Параметрические колебания и автоколебания

Лекция 5 Тема № 2 «ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ» 4.1. КОЛЕБАНИЯ И Параметрические колебания Колебания называются параметрическими, если они обусловлены периодическими изменениями параметров системы. Дифференциальное уравнение для таких систем с одной степенью свободы (рис. 4.1) можно записать в виде: 𝑚𝑚(𝜔𝜔𝜔𝜔)𝑞𝑞̈ (𝑡𝑡) + 𝑏𝑏(𝜔𝜔𝜔𝜔)𝑞𝑞̇ (𝑡𝑡) + 𝑐𝑐 (𝜔𝜔𝜔𝜔)𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 0; (𝑞𝑞(0) = 𝑞𝑞0 ; 𝑞𝑞̇ (0) = 𝑞𝑞̇ 0 ), (4.1) где параметры системы m, b и c являются T-периодическими функциями времени; 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇 – частота изменения параметров. Рис. 4.1 Решение уравнения (4.1) можно найти в виде (теорема Флоке (G. Floquet) 1883 г.): 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜒𝜒(𝜔𝜔𝜔𝜔), (4.2) где 𝜒𝜒(𝜔𝜔𝜔𝜔) – T-периодическая функция, зависящая от параметров системы; S – постоянная, зависящая от параметров системы и начальных условий; A – постоянная, зависящая от начальных условий. Свойства решения (4.2) во многом зависят от величины S: при 𝑆𝑆 < 0 колебания будут затухающими, 𝑆𝑆 = 0 – периодическими, при 𝑆𝑆 > 0 – с неограниченно возрастающей амплитудой. В последнем случае поведение системы называется неустойчивым. При нулевых начальных условиях уравнение (4.2) имеет тривиальное решение q = 0, которое также может оказаться неустойчивым. Основная задача при анализе параметрически возбуждаемых систем состоит в установлении таких сочетаний ее параметров, при которых в ней возникают неустойчивые колебания. В соответствии с (4.2) разграничение областей устойчивости и неустойчивости происходит по границе, на которой 𝑆𝑆 = 0. Рассмотрим вначале примеры механических систем, в которых могут возникнуть параметрические колебания. Рис. 4.2 На рис. 4.2 показан маятник с периодически изменяющейся длиной подвеса l. При соответствующем подборе функций 𝑙𝑙(𝜔𝜔𝜔𝜔) могут возникнуть незатухающие колебания, которые будут особенно эффективно развиваться при подводе энергии в систему с частотой, в два раза большей частоты собственных колебаний системы. Рис. 4.3 На рис. 4.3 показан маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса. В положении «a» могут возникнуть незатухающие колебания, а в положении «б» - устойчивое динамическое равновесие с верхним расположением массы, которое в статическом положении является неустойчивым. Рис. 4.4 На рис. 4.4 показана консольная балка с промежуточной опорой, расположение которой по горизонтали изменяется. За счет этого периодически изменяется жесткость системы и могут возникнуть колебания с постепенно возрастающей амплитудой. Рис. 4.5 На рис. 4.5 показано колесо, радиальная жесткость которого периодически изменяется. При движении такого колеса даже по абсолютно ровной дороге могут возникнуть неустойчивые колебания. Колебания всех рассмотренных выше и им подобных систем описываются уравнениями типа (4.1). Составление этих уравнений рассмотрим на примере маятника с переменной точкой подвеса (рис. 4.3). Пусть перемещения точки подвеса описываются уравнением 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔. Тогда, в соответствии с принципом Даламбера и уравнением моментов, имеем равенство ∑ 𝑀𝑀0 = 0: 𝑚𝑚𝑙𝑙 2 𝜑𝜑̈ = −(𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔2 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑚𝑚𝑚𝑚)𝑙𝑙 sin 𝜑𝜑. При малых 𝜑𝜑 и обозначениях: 2Ɵ = 𝜔𝜔𝑡𝑡, 2𝐴𝐴/𝑙𝑙 приходим к уравнению 𝑑𝑑 2 𝑞𝑞 𝑑𝑑Ɵ2 + (𝑎𝑎 + 2ℎ cos 2Ɵ)𝑞𝑞 = 0, 𝑎𝑎 = 4𝘨𝘨 𝑙𝑙𝜔𝜔2 , 𝜑𝜑 = 𝑞𝑞, ℎ= (4.3) которое называется уравнением Матье. В более общем случае вместо cos 2Ɵ в уравнение (4.3) входит некоторая заданная периодическая функция Ф(Ɵ). В этом случае уравнение (4.3) называется уравнением Матье-Хилла. Уравнения Матье и Матье-Хилла являются частными случаями уравнения с периодическими коэффициентами (4.1). Поэтому они также имеют решения вида (4.2), где постоянная S будет функцией параметров системы h и a. В системе координат {ℎ, 𝑎𝑎} можно будет выделить области с 𝑆𝑆 > 0 (решение неустойчиво) и с 𝑆𝑆 < 0 (решение будет устойчивым). На границе этих областей 𝑆𝑆 = 0. В инженерной практике часто достаточным является решение вопроса лишь о том, в какую из этих областей попадает точка с координатами (ℎ, 𝑎𝑎), характеризующая данную механическую систему. Рассмотрим способ определения границ областей устойчивости и неустойчивости. Поскольку на этой границе 𝑆𝑆 = 0, то периодическое решение уравнения (4.3) можно искать в виде (4.4) 𝑞𝑞 (Ɵ) = 𝐴𝐴 cos Ɵ + 𝐵𝐵 sin Ɵ. То есть, частота колебаний принимается в два раза меньше, чем частота воздействия. Подставив (4.4) в (4.3) получим равенство −𝐴𝐴 cos Ɵ − 𝐵𝐵 sin Ɵ + 𝑎𝑎𝑎𝑎 cos Ɵ + 𝑎𝑎𝑎𝑎 sin Ɵ + 2𝐴𝐴ℎ cos 2Ɵ cos Ɵ + 2𝐵𝐵ℎ cos 2Ɵ sin Ɵ. (4.5) Так как 1 cos 2Ɵ cos Ɵ = (cos Ɵ + cos 3Ɵ); 2 1 cos 2Ɵ sin Ɵ = (− sin Ɵ + sin 3Ɵ), 2 То равенство (4.5) можно представить в виде 𝐴𝐴(𝑎𝑎 − 1 + ℎ) cos Ɵ + 𝐵𝐵 (𝑎𝑎 − 1 − ℎ) sin Ɵ − 𝐴𝐴ℎ cos 3Ɵ − 𝐵𝐵ℎ sin 3Ɵ = 0. (4.6) Приравнивая в (4.6) нулю коэффициенты при тригонометрических функциях, получаем уравнение границ искомых областей ℎ = |1 − 𝑎𝑎|; Рис. 4.6 ℎ = 0. Рис. 4.7 На рис. 4.6 показаны эти границы, а область неустойчивости заштрихована. Более точное уравнение границ имеет вид (рис. 4.7) 1 𝑎𝑎 = 1 ∓ ℎ − ℎ2 ± 8 1 64 ℎ3 + ⋯. Вопрос о границах областей устойчивости и неустойчивости для уравнения Матье (4.3) хорошо изучен. На рис. 4.8 приведена часть так называемой диаграммы Айнса-Стретта, по которой эти границы определяются на практике. Области неустойчивости на этой диаграмме заштрихованы. Они исходят из точек с координатами (ℎ = 0, 𝑎𝑎 = 𝑛𝑛2 ), где n = 1, 2, 3, … - номер области неустойчивости. Периодические решения уравнения Матье называются функциями Матье. Они обозначаются как 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛 (Ɵ, ℎ) и 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (Ɵ, ℎ). При ℎ → 0: 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛 (Ɵℎ) → cos 𝑛𝑛Ɵ; 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (Ɵℎ) → sin 𝑛𝑛Ɵ. Рис. 4.8 4.2. Автоколебания Автоколебания – это самовозбуждающиеся колебания, которые возникают и поддерживаются в системе от источника энергии неколебательной природы. Примеры систем, в которых возможны такие колебания, показаны на рис. 4.9. Рис. 4.9 Автоколебания в этих системах обусловлены нелинейностью характеристики трения, наиболее характерный вид которой показан на рис. 4.10. Рис. 4.10 Для ее аналитического описания можно использовать выражение 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝜈𝜈 3 , (𝑎𝑎 ≥ 0, 𝑏𝑏 ≥ 0) (4.7) где ν – скорость относительного проскальзывания трущихся деталей; 𝑅𝑅0 , 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 – параметры, определяемые по результатам специальных испытаний. Параметр a, характеризует интенсивность подвода энергии к системе, а параметр b – интенсивность ее рассеивания. Для определенности будем рассматривать систему, показанную на рис. 4.9, б. Автоколебания в ней происходят относительно положения динамического равновесия, определяемого координатой 𝑞𝑞0 из уравнения 𝑐𝑐𝑞𝑞0 = 𝑅𝑅0 − 𝑎𝑎𝜈𝜈0 + 𝑏𝑏𝜈𝜈03 . (4.8) Уравнение движения относительно этого положения имеет вид 𝑚𝑚𝑞𝑞̈ = 𝑅𝑅 − 𝑐𝑐 (𝑞𝑞 + 𝑞𝑞0 ) = 𝑅𝑅0 − 𝑎𝑎(𝜈𝜈0 − 𝑞𝑞̇ ) + 𝑏𝑏(𝜈𝜈0 − 𝑞𝑞̇ )3 − 𝑐𝑐(𝑞𝑞 + 𝑞𝑞0 ) = = (𝑅𝑅0 − 𝑎𝑎𝜈𝜈0 + 𝑏𝑏𝜈𝜈03 − 𝑐𝑐𝑞𝑞0 ) + (𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏𝜈𝜈02 )𝑞𝑞̇ + 3𝑏𝑏𝜈𝜈0 𝑞𝑞̇ 2 − 𝑏𝑏𝑞𝑞̇ 3 − 𝑐𝑐𝑐𝑐. С учетом (4.8) это уравнение принимает вид где 𝑞𝑞̈ − 𝑎𝑎𝑞𝑞̇ − 𝜆𝜆𝑞𝑞̇ 2 + 𝛽𝛽𝑞𝑞̇ 3 + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 0, 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎−3𝑏𝑏𝜈𝜈02 𝑚𝑚 ; 𝛽𝛽 = 𝑏𝑏 𝑚𝑚 ; 𝜆𝜆 = (4.9) 3𝑏𝑏𝜈𝜈0 𝑚𝑚 ; 𝑐𝑐 𝜔𝜔02 = . 𝑚𝑚 При 𝜆𝜆 = 0 уравнение называется уравнением Релея 𝑞𝑞̈ − 𝑎𝑎𝑞𝑞̇ + 𝛽𝛽𝑞𝑞̇ 3 + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 0. (4.10) В соответствии с (2.8) при 𝛽𝛽 = 0 решение уравнения Релея имеет вид 𝑎𝑎𝑎𝑎 где 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 2 (𝐴𝐴1 cos 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 sin 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡), 𝜔𝜔𝑛𝑛2 = 𝜔𝜔02 − 𝑎𝑎2 /4. (4.11) Наличие в уравнении (4.10) составляющей трения вида – 𝑎𝑎𝑞𝑞̇ «отрицательного трения» обусловливает появление в решении (4.11) 𝑎𝑎𝑎𝑎 выражение exp � � с положительным значением параметра a, что 2 соответствует режиму колебаний постепенно возрастающей амплитудой. На фазовой диаграмме (рис. 4.11) при 𝛽𝛽 = 0 имеем траекторию в виде раскручивающейся спирали с непрерывно возрастающими значениями фазовых координат при любых начальных условиях. При 𝛽𝛽 ≅ 0 и малых скоростях 𝑞𝑞̇ вклад составляющей 𝛽𝛽𝑞𝑞̇ 3 также будет малым и качественная картина колебаний не изменится. При увеличении 𝑞𝑞̇ вклад нелинейной составляющей силы трения 𝛽𝛽𝑞𝑞̇ 3 в колебательный процесс возрастет и при некоторой скорости 𝑞𝑞̇ ∗параметры колебаний стабилизируются. При этом на фазовой диаграмме появится предельный цикл («цикл Пуанкаре» или «аттрактор») – предельное множество точек, к которому притягиваются все траектории, независимо от начальных условий. Если начальная точка находилась внутри предельного цикла, то фазовые траектории будут приближаться к предельному циклу изнутри, а если начальная точка находилась вне предельного цикла, то фазовая траектория будет приближаться к предельному циклу снаружи (рис. 4.12). Рис. 4.11 Рис. 4.12 Для установления параметров представить уравнение (4.10) в виде 𝑑𝑑𝑞𝑞̇ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = предельного цикла достаточно 𝑎𝑎𝑞𝑞̇ −𝛽𝛽𝑞𝑞̇ 3 −𝜔𝜔02 𝑞𝑞 𝑞𝑞̇ (4.12) и решить его. В результате получим уравнение фазовой траектории. Отметим, что путем подстановки 𝑞𝑞̇ = 𝑦𝑦 уравнение Релея (4.10) преобразуется к уравнению Ван-Дер-Поля где 𝑦𝑦̈ − (𝑎𝑎 − 3𝛽𝛽𝑦𝑦 2 )𝑦𝑦̇ + 𝜔𝜔02 𝑦𝑦 = 0, (4.13) a – характеризует интенсивность подвода энергии в систему; 3𝛽𝛽𝑦𝑦 2 – интенсивность рассеивания энергии, пропорциональную квадрату скорости. Из (4.13) и (4.11) следует, что при 𝑎𝑎 > 3𝛽𝛽𝑦𝑦 2 колебания будут происходить с увеличением амплитуды, а при 𝑎𝑎 < 3𝛽𝛽𝑦𝑦 2 – с уменьшением амплитуды. При 𝑎𝑎 = 3𝛽𝛽𝑦𝑦 2 (т.е. при 𝑦𝑦 = �𝑎𝑎/(3𝛽𝛽) колебания будут установившимися. Уравнения Релея (4.10) и Ван-Дер-Поля (4.13) являются частными случаями более общего уравнения 𝑞𝑞̈ + 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 = 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ); (𝑞𝑞(0) = 𝑞𝑞0 , 𝑞𝑞̇ (0) = 𝑞𝑞̇ 0 , (4.14) где 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) – нелинейная функция координат и скорости. В случае малой нелинейности функции 𝜑𝜑 решение уравнения (4.14) можно искать в виде (метод Ван-Дер-Поля) 𝑞𝑞 (𝑡𝑡) = 𝑎𝑎(𝑡𝑡) cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏(𝑡𝑡) sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡, (4.15) где 𝑎𝑎(𝑡𝑡) и 𝑏𝑏(𝑡𝑡) – функции времени t, подлежащие определению. Замена задачи по определению одной функции 𝑞𝑞(𝑡𝑡) на определение двух функций 𝑎𝑎(𝑡𝑡) и 𝑏𝑏(𝑡𝑡) требует, чтобы эти две функции были бы взаимосвязаны. Для этого наложим дополнительное условие, заключающееся в том, что производная от q должна иметь такой же вид, как и для линейного уравнения, т.е. 𝑞𝑞̇ = −𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝜔𝜔0 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏(𝑡𝑡)𝜔𝜔0 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡. Это условие будет выполняться, если принять 𝑎𝑎̇ cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏̇ sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = 0. (4.16) Тогда первые две производные функции q(t) можно представить в виде: 𝑞𝑞̇ = −𝑎𝑎𝜔𝜔0 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝜔𝜔0 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡; 𝑞𝑞̈ = −𝑎𝑎𝜔𝜔02 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 − 𝑏𝑏𝜔𝜔02 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎̇ 𝜔𝜔0 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏̇𝜔𝜔0 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = = 𝜔𝜔02 𝑞𝑞 − 𝑎𝑎̇ 𝜔𝜔0 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏̇𝜔𝜔0 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 (4.17) −𝑎𝑎̇ 𝜔𝜔0 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏̇𝜔𝜔0 cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ). (4.18) Подставив (4.17) в (4.14), получим равенство Решив систему уравнений (4.16) и (4.18) и введя новые переменные A и Ɵ, определенные с помощью соотношений 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 cos Ɵ; 𝑏𝑏 = 𝐴𝐴 sin Ɵ, Получим равенства: 𝑎𝑎̇ = − 𝑏𝑏̇ = − 1 𝜔𝜔0 1 𝜔𝜔0 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴̇ cos Ɵ − 𝐴𝐴Ɵ̇ sin Ɵ; 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴̇ sin Ɵ − 𝐴𝐴Ɵ̇ cos Ɵ; (4.19) Из (4.19) находим 𝐴𝐴̇ = − 1 1 Ɵ̇ = 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) sin 𝛾𝛾; 𝜔𝜔0 𝐴𝐴𝐴𝐴0 (4.20) 𝜑𝜑(𝑞𝑞, 𝑞𝑞̇ ) cos 𝛾𝛾, где 𝛾𝛾 = 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 − Ɵ; 𝑞𝑞 = 𝐴𝐴 cos 𝛾𝛾 ; 𝑞𝑞̇ 0 = 𝐴𝐴0 𝜔𝜔0 cos Ɵ0 ; 𝑞𝑞0 = 𝐴𝐴0 cos Ɵ0 ; 𝑞𝑞̇ = −𝐴𝐴𝜔𝜔0 sin 𝛾𝛾 ; 𝑞𝑞̇ 2 𝐴𝐴20 = 𝑞𝑞02 + � 0 � ; 𝜔𝜔0 Ɵ0 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑞𝑞̇ 0 𝜔𝜔0 𝑞𝑞0 . Полагая, что переменные за один цикл не получают заметного приращения, заменим в (4.20) выражения справа на их средние значения за период одного колебания: 𝐴𝐴̇ = − Ɵ̇ = − 1 2𝜋𝜋𝜔𝜔0 1 2𝜋𝜋 ∫0 𝜑𝜑(𝐴𝐴 cos 𝛾𝛾 − 𝐴𝐴𝜔𝜔0 sin 𝛾𝛾) sin 𝛾𝛾 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐; 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜔𝜔0 2𝜋𝜋 ∫0 𝜑𝜑(𝐴𝐴 cos 𝛾𝛾 − 𝐴𝐴𝜔𝜔0 sin 𝛾𝛾) sin 𝛾𝛾 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, (4.21) где при вычислении интегралов A считается величиной постоянной. В результате получим постоянные скорости изменения амплитуды и фазы колебаний. Дальнейший ход вычислений рассмотрим на примере уравнения Релея (4.10), для которого соотношения (4.21) принимают вид 𝐴𝐴̇ = 1 2𝜋𝜋𝜔𝜔0 Ɵ̇ = 0. 2𝜋𝜋 ∫0 (𝑎𝑎𝑎𝑎𝜔𝜔0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝛾𝛾 − 𝛽𝛽𝐴𝐴3 𝜔𝜔03 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4 𝛾𝛾) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 3 − 𝛽𝛽𝐴𝐴3 𝜔𝜔02 ; 8 (4.22) Проинтегрировав первое уравнение, найдем 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴0 2 3𝛽𝛽𝜔𝜔2 0 𝐴𝐴2 �𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎 +3𝛽𝛽𝜔𝜔0 𝐴𝐴2 ��1− 4𝑎𝑎 4𝑎𝑎 . (4.23) Графики функций q(t) и A(t) для различных начальных условий показаны на рис. 4.13. Независимо от них 𝑡𝑡 → ∞ имеем 𝐴𝐴 = 2 𝜔𝜔0 𝑎𝑎 �3𝛽𝛽. (4.24) Рис. 4.13 Отметим, что установившееся значение амплитуды можно непосредственно получить из первого уравнения (4.22), приняв 𝐴𝐴̇ = 0.