Построение математических моделей: основные виды моделей

Тема 5. Модели и моделирование (С) Макарова А.Н. 1 Классификация моделей (С) Макарова А.Н. 2 Что такое модель? Модель – это искусственный объект, воспроизводящий основные свойства изучаемого объекта. (С) Макарова А.Н. 3 Что такое модель? Модель – это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе. (С) Макарова А.Н. 4 Основные виды моделей Пример Эвристические модели представляют собой образы, рисуемые в воображении человека. Их описание ведется словами естественного языка (например, вербальная информационная модель) и, обычно, неоднозначно и субъективно. (С) Макарова А.Н. 5 Натурные модели - отличительной чертой этих моделей является их подобие реальным системам (они материальны), а отличие состоит в размерах, числе и материале элементов и т. п. Пример (С) Макарова А.Н. 6 Математические модели — формализуемые, то есть представляют собой совокупность взаимосвязанных математических и формальнологических выражений, как правило, отображающих реальные процессы и явления (физические, психические, социальные и т. д.). Пример (С) Макарова А.Н. 7 Графические модели занимают промежуточное место между эвристическими и математическими моделями и представляют собой различные изображения: графы, схемы, эскизы, чертежи, графики, полигональная модель в компьютерной графике. Пример (С) Макарова А.Н. 8 Аналоговые модели позволяют исследовать одни физические явления или математические выражения посредством изучения других физических явлений, имеющих аналогичные математические модели. Пример (С) Макарова А.Н. 9 Принципы и подходы к построению математических моделей (С) Макарова А.Н. 10 Адекватность. Этот принцип предусматривает: • соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, • а также соответствие реальной системе относительно выбранного множества свойств. (С) Макарова А.Н. 11 Соответствие модели решаемой задаче. Модель должна строиться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы. Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается практически непригодной. (С) Макарова А.Н. 12 Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототипа — в этом смысл моделирования. Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей. (С) Макарова А.Н. 13 Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной стороны, чтобы отразить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необходимо детализировать. С другой стороны, строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным. (С) Макарова А.Н. 14 Этапы построения математической модели (С) Макарова А.Н. 15 1. Содержательное описание моделируемого объекта. Объекты моделирования описываются с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования устанавливаются совокупность элементов, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и отношения между ними. (С) Макарова А.Н. 16 Например, фиксируется, что если значение одного параметра возрастает, то значение другого — убывает и т.п. (С) Макарова А.Н. 17 Такое предварительное, приближенное представление системы называют концептуальной моделью. Для того чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моделируемый объект. (С) Макарова А.Н. 18 На этом этапе моделирования широко применяются: • качественные методы описания систем, • знаковые модели, • языковые модели. (С) Макарова А.Н. 19 2. Формализация операций. A) На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы. Для выделения существенных характеристик необходим хотя бы приближенный анализ каждой из них. При проведении анализа опираются на постановку задачи и понимание природы исследуемой системы. (С) Макарова А.Н. 20 Б) После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию. C) Затем определяется система ограничений на значения управляемых параметров. Если ограничения не носят принципиальный характер, то ими пренебрегают. (С) Макарова А.Н. 21 Г) После этого формулируют целевую функцию. (С) Макарова А.Н. 22 3. Проверка адекватности модели. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам. • Все ли существенные параметры включены в модель? • Нет ли в модели несущественных параметров? • Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами? • Правильно ли определены ограничения на значения параметров? (С) Макарова А.Н. 23 Для проверки рекомендуется привлекать специалистов, которые не принимали участия в разработке модели. Они могут более объективно рассмотреть модель и заметить ее слабые стороны, чем ее разработчики. Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки. (С) Макарова А.Н. 24 После этого приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. (С) Макарова А.Н. 25 Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются следующие пути: • сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях; • использование других близких моделей; • сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом. (С) Макарова А.Н. 26 4. Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться: • существенные параметры, • ограничения, • целевая функция и т.д. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности. (С) Макарова А.Н. 27 5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем. (С) Макарова А.Н. 28