Параметрические и непараметрические критерии

Лекция 5. Параметрические и непараметрические критерии В математической статистике применяются процедуры проверки статистических гипотез с помощью статистических критериев. Критерии бывают: 1. Параметрические критерии – позволяют оценить РАЗЛИЧИЯ по какому-либо из параметров (среднее арифметическое, дисперсия), являются трудоемкими, так как вычисляются на количественных данных, измеряются на интервальной шкале или шкале отношений, используют свойства нормального распределения. Параметрические критерии – более точные, чем непараметрические!!!!! 2. Непараметрические критерии - позволяют оценить различия в РАНГАХ, ЧАСТОТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ, ЗНАКАХ РАЗЛИЧИЙ!!! Они менее сложные, более универсальные, поэтому данные могут быть измерены в любой шкале и возможно любое распределение признаков по частоте. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ t –критерий Стьюдента - является параметрическим критерием РАЗЛИЧИЯ, служит для проверки гипотезы о ДОСТОВЕРНОСТИ ИЛИ НЕДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЯ между двумя выборочными СРЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ. Обычно он изучается в двух вариантах - когда сравниваемые выборки были независимы (не связаны) и когда они зависимы (связаны), т.е. состоят из попарно связанных вариант. Рассмотрим вариант применения критерия Стьюдента для независимых выборок. В этом случае применяется формула: 1. Формула для независимых выборок (две выборки). t= x y x y = S y2  S y2 S y2 2 x S  nx n y x y = при nx= ny = n Dx D y  nx ny Число степеней свободы определяется по формуле: df= nx + ny - 2 2. Формула для ЗАВИСИМЫХ (связанных) выборок, сравниваются данные, полученные в одной группе. когда Рассмотрим пример для зависимых (связанных выборок): а) Для зависимых выборок: t= t= x y S x y S x y  ; d i n d  ( d i ) 2 2 i  ( i  ) 2 n( n  1) df = n - 1; где n - число пар ; n 1 Задача для зависимых выборок (два среза полученных на одной группе). x y S x y В одном классе дважды определялась способность определять эмоциональное состояние эмоциональной экспрессией. испытуемых. по фотоизображению В исследовании лиц приняли с различной участие 10 оценивалась их средняя способность определить состояние человека по набору фотографий. Определить достоверность различия средних значений, полученных в обоих исследованиях. X: 36,40,44,41,38,36,40,45,43,38 Y: 44,36,40,37,35,35,39,40,44,36 Сразу смотрим!!! Так как в исследовании приняли участие две группы испытуемых, и в каждой было по 10 испытуемых, то степень свободы 9 соответственно будет: df = n – 1=10-1= Степень свободы необходима для поиска в таблице граничных значений на 5% и 1% уровне значимости для критерия Стьюдента! Для удобства решения расписываем формулу для зависимых выборок в таблицу!!!!! № xi 1. 36 2. 40 3. 44 4. 41 5. 38 6. 36 7. 40 8. 45 9. 43 10. 38  401 среднее 40,1 yi 44 36 40 37 35 35 39 40 44 36 386 38,6 Di -8 4 4 4 3 1 1 5 -1 2 15 d=1,5 di - d -9,5 2,5 2,5 2,5 1,5 0,5 0,5 3,5 -2,5 0,5 (di - d)2 90,25 6,25 6,25 6,25 2,25 0,25 0,25 12,25 6,25 0,25 130,5 Находим: 1. Сумму и среднее арифметическое Х и Y; 2. Di – это разность (Х-Y)!!!!! Поэтому вычитаем из значения Х – Y, то есть: 36-44=-8 40-36=4 и тд. 3. Затем di – d, то есть -8-1,5=-9 4-1,5=2,5 и тд. 4. Далее полученную разность di – d возводим в квадрат: -9,5*-9,5=90,25 2,25*2,25=6,25 и тд. 5. Находим сумму  (di - d)2= 130,5 Теперь подставляем данные в формулу и находим tфактическое!!! tф= d  (di  d ) n(n  1) 2 = 1,5 = 1,25 это и есть t фактическое!!! 130,5 90 В таблице граничных значений t критерия Стьюдента ищем df =9 Так для df =9 t граничное на 5% уровне значимости =2,26 и t граничное на 1% уровне значимости =3,25 Н0 Н1 1,25 2,26 3,25 Статистический вывод: Поскольку tф =1,25 , что меньше t граничного значения на 5% уровне значимости, то принимается нулевая гипотеза Hо, согласно которой нет статистически достоверных различий между двумя средними выборочными значениями x =40,1 и Y=38,6 в одной группе. Психологический вывод: Поскольку принимается гипотеза Но, то не существует достоверных различий средних выборочных значений импрессивной способности за время, прошедшее между исследованиями в одной группе. Пример 2. Решить ту же задачу исходя из предположения, что данные в таблице получены для независимых выборок. Находим: 1. Сумму и среднее арифметическое x и среднее Y; 2. Затем находим дисперсию D Расчет дисперсий дает Dх = 10.1 и Dy=11.6. Значение фактического критерия t =1.25, что меньше граничного значения на 5% уровне, равного 2.26, поэтому принимается нулевая гипотеза Но. Итак, первоначально рассмотрим пример, исходя из предположения, что обследовались 2 различные группы, т. е. случай несвязанных выборок. Необходимо определить, достоверны ли различия выборочных средних в двух группах, принять или опровергнуть. Ho таким образом, согласно условию, nx = 10 и ny = 10, df = nx + ny − 2 = 18 Расчеты показывают, что x =40.1; y = 38,6; Dx = 10,1; Dy = 11,6: 40,1  38,6  1,02 , это фактическое значение критерия, 10,1  11,6 Dx D y  nx ny 10 равное 1,02 при граничных значениях, равных, соответственно tгр. (5%) = 2,10 и tгр. (1%) = 2,88 (см. рис. 12) приводит к принятию нулевой гипотезы. t= x y = Н1 ―наличие различий H0 — отсутствие различий tф = 1,02 tгр.(5%) = 2,10 tгр.(1%) = 2,88 |t| Рис. 12 Cтатистический вывод: поскольку фактическое значение критерия, равное 1,02, меньше граничного значения критерия на 5% уровне значимости, равного 2,10, то принимается нулевая гипотеза H0, согласно которой нет статистически достоверных различий между двумя средними выборочными значениями x = 40,1 и y =38,6. Психологический вывод: поскольку принимается нулевая гипотеза, не существует достоверных различий средних выборочных значений импрессивной способности в обеих группах. Вопрос? Почему не выявили различий?????? Ответ: выборка МАЛА и не отражает генеральную савокупность!!!!! 2. Оценка достоверности различий выборочной средней и генеральной средней. В некоторых случаях значение генеральной средней  известно, например, оно получено в процессе стандартизации психодиагностического теста с помощью большой по объему выборки стандартизации. В ходе проведения выборочного исследования с помощью этого теста может возникнуть проблема сравнения генерального параметра и выборочной оценки х. К примеру, в тесте, измеряющем уровень умственного развития Векслера, значение генерального среднего =100. Допустим, на выборке в 25 человек получено выборочное среднее x =115 и стандартное отклонение s=15. Достоверно ли отличие генерального среднего и выборочного? С помощью критерия Стьюдента можно ответить на этот вопрос. Для этой цели используется формула: t 15 x   115 100 = = 15 = 5,00 15 3 Sx 25 Н0 df=n-1 Н1 2,06 2,80 3. Проверка сомнительных переменных. Другая задача - о принадлежности переменной к совокупности, когда в эмпирических данных обращает на себя внимание значения переменных, очень сильно отклоняющихся от средних. Рассмотрим на примере как это делается. Допустим, имеем выборку всего из 5 вариант, сведенных в таблицу. В таблице дано число подтягиваний на перекладине, которое смогли сделать студенты 2 курса физкультурного института. № 1 2 3 4 5 xi 21 17 6 24 18 Сомнение вызывает x3=6. Возможно, что это не спортсмен, а представитель другой генеральной совокупности? x =17,2 ; S'=6,8. Для того, чтобы проверить Н0, нужно рассчитать величину Z = xi - xcр/  и сравнить Zф с граничным значением Z (это т.1) (Лакин с. 341 U0,05=1,96). Z0,01=2,58 и Zф= 6 -17,2 / 6,8 =1,64 < Z0,05=1,96 Значит, различия малы и Но подтверждается. Поэтому варианту х3 нельзя отбросить как принадлежащую другой выборке. Существуют и непараметрические критерии проверки сомнительных вариант. На практическом занятии я дам упрощенный способ проверки, без расчета  .