Отделение корней нелинейных уравнений с одним неизвестным

Лекция. Модульная единица 2. Отделение корней нелинейных уравнений с одним неизвестным. Литература: Численные методы: теория и практика: учеб. пособие для бакалавров / У. Г. Пирумов [и др.]. ‒ 5-е изд., перераб. и доп. ‒ М.: Издательство Юрайт, 2012. ‒ 421 с. ‒ Серия : Бакалавр. Базовый курс. §1.7. с.30-33 План. 1. Постановка задачи. 2. Отделение корней: 2.1. Графический способ 2.2. Аналитический способ 1. Пусть задана функция f(x) на - конечная и бесконечная, и и непрерывна. Рассмотрим уравнение f(x) = 0 (1) Определение 1. Число называется корнем уравнения (1), если - ноль функции f. Будем считать только действительные корни. Определение 2. Корень уравнения (1) называется изолированным, если принадлежит отрезку в котором лежит корень , но в котором нет других корней уравнения (1), - промежуток изоляции корня - приближенный корень, - абсолютная погрешность абсолютного корня. Нужно знать приближенный корень с заданным приближением степень точности - приближенный корень с точностью , если выполняется Будем рассматривать действительные, изолированные и простые корни уравнения (1) Определение 3. Корень - называется простым корнем, если 2. Вычисление корней 1. Этап определения корней уравнения (1) Нахождение промежутков изоляции всех корней уравнения (1) 2. Этап уточнения приближенного корня до нужной степени точности. Рассмотрим 1 этап. Теорема 1. Пусть f(x)на и удовлетворяет условиям: -непрерывна на концах, принимает разные знаки, т.е. , тогда на уравнение (1) имеет по крайней мере один корень . Теорема 2: f(x)на удовлетворяет условие: 1. f(x)– непрерывна и дифференцируема 2. 3. (x) сохраняет знак , т.е. любоевозрастает и убывает, тогда промежуток изоляции корня . Доказательство: 1. Пусть - корень уравнения (1) , существование которого следует из теореме 1. Пусть - не является промежутком изоляции. Тогда существует еще один коренькоторый принадлежит отрезку уравнения (1) пусть рассмотрим можно применить формулу Лагранжа конечных превращений. Тогда - противоречие условия (3) x f(x) + - + [;] – промежуток изоляции, нужны дополнительные вычисления. Так мы выяснили область расположения всех решений уравнения (1). Область расположения всех решений можем найти графическим способом. Пусть [a,b] – изоляции 1) Возьмем любую точку и найдем погрешность. Теорема 3: Пусть , где [a,b] – промежуток изоляции корня уравнения (1). Если производная , то говорят что граница снизу и производная отделена от нуля, тогда (2) любое Доказательство: Так как функция дифференцируема, то можно применить ф. Лагранжа для , , т.егде