем в окончательном виде уравнение баланса удельной механической энергии и удельной работы сил трения потока газа в трубопроводе Уравнение (4.37) - основное при проведении расчетов величин, характеризующих установившееся течение газов в трубопроводе (кроме начального участка). Дополнительно применяется уравнение состояния идеальных газов в виде: где R - газовая постоянная. При использовании уравнения (4.37) удобно ввести обозначение относительного давления в конечном сечении трубопровода . Связь между величиной и относительной потерей давления в трубопроводе имеет вид Из уравнения (4.37) определяются средняя скорость течения газов в начальном сечении трубопровода: и объемный расход Массовый расход газов через трубопровод: Для оценки скорости течения газов в конечном сечении трубопровода дополнительно к выражению (4.40) используется уравнение (4.33). Необходимо отметить, что скорость u течения газов в выходном сечении однородного трубопровода не может превышать критическую. Для каждого трубопровода критическая скорость в выходном сечении наступает при определенном критическом отношении давлений . Дальнейшее уменьшение давления за конечным сечением трубопровода при постоянном давлении рО в начальном сечении не изменяет давления в трубопроводе, поэтом скорость течения и расход газа в трубопроводе при рО = const и достижении стабилизируются. Определим зависимость величины от параметров трубопровода. Для этого в выражены для критической скорости газ, равной местной скорости звука, - преобразуем величину р/ρ с учетом выражения Тогда мы получим следующее выражение: Теперь мы можем записать уравнение для вычисления величины критической скорости в виде Соблюдая равенство u = uKP, подставим переменные из уравнений (4.33), (4.40) и (4.46) и выполнив алгебраические преобразования, получим: При расчете массового расхода через трубу часто из формулы (4.40) выделяют выражение для коэффициента расхода через трубу и вводят понятие об эффективной площади проходного сечения трубы: где FT – геометрическая площадь внутреннего проходного сечения однородной трубы. В результате формула для расчета массового расхода газа через трубу получается в виде: При этом следует иметь в виду ограничение . Величину рКР можно определить, решая относительно него уравнение (4.47) для течения газа с различными показателями политропы. Чаще всего при течении газов по трубам наблюдается изотермический процесс. При этом: (4.51) При p > 0,9·pO нередко для расчетов пользуются упрощенными формулами, полученными для определения расхода жидкости через трубопровод.