Понятие матрицы, действия над матрицами; понятие определителя

ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Содержание. 1. Понятие матрицы, действия над матрицами. 2. Понятие определителя. Свойства. 3. Миноры и алгебраические дополнения элемента. Теорема разложения определителя по строке (столбцу). П 1. Понятие матрицы, действия над матрицами. Определение: Матрицей размерности m на n (записывается так A ) называется совокупность  mn  mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые скобки. При этом сами числа ai j называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа i -номер строки и j - номер столбца.  a11 a12 ... a1n    a21 a22 ... a2 n   A  .................     am1 am 2 ... amn  Определение: Если число строчек и столбцов равно одному и тому же числу n , то матрица называется квадратной порядка n . Определение: Квадратная матрица называется единичной, если её элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, а остальные элементы равны 0.  1 0 0 ... 0    0 1 0 ... 0  . E   .................     0 0 0 ... 1   a1     a2  Определение: Матрица вида A   называется матрицей-столбцом или просто столбцом.    a   m Определение: Матрица называется нулевой матрицей ( O ), если все её элементы равны нулю. a1n   a11  b11    Определение: Две матрицы A и B одинаковой размерности A    и B a b amn   m1  m1 называются равными, если у них все соответствующие элементы равны. b1n    bmn  Умножение матрицы на число. Определение: Произведением матрицы A на число  называется матрица, получающаяся из А умножением всех ее элементов на  . При умножении матрицы на число получается матрица той же размерности.   a11  a12 ...  a1n     a  a ...  a2 n   A   21 22  . ... .. .. .. .. .. .. .      am1  am 2 ...  amn  Свойства умножения матрицы на число: 1) 2) 3) 4) ( ) A   ( A) , (   ) A  A  A  ( A  B )  A  B ) , 1A  A , 0 A  0 , 1A   A Сложение (вычитание) матриц. Определение: Суммой (разностью) двух матрицы A и B одинаковой размерности m  n называется матрица С той же размерности, такая что, ее элементы равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B . Проще говоря, для того, чтобы сложить матрицы, надо сложить их соответствующие элементы C  A  B, cij  aij  bij , 1  i  m , 1  j  n. 3  1 7 5    2 4 2 3 3 Пример.         .   3 11 2   5  2  9   2 9  7  Свойства сложения матриц: 1) A  B  B  A закон коммутативности сложения), 2) ( A  B)  C  A  ( B  C ) (закон ассоциативности сложения), 3) A  0  A , 0  A  A (существование нейтрального элемента относительно сложения). Умножение матриц. pn Определение: Произведением матрицы A размерности m  p на матрицу B размерности называется матрица C размерности m  n , у которой на пересечении строчки i и столбца j находится сумма произведений элементов i -той строки матрицы A на элементы j -того столбца матрицы B , т.е. C  AB, cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  p  aip bpj , сij   aik  bkj . k 1 Чтобы перемножить две матрицы надо каждую строчку матрицы А умножить на каждый столбец матрицы В. В этом заключается правило: строчка на столбец. Строения перемножаемых матриц связаны условием: число столбцов первого множителя равно числу строчек второго сомножителя. Тогда число строчек произведения равно числу столбцов второго сомножителя. Изобразим это схематически: Замечание: Произведением строчки на столбец является сумма произведений соответствующих элементов  b1    b a1 a 2  a n   2   a1b1  a 2 b2    a n bn .    b   n Перемножать можно только строчку на столбец, если они имеют одно и то же число элементов. 1 2    B  1 2  . Пример. 1 3     2  1  1  1  1  1 2  2  1  2  1  3   2  1 Тогда AB    ,  0  1  3  1  5  1 0  2  3  2  5  3  8 9   2 1 1 A , 0 3 5  9  1 2  1  2  2  0 1  1  2  3  1  1  2  5   2 7    2 1  1      1  2  2  0 1  1  2  3  1  1  2  5   2  5  11 BA  1  2  1 3   0 3 5  1  2  3  0 1  1  3  3  1  1  3  5   2 10 14        1) 2) 3) 4) 5) Свойства умножения матриц: Умножение матриц некоммутативно, т.е. существуют матрицы, для которых AB  BA . ( AB)C = A(BC ) (закон ассоциативности умножения матриц). A( B  C ) = AB  AC (закон дистрибутивности умножения матриц относительно сложения слева).  ( AB)  (A) B ,  ( AB)  A( B),   R . Em A  A, AEn  A ,где E m и En квадратные матрицы соответственно порядков m и n. 6) ( AB)T  BT AT , 7) Ak A1  Ak 1 ,где A0  E, A1  A, A2  AA, Ak  Ak 1 A . Транспонирование матриц. Определение: Матрица B размерности n  m называется транспонированной к матрице А размерности m n и обозначается размерности B  AT , если строки (столбцы) матрицы В являются столбцами(строками) матрицы А с теми же номерами (а столбцы В – строками А). B  AT , bij  a ji , 1  i  m , 1  j  n Пример.  2 1 1 A , 0 3 5   2 0   B  A   1 3 .  1 5    T Примеры.  1 2 3 1 3 4     Пример: Даны матрицы А =  2 1 4  ; B =  5 7 8  , найти 2А + В.  3 2 3 1 2 4      1 2 3   1 3 4   2 4 6   1 3 4   3 7 10            2 A  B  2  2 1 4    5 7 8    4 2 8    5 7 8    9 9 16  .  3 2 3   1 2 4   6 4 6   1 2 4   7 6 10             1 0 3   1 1       Пример: Даны матрицы А =  2 4 1  , В =  3  , С =  2  и число  = 2. Найти АТВ+С. 1  2  1  4 2       1 2 1   1 2 1   1   1 1  2  3  1  2   9            AT =  0 4  4  ; ATB =  0 4  4    3  =  0  1  4  3  4  2  =  4  ; 3 1 2   3 1 2   2   3  1  1  3  2  2  10              2  9    2  7          C =  4  ; АТВ+С =  4  +  4  =  8  .  2  10   2  12          1   Пример: Даны матрицы А =  4  и В = 2 4 1 . Найти произведение матриц АВ и ВА.  3    1 2 1 4 11   2 4 1  1       АВ =  4   2 4 1 =  4  2 4  4 4  1   8 16 4  .  3  3  2 3  4 3  1  6 12 3        1   ВА = 2 4 1   4  = (21 + 44 + 13) = (2 + 16 + 3) = (21).  3   3 4  5 6 Пример: Найти произведение матриц А= 1 2 , В =  3 4  = 3  10 4  12 = 13 16 . 6  АВ = 1 2   5 П2. Понятие определителя. Свойства. Пусть A – квадратная матрица порядка n:  a a ... a   11 12 1n   a a ... a  . A   21 22 2n   .... ... .... ......   a a ... a  nn   n1 n 2 Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое a a ... a 11 A  det A    a 21 12 1n a ... a 22 2n . ................. a a ... a n1 n2 nn Замечание. определитель существует только для квадратных матриц. Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно. Определение: Определителем второго порядка матрицы A22 называется число, определяемое по правилу: det A  a a 11 12 a a 21  a11a22  a12a21 22 т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. 4 1  4  1 Пример. A   , тогда det A    4  3  (1)  2  12  2  14 . 2x 2 2 3 2 3  Определение: Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число a a a 11 12 13 det A  a a a a a a 21 31 22 32 23 33  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33 . 2 3 6 5  1 6 1  2  5  2  4  (1)  (3)  ( (3)  6  2  2  4 1  1 5  (1) )  71. 2 1 1 1 Пример. 4 Замечание. Конечно, указанная формула сложна для запоминания, поэтому для вычисления определителей можно воспользоваться одним из правил: Правило треугольника Правило Саррюса Точки – вершины треугольников– демонстрируют множители в произведениях Свойства определителя. 1. Определитель мотрицы равен определителю транспонированной матрицы. det A  det AT . Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами. a a  11 12 a a 21 22 a a 11 . 21 a a 12 22 2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя: a a a a 11  12 21 22 a a 21 a , 22 a 11 12 a a a a 11 21  12 22 a a a a 12 . 11 22 21 3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя: ka ka a a 11 21 k 12 22 a a a a 11 или 12 21 ka a ka a 11 22 k 12 21 22 a a a a 11 . 12 21 22 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю. 5. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю. 6. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны: a a 11 a ka 0, 12 ka ka 11 12 11 a 21 11 ka 0 21 7. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей: a 11 a 21 b 11 a b 12 a 22 12  a a a a 11 21  12 22 b b a a 11 21 , или 12 a b 11 a a b a 11 22 21 21 12 22  a a a a 11 21 12 22  b b 11 a 21 12 a . 22 8. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число k : a  ka 11 a 21 21 a  ka 12 a 22 22  a a 11 12 a a 21 22 , так как a  ka 11 a 21 a  ka 12 a 21 22 22  a a a a 11 21 12  ka 22 ka 21 a 21 22 a  22 a a a a 11 21 12 , а 22 ka a 21 21 ka 22 a  0 по свойству 5. 22 Примеры. Пример. Пример. 4 2  4 1  (2)  3  4  6  10. 3 1 2 1 2  Пример. 100 6 2 1 1 1  (2)  2  3  6  (1)  0  (1) 11  1 2  0  (1)  6  3  1 (1)  (2)  3 3 6 1 2 200 100  100  1 1 3 6 2 1 1 1  100  3  300. (См. предыдущий пример). 3 П 3. Миноры и алгебраические дополнения элемента. Теорема разложения определителя по строке (столбцу). Определение: Минором элемента a ji определителя det A n -го порядка называется определитель ( n  1) го порядка, получаемый из данного det A путем вычеркивания i строки и j столбца (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент). Обозначение M ji . 3 Пример. det A  1 7 8 2 1 4 0 , a13  2 , M13  7 5 1 4  1 5  4  7  5  28  23 , 5 3 2  3 1  (2)  7  3  (14)  17 7 1 Определение: Алгебраическим дополнением элемента a ji определителя det A называется минор этого a22  4 , M 22  элемента, умноженный на (1)i  j , где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Обозначение A ji . 3 Пример. det A  1 7 Aji  (1)i  j M ji . 8 2 4 0 , a13  2 , M13  23 , A13  (1)13 (23)  23 , 5 1 a22  4 , M 22  17 , A22  (1) 2 217  17 . Теорема. (Теорема разложения определителя по строке (столбцу)). Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. det A  аi1 Аi1  аi 2 Аi 2  аi 3 Аi 3  ...  аiп Аiп - формула разложения по i строке. det A  а1 j А1 j  а2 j А2 j  а3 j А3 j  ...  аnj Аnj - формула разложения по j столбцу 2 Пример. Вычислить определитель 1 6 1 2 1 . 1 3 Разложим определитель по первой строке: 2 1 6 1 2 1 1 1 1 2 2 1 .  (2)  (1)11   6  (1)1 2   1 (1)13   (2)  (6  1)  6  (3)  1 (1)  3. 1 3 0 3 0 1 1 3 Замечание: На практике для вычисления определителей удобно сначала “упростить” определитель с помощью свойств (занулить элементы какой либо строки или столбца кроме одного), а затем применять теорему о разложении определителя по строке или столбцу. 2 Пример. Вычислить определитель 1 6 1 2 1 . 1 3 1 способ. Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 2, и разложим определитель по 1-му столбцу: 2 1 6 1 I  2 II 2  2  (1) 2 1  1 1 3 6  22 2 1 1  2  (1) 1  1 3 2 3 2 3 2 1  0  (1)  (1) 21   0  3. 1 3 1 3 2 способ. Вычтем из третьего столбца второй, умноженный на 3, и разложим определитель по 3-ей строке: 2 1 6 1 2 2 1  1 1 3 6 1  3  6 2 2 1  3  2  1 1 3  3 1 6 2 1  17 2 17 7  0  1 (1)3 2   0  (1)  (14  17)  3 1 7