Показатели вариации

Показатели вариации После установления средней величины (Х, Мо, Ме) возникает вопрос в какой мере индивидуальные значения признака отличаются между собой и от средней. Для этого рассчитывают показатели вариации (колеблемости). Они показывают насколько близко единицы совокупности сгруппированы вокруг средней. Вариацией признака называется отличие в численных значениях признака единиц совокупности и их колебания около средней величины. Чем меньше вариация, тем более однородна совокупность и более надежна (типична) средняя величина. К основным абсолютным показателям, которые характеризуют вариацию, относятся: ➢ ➢ ➢ ➢ размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Рассмотрим вычисление показателей вариации на следующем примере (табл. 1): Объем произведенной продукции по 2-м бригадам № бригады Число рабочих, чел. Среднемесячная выработка Средняя месячная выработка каждого рабочего, тыс. руб. одного рабочего, тыс. руб. 1 4 114,3 97,0 74,4 57,3 85,75 2 4 121,4 73,3 53,9 85,525 93,5 Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака. R = Xmax – Xmin. Тогда размах вариации составляет для первой бригады : 114,3 - 57,3 = 57,0 руб. для второй бригады: 121,4 -53,9 = 67,5, т.е во второй бригаде размах вариации больше на 10,5руб. (67,5-57,0) Как видно, Величина размаха вариации зависит только от крайних значений признака и не учитывает всех значений, которые находятся между ними. Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую всех отклонений индивидуальных значений признака от среднего по абсолютной величине. простое d = ∑ |хi – 𝑥 | / n взвешенное d = ∑|х – 𝑥 | *f / ∑ f Среднее линейное отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней величины (как и среднее квадратическое отклонение). 1 Использование абсолютных величин объясняется тем, что средняя арифметическая имеет, так называемое, нулевое свойство, согласно которому сумма отклонений от среднего значения каждого индивидуального значения признака со своими знаками равняется нулю. Чтобы иметь сумму всех отклонений, отличных от нуля, каждое из них следует брать по абсолютной величине. Для нашего примера имеем: Бригада 1 Бригада 2 Рабочий 1 114,3-85,75 = 28,55 121,4-85,525 = 35,875 Рабочий 2 97,0-85,75 = 93,5-85,525 = 7,975 Рабочий 3 74,4-85,75 = - 11,35 73,3-85,525 = - 12,225 Рабочий 4 57,3-85,75 = - 28,45 53,9-85,525 = -31,625 Итого отклонений = 0 Итого отклонений = 0 11,25 Итого отклонений по Итого отклонений по абсолютной величине = абсолютной величине = 79,60 87,70 Среднее отклонение линейное Среднее отклонение d = 79,6/4 = 19.9 тыс. руб. линейное d = 87.7 : 4 = 21.9 тыс. руб. Основным недостатком среднего линейного отклонения является то, что в нем не учитываются знаки отклонений, т.е. их направленность. Поэтому этот показатель вариации используется редко. Наиболее распространенным показателем вариации явл. среднее квадратическое отклонение. Оно представляет собой корень квадратный из дисперсии. Дисперсией наз. среднюю арифметическую квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по формулам средней арифметической простой или средней арифметической взвешенной: простая взвешенная σ2 = ∑ (х𝐢 − 𝑥) 𝟐 σ2 = 𝒏 ∑(х𝐢 –𝑥) 𝟐 ∗𝐟 ∑𝐟 Дисперсия – это один из наиболее распространенных в статистике показателей размера вариации в совокупности. Среднее квадратическое отклонение вычисляют, извлекая квадратный корень из дисперсии: 2 простое σ=√ взвешенное ∑(х – 𝒙) 𝟐 ∑𝐟 σ= √ (∑(х – 𝒙) 𝟐 ∗𝐟 ∑𝐟 Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака от их средней величины в тех же единицах измерения, что и средняя величина (абсолютный показатель). Как и среднее линейное отклонение СКО характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней величины. Рассчитаем дисперсию и среднее квадр. отклонение для нашего примера: Работники Бригада 1 Бригада 2 (х𝐢 − 𝑥) (х𝐢 − 𝑥)2 (х𝐢 − 𝑥) (х𝐢 − 𝑥)2 1 28,55 815,10 35,875 1287,02 2 11,25 126,56 7,975 63,6 3 - 11,35 128,82 - 12,225 149,45 4 - 28,45 809,40 -31,625 1000,14 Итого 1879,88 1500,07 Дисперсия σ2 1879,88/4= 469,97 2500,21/4=625,1 √σ2 = 21,7 т.руб. √σ2 = 25,0 т.руб. Среднее квадратическое отклонение σ Размах вариации Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую всех отклонений индивидуальных значений признака от среднего по абсолютной величине. простое d = ∑ |хi – 𝑥 | / n взвешенное d = ∑|х – 𝑥 | *f / ∑ f Среднее линейное отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней величины (как и среднее квадратическое отклонение). Относительные показатели вариации: Коэффициент вариации – это процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической величине признака. U =σ/𝑥 Тогда, U = 23,3/149*100 = 15,6% 3 Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность. Установлено, что совокупность количественно однородна, если коэф. вариации не превышает 33%. Коэффициент осцилляции определяется как отношение размаха вариации к средней величине признака VR = R/Xср Линейный коэффициент вариации – отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака: Vd = D/Xср Коэффициент детерминации определяется как отношение межгрупповой 𝟐 дисперсии 𝛅𝟐 у к общей 𝛔у . 𝟐 𝛅 у 𝜼𝟐 = 𝟐 𝛔у 4