Показатели вариации. Размах вариации. Дисперсия

6. Показатели вариации 6.1. Методические рекомендации Вариация – колеблемость, различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Оценка вариации позволяет измерить степень влияния на данный признак других варьирующих признаков, судить об однородности совокупности, типичности средней, о взаимосвязи между признаками и т.д. Вариация существует в пространстве и во времени. Она измеряется при помощи абсолютных и относительных показателей вариации. К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным – коэффициент вариации (относительное квадратическое отклонение), коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение). Размах вариации (R) отражает отклонения между максимальным (Хмакс.) и минимальным (Х мин.) значениями признака: R = Х макс. – Х мин. (19) Размах вариации измеряет расстояние между крайними значениями признака в совокупности, однако не отражает отклонения всех вариант. Чтобы при анализе вариации учитывать все колебания варьирующего признака, дать обобщающую характеристику распределению отклонений, используют отклонения индивидуальных значений признака от средней величины, вокруг которой происходят рассеяния вариант. На этом основан расчет других абсолютных показателей вариации. Среднее линейное отклонение () показывает среднее отклонение значений признака данной совокупности от средней величины и определяется в тех же единицах измерения, что и признак. Оно исчисляется как средняя арифметическая из абсолютных отклонений вариант от среднего значения признака по следующим формулам: - простая средняя (20) - взвешенная средняя (21) Среднее линейное отклонение в статистической практике применяют редко, поскольку оно не совсем точно устанавливает степень рассеивания значений признаков. Вариацию признака более объективно отражает дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Эти показатели являются общепринятыми мерами вариации и часто используются в статистических исследованиях, а также в других отраслях знаний. Дисперсия () не имеет единиц измерения и определяется как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий: - простая дисперсия = (22) - взвешенная дисперсия = (23) Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Поскольку варианты признака выражены в первой степени, то мера их вариации также должна быть выражена в первой степени. Для этого исчисляется корень квадратный из дисперсии, то есть среднее квадратическое отклонение (): = Данная мера вариации определяется в тех же единицах измерения, что и признак. Среднее квадратическое отклонение позволяет судить об однородности совокупности и оценить надежность средней. Чем оно меньше, тем лучше средняя отражает собой всю представляемую совокупность. Относительные показатели вариации позволяют сравнить колеблемость различных признаков в одной и той же совокупности или колеблемость одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической. Наиболее распространенным среди них является коэффициент вариации: Vs = По величине коэффициента вариации можно судить об интенсивности вариации признака и, следовательно, об однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %. Пример решения задач Задача №1 Проанализировать колеблемость затрат на 1 тыс. руб. продукции предприятий двух регионов по следующим данным: Затраты на 1 тыс. руб. продукции, руб. Число предприятий регион А регион Б 600 – 650 12 4 650 – 700 25 48 700 – 750 44 25 750 - 800 37 59 Известно также, что средний размер затрат на 1 тыс. руб. продукции в регионе А составил 720 руб., в регионе Б – 726 руб. Решение: Для оценки колеблемости затрат на 1 тыс. руб. продукции рассчитаем показатели вариации. Составим расчетную таблицу для региона А: Затраты на 1 тыс. руб. продукции, руб. (Хi) Число пред-прия-тий (fi) Сере- дина интер-валов (хi') | Хi - | | Хi - |´ f (Хi - )2´fi 1 2 3 4 5 6 600 – 650 12 625 95 1140 108300 650 – 700 25 675 45 1125 50625 700 – 750 44 725 5 220 1100 750 – 800 37 775 55 2035 111925 Итого 118 - - 4520 271950 В графе 3 таблицы находим середины интервалов по исходным данным графы 1. Размах вариации составит 150 руб. (775 – 625). Для расчета среднего линейного отклонения находим абсолютные отклонения середин интервалов от средней величины (гр. 4). В графе 5 вычисляем произведения отклонений середин интервалов от средней величины на соответствующие частоты и суммируем их. Делим эту сумму на сумму частот и получаем среднее линейное отклонение: = = 38,3 руб. В графе 6 умножаем квадраты отклонений индивидуальных значений признака от средней величины на соответствующие частоты. После это сумму рассчитанных произведений делим на сумму частот и получаем дисперсию: = = 2304,7 Тогда среднее квадратическое отклонение составит: = = 48,0 руб. Коэффициент вариации равен: Vs = = 6,7 % Составим расчетную таблицу для региона Б: Затраты на 1 тыс. руб. продукции, руб. (Хi) Число пред-прия-тий (fi) Сере- дина интер-валов (хi') | Хi - | | Хi - |´ f (Хi - )2´fi 1 2 3 4 5 6 600 – 650 4 625 101 404 40804 650 – 700 48 675 51 2448 124848 700 – 750 25 725 1 25 25 750 – 800 59 775 49 2891 141659 Итого 136 - - 5768 307336 Порядок расчета показателей аналогичен расчету показателей для региона А: - = = 42,4 руб. - = = 2259,8 - = = 47,5 руб. - Vs = = 6,5 % Таким образом, среднее линейное отклонение показывает, что затраты на 1 тыс. руб. продукции каждого из предприятий региона А отклоняются от среднего значения в среднем на 38,3 руб., региона Б – на 42,4 руб. Судя по среднему квадратическому отклонению, среднее отклонение вариантов признака от их средней величины составило: по региону А – 48,0 руб., по региону Б – 47,5 руб. Эти отклонения по сравнению со средней величиной незначительны. Коэффициент вариации указывает, что степень колеблемости затрат на 1 тыс. руб. продукции по совокупности предприятий региона А составила 6,7 %, региона Б – 6,5 %. Эти показания ниже порогового значения коэффициента. Следовательно, совокупности предприятий региона А и региона Б в отношении исследуемого признака однородны, а средние значения затрат типичны. Задача 1 Распределение численности безработных мужчин и женщин по возрастным группам следующее (на конец года, в % к итогу): Мужчины Женщины Безработные - всего 100 100 в том числе      в возрасте, лет: до 20 9,2 9,8 20 - 24 20,2 20,6 25 - 29 12,2 12,5 30 - 34 11,8 12,8 35 - 39 9,9 9,3 40 - 44 9,2 8,2 45 - 49 10,5 9,6 50 - 54 9,6 9,4 55 - 59 5,1 5,3 60 - 72 2,4 2,5 Определить показатели вариации возраста безработных мужчин и женщин, моду и медиану. Сделать выводы. Задача 2 Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год: № пред-приятия Среднегодовая стоимость основных средств, ден. ед. 1 10,0 2 22,8 3 18,4 4 12,6 5 22,0 6 19,0 7 21,6 8 9,4 9 19,4 10 13,6 11 17,6 12 8,8 13 14,0 14 10,2 Определить показатели вариации.