Генеральные параметры и их выборочные оценки

Лекция 3 Генеральные параметры и их выборочные оценки На прошлой лекции говорилось, что выборочные характеристики (это могут быть оценки генеральных параметров или частоты) являются оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности (Г.С.), в частности, оценками генеральных параметров, то есть, их приближенными значениями. Точные характеристики Г.С. при выборочном исследовании остаются неизвестными. Например, выборочное значение арифметического среднего, обозначаемое как Х , является оценкой генеральной средней М. Х  М. Х -М = , статистическая ошибка измерения. Эти ошибки можно оценить по своим формулам для каждого параметра. Но все они подчиняются общим закономерностям: а) статистические ошибки уменьшаются при увеличении объема выборки и в пределе стремятся к нулю, когда выборка по своей численности приближается к Г.С. То есть, при n выб  nг.с. Ошибка репрезентативности или стандартная ошибка среднего -  Sх  Ошибка репрезентативности или стандартная ошибка стандартного отклонения  Ss Ошибка репрезентативности или стандартная ошибка дисперсии Ss2  Sd Обязательным, наличие выборочной ошибки, которую содержат данные выборочного исследования, - факт математический. Но за ним стоит и соответствующее психологическое содержание, и важно обладать умением его раскрыть. Например: Вы работаете в 7-м классе. Ваша выборка из n испытуемых, равное числу школьников в классе. Пусть n = 35. Вы измеряете с помощью теста Векслера коэффициент умственного развития (IQ). У вас 35 индивидуальных значений. IQ  X. IQ =  = 1 n n  i 1 Х1.......Х2........Х35. 35 xi =  = 112. Само по себе это число мало что говорит, его i1 нужно сопоставить с чем-то. С чем? Если вы хотите узнать, отличается ли IQ от IQГ.С. , нужно взять из литературы IQГ.С. 115= IQГ.С. 112 и 115. ???? Это различие существенно или нет. Действительно ли IQ в вашем классе достоверно существенно ниже, чем в Г.С. Или различие  =3 в пределах ошибки измерения. Это задача 1-го типа - отличия наших выборочных данных от Г.С. Отличие может оцениваться не только по параметру среднего арифметического, но и по стандартному отклонению, дисперсии, частотному распределению, по исходным сырым значениям. Другой вид статистических задач возникает при исследовательских ситуациях, примером которых может быть следующее сравнительное исследование. Вы, как и в первом примере, проводили исследование и измеряли с помощью теста Векслера коэффициент умственного развития IQ. Вы работали в 7А классе. Ваши данные и  IQ =120. А в 7А классе другой школы работал ваш сокурсник. У него в выборке было 42 человека и он по  индивидуальным данным определил IQ = 112. Ваше выборочное среднее выше. Но лежит ли это превышение в пределах ошибки измерения? Если да, то различия несущественны. И ваши усредненные значения IQ, и значения IQ, полученные в исследовании вашего коллеги, относятся к одной Г.С. Вы оба имели дело с одной Г.С (семиклассники государственных средних школ) без усиленной подготовки по естественно-научным дисциплинам. Две выборки - из 35 и 42 человек- принадлежали к одной Г.С. Но может быть и другой факт. Если индивидуальный разброс Q  IQ невелик (дисперсия маловыраженная) , это различие двух в 8 баллов может оказаться существенным и тогда вы оба имели дело выборками из разных Г.С. Это статистический факт, и он проверяется методами математической статистики. Но за ним стоит некое содержание, требующее уже не статистического, а содержательного, в нашем случае, психологического, анализа. Почему выборки разные? Или в одной шкое слишком слабая подготовка, или в другой - слишком сильная. За статистической гипотезой, ее проверкой, следует психологическая гипотеза, ее проверка. Задачи 3-го вида. Обратимся к данным (по IQ) в 1-м примере. Допустим,  среди значений, не слишком выделяющихся по сравнению со средним IQ =112, одно было очень низкое IQ=80, а одно - очень высокое IQ =148. Принадлежат ли эти крайние значения к той Г.С., к которой принадлежат остальные, или нет? Если да, их можно оставить для дальнейшего анализа; если нет (не принадлежат), их следует исключить. Для решения перечисленных задач в математической статистике применяются некие формальные процедуры проверки статистических гипотез с помощью статистических критериев. Статистические гипотезы делятся на два типа: нулевые и альтернативные (экспериментальные), направленные и ненаправленные. Нулевые гипотезы (H0 - hypotesis ) - гипотезы об отсутствии различий (различия = 0). В разных вариантах задач различия могут быть в статистических параметрах ( среднее, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент корреляции, распределения частот и др.). Могут быть различия исходных данных. Нулевая гипотеза в ходе проверки или опровергается и тогда различия достоверны, или не опровергается, и тогда различий нет. А альтернативная гипотеза (Н1) - это гипотеза о достоверности различий. Направленные и ненаправленные статистические гипотезы: Направленные гипотезы: Н0: Х1  Х2 (Х1 не превышает Х2 ). ). Здесь Х1 и Х2 - Н1: Х1  Х2 (Х1 превышает Х2 сравниваемые параметры. Ненаправленные гипотезы: Н0: Х1 не отличается от Х2 Н1: Х1 отличается от Х2 Чаще работают с ненаправленными гипотезами. Но если мы видим четкую тенденцию, что в одной группе больше значение параметра, можем работать с направленной гипотезой. Статистические гипотезы проверяются с помощью статистических критериев. Статистический критерий - это решающе правило, обеспечивающее надежное принятие решения о статистической гипотезе, то есть, ее принятие или отклонение с низкой вероятностью ошибки. Статистическим критерием называют и метод расчета и само полученное числовое значение критерия (сам полученный результат). Допустим, мы используем критерий Стьюдента и в соответствии с формулой его вычислений получим на своих эмпирических данных значение критерия tэ  tф Это много или это мало. Мы должны сравнить наше tэ с неким граничным значением (критическим, табличным). Это значение берется из таблицы. Но сначала для этого нужно вспомнить объем выборки или связанное с ним число степеней свободы (   k  df ) так как граничные значения в таблице даются как функции df . Число степеней свободы равно числу классов вариационного ряда (числу независимых переменных) минус число условий, при которых он был сформирован (уравнения, связывающие эти переменные). Зная число степеней свободы, а в разных критериях оно вычисляется по-разному, мы можем определить граничные значения. В большинстве критериев значения критерия превышении фактического эмпирического значения .............. и при над граничным (табличным) Н0 отвергается, то есть, различия признаются достоверными. Но есть и исключения, другие критерии, работающие в противоположную сторону - критерий знаков, Манна-Уитни, Т-критерий Вилкоксона. Статистическое решение Принять Н0 Отвергнуть Н0 фактически нет различий правильное решение ошибка 1-го рода есть различия ошибка 2-го рода правильное решение Ошибка 1-го рода - ошибка 2-го рода - невинный человек настоящий преступник признан преступником признан невиновным (ложная тревога) ? (пропуск цели) Н0: подсудимый являлся невиновным  =5% - риск ошибки 1 рода, определяемый на языке вероятности (  =0,05) то есть, когда фактически Н0 верна, а мы ее отвергли - ложная тревога. Н0 не отврегают, если в результате исследования окажется, что вероятность ошибочности оценки относительно правильно принятой гипотезы превышает 5%. Критерии применяются для тех или ингых уровней значимости. Уровень значимости - это вероятность ошибки 1-го рода, допускаемый при оценке принятой гипотезы, то есть, вероятность того, что мы сочли различия существенными, а они на самом деле случайны, то есть, фактически верна Н0, а мы ее отклонили. В исследовательской практике принято работать с одним из трех уровней значимости: Ошибка в 1 случ.  =0,05 (5%) 20 5% уровень значимости. Ошибка в 1 случ.  =0,01 (1%) 100 Ошибка в 1 случ.  =0,001 (0, 01%) 1000 1% уровень значимости. 0,1% уровень значимости. Когда мы говорим, что различия достоверны на 1% уровне значимости, (р  0, 01), то имеется в виду, что вероятность того, что они всетаки недостоверны, составляет 1% (  =0,01). Ошибка, состоящая в том, что мы отклонили в то время, как она фактически верна, называется ошибкой 1-го рода. Тогда вероятность правильного решения 1-  В психологии принято работать с двумя уровнями статистической значимости: 5% (   0,05) 1% (   0,01) В медицине иногда 0,1 (   0,001) Ошибка 2-го рода - принять Н0, если она фактически ошибочна. Существует следующее правило отклонения Н0 и принятия Н1 (для случая тех критериев, для которых величина различий возрастает с увеличением значения критерия (Стьюдента, Ван-дер Вардна? , Фишера, Х2 ). Н0 зона незначимости Н1 зона значимости ? зона неопределенности Р=0,05 Здесь может быть совершена ошибка 1 рода Ошибки: мы говорим различия есть (сигнала и шума) ошибка, ложная тревога Р=0,01 Здесь может быть совершена ошибка 2 рода Мы ошибочно говорим: различий нет (сигнала и шума) пропуск цели Если эмпирическое значение критерия равняется критическомцу значению Э, соответственно р  0,05, или превышает его, Н0 отклоняется, по определению принять Н1 мы еще не можем. Мы находимся в зоне неопределенности. Если эмпирическое значение равняется критическому значению, соответственно р  0,01 или превышает его,то принимается Н1. (Исключения - критерий знаков, Т-критерий Вилкоксона, и Манна-Уитни). Различают параметрические и непараметрические критерии. Параметрические критерии 1.позволяют прямо оценить различия в средних, полученных в двух выборках (t-критерий Стьюдента) 2.позволяют прямо оценить различия в дисперсии (критерий Фишера) 3.позволяет выявить тенденции изменения признака при переходе от условия (градации) фактора к условию (однофакторный дисперсионный анализ) 4.позволяет оценить взаимодействие 2-х и более факторов (2-хфакторный дисперсионный анализ ANOVA 5.Экспериментальные данные должны отвечать 2-м, иногда 3-м условиям: а) Значения признаков измерены по интервальной шкале б) распределение признака является нормальным 6.Сложные расчеты непараметрические критерии позволяют оценить лишь средние тенденции о частоте встречаемости в одной выборке более высоких ..... более низких значений (Q , U,  ) позволяют оценить лишь различия в диапазонах вариативности признака (критерий  ) позволяет выявить тенденции изменения признака при переходе от градации к градации при любом распределении признака (критерии тенденций L и S) эти возможности отсутствуют экспериментальные данные могут не отвечать ни одному из условий: а) признак может быть измерен в шкале, начиная от шкалы наименований б) может быть любое распределение признака математические расчеты несложны (кроме Х2 и Х) 7.Если условия 5 соблюдаются, Если условия п.5 не выполняются, параметрические критерии более непараметрические критерии мощные оказываются более мощными.