Основы высшей математики

А.Н Кованцов Основы высшей математики (для академических программ) Книга 1 Рига 2005. Учебник рассчитан на студентов, обучающихся по академическим программам. Он отражает программу высшей математики, читаемую в Высшей школе менеджмента информационных систем (ISMA) и в Рижском Техническом университете. Учебник изобилует определениями основных понятий математики, а также основными теоремами высшей математики, многие из которых приводятся без доказательств. В учебнике приведено большое количество примеров и задач с решениями. Глава 3. Элементы высшей алгебры. 1. Матрицы Определение 1. Прямоугольную таблицу элементов некоторой природы называют матрицей и обозначают буквами А, В, С, … или , или , где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m. Таким образом, по определению (3.1) называются элементами матрицы. Если элементы матрицы– числа, то матрица называется числовой, если функции – то функциональной. Первый индекс элемента указывает номер строки, в которой расположен элемент, второй – номер столбца. Например, элемент находится на пересечении второй строки и третьего столбца. Определение 2. Если в матрице количество строк и столбцов одинаковое, то матрица называется квадратной. Определение 3 . Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ этой матрицы. Таким образом, на главной диагонали расположены элементы , , …, . Определение 4. Квадратная матрица, у которой все элементы ''под'' или ''над'' главной диагональю равны нулю, называется треугольной. Например, матрица 1 1 -2 0 2 4 0 0 -3 является треугольной. Определение 5. Матрица, у которой все элементы ''под'' и ''над'' главной диагональю равны нулю, называется диагональной. Например, матрица 1 0 0 0 2 0 0 0 -3 является диагональной. Определение 6. Диагональная матрица, элементы которой равны 1, называется единичной и обозначается 1 0 0 Е = 0 1 0 0 0 1 . 2. Действие над матрицами. Сложение (вычитание). Определение 7. Суммой (разностью) двух матриц А = (аij) и В = (bij) одного и того же размера (в матрицах А и В одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов), называется матрица С = (сij) того же размера, что А и В, каждый элемент сij которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В, то есть сij = аij  bij Пример: А = 2 3 -1 В = -3 2 -1 0 1 2 , 2 0 1 А + В = 2 – 3 3 + 2 – 1 – 1 = –1 5 –2 0 + 2 1 + 0 2 + 1 2 1 3 А – В = 2 –(–3) 3 – 2 –1 –(–1) = 5 1 0 0 – 2 1 – 0 2 – 1 –2 1 1 Умножение матриц на число. Умножить матрицу на число – значит умножить каждый элемент матрицы на это число. Таким образом, если А = (аij) умножить на число , получим матрицу А = (аij). Задача. Найти 3 4 5 6 8 10 2 · 4 2 -1 = 8 4 -2 1 2 3 2 4 6 Умножение матриц. Умножать матрицы можно только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. При этом в результате получается матрица, у которой количество строк равно количеству строк первой, а количество столбцов – количеству столбцов второй матрицы. Матрицы умножаются по следующему правилу: Каждый элемент i – той строки первой матрицы, умножается на соответствующий элемент j – того столбца, второй матрицы. Результаты суммируются и записываются в i – той строке и j – том столбце итоговой матрицы. Например, перемножить матрицы 3. Определители (детерминанты). Определение 8. Определителем (детерминантом) второго порядка, соответствующим квадратной матрице А = а11 а12 а21 а22 называется число а11· а22 – а12 · а21. Определитель обозначается символом ∆ или detA, или а11 а12 а21 а22 Таким образом, detA = а11 а12 = а11· а22 – а12 · а21. (3.3) а21 а22 Пример: Вычислить: 1) 2 3 = 8 – ( - 3) = 11 -1 4 2) sinα сosα = sin²α - сos²α = - сos2α сosα sinα Определение 9. Определителем (детерминантом) третьего порядка, соответствующим квадратной матрице a11 a12 а13 А = a21 a22 a23 a31 a32 a33 называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по формуле: a11 a12 а13 (3.4) ∆ = detA = a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a31 a32 a33 – a13a22a31 – a21a12a33 – a32a23a11 Запомнить правило вычисления определителя (3.4) легче, если воспользоваться правилом Саррюса, по которому произведения со знаком (+) и (–) определяются из схемы:                   + – Свойства определителей. Определители широко применяются не только в математике, но и во многих других дисциплинах. Мы рассмотрим свойства на примере определителя 3го порядка. Однако эти свойства распространяются на определители любого порядка. Все свойства приведем без доказательств. Определение 10. Определитель, полученный из данного заменой строк соответствующими столбцами, называется транспонированным по отношению к данному. Свойство 1. Определитель при транспонировании не меняется, то есть a11 a12 а13 a11 a21 a31 a21 a22 a23 = а12 a22 a32 a31 a32 a33 а13 a23 a33 С физической точки зрения транспонирование определителя равносильно ''переворачиванию'' определителя относительно его главной диагонали. Из свойства 1. следует важный вывод: в определителе строки и столбцы равноправны. Поэтому дальнейшие свойства будем формулировать только для строк (то же самое будет в силе и для столбцов). Свойство 2. Если в определителе поменять местами две произвольные строки, то определитель поменяет знак на противоположный. a11 a12 а13 a11 a12 а13 a21 a22 a23 =  a31 a32 a33 a31 a32 a33 a21 a22 a23 Свойство 3. Определитель, в котором две строки одинаковые, равен нулю. a11 a12 а13 a21 a22 a23 = 0 a21 a22 a23 Свойство 4. Постоянный множитель из любой строки можно выносить за знак определителя. Пример: 2 3 -4 2 3 -4 4 6 -8 = 2 2 3 -4 = 0 (Воспользовались свойством 3) 5 1 3 5 1 3 Свойство 5. Если в определителе строка состоит из нулей, то определитель равен нулю. Пример: 1 2 -3 0 0 0 = 0 3 5 -1 Определение 11. Если в определителе вычеркнуть произвольную строку и произвольный столбец, то оставшийся после вычеркивания определитель называется минором, соответствующим элементу, стоящему на пересечении вычеркнутой строки и столбца. Минор обозначается Мij, где i – номер вычеркнутой строки, j – столбца. Пример: 1 2 -3 3 -1 2 М23 = 1 2 = 3 – 4 = – 1 2 3 5 2 3 Определение 12. Минор, взятый со знаком (–1)i+j называется алгебраическим дополнением, соответствующим элементу Аij. Таким образом, Аij = (–1)i+j Мij Cвойство 6. Любой определитель равен алгебраической сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения. Пример: Вычислить определитель. 1 2 3 ∆ = -2 1 2 1 2 -1 Решение: Выберем в определителе произвольную строку, например, третью. Первый элемент этой строки равен 1. Вычеркнем третью строку и первый столбец (на пересечении оказалась 1). Оставшийся определитель после вычеркивания 2 3 1 2 - минор. Алгебраическое дополнение этой единицы равно минору со знаком (–1)3+1 (третья строка и первый столбец). Таким образом: ∆ = 1(–1)3+1 2 3 + 2 (–1)3+2 1 3 + (–1) (–1)3+3 1 2 = 1 2 -2 2 -2 1 = (4 – 3) + (–2)(2 + 6) – (1 + 4) = 1 – 16 – 5 = –20. Свойство 7. Величина детерминанта не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное число. a1 b1 c1 a1 + kb1 b1 c1 a2 b2 c2 = a2 + kb2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 + kb3 b3 c3 Пример: Вычислить определитель. 1 2 -3 ∆ = 2 3 -4 -3 2 1 Вычтем из 2й строки первую, умноженную на 2, а к 3й прибавим первую, умноженную на 3: 1 2 -3 ∆ = 0 -1 2 0 8 -8 В первом столбце три элемента, из которых два равны нулю. «Раскроем» определитель по первому столбцу: 1· (1)1+1 1 2  0·(1)2+1 2 3 + 0·(1)3+1 2 3 = 816 = 8 8 8 8 8 1 2 4. Системы линейных алгебраических уравнений. Определение 1. Системой n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 (3.1) an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn или сокращенно n Σ aij xj = bI (i = 1,2,…,n) (3.2) j = 1 Здесь aij – некоторые числовые коэффициенты, bi - свободные члены, xj – неизвестные. Решить систему (3.2) – значит найти такие значения хj , которые каждое уравнение (3.1) обращают в верное равенство. 5. Системы 2х линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть задана система a11x1 + a12x2 = b1 , (3.3) a21x1 + a22x2 = b2 . Умножим первое уравнение системы на а21, второе – на а11 и вычтем из второго уравнения первое. Получим (а11а22 – а12а21)х2 = а11b2 – a21b1. Откуда = а11b2 – a21b1 а11а22 – а12а21 (3.4) Анологично можно получить = b1a22 – b2a12 а11а22 – а12а21 (3.5) Формулы (3.5) и (3.4) можно переписать проще: (3.6) Определение 2. а11 а12 Определитель ∆ = а21 а22 называется главным определителем системы (3.3), а определители ∆х1 = b1 a12 и ∆х2 = a11 b1 b2 a22 a21 b2 называются вспомогательными определителями. Используя введенные определения, формулы (3.6) можно переписать в виде: ; (3.7) Формулы (3.7) называются формулами Крамера. Определение 3. Система (3.3) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение (одна пара чисел (х1,х2)). Система называется определенной, если она имеет единственное и неопределенной, если решений больше, чем одно. Если решений у системы нет, то она называется несовместной. Из формул Крамера следует, что система (3.3) будет определенной только в случае, когда ∆  0. 1. Пример. Решить систему 3х + 2у = 8 2у – у = 3 Решение: Ищем главный и вспомогательные определители системы: ∆ = 3 2 = 34 = 7  0; ∆х= 8 2 = 86 = 14; ∆у= 3 8 = 2 -1 3 -1 2 3 = 916 = 7 По формулам (3.7) ; Система определенная. Ответ: (2;1). 2.Пример: х + у = 3 -2х – 2у = 0 ∆ = 1 1 = 0; ∆х = 3 1 = -6; ∆у = 1 3 = 6 -2 -2 0 -2 -2 0 Система несовместна (решений нет). Если в системе все определители равны нулю, то система совместна и имеет бесчисленное множество решений. 3.Пример: Решить систему: х + у = 3 -2х – 2у = -6 Решение: ∆ = 1 1 = 0; ∆х = 3 1 = 0; ∆у = 1 3 = 0 -2 -2 -6 -2 -2 -6 Система имеет бесчисленное множество решений. Действительно, отбросим одно из уравнений (после сокращения на (-2) второе уравнение совпадет с первым). Получим у = 3 – х. Придавая х произвольные значения, каждому такому значению получаем определенное значение у. Обычно записывают так: пусть х =с, тогда у = 3 – с. Ответ (с; 3 – с), где с – произвольное. 6. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Рассмотрим систему уравнений: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 , a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 , (3.8) а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 . По аналогии с предыдущим случаем a11 a12 а13 ∆ = a21 a22 a23 называется главным определителем. A a31 a32 a33 b1 a12 а13 a11 b1 а13 a11 a12 b1 ∆х1 = b2 a22 a23 ; ∆х2 = a21 b2 а23 ; ∆х3 = a21 a22 b3 b3 a32 a33 a31 b3 а33 a31 a32 b3 называются вспомогательными определителями системы (3.8). Формулы Крамера в данном случае имеют вид: ; ; (3.9) Пример: Решить систему: 2х + у – z = 1 x + 2y + z = 8 x – y + 2z = 5 Решение: 2 1 -1 ∆ = 1 2 1 = 8 + 1 + 1 + 2 + 2 – 2 = 12; 1 -1 2 1 1 -1 ∆х = 8 2 1 = 4 + 5 + 8 + 10 – 16 + 1 = 12; 5 -1 2 2 1 -1 ∆у = 1 8 1 = 32 + 1 – 5 + 8 – 2 – 10 = 24; 1 5 2 2 1 1 ∆z = 1 2 8 = 20 + 8 – 1 – 2 – 5 + 16 = 36. 1 -1 5 х = ∆х/∆ = 12/12 = 1; y = ∆y/∆ = 24/12 = 2; z = ∆z/∆ = 36/12 = 3. Ответ : (1; 2; 3). 7. Системы линейных уравнений (метод Гаусса). Метод Гаусса является простейшим в решении систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных системы и приведении последней к треугольному виду. Рассмотрим систему: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (3.10) а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Определение 4. a11 a12 а13 Матрица А = a21 a22 a23 называется главной матрицей a31 a32 a33 a11 a12 а13 b1 системы (3.10), а матрица Ă = a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 называется расширенной матрицей этой системы. Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы к треугольномы виду (то есть к такому, когда под главной диагональю все элементы равны нулю). Пример: Решить систему 3х1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 + 3х2 + х3 = 1 2х1 + х2 + 3х3 = 11 Решение: Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду. Переход от одной матрицы к другой будем обозначать символом ~. 3 2 1 5 2 3 1 1 Вычтем из утроенной второй строки удвоенную 2 1 3 11 первую, а из третьей строки вторую. 3 2 1 5 3 2 1 5 2 3 1 1 ~ *2 0 5 1 -7 2 1 3 11 *5 0 -2 2 10 к упятеренной третьей строке прибавим удвоенную вторую 3 2 1 5 0 5 1 -7 0 0 12 36 Последняя матрица (до вертикальной черты) – треугольная. Система приняла треугольный вид. Решать ее будем из конца в начало: 3х1 + 2х2 + х3 = 5 5х2 + х3 = -7 12х3 = 36 х3 = 3; 5х2 = -10 => х2 = -2; 3х1 = 6 =>х1 = 2. Ответ: (2; -2; 3). 8. Обратная матрица. В общем случае умножение матриц не подчинено коммутативному закону, то есть А∙В ≠ В∙А. Однако есть матрица, которая в произведении всегда коммутирует с данной матрицей. Определение 5. Матрица, коммутативная с матрицей А и произведение которой на А есть единичная матрица Е, называется обратной матрице А и обозначается А-1. Таким образом, АА-1 = А-1А = Е Определение 6. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной или сингулярной (в противном случае – невырожденной). Если есть квадратная матрица a11 a12 а13 А = a21 a22 a23 a31 a32 a33 , то обратную ей матрицу можно найти из формулы A11 A21 A31 А-1 = 1/ detA A12 A22 A32 (3.12) A13 A23 A33 где detA – определитель матрицы А, а Аij (i,j = 1,2,3) – алгебраические дополнения к элементам аij матрицы А. Из формулы (3.12) следует, что обратная матрица существует только для невыроженных матриц (detA ≠ 0). Кроме того матрица в правой части формулы (3.12) является транспонированной по отношению к матрице, составленной из алгебраических дополнений к элементам матрицы А. Пример: 1 1 1 Найти обратную матрицу к матрице А, если А = 1 2 1 2 1 1 Результат проверить. Решение. Прежде всего убедимся, что обратная матрица существует, то есть матрица А – невырожденная. 1 1 1 detA = 1 2 1 = 2 + 2 + 1 – 4 – 1 – 1 = -1 ≠ 0 2 1 1 Находим по очереди алгебраические дополнения: А11 = 2 1 = 1, А21 = - 1 1 = 0, А31 = 1 1 = -1, 1 1 1 1 2 1 А12 = - 1 1 = 1, А22 = 1 1 = -1, А32 = - 1 1 = 0, 2 1 2 1 1 1 А13 = 1 2 = -3, А23 = - 1 1 = 1, А33 = 1 1 = 1. 2 1 2 1 1 2 Подставим в формулу (3.12): 1 0 -1 -1 0 1 А-1 = - 1 -1 0 = -1 1 0 -3 1 1 3 -1 -1 Проверка. 1 1 1 -1 0 1 -1-1+3 0+1-1 1+0-1 1 0 0 1. АА-1 = 1 2 1 -1 1 0 = -1-2+3 0+2-1 1+0-1 = 0 1 0 = Е 2 1 1 3 -1 -1 -2-1+3 0+1-1 2+0-1 0 0 1 -1 0 1 1 1 1 -1+0+2 -1+0+1 -1+0+1 1 0 0 2. А-1А = -1 1 0 1 2 1 = -1+1+0 -1+2+0 -1+1+0 = 0 1 0 = Е 3 -1 -1 2 1 1 3-1-2 3-2-1 3-1-1 0 0 1 Ответ: -1 0 1 А-1 = -1 1 0 3 -1 -1 9. Решение систем линейных уравнений матричным способом. Пусть задана система: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (3.13) а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Рассмотрим три матрицы: a11 a12 а13 х1 b1 А = a21 a22 a23 Х = х2 В = b2 a31 a32 a33 , х3 , b3 Легко видно, что систему (3.13) можно записать в матричной форме: АХ = В (3.14) Решить систему (3.13) равносильно нахождению неизвестной матрицы Х из уравнения (3.14). Умножим обе части равенства (3.14) слева на матрицу А-1: А-1АХ = А-1В или (так как А-1А = Е) Х = А-1В (3.15) Итак, решение системы (3.13) свелось к нахождению обратной матрицы А-1 системы. Пример: Решить матричным способом систему. x + 2y + 3z = 5, 2y + z = 5, 2x + y + 5z = 2. Решение: 1 2 3 х 5 А = 0 2 1 Х = у В = 5 2 1 5 , z , 2 ищем А-1: 1 2 3 detA = 0 2 1 = 10 + 4 – 12 – 1 = 1 ≠ 0, 2 1 5 А11 = 2 1 = 9, А21 = - 2 3 =-7, А31 = 2 3 = -4, 1 5 1 5 2 1 А12 = - 0 1 = 2, А22 = 1 3 = -1, А32 = - 1 3 = -1, 2 5 2 5 0 1 А13 = 0 2 = -4, А23 = - 1 2 = 3, А33 = 1 2 = 2. 2 1 2 1 0 2 9 -7 -4 А-1 = 2 -1 -1 -4 3 2 подставим в формулу (3.15): 9 -7 -4 5 45 – 35 – 8 2 Х = А-1В = 2 -1 -1 5 = 10 – 5 – 2 = 3 -4 3 2 2 -20 + 15 + 4 -1 Итак, х = 2, у = 3, z = -1. Глава 4. Математический анализ. 1. Функция. Пусть заданы два непустых множества X и Y и пусть существует закон, согласно которому каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y. Происходит отображение одного множества на другое. Такое отображение называется функцией или оператором.  X Y Как правило, функцию задают аналитически (с помощью формулы) и записывают y=(x) (4.1) Есть еще графическое задание, табличное и др. При этом X называют независимым переменным или аргументом. Определение 1 Все те значения аргумента X, при которых функция (4.1) существует, называются областью определения функции y и обозначаются D(y). Определение 2 Все те значения, которые принимает функция y,называются множеством значений этой функции и обозначаются E(y) Пример Найти D(y) и E(y), если y= Решение Данная функция существует только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. D(y): 1- - + - x -1 1 x[-1;1] Функция принимает минимальное значение при x=1,т.е. y(1)=0 и максимальное при x=0,т.е.y(0)=1.Итак, E(y): y[0;1]. Определение 3 Функция y=(x)называется четной, если для любого значения x (-x)=(x) (4.2) Пример Показать, что функция (x)=x+1 четная. Решение Проверим выполнение равенства (4.2) (-x)=что и т.д. Совершенно очевидно, что график четной функции симметричен относительно оси Оy (т.к. и для отрицательных, и для положительных значений X функция принимает одинаковые значения). Примером четной функции может быть функция y=cosx Определение 4 Функция y=(x) называется нечетной, если для любых значений x (-x)=-(x) (4.3) Пример Показать, что функция (x)= – нечетная Решение Проверим выполнение равенства (4.3) ч.т.д. Очевидно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примером нечетных функций могут быть функции y=sinx, y=tgx, y=ctgx, ... Если функция не удовлетворяет равенствам (4.2) и (4.3), то ее называют функцией общего вида. График такой функции симметрии не имеет. Пусть задана функция y=(x) (4.4) Решим уравнение (4.4) относительно X. Получим X=(y) (4.5) Определение 5 Функция (4.5) называется обратной для функции (4.4). Следует заметить, что график функции (4.4) расположен в системе координат ХОY, а график функции (4.5)- в системе YOX. Если есть необходимость изобразить графики обеих функций в одной и той же системе координат XOY, то естественно в системе YOX поменять местами оси X и Y. Тогда и функция (4.5) примет вид y=(x) (4.6) Итак, в одной и той же системе координат функция (4.6) является обратной для функции (4.4), а это значит, что их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных квадрантов. Пример Найти функцию, обратную функции y=2x+1.Построить графики функций. Решение Решим уравнение относительно x: x= Поменяем X и Y местами: y=. Это и есть обратная функция. y y= 1 -1/2 0 1 x -1/2 2. Пределы. Предел числовой последовательности. С числовыми последовательностями мы знакомы из школьного курса математики. Примерами таких последовательностей есть прогрессии: арифметическая и геометрическая. Каждый член этих последовательностей зависит от того, на каком месте он находится, т.е. какой имеет порядковый номер. Определение 6 Функция, зависящая от натурального аргумента n , называется числовой последовательностью и обозначается {Un}. Таким образом Un=(n) Рассмотрим, например, числовую последовательность {}, т.е. Un= (Un-каждый член числовой последовательности). Выберем масштабную единицу и около точки О опишем окружность радиуса . Un U4 U3 U2 U1 1 Выпишем по порядку несколько членов этой последовательности и разместим их на масштабной единице: U1=1;U2=;U3 =; U4=;...; Un=;... Замечаем, что по мере роста номера n, члены последовательности приближаются к границе окружности (назовем окружность -окрестностью нуля).Если случится, что какой-нибудь из членов последовательности Un попадет внутрь -окружности(а это значит, что расстояние между Un и нулем станет меньше радиуса ), то ноль будет тем пределом, к которому стремятся члены последовательности {}. Определение 7 Число А называется пределом числовой последовательности {Un} при n  , если для любого, сколь угодно малого числа  >0 найдется такое число N(), что для всех Un , для которых n>N() будет выполняться неравенство Un А< (4.7) Этот факт записывают так: lim Un=A (4.8) n В этом случае последовательность {Un} называется сходящейся. Если же у последовательности предела нет, то она называется расходящейся. Пример Показать, что Решение Здесь Un= Показать, что А-предел {Un} при n   - это значит найти такое число N(), что для всех членов данной последовательности у которых номер n>N() выполняется неравенство (4.7). Рассмотрим неравенство (4.7) < Приводя к общему знаменателю под знаком модуля, получим: Откуда (4.9) Если обозначить =N(), то неравенство (4.9) становится n>N() Итак, существует число N(), что для всех n >N() выполняется неравенство (4.7), а это и доказывает тот факт, что Теорема 1 Если {Un} и {Vn} – две сходящиеся последовательности, то lim(Un+Vn)=limUn+limVn n n n Доказательство Пусть limUn=A => Un-A<, n limVn=B=> Vn-B<. n Докажем,что lim(Un+Vn)=A+B Рассмотрим (Un+Vn)-(A+B)=(Un-A)+(Vn-B)<=Un-A+Vn-B<=+=, ч.т.д. Примечание При доказательстве этой несложной теоремы мы воспользовались известным неравенством Коши-Буняковского: a+b<=a+b. Теорема 2 Пусть {Un}- сходящаяся последовательностью тогда {CUn}-также сходящаяся (С-произвольная постоянная), причем limCUn=ClimUn n n т.е. при умножении на число последовательность остается сходящейся. Теорема 3 Пусть {Un} и {Vn}-сходящиеся последовательности.Тогда: 1.lim(UnVn)=limUnlimVn n n n 2. Теоремы 2 и 3 примем без доказательства. Совершенно очевидно, что дробь, знаменатель которой растет, а числитель-ограниченная величина, является убывающей и в пределе, когда знаменатель стремится к бесконечности, обращается в ноль. Пример Вычислить предел lim n Решение Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при n(принято говорить, что получается неопределенность вида ). Разделим числитель и знаменатель на n в старшей степени (в нашем случае n): = =(т.к. =0 и =0)= Пример Найти предел lim x Решение При n   в скобках получается разность () (такая разность является неопределенностью). Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: lim= n =lim=lim n n 3. Предел функции в точке. Y y=(x) b=(x0) (x) 0 X X0 X Пусть функция y=(x) определена в некоторой окрестности радиуса  точки X0. В самой точке функция может быть и не определена.  - окрестность точки X0 отображается в некоторую окрестность радиуса  точки b=(x0). Определение 8 Число b называется пределом функции y=(x) в точке X0, если для всех X, удовлетворяющих условию X- X0<() (4.10) выполняется неравенство (x)-b<  (4.11) Этот факт записывают так: lim(x)=b (4.12) ххо Аналогично, если х  , то lim(x)=A, (4.13) х если (x)-A< при x>N. Если lim(x)=, (4.14) ххо то в этом случае функция (х) называется бесконечно большой величиной при х  х0. Если же lim(x)=0, (4.15) хх о то функция (х) называется бесконечно малой при х  х0. Итак, число b есть предел функции (х) в точке х0, если одновременно выполняются два неравенства (4.10) и (4.11). Пример Показать, что lim4x=20 x5 Решение Сравнивая последнее равенство с равенством (4.12), заключаем, что (х)=4х, b=20, =5. Запишем неравенство (4.11): 4х-20< (4.16) или 4х – 5< или х – 5 <. Обозначая =(), последнее неравенство перепишем в виде х – 5<() (4.17) Неравенство (4.16) «породило» неравенство (4.17). Следовательно, неравенства выполняются одновременно, ч.т.д. Ну, а раз так, то впредь в вычисляемый предел достаточно вместо переменной подставить то значение, к которому оно стремится. Практическое вычисление пределов основывается на теоремах, подобных теоремам для сходящихся числовых последовательностей (Приведем их без доказательств.). Если существуют lim(x) и lim g(x),то: x  xо х  хо 1. lim((x)  g(x))=lim(x) lim g(x) x  xo x  xo x  xo 2. lim C (x)=C lim (x) x  xo x  xo 3. lim ((x) g(x))= lim(x) limg(x) x  x o x  xo x  xo 4. =, Под неопределенностями мы будем понимать следующие: ,, ∞  ∞, 1∞ и другие, приводящиеся к ним. Пример Найти lim x 3 Решение При х  3 получаем неопределенность вида 0/0. lim = lim = lim =2 х3 х3 х3 Примечание: на х – 3 сократили, т.к. х – 3  0 (х  3, а не х = 3) Пример Найти lim x0 Решение Здесь неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на сопряженный числитель: lim = lim x0 x0 Пример Найти lim x0 Решение (неопределенность ). Обозначим 1+х = y5. При х0 => y1. Тогда lim =lim= x0 y1 lim y1 Пример Найти lim x Решение (неопределенность ). Разделим числитель и знаменатель на старшую степень х, т.е. на х3. 4. Бесконечно малые функции. Как было отмечено выше, функция (х) называется бесконечно малой при ха или при х, если lim (x) = 0 или lim (x) = 0 (4.18) x a x  Например, функция (х) = (х – 2)3 есть бесконечно малая при х2, т.к. (x) = (x – 2)3 = 0; функция (х) = является бесконечно малой при х,т.к. lim (x) = lim = 0 x  x Из определения бесконечно малой функции следует, что (х) бесконечно малая при х а, если для всех х, для которых  х – а  <  (4.19) выполняется неравенство (х) <  (4.20) Приведем несколько теорем, которые в дальнейшем будем применять. Теорема 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х  а есть бесконечно малая при х  а. Доказательство Действительно, пусть U(x) = (x)  (x) + (x) , где (х), (х), (х)  бесконечно малые при х  а. Следовательно, для любого  > 0 можно указать такое 1 > 0 ,что (х) < , если xa < 1 ,такое 2 > 0, что  (х)  < , если  x  a  < 2 , такое 3 > 0, что  (х)  < , если  x  a  < 3 .Тогда  U(x)    (x) + (x)+(x)    (x) +  (x)  +  (x)  < = ++= ч.т.д. Теорема 2 Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию  есть бесконечно малая (примем без доказательств). Следствие 1 Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Следствие 2 Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая. 5. Односторонние пределы. Пусть х  х0 и х < x0. В этом случае будем писать х  х0 – 0, а предел функции (х) при таком стремлении х к х0 называть левосторонним пределом в точке х0 и обозначать: lim (x) xxo0 Аналогично, если хх0, но х > x0 , то предел функции в этом случае правосторонний и этот факт записывается lim(x) xxo+0 Пример Найти разносторонние пределы функции y = в точке х = 3 и изобразить график функции в окрестности точки х = 3. Решение 1. lim = (т.к. = ) ==0 x30 y 0 3 x 6. Приращение аргумента и функции Пусть функция y=(x) определена в точке x0 и в окрестности этой точки. Значения функции в точке x0 равно (x0). Пусть от точки x0 аргумент “перешёл” в точку, отстоящую от x0 на величину x (положительную или отрицательную). В этом случае говорят, что x0 получило приращение x. y (xo+x) y=(x) y (xo) x o xo x xo+x При этом и функция изменит своё значение(если она – не постоянная) на величину y. Такую величину называют приращением функции в точке xo. Её легко вычислить: у=(xo+x)- (xo) (4.21) Если приращение функции рассматривается в произвольной точке х, то у=(x+x) - (x) (4.22) Пример Пусть (x)= x2. Найти приращение функции в произвольной точке х. Решение Из формулы (4.22) у=(х+х)2х2 = x2 + 2xx + (x)2 – x2 = + x2 (4.23) Пример Найти приращение функции (х) = sinx в произвольной точке. Решение y = sin(x + x) – sinx = ; (4.24) 7. Непрерывность функции в точке Определение 9 Функция y = (x), определенная на интервале (a,b) называется непрерывной в точке x0 (a,b), если lim(x) = (x0) (4.25) xxo (т.е. предел функции равен ее значению при предельном значении аргумента). Т.к. x  x0 ,то x – x0  0 , аналогично, (x)(x0) =>(x)  (x0). Обозначив х – х0 = х, (х) – (х0) = y, равенство (4.25) можно переписать в виде: lim y = 0 (4.26) x0 Иными словами, функция непрерывна в точке, если приращение функции в этой точке стремится к нулю при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Пример Показать, что функция y = sin х непрерывна в произвольной точке х. Решение Воспользуемся формулой (4.24) lim y = lim 2cos= 0 ч.т.д. х0 х0 Теорема Если функции (х) и (х)  непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывной также будет их сумма (х) + (х), разность (х) – (х), произведение (х) и частное при условии, что (х0)  0 (без доказательства). Определение 10 Функция, непрерывная в каждой точке х(a,b), называется непрерывной на (a,b). Теорема Если функция (х) непрерывна на интервале (a,b), то в каждой точке этого интервала lim (x) = ( lim x ) (4.27) xxo xxo т.е. для непрерывных функций знаки предела и функции перестановочны. Доказательство Т.к. lim x = x0, то подставим это соотношение в формулу xxo lim(x) = (x0) = (lim x) ч.т.д. xxo xxo Теорема Если функция y =(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значение разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль. С геометрической точки зрения это значит, что график функции y =(x) пересечет ось Ох хотя бы в одной точке интервала [a,b]. 0 a C b x 0 a C b х y y y =(x) y =(x) 8. Первый замечательный предел Рассмотрим окружность радиуса R, у которой радианную меру центрального угла AOB обозначим через Х. Пусть 0 < x < .Так как площадь сектора AOB больше площади треугольника AOB и меньше площади треугольника AOC, то: C B X 0 A Разделим эти неравенства на , (sin x > 0, т.к. 0 < x < ), получим cos x   1 (4.28) Последние неравенства верны как для положительных, так и для отрицательных Х. Переходя к пределу в неравенствах (4.28) при х  0 получим lim = 1 (4.29) x0 Предел (4.29) называется первым замечательным пределом. Т.к. lim sin x = 0 и lim x = 0, то функции sin x и x при х0 – х0 х0 бесконечно малые. В данном случае говорят, что они – эквивалентные. Пример Найти предел: lim х0 При х0 lim(1 – cos3x) = 0, имеем неопределенность . Сведем ее х0 пределу (4.29): Воспользуемся формулой 1 – cos  = 2sin2: \ Пример Найти предел: lim х / 2 Решение Т.к. cos= 0 и   = 0, то получим неопределенность . Т.к. х, то х- – 0.Обозначим х – = y, y  0,a x = y + . Предел станет: 9. Второй замечательный предел. Можно показать, что при стремлении х к бесконечности значение бинома находится между 2 и 3. Приближенное значение этого выражения есть число 2.718281..., которое обозначается буквой е. Определение 10 Предел lim= e (4.30) x называется вторым замечательным пределом. Легко видно, что второй замечательный предел представляет собой неопределенность вида 1. Таким образом, неопределенность такого вида всегда дает число е в некоторой степени. Формулу (4.30) можно записать иначе lim = e (4.31) х0 Определение 11 Логарифмы, основанием которых есть число е, называются натуральными логарифмами и обозначаются loge x = ln x Нетрудно заметить, что число е получается в том случае, когда в скобках на первом месте стоит единица, затем знак (+) и бесконечно малая функция, а вся скобка возводится в степень, показатель которой есть перевернутая бесконечно малая функция. Пример Найти предел lim x Решение При х скобка стремится к единице. Таким образом, имеем неопределенность 1. Выделим в скобках единицу плюс бесконечно малую и возведем скобку в степень с показателем, равным перевернутой бесконечно малой функции. Пример Найти предел lim = (неопределенность 1) = x2 lim x2 10. Некоторые важные пределы. 1.Рассмотрим предел lim. При стремлении х к нулю x0 получаем неопределенность. Преобразуем предел: = loga e = (4.32) Подставляя в (4.32) а = е, получим lim (4.33) x0 Пример Найти предел 2. Рассмотрим lim x0 Введем замену ах – 1 = y; y  0, x = loga(1+y). Предел становится lim(= lim x0 y0 Последний предел совпадает с «перевернутым» пределом (4.32). Таким образом: lim(= ln a (4.34) x0 Подставляя в (4.34) а = е , получим lim (4.35) x0 Пример Найти предел: (Здесь мы применили формулы (4.29) и (4.35)).