Параметрическое описание многомерной случайной величины

Параметрическое описание многомерной случайной величины Непрерывная k-мерная нормально распределенная случайная величина Ответьте на вопросы: 1. Какой является ковариационная матрица многомерной случайной величины? прямоугольной квадратной треугольной необходимы дополнительные сведения 2. Какой является ковариационная матрица многомерной случайной величины? симметрической кососимметрической всегда ортогональная необходимы дополнительные сведения 3. Ковариационная матрица многомерной случайной величины неотрицательно определена? нет да, если X подчиняется многомерному нормальному распределению да необходимы дополнительные сведения 4. Чему соответствует M(x3/x1,x2,x4)? регрессии компонент x1,x2,x4 на x3 регрессии x3 на компоненты x1,x2,x4 математическому ожиданию вектора X = (x1,x2,x3,x4)T необходимы дополнительные сведения 5. В каком случае квадрат множественного коэффициента корреляции R2i0 совпадает с корреляционным отношением ηi2 ? в любом при линейной зависимости компоненты xi вектора X от остальных его компонент при нормальном законе распределения всех компонент вектора X необходимы дополнительные сведения Оценивание параметров многомерной случайной величины Основным методом оценивания параметров многомерных случайных величин является метод выборочного анализа. Согласно этому методу из генеральной совокупности наблюдаемого случайного вектора извлекается выборка, которая анализируется и результаты анализа распространяются на всю генеральную совокупность. Выборку объема n из k-мерной генеральной совокупности можно представить в виде матрицы данных: x11 x12 ... x1j ... x1k x21 x22 ... x2j ... x2k ... ... ... ... ... ... xi1 xi2 ... xij ... xik ... ... ... ... ... ... xn1 xn2 ... xnj ... xnk Точечные оценки математических ожиданий X компонент вектора X вычисляются по формулам: xj = (xi1 + xi2 + ... + xij + ... + xik)/n, где xj - точечная оценка математического ожидания j-той компоненты вектора X, j = 1, ..., k, i = 1, ..., n. Оценка ковариационной матрицы COV (обозначим матрицу оценок ковариаций C) имеет вид: c(x1,x1) c(x1,x2) ... c(x1,xj) ... c(x1,xk) c(x2,x1) c(x2,x2) ... c(x2,xj) ... c(x2,xk) ... ... ... ... ... ... c(xi,x1) c(xi,x1) ... c(xi,xj) ... c(xi,xk) ... ... ... ... ... ... c(xk,x1) c(xk,x2) ... c(xk,xj) ... c(xk,xk) где: c(xi,xj) = ∑i[(xij - xi)*(xij - xj)]/(n - 1), i = 1, ..., n, j = 1, ..., k. Очевидно, что c(xj,xj) является оценкой дисперсии j-го компонента вектора X. Оценка корреляционной матрицы R имеет вид: 1 r(x2,x1) ... r(xi,x1) ... r(xk,x1) r(x1,x2) 1 ... r(xi,x1) ... r(xk,x2) ... ... ... ... ... ... r(x1,xj) r(x2,xj) ... r(xi,xj) ... r(xk,xj) ... ... ... ... ... ... r(x1,xk) r(x2,xk) ... r(xi,xk) ... 1 1/2 где r(xi,xj) = c(xi,xj)/[c(xi,xi)*c(xj,xj)] Точечные оценки параметров случайных величин являются необходимыми, но недостаточными. Так, оценка параметра непрерывной случайной величины совпадает с истинным значением параметра с вероятностью равной нулю (не совпадает никогда). Поэтому, для полного описания оценки параметра необходима интервальная оценка. Для одномерной случайной величины - это доверительный интервал, для многомерной (случайного вектора) доверительная область. Пусть имеется вектор параметров Θ. Доверительной областью вектора параметров Θ называется область, определяемая результатами наблюдений, которая с доверительной вероятностью P содержит значение вектора. Очевидно, что построение области, ее вид, зависит от распределения вектора статистик-оценок параметров Θ. Рассмотрим построение доверительной области для математического ожидания k-мерного вектора X в предположении, что распределение компонент X подчинено нормальному закону распределения: X€Nk(μ,COV). Здесь μ = MX математическое ожидание вектора X, COV - ковариационная матрица вектора X. Пусть найден вектор точечных оценок математического ожидания (вектор средних) X и матрица оценок ковариаций C. При k=1 для построения доверительного интервала для математического ожидания используют статистику t = (x - µ)*(n)1/2/s, которая имеет t-распределение с числом степеней свободы ν= n-1 (s - оценка дисперсии). Данное соотношение эквивалентно представлению t2 = n*(x - µ)*(s-1)*(x - µ). 2 2 Статистика t имеет распределение χ с числом степеней свободы ν=n-1. Для k больше единицы при построении доверительной области используется статистика T2 (статистика Хотеллинга): т -1 T2 = n*(X - µ) *(C )*(X - µ) где µ - вектор математических ожиданий k-мерного случайного вектора X; X - вектор средних значений (точечных оценок) математических ожиданий k-мерного случайного вектора X; C-1 - матрица обратная матрице оценок ковариаций. При заданной доверительной вероятности P, известных значениях k и n статистика T связана со статистикой F: 2 T2 = [k*(n - 1)/(n - k)]*F Учитывая это соотношение, доверительная область математического ожидания k-мерного случайного вектора X с доверительной вероятностью P описывается следующим уравнением поверхности: (X - µ)т*(C-1)*(X - µ) = [k*(n - 1)/(n*(n - k))]*F1-P где: F1-P - значение F соответствующее уровню значимости α = 1 - P при числах степеней свободы ν1 = k и ν2 = n - k. Доверительная область определяет k-мерный эллипсоид (при k=2 эллипс) с центром X, так т -1 как (X - µ) *(C )*(X - µ) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Необходимо понимать, что определение доверительной области без учета ковариаций является более грубым. Это хорошо видно при k = 2. В этом случае без учета ковариаций доверительная область будет представлять собой прямоугольник с координатами вершин: x1 - t1-P/2*s1/(n)1/2 , x1 + t1-P/2*s1/(n)1/2 x2 - t1-P/2*s2/(n)1/2 , x2 + t1-P/2*s2/(n)1/2 . Здесь x1, x2 - компоненты оценки вектора математического ожидания X. Ниже на рисунке представлено различие между доверительными областями, определенными с учетом и без учета ковариаций. Из рисунка видно значительное различие, которое зависит от степени взаимной зависимости компонент вектора X. Ответьте на вопросы: 1. Какой метод применяется при оценивании параметров многомерной случайной величины? метод наименьших квадратов метод максимального правдоподобия метод выборочного анализа метод "проб и ошибок" 2. Оценка математического ожидания случайного вектора X является случайным вектором? да нет, является неслучайным вектором это зависит от вида распределения необходимы дополнительные сведения 3. Оценка ковариационной матрицы случайного вектора X содержит случайные величины? нет, содержит константы да в зависимости от обстоятельств необходимы дополнительные сведения 4. Что представляет собой доверительная область для математического ожидания kмерного нормально распределенного вектора? k-мерный вектор k-мерный параллелепипед k-мерный эллипсоид необходимы дополнительные сведения Задание Пример для случая k=2 и n=10. Пусть вектор X содержит x1 - доходы предприятия и x2 - цены на производимую продукцию: x1 10 12 10,5 10,7 11,5 11,8 12,3 12,5 12,5 13,1 x2 5,1 5,6 5,7 5,5 5,4 5,3 5,2 5,0 5,2 5,3 Необходимо: 1) найти оценки параметров распределения генеральной совокупности; 2) построить доверительную область математического ожидания вектора X для доверительной вероятности P = 0,95; 3) на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о равенстве вектора математических ожиданий стандарту ( H 0 : X   0 , µ0 = (11,5 ; 5,2)т).