Основы теории управления

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» Кафедра конструирования и технологии ЭВС УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _____________О.Г.Локтионова «______»___________2014г. Ширабакина Т.А. Конспект лекций по дисциплине «Основы теории управления» для студентов направления подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» Курск 2014 г. 2 Конспект лекций содержит простое и сжатое изложение основ теории управления: основные понятия и определения автоматики и теории управления, элементы систем автоматического регулирования и управления, математическое описание систем, устойчивость систем, качество и эффективность автоматических систем. Предназначен для студентов направления подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» очной и заочной форм обучения. 3 ВВЕДЕНИЕ Целью дисциплины «Основы теории управления» является ознакомление студентов с концептуальными основами теории управления как современной комплексной прикладной науки об управлении в технических и человекомашинных системах; формирование научного мировоззрения на основе знания особенностей процессов управления в сложных системах различной природы; воспитание навыков научной и инженерной культуры. Задачи дисциплины можно сформулировать следующим образом:  Изучение основных понятий и концепций автоматики, основных свойств систем с обратной связью, устойчивости, качества и эффективности процессов управления и роли человека в автоматизации технологических и информационных процессов.  Формирование представлений о принципах функционирования и пределах устойчивости и качества автоматических систем, о взаимодействии объектов управления, элементов и технических средств автоматизации и человека, о перспективах развития теории и систем управления в различных областях науки, техники и производства. Конспект лекций к дисциплине содержит простое и сжатое изложение основ управления техническими системами: основные понятия и определения автоматики и теории управления, элементы систем автоматического регулирования и управления, математическое описание систем, устойчивость систем, качество и эффективность автоматических систем. Следует отметить, что теория автоматического управления и регулирования создавалась для изучения статики и динамики технических процессов. В настоящее время основные выводы и результаты теории используются для исследования объектов экономического, организационного и другого характера. Технические средства, используемые для создания систем управления и регулирования, в последнее время достигли значительного прогресса. Но теория автоматического управления достаточно развита и позволяет использовать методы исследования управления объектами самого различного назначения. При этом важное значение имеет знание областей применимости используемых методик и характеристик, их взаимной связи, их связи с классическими методами теории автоматических систем. 4 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ 1.1. История автоматики и теории управления Автоматизация является объективно необходимым условием технического прогресса и открывает возможности для роста эффективности производства. Ускорение научно–технического прогресса, повышение на его основе производительности труда играют решающую роль в развитии всех отраслей хозяйства, всех предприятий. Для успешного решения экономических и социальных задач нет иного пути, кроме быстрого роста производительности труда, что в свою очередь возможно только с применением высокопроизводительных автоматических линий, автоматизированных систем управления технологическими процессами. Основными средствами повышения производительности труда являются механизация и автоматизация производственных процессов. Автоматизация производственных процессов связана с улучшением технологии производства и совершенствованием технологического оборудования. В своем развитии она проходит три этапа. Первый – автоматизация отдельных технологических машин с целью повышения производительности труда, качества продукции, эффективности использования технологического оборудования. На этом этапе широко используются локальные автоматические системы (например, системы автоматически поддерживают температуру, давление и другие физические величины). Второй этап – автоматизация при централизации контроля и управления производственными процессами на базе систем дистанционного контроля и управления. Он предусматривает высокую надежность оборудования и полную механизацию технологических процессов. Третий этап – автоматизация с использованием управляющих ЭВМ, которые определяют оптимальные режимы технологического процесса и вырабатывают управляющие команды по всем автоматизируемым операциям. Первый в мире промышленный автоматический регулятор был создан в 1765 г. русским механиком И.И. Ползуновым – творцом первой паровой машины универсального назначения. Регулятор служил для поддержания уровня воды в котле паровой машины. Измерительный орган – поплавок, находящийся на поверхности воды, перемещаясь, изменял подачу жидкости, идущей по трубе в котел через отверстие клапана. Если уровень воды поднимался, то поплавок, перемещаясь вверх, закрывал клапан и подача жидкости уменьшалась. Главная идея регулятора Ползунова – реакция измерительного органа на отклонение регулируемой величины от установленного значения. Это и поныне главная, центральная задача в устройствах автоматического регулирования. 5 В 1784 г. английский механик Дж. Уатт разработал центробежный регулятор скорости для паровой машины. В ХIХ веке совершенствовались регуляторы для паровых машин; в ХХ веке началось развитие и использование электрических систем автоматического регулирования. Далее история развития теории автоматического управления связана с историей создания различных высокоточных механизмов. В настоящее время теория управления представляет единую научную базу для решения задач управления объектами различной природы (физической, химической, биологической и пр.) Автоматика – область прикладных и теоретических знаний об автоматических системах. Автоматизация – применение технических средств, математических методов и систем управления, освобождающих человека частично или полностью от непосредственного участия в процессах получения, преобразования, передачи и использования энергии, материалов или информации. Комплексная автоматизация – одновременная автоматизация производственных и экономико–административных процессов в рамках одного технического процесса, цеха, предприятия и т.д. С точки зрения автоматизации системы можно разделить на три группы.  Неавтоматические системы – системы, в которых все определенные для данной системы функции выполняются при непосредственном участии человека.  Полуавтоматические системы выполняют определенные для них функции при частичном участии человека в процессе, протекающем в системе при выполнении заданных функций.  Автоматические системы выполняют определенные для них функции без непосредственного участия человека. За человеком остаются только функции ввода в действие и контроля за техническим состоянием системы. Пример: любую производственную систему можно охарактеризовать уровнем автоматизации, для оценки которого используются различные критерии, например: V K  Kp 1 , K где K – общее число рабочих мест для всех операций, производимых на линии человеком; Kp – число рабочих на линии, где выполняются те же операции, но часть их выполняется автоматически. Если все операции – автоматические, то Kp = 0, V = 1, что соответствует полной автоматизации. Уровень автоматизации можно оценить экономией времени: 6  t и.а. 1 , t п.а. где t и.а. – экономия времени при частичной автоматизации; t п.а. – экономия времени при полной автоматизации. Автоматическая система должна выполнять заданные функции с требуемой точностью, несмотря на различные помехи. Постоянное усложнение систем, связанное с повышением требований к точности и качеству, приводило к необходимости создания эффективных методов исследования. Создание различных регуляторов, машин заложило основы теории математического описания, устойчивости, методов исследования качества регулирования. Совершенствовались теоретические и экспериментальные методы исследования; разрабатывались частотные методы, сочетающие аналитические и графические приемы. Таким образом создавалась теория автоматического управления и регулирования. Теория автоматического управления (ТАУ) решает задачу формирования на основе цели управления и информации управляющих сигналов, воздействующих на объект таким образом, чтобы объект реализовал заданную цель управления. Основной задачей теории автоматического регулирования (ТАР) является воспроизведение с наименьшей погрешностью некоторого входного сигнала, при этом цель регулирования состоит в сведении к минимуму ошибки между входным и выходным сигналами. В ТАУ решается задача верхнего уровня, на котором формируется управляющее воздействие для автоматического регулятора. Система автоматического управления (САУ) является верхним уровнем в иерархии управления объектами, система автоматического регулирования (САР) играет роль нижнего уровня, на котором выполняется коррекция отклонений траектории движения объекта, соответствующей управляющему сигналу, из–за действия случайных возмущений и помех, неопределенности описания объекта и т.д. В общем случае, САР связана непосредственно с процессами материального производства и остается базой для построения САУ, функциональное назначение которой заключается в формировании управляющих воздействий на основе алгоритмов и исходя из цели управления, и отработке этих воздействий на требуемом уровне выходной мощности и с необходимой точностью при помощи САР в условиях действия возмущений и помех. Технические средства, используемые для создания систем управления и регулирования, в последнее время достигли значительного прогресса. Но теория автоматического управления достаточно развита и позволяет использовать методы исследования управления объектами самого различного назначения. В настоящее время основные выводы и результаты теории 7 используются для исследования объектов экономического, организационного и другого характера. Теория управления техническими системами стала развиваться позднее. В настоящее время интенсивно развиваются теория и техника многоуровневых иерархических систем управления технологическими процессами и объектами. Основные понятия, принципы и методы теории автоматического управления, систем автоматического регулирования сохраняют свою актуальность, получают развитие. Новым является возрастание (существенное) роли информации, компьютеризация процессов ее обработки, потому что любая САУ выполняет поставленную цель при помощи сбора, передачи, обработки и использования информации. 1.2. Основные понятия теории управления Процесс управления может быть различен, например, в области технических знаний, экономических, социальных и т.д. Общим всех процессов является использование информации, так как любой процесс управления требует сбора, передачи, переработки, хранения и использования информации о внешних и внутренних условиях для приспособления к ним (или эффективного воздействия на них). Основная функция любой системы – получить информацию и действовать в соответствии с ней [7]. ЧТО ТАКОЕ ИНФОРМАЦИЯ? В широком смысле информация – это сведения об окружающем мире, которые получаются в результате взаимодействия с ним, адаптации к нему и изменения его в процессе этой адаптации. Информация передается при помощи сигналов, которые реализуются в изменениях физической переменной, характеризующей последовательность некоторых событий. Процесс передачи информации можно представить в следующем виде (рис. 1.1). Рис. 1.1. Передача информации 8 Источник информации формирует сообщение, которое содержит информацию. Сообщение поступает на вход передатчика информации (или, другими словами, на вход чувствительного элемента датчика). Датчик преобразует данное сообщение в сигнал, который поступает в канал связи и далее на вход приемника информации, где происходит обратное преобразование сигнала в сообщение. Сообщение воспринимается объектом регулирования или управления. Во время передачи на сигнал неизбежно налагаются помехи, которые в большей или меньшей степени искажают сигнал. КАК ФОРМИРУЕТСЯ СООБЩЕНИЕ? Например, передача телевизионного изображения предмета. Сообщение – это распределение яркости по строкам изображения. Если 2 уровня яркости, то количество информации будет маленькое, если же число ступеней яркости будет большим, то и количество информации будет большим, то есть каждый элемент сообщения будет содержать тем больше информации, чем больше общее число элементов, из которых он может быть выбран. Поэтому при проектировании системы управления инженер измеряет содержание информации (вероятностью его появления). ЧТО ТАКОЕ УПРАВЛЕНИЕ? Процесс управления – это динамический процесс, протекающий в системах, в которых потоки информации, решения и действия для достижения цели управления структурно реализуются в виде замкнутых контуров, т.е. систем с обратной связью. Обратная связь необходима для того, чтобы для достижения цели получить достоверную информацию о протекании процесса на выходе САУ. (Технически это реализуется разработкой прямой и обратной связи между управляющей системой и объектом). Принцип обратной связи ярко проявляется во взаимодействии человека и создаваемой им техники (рис. 1.2). Рис. 1.2. Принцип обратной связи Создаваемая человеком техника влияет на него, но влияние современной техники на социальные, трудовые, психологические, физиологические условия деятельности человечества должно быть управляемым. Пример: атомные электростанции – величайшее достижение науки. Но в случае аварии на ней (ненадежность технических средств или нарушение 9 условий эксплуатации) может последовать гибель людей, угроза для самой жизни на нашей планете. Существуют два пути развития техники: 1. Разделение труда между человеком и машиной оптимальным способом в соответствии с их особенностями и возможностями. 2. По мере прогресса процессы управления передаются машине. Первый путь – наиболее эффективный, устанавливает гармонию между человеком и машиной. Второй путь – с течением времени может стать опасным, т.к. может наступить момент, когда творческие способности человека начнут ослабевать и будет невозможно вернуться на 1– й путь. Поэтому очень важно знать и понимать принципы и идеи теории управления. Итак, имеем объект, вектор входных переменных X и выходных переменных Y (рис. 1.3,а). Рис. 1.3. Управление системой Обозначим связь между входом и выходом Y  Gx  . Такая общего вида связь называется оператором. На объект действуют входные переменные X; пока выходные переменные Y удовлетворяют потребностям человека, который взаимодействует с объектом и использует его для своих целей, то управления не нужно. Если состояние не устраивает, то организуется воздействие, которое переводит объект в новое состояние, удовлетворяющее человека. Это воздействие называется управлением (рис. 1.3,б), т.е. управляющее воздействие - воздействие на объект управления, предназначенное для достижения цели управления. Цель управления – определенные значения координат процессов, протекающих в объекте управления, или изменение их во времени, при которых обеспечивается достижение желаемых результатов функционирования. Введем вектор U – вектор управляющих переменных (или вектор состояния управляющего входа объекта). Тогда состояние Y зависит от двух факторов: 10 Y  GX, U , где G – оператор связи, но с учетом управляющего воздействия U. Определим систему управления, включающую все алгоритмы обработки информации и средства их реализации, объединенные для достижения заданных целей управления. Поскольку две части системы управления, то выделяют алгоритм функционирования объекта и алгоритм управления. АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ (А) – совокупность предписаний, определяющих характер воздействия управляющей системы на управляемую часть для выполнения ею заданного алгоритма функционирования. АЛГОРИТМОМ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБЪЕКТА называют совокупность предписаний, ведущих к выполнению им предусмотренных функций, другими словами это совокупность правил и процедур, по которым управляющее устройство обрабатывает информацию для выработки управляющих воздействий. Пример: автоматическая система, где Из У – измерительные устройства, измеряют переменные состояния среды X и выходные переменные Y ; УУ – устройство управления вырабатывает управляющие воздействия U ; U  – управляющие переменные объекта вырабатываются исполнительным устройством ИУ (рис. 1.4). Кроме информации от измерительных устройств для функционирования УУ необходима информация о целях управления Z и алгоритме управления A. Рис. 1.4. Автоматическая система Управление можно представить как результат реализации алгоритма А: U  AI, Z , 11 где I – информация о состоянии среды и объекта. Отметим, что управление называется допустимым, если компоненты вектора U находятся в некоторых допустимых пределах, обусловленных конструктивными особенностями управляемого объекта (например, угол поворота руля и т.д.). Конструкция и условия эксплуатации задают некоторое множество U  U i  состояний управляющего входа объекта. Множество U называют областью управления, и в каждый момент времени t вектор Ut  должен принадлежать множеству U . Если система разомкнута, то информация о состоянии выхода отсутствует, нет цепи, по которой выходной сигнал Y поступает в управляющее устройство УУ. Поэтому управляющее воздействие оказывается только в соответствии с алгоритмом A, целями управления Z и информацией об X . Например, следующий алгоритм работы САР: если измеренное значение величины отличается от заданного, то оказывается такое управляющее воздействие, при котором регулируемая величина приближается к заданному значению. Такой алгоритм называется принципом отклонения; такие системы – системы управления по отклонению. 1.3. Принципы и законы регулирования и управления автоматических систем Управление процесс, обеспечивающий протекание процессов преобразования энергии, вещества и информации, поддержание работоспособности и безаварийности функционирования объекта путем сбора и обработки информации о состоянии объекта и среды, выработки решения о воздействии на объект и их исполнение. Регулирование – частный случай управления, цель которого заключается в обеспечении близости текущих значений одной или нескольких координат объекта управления к их заданным значениям. Рассмотрим принципы и законы регулирования и управления систем, которые определяют качество АС. Принципы регулирования - это способы формирования управляющего воздействия в системе. Различают 3 основных принципа: 1. Регулирование по отклонению регулируемой величины от заданного значения (так называемый принцип Ползунова-Уатта или принцип регулирования по отклонению). 2. Регулирование по возмущению. 3. Комбинированное регулирование. При регулировании по отклонению управляющее воздействие возникает вследствие отклонения регулируемой величины от заданного значения, передающегося на вход системы по цепи обратной связи. Достоинство САР, реализующей данный способ, заключается в том, что процесс регулирования 12 возникает независимо от причины, вызывающей изменение регулируемой величины. Это так, потому что возмущение, приложенное в любой точке, в конечном счете проявится в отклонении выходной (регулируемой) величины. Недостаток этого принципа - инерционность процесса регулирования, которая обусловлена тем, что проходит некоторое время от момента приложения возмущения к системе до того момента, когда накопится отклонение регулируемой величины, достаточное для воздействия на регулятор. При регулировании по возмущению (нагрузке) выполняется измерение возмущения, и при отклонении возмущения от некоторого заданного значения в системе возникает управляющее воздействие, которое реализуется так же, как и в первом случае. Достоинство этого принципа заключается в быстрой реакции системы на изменение нагрузки. Недостаток - процесс регулирования начинается только при изменении того возмущения, на измерение которого настроена САР. Любые другие возмущения уже не будут отрабатываться системой. Кроме того, измерение нагрузки - сложная задача, ее решение требует дорогостоящих устройств. При комбинированном регулировании используются оба принципа: регулирование по отклонению и регулирование по возмущению (нагрузке). Закон управления - это математическое выражение принципа регулирования. Закон управления устанавливает функциональную связь между воздействием регулятора на регулирующий орган и значениями переменных, определяющих принцип регулирования. Все возможные законы управления в общем виде можно представить как У  F (e, e, e,...,  edt ,..., g, g, g,...,  gdt ) , где е - отклонение регулируемой величины от заданного значения; g отклонение нагрузки. Используя принципы регулирования по отклонению и по нагрузке, можно реализовать огромное множество законов управления. Пример: Пропорциональный закон управления у=а*e. Он обеспечивает управляющее воздействие, пропорциональное величине отклонения. Недостаток в том, что интенсивность регулирования зависит от значения ошибки. Поскольку реальные устройства обладают определенной нечувствительностью, то при таком регулировании трудно устранить незначительные отклонения регулируемой величины. Интегральный закон управления обеспечивает регулирование по закону t Y  b  edt . 13 Управляющее воздействие непрерывно с течением времени, даже при малых отклонениях. Такие системы имеют высокую точность регулирования. Принципиально можно использовать любые законы управления, однако следует учесть возможности технической реализации. Например, технически сложно реализовать составляющие управляющего воздействия, пропорциональные второй и выше производным от отклонения и нагрузки. Такую возможность имеют АС с ЭВМ, которые могут сформировать законы управления высокой сложности. 1.4. Основные понятия и определения технических систем Рассмотрим основные определения. ТЕХНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА (ТС) - это совокупность упорядоченно взаимодействующих элементов, предназначенная для выполнения определенных функций, (искусственно созданная система, предназначенная для удовлетворения определенных потребностей и состоящая из технических компонентов), (искусственно созданные объекты, предназначенные для удовлетворения определенной потребности, которым присущи возможность выполнения не менее одной функции, многоэлементность, иерархичность строения, множественность связей между элементами, многократность изменения состояний и многообразие потребительских качеств). СИСТЕМА – совокупность связанных друг с другом объектов, называемых элементами, или отдельных частей, действующих как одно целое и обусловливающих ее существование и функционирование. ЭЛЕМЕНТ СИСТЕМЫ – объект, описание которого, достаточное для решаемой задачи, не требует учета внутренних переменных или зависимостей, а определяется только внешними характеристиками, связывающими входные и выходные переменные. ВНЕШНЯЯ СРЕДА – множество объектов, которые оказывают воздействие на систему. СЛОЖНАЯ СИСТЕМА – система, состоящая из большого числа элементов и взаимных связей. Каждый элемент сложной системы в свою очередь может рассматриваться как система. С другой стороны, каждая сложная система сама представляет собой элемент более обширной системы. Из этого следует, что система обладает свойством иерархичности, т.е. порядок в расположении частей или элементов системы от высшего к низшему. Пример системы: предприятие, цех, транспортное средство, например, машина. Все части – корпус, двигатель, руль и т.д. – обеспечивают существование (сохранность) при перемещении и обеспечивают назначение – движение в требуемом направлении. 14 Состояние системы во времени меняется. Оно определяется и описывается с помощью системы величин, рассматриваемых как функции времени. В произвольный момент времени состояние системы характеризуется некоторым числом переменных. Переменная – это измеримая величина, которая в каждый данный момент имеет определенное численное значение. Всякая реальная система и среда характеризуются огромным числом переменных, из которых некоторыми, по разным соображениям, пренебрегают. Тогда систему можно определить как совокупность переменных, выбранных из общего числа свойственных реальной системе и среде, т.е. совокупность n переменных S1, S2 ,..., Sn есть система. Число n конечно и в частном случае n=1. Каждая переменная зависит от времени t  Si t  . Переменные, значения которых не изменяются, называются параметрами или фиксированными переменными. Перечень параметров, которые учитываются при рассмотрении системы, тоже устанавливает исследователь. Состояние системы в момент времени t есть совокупность численных значений переменных называемых переменными S1 t , S2 t ,..., Sn t  , состояниями. Переход из одного состояния в другое может быть только через некоторый интервал времени – конечный t или бесконечно малый dt . При переходе может быть два состояния: одно в момент времени t , другое – через указанный интервал времени. Последовательная смена состояний системы во времени называется функционированием системы. Переменные, значения которых обусловлены состоянием среды и оказывающие воздействие на систему, т.е. приводящие к изменению состояния системы, называются входными переменными. Переменные, определяющиеся состоянием системы и оказывающие воздействие на окружающую среду, называются выходными переменными. Входные переменные X и выходные переменные Y определяют состояния входа и выхода системы. Переменные, не являющиеся входными и выходными переменными, называются внутренними переменными системы. Они характеризуют внутреннее состояние системы, вектор внутреннего состояния Q . Итак, из всего сказанного следует, что вектор выходных переменных Y системы определяется вектором входных переменных X и вектором внутреннего состояния системы Q. 1.5. Классификация автоматических систем Автоматические системы применяют для решения трех типов задач [1]: 15 - стабилизация, т.е. поддержание заданного режима работы, который не меняется длительное время (задающий сигнал имеет постоянное значение); - программное управление, т.е. управление по заранее известной программе (задающий сигнал меняется, но заранее известен); - слежение за неизвестным задающим сигналом. По количеству входов и выходов системы делятся на одномерные, у которых один вход и один выход, и многомерные системы, имеющие несколько входов и/или выходов. По характеру связи между входными и выходными величинами системы подразделяют на разомкнутые и замкнутые. Система разомкнута, если имеется прямая связь между входом и выходом. Если же в системе существует не только прямая связь между входом и выходом, но и обратная связь между выходом и входом (для сравнения этих величин), то это замкнутая система. Принцип обратной связи позволяет обеспечить точность регулирования, т.е. точность поддержания требуемой функциональной связи между входом и выходом. По величине ошибки в установившемся состоянии системы подразделяются на статические и астатические. Система является статической, если в установившемся режиме имеется отклонение регулируемой величины от заданного значения. Астатической системой называется система, которая обеспечивает регулирование без статической ошибки. Понятие "статическая" характеризует состояние системы; понятие "статика" – установившийся режим работы системы. В зависимости от метода математического описания различают линейные и нелинейные системы. При анализе и расчете САР возникает необходимость выбора математической модели, которая с данной степенью приближения соответствовала бы изменению состояния системы в реальном времени. Методы теории автоматического управления разработаны применительно к различным типовым моделям реальных систем. Линейные системы описываются линейными уравнениями, нелинейные – нелинейными уравнениями. По типу параметров объекта различают стационарные и нестационарные системы. Системы, в которых все параметры остаются постоянными во времени, называются стационарными. Системы, в которых параметры объекта изменяются во времени, называются нестационарными. По типу внешних воздействий системы могут быть детерминированными или статистическими. Детерминированные системы – если все приложенные к системе воздействия являются постоянными. В любой момент t можно однозначно определить новое состояние в t  t . 16 Система считается статистической, если приложенные воздействия являются случайными функциями или случайными величинами. В зависимости от характера сигналов различают непрерывные, дискретные и непрерывно-дискретные системы. Если структура всех связей в системе постоянна, сигналы на выходе элементов являются непрерывными функциями воздействий и времени, то такая система называется непрерывной. В такой системе между элементами на входе и выходе существует непрерывная функциональная связь. Дискретные системы отличаются тем, что через дискретные промежутки времени происходит изменение параметров системы во время ее работы. На практике часто встречаются системы, отдельные части которых относятся к различным классам. Такие системы называются непрерывнодискретными системами. Пример: система управления технологическим процессом. ЭВМ – дискретная система, под ее воздействием все остальные части (непрерывные и импульсные) находятся под действием управляющих сигналов лишь в дискретные моменты времени; сигналы с их выхода поступают в ЭВМ тоже только в дискретные моменты времени. Выбор типа АС в каждом конкретном случае зависит от того, насколько система удовлетворяет предъявляемым к ней техническим требованиям. Основное требование можно сформулировать так: сохранение заданной функциональной зависимости между управляющими и регулируемыми переменными на входе и выходе системы. Поведение системы зависит существенно от величины и характера воздействий на систему. При рассмотрении условий работы системы нужно выбрать такой вид воздействия, который был бы типичным или наиболее благоприятным [2]. Чаще всего в качестве типового выбирают ступенчатое воздействие или единичный скачок (рис. 1.5). Рис. 1.5. Ступенчатое воздействие Типовое воздействие в виде  – функции – это импульс малой продолжительности по сравнению с временем переходного процесса (рис. 1.6).  – функция рассматривается как производная единичной ступенчатой функции. 17 Рис. 1.6.  – функция В отдельных случаях типовое воздействие может быть сложной формы, например, график, форма которого определяется экспериментально (рис. 1.7). Рис. 1.7. Типовое воздействие И еще отметим один момент. Любое воздействие вызывает в системе процесс, по окончании которого система переходит в новое состояние. Типы переходных процессов приведены на рис. 1.8. Рис. 1.8. Типы переходных процессов: 1- колебательный, характеризуется наличием 2 – х и более чисел перерегулирований; 2- малоколебательный, характеризуется одним перерегулированием; 3- без перерегулирования, характеризуется тем, что значение отклонения регулируемой величины остается меньше установившегося значения; 4- монотонный, характеризуется тем, что скорость изменения регулируемой величины не меняет знак в течение всего переходного процесса. 18 Требования, которые предъявляются к поведению системы:  устойчивость системы;  значение ошибки в установившемся режиме;  поведение системы в переходном процессе;  динамическая точность системы. Кроме этого, обязательно учитывают такие показатели как расход энергии; экономическая эффективность системы регулирования; стоимость оборудования; надежность и др. Наиболее существенное требование – устойчивость системы. Система должна быть устойчива, устойчивость не должна нарушаться при изменении в определенных пределах внешних и внутренних воздействий (температура окружающей среды, напряжение питания и др.). Запас устойчивости должен быть достаточным, таким, чтобы обеспечивалась возможность замыкания или размыкания цепей воздействия. 1.6. Примеры систем автоматического управления и регулирования В разомкнутых системах информация направлена только от управляющего устройства к объекту управления, т.е. вырабатываемые в системе управляющие воздействия не зависят от состояния объекта. Типичные примеры – станки с программным управлением, установки для сверления печатных плат, системы управления выведением баллистических ракет на околоземную орбиту. В промышленности широко распространены разомкнутые системы автоматического контроля или информационноизмерительные системы, которые выполняют функции автоматической маркировки, сортировки или отбраковки изделий. В замкнутых системах управляющие воздействия вырабатываются с учетом сигналов обратной связи, которые обрабатываются по определенным алгоритмам в соответствии с текущими и прогнозируемыми изменениями состояния объекта [3]. САР – система, стремящаяся сохранять в допустимых пределах отклонение между требуемым и действительным изменением регулируемой переменной при помощи их сравнения на основе принципа обратной связи и использования получающегося при этом сигнала для управления источником энергии. САУ – система, состоящая из объекта управления и управляющей подсистемы, подчиненных общей цели управления. Назначение системы заключается в формировании управляющих воздействий на основе алгоритмов и исходя из цели и отработке этих воздействий с необходимой точностью при помощи САР в условиях помех и действия возмущений. 19 САУ и САР нашли широкое применение в различных отраслях промышленности и народного хозяйства. По назначению системы делятся на: - системы автоматической сигнализации для извещения обслуживающего персонала о состоянии оборудования, о протекании технологических процессов; - системы автоматического контроля различных параметров, характеризующих протекание технологических процессов; - системы автоматической блокировки и защиты для предотвращения возникновения аварийных ситуаций; - системы автоматического пуска и остановки для включения, останова различных двигателей, приводов по заранее заданной программе. В качестве примера рассмотрим САР температуры нагревательной печи. Как осуществляется стабилизация или автоматическое регулирование температуры? Температура  в электропечи должна быть постоянной в условиях неопределенности начальных условий и возмущений (рис. 1.9). Рис. 1.9. Схема САР температуры: 1 – усилитель; 2 – электрический привод; 3 – реостат; 4 – электропечь; 5 – высокотемпературный нагревательный элемент; 6 – термопара. Температура в печи  измеряется термопарой 6, которая дает напряжение U T , пропорциональное  . Сравнение этого напряжения с напряжением на входе системы осуществляется за счет цепи обратной связи. U 0 – напряжение на входе системы, определяет заданное значение  . Разность U  U 0  U T называется рассогласованием или отклонением, чаще называется ошибкой системы регулирования, которая пропорциональна отклонению температуры от требуемого значения U 0 . Разность напряжения усиливается усилителем 1 (электронным, магнитным, другим каким–либо). Напряжение с выхода усилителя U y подается на привод 2, который осуществляет перемещение движка реостата 3 и изменяет сопротивление r в электрической цепи нагрева печи 4. При увеличении сопротивления r ток в цепи уменьшается, температура в печи снижается и наоборот. 20 Характерная особенность САР в том, что разность между требуемым и действительным значениями регулируемой величины является причиной устранения этого рассогласования при помощи обратной связи. Обратную связь осуществляет измерительное устройство – термопара 6. Она – чувствительный элемент, реагирующий на действительное значение регулируемой величины (температуры  ) и формирующий сигнал ошибки U . Рассмотрим систему управления угловой скоростью двигателя постоянного тока, связанного с нагрузкой Н (рис. 1.10). Цель управления – поддерживать угловую скорость  двигателя Д, равной заданному значению * . Рис. 1.10. САУ угловой скоростью двигателя Измерительное устройство – тахогенератор (ТГ). Напряжение на выходе ТГ пропорционально угловой скорости якоря, который соединен механически с валом якоря двигателя Д2 и имеет то же число оборотов. Результат измерения  представляется как k , где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий ТГ как преобразователь вращательного движения в электрическое напряжение. Заданному значению должно соответствовать k* . Если k  k* (напряжение ТГ равно заданному значению), то управляющее воздействие оказывать не нужно. При этом напряжения на входе и выходе усилителя У равны 0; якорь двигателя Д1 и вал на выходе редуктора Р находятся в покое. Движок переменного резистора R 2 находится в некотором положении, при котором ток I , протекающий по обмотке возбуждения двигателя Д2, обеспечивает заданное значение * угловой скорости. Любые из возмущающих воздействий приведут к тому, что  будет отличаться от * . Например, скорость  уменьшилась под влиянием нагрузки, тогда на входе усилителя У возникает напряжение, равное e  k *   , якорь Д1 начнет вращаться и через редуктор Р перемещать движок переменного резистора R 2 . Направление перемещения движка должно быть таким, чтобы регулирующее   21 воздействие приближало регулируемую величину к заданному значению, т.е. движок должен перемещаться вверх. Перемещение приведет к увеличению тока возбуждения I и угловой скорости  . Воздействие до тех пор, пока  не станет равным * ; в момент, когда это произойдет e будет равно 0, Д1 остановится, движок переменного резистора займет новое положение, при котором ток I обеспечивает равенство регулируемой величины заданному значению. Если возмущающие воздействия приводят к увеличению  , то процесс управления будет протекать аналогично, но знак напряжения e изменится, направление вращения якоря Д1 и движение движка резистора R 2 тоже изменится. Угловая скорость вала двигателя Д2 может быть задана установкой движка резистора R 1 , постоянно поддерживается равной заданному значению, несмотря на наличие возмущающих воздействий. 22 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 2.1. Режимы работы линейных автоматических систем Для анализа процессов регулирования различают два режима работы: статический и динамический [1, 5]. Статический режим - это режим, при котором физические переменные, определяющие состояние системы, не меняются во времени и система находится в равновесном (устойчивом) состоянии. Существует раздел теории АС - статика, который рассматривает статические состояния. Динамический режим - это режим, при котором физические переменные, характеризующие систему, изменяются во времени. Динамический режим определяет процесс перехода системы из одного равновесного состояния в другое. Динамика - раздел теории АС, изучающий динамические режимы систем. Анализ статики АС сводится к определению величины статической ошибки системы. Статической ошибкой называют разность между заданным значением регулируемой величины и ее действительным значением в установившемся состоянии: =yзад-yуст . Отклонения происходят под влиянием различных возмущений, действующих на объект регулирования и на всю систему. Способность компенсировать возмущение и обеспечивать величину ошибки в заданных пределах определяет качество САР. Анализ статических режимов САР выполняется на основе статических характеристик системы и ее элементов. На АС действуют управляющие и возмущающие воздействия. Управляющие воздействия прикладываются ко входу системы, возмущающие порождаются рабочими процессами и факторами, находящимися вне системы. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции - реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на входное воздействие в отдельности, что позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом. Для определения качества переходных процессов САР используются типовые воздействия, чаще всего воздействие в форме единичного скачка на входе системы. Такое воздействие определяет, вернее, отражает ряд характерных режимов эксплуатации: пуск системы, резкое возрастание нагрузки и т. д. Исследование САР в условиях отработки единичного скачка на входе позволяет получить основные показатели динамических режимов для 23 большого класса систем, независимо от физической природы элементов, назначения системы, конструктивных особенностей. Пусть на вход системы подано воздействие, равное единичному скачку Xвх= 1. В зависимости от свойств системы выходной сигнал Y будет меняться по некоторому закону. Типовые формы выходного сигнала приведены на рис. 1.8. Устойчивость - это способность системы, выведенной из равновесного состояния, с течением времени вернуться в равновесное состояние. САР, имеющая неустойчивый расходящийся переходный процесс, не отвечает требованию устойчивости, непригодна для эксплуатации и должна быть обязательно стабилизирована. Основными показателями, характеризующими устойчивость САР в динамическом режиме, являются время переходного процесса tпп; максимальное перерегулирование max; колебательность . Время переходного процесса - это время от начала приложения типового воздействия до установления выходной величины Y(t), значение которой будет отличаться от заданного не более, чем на величину допустимой ошибки. Maксимальное перерегулирование - это максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения в течение времени переходного процесса, которое обычно выражается в %:  max  X max  X уст Х уст  100% . Колебательность  - число полных колебаний выходной величины около установившегося значения в течение времени переходного процесса. Значения  ,tпп, max определяются исходя из требований, предъявляемых к САР, и должны быть выполнены и обеспечены при разработке системы. 2.2. Математическое описание автоматической системы. Передаточная функция Математическое описание или получение математической модели системы начинается с разбиения системы на звенья и описания этих звеньев. Составляются уравнения, связывающие входные и выходные величины звеньев, а затем по уравнениям звеньев составляется уравнение всей системы. Рассмотрим замкнутую автоматическую систему, в которой все дифференциальные уравнения звеньев известны (рис. 2.1): 24 (t) x(t) y(t) ДУ3 ДУ2 ДУ1 ДУ4 ДУ5 Рис. 2.1. Структурная схема системы Уравнение, связывающее вход и выход, имеет вид: a0 d n y(t ) d n1 y(t ) d m x(t ) d m1 x(t )  a  ...  a y ( t )  b  b  ...  bm x(t ) , 1 n 1 dt n dt n1 dt m dt m1 (2.1) где a i , b i - постоянные коэффициенты уравнения, определяемые физическими параметрами звена (системы); x(t) - входная переменная; y(t) - выходная переменная. Уравнения представляются не в действительных переменных, а в их изображениях по Лапласу, что существенно упрощает их решение. Исходная переменная x(t) называется оригиналом, ее преобразование по Лапласу - изображением x(p), где p - комплексная переменная, отвечающая условиям преобразования Лапласа. Преобразование функций-оригиналов в функции комплексных переменных выполняется в соответствии с преобразованием Лапласа:  X(p)   x ( t )e  pt dt , (2.2) где p = j . Итак, x(t) – оригинал, X(p) – изображение x(t) и обозначается: x(t)  X(p) или X(p) = L x(t) . Пример: x(t) = 1. Изображение равно:  X(p)   x ( t )e  pt dt  1  pt t   1 e  . t 0 p p Интеграл (2.2) называют интегралом Лапласа, ему присущи некоторые свойства, например, линейность, смещение в комплексной плоскости, действительной области и др. Нам понадобится одно из них – изображение производной: 25 1. y(t) = dx/dt ; y(p) = px(p) ; 2 2 2. y(t) = d x/dt ; y(p) = p2x(p); ... ... ... n n n. y(t) = d x/dt ; y(p) = pnx(p); Обратный переход от изображений Лапласа к оригиналам выполняется на базе обратного преобразования Лапласа. Используя преобразование Лапласа, дифференциальное уравнение (2.1) (уравнение в оригиналах) можно представить в виде алгебраического уравнения (уравнение в изображениях): (a0pn+ a1pn-1+...+ an-1p+an)y(p)= (b0pm+ b1pm-1+...+ bm-1p+bm)x(p) . Методы исследования АС на базе уравнений в изображениях хорошо разработаны и позволяют определить показатели качества АС и параметры звеньев. Передаточной функцией непрерывной линейной динамической системы называется отношение преобразования Лапласа переменной y(t) на выходе системы к преобразованию Лапласа переменной x(t) на входе: W ( p)  y(p) b 0 p m  b1p m 1  ...  b m 1p  b m .  x ( p) a 0 p n  a1p n 1  ...  a n 1p  a n (2.3) Эта зависимость позволяет записать важное соотношение: Y(p)=W(p) X(p) , т.е. изображение выходного сигнала равно изображению входного воздействия, умноженному на передаточную функцию (ПФ) системы. Некоторые свойства передаточной функции: 1. ПФ – дробно-рациональная функция, причем в реальных системах порядок числителя m не превышает порядка знаменателя n m  n . 2. Коэффициенты ai , bi – вещественны, т. к. представляют собой функции от вещественных параметров системы. 3. Значения p, при которых ПФ превращается в 0, называются нулями ПФ. Нули являются корнями уравнения b0 pm + b1 pm-1 + . . . + bm= 0. 4. Значения p, при которых ПФ обращается в , называются полюсами ПФ. Полюсы являются корнями уравнения 26 a0 pn + a1 pn-1 + . . . + an= 0. Таким образом, передаточная функция W(p) имеет m нулей и n полюсов, которые могут быть действительными или комплексно сопряженными, поэтому на комплексной плоскости их можно представить в виде: Мнимая ось Действит. ось 0 – нуль; - полюс . Нули и полюса называются левыми (правыми), если располагаются в левой (правой) части комплексной плоскости. И называются нейтральными (нулевыми), если лежат соответственно на мнимой оси или в начале координат. Показатели передаточной функции: 1. Порядок n, равный степени знаменателя ПФ. 2. Степень r , равная разности степеней знаменателя n и числителя m. 3. Индекс апериодической нейтральности Sa, равный числу нулевых полюсов. 4. Индекс колебательной нейтральности Sk, равный числу мнимых корней. 5. Индекс неустойчивости Sk, равный числу правых полюсов. Перечисленные показатели содержат ценную информацию о свойствах исследуемой САР. Передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы. Имея передаточную функцию любой системы можно составить дифференциальное уравнение. Если система имеет одну управляемую величину, то для ее полного описания достаточно одно уравнение, выражающее зависимость между выходными и входными величинами. Например, для системы с входным воздействием x и возмущением e выходной сигнал равен y  Wyx  X  Wye  e . 27 Это уравнение в символической форме связывает величину Y с входными величинами. Вычислив Wyx и Wye , переходят к обычной форме записи дифференциальных уравнений. 2.3. Частотные характеристики систем Важное значение для описания линейных систем имеют частотные характеристики [3,10]. Они получаются при рассмотрении вынужденных движений системы при подаче на ее вход гармонического воздействия. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции - реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на входное воздействие в отдельности, что позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом. Частотную функцию системы W( j) получают, подставляя P  j в передаточную функцию W(p) системы: j y (  ) b0 ( j)m  b1 ( j)m 1  ...  bm Y ( j)  e W ( j)   a0 ( j)n  a1 ( j)n 1  ...  an X ( j)  e j x ( ) . (2.4) Частотной передаточной функцией (ЧПФ) W( j) называется комплексное число, модуль A() которого равен отношению модуля числителя выходной величины Y к модулю знаменателя входной величины X , аргумент ( j) сдвигу фазы выходной величины по отношению к входной W( j)  A()e j()  U()  jV() . К частотным характеристикам относятся: амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) амплитудная частотная характеристика (АЧХ) фазовая частотная характеристика (ФЧХ) вещественная частотная характеристика мнимая частотная характеристика логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) АФЧХ W(j) можно представить в виде W ( j )  (2.5) W( j) ; A() ; () ; U() ; V() ; L() ; () ; c( )  jd ( ) c( )  jd ( )  k ( )  jm( )   U ( )  jV ( ) , k ( )  jm( ) k 2 ( )  m2 ( ) 28 где U() – действительная частотная характеристика, V() – мнимая частотная характеристика. АФЧХ W(j) - это кривая, описываемая концом вектора W( j) на комплексной плоскости U  jV (годограф вектора W( j) при изменении частоты  от - до +). Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, равна модулю A() . Угол между этим вектором и положительным направлением вещественной оси равен фазе () (рис. 2.2). Рис. 2.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика Амплитудная частотная характеристика A() равна A()  W( j)  U 2 ()  V 2 () . (2.6) АЧХ показывает, как система пропускает сигнал различной частоты. Фазовая частотная характеристика  ( ) описывается как:  V ( )   . U ( )   ( )  arg W ( j )  arctg  (2.7) ФЧХ  ( ) - это кривая изменения сдвига фаз выходной величины по отношению к входной в зависимости от частоты  . Характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах. Частотные характеристики отличаются показателями: A () 1. Показатель колебательности M  max , который описывает A0 склонность системы к колебаниям. Чем выше M, тем менее качественна система. В реальных системах 1.1  M  1.5 . 2. Резонансная частота р соответствует Аmax . На этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление. 29 Полоса пропускания системы от 0 до 0 , при которой выполняется условие A()  0.707 A(0) . 4. Частота среза ср – частота, при которой АЧХ принимает значение, равное 1, т. е. А()=1. Частота среза определяет время управления Ту (время переходного процесса): 2 T y  (1  2) .  cp Чем шире полоса пропускания, тем система более быстродействующая. Если полоса пропускания для всех частот постоянна, то ср=0 и система безинерционна (Ту=0). В результате входные сигналы отрабатываются без искажения. Кривые АФЧХ, АЧХ, ФЧХ обладают свойством симметрии, поэтому кривые для всего диапазона частот       можно построить по результатам вычисления кривых для положительных частот. Логарифмические частотные характеристики подразделяются на:  логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) L() ;  логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ) () . ЛАЧХ L() называется кривая (рис. 2.3), построенная в логарифмическом масштабе частот в соответствии с выражением: (2.8) L()  20 lgA() . 3. Единицей измерения L() является децибел. По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единицей измерения является декада отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Начало координат берется в точке  =1, т. к. log 1=0 (исключая точку =0, поскольку log 0 =). Рис. 2.3. ЛАЧХ системы 30 Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза с , которая определяется из условия L()  0 или A()  1. Ось абсцисс L( )  0 соответствует значению A()  1, когда сигнал проходит без изменения. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям A( )  1 , т.е. усилению амплитуды сигнала; нижняя полуплоскость ослаблению амплитуды сигнала. ЛФЧХ () - это частотная характеристика  ( ) , построенная в логарифмическом масштабе частот (рис. 2.4) Рис. 2.4. ЛФЧХ системы В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза систем на основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют ломаные линии и легко строятся вручную. Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой наклон, наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и знаменателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m, а знаменатель – n, то наклон последней асимптоты равен 20(n-m) Дб/дек. С появлением компьютерных средств расчета практическая ценность ЛАЧХ и ЛФЧХ несколько снизилась, однако они и по сей день остаются простейшим инструментом прикидочных расчетов для инженеров. Пример: Построить частотные характеристики системы с асинхронным двигателем, если передаточная функция равна: W ( p)  D , (1  TM p) p Где TM - электромеханическая постоянная двигателя, TM = 0.075 с; 31 D = KC Ky / (CЕ jP), Кy – коэффициент усиления усилителя, Ky = 64; KС – передаточный коэффициент преобразующего устройства, KC = 1 в/град; СЕ скоростной коэффициент двигателя, СЕ = 0.35 в/(рад/с); jP = передаточное число редуктора, jP = 408. Решение: Подставив численные значения параметров системы, получим: D 1 64  57,3  25,7 0,35  408 W ( p)  1 C 25,7 , . p (1 0,075 p) Подставим p = j; получим частотные характеристики системы: e 25,7  U ()  jV ()  A() j (1  0,075 j) где вещественная частотная характеристика равна: W ( j)  U ( )   D TM 2 1  TM  2  25,7  0,075 1  0,075  2 2  j () 1,93 1  5,63103  2 , ; мнимая частотная характеристика равна: V ( )   j D   TM2  3  j 25,7   5,63  103 3 ; амплитудная частотная характеристика равна: A ( )  U 2 ( )  V 2 ( )  D  2 2 1  TM   25,7  1  0,075  2 2 ; фазовая частотная характеристика равна:     arctg  V ( )   arctg     arctg  TM    U ( )  1   1   .  0,075   Подставляя различные значения , рассчитываем U(), V(), A(), (). Результаты вычислений сведем в таблицу 2.1. Таблица 2.1. Результаты вычислений  U() -1,93 V() - A()  () -900 32 1 -1,92 -25,6 25,6 -94,50 2 -1,88 -12,55 12,7 -98,50 5 -1,65 -4,51 4,8 -110,50 10 -1,24 -1,65 2,06 -1280 20 -0,595 -0,1665 0,62 -1580 50 -0,0129 -0,0193 0,0232 -1650 Частотные характеристики W(j), A() и () приведены на рис. 2.5. Рис.2.5. Частотные характеристики системы Логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится в соответствии с формулой: L ( )  20 lg A ( ) и состоит из двух асимптот. При частоте, меньшей сопрягающей частоты с(), наклон составляет -20 (дб/дек), при частоте с наклон –40 (дб/дек). Сопрягающая частота равна: С  1 1   13,3 C 1 (1,125 дек ) . TM 0,075 33 Логарифмическая фазовая частотная характеристика представляет собой фазовую характеристику апериодического звена, смещенную на 900 вниз по оси ординат за счет влияния интегрирующего звена (вызывает постоянный сдвиг фазы на -900 ). Характеристики представлены на рис. 2.6. Рис. 2.6. Логарифмические частотные характеристики 34 3. СТРУКТУРА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 3.1. Структура автоматической системы Автоматическая система состоит из отдельных элементов, которые функционируют так, чтобы регулируемую величину поддерживать на заданном уровне или изменять ее по определенному закону. Элементы системы со связями образуют структуру АС. Итак, СТРУКТУРА – это совокупность частей автоматической системы, называемых элементами, и путей передачи воздействий между ними. Структуры бывают алгоритмические, функциональные, конструктивные. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА – структура, где каждая часть предназначена для выполнения определенного алгоритма преобразования ее входной величины, являющегося частью алгоритма функционирования САР. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СТРУКТУРА – структура, в которой каждая часть предназначена для выполнения определенной функции: получение информации, ее переработка, формирование закона регулирования; передача, сравнение сигналов, преобразование формы представления информации. КОНСТРУКТИВНАЯ СТРУКТУРА – структура, где каждая часть представляет самостоятельное конструктивное целое. Графическое изображение структуры системы называется структурной схемой. Элементы изображаются прямоугольниками с указанием условных обозначений. Пути передачи воздействий между элементами изображают линиями со стрелкой в направлении передачи воздействия. Типовая структурная схема системы приведена на рис. 3.1 [1]. Рис. 3.1. Типовая структурная схема САР Элементы, которые выполняют основные функции: объект регулирования ОР; измерительное устройство ИУ; задающее устройство ЗУ; суммирующее устройство СУ; устройство, формирующее закон регулирования УФЗР; усилительное устройство УУ; исполнительный механизм ИМ; регулирующий орган РО. Связь структурной схемы, образуемую основной цепью воздействия между участками цепи, называют ОСНОВНОЙ СВЯЗЬЮ. Дополнительная связь, направленная от выхода ко входу рассматриваемого участка, называется ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. 35 ЗУ оказывает воздействие gt  на вход системы. Причем, величина gt  может быть постоянной (если необходимо поддерживать постоянное значение регулируемой величины Y ), или изменяется по определенному закону, если регулируемая величина должна изменяться по этому закону. Регулируемая величина сравнивается с задающей величиной в суммирующем устройстве СУ. Обратная связь с выхода системы на ее вход называется ГЛАВНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. УФЗР вырабатывает вид (закон) воздействия на регулируемую величину с таким расчетом, чтобы как можно быстрее привести ее к заданному значению. Затем сигнал усиливается усилительным устройством УУ. Исполнительный механизм ИМ через регулирующий орган РО в соответствии с выработанным законом регулирования воздействует на регулируемый объект ОР, восстанавливая заданное значение регулируемой величины. В установившемся состоянии при заданном значении регулируемой величины:   gt   Y  0 . Структурная схема, в которой за входную величину принимается задающее воздействие gt  , а за выходную величину регулируемая величина Yt  , называется структурной схемой системы по каналу задающего воздействия (рис. 3.2). Рис 3.2. Типовая структурная схема САР по каналу задающего воздействия При работе на ОР поступают различные возмущающие воздействия f t  . Если за входную величину принимается возмущающее воздействие f t  ,а за выходную величину – регулируемая величина Yt  , то структурная схема называется структурной схемой системы по каналу возмущающего воздействия (рис. 3.3). Рис. 3.3. Структурная схема по каналу возмущающего воздействия 36 Приведенные структурные схемы показывают управление по ошибке (или по рассогласованию), т.е. регулятор начинает действовать, если управляемая величина отклонилась от заданного значения. Обратная связь называется отрицательной, потому что сигнал обратной связи вычитается из задающего сигнала. Положительная связь увеличивает рассогласование, т.е. стремится «раскачать» систему. На практике положительная обратная связь используется, например, в генераторах для поддержания незатухающих колебаний. В разомкнутых системах регулятор не получает информацию о реальном состоянии объекта, поэтому управление возможно по нужной программе управления, не гарантировать выполнение задания невозможно из-за влияния неизвестных факторов. Разомкнутые системы применяются на практике, например, информационное табло на вокзале. 3.2. Схемы автоматических систем Различают функциональные и структурные схемы автоматических систем. Функциональная схема - это такая схема, в которой каждому функциональному элементу соответствует определенное звено. Схема показывает, из каких элементов состоит система, их функциональное назначение (место и роль в системе), характер связей между ними. Например, для системы, приведенной на рис. 1.9, ее функциональная схема может быть изображена в виде, показанном на рис. 3.4.  u (t ) Задатчик программы u u 1 М У u 2 ЭД Ред. Термопара s Реост.  r Эл. Печь (УО) Рис. 3.4. Функциональная схема системы Функциональная схема имеет простое графическое изображение. Из схемы виден не только элементный состав системы, но и принцип управления. Легко установить, что объектом управления является электрическая печь, температура в которой измеряется с помощью термопары. Присутствие в схеме элемента сравнения подчеркивает, что в системе реализован фундаментальный принцип управления по отклонению на основе обратной связи. Очевидно также, что реостат здесь выполняет функцию регулирующего органа, а электродвигатель с редуктором служит исполнительным механизмом управляющего устройства системы. На функциональной схеме прохождения 37 сигналов управления в прямом и обратном направлениях указаны соответствующими стрелками. Структурная схема - это схема, в которой каждой математической операции преобразования сигнала соответствует определенное звено. В функциональной схеме САР разбивается на звенья, исходя из выполняемых функций. Для математического описания систему надо разбить на простые звенья, но условие - звенья должны обладать направленностью действия, то есть передавать воздействие в одном направлении со входа на выход. В результате разбиения на звенья направленного действия математическое описание каждого из них составляется без учета связей с другими элементами. Математическое описание системы получается как совокупность независимо составленных уравнений, дополненных уравнениями связей между звеньями. Структурная схема системы представляет собой прямоугольники, изображающие звенья, и стрелки, соединяющие выходы и входы согласно связям между элементами. Внешние воздействия изображаются стрелками, приложенными к отдельным звеньям системы. Уравнение записывается внутри прямоугольника в виде передаточной функции. Для системы (рис. 1.9) структурная схема выглядит следующим образом (рис. 3.5). х5 F ( p) W ( p) н х 0 ( p)  x х2 W ( p ) му х3 W ( p ) эдр х4 W ( p) R х6 Y ( p) W ( p ) уо х1 W ( p )ТГ Рис. 3.5. Структурная схема системы Передаточные функции элементов обозначены: W ( p) му  W ( p) уо ; х0 ( p) , F ( p) , Y ( p) - обозначение управляющего и возмущающего воздействий, выходного сигнала соответственно в изображениях по Лапласу. В статике каждое звено описывается алгебраическим уравнением, устанавливаются связи между входными и выходными величинами в установившихся режимах. В динамике звенья описываются дифференциальными уравнениями. В реальных системах все звенья нелинейны. Однако математические модели нелинейных систем могут быть преобразованы путем линеаризации характеристик звеньев и систем. 38 В теории автоматического регулирования используют 2 метода линеаризации, позволяющих заменить нелинейные математические модели их линейными приближениями. Первый способ: нелинейные функции раскладываются в ряд Тейлора в окрестностях точек, характеризующих рассматриваемый режим. При этом нелинейные части рядов, содержащих отклонения величин от их значения в точке разложения во второй, третьей и более высоких степенях, отбрасываются. Пренебрежение нелинейными остатками рядов Тейлора позволяет заменить нелинейное описание линейным. Но если характеристики существенно нелинейны, то такой метод линеаризации неприменим. Второй способ линеаризации нелинейных характеристик сводится к тому, что из уравнений звеньев, составленных для режима малых отклонений переменных от равновесных состояний, вычитаются уравнения равновесных состояний. Полученные уравнения в приращениях дают линеаризованное описание процессов, протекающих в САР. Итак, структурная схема - это графическое представление математической модели системы в виде соединений звеньев, условно обозначенных прямоугольниками с указанием входных и выходных величин, а также передаточной функции или уравнения этого звена. Передаточная функция (уравнение) записывается внутри прямоугольника. Сравнивающие элементы обозначаются кругом, разделенным на секторы. Сектор, на который величина подается с обратным знаком, зачерняется (или ставится знак минус). Различают одноконтурные и многоконтурные структурные схемы. Рассмотрим правила вычисления передаточных функций таких схем. 3.3. Правила преобразования структурных схем автоматических систем Любая АС может быть представлена как совокупность типовых динамических звеньев, соединенных последовательно, параллельно, смешанно, охваченных обратными связями и т.д. [4,9]. Рассмотрим правила преобразования структурных схем. Последовательное соединение звеньев – это соединение, при котором выходные величины предшествующего звена являются входными величинами для последующего звена (рис. 3.6). 39 Рис. 3.6. Последовательное соединение звеньев Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций звеньев: n Wпос p    Wi p , i 1 (3.1) где i - номер звена, i  1n . Параллельное соединение – соединение, при котором на вход всех элементов подается одно и то же воздействие, а выходные величины складываются (рис. 3.7). Рис. 3.7. Параллельное соединение звеньев Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение: n Wпар p    Wi p  . i 1 (3.2) Обратное соединение - соединение, когда звено охвачено обратной связью; выходной сигнал второго звена подается на вход первого (рис. 3.8). 40 Рис. 3.8. Обратное соединение звеньев Участок цепи от точки приложения входного воздействия X до точки съема выходной величины Y называется прямой цепью. Участок от съема величины Y до сумматора называется обратной связью. Если Y1 вычитается из входного воздействия ( e  X  Y1 ), то обратная связь называется отрицательной, если e  X  Y1 , то обратная связь называется положительной. Передаточная функция звена равна Wp   Wпр p  1  Wпр p   Wос p  . (3.3) Знак '' ' берется в случае отрицательной обратной связи, `–`в случае положительной обратной связи. Если звено охвачено единичной обратной связью, то передаточная функция равна Wp   Wп p  . 1  Wп p  (3.4)  Перенос сумматора: а) перенос сумматора по ходу сигнала (рис. 3.9). Рис. 3.9. Перенос сумматора по ходу сигнала При переносе сумматора в этом случае добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор; б) перенос сумматора против хода сигнала (рис. 3.10). 41 Рис. 3.10. Перенос сумматора против хода сигнала При преобразовании добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор.  Перенос узла: а) перенос узла по ходу сигнала (рис. 3.11): Рис. 3.11. Перенос узла по ходу сигнала При преобразовании добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел; б) перенос узла против хода сигнала (рис. 3.12). Рис. 3.12. Перенос узла против хода сигнала При преобразовании добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел.  Перестановка узлов и сумматоров Узлы и сумматоры можно менять местами (рис. 3.13, 3.14). 42 Рис. 3.13. Перестановка узла Рис. 3.14. Перестановка сумматора 3.4. Вычисление передаточной функции одноконтурной системы Замкнутая система называется одноконтурной, если при ее размыкании получается цепочка из последовательно соединенных звеньев или цепь, не содержащая параллельных соединений или обратных связей (рис. 3.15). Рис. 3.15. Одноконтурная система Используя правила преобразования, получаем передаточную функцию одноконтурной системы относительно входа X и выхода Y : Wxy ( p)  Wпр ( p) 1  W p ( p) , (3.5) где Wпр ( p) - передаточная функция прямой цепи; Wp ( p) - передаточная функция разомкнутой системы. Пример: Определить передаточную функцию относительно X и Y системы, приведенной на рис. 3.15. Согласно формуле (3.5) Wyx ( p)  Wпр ( p) 1  W p ( p) , (3.6) 43 Передаточная функция прямого участка WПР ( p) равна: WПР ( p)  W1 ( p) W2 ( p) . Передаточная функция разомкнутой системы WР ( p) равна: Wp ( p)  W1 ( p) W2 ( p) W3 ( p) . Поэтому Wyx ( p)  W1 ( p) W2 ( p) 1  W1 ( p) W2 ( p) W3 ( p) (3.7) . Передаточная функция относительно входа X и выхода U равна Wux ( p)  WПР ( p) 1  W p ( p) , где Wпр ( p)  1 , поэтому WUX ( p)  1 1  W1 ( p) W2 ( p) W3 ( p) . (3.8) 3.5. Вычисление передаточной функции многоконтурной системы Замкнутая система называется многоконтурной, если при ее размыкании получается цепь, содержащая параллельные или обратные связи, или если кроме главной обратной связи имеются параллельные или местные обратные связи. Различают многоконтурные системы с перекрещивающимися связями и без перекрещивающихся связей. Многоконтурная система не имеет перекрещивающихся связей, если любые два контура, образованные параллельными или обратными связями, не имеют общих участков, или один участок находится внутри другого (рис. 3.16, 3.17). 44 Рис. 3.16. Многоконтурная система без перекрещивающихся связей Рис. 3.17. Многоконтурная система без перекрещивающихся связей Многоконтурная система имеет перекрещивающиеся связи, если два каких-либо контура, образованных параллельными или обратными связями, имеют общий участок, причем ни один из них не вложен внутрь другого (рис. 3.18). Рис. 3.18. Многоконтурная система с перекрещивающимися связями Прежде чем начать вычисление передаточной функции, необходимо избавиться от перекрещивающихся связей путем переноса сумматоров и узлов; затем, используя правила параллельного и последовательного преобразования, преобразовать многоконтурную систему в одноконтурную, правила вычисления передаточной функции которой известны. Пример: Определить передаточную функцию многоконтурной системы с перекрещивающимися связями, приведенной на рис. 3.19. 45 Рис. 3.19. Многоконтурная система 4. Освободимся от перекрещивающихся связей: перенесем сумматор 3 через звено W2 и сумматор 2. То же самое выполним с сумматором 4 для того, чтобы можно было преобразовать обратное соединение звеньев 2 и 4. Получим схему, изображенную на рис. 3.20. Рис. 3.20. Преобразованная схема системы 5. Преобразуем параллельные и последовательные соединения и получим одноконтурную систему, приведенную на рис. 3.21, где W   W1  W4 , W2 W   W2 1  W2W3 . Рис. 3.21. Одноконтурная схема системы (3.9) 46 6. Для одноконтурной системы передаточные функции по задающему и возмущающему воздействиям равны: Wyx  W W  , 1  W W  Wye  W  . W2 1  W W  (3.10) 47 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Для эффективного функционирования автоматической системы необходимо обеспечить выполнение трех основных операций, осуществляемых устройством управления: измерение выходных переменных, задающих и возмущающих воздействий и формирование информации о состоянии и режиме работы объекта автоматизации; анализ этой информации и формирование командных сигналов управления; восприятие сигналов управления и осуществление управляющих воздействий на органы управления объектом. В этой связи технические средства автоматических систем разделяют на три группы. В первую группу входят устройства измерения, преобразования и передачи информации: измерительные преобразователи, датчики, задатчики. Ко второй группе относятся технические устройства, предназначенные для формирования сигналов управления: функциональные преобразователи, логические, программные и вычислительные устройства, регуляторы. Третью группу составляют исполнительные устройства – двигатели сервоприводов. Для выбора технического решения при проектировании автоматической системы конструктор должен располагать базой данных, содержащей сведения о свойствах и технических характеристиках различных устройств автоматики. В различных областях машиностроения и приборостроения используется множество разнообразных автоматических устройств и приборов. Существует широкая номенклатура средств одного и того же функционального назначения, различающихся принципом действия, надежностью, стоимостью и другими показателями качества и эффективности. Обоснованный выбор их определяется назначением автоматической системы, требованиями к техническому уровню объекта и многими другими факторами. 4.1. Классификация элементов Автоматическая система состоит из ряда элементов, выполняющих различные функции. Рассмотрим основные элементы, из которых формируется автоматическая система [1,9]. Все элементы (их большое количество) подразделяются по функциональному назначению: 1. Преобразователи. К ним относятся: а) измерительные преобразователи - элементы, измеряющие значения регулируемой величины и преобразующие их в эквивалентные значения сигнала другой физической природы, более удобной для последующей передачи и использования. Например, фотодатчик – преобразует световую информацию в электрический сигнал. б) функциональные преобразователи, которые при поступлении на вход сигнала формируют на выходе изменение сигнала по определенному закону. 48 2. Усилители предназначены для усиления поступающих сигналов. Различают усилители сигнала или его мощности, например, выходной сигнал с фотодатчика недостаточен для управления схемой преобразования сигнала, поэтому в системе применяется усилитель. 3. Стабилизаторы – элементы, поддерживающие значения сигнала на определенном уровне и сглаживающие пульсации сигнала. 4. Коммутирующие элементы (распределители) – приборы, переключающие цепи с выхода какого-либо элемента на входы других элементов. 5. Элементы сравнения – элементы, сравнивающие значения двух (или более) сигналов. Выходной сигнал равен разности входных сигналов. 6. Задающие элементы – элементы, с помощью которых оператор устанавливает заданное значение регулируемой величины. 7. Регулирующие элементы – устройства, воздействующие на объект регулирования для поддержания заданного значения регулируемой величины или изменения ее по заданному закону. 8. Исполнительные механизмы – элементы, которые действуют на регулирующий орган и перемещают его в сторону устранения отклонения регулируемой величины от заданного значения или закона ее изменения. Чаще всего это устройства, преобразующие электрический сигнал в движение. 9. Объект регулирования – объект, являющийся составным элементом (составной частью) автоматической сиcтемы. В простой системе объект системы совпадает с объектом физическим. В ранее рассматриваемой системе объектом регулирования является двигатель. В сложной системе (например, система контроля за температурой, давлением, расходом тепла) в функциональном смысле будет в каждой локальной системе свой объект регулирования. Все перечисленные элементы функционально имеются в каждой автоматической системе. Но физически отдельные элементы могут представлять единое целое, т.е. одно устройство выполняет функции нескольких элементов, например двигатель – функции исполнительного механизма и функционального преобразователя, который формирует изменение по линейному закону выходного сигнала. 4.2. Характеристики элементов В автоматических системах применяется разнообразие элементов, различающихся по назначению, принципу действия и другим признакам, тем не менее элементы имеют общие свойства и характеристики. Все элементы имеют вход и выход. Сигнал проходит только в одном направлении – от входа к выходу. Элементы изображаются прямоугольником с указанием входа и выхода стрелками (рис. 4.1). 49 Хвх Х вых Рис. 4.1. Элемент системы Только сравнивающее устройство изображается в виде окружности, разделенной на 4 сектора со стрелками входных и выходных сигналов (рис. 4.2). X в х2 X в х1 X в ых X в х3 Рис. 4.2. Сравнивающее устройство Если входных сигналов больше 3, то сравнивающее устройство изображается в виде двух или более окружностей с секторами и стрелками. Сектор, в который сигнал входит с отрицательным знаком, зачерняют. При поступлении на вход элемента ступенчатого сигнала Хвх 0 на выходе одновременно или с некоторым запаздыванием появляется сигнал, который имеет постоянное значение Хвых 0 или меняется в виде функции во времени Хвых (t). По истечении некоторого времени t=tуст выходной сигнал принимает постоянное значение Хвых (tуст)=Xвых 0 (рис. 4.3). Хвх Хвх0 Хвых а) t Хвых0 б) tуст t Рис. 4.3. Входной и выходной сигналы элемента системы Процесс перехода выходного сигнала элемента из одного установившегося состояния в другое установившееся состояние при 50 поступлении на вход элемента ступенчатого (поcтоянного) сигнала называется переходным процессом. Графическое изображение переходного процесса называется динамической характеристикой элемента. Зависимость выходного сигнала от входного при установившихся состояниях называется статистической характеристикой элемента. Более подробно рассмотрим динамические и статические характеристики элементов. 4.2.1. Статические характеристики Зависимость Хвых= f (Хвх) при t=tуст определяет свойства элемента системы в установившемся (статическом) состоянии. Если статическая характеристика линейна, т.е. Хвых = kXвх, то элементы с такой характеристикой называются линейными. Постоянный коэффициент k линейной статической характеристики равен тангенсу угла наклона характеристики к оси абсцисс (рис. 4.4): X Х k  в ых1  в ых2  tg . Х в х1 Х в х2 Xвых Хвых2 Хвых1 Хвх1 Хвх2 Хвх Рис. 4.4. Линейная статическая характеристика Коэффициент k называется коэффициентом передачи или коэффициентом усиления элемента. Если элемент – первичный измерительный преобразователь (датчик), то коэффициент передачи называется чувствительностью датчика. В общем случае статическая характеристика Хвых = f (Xвх) нелинейна (рис. 4.5): 51 Х в ых1 Х в ых2  . Х в х1 Х в х2 Xвых Хвых2 Хвых1 Хвх1 Хвх2 Хвх Рис. 4.5. Нелинейная статическая характеристика Если нелинейность характеристики небольшая, то в рабочем диапазоне (0  Хвх2) ее можно линеаризовать так, как показано на рис. 4.5. После линеаризации нелинейный элемент рассматривается как линейный. Элементы с существенно нелинейной статической характеристикой называются нелинейными. Существует огромное количество нелинейных характеристик, среди которых можно выделить типовые характеристики. Таким типовым характеристикам придают специализированную форму, упрощая анализ без внесения существенных погрешностей. Например, на рис. 4.6 приведена характеристика звена с ограничением (насыщением), это характеристика практически всех реальных усилителей (электронных, магнитных и пр.). Связь между входной и выходной величинами можно записать уравнениями: b,  bx  y , a  b, при x  a при x  a . при x  a Элемент с характеристикой с зоной нечувствительности приведен на рис. 4.7. Такая характеристика присуща электрическому двигателю, у которого входная величина – напряжение, приложенное к якорю; выходная величина – угловая скорость. Зона нечувствительности имеется в области малых значений входного напряжения. Значение x=а называется порогом чувствительности. Обычно порог чувствительности элемента при изменении х в положительном и отрицательном направлениях одинаков. Диапазон изменения х, при котором на выходе 52 элемента не появляется сигнал, называется зоной нечувствительности. В данном случае зона нечувствительности равна удвоенному значению порога чувствительности. Рис. 4.6. Статическая характеристика с насыщением Рис.4.7. Статическая характеристика с зоной нечувствительности Статическая характеристика выражается следующими уравнениями: 0,  y  k x  a , k x  a ,  при x  a при x  a , при x  a где k – коэффициент усиления звена, определяется наклоном характеристики. Статическая характеристика звена с зоной нечувствительности и ограничением – при малых входных сигналах это звено с зоной нечувствительности; при больших сигналах можно рассматривать как звено с ограничением (рис. 4.8). Рис. 4.8. Статическая характеристика Рис.4.9. Статическая характеристика нелинейного звена двухпозиционного реле Например, двигатель электрический, входная величина которого – напряжение, приложенное к двигателю; выходной величиной является угловая 53 скорость. При превышении входной величиной некоторого значения скорость растет пропорционально ей, далее наступает насыщение магнитопровода двигателя и рост прекращается. Характеристика описывается уравнениями:  b,  k  x  a1 ,  y   k  x  a1 , 0,  b, при x  a 2 при  a 2  x  a1 при a1  x  a 2 при x  a при x  a 2 . Статическая характеристика двухпозиционного реле без гистерезиса приведена на рис. 4.9. Такая характеристика присуща электромеханическому или магнитному реле, электронному реле, фрикционной муфте. Выходной величиной является скорость выходного вала фрикционной муфты, входная величина – это напряжение или ток, приложенные к обмотке управления. Уравнения, описывающие характеристику релейного элемента:  b, y b, при x  0 . при x  0 Поскольку в процессе работы автоматической системы характеристики элементов могут меняться (старение деталей, изменение условий эксплуатации), то и статическая характеристика меняется (рис. 4.10), где Хвых.н. – номинальное значение; Хвых.ф. – фактическое значение. Хвых Хвых.ф. 1 Хвых.н. 2 Хвх. Рис. 4.10. Реальная статическая характеристика Абсолютная погрешностью: разность называется абсолютной Хс = Хвых.ф. – Хвых.н. . статической 54 Названная погрешность не в полной мере характеризует работоспособность элемента. Пример: Хс = 10 единиц. Если начальное значение = 20 единицам, то вывод – элемент неработоспособен; а если Хном. = 500 единиц, то Хс – несущественна. Поэтому вводится относительная статическая погрешность — отношение абсолютной статической погрешности к номинальному значению выходного сигнала: C  X С . X вых.н Для оценки степени погрешности относительно какого-либо значения выходного сигнала используется приведенная статическая погрешность. Приведенная статическая погрешность — это отношение абсолютной статической погрешности к нормирующему значению выходного сигнала. За нормирующее значение принимается значение выходного сигнала, относительно которого необходимо оценить степень погрешности статической характеристики. Существует дифференциальный коэффициент передачи (усиления) — коэффициент передачи Kg на отдельном участке характеристики при достаточно малых изменениях входного сигнала. Геометрически он равен тангенсу угла наклона касательной к статической характеристике в точке, соответствующей данному значению входного сигнала. Чем больше нелинейность, тем больше различаются значения коэффициента передачи. Для линейной статической характеристики дифференциальный коэффициент передачи равен обычному коэффициенту Kg = k. Если в реальной системе элемент работает в условиях, когда входной сигнал меняется в больших пределах, то используется относительный коэффициент передачи, равный отношению выходного сигнала ко входному сигналу, выраженный в относительных единицах: kотн  (X вых / X вых ) . (X вх / Х вх ) 4.2.2. Динамические характеристики Переход элемента из одного состояния в другое происходит в течение некоторого времени. Характер изменения выходного сигнала определяется динамическими характеристиками. Вид динамической характеристики определяется формой изменения входного сигнала. Динамические характеристики подразделяются на временные и переходные. ВРЕМЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ называется графическое изменение 55 выходного сигнала автоматической системы при переходе из одного установившегося состояния в другое при типовом входном воздействии. За типовое воздействие чаще всего принимают ступенчатое (скачкообразное) единичное входное воздействие. Графическое изображение изменения выходного сигнала при переходе элемента из одного установившегося состояния в другое при единичном ступенчатом изменении входного сигнала называется ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ. Наиболее характерные изменения выходного сигнала при ступенчатом единичном входном сигнале приведены на рис. 4.11. Время, за которое выходная величина при монотонном изменении переходит из одного установившегося состояния в другое, равное коэффициенту передачи k элемента при поступлении на вход единичного ступенчатого сигнала, определяет инерционность элемента. Монотонные переходные процессы имеют экспоненциальный (1) или S-образный (2) характер изменения выходного сигнала (рис. 4.11б). Рис. 4.11. Переходные характеристики: а) входной сигнал; б) монотонный переходный процесс; в) колебательный переходный процесс. Аналитически экспоненциальный характер изменения выходного сигнала определяется как: t  ( )  Х в ых  k 1  e T    , (4.1) где k – коэффициент передачи элемента, Т – постоянная времени, определяющая степень инерционности датчика. При Хвх = 1 и t = , Xвых уст = k. Производная от выражения (4.1) имеет вид: 56  t –   T dXвых k  e dt = T . При t = 0 формула (4.1) запишется: dXвых k = tg  = dt T . Если провести касательную к экспоненциальной кривой в начале координат, то она пересечет прямую, параллельную оси абсцисс с ординатой k, равной установившемуся значению выходного сигнала в точке а, абсцисса которой равна Т – постоянной времени звена (рис. 4.11,б). Отсюда следует геометрический смысл постоянной времени: T= k , при t = 0 tg  . Из графика видно, что значение производной в любой точке определяет скорость изменения выходного сигнала в данной точке. Поэтому постоянной времени элемента Т с экспоненциальной динамической характеристикой называется время, в течение которого выходной сигнал достигнет установившегося значения, если он изменяется с постоянной скоростью, равной ее начальному значению после поступления единичного ступенчатого входного сигнала. Теоретически установившееся значение наступит в течение бесконечно большого значения времени, т.е. при t = . Практически уже при t = 3T выходная величина достаточно близко подходит к ее установившемуся значению  3T –   T Xвых =k 1 – e = k (1 – e–3) = 0.95k . Погрешность составляет всего 5%, что допустимо в большинстве практических случаев. Итак, за длительность переходного процесса принимается время, равное 3Т. При S-образном и колебательном переходных процессах за длительность переходного процесса tпп принимается время, в течение которого выходная величина принимает значение, равное установившемуся значению выходной величины с динамической погрешностью, принятой в технических условиях на данный элемент. 57 Динамическая погрешность бывает абсолютной и относительной. Абсолютная динамическая погрешность – это разность между текущим значением выходной величины в данный момент времени и ее установившимся значением: g = Xвых (t) – Xвых уст . (4.2) Относительная динамическая погрешность – это отношение абсолютной динамической погрешности к установившемуся значению выходной величины: g  g  вых. уст . Из (4.2) видно, что g является функцией времени. Переходный процесс закончится и динамическая погрешность будет равна статической погрешности. Переходный процесс кроме длительности характеризуется коэффициентом затухания, перерегулированием и степенью колебательности. Коэффициент затухания равен (рис. 4.11, в): =1– Хвых 3 Хвых 1 . Перерегулирование определяется максимальным отклонением выходной величины от установившегося значения: %= Хвых max – Хвых уст  100% . Хвых уст Степень колебательности – число колебаний выходной величины за время переходного процесса tпп . Чем больше число колебаний, тем больше степень колебательности процесса. 4.3. Типовые динамические звенья и их характеристики Элементы АС, рассматриваемые с точки зрения их поведения в статическом и динамическом режимах, называются звеньями. Типовое звено - это элемент, обладающий определенными динамическими свойствами, определяемыми формой переходного процесса Y при подаче на вход скачкообразного воздействия x (t ) . 58 Отметим, что математическое описание звена необязательно совпадает с описанием конкретного элемента АС; конкретный элемент может быть представлен как совокупность нескольких динамических звеньев и наоборот, одно звено может объединять несколько физических элементов; один и тот же физический элемент может быть представлен разными типами звеньев в зависимости от переменных, рассматриваемых в качестве входных и выходных величин. В зависимости от формы переходного процесса Y(t ) при подаче на вход скачкообразного воздействия x(t ) или от вида передаточной функции различают следующие типы динамических звеньев линейной АС: идеальное усилительное звено (пропорциональное, безинерционное); апериодическое звено первого порядка (инерционное); интегрирующее звено (идеальное, реальное); дифференцирующее звено (идеальное, реальное) и др. [1,3]. Коротко рассмотрим перечисленные типы звеньев системы.  Идеальное усилительное (безинерционное, пропорциональное) звено. Пример: редуктор (без явления люфта), безинерционный усилитель, делитель напряжения и т.д. Многие датчики могут рассматриваться как безинерционные звенья. Уравнение идеального усилительного звена y  kx , (4.3) где x - входная величина; y - выходная величина. Передаточная функция звена равна W(p)  k . (4.4) Частотная передаточная функция (рис. 4.12): W( j)  k . (4.5) Вещественная и мнимая частотные характеристики, амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 2.13) записываются как: U ()  k ; V ()  0; A()  k ; ()  0. Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики звена равны: (4.6) идеального 59 L()  20 lg k; ()  0. (4.7) На рис. 4.14 приведена ЛАЧХ усилительного звена. Передаточная и весовая функции (рис. 4.15) равны: h ( t )  k  1( t ), w ( t )  k  ( t ) . (4.8) Рис. 4.12. АФЧХ усилительного звена Рис. 4.13. АЧХ и ФЧХ усилительного звена Рис. 4.14. ЛАЧХ усилительного звена Рис. 4.15. Передаточная и весовая функции усилительного звена Отметим, что безинерционное звено – это идеализация реальных звеньев. В действительности, звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до . Обычно к идеальному сводится звено, если можно пренебречь влиянием динамических процессов в звене.  Апериодическое (инерционное) звено первого порядка Пример: двигатель любого типа, механические характеристики которого могут быть представлены в виде прямых (входная величина – подводимое напряжение, выходная величина – скорость вращения.) Дифференциальное уравнение апериодического звена имеет вид T dy  y  kx . dt (4.9) 60 В операторной форме уравнение (4.9) запишется как (Tp  1) y  kx . (4.10) Частотная передаточная функция (АФЧХ) (рис. 4.16): W( j)  k . Tj  1 (4.11) Из уравнения (4.11) следует, что вещественные и мнимые частотные характеристики, амплитудная и фазовая частотные характеристики равны U()  A()  k T 2 2  1 k 2 2 V()   ; T  1 ; kT T 2 2  1 ; (4.12) ()  arctg(T). На рис. 4.16 - 4.18 приведены АФЧХ, АЧХ, ФЧХ апериодического звена первого порядка, где п - полоса пропускания частот звена. Колебания частот, больших чем 1/Т (  1/Т), проходят с сильным ослаблением амплитуды; чем меньше постоянная времени T (меньше инерционность), тем шире полоса пропускания частот п данного звена. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис. 4.19) звена определяется как k 2 2 L()  20 lg  20 lg k  20 lg T  1 . T 22  1 Рис. 4.16. АФЧХ апериодического звена 61 Рис. 4.17. АЧХ апериодического звена Рис. 4.18. ФЧХ апериодического звена Рис. 4.19. ЛАЧХ апериодического звена, где пунктирной линией изображена действительная ЛАЧХ, сплошной – асимптотическая ЛАЧХ ЛАЧХ может быть представлена в виде двух асимптот (рис. 4.19): L()  20 lg k при L()  20 lg k  20 lg( T)  при 1 ; T  1 . T Эти асимптоты пересекаются друг с другом в точке   1/ T , которая называется сопрягающей частотой. 62 Действительная ЛАЧХ отличается от асимптотической максимальная ошибка будет при сопрягающей частоте: ЛАЧХ,   20 lg k  20 lg k  20 lg T 2 2  1  20 lg 2  3.03дБ .   В практических расчетах такой ошибкой пренебрегают и пользуются асимптотической ЛАЧХ. Переходная функция равна (рис. 4.20) h(t )  k (1  l  t T )  1(t ) . (4.13) Постоянная времени Т определяет наклон касательной в начале кривой и характеризует степень инерционности звена, т.е. длительность переходного процесса. Чем больше Т, тем больше длительность переходного процесса. На практике переходный процесс заканчивается через промежуток времени tпп  (3  4)T . Весовая функция w(t ) равна (рис. 4.21) t w(t )  k T l   (t ) . T Рис. 4.20. Переходная функция апериодического звена Рис. 4.21. Весовая функция апериодического звена (4.14) 63  Идеальное интегрирующее звено Пример: операционный усилитель в режиме интегрирования, интегрирующий привод, гироскоп и т.д. Дифференциальное уравнение идеального интегрирующего звена dy  kx . dt (4.15) pY  kx . (4.16) В операторной форме Передаточная функция звена W ( p)  k . p Частотная передаточная функция (АФЧХ) звена равна (рис. 4.22) W( j)  Вещественная выражениями: и мнимая k jk .  j  частотные U ( )  0; V ( )   характеристики k  . (4.17) определяются (4.18) Амплитудная частотная характеристика (рис. 4.23) A()  k .  (4.19) Фазовая частотная характеристика (рис. 4.24) ()  90 0 при   0 . (4.20) Логарифмическая амплитудная частотная характеристика равна (рис. 4.25) L()  20 lg k /   20 lg k  20 lg  . (4.26) 64 Логарифмическая фазовая частотная характеристика равна (рис. 4.26) ()  90 0 . Переходная и весовая функции идеального интегрирующего звена определяется как (рис. 4.27; 4.28): h(t )  k  t  1(t ) , (4.27) w(t )  k  (t ) . (4.28) Рис. 4.22. АФЧХ идеального интегрирующего звена. Рис. 4.23. АЧХ идеального интегрирующего звена Рис. 4.24. ФЧХ идеального интегрирующего звена 65 Рис. 4.25. ЛАЧХ идеального интегрирующего звена Рис. 4.26. ЛФЧХ идеального интегрирующего звена Рис.4.27. Переходная функция идеального интегрирующего звена Рис. 4.28. Весовая функция идеального интегрирующего звена  Реальное интегрирующее звено Пример: двигатель, y которого выходной величиной является угол поворота. Дифференциальное уравнение реального интегрирующего звена имеет вид 66 T d2y dt 2  dy  kx . dt (4.29) В операторной форме уравнение запишется в виде p(Tp  1)Y  kx . (4.30) Передаточная функция звена W ( p)  k . p(Tp  1) (2.31) Из (4.31) следует, что реальное интегрирующее звено можно представить как совокупность идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка, включенных последовательно. Поэтому справедливы соотношения: W(p)  W1 (p)  W2 (p); A()  A1 ()  A 2 (), ()  1 ()   2 (); k k2 W1 (p)  1 ; W2 (p)  ; p Tp  1 (4.32) k  k1k 2 . Частотная передаточная функция (АФЧХ) реального интегрирующего звена (рис. 4.29): W j  k . j(Tj  1) (4.33) Вещественная и мнимая частотные характеристики равны: U   kT 2 2 T  1 ; V    k 2 2 .  T  1 (4.34) Амплитудная частотная характеристика (рис. 4.30) записывается в виде: A  k  T 2 2  1 . Фазовая частотная характеристика (рис. 4.31) равна: (4.35) 67   90  arctgT при   0 .       90  arctg T  при    (4.36) Действительная логарифмическая амплитудная частотная характеристика равна (рис. 4.32)   k L  20 lg    20 lg k  20 lg   20 lg T 2 2  1 . 2 2     T   1  Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух асимптот: L   20 lg L   20 lg k при   1 / T  k T  2 2 , при   1 / T , которые сопрягаются в точке   1 / T . Логарифмическая фазовая частотная определяется как характеристика   90 0  arctgT . (рис. 4.32) (4.37) Переходная и весовая функции реального интегрирующего звена (рис. 4.33, 4.34) определяются формулами: t      T h t   k t  T 1  e     t    T w  t   k 1  e       1t ,       t .   (4.38) 68 Рис. 4.29. АФЧХ реального интегрирующего звена Рис. 4.30. АЧХ реального интегрирующего звена Рис. 4.31. ФЧХ реального интегрирующего звена Рис. 4.32. ЛАЧХ и ЛФЧХ реального интегрирующего звена 69 Рис. 4.33. Переходная функция реального интегрирующего звена Рис. 4.34. Весовая функция реального интегрирующего звена  Дифференцирующее звено Пример: Тахогенератор, входной величиной которого является угол поворота якоря, выходная величина – ЭДС якоря равна k . Звено, которое описывается уравнением YK dx , dt (4.39) называется дифференцирующим. В операторной форме: Y(p)  KpX(p). (4.40) Wp  Kp . (4.41) Передаточная функция звена Частотные и временные характеристики звена имеют следующий вид: W  j   jk , U    0, V    K ,      / 2, L   20 lg k  20 lg  , d t  wt   K t   K . dt A   k , ht   K t , (4.42) 70 Рис. 4.35. АФЧХ дифференцирующего звена Рис. 4.36. АЧХ и ФЧХ дифференцирующего звена Рис. 4.37. ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена Рис. 4.38. Переходная функция дифференцирующего звена Рис. 4.39. Весовая функция дифференцирующего звена 71  Дифференцирующее звено с замедлением Пример: операционный усилитель в режиме дифференцирования. Звено описывается дифференциальным уравнением вида dY dx . Yk dt dt (4.43) Y(Tp  1)  kpx . (4.44) T В операторной форме Передаточная функция дифференцирующего звена с замедлением Wp   kp . Tp  1 (4.45) Реальное дифференцирующее звено можно представить в виде совокупности идеального дифференцирующего звена с передаточной функцией W1  k1p и апериодического звена первого порядка W2  k2 . Tp  1 Амплитудно-фазовая частотная дифференцирующего звена равна W j  характеристика k  j . T  j  1 (АФЧХ) (4.46) Мнимая и вещественная частотные характеристики звена описываются выражениями: U  k  T 2 2 2 T  1 ; V  k 2 2 T  1 . (4.47) Амплитудная частотная характеристика A  Фазовая частотная характеристика k 2 2 T  1 . (4.48) 72   arctg 1 . T (4.49) Действительная ЛАЧХ определяется как L  20 lg k 2 2 T  1  20 lg k  20 lg   20 lg T 2 2  1. (4.50) Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух асимптот, сопрягающихся в точке   1/ T : L  20 lgk при   1 / T, L  20 lgk / T  при   1 / T. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ)   90 0  arctgT . Переходная функция дифференциального звена с замедлением k t ht   e T 1t  . T Весовая функция k k  Tt wt   t   2 e 1t  . T T (4.51) (4.52) (4.53) Перечисленные характеристики дифференциального звена с замедлением приведены на рис. 2.40 - 2.45. Рис. 4.40. ЛАЧХ дифференцирующего Рис. 4.41. АЧХ дифференцирующего звена с замедлением звена с замедлением 73 Рис. 4.42. ФЧХ дифференцирующего звена с замедлением Рис. 4.43. Логарифмические характеристики дифференцирующего звена Рис. 4.44. Переходная функция дифференцирующего звена с замедлением Рис. 4.45. Весовая функция дифференцирующего звена с замедлением 74 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 5.1. Условие устойчивости линейной системы На любую автоматическую систему действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушить нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при любых внешних воздействиях В общем случае, устойчивость – это способность системы, выведенной из состояния равновесия под влиянием возмущающих и управляющих воздействий, с течением времени прийти в равновесное состояние [2,9]. Бытовое понятие устойчивости знакомо всем – табуретка с двумя ножками неустойчива, а с тремя ножками – устойчива. Неустойчивость может привести к очень трагическим последствиям. Достаточно вспомнить аварию самолета, попавшего в грозовой фронт, взрыв атомного реактора на Чернобыльской АЭС. Термин «устойчивость» используется в технике, экономике, социологии, психологии. При этом имеется в виду, что устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния. Положений равновесия может быть несколько, одни из них устойчивые, некоторые неустойчивы. Положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонений (система устойчива «в малом») и неустойчиво при больших отклонениях («в большом»). Известно несколько определений устойчивости. Если рассматривается только выход системы при различных ограниченных входах, то говорят об устойчивости «вход-выход». Для инженеров-практиков в первую очередь важно, чтобы система «не пошла в разнос», т.е. чтобы управляемая величина не росла неограниченно при всех допустимых входных сигналах. Заметим, что нас не интересует, как меняются внутренние переменные, важен только вход – выход. Пример: ванна наполняется водой из крана. Модель этой системы – интегрирующее звено. При постоянном (ограниченном по величине!) входном потоке уровень воды в ванне будет неограниченно расти (пока вода не польется через край), поэтому такая система не обладает устойчивостью «вход-выход». Часто изучается устойчивость системы, на которую не действуют никакие сигналы, т.е. все входы нулевые. Предполагается, что систему вывели из состояния равновесия (задали ненулевые начальные условия) и «отпустили». Система, которая сама возвращается в исходное положение равновесия, называется устойчивой. Если при этом рассматривается только выход системы, то говорят о «технической устойчивости» (или об устойчивости по выходу). Если выходная величина остается ограниченной, то система называется 75 нейтрально устойчивой, если же выход становится бесконечным, то система – неустойчива. Если вернуться к примеру с ванной, то система – нейтрально устойчива, потому что уровень воды будет постоянным, когда мы перекроем кран. С одной стороны уровень не возвращается к исходному состоянию, с другой – не растет бесконечно (система не является неустойчивой). Когда рассматриваются не только вход, но и переменные, описывающие состояние системы, то говорят о внутренней устойчивости. Внутренняя или математическая устойчивость означает, что не только выход, но и внутренние переменные приближаются к своим значениям в положении равновесия. Итак, устойчивость - это свойство, которым должна обладать любая АС. Поэтому так важен анализ системы на устойчивость. Он ведется в двух направлениях: 1. Устойчива ли система при заданных значениях ее параметров? 2. В каких диапазонах можно менять параметры, не нарушая свойства устойчивости? Для определения условия устойчивости линейных систем используется передаточная функция в форме изображений Лапласа, которая равна отношению изображения выходного сигнала к изображению входной величины [10]: Wp   Yp  . Xp  Для анализа системы передаточная функция приводится к виду: Kp  , Hp  (5.1) числителя – полином передаточной функции, знаменателя передаточной Wp   где Kp  – полином Kp  b 0 p m  b1p m 1  ...  b m ; Hp функции, Hp  a 0 p n  a1p n 1  ...  a n . . Дифференциальное уравнение в операторной форме имеет вид: Y  p  H  p  X  p  K  p . (5.2) При анализе устойчивости системы рассматриваются свободные (собственные) движения переменных в системе, поэтому Xp  0 и формула (5.2) примет вид: . (5.3) Yp  Hp  0 . 76 Уравнение (5.3) является дифференциальным уравнением в операторной форме свободного движения в системе. Решение (5.3) дает описание установившихся процессов в АС. Но, допустим, переменная, которая характеризует свободное движение системы, есть отклонение выходной величины от установившегося значения. Обозначим его X k . Тогда дифференциальным уравнением свободного движения в системе будет уравнение: a0 dn xk dt n  a1 d n 1x k dt n 1  ...  a n 1 dx k  anxk  0 dt . (5.4) Из (5.4) очевидно, что система будет устойчива при t , стремящемся к бесконечности, и x k t  , стремящемся к 0. Решение уравнения (5.4) (а это линейное однородное дифференциальное уравнение) имеет вид: X K  C1e P t  C2e P t  ...  Cne P t , 1 2 n где C1, C 2 ...C n – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; p 1 , p 2 ...p n – корни характеристического уравнения, которое соответствует дифференциальному уравнению свободного движения. Именно корни характеристического уравнения будут определять характер переходного процесса в АС. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (5.4) с учетом (4.3), равно полиному знаменателя передаточной функции (5.1) и его можно записать как: a 0 p n  a1p n 1  ...  a n 1p  a n  0 . (5.5) Корни характеристического уравнения (5.5) могут быть либо вещественными, либо комплексными, попарно сопряженными, отличающимися знаком мнимой части. Каждому вещественному корню p i   i в уравнении (5.5) соответствует составляющая общего решения Xk i , равная: Х K i  Ci ei t . Условием затухания такой составляющей является  i  0 , потому что в этом случае при t , стремящемся к бесконечности, Хki стремится к нулю; при i  0 Х K i возрастает. Каждому комплексному корню pi  i  jwi соответствует решение вида: 77 X K i  X i  sini  i   Ci ei t  sinit  i  , где X i  Ci e t – амплитудное значение i-составляющей; i – вещественная часть i – комплексного корня; i – частота вынужденных колебаний; C i ,  i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Условием затухания i-й составляющей свободного движения в замкнутой системе будет отрицательность вещественной части i, так как только в этом случае при t , стремящемся к бесконечности, Xi  0, X ki t   0. Из сказанного выше следует условие устойчивости линейных систем: линейная система устойчива, если отрицательны все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению свободного движения в системе. Это условие позволяет определить устойчивость САР, не решая дифференциальное уравнение, а определив лишь знаки вещественных частей корней характеристического уравнения. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива. Если в нескольких корнях вещественная часть равна нулю, а в остальных отрицательна, то по первому приближению об устойчивости ничего сказать нельзя. Нужны исследования системы. Если один или несколько корней характеристического уравнения равны нулю, а у остальных вещественные части отрицательны, то система нейтрально устойчива. Состояние называется критическим. Для определения устойчивости нужен анализ нелинейных членов дифференциального уравнения. Если корни характеристического уравнения расположить на комплексной плоскости, то условие устойчивости можно сформулировать следующим образом - линейная система будет устойчива, если будут левыми все корни характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению свободного движения. Для описания процессов, протекающих в системе, используют понятия «степень устойчивости» и «степень колебательности». Степень устойчивости служит мерой удаления системы от границы устойчивости, поэтому геометрически определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего корня һ= |i |. Этот корень называется доминирующим, он определяет самые медленные движения в системе и время переходного процесса, которое примерно может быть рассчитано как t=3/һ. Степень колебательности µ является критерием колебательности процесса (определяет скорость затухания колебаний в системе) и рассчитывается как отношение мнимой и вещественной части корня (по модулю): µ= | ω/ λ |. Чем больше эта величина, тем слабее затухают колебания, вызванные этими корнями. i 78 5.2. Критерии устойчивости линейных систем Вычисление корней характеристического уравнения не представляет сложности для уравнений 1 и 2 степеней. Для уравнений 3 и 4 степеней нахождение корней затруднено. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определить устойчивость системы, минуя вычисления корней. Эти правила называются критериями устойчивости. Они позволяют не только установить устойчива ли система, но и выяснить влияние параметров системы, влияние структурных изменений на устойчивость системы. Формы критериев различны, но математически эквивалентны, так как определяют условия, при которых корни характеристического уравнения находятся в левой части комплексной плоскости. Критерии устойчивости подразделяются на алгебраические и частотные. Критерии, которые позволяют определить устойчива ли система с помощью алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называются алгебраическими. Наиболее распространенными являются критерии Рауса, Гурвица и др. Алгебраические критерии для систем, описываемых уравнениями выше 4 степени, дают ответ только на вопрос – устойчива ли система, но не позволяют определить, как изменить параметры, чтобы сделать ее устойчивой. Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по частотным характеристикам. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение благодаря простой геометрической интерпретации и наглядности. К частотным критериям относятся критерии Михайлова и Найквиста. 5.2.1. Алгебраические критерии устойчивости Необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a 0  0, a1  0, a 2  0,..., a n  0. Поэтому характеристическое уравнение системы приводится к виду (5.5) с положительными коэффициентами. Критерий устойчивости Рауса Критерий устойчивости легко поясняется таблицей Рауса, заполняемой по форме: 79 c11 = a0 c12 = a1 c13 c21 = a2 c22 = a3 c23 c31 = a4 c32 = a5 c33 … … … c1i c2i c3i … … … … … … … … … … ck1 = an ck2 = an+1 ck3 … cki Коэффициенты с11,с12, … называются элементами таблицы Рауса. Обозначим элемент через cki, где i - номер строки; k - номер столбца таблицы Рауса. Правила заполнения таблицы Рауса: 1. Элементы первой строки таблицы Рауса - это коэффициенты характеристического уравнения (5.5) с четными индексами, то есть c11 = a0, c21 = a2 , c31 = a4 и т.д. 2. Элементы второй строки таблицы – это коэффициенты характеристического уравнения (5.5) с нечетными индексами, то есть c12 = a1 , c22 = a3 , c32 = a5 и т. д. 3. Элементы остальных строк определяются по формуле: Сki = Ck + 1 , i – 2 - ri Ck + 1 , i – 1 , где ri  C1, i  2 (5.6) . c1, i 1 4. Количество строк таблицы равно (n+1), столбцов - целому от (n/2 +1), где n – степень характеристического уравнения. Условие устойчивости Рауса: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения и коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны: с11 > 0, c12 > 0, c13 > 0 . . . c1i >0 . Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива; число перемен знака в первом столбце таблицы Рауса определяет число правых корней характеристического уравнения. 80 Пример: Исследовать устойчивость системы автоматического управления с помощью критерия Рауса, если характеристическое уравнение системы имеет вид: a0 p6 + a1 p5 + a2 p4 + a3 p3 + a4 p2 + a5 p + a6 = 0 , где a0 = 1; a1 = 6; a2 = 21; a3 = 44; a4 = 62; a5 = 52; a6 = 24. Решение: Пользуясь формулой (5.6), составим таблицу коэффициентов Рауса (табл. 5.1): Таблица 5.1. Номер Номер столбца строки 1 2 3 4 а0 а1 А2 А3 a3 2 a1 c a a3  32 1 c31 c c c32  31 42 c41 a5 a1 a a a5  6 1 c31 1 2 3 4 5 6 7 a4 a5 а6 a6 а6 c41  a6 c51 а6 a  c42  a4  Подставив соответствующие числовые значения, получим (табл. 5.2): Таблица 5.2. Номер Номер столбца строки 1 2 3 4 1 1 21 62 24 2 6 44 52 3 13,7 53,3 24 4 20,26 41,5 5 25,5 24 6 22,1 7 24 81 Так как все элементы первого столбца положительны, то система автоматического управления устойчива. Критерий устойчивости Гурвица Критерий устойчивости Гурвица - это критерий в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения. Главный определитель Гурвица строится из коэффициентов уравнения (5.5): n  a1 a0 . a3 a2 a1 a0 . a5 a4 a3 a2 . a7  0 a5  0 a5  0 a4 ... 0 . ... . 0 ... an . (5.7) Определителей составляется n, где n - порядок уравнения линейной системы. Определители Гурвица низшего порядка получают из (5.7) отчеркиванием диагональных миноров: a1 a3 a5  0 1  a1 ; 2  a1 a3 a0 a 2 a0 a 2 a 4  0 a1 a3 a5 ; 3  a 0 a 2 a 4 0 a1 a3 ;  k  0 a1 a3  0 . (5.8) . . . 0 . . . . .  ak 1. 2. 3. 4. Правила составления определителей Гурвица: Характеристическое уравнение приводится к виду, при котором an > 0. Число строк и столбцов определителя k равно k. По диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения от a1 до ak . Слева от диагонали располагаются коэффициенты с убывающими индексами, справа - с возрастающими индексами. Левее a0 пишутся 0. 82 5. Все коэффициенты с индексами, значения которых больше степени характеристического уравнения, замещаются нулями. Критерий устойчивости Гурвица: линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения и все n определителей Гурвица положительны. Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы: а1 > 0; а2 > 0; а3 > 0; . . . аn > 0, 1 > 0; 2 > 0; 3 > 0; . . . n > 0 . Раскрывая определители Гурвица для характеристического уравнения невысокого порядка, можно получить следующие уравнения устойчивости:  для уравнения первого порядка: a0 p + a1 = 0 ; условие устойчивости a1 > 0, a0 > 0;  для уравнения второго порядка: a0 p2 + a1 p + a2 = 0; условие устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0;  для уравнения третьего порядка: a0 p3 + a1 p2 + a2 p + a3 = 0; условие устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0; a1 a2 - a0 a3 > 0; (5.9)  для уравнения четвертого порядка a0 p4 + a1 p3 + a2 p2 + a3 p + a4 = 0; условие устойчивости a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a4 > 0 , (a1a2  a0a3)a3  a12a4  0 . (5.10) Очевидно, что для линейных систем первого и второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является 83 положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для систем третьего и четвертого порядка кроме этого условия необходимо соблюдение дополнительных неравенств (5.9) и (5.10). При n>5 число дополнительных неравенств возрастает и применение критерия Гурвица становится трудоемким. Целесообразно применять другие известные критерии, например критерий устойчивости Льенара - Шипара. Последний определитель n АС, которая описывается уравнением n-го порядка, равен n=ann-1 . Если все предыдущие определители положительны, то условие n-1 = 0 является условием границы устойчивости автоматической системы. Используя критерий Гурвица при заданных параметрах системы, можно для одного неизвестного параметра определить его критическое значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости. Пример: Проверить устойчивость следящей системы по критерию Гурвица, если характеристическое уравнение имеет вид: 0,0003p4 + 0,0337p3 + 0,43p2 +51,2p + 24,8 = 0 . Решение: Обозначим коэффициенты характеристического уравнения: a0 = 0,0003; a1 = 0,0337; a2 = 0,43; a3 = 51,2; a4 = 24,8 . Все коэффициенты положительны. Для выполнения критерия Гурвица достаточно проверить, выполняется ли требование положительности определителя третьего порядка: 3 = a3(a1 a2 – a0 a3) – a4 a12 = 51,2(0,0337 0,43 – 0,0003 51,2) – - 24,8  0,00032 = - 51,2  0,0009 – 24,8  0,00032 < 0 . Следовательно, система неустойчива. 5.2.2. Частотные критерии устойчивости Частотные критерии позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и дают представление о качестве процесса регулирования. Критерий устойчивости Михайлова 84 Вспомним, что если в характеристическом уравнении системы постоянную p заменить на переменную j , то получим функцию переменного j , где  принимает значение от плюс бесконечности до минус бесконечности: a0  j n  a1 j n1  ...  an 1 j   an  0. Примем во внимание, что j 2  1; тогда:  j 2   2 ,  j 3   j 3,  j 4   4  j 5   j 5 и т.д., то есть четные степени j  вещественны; все нечетные степени – мнимые. Тогда вещественная часть равна: U   a n  a 2  2  a 4  4 ... ; мнимая часть равна:  (5.11)  (5.12) A   U 2    V  2 , (5.13)  V     . U    (5.14) V     a1  a3 2  a5 4 ... . Модуль функции A j  равен: аргумент функции равен:     arctg  Критерий Михайлова: линейная система n–го порядка устойчива, если при изменении  от 0 до бесконечности годограф Михайлова последовательно обходит n квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке (an , j0) на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат (рис. 5.1). Рис. 5.1. Кривые Михайлова 85 Годограф Михайлова – кривая, которую описывает конец вектора функции A j . Начало вектора находится в точке 0, конец вектора определяется координатами U и V . Изменяется  (  – увеличивается), меняется модуль и фаза вектора. Годограф Михайлова строят по точкам, задаваясь значениями  в уравнениях (5.11) и (5.12), причем обязательно должны быть учтены все точки пересечения кривой с осями координат, получаемые как корни уравнений U  0 и V  0 . Начало годографа находится в точке с координатами, получаемыми из уравнений (5.11) и (5.12) при   0 [U()=an и V()=0 ], то есть точка находится на вещественной полуоси на расстоянии a n от начала координат. При изменении  от 0 до плюс бесконечности будут непрерывно меняться значения модуля A и фазы  . Если система устойчива и все n корней характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости, то приращение фазы функции A j при изменении  от 0 до плюс бесконечности  2 будет равно   n  , где n – степень характеристического уравнения. Например, если характеристическое уравнение имеет 2 вещественных и 2 комплексных сопряженных корня в левой полуплоскости, то приращение фазы составит:   4    2 . 2 Если система неустойчива, то часть корней расположена справа от мнимой оси, и тогда приращение фазы равно:     n  m   m  , 2 2 (5.15) где n – число корней уравнения; m – число корней, находящихся в правой полуплоскости. У устойчивых систем годограф называется правильным, он имеет следующие особенности: 1. Состоит из 2 симметричных ветвей, соответствующих изменениям  от плюс бесконечности до минус бесконечности (симметричны, так как вещественная часть A j – четная функция  ; мнимая часть – нечетная функция). Достаточно исследовать одну ветвь годографа при изменении  от 0 до плюс бесконечности. 2. Обе ветви начинаются в точке U  a n , V  0. 3. При изменении  от 0 до плюс бесконечности кривая годографа  2 поворачивается против часовой стрелки на угол n  , поочередно обходя n 86 квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического уравнения системы. 4. Модуль вектора годографа по всей длине должен быть отличным от 0, так как все корни характеристического уравнения устойчивой системы имеют отличную от 0 вещественную часть. Если годограф обходит меньше, чем n квадрантов, или при обходе нарушается последовательность перехода его из квадранта в квадрант, то система неустойчива. Если же годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Пример: Определить устойчивость системы, годограф которой приведен на рис. 5.2. Рис. 5.2. Годограф системы Система седьмого порядка: годограф из 1–го переходит во 2–й, затем в 4–й квадрант, потом в 1–й и затем последовательность обхода выполняется.  2 Приращение фазы при изменении частоты от 0 до 1 1  ; при изменении частоты от 1 до 2 2  0 , так как вектор поворачивается сначала на некоторый угол против часовой стрелки, а потом по часовой стрелке; при изменении частоты от 2 до 3  меняется на угол 90 градусов, но по  2  2 часовой стрелке, т.е. 3   ; далее  4  0; 5  6  7  . Полное приращение:   Система неустойчива, так как:     0   3 . 2 2 2 87   3 . n  7  2 2 2 По годографу можно определить число корней, расположенных справа: 3   n  2m  2 2 3  7  2m;  2m  3  7; m  2. То есть два корня расположены справа. Система неустойчива. Пример: Построить годографы Михайлова для системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение вида: T1T2 p3 + (T1 + T2)p2 + p + K = 0 . Проанализировать устойчивость, если параметры имеют значения: a) T1 = 0,05c; б) T1 = 0,05c; в) T1 = 0,05c; T2 = 0,5c; T2 = 0,5c; T2 = 0,5c; следующие K = 2,2 (1/c); K = 22 (1/c); K = 220 (1/c). Решение: Подставив в характеристическое уравнение p=j , выделим вещественную и мнимую части: U() = K - (T1 + T2) 2 , V() =  - T1T23 . Подставляя числовые значения параметров системы, получим: a) U1() = 2,2 - 0,552 V 1() =  - 0,0253 ; (5.16) б) U2() = 22 -0,552 V2() =  - 0,0253 ; (5.17) в) U3() = 220 - 0,552 V3() =  - 0,0253 . (5.18) Задаваясь различными значениями , построим годограф Михайлова по формуле (5.16) (рис. 5.3, кривая 1). 88 Рис. 5.3. Годографы Михайлова При n=3 годограф последовательно обходит 3 квадранта против часовой стрелки. Это указывает на то, что при К=2,2 система устойчива. На рис. 5.3, кривая 2 - годограф Михайлова по формуле (5.17). При  =6,32(1/с) годограф проходит через начало координат. Это значит, что при К=22 система автоматического регулирования находится на границе устойчивости. При К=220 годограф Михайлова (рис. 5.3, кривая 3) проходит 1 и 4 квадрант, при этом нарушается последовательность обхода, что указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования. Критерий устойчивости Найквиста Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости линейной замкнутой системы по амплитудно–фазовой частотной характеристике разомкнутой системы. Учитывая, что передаточная функция разомкнутой системы равна Wp   Kp  , Hp  где Kp  – полином степени m; Hp  – полином степени n, получим передаточную функцию замкнутой системы: W3 p   Wp  . 1  Wp  89 Знаменатель 1 Wp обозначим Fp  . Тогда: Fp   1  Kp  Hp   Kp   , Hp  Hp  (5.19) где Hp  Kp – характеристическое уравнение замкнутой системы, Hp  – характеристическое уравнение разомкнутой системы. Числитель функции (5.19) – характеристический многочлен передаточной функции замкнутой системы; знаменатель – характеристический многочлен разомкнутой системы. Заменив p на j , получим: F j  H j  K j . H j (5.20) Числитель A j  H j  K j – годограф Михайлова замкнутой системы; H j – годограф Михайлова разомкнутой системы. В показательной форме: A j  A  e j A  ; H j  H  e j H  ; F j  F  e j F  , где F  A ;  F    A    H  . H (5.21) (5.22) При изменении частоты  от 0 до бесконечности полное приращение фазы функции F   A   H  . Так как функция F j отличается от W j на 1, то для определения приращения фазы не нужно строить годограф F j , так как кривая F j - это кривая W j , если перенести начало координат по вещественной оси влево на 1. Перенос можно не выполнять, но тогда приращение фазы F j равно приращению фазы вектора, проведенного из точки  1, j0 к годографу W j при обходе концом этого вектора годографа W j при изменении частоты  от 0 до бесконечности (рис. 5.4). 90 Рис. 5.4. Годограф устойчивой системы Если разомкнутая система устойчива, то число правых корней равно 0 (m=0). A   n; 2 H   n . 2 Замкнутая система устойчива, если приращение фазы функции F j при изменении  от 0 до бесконечности равно 0 (годограф не охватывает начала координат) F  A  H  0 . Это возможно, если начало вектора F j , т.е. точка  1, j0 находится вне годографа W j . Т.е. если разомкнутая система устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку  1, j0 . Если АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку  1, j0 , то в замкнутом состоянии система неустойчива (рис. 5.5). Рис. 5.5. Годограф неустойчивой системы 91 Приращение фазы вектора F j равно  2 (вектор поворачивается на один полный оборот при изменении  от 0 до бесконечности). Система неустойчива, так как  2  m  0 и АФЧХ охватывает точку  1, j0 . Для работоспособности системы нужно, чтобы в замкнутом состоянии она была устойчивой. По критерию устойчивости Михайлова это условие записывается как:  A    n  . 2 В общем случае система в разомкнутом состоянии может быть неустойчива, но в замкнутом состоянии система должна быть устойчива. Принимаем, что в разомкнутом виде система неустойчива, ее характеристическое уравнение Hp  имеет m корней справа от мнимой оси; согласно (5.15) получаем:  H    n  2m   . 2 Таким образом:  F    n    n  2m   m . 2 2 (4.23) Это выражение обеспечивает отсутствие корней характеристического уравнения замкнутой системы справа от мнимой оси. Значит это необходимое и достаточное условие устойчивости системы. Итак, замкнутая АС устойчива, если приращение фазы функции F j при изменении  от 0 до бесконечности равно m , где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих справа от мнимой оси. Об устойчивости системы в разомкнутом состоянии можно судить по виду ее АФЧХ. Если устойчива разомкнутая система, вектор АФЧХ при   0 совпадает с положительным направлением вещественной полуоси на комплексной плоскости и при возрастании  начинает свой поворот по часовой стрелке (рис. 5.4). Если разомкнутая система неустойчива, то при   0 вектор АФЧХ совпадает с отрицательным направлением вещественной полуоси (рис. 5.6, а,б) (нечетное m), т.е. ФЧХ 0   ; либо совпадает с положительным направлением оси (четное m), но при возрастании частоты начинает свой поворот против часовой стрелки (рис. 5.6, в,г). 92 Рис. 5.6. Годографы неустойчивых систем Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно пользоваться логарифмическими амплитудной и фазовой характеристиками разомкнутой системы [7]. 5.2.3. Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно–фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную (ЛАЧХ) и фазовую (ЛФЧХ) характеристики разомкнутой системы. ЛАЧХ строится по выражению : L  20 lg A  20 lg | W j | . ЛФЧХ строится по формуле :   arctg V . U Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется стандартная сетка : по оси абсцисс – частота в декадах, по оси ординат – L и  . При этом 0 децибел совмещают с 180 фазы (рис.5.7). 93 Рис.5.7. Логарифмические характеристики системы Итак, разомкнутая система устойчива. Но в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг 180 достигает значения только при модулях, меньше 1. Это легко определить по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ. Абсолютно устойчива система, если точка пересечения ЛАЧХ с осью 0 децибел (точка 1) лежит левее точки 2, где фазовый сдвиг 180 . Если ЛФЧХ раньше пересечет ось  , то система неустойчива. Если точки 1 и 2 совпадают – колебательная граница устойчивости. Пример: Передаточная функция следящей системы в разомкнутом состоянии имеет вид: W ( p)  K , p(1  Tg p)(1  Ty p) где К = 75 с-1; Tg = 0,02 с; Ty = 0,005 с. Определить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Решение: Устойчивость системы будем определять по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ. Частоты сопряжения асимптот равны: 1  1 1   50 c 1; Tg 0,02 2  1 1   200 c 1 . Ty 0,005 94 Низкочастотная асимптота пересекает ось частот при Строим асимптотическую ЛАЧХ (рис. 5.8). Фазовая частотная характеристика: =К=75с-1. () = 1 () + 2 () + 3 () , где 1() = -90 , 2() = -arctg( Tg) = -arctg(0,02); 3() = -arctg( Ty) = -arctg(0,005). Графики функций 2() и 3() строим с помощью шаблона. ЛФЧХ получаем сложением 1(),2(),3() (рис.5.8). Рис. 5.8. Логарифмические характеристики системы ЛФЧХ пересекает линию  = -1800 при отрицательных значениях асимптотической ЛАЧХ. Следовательно, замкнутая система устойчива. После построения ЛАЧХ определяем частоту среза разомкнутой системы, с = 60 с-1. Значение фазы при частоте среза: (с) = -900 – arctg(0,02  60) – arctg(0,005  60) = -1570 > -1800 . Следовательно, замкнутая система устойчива. 95 5.3. Запас устойчивости линейных систем АФЧХ системы в зависимости от пересечения с вещественной осью относительно критической точки с координатами  1, j0 можно разделить на 2 типа: 1. Все точки пересечения АФЧХ с вещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1 рис. 5.9); 2. Все точки пересечения АФЧХ с вещественной осью расположены как слева, так и справа от критической точки (кривая 2 рис. 5.9). Рис. 5.9. Амплитудно–фазовые частотные характеристики линейной системы В системах 1–го типа увеличение передаточного коэффициента K выше критического значения приводит к нарушению устойчивости, уменьшение ниже критического – к стабилизации системы. Критическим значением передаточного коэффициента K называется значение, при котором АФЧХ проходит через критическую точку  1, j0 , т.е. система находится на границе устойчивости. В системах 2–го типа при увеличении K выше его критического значения система может превратиться из неустойчивой в устойчивую, а при уменьшении – из устойчивой в неустойчивую. Можно выполнить анализ устойчивости по логарифмическим характеристикам и сформулировать требования, которым должны удовлетворять логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии. Определим запас устойчивости систем. Итак, устойчивость системы зависит от расположения годографа W j разомкнутой системы относительно критической точки с координатами  1, j0 . Чем ближе он к критической точке, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление годографа W j от критической точки  1, j0 характеризуется запасом устойчивости по модулю и фазе. Минимальный 96 отрезок действительной оси h , характеризующий расстояние между критической точкой и ближайшей точкой пересечения годографа W j с действительной осью, называют запасом устойчивости по модулю. Минимальный угол,  образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа W j с окружностью единичного радиуса (с центром в начале координат) и отрицательной полуосью действительной оси, называется запасом устойчивости по фазе (рис. 5.10). Рис. 5.10. Запас устойчивости системы По логарифмическим частотным характеристикам можно также определить запасы устойчивости системы по модулю и фазе (рис. 5.7). Поэтому система обладает требуемым запасом устойчивости, если она, удовлетворяя условию устойчивости, имеет значение модуля вектора W j , отличающееся от единицы не менее чем на заданное значение h (запас устойчивости по модулю), и угол поворота или фазу, отличающуюся от   не менее, чем на заданное значение  . 5.4. Определение области устойчивости линейной системы Рассмотренные критерии позволяют выяснить, устойчива ли система, когда все ее параметры (например, коэффициенты усиления, постоянные времени) заданы. Очень часто на практике задают все параметры системы, кроме одного–двух, которые могут изменяться, и определяют, при каких их значениях система будет устойчивой. Для решения такой задачи нужно многократно строить годограф Михайлова или выполнять вычисления по критерию Гурвица, проводить анализ сложных и громоздких выражений. Целесообразнее построить область устойчивости в плоскости параметров, причем уравнение границ и области устойчивости можно найти, пользуясь любым критерием устойчивости. Наиболее общий метод построения области устойчивости называется методом D–разбиения. 97 Пусть характеристическое уравнение имеет вид: a 0 n  a1n 1  ...  a n 1  a n  0 . (5.24) Все коэффициенты заданы, кроме a 0 и a n . При некоторых фиксированных значениях a 0 и a n уравнение (5.24) имеет на комплексной плоскости K корней слева и n  K  корней справа от мнимой оси. Изменение в определенных пределах значений коэффициентов a 0 , a n не вызывает изменения числа корней, расположенных слева и справа. Поэтому на плоскости a 0 и a n можно выделить такую область, каждая точка которой определяет многочлен (5.24), также имеющий K корней слева и n  K  корней справа. Пусть эту область обозначим DK  . Число K может иметь любое целое значение, и в области a 0 , a n можно указать области DK  , соответствующие разным значениям K . Например, характеристическое уравнение 3–й степени, т.е. n=3; тогда могут быть указаны области D0, D1, D2, D3 . Область D3 будет областью устойчивости в пространстве коэффициентов. Если D3 не существует, то при любых значениях коэффициентов a 0 , a n при заданных значениях остальных коэффициентов уравнение не может иметь трех корней с отрицательной действительной частью слева от мнимой оси, т.е. система не может быть устойчивой. Если 3 коэффициента не определены, т.е. a 0 , a1 , a n , то рассматривается трехмерное пространство с осями координат a 0 , a1 , a n . Если большее число коэффициентов, то рассматривается многомерное пространство, область DK  выделяется гиперповерхностью. Разбиение пространства коэффициентов называют D – разбиением. Пусть K корней полинома a 0 n  a1n 1  ...  a n 1  a n  0 лежат слева от мнимой оси. Если изменять значения коэффициентов a i , то корни могут перейти в правую полуплоскость. Этот переход может выполняться через мнимую ось. Переход в пространстве D – разбиения соответствует переходу через мнимую ось в плоскости корней. Отсюда метод определения границы D – разбиения, которую определяют заменой в полиноме  на j и строят изменением  от минус бесконечности до плюс бесконечности, т.е. граница D – разбиения есть отражение мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения. Аналогично можно построить D – разбиения пространства любых параметров, от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения. Рассмотрим построение области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра. 98 Исследуем влияние 1–го параметра на устойчивость системы. Остальные параметры заданы. Определим влияние параметра k. Характеристическое уравнение выражают относительно этого параметра, т.е. приводят к виду: Q   k  R    0 . Отсюда k (5.25) Q  . R   Для построения области устойчивости принимают   j ; выделяют вещественную и мнимую части: k Q j  U  jV . . R  j Задавая различные значения частоты (от минус бесконечности до плюс бесконечности) строят в плоскости U, V (плоскости k) границу разбиения. При движении по мнимой оси от минус бесконечности до плюс бесконечности на комплексной плоскости область корней с отрицательными вещественными частями остается слева. При этом отличают направление движения от минус бесконечности до плюс бесконечности и заштриховывают левую часть кривой по отношению к этому движению. В той части плоскости, в сторону которой направлены штрихи, находится отображение левой полуплоскости корней. Поэтому область устойчивости – только эта часть плоскости. Но так как область устойчивости определяется для 1 параметра, то ее может и не быть. После нахождения области устойчивости рассматривают лишь действительные значения k. Пример: Характеристическое уравнение системы имеет вид: 3  2    k  0. Определим область устойчивости в плоскости параметра k. Отсюда: k  3  2   . Подставим   j : k  j3  2  j  U  jV , 99 где U  2 , V  3   . Областью устойчивости будет заштрихованная область (рис. 5.11). Рис. 5.11. Область устойчивости системы В плоскости U и V строим область D – разбиения. При частоте   0 U  0 и V  0 ; при   1 U  1 V  0 ; при    U   V   . Кривую границы области штрихуют слева при движении от    к   . Выполним проверку. Для этого выберем, например, граничную точку k=0. Уравнение примет вид:   1 2 3 , 2 3  2    0 или  2    1  0 . Корни уравнения равны: 1  0, 2,3    j т.е. один корень нулевой, 2 корня левые. Внутри области число корней левых должно быть на один больше, так как при этом происходит движение в сторону штриховки. Следовательно, этой области соответствуют полиномы, у которых 3 корня лежат слева от мнимой оси. Существенны только действительные значения k, принадлежащие области устойчивости. Они определяются отрезком оси U , лежащим внутри области D. Условию устойчивости отвечают значения 0  k  1 . Основное условие работоспособности системы – устойчивость, но для нормального функционирования одной устойчивости недостаточно. Система должна удовлетворять определенным требованиям, предъявляемым к качеству работы. Качество работы АС характеризуется показателями качества, к которым относят, например, показатели запаса устойчивости, которые мы рассмотрели ранее. 100 6. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 6.1. Методы анализа качества системы Задача анализа качества процесса регулирования заключается в нахождении показателей, которые характеризуют переходный процесс системы. Такие показатели называются первичными показателями качества, их используют при составлении технического задания на проектируемую АС. Они характеризуют, во–первых, статическую точность системы при некоторых типовых воздействиях, во–вторых, переходный процесс, в–третьих, точность системы при медленно изменяющихся сигналах [2,4]. Для оценки качества системы выбирают типовые воздействия, наиболее характерные или, наоборот, наиболее неблагоприятные: ступенчатые, единичные, дельта–функции, гармонические воздействия и т.д. Качество работы САР определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины: t   gt   yt  . Значение мгновенной ошибки в течение всего времени работы системы позволяет наиболее полно судить о свойствах САР. Но в действительности из – за случайности задающего или возмущающего воздействий такой подход не может быть реализован. Качество системы оценивается по свойствам, проявляющимся при воздействии типовых помех. Для этого используются критерии качества, которые можно разбить на 4 группы: 1. Критерии точности систем, использующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах. 2. Критерии, определяющие величину запаса устойчивости, т.е. устанавливающие насколько далеко от границы устойчивости находится система. 3. Критерии, определяющие быстродействие систем. Под быстродействием понимают быстроту реагирования системы на появление задающих и возмущающих воздействий. Наиболее просто быстродействие определяется по времени затухания переходного процесса. 4. Комплексные критерии, дающие оценку обобщенных свойств, которые могут учитывать точность, запас устойчивости, быстродействие. Качество процесса регулирования можно оценить непосредственно по кривым переходного процесса, полученным экспериментально, или расчетным путем. С математической точки зрения вычисление переходного процесса – это нахождение решения дифференциального уравнения, которое описывает физические процессы в АС при заданных воздействиях, и анализ влияния параметров системы на это решение. 101 А это значит найти корни характеристического уравнения; определить связь произвольных постоянных с конструктивными параметрами системы и т.д. Это довольно трудоемко, так же как при анализе устойчивости. При определении качества системы применяют приближенные методы определения переходных процессов, которые позволяют определить, находится ли переходный процесс внутри области допустимых по техническому заданию значений или выходит за пределы этой области без решения дифференциальных уравнений. Основными методами определения переходных процессов и анализа качества линейных САР являются: 1. Частотный; 2. Корневого годографа; 3. Логарифмического корневого годографа; 4. Интегральных оценок. Коротко рассмотрим их. 1. Частотный метод. Основан на преобразовании Лапласа для регулируемой величины при чисто мнимых значениях аргумента p  j , на связи частотных характеристик замкнутой (разомкнутой) системы и переходного процесса. Исходные данные – частотные характеристики, которые определяют экспериментально, без решения дифференциальных уравнений всей системы в целом. Метод позволяет провести анализ динамики, решить вопросы синтеза корректирующих устройств; учесть особенность САР, которая заключается в том, что анализ системы в разомкнутом состоянии проще, чем в замкнутом; выполнить анализ устойчивости, качества системы любого порядка; решать вопросы анализа и синтеза системы при непрерывно изменяющихся воздействиях. 2. Метод корневого годографа. Основан на связи между расположением нулей и полюсов передаточной функции системы в разомкнутом и замкнутом состояниях и на изучении их перемещения в плоскости p при изменении параметров системы. Если в процессе проектирования САР были получены характеристики переходного процесса, не соответствующие заданным, то изменением положения корней характеристического уравнения можно изменить показатели качества. Метод корневого годографа позволяет проанализировать, как меняются корни уравнения при изменении параметра системы от   до   , и показывает, как нужно изменить эти корни для получения требуемых характеристик. 3. Метод логарифмического корневого годографа . Основан на анализе свойств замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. 102 4. Метод интегральных оценок. Использует определенные интегралы по времени от функции регулируемой величины или ошибки. Это аналитический метод, требующий больших числовых расчетов. Метод не требует знания корней характеристического уравнения. Из перечисленных методов только частотный метод позволяет проводить оценку первичных показателей качества регулирования: времени переходного процесса, значения перерегулирования, числа перерегулирований. Остальные методы дают косвенные оценки качества, например, показатель колебательности, степень устойчивости и т.д. 6.2. Частотный метод анализа качества регулирования Первичные показатели качества системы – это параметры, с помощью которых можно охарактеризовать поведение системы в переходном процессе, вызванном типовым воздействием. При ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях переходный процесс в системе характеризуется следующими показателями качества: установившееся значение выходного сигнала yуст = y(t), время переходного процесса (время регулирования) Tпп, положительное перерегулирование , число колебаний N выходного сигнала в течение переходного процесса. Определения перечисленных показателей приведены ранее. Показатели качества выбирают в зависимости от технических требований, предъявляемых к системе. Система обладает необходимым качеством, если она удовлетворяет заданным условиям качества, и переходный процесс не выходит из области допустимых значений. Установим связь между частотными характеристиками системы и переходным процессом. Математической основой является преобразование Фурье, которое позволяет на основании дифференциальных уравнений с учетом начальных условий и приложенных воздействий получить частотные характеристики САР. Если gt  – воздействие, yt  – регулируемая величина, то изменение регулируемой величины определяется как: yt   y n t   2  R  cost d ; 0 (6.1) y  t   y n t   2  S cost d ; 0 (6.2) 103 где y n t  – нерегулярная часть функции yt  , которая при t   является либо расходящейся, либо периодической величиной; R  и S – вещественная и мнимая частотные характеристики процесса: Y j  R   jS. Формулы (6.1) и (6.2) можно переписать в виде: yt   yt   y n t   2  R  cost d ; 0 (6.3) 2  S cost d ; 0 (6.4) yt   yt   y n t    где yt  – отклонения регулируемой переменной от нерегулярной составляющей переходного процесса. Если функция Y j содержит только левые корни, т.е. нет особенностей в правой полуплоскости и на мнимой оси, то yt  имеет только регулярную составляющую и тогда y t   2  R  cost d ; 0 (6.5) или yt    2  S cost d , t  0 . 0 (6.6) Обобщенные частотные характеристики можно представить следующими формулами: (6.7) R  UU B   VVB   U H  ; S  UVB   VU B   VH  ; (6.8) где U, V – вещественная и мнимая частотные характеристики системы; U B , VB  – вещественная и мнимая частотные характеристики воздействий; U H , VH  – вещественная и мнимая частотные характеристики начальных условий. При единичном воздействии g t   1t  и нулевых начальных условиях функции R  и S , входящие в формулы (6.7) и (6.8), равны вещественной и мнимой частотным характеристикам системы: (6.8) R   U  , S    V   . 104 Таким образом, при вычислении переходного процесса первым шагом является определение частотных характеристик системы U и V . Частотный метод анализа качества регулирования позволяет по свойствам обобщенной частотной характеристики R  , не вычисляя интеграла (6.5), судить о том, удовлетворяет ли функция yt  условиям качества регулирования. С учетом (6.8) формула (6.5) для переходного процесса принимает вид: y t   2  U cost dt . 0 (6.9) Эта формула широко используется на практике. О качестве регулирования без вычисления переходной функции можно судить по свойствам вещественной частотной характеристики U . Рассмотрим некоторые из них. 1. Достаточно близким переходным процессам соответствуют близкие частотные характеристики. 2. При анализе САР нет необходимости исследовать ее во всем интервале частот от 0 до   . Достаточно ограничиться полосой пропускания. Начиная с n верно соотношение U  0.1,...,0.2 . V0 Поэтому при   n вид U не принимается во внимание. 3. Установившееся значение Yуст переходной функции yt  равно начальной ординате U0 функции U . 4. Если U1  и U 2  отличаются только масштабом по оси частот, [ U 2  более полога, чем U1  ], то характеристика Y2 t  , соответствующая U 2   , затухает быстрее Y1 t  , соответствующей U1  во столько раз, во сколько масштаб U 2  по оси частот больше масштаба U1  . Или чем шире диапазон частот вещественной частотной характеристики U , тем быстрее завершится переходный процесс yt  (рис. 6.1). Рис. 6.1. Частотные характеристики и соответствующие им переходные процессы 105 5. Время переходного процесса будет тем меньше, чем положе вещественная частотная характеристика. 6. Если вещественная частотная характеристика U в точке   1 имеет разрыв непрерывности, т.е. U1    , то система находится на границе устойчивости, в ней происходят незатухающие гармонические колебания с частотой 1 . Наличие экстремумов в частотной характеристике U 2  говорит о наличии медленно затухающих колебаний (рис. 6.2). Качество процесса улучшится, если уменьшить крутизну характеристики и исключить экстремумы. Рис. 6.2. Вещественная частотная характеристика системы, находящейся на границе устойчивости 7. Если вещественная частотная характеристика U положительна на интервале 0, n  , то время переходного процесса Tпп больше, чем  / n , т.е. Tпп  8. Если вещественная частотная  . n характеристика представляет невозрастающую функцию частоты (6.10) U положительна и dU U  0;  0 при всех d  , то перерегулирование не превышает 18 %. dU 9. Если производная – отрицательная неубывающая непрерывная функция, d то процесс монотонен и время регулирования равно Tпрп  4 , n (6.11) где n – частота, определяющая интервал, где вещественная частотная характеристика положительна (рис.6.3). 106 Рис.6.3. Вещественная характеристика, которой соответствует монотонный переходной процесс 6.3 Синтез корректирующих устройств линейных систем Обеспечение запаса устойчивости и требуемого качества процесса регулирования является главным требованием при проектировании АС. Для повышения запаса устойчивости проектируемой системы необходимо рациональным образом изменять ее параметры: коэффициенты передачи отдельных звеньев, постоянные времени и т.д. При невозможности решить задачу в рамках имеющейся системы используется введение в систему регулирования корректирующих средств, способных изменить динамику всей системы в нужном направлении [2, 9]. Требуемое быстродействие обеспечивается при проектировании системы выбором соответствующих элементов цепи регулирования (исполнительных элементов, усилителей, серводвигателей и т.п.). Однако повышение быстродействия системы возможно также применением корректирующих устройств. Корректирующие устройства представляют собой динамические звенья различной физической природы и включаются в состав системы регулирования: 1. Последовательно (включают последовательно с усилительно– преобразующим устройством и объектом регулирования); 2. Параллельно (включают параллельно усилительно–преобразующему устройству); 3. В цепи обратной связи (включают встречно–параллельно, охватывая усилительно–преобразующие устройства в качестве элемента местной обратной связи). В соответствии со способом включения различают последовательные и параллельные корректирующие устройства. Последовательные 107 корректирующие устройства включают в цепь сигнала ошибки системы регулирования, а параллельные корректирующие звенья – в цепи местных обратных связей. К корректирующим устройствам, применяемым в системах регулирования, предъявляются следующие требования: 1. Выходное сопротивление корректирующего устройства должно быть согласовано с последующими каскадами усилителя или другими цепями. 2. При использовании корректирующих устройств отношение помехи к полезному сигналу не должно чрезмерно возрастать. 3. Корректирующие устройства, построенные на активных элементах, должны иметь минимальный дрейф выходного напряжения и обладать минимумом собственных шумов. 4. Зона линейности корректирующих устройств должна быть согласована с зонами линейности остальных элементов системы. Способы включения корректирующих устройств приведены на рис. 6.4. Система состоит из последовательно соединенных объекта и неизменной части с передаточными функциями W0 p и WH  p  ; последовательного корректирующего устройства (ПКУ) с передаточной функцией Wk p ; корректирующей обратной связи (КОС) с передаточной функцией Zp  , охватывающей звено WH  p  ; параллельного корректирующего звена Wкз p . Рис. 6.4. Способы включения корректирующих устройств: а – последовательное, б – параллельное, в – в цепи обратной связи Передаточные функции WH  p , W0  p  заданы в виде аналитических выражений или соответствующих им частотных характеристик. Задача заключается в определении таких передаточных функций Wкз p , Wk p и Zp , 108 при которых система обладала бы необходимыми показателями качества. Этими показателями могут быть статическая точность системы, время переходного процесса, величина перерегулирования, запас устойчивости системы по фазе. При синтезе системы не обязательно задают все показатели одновременно, можно учитывать лишь некоторые из них. Последовательное корректирующее устройство (ПКУ) с передаточной функцией Wk включают непосредственно после датчика рассогласования или же после предварительного усилителя. Последний вариант наиболее перспективный, так как уровень сигнала рассогласования весьма мал, а корректирующее устройство снижает чаще всего уровень сигнала. Поэтому при первом варианте включения последовательного корректирующего устройства необходимо иметь предварительный усилитель с более высокой чувствительностью. Для коррекции систем регулирования наиболее широко применяются линейные электрические корректирующие устройства (ЛКУ), которые делятся на устройства постоянного и переменного тока, пассивные и активные [5]. Применение ПКУ наиболее удобно в системах, у которых сигнал управления представляет собой напряжение постоянного тока. В цепях постоянного тока ПКУ выполняют как пассивные RLC–контуры (четырехполюсники). Еще большие возможности дают активные электрические четырехполюсники постоянного тока. При параллельно–встречном включении корректирующего устройства (корректирующее устройство является обратной связью) передаточная функция участка цепи с параллельным корректирующим устройством равна: Wn  p   WH  p  . 1  WH  p Z  p  (6.12) Обычно в достаточно широком диапазоне частот справедливо неравенство: | Wn  jZ j | 1 . (6.13) В этом случае Wn  j  1 . Z j (6.14) Таким образом, при удовлетворении неравенства (6.13) свойства участка цепи с КОС определяются только лишь свойствами этого корректирующего устройства. Достоинство такого включения в том, что его КОС подключен к выходу исполнительного элемента или усилителя мощности, то есть к выходу мощного элемента с высоким уровнем сигнала. Поэтому в качестве параллельных корректирующих устройств могут быть использованы даже достаточно мощные элементы. Корректирующие обратные связи делятся на жесткие и гибкие. Жесткая обратная связь (ЖОС) действует на систему как в переходном, так и в 109 установившемся режиме, то есть Wжос 0  0 , и реализуется она безинерционным или инерционным звеном. Гибкая обратная связь (ГОС) действует лишь в переходных режимах, реализуется она чисто дифференцирующим звеном с передаточной функцией: Wp  Kp или инерционно–дифференцирующим звеном: Wp   Kp . Tp  1 Предположим, что звено с передаточной функцией WH охвачено отрицательной обратной связью с передаточной функцией Zp  . Тогда эквивалентная передаточная функция этого участка цепи: Wэ  WH  p  . 1  WH  p Z  p  (6.15) Наиболее характерны следующие случаи. Пусть апериодическое звено охвачено жесткой обратной связью, т.е. W K Tp  1 и Wос  K 0 . В этом случае Wэ  Kэ K  , Tp  1  KK 0  Tэ p  1 г де K Kэ , 1  KK 0 T Tэ  . 1  KK 0 (6.16) Таким образом, ЖОС не изменяет структуру апериодического звена, но уменьшает его инерционность, т.е уменьшает постоянную времени. Одновременно уменьшается передаточный коэффициент звена. Если обратная связь гибкая, то есть Wp  K 0 p , то Wэ  где Tэ  T  KK 0 . K K  , Tp  1  KK 0 p Tэ p  1 (6.17) 110 Следовательно, гибкая отрицательная обратная связь не изменяет структуру и не влияет на передаточный коэффициент апериодического звена. Она лишь увеличивает постоянную времени этого звена. В [5] показано, что жесткая обратная связь превращает интегрирующее звено в апериодическое, а гибкая – не изменяет структуру интегрирующего звена, но уменьшает его передаточный коэффициент (увеличивает постоянную времени интегрирования). Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что простейшие отрицательные обратные связи могут существенно изменять свойства типовых динамических звеньев. Параллельное включение корректирующих устройств (прямое параллельное включение) оказывается удобным, так как при меньшей сложности обеспечивает нужное преобразование сигнала управления. Пусть Kk 3 W1  p   K1 , Wk 3   . Передаточная функция данного участка цепи Tp  1 записывается: K1T1p  1 , Tp  1 K1T K1  K1  K k 3 , T1  . K1  K k 3 W1  W1  Wk 3  где То есть при малой разности K 1  K k 3  получаем реальное форсирующее звено с большой постоянной времени дифференцирования. Уменьшение передаточного коэффициента этого участка цепи должно быть скомпенсировано соответствующим увеличением передаточного коэффициента усилителя. Синтез корректирующих устройств ведется в следующей последовательности: 1. Определяют требуемое значение передаточной функции Wk p  последовательного корректирующего устройства. 2. Выясняют, при каких значениях передаточных функций Zp  параллельного корректирующего устройства и Wk p последовательно корректирующего устройства будет получен тот же эффект. 3. Выбор типа корректирующего устройства. Составим формулы для такого расчета. Для этого определим передаточные функции разомкнутой цепи для трех отдельных случаев включения корректирующих устройств (последовательное, параллельно–встречное и параллельное) и приравняем эти выражения друг к другу. Получаем: 111 WW k   W W  W 1  k 3 1  WH Z   W1   ,  (6.18) где W = W0 W1 WH . Из (6.18) определяют формулы перехода от одного вида корректирующего устройства к другому:      1  Wk Wk 3  Z   . W H Wk W H W1  W k 3   W WZ W k 3  W1 W k  1   H 1  1  WH Z   Wk  1  1  W H Z  1 W 1 k3 W1 (6.19) Если значение Zp  оказывается отрицательным, то параллельное корректирующее устройство должно включаться в виде положительной обратной связи. При отрицательном значении Wk 3 выходной сигнал прямого параллельного корректирующего устройства должен вычитаться из выходного сигнала участка W1 . Корректирующие устройства являются основным способом повышения качества линейных систем. Составим формулы для замены последовательного корректирующего устройства двумя: последовательным и параллельным устройствами. Пусть определена передаточная функция Wk последовательного корректирующего устройства (рис. 6.4,а), при которой система имеет требуемые динамические свойства. Считаем Wk сложной. Попытаемся создать два корректирующих устройства: последовательное и параллельное (рис. 6.5). Рис. 6.5. Схема системы с корректирующими устройствами 112 Определим передаточные функции разомкнутой цепи каждой из этих систем, приравняем их друг к другу: WWk  WWk . 1  WH Z  (6.20) Из (6.20) следует WK'  WK (1  WH Z ' ) , Z'  WK'  WK WH WK . (6.21) (6.22) С учетом приведенных формул можно выбрать Z и по (6.21) определить передаточную функцию последовательного корректирующего контура Wk или же выбрать Wk и определить передаточную функцию параллельного звена Z по формуле (6.22). Для синтеза КУ наиболее приемлемы логарифмические характеристики, т. к. их построение практически не требует вычислений. Процесс синтеза включает в себя следующие операции: 1. Построение желаемой ЛАЧХ LЖ () на основе требований, предъявляемых к проектируемой системе. При построении нужно быть уверенным, что вид амплитудной характеристики обеспечивает характер переходных процессов. Передаточная функция не должна иметь нулей и полюсов в правой полуплоскости. 2. Построение располагаемой ЛАЧХ L0 () – характеристики исходной системы регулирования (т. е. системы из регулируемого объекта и регулятора, не снабженной никакими КУ). 3. Определение вида параметров корректирующего устройства. Наиболее просто определяется корректирующее последовательное устройство. Если ЛАЧХ желаемая - LЖ (), располагаемая - L0 (), LКЗ - характеристика КУ, то LЖ () = L0 () + LКЗ () . Отсюда LЖ () – L0 () = LКЗ () . 4. Техническая реализация корректирующих устройств. По виду ЛАЧХ нужно подобрать схему и параметры корректирующего звена. Пересчет последовательного звена в параллельное или эквивалентную обратную связь можно выполнить по выше приведенным формулам. 5. Проверочный расчет и построение переходного процесса. В случае необходимости система может быть исследована вместе с КУ обычным методом анализа. 113 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Нелинейные системы существенно отличаются от линейных систем с точки зрения передачи и преобразования сигналов управления тем, что передаточный коэффициент нелинейного звена зависит от значения входного сигнала. Эта особенность не допускает применения рассмотренных ранее методов расчета линейных САР к нелинейным системам. Разработаны специальные методы анализа нелинейных систем – методы фазовой плоскости и гармонической линеаризации, методы определения параметров автоколебаний. Cистема автоматического управления называется нелинейной, если описывается нелинейными уравнениями [1, 9]. В принципе все реальные системы нелинейны. Линейные системы–это модели (идеализированные) реальных АС. Во многих случаях идеализация допустима. Чаще всего изучение системы по ее линейной модели допустимо на первом этапе. Нелинейность, которая допускает обычную линеаризацию, называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Один и тот же элемент можно рассматривать как линейный, так и нелинейный. Например, элемент, имеющий характеристику с насыщением, при малых значениях входной величины X является линейным; при больших значениях – элемент нелинейный (рис.4.6) Элемент, имеющий характеристику с зоной нечувствительности, при малых входных величинах нелинеен, при больших значениях X элемент линеен (рис.4.7). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не применим, поэтому реакцию САУ на воздействие нельзя рассматривать как сумму составляющих отдельных компонентов. В нелинейных САУ могут быть устойчивые колебания, возможно несколько режимов незатухающих колебаний, которые зависят от величины начальных отклонений. Для определения свойств нелинейной системы нужно знать характеристики элементов, величину ожидаемых входных воздействий, область вероятных начальных условий. Нелинейности в системе с линейной структурой приводят к ухудшению качества работы системы – увеличиваются ошибки в переходном и установившемся режимах, ухудшаются условия устойчивости. Но нужно отметить, что иногда систему специально формируют с нелинейной структурой для того, чтобы улучшить динамические свойства; специально конструируют нелинейные системы с качеством управления выше, чем у линейных систем. Две основные задачи при исследовании нелинейных систем : 1. Исследование влияния нелинейностей на процессы в системах с линейной структурой. 2. Исследование существенно нелинейных систем. 114 При решении задач возникают вопросы анализа САУ и САР и синтеза системы с желаемыми динамическими свойствами. 7.1. Особенности нелинейных систем В линейных системах при отсутствии воздействий существует статический режим, когда величины, описывающие состояние системы, постоянны. В нелинейных системах кроме статического режима существует автоколебательный режим, при котором величины, описывающие систему, являются периодическими функциями времени. Амплитуда и фаза автоколебаний находятся при отсутствии входного сигнала. Для анализа нелинейные АС обычно представляются в виде структурной схемы (рис. 7.1), где ЛЧ – линейная часть; НЭ – нелинейный элемент. Рис. 7.1. Структурная схема нелинейной АС Чтобы получить такую схему, необходимо: 1. Составить дифференциальные уравнения для всех звеньев. 2. Выполнить линеаризацию характеристик тех звеньев, где это допустимо. 3. Объединить линейные звенья в один блок – линейную часть. 4. Выделить нелинейный элемент, у которого входная и выходная величины связаны нелинейными уравнениями. Именно этой нелинейностью статической характеристики обусловлена нелинейность всей системы. 5. Выполнить анализ системы одним из методов нелинейной теории САР. Если система содержит несколько нелинейных элементов (параллельное, последовательное, обратное соединение), то в некоторых случаях ее можно привести к рассматриваемому классу систем, заменив нелинейные элементы одним элементом с результирующей статической характеристикой. Определим результирующую статическую характеристику двух параллельно включенных нелинейных элементов (рис. 7.2). 115 Рис. 7.2. Статическая характеристика параллельно включенных нелинейных элементов Результирующая характеристика III равна сумме I и II ; просуммировав ординаты статических характеристик I и II звеньев, получим характеристику III эквивалентного звена . Два последовательно включенных нелинейных звена можно заменить эквивалентным нелинейным звеном с характеристикой, приведенной на рис. 7.3. Рис. 7.3. Статическая характеристика последовательно включенных нелинейных элементов В 1–м квадранте – статическая характеристика I звена; во 2–м квадранте – статическая характеристика второго звена, но ее ось повернута на 90°;ось абсцисс X вхII совпадает с осью ординат характеристики I, ось ординат X выхII направлена по отрицательной полуоси абсцисс. Зададимся некоторым значением g  X вхI (точка 1). Проведя перпендикуляр из точки 1, получаем точку 2 на статической характеристике; затем линия, параллельная горизонтальной оси, до пересечения с характеристикой II, получим точку 3. Отрезок Oa равен искомому значению Xвых. Удобнее построить в 4 квадранте, поэтому перенесем с помощью биссектрисы квадрантного угла OA (перпендикуляр из точки a до пересечения с OA, затем 116 параллельную линию до пересечения с перпендикуляром из точки 1). Точка 5 принадлежит статической характеристике эквивалентного звена. Аналогичным образом найдем ряд точек, соединим их плавной кривой и получим результирующую характеристику эквивалентного нелинейного звена III. Если нелинейное звено охвачено нелинейной отрицательной обратной связью, то статическая характеристика эквивалентного нелинейного звена определяется следующим образом (рис. 7.4). Рис. 7.4. Статическая характеристика нелинейного звена, охваченного отрицательной обратной связью, где I – статическая характеристика нелинейного звена; II– статическая характеристика нелинейной отрицательной связи; III – статическая характеристика эквивалентного звена. Зададимся значением X вых (точка 1). Без обратной связи g равно Oa. При наличии отрицательной обратной связи отрезок Oa будет равен результирующему входному воздействию: Оа  g  f Х вых  , где f Х вых  – характеристика обратной связи. Поэтому для определения g к отрезку Oa нужно прибавить величину воздействия обратной связи: g  Oа  f Х вых  , т.е. g  Оа  Оb – это расстояние между точками 1 и 2. Перенесем этот отрезок вправо и получим точку 3. Аналогично получим другие точки. Соединив их, получаем результирующую характеристику эквивалентного нелинейного звена. Если между нелинейными звеньями имеются разделяющие линейные звенья, то систему нельзя свести к рассматриваемому классу, такие системы относятся к классу систем с несколькими нелинейностями. Для исследования нелинейных систем применяют различные методы. 117 Общим методом исследований нелинейных систем является метод Ляпунова, в основе которого лежит теорема об устойчивости нелинейных систем. Как аппарат исследования используется функция Ляпунова – знакоопределяющая функция координат системы и знакоопределенная производная во времени. Применение метода ограничивается сложностью. Более простой метод – метод Попова, но он пригоден только для частных случаев нелинейных систем. Процессы в нелинейных системах могут быть исследованы на основе кусочно–линейной аппроксимации: нелинейные характеристики разбиваются на ряд линейных участков, в пределах которых задача описывается линейной и решается быстро. На границе участков проводится "сшивание" отдельных кусков в единый процесс. Метод применим, когда число участков невелико. Если число участков большое, то метод громоздок. Метод гармонической линеаризации основан на замене нелинейного элемента линейным эквивалентом. Эквивалентность достигается для движения системы, близкого к гармоническому. Метод позволяет достаточно быстро и просто исследовать возможность возникновения автоколебаний в системе. Метод статической линеаризации основан на замене элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под воздействием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти статические характеристики. Метод фазового пространства позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, с несколькими нелинейностями. Для анализа строятся фазовые портреты, по виду которых можно судить об устойчивости системы, о возможности возникновения автоколебаний, о точности в установившемся режиме. Метод кусочной–линейной аппроксимации и метод фазового пространства – это точные методы, но сложные. Метод гармонической линеаризации и метод статической линеаризации являются приближенными, более простыми методами и позволяют получить достаточно прозрачные результаты анализа нелинейных систем. 7.2. Метод фазового пространства (метод фазовой траектории) Коротко остановимся на основных понятиях этого метода. Имеем воздействия f1 t f m t  на систему; переменные состояния системы x  x1 , x 2 ,..., x n ; начальные состояния x t 0  , в момент времени t  t1 состояния можно определить как xt1  . 118  Вектор переменных состояния X  x1, x2 ,..., xn  называется вектором состояния; пространство X этого вектора – пространством состояния. Набор величин x1 t , x 2 t ,..., x n t  , который определяет состояние системы, изображается в пространстве состояний точкой с координатами x1, x 2 ,..., x n , которая называется изображающей точкой. Пространство состояния называется фазовым пространством. При изменении t изображающая точка в фазовом пространстве перемещается по кривой, которая называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом. Метод фазового пространства основан на построении и изучении фазового портрета. Поскольку наглядно представить фазовый портрет возможно на плоскости, т.е. тогда, когда фазовое пространство является двумерным, то наиболее эффективно использовать метод фазового портрета для исследования систем второго порядка [4]. Фазовый портрет системы дает возможность провести анализ поведения системы, получив следующие данные: - переходный процесс для заданной совокупности начальных условий; - тип переходного процесса; - величину перерегулирования; - устойчивость; - автоколебания (амплитуда и частота); - возможные режимы работы; - влияние отдельных нелинейностей; - рекомендации по коррекции системы линейными и нелинейными элементами. Итак, фазовая плоскость – это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы (например, отклонение регулируемой величины и скорость изменения этой величины). Если основная переменная x, ее производная y, то уравнения, описывающие систему, определяются как: dx  y; dt dy  f x, y  . dt (7.1) Уравнение фазовой траектории получим, разделив второе уравнение на первое (для того, чтобы исключить время) : dy / dt dy f x, y    . dx / dt dx y (7.2) 119 Получаем нелинейное уравнение, точного решения которого не будет. Решение находят частным способом, определяя фазовые траектории (фазовый портрет). Из уравнений (7.1) и (7.2) можно определить особенности фазового портрета (правила построения фазового портрета): 1. Если f x, y для каждого x имеет единственное значение, то dy / dx в каждой точке x, y фазовой плоскости имеет единственное значение. А это значит, что фазовые траектории не пересекаются друг с другом, что обеспечивает наглядность картины. 2. При y  dx / dt   0 величина x только возрастает, с ростом t изображающая точка в верхней фазовой полуплоскости движется слева направо; в нижней полуплоскости движение происходит справа налево y  0 . Правило используется для расстановки стрелок вдоль фазовой траектории (рис. 7.5). 3. В особых точках – точках, где уравнение (7.2) неопределено, т.е. числитель и знаменатель равны 0 [ y  0, f x, y  0 ], вектор скорости изображающей точки равен 0 (остановка движения). Решения f x, y дают значения x , которые являются точками равновесия системы. В нелинейной системе в зависимости от вида функции f существует одно или множество решений, часть из которых может быть устойчиво, часть – неустойчиво. В данном случае говорят об устойчивости (неустойчивости) конкретного движения или состояния равновесия. 4. В неособых точках [ y  0, f x, y  0 ] фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом сверху вниз в правой и снизу вверх в левой полуплоскостях ( y  0, dy / dx   везде). По фазовой траектории можно определить кривую переходного процесса, отметив характерные точки по данной фазовой траектории (рис. 7.6). Рис 7.5. Фазовая траектория Рис 7.6. Определение переходного процесса по фазовой траектории И наоборот, по кривой переходного процесса можно построить фазовую траекторию (рис. 7.7). 120 Рис. 7.7. Построение фазовой траектории по кривой переходного процесса Рассмотрим изображения на фазовой плоскости основных процессов регулирования: 1. Периодические незатухающие колебания (периодический колебательный процесс) с постоянной амплитудой и частотой (рис. 7.8). Рис. 7.8. Периодический колебательный процесс Фазовая траектория представляет собой замкнутую кривую. Каждому периоду колебаний соответствует прохождение изображающей точки M F всей кривой A, B, C, D, E фазовой траектории. Если колебания синусоидальные, то фазовая траектория является эллипсом, описываемым уравнениями: xt   a sin t , y t   dx  a cos t , dt (7.3) где   2 / T , круговая частота; T – период колебаний; a и a – полуоси эллипса по осям x и y соответственно. Если колебания несинусоидальные, то замкнутый контур траектории отличается от эллипса. 2. Колебательный затухающий процесс (рис. 7.9). Определим фазовую траекторию. 121 На фазовую плоскость наносятся точки A, B, C, D, E , в которых dy / dx имеет нулевое, максимальное и минимальное значения. Получаем, что затухающий переходный процесс имеет фазовую траекторию в виде сходящейся к началу координат спиралевидной кривой (точки B, D – отображение нулевых значений). Рис. 7.9. Колебательный затухающий процесс 3. Расходящийся колебательный процесс изображается на фазовой плоскости в виде расходящейся спиралевидной кривой (рис. 7.10). Рис. 7.10. Расходящийся колебательный процесс 4. Монотонный затухающий процесс изображается на фазовой плоскости в виде кривой, монотонно приближающейся к положению равновесия (рис. 7.11). Рис. 7.11. Монотонный затухающий процесс 122 5. Монотонный расходящийся процесс изображается на фазовой плоскости в виде монотонно удаляющейся кривой (рис. 7.12). Рис. 7.12. Монотонный расходящийся процесс Следует отметить, что фазовый портрет нелинейной системы содержит особые кривые – изолированные замкнутые траектории, которые соответствуют периодическим режимам. Такие кривые называются предельным циклом (ПЦ). Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым, ему соответствует устойчивый периодический режим (автоколебания) и АС пригодна для определенного (неопасного) регулирования (рис. 7.13). Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него, то это неустойчивый предельный цикл . Рис. 7.13. Устойчивый предельный цикл Пример: Исследовать процессы в системе регулирования температуры при отключенной местной структурная схема которой приведена на рис. 7.14. автоматического обратной связи, 123 F(a) Q1 Q К1 a1 a u K2 P   К3 К0 T0p+1 Q2 - - aoc KOC Рис. 7.14. Структурная схема системы автоматического регулирования температуры Исходные данные:  объект представляет собой апериодическое звено первого порядка с постоянной времени Т0 = 10 с;  коэффициент передачи регулирующего органа и объекта К0 = 10 (град/рад);  коэффициент передачи чувствительного элемента К1 = 0,25 (А В/град);  коэффициент передачи двигателя К2 = 2 (рад/(В с));  передаточное число редуктора jP = 1000 ;  статическая характеристика поляризованного реле приведена на рис. 7.14, ампер – витки срабатывания реле аСР = 0,5 (АВ), максимальное напряжение на выходе релейного усилителя Uмах = 110 В;  влиянием статического момента нагрузки переходных процессов в обмотках реле, постоянными времени двигателя ТМ и ТЯ можно пренебречь. Решение: В режиме стабилизации температуры уравнения звеньев можно записать в виде: 1) уравнение объекта регулирования: (T0 p + 1)Q = - K0  . (Q1 = 0, Q2 = -Q) (7.4) 2) уравнение чувствительного элемента: а1 = К1 Q . (7.5) 3) уравнение усилителя (при КОС = 0): u = F(а1) . (7.6) 124 4) уравнение двигателя постоянного тока: p = K2 u . (7.7)  = К3  . (7.8) 5) уравнение редуктора: Поскольку ток в обмотке поляризованного реле пропорционален отклонению температуры Q, а скорость отклонения регулирующего органа d/dt пропорциональна напряжению u, то в качестве входной величины нелинейного звена (реле) можно принять Q, а в качестве выходной – величину d/dt (рис. 7.19). d/dt 0 -В Q 0 В Рис. 7.15. Статическая характеристика нелинейного звена Учитывая параметры системы, получим: B  CP K1  0,5  20 , 0,25 1  d   К 2 К3U MAX  2   110  0,22 рад / с .  1000  dt  МАХ 0   В соответствии с уравнением объекта (7.4) и статической характеристикой нелинейного звена уравнения всей системы запишутся в следующем виде: (T0 p + 1)Q = - K0  , (7.9) 125   0  p   0    при при при Q  B Q B . (7.10) QB Решив уравнение (7.9) и (7.10) совместно, получим: (T0 p +1) pQ = -K0 0 (T0 p +1) pQ = K0 0 (T0 p +1) pQ = 0 при Q > +B , при Q < -B , при Q < B . (7.11) (7.12) (7.13) Рассмотрим уравнение (7.11): T0 d 2Q dQ    K 0 0 . dt 2 dt (7.14) Введем обозначения Х = Q , dx/dt = y и тогда: T0 dy  y   K 0 0 . dt (7.15) Для того чтобы исключить из уравнения (7.15) время, разделим его на dx/dt = y. Получим: dy 1 K    0 0 . dx T0 T0 y После разделения переменных: dx  T0dy  Проинтегрировав траекторий: уравнение T0 K00 dy . y  K00 (7.16), получим  y  X  T0 y  T0 K 0 0 ln   11   C1  K 0 0  при (7.16) уравнение X  B . фазовых (7.17) Проделав аналогичные операции с уравнениями (7.12) и (7.13), получим для них: 126   y X  T0 y  T0 K00 lg   1  C2 при  K00  X  B , (7.18) X = -T0 y + C3 при Х < B . (7.19) Подставив в уравнение (7.17)  (7.19) значения параметров, получим: X = -10 y + 22 ln(1 + 0,455y) + C1 при X > +B , (7.20) X = -10y – 22 ln(1 – 0,455y) + C2, при X < -B , (7.21) X = -10y + C3 при X < B . (7.22) По уравнениям (7.20)  (7.22) построим фазовый портрет системы (рис. 7.16). Рис. 7.16. Фазовый портрет системы Фазовая траектория, соответствующая начальным условиям при t=0 Q=5,70, Q=0, выделена на рисунке. По виду фазовой траектории можно установить, что процесс в системе заканчивается за время, немного большее чем один период колебаний. Переходный процесс в системе может закончиться в любой точке отрезка АВ. 7.3. Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса) Одним из приближенных методов исследования нелинейных систем является метод гармонической линеаризации или метод гармонического 127 баланса, который позволяет определить параметры возможных автоколебаний в нелинейной системе. Именно параметры автоколебаний определяют предельные циклы в фазовом пространстве, которые разделяют области затухающих и расходящихся процессов. Знание параметров автоколебаний позволяет представить картину возможных процессов в системе и определить условия устойчивости. Метод получил широкое применение благодаря основному своему достоинству – позволяет без рассмотрения переходного процесса определить главные характеристики системы: основную частоту, амплитуду и фазу колебаний; их зависимость от формы нелинейности, структуры и параметров линейной части системы; границы областей устойчивости и влияние внешних воздействий на устойчивость системы и др. Метод применим для нелинейных систем с любой сложностью линейных частей и с разными комбинациями включения нелинейностей. В простых нелинейных системах метод гармонической линеаризации позволяет решить задачу аналитически полностью или с применением отдельных графиков [2, 9]. Если задача сложная, то прибегают к помощи вычислительной техники. Напомним, что линейная часть обладает свойством фильтра, т.е. y(t) на выходе нелинейного звена содержит частоту w и высшие гармоники 2w, 3w и т.д., которые проходят через ЛЧ со значительно меньшим усилением амплитуды, чем w. То есть, если x(t) меняется по синусоиде, выходной сигнал нелинейного элемента с нечетной статической характеристикой y(t) меняется по прямоугольной форме, то его можно представить в виде суммы ряда синусоид (или гармоник) в функции t (рис. 7.17): y1  A1 sin t A1  y3  A3 sin 3t A3  y5  A5 sin 5t 4c  , 4c , 3 4c A5  . 5 128 Рис. 7.17. Выходной сигнал нелинейного элемента Если увеличить число гармоник, то сумма синусоид ряда yt   y1  y 3  y 5  ... (7.23) будет стремиться к прямоугольной форме. Такое представление (7.23) называется рядом Фурье, все гармоники которого, кроме 1–й, называются высшими. Сигнал x(t) на входе нелинейного элемента будет близок к синусоиде, если колебания с частотой w с выхода нелинейного элемента будут хорошо воспроизводиться элементами ЛЧ. Одновременно необходимо, чтобы высшие гармоники плохо передавались через те же элементы. Это соблюдается в реальных САР, т.к. все звенья – фильтры нижних частот. Поэтому можем записать: x  a sin t y1  A1 sin t . , (7.24) Это уравнение является хорошим приближением решения в системе при любом отклонении нелинейной функции от линейной. Итак, сущность метода заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложении сигнала на его выходе в ряд Фурье и замене сигнала первой гармоникой. Первый этап определения автоколебаний заключается в гармонической линеаризации нелинейной характеристики, обозначаемой в общем виде как: 129 y  Fx  . Если x = а sin t , то для однозначных релейных характеристик 1–я гармоника определяется формулой: y1  A1 sin t , где A1 – коэффициент ряда Фурье: A1  1 2  Fa sin t sin tdt .  0 Если однозначная петлевая характеристика, то 1–я гармоника равна: y1  A1 sin t  B1 cos t , где A1  B1  1  1  2  F a sin t sin t dt , 2  F a sin t cos t dt . В расчетных формулах метода используются интегралы, потому что гармонической sin t  не dx  a cos t, dt x  a sin t, Отсюда линеаризации x , a cos t  1 dx . a dt Тогда для однозначных релейных характеристик: y1  A1 x , a для петлевых релейных характеристик: (7.25) 130 y1  A1 B dx . x 1 a a dt (7.26) Из (7.25) следует, что нелинейный элемент при синусоидальном входном сигнале можно заменить линейным звеном: y1  gx с коэффициентом усиления g  A1 , a который зависит от амплитуды входного сигнала. Геометрически это выглядит следующим образом (рис. 7.18). Входной сигнал x = a sin wt, выходной сигнал y = A1sin wt будет таким, как если бы вместо реальной характеристики obef была линейная характеристика od с тангенсом угла наклона, равным A1/a. Рис. 7.18. Статическая характеристика нелинейного элемента Если же петлевая характеристика, то нелинейный элемент заменяют линейным звеном с введением производной: g dx y  gx  1 , w dt (7.27) где коэффициенты усиления: A g 1, a B g1  1 . a (7.28) Если характеристика нелинейного элемента – петлевая гестерезисного типа, то g1 всегда имеет отрицательное значение, т.е. производная в уравнении (7.27) всегда с отрицательным знаком. А это значит, что происходит запаздывание в работе звена. Таким образом, при синусоидальном входном сигнале нелинейный элемент заменяют линейным (7.25) или (7.27). Такая замена называется гармонической линеаризацией нелинейных характеристик, т.к. она связана с разложением нелинейных колебаний на гармонические составляющие. 131 Величины g и g1 называются гармоническими коэффициентами усиления нелинейного звена или коэффициентами гармонической линеаризации. Принципиальное отличие гармонической линеаризации заключается в следующем: 1. Нелинейная характеристика заменяется прямой линией, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала. 2. Позволяет вместо нелинейного звена получить линейное, коэффициент усиления которого зависит от амплитуды входного сигнала. 3. Позволяет определять свойства нелинейных САР методами линейной теории. Гармонические коэффициенты g и g1 определяются по формуле (7.28):  для идеальной релейной характеристики g = 4c/a; g1 = 0 . (7.29)  для характеристики c зоной нечувствительности без гистерезисной петли: b2  4c  g    1 ,  a  a2 a  b , g1 = 0 . (7.30)  для двухпозиционной характеристики с петлей гистерезиса: g 4c b2 , 1 a a 2 g1   4cb a 2 , a  b . (7.31) 7.4. Определение амплитуды a0 , частоты w0 и устойчивости автоколебаний Метод гармонической линеаризации позволяет решить две задачи: 1. Выявить автоколебания в нелинейной САР. 2. Найти параметры автоколебаний. Для решения первой задачи используются различные критерии. Наиболее простой следующий. Допустим, автоколебания устойчивы и определяются амплитудой a0 и частотой w0. Тогда увеличение амплитуды на q вызывает постепенное уменьшение амплитуды колебаний до совпадения с установившимся значением a0, т.е. процесс сходящийся; при уменьшении амплитуды процесс будет расходиться и стремиться к a0. Если колебания неустойчивы, то процесс протекает в обратном направлении. При увеличении амплитуды на q амплитуда колебаний увеличивается, при уменьшении – амплитуда уменьшается. 132 По критерию устойчивости если все корни – левые, кроме пары мнимых сопряженных корней на мнимой оси, то все определители Гурвица положительны, кроме предпоследнего n-1 = 0 и последнего n=ann-1. Условиями устойчивости колебаний в системе являются: 1. При значениях a0 и w0, отвечающих устойчивым автоколебаниям, предпоследний определитель Гурвица равен  n 1 a 0 , w 0   0 . 2. Все определители Гурвица для характеристического уравнения замкнутой нелинейной системы после гармонической линеаризации при увеличении амплитуды a0 на a остаются положительными. 3. Все определители Гурвица для того же характеристического уравнения при уменьшении амплитуды a0 на a остаются положительными, кроме n–1 и n, которые становятся отрицательными. Этот критерий должен соблюдаться при малых отклонениях от значений частоты автоколебаний w0 на w. Обратимся к структурной схеме нелинейной САР (рис. 7.19). Рис. 7.19. Схема нелинейной САР Для линейной части: x 3  x 2 W j , где W(j) – АФЧХ линейной части системы. Для нелинейной части:  A x2  x1I   , a где I(A/a) – эквивалентный комплексный коэффициент усиления, который показывает, во сколько раз амплитуда 1 гармоники на выходе нелинейного элемента больше амплитуды А синусоидального входного сигнала. В системе существуют свободные колебания. Их появлению соответствуют мнимые корни характеристического уравнения. По критерию 133 Найквиста в этом случае годограф АФЧХ проходит через точку (–1,j0). Уравнение свободных колебаний:  A I  W  j   1  0 . a Приравняв к 0 действительную и мнимую части комплексной переменной, получим 2 уравнения с 2 неизвестными: частотой  и амплитудой (A/a) колебаний. Если в результате решения  имеют действительные значения, то колебания в системе возможны. Решение может быть получено графически. Для этого уравнение запишем в виде:  W  j  1  A  Z  . I  A / a a Годограф –W(j) при изменении частоты  от – до + представляет АФЧХ линейного элемента. Годограф Z(A/a) при изменении  от 0 до  – амплитудная характеристика нелинейного элемента. Пересечение АФЧХ и амплитудной характеристики нелинейного элемента определяет частоту и амплитуду возможных автоколебаний (рис. 7.20). Рис. 7.20. Графическое определение параметров автоколебаний 134 Характеристики не пересекаются, значит нет действительных значений частоты , автоколебаний в системе не существует (рис. 7.20,a). Характеристики касаются, значит система находится на границе устойчивости (рис. 7.20, б). Изменением параметров нелинейного звена можно устранить (подавить) автоколебания. Частота автоколебаний  определяется по АФЧХ W(j ), амплитуда – по обратной АФЧХ нелинейного элемента. Если характеристики пересекаются в двух точках, то осуществляется проверка устойчивости автоколебаний (рис. 7.20, в). В точке M1 установившиеся колебания. Если амплитуду увеличить на (A/a), то колебания возрастут и будут иметь амплитуду (A/a)1+ (A/a), согласно амплитудно–фазовому критерию устойчивости система будет неустойчива. Точка M2 охватывает АФЧХ и колебания будут возрастать. При уменьшении амплитуды на (A/a) система оказывается устойчивой. Точка M4 не охватывает АФЧХ, колебания будут затухать. Итак, если точка амплитудной характеристики, соответствующая увеличению амплитуды, не охватывает АФЧХ, то рассматриваемые колебания устойчивы; в противном случае – неустойчивы. Второй задачей, решаемой методом гармонической линеаризации, является определение параметров автоколебаний. Пусть САР описывается нелинейным уравнением: Dpx  MpFx, px  0. (7.32) Уравнение может быть заменено линейным уравнением:   g1    D p    g   p M  p  x  0 .     (7.33) Характеристическое уравнение после гармонической линеаризации: g   D p    g  1 p  M  p   0 .    (7.34) Подставим p=j; коэффициенты g и g1 являются функциями амплитуды a и частоты  автоколебаний. Выделим в формуле (7.34) вещественную и мнимую части: x(a,)+jy(a,)=0. Решая совместно уравнения: 135  x a,   0   y a,   0, определим амплитуду a и частоту  автоколебаний. Пример: Определить параметры и устойчивость автоколебаний нелинейной системы, структурная схема которой изображена на рис. 7.21, если заданы параметры линейной части системы (К = 0,82 с-1, Т1 = Т2 = 0,05 с) и статическая характеристика нелинейного звена (рис. 7.22), для которой b=0,25; с = 110 . y y c K p(T1 p + 1)(T2 p + 1) -b 0 b x x -c Рис. 7.21. Структурная схема системы Рис. 7.22. Статическая характеристика нелинейного звена Решение: Для определения параметров автоколебаний необходимо построить амплитудно – фазовую частотную характеристику линейной части системы WЛ = ( j ) и годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена:  Z (a)   Согласно структурной схеме характеристика линейной части равна: WЛ ( j )  1 . WH (a) амплитудно – фазовая K , j (1  j T1)(1  j T2 ) модуль равен: WЛ ( j )  фаза равна: K  (1   2T12 )(1   2T22 ) , () = -900 – arctg( T1 ) – arctg( T2 ) . Подставив значения параметров, получим: частотная 136 WЛ ( j )  0,82  (1  0,0025 2 ) , (7.35) () = -900 – 2 arctg(0,05 ) Задаваясь значениями  от 0 до  по формуле (7.35) строим амплитудно – фазовую частотную характеристику линейной части WЛ = ( j ) (рис. 7.23). Передаточная функция нелинейного линеаризованного согласно формуле (7.30), равна: WH (a)  g (a)  Отсюда 4c b2 1 , a a 2 1  a2  Z (a)    WH (a) 4c звена, гармонически ab . 1 a 2  b2 . Подставив численные значения параметров нелинейного звена, получим:  Z (a)   a 2 440 1 a 2  0,0625 . (7.36) Задаемся значениями а от а = b = 0,25 до  и строим годограф нелинейного звена (рис. 7.23). Годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви. Рис. 7.23. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена 137 Минимальное значение модуля функции -Z(a):  Z (a) min   b    0,25  0,0036 2c 2  110 , достигается при a  b 2  0,352 . Годографы WЛ ( j ) и -Z(a) пересекаются в двух точках. Это означает, что уравнение: WЛ ( j )   1   Z (a) WH (a) имеет 2 периодических решения: X1 = A1 sin( t) , X2 = A2 sin( t) . Согласно рис. 7.23  = 20 с-1; A1 = 0,257; A2 = 2,86 . Для устойчивости колебаний необходимо, чтобы WЛ ( j ) охватывала часть годографа -Z(a), соответствующую меньшим амплитудам. Поэтому решение X1 является неустойчивым, решение X2 – устойчивым. Следовательно, в системе устанавливаются автоколебания с амплитудой А = 2,86 и частотой  = 20 с-1: X = 2,86 sin (20 t) . 7.5. Устойчивость нелинейных систем Строгая теория устойчивости нелинейных систем дана Ляпуновым, который определил устойчивость нелинейных систем следующим образом. Первый метод Ляпунова [2]: Невозмущенное движение устойчиво, если при достаточно малых начальных возмущениях вызванное ими возмущенное движение сколько угодно мало отличается от невозмущенного. Движение устойчиво, если при t возмущенное движение стремится к невозмущенному. Другими словами: состояние равновесия будет устойчиво, если для любого, сколь угодно малого положительного заданного числа  существует другое положительное число (), такое, что выполняется условие | gt  | , xt    , (7.37) 138 где g(t) – возмущающее воздействие; x(t) – входная величина нелинейного звена. Если  ограничено величиной , то: 1. При < условие (7.37) выполняется; при > условие (7.37) не выполняется, в области < равновесие устойчиво и в малом и в большом; 2. В области > устойчиво только в малом, но неустойчиво в большом; 3. Если  не ограничено, то равновесие устойчиво в целом. Ляпунов доказал, что судить об устойчивости в малом можно по устойчивости линейной системы, полученной линеаризацией исходной нелинейной системы. Второй метод Ляпунова дает условия устойчивости любых нелинейных систем: возмущенное движение устойчиво, если можно указать такую знакоопределенную функцию V(x1, x2, ... , xn), производная которой по времени dv/dt также является знакоопределенной, но противоположна по знаку. Знакоопределенная функция – функция, которая при всех значениях переменных имеет один знак, а в начале координат обращается в 0. Метод заключается в отыскании функции V для исследуемой нелинейной системы. Такие функции называются функциями Ляпунова. Ограничивает применение метода отсутствие правил отыскания функции Ляпунова. Очень часто нелинейность системы задается не конкретной характеристикой, а в общем виде, с точностью определения ее класса. Например, задают статическую характеристику тем, что она должна находиться в определенном угле между осью абсцисс и прямой; конкретная форма может быть любой (рис. 7.24). Тогда говорят, что статическая характеристика задана в секторе или угле (0, k). Рис. 7.24. Статическая характеристика нелинейной системы Для исследования устойчивости нелинейных систем Поповым В. М. разработан частотный критерий: 139  Для абсолютной устойчивости системы с нелинейностью в угле (0, k) и устойчивой линейной частью с АФЧХ Wл(j) достаточно, если через точку (-1/k; 0j) можно провести хотя бы одну прямую линию, не пересекающуюся с видоизмененной характеристикой линейной системы Wлв(j). Такая прямая называется линией Попова. Видоизмененная характеристика линейной части определяется следующим образом. Если АФЧХ линейной части равна: Wл  j  U л   jVл , то видоизмененная характеристика запишется как: Wлв  U л   jVл  . Особенности видоизмененной характеристики Wлв(j):  действительная часть равна действительной части исходной характеристики;  мнимая часть равна мнимой части исходной характеристики, умноженной на . Мнимые части исходной и видоизмененной характеристики обращаются в 0 одновременно, поэтому точки пересечения оси действительной части исходной и видоизмененной функции совпадают. Действительная и мнимая части видоизмененной функции являются четными функциями . На рис. 7.25 приведены расположения видоизмененной АФЧХ системы и прямой Попова. a) б) Рис. 7.25. Видоизмененная АФЧХ системы На рис. 7.25,а приведена АФЧХ устойчивой в угле (0, k) системы, на рис.7.25,б неустойчивой системы, так как прямую Попова построить нельзя. 140 Устойчивость нелинейной системы – относительное понятие. В линейных системах существует две области на плоскости параметров системы: устойчивая и неустойчивая. В нелинейных системах различают четыре области: область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; область устойчивых автоколебаний; область неустойчивости системы; другие области, соответствующие более сложным случаям. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий [3]. Если есть автоколебания, то установившееся состояние, которое соответствует постоянному значению регулируемой величины, часто невозможно. Пусть в системе имеются процессы (рис. 7.26). Равновесное состояние (y=0) неустойчиво. Если оба колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и частоте, то система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а. Рис. 7.26. Процессы в нелинейной системе Случай, когда равновесное состояние системы устойчиво в "малом", приведен на рис. 7.27. Рис. 7.27. Система, устойчивая в "малом" 141 Система устойчива в "малом", то есть при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчива в "большом", то есть при начальных условиях, выводящих отклонения в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничный процесс – это неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны). Различные типы нелинейностей по-разному влияют на состояние системы. Если САР одноконтурная, то наличие зоны нечувствительности в каком – то звене приводит к появлению дополнительной статической ошибки. Если система многоконтурная, то наличие такой зоны может привести к автоколебаниям. Допустим, звено имеет характеристику с ограничением входной величины. Если входная величина не привышает значение а , то звено может рассматриваться как линейное, если она значительно больше а, то налицо изменение формы процесса управления. Если система одноконтурная и состоит из устойчивых звеньев, то нелинейное звено с ограничением не влияет на границу устойчивости, но граница устойчивости становится небезопасной. Действительно, в линейной системе на границе устойчивости имеют место периодические колебания, за границей устойчивости – расходящиеся до бесконечности. В данном случае амплитуда колебаний возрастает до величины а, дальнейшее увеличение прекратится за счет того, что b будет оставаться постоянным, и это приводит к снижению общего коэффициента усиления. В системе будут иметь место периодические колебания с некоторыми постоянными амплитудами и частотой. Если система многоконтурная, с дополнительными обратными связями, то такой элемент приводит к сужению области устойчивости и ухудшению качества процесса управления. В случае существенно нелинейных элементов качество управления системой значительно ухудшается, а в ряде случаев управление становится невозможным. Это проявляется в увеличении погрешности, увеличении времени протекания переходного процесса и его колебательности, потере устойчивости, возможности возникновения автоколебательных режимов. Как уменьшить влияние нелинейностей, вернее, нелинейных элементов? Это возможно следующими путями:  улучшение конструкции функционально необходимых элементов;  устранение влияния нелинейного элемента изменением линейной части системы за счет изменения параметров, структуры, введения дополнительных линейных обратных связей;  компенсация влияния нелинейности путем применения компенсирующих нелинейных элементов, обеспечивающих введение дополнительного сигнала управления по отклонению; 142  использование линеаризации нелинейности. Применительно к конкретной системе используют наиболее рациональные методы уменьшения нелинейности или их комбинацию. В технической литературе по нелинейным САУ и САР очень подробно рассматриваются такие случаи. 143 8. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ ЭВМ в настоящее время используются не только для решения разнообразных задач, связанных с расчетом и проектированием различных систем. Аналоговые и цифровые ЭВМ применяются в составе систем автоматического регулирования и управления различного назначения. Поэтому знание основных понятий, определений, методов математического расчета систем, содержащих ЭВМ, является совершенно необходимым. 8.1. Определение дискретной системы Входные и выходные сигналы непрерывных систем являются функциями непрерывного времени t. Если независимая переменная t принимает непрерывную последовательность значений, то сигнал называется непрерывным; если она принимает только конечное множество значений tk (где k=0; 1; 2 ...), то сигнал называется дискретным (рис. 8.1). В дискретных САР и САУ, в отличие от непрерывных, сигналы являются дискретными. Рис. 8.1. Непрерывный и дискретный сигналы Формирование дискретного сигнала происходит следующим образом: пусть имеется ключ, который включается на очень короткий промежуток времени , а затем остается разомкнутым в течение p (рис. 8.2). 144 Рис. 8.2. Формирование дискретного сигнала: 1 – сигнал на входе ключа; 2 – сигнал на выходе ключа Если на вход подается непрерывный сигнал, то на выходе образуется последовательность импульсов g*(t), разделенных друг от друга во времени интервалами r, причем амплитуда каждого из импульсов будет равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные моменты tk. Интервал r называется интервалом или шагом дискретизации по времени. В дальнейшем будем считать r постоянным, r = const. Поэтому, если сигнал наблюдают в течение времени Тн, то Тн = k·r , где k – целое число. По существу ключ – это амплитудный модулятор непрерывного сигнала в дискретные моменты и называется импульсным элементом. Системы, в которых входные и выходные сигналы являются дискретными, называются дискретными системами. Системы, которые характеризуются как непрерывными, так и дискретными сигналами, называются дискретно – непрерывными системами. Если непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями, то дискретные системы описывают разностными уравнениями. Рассмотрим понятие разностного уравнения [3, 9]. Допустим, t yt    Ud . Если U()– не интегрируемая, то ее аппроксимируют кусочно–постоянной функцией (рис.8.3): 145 k 1 yk r     r Ui r  . i 0 (8.1) Рис. 8.3. К выводу разностного уравнения С помощью формулы (8.1) определяют процесс интегрирования при r  0. При этом требуется запоминание всех предыдущих значений сигнала U(ir) для того, чтобы определить значение интеграла в момент t= k·r. Более простой способ заключается в том, чтобы сначала найти: yk r   r   k r   r k i 0  Ud    r Ui r  , (8.2) затем вычитают из формулы (8.2) соотношение (8.1), в результате получают: yk r   r   yk r    r Uk r  или yk  1 r   yk r    r Uk r  , (8.3) т.е. для того, чтобы определить значение интеграла в последующий (k+1)r момент, необходимо запомнить предыдущее значение интеграла y(kr) и его значение U() в данный момент. Выражение (8.3) является разностным уравнением первого порядка. Алгоритм вычисления уравнения (8.3) заключается в следующем: 1. Запоминается начальное условие y(0) = 0. 2. Формула (8.3) применяется последовательно для значений k=0, 1, 2... : 146 y  r    rU 0   y 0   rU 0  , y 2 r    rU  r   y  r  , y 3 r    rU 2 r   y 2 r  , . . . y i r    rU i  1 r   yi  1 r  . На каждом шаге этого итерационного процесса каждое последующее значение выхода y(ir) вычисляют сложением его предыдущего значения y[(i– 1)r] с предыдущим значением входа U[(i–1)·r], умноженным на r. В общем случае линейное разностное уравнение имеет вид: yn  k   a1 yn  k  1  ...  an yk   b0U n  k   b1U n  k  1  ...  bnU k  . (8.4) Чтобы определить y(n + k), нужно запомнить предыдущие значения выхода y(n + k – 1), y(n + k –2), ... ,y(k) и входа U(n + k), U(n + k – 1), ... ,U(k), а затем выполнить указанные действия умножения и сложения. Дискретные системы математически описываются в виде разностных уравнений вход – выход, которые являются аналогом дифференциальных уравнений. Уравнение (8.4) приводят к виду: yk   b0U k   b1U k  1  ...  bnU k  n   a1 yk  1  a2 yk  2  ...  an yk  n  , (8.5) где y(k) – характеризует выход в момент kr, шаг дискретности r обычно опускают для простоты написания формул. Числа y(k–1), y(k–2) характеризуют предыдущие значения выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ. Аналогично: U(k), U(k–1) характеризуют вход в дискретные моменты k и k–1 и т.д. Они также хранятся в памяти машины. Уравнение (8.5) называют разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным. Кроме рассмотренного используются и другие методы математического описания дискретных систем:  взвешенной временной последовательности, являющейся аналогом описания непрерывных систем при помощи импульсной переходной функции;  разностных уравнений в переменных состояниях, являющихся аналогом описания дифференциальных уравнений в переменных состояниях для непрерывных систем. 147 8.2. Передаточная функция дискретных систем Понятие " передаточная функция " использовалось для анализа и синтеза непрерывных систем. Это понятие может быть использовано и в дискретных, и в дискретно–непрерывных системах. Рассмотрим это. Если математическим аппаратом исследования непрерывных систем является преобразование Лапласа, то для исследования дискретных систем используется Z – преобразование, которое сводит решение разностного уравнения к алгебраическим операциям. Преобразование Лапласа превращает непрерывные функции времени t в функции комплексного переменного p; Z – преобразование - функции дискретного времени (последовательность чисел) в функции комплексной переменной Z  e  pT . Z – преобразование позволяет ввести понятие Z – передаточной функции, имеющей аналогию с обычной передаточной функцией непрерывных систем. Для дискретной функции f[n], определенной при n0, Z – преобразование через дискретное преобразование Лапласа равно:  Fg p    f n e  pnT  . n 0 (8.6) С использованием аргумента z = epT :  Zf n   Fz    f n z  n  . n 0 (8.7) Подчеркнем, Z – преобразование содержит информацию о функции в дискретные моменты времени, т. е. представляет ряд последовательных значений. На основании выражения (8.7) рассмотрим некоторые примеры Z – преобразований (рис. 8.4). 1. Исходная функция: 1, при t  0 f t    0, при t  0 . Дискретная функция f[n] равна 0[n]; Z – преобразование такой функции равно 1; 2. Единичная ступенчатая функция f(t) = 1(t). Дискретная функция f[n] равна 1[n], Z – преобразование такой функции равно: 148 Z z , z 1 изображение Лапласа 1/p . 3. Линейная функция f(t) = t. преобразование: Z  rZ z  1 2 Дискретная функция f[n] равна n·T , Z – , изображение Лапласа 1/p2 . 1, при n  0 0, при n  0 При этом  0 n    называется единичной импульсной решетчатой функцией, которая часто используется при анализе дискретных систем. f(t) f(t) t f *(t) t t f *(t) r t r Рис. 8.4. Примеры Z – преобразований Аналогично преобразованиям Лапласа, существует обратное преобразование (возврат к оригиналу), которое записывается в виде: f n   Z 1Fz  . Z– (8.8) Это не представляется трудным, т.к. изображение является табличным. 149 Разностное уравнение дискретной системы (8.5) может быть представлено в виде: l m i 0 j 0  ai yn  i   b j gn  j  , (8.9) где g[n], y[n] – входной и выходной сигналы. Перейдя к изображениям (свойство линейности Z–преобразования), получим: l m i 0 j 0  ai Z yn  i   b j Z gn  j  . (8.10) На основании теоремы запаздывания: Zf n  m  Z m Fz  (8.11) запишем (8.10) в виде: l m Y  z  ai z  i  G z  b j z  j , i 0 (8.12) j 0 где Y(z), G(z) – Z – преобразования последовательностей y(n) и g(n). Поскольку Y(z) = Z{y[n]} и G(z) = Z{g[n]} не зависят от i и j, поэтому вынесены за знаки суммы. Изображение искомой функции: m Y z   b z j 0 l a z i 0 j j G  z   H  z G  z  , (8.13) i i где H(z) – дискретная передаточная функция, которая определяет отношение Z– преобразования выходного сигнала к Z–преобразованию входного сигнала: Hz   Yz  . G z  (8.14) Но непрерывную систему чаще всего задают передаточной функцией в области комплексной переменной p. Для использования формулы (8.14) 150 необходимо по заданной функции W(p) определить дискретную передаточную функцию W(z). Для этого используют простые соотношения:  Wz    f n Z  n (8.15) n 0 где f[n] = f(t)t=nr , f(t) – импульсная переходная функция системы. Пример: Определить дискретную передаточную соответствующую p – передаточной функции Wp   a . pp  a  функцию W(z), (8.16) Используя обратное преобразование Лапласа, получим: 1 1  f t   L1 Wp   L1    1  e  at .  p p  a  (8.17) Поэтому f n r   1  e an r Z–преобразование этой последовательности равно:    Wz    1  e an r Z  n . n 0 (8.18) Дискретная передаточная функция играет в дискретных системах такую же роль, как обычная передаточная функция в непрерывных системах, которая равна отношению изображений сигналов, но по Лапласу. Дискретную передаточную функцию можно записать в виде: H z   b0  b1Z 1  ...  bm Z  m , a0  a1Z 1  ...  a Z l l (8.19) где a0 ... al , b0 ... bm – коэффициенты разностного уравнения. Итак, реакция дискретной системы на любое воздействие легко определима. Зная Y(z) = H(z)·G(z), используем обратное Z–преобразование для нахождения y[n]. 151 Пример: Определим реакцию дискретной системы с передаточной функцией Wz   b1z  b 2 z  1   2 z  1 2 2 на дискретное ступенчатое входное воздействие G z   z . z 1 Z–преобразование выходной величины равно: Y  z   W  z G  z   b1 z 2  b2 z  z  1 z 2  1  2 z  12   b1  b2    C1 C2 1  2 1  1     z  1 z  2  z 1      где C1  1 b11  b2  , 1  2 1  1 C2  , 2 b12  b2  . 2  1 2  1 Обратное преобразование от Y(z) yn   C1 1 n 1  C 2  2 n 1  b1  b 2 . 1  1 1   2  В установившемся режиме y   b1  b 2 . 1  1 1   2  На основе полученных соотношений можно выполнить анализ различных систем с помощью Z–преобразования. 1. Типовая дискретно–непрерывная система, где ЭВМ включена между импульсным входным элементом и экстраполятором (рис. 8.5). Рис.8.5. Схема типовой дискретной системы 152 Обозначим Z–преобразование на выходе ЭВМ X в Z  ZX в n r   Wв z Gz  . Можно написать Поэтому Yz   ZWэ Wo X в z  . Yz   Wв z  Gz  ZWэ Wo  . 2. Замкнутая дискретная система, содержащая управляющую ЭВМ (рис.8.6). Рис. 8.6. Схема дискретной замкнутой системы Входным сигналом импульсного элемента ИЭ является ошибка , Z– преобразование которой можно записать как: Ez   Zn r  . Z–преобразование выходного сигнала равно Yz   Wв z ZWэ pWo pEz  . (8.20) Z–преобразование сигнала r(t) на выходе цепи обратной связи R z   Wв z ZWэ pWo pWoc pEz  . Но (8.21) n r   gn r   rn r  , где g(nr), r(nr) – дискретные последовательности, соответствующие входному g(t) и выходному r(t) сигналам, поэтому: 153 E(z) = G(z) – R(z) . (8.22) Используя (8.20) и (8.21), получим Ez   GZ  Wв z Ez ZWэ Wo Woc  . (8.23) Gz   Ez   Wв z  Ez  Z WэWoWoc . (8.24) Отсюда На основании (8.20) и (8.24) определим Z–передаточную функцию системы с обратной связью и с ЭВМ в контуре управления: Фz   Wв ZWэ Wo  Yz  .  Gz  1  Wв z ZWэ Wo Woc  (8.25) На динамические свойства системы основное влияние оказывает передаточная функция ЭВМ Wв(z). Поэтому основная задача проектирования состоит в выборе Wв(z) такой, чтобы САР обладала необходимыми динамическими свойствами. 8.3. Частотные характеристики дискретной системы Аналогично частотным характеристикам непрерывных систем определим частотные характеристики дискретных систем. Частотная передаточная функция получается из дискретной передаточной функции H(z) посредством подстановки z = ejT, где  – частота входного сигнала; T – период дискретности. Функция H(ejwT) равна отношению комплексных амплитуд входных и выходных сигналов и называется частотной передаточной функцией. График модуля A() = |H(ejwT)| – называется амплитудной частотной характеристикой, график аргумента () = arg H(ejwT) – фазовой частотной характеристикой. Аналогично вводятся логарифмические частотные характеристики. Необходимо обратить внимание на следующий факт. Частотная характеристика является функцией круговой частоты . Комплексный аргумент ejwT = cos(T) + j·sin(T) – периодичен, значит частотная характеристика тоже периодически повторяется с периодом, равным круговой частоте квантования 2/T. Такую периодичность будут иметь все частотные характеристики. 154 Физически это означает следующее. Гармонические сигналы на частотах , 2l/T, где l = 1, 2... невозможно различить, наблюдая их лишь в дискретные моменты времени t = n·T. Поэтому дискретный элемент реагирует одинаково. Такая периодичность частотных характеристик очень неудобна при построении. Поэтому вводится понятие псевдочастоты, которая определяется как:  Z 1 . Z 1 (8.26) Подставим Z = ejwT в (8.26) и получим:  e jT  1 e jT  1  j tg T  j , 2 где  – псевдочастота, равная tg (T/2). Если T<2, то tg (T/2)(T/2) С учетом псевдочастоты частотная передаточная функция запишется как:  1  jT / 2  1    . H*  j   H   H 1    1  jT / 2  (8.27) 8.4. Устойчивость дискретных систем Дискретная система устойчива, если переходный процесс затухает с течением времени и переходная составляющая выходной величины, выражаемая формулой Yпер n  A1Z1n  A2 Z 2n  ...  Al Z n , l (8.28) где Z1...Zl – корни характеристического уравнения; A1...Al – постоянные, определяемые начальными условиями, удовлетворяет условию lim Yпер n   0 . n  Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции системы, описываемой формулой (8.25): 1+W(Z)=0. (8.29) дискретной 155 Поскольку переменная Z = ePt, то нулевому корню ( p = 0 ) соответствует корень Z = 1, отрицательным вещественным pi соответствуют |Zi| <1. Поэтому для устойчивости должно выполняться условие |Zi| < 1 (i = 1, 2, ..., l), т.е. корни характеристического уравнения должны лежать внутри области устойчивости, имеющей вид круга единичного радиуса на комплексной плоскости Z (рис.8.7). Необходимый и достаточный признак устойчивости дискретной системы может быть сформулирован следующим образом: Система устойчива, если все корни ее Z – характеристического уравнения лежат внутри окружности единичного радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости. При наличии корней |Zi| > 1 система неустойчива. Значение какого – либо корня |Zi| = 1 при всех остальных корнях меньше 1 определяет границу устойчивости дискретной системы. Устойчивость определяется просто для уравнения первого порядка: Z+A=0. Система устойчива, если |A|<1. Если характеристическое уравнение более высоких порядков, устойчивость анализируется с переходом к псевдочастоте . Учитывая, что то Z =e(jwT) = cos(T) + jsin(T), каждой точке окружности единичного радиуса в плоскости Z с определенными координатами cos(T) и jsin(T) по вещественной и мнимой осям соответствует некоторая  из интервала от 0 до 2/T. Однако, поскольку =j·tg(T/2), то при изменении  в указанном интервале изображающая точка в плоскости  движется по мнимой оси от 0 до  и далее от – к 0, т.е. проходит вдоль всей мнимой оси. Поэтому окружность единичного радиуса, являющаяся границей области устойчивости в плоскости Z, при переходе к  – преобразованию отображается в мнимую ось плоскости . Область устойчивости в плоскости  лежит слева от мнимой оси (рис. 8.8) и совпадает по форме с областью устойчивости непрерывных систем (которая тоже лежит слева от мнимой оси плоскости p). Это делает правомерным использование всех критериев устойчивости, разработанных для непрерывных систем. Только нужно перейти от переменной Z к переменной  или, при использовании частотных критериев устойчивости, к псевдочастоте. 156 Рис. 8.7. Условие устойчивости дискретной системы Рис. 8.8. Область устойчивости Пример: Определить устойчивость дискретной системы, которая имеет характеристическое уравнение второго порядка: Z 2  AZ  B  0 . Подставим: Z 1  1  . Получим: 2 1  1   B0 .   A 1  1   Выполним преобразования: 1   2  A1   1     B1   2  0  2 1  A  B   2 1  B   1  A  B  0 , . Согласно критерию Гурвица для устойчивости систем второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты были положительны. Поэтому система будет устойчива, если: 1  A  B  0  B  1 1  A  B  0 .  157 8.5. Оценка качества управления Показатели запаса устойчивости, быстродействия, точности дискретной системы, которые характеризуют качество ее работы, могут быть определены в результате построения кривой переходного процесса или с помощью различных критериев качества. Наиболее удобны частотные критерии. Аналогично непрерывным системам необходимо выполнить требование: АФЧХ различных систем не должна заходить в запретную область, окружающую точку (–1; j0). Запас устойчивости по модулю и по фазе аналогичен, при этом безразлично, построена АФЧХ в функции частоты  или псевдочастоты . Пример: Дискретная передаточная функция разомкнутого контура дискретной системы имеет вид: Wz   K1T . Z 1 (8.30) Определим частотную передаточную функцию, подставив Z=ejwT:   W e jT  K1T . cosT   1  j sin T  (8.31) Учитывая, что  T  2  T  cos T   cos 2    sin   ,  2   2   T  2  T  1  sin 2    cos   ,  2   2   T   T  sin T   2 sin   cos  ,  2   2  получим: cosT   1  j sinT   2 sin 2 T / 2  j 2 sinT / 2 cosT / 2 . Тогда (8.31) примет вид:   K T K T  T  W e jT   1  j 1 ctg  . 2 2  2  Выделим действительную и мнимую часть: (8.32) 158 U  K1T , 2 V  K1T  T  ctg   . 2  2  (8.33) Годограф амплитудно–фазовой частотной характеристики представляет собой вертикальную линию на расстоянии (K1·T)/2 от начала координат (рис. 8.9). Граница устойчивости проходит через точку (K1T/2). Рис. 8.19. Годограф АФЧХ дискретной системы Запас устойчивости дискретных систем анализируется таким же образом, как в непрерывных системах, но при оценке точности обязательно учитывают дополнительные ошибки, вызванные квантованием во времени. Синтез дискретных систем проводят также в два этапа: сначала синтезируют импульсный элемент и исполнительное устройство, согласованное с ним, а затем уже корректирующее устройство. Если считать, что импульсный элемент и исполнительное устройство заданы, то синтез дискретной системы сводится к выбору дискретной передаточной функции H(Z), периоду дискретности; количества двоичных разрядов в АЦП и ЦАП и весу единиц младших разрядов этих преобразователей. Чаще всего используется последовательное корректирующее устройство, тогда: H(Z)=Hж(Z)Hнч(Z), где Hж(Z) – желаемая дискретная передаточная функция; Hнч(Z) – дискретная функция неизменной части. При выборе Hж(Z) или однозначно связанной с ней частотной передаточной функцией H*ж(j) применяются те же подходы. Чаще всего используются логарифмические характеристики; строится ЛАХ желаемая; затем ЛАХ неизменяемой части и делается вывод о том, как достичь нужных результатов и выполнить требования по запасу устойчивости системы. Часто для нахождения дискретной передаточной функции за основу принимают передаточную функцию W(p) непрерывного фильтра, который привел бы передаточную функцию к желаемому виду. Чем ближе свойства 159 цифрового фильтра и идеального фильтра–прототипа, тем выше качество системы. Полная эквивалентность невозможна, потому что выходной сигнал непрерывного фильтра – непрерывная функция, выходной сигнал цифрового фильтра – ступенчатая функция. Поэтому близость понимают по-разному, рассматривая временные или частотные характеристики этих фильтров. Выбор времени дискретности основан на учете двух противоположностей: 1. Чрезмерное уменьшение периода дискретности при определенном быстродействии вычислителя ограничивает допустимую сложность алгоритма вычислений, которые выполняются в реальном масштабе времени и на каждом такте должны быть выполнены за время, не превышающее Т. 2. Увеличение периода дискретности нежелательно, т.к. приводит к потере информации при квантовании сигнала рассогласования и, в конечном счете, ухудшает качество управления. Требования к периоду дискретности T выдвигаются, исходя из заданной АЧХ A() и величины граничной частоты в спектре задающего воздействия гр, относительной погрешности реализации АЧХ. 160 9. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ Следует отметить, что системы автоматического управления с неизменяемой в процессе эксплуатации структурой, параметрами, получаемыми на этапе проектирования, часто не могут обеспечить качественного и устойчивого управления объектами. Это связано с тем, что на этапе проектирования математическая модель не всегда может быть задана точно; САУ работает в случайной среде, ее реальные характеристики можно учесть лишь статистически [6,8]. Эти факторы приводят к тому, что в процессе эксплуатации параметры системы изменяются случайным образом, степень их неопределенности может быть различной. Сами параметры и случайные их изменения называются в таком случае неконтролируемыми. Причины неконтролируемости могут быть различны – нестабильность температуры, источников питания, естественного старения и т. д. Если диапазон изменения неконтролируемых параметров невелик, то их разброс может быть уменьшен с помощью обратных связей в системе. Но если диапазон велик, то удовлетворительные технические характеристики могут быть получены только в результате самоприспособления системы к изменяющимся условиям в ходе ее нормальной эксплуатации. Самоприспосабливающиеся системы объединяют термином адаптивные. Адаптивными системами называются системы, в которых параметры управляющих воздействий или алгоритмы управления целенаправленно меняются для обеспечения заданного качества в процессе управления при изменении характеристик объекта и внешних возмущений случайным образом . То есть принцип адаптации заключается в поддержании требуемого (заданного) функционала качества системы при изменении управляющих сигналов U независимо от действия как внешних, так и внутренних воздействий. Существует несколько уравнений адаптации. Первый уровень адаптации – параметрический заключается в изменении параметров системы автоматического управления: U=< П1, П2, …, Пn>, где П1, П2, …, Пn – параметры системы. Параметрическая адаптация заключается в коррекции и подстройке параметров системы на каждом этапе управления, при этом U принимает конечное число значений. Вторым уровнем адаптации является изменение структуры САР и называется структурной адаптацией : U=<К, L, А>, 161 где К=<К1, К2, …, Кn> - набор компонент структуры ; L= - связь между компонентами структуры ; А= - алгоритм управления структурой. Поскольку структура САУ характеризуется устойчивой связью элементов схемы, то применение данного уровня адаптации позволяет оптимизировать структуру системы. Во многих случаях параметрическая адаптация целесообразна, но недостаточна. Использование первого и второго уровней адаптации одновременно позволяет более эффективно и качественно решить задачу адаптации САУ. Выходной сигнал в этом случае равен Y= F<П, K, L, A, X>. Третий уровень адаптации – алгоритмический, основанный на изменении структуры алгоритмов обработки информации и приспособлением их к задачам, решаемым САУ. Для управления структурой и параметрами системы применяется микропроцессор или микропроцессорный комплект, позволяющий достаточно просто и надежно обеспечить высокую точность измерения и хорошее качество управления. 9.1. Классификация адаптивных систем Приведем краткую классификацию приспосабливающихся систем, объединив их общим названием – адаптивные системы (АСАУ). Адаптивные системы можно разделить на: 1. Самонастраивающиеся (или системы с параметрической адаптацией). Используя текущую информацию о характеристиках внешних воздействий или динамических характеристиках объекта, они осуществляют контролируемые изменения параметров регулятора, обеспечивая улучшение качества работы системы. 2. Самоорганизующиеся. Уменьшение априорной неопределенности, приводящее к улучшению качества управления технологическим процессом, достигается в них путем использования информации, получаемой в ходе непрерывного измерения доступных входных и выходных сигналов. 3. Самообучающиеся. Информация о неизвестных характеристиках вырабатывается в ходе обучения и используется в дальнейшем для оценивания, классификации и принятия соответствующих решений с целью улучшения качества работы системы. В зависимости от способа, которым осуществляют желаемые изменения, адаптивные системы подразделяются на: 162 1. Пассивные. Конструктивные изменения программно зависят от имеющейся на стадии проектирования системы априорной информации о внешних и внутренних условиях работы системы. 2. Активные. В них осуществляются контролируемые изменения собственных характеристик в зависимости от текущей, а не только от априорной информации об условиях работы системы. Кроме того, АСАУ могут подразделяться на: 1. Системы с разомкнутым контуром самонастройки. Система, в которой программа настройки параметров определяется заранее и таким образом, чтобы система управления находилась в расчетном квазиоптимальном режиме при некоторых типовых или наиболее вероятных внешних и внутренних условиях. 2. Системы с замкнутым контуром настройки. Системы обладают способностью осуществлять самоанализ параметров, т.е. в таких системах обязательным является наличие дополнительного замкнутого контура самонастройки, служащего для анализа эффекта изменения качества системы управления в процессе адаптации. Приведем несколько примеров систем. Обычная система стабилизации углового положения объекта приведена на рис.9.1. f(t) f1(t) fn(t) . . . . x W1(p) + W0(t) y Рис.9.1. Неприспособливающаяся схема стабилизации углового положения При изменении внешних условий меняется передаточная функция W0(p) объекта. Возмущения f1(t) ...fn(t) со стороны внешней среды приводят к неконтролируемым изменениям параметров системы; они приложены к различным точкам регулятора и объекта , f(t) не меняет его параметров. САУ с параметрической адаптацией приведена на рис.9.2. Параметры системы определяются внешними возмущениями f1(t) ...fn(t). 163 Д1 Д2 Д3 ВУ1 ВУ2 ВУ3 f(t) f1(t) fn(t) . . . . W1(p) + Y W0(t) X Рис.9.2.Приспосабливающаяся адаптивная система Параметры внешней среды (например, температура воздуха, скорость ветра) непрерывно измеряются датчиками Д1-Д3, текущие значения поступают в вычислительные устройства ВУ1 ... ВУЗ, вырабатывающие сигналы, с помощью которых характеристика W1(p) подстраивается так, чтобы компенсировать изменения характеристики W0(p). Но в такой САУ с разомкнутым циклом настройки отсутствует анализ эффективности изменений. 9.2. Адаптивное управление объектами с эталонной моделью В теории и практике адаптивных систем сформировались два направления (с эталонной моделью и идентификацией объекта управления; с эталонной моделью), реализующие градиентный метод. Структура адаптивной САУ с эталонной моделью включает основной контур управления с управляемым объектом, эталонную модель и устройство адаптации (рис.9.3). Регулятор и объект представляют адаптивную систему. Эталонная модель задает необходимые статические и динамические свойства основного контура. В процессе эксплуатации динамика основного контура непрерывно сравнивается с поведением эталонной модели. Задача устройства адаптации заключается в минимизации рассогласования их выходов путем изменения параметров основного контура (или формированием дополнительного сигнала на его вход). 164 возмущения Ум Адаптивная система И е возмущения Ус Адаптивная система параметрическая адаптация Формирование вспомогательного входного сигнала Устройство адаптации Рис.9.3. Структура адаптивной САУ с эталонной моделью Эталонная модель формирует желаемую реакцию для настраиваемой системы. Устройство адаптации изменяет параметры адаптивной системы или вычисляет вспомогательный входной сигнал на основе разности сигналов УсУм. Достоинство такой схемы АСАУ с эталонной моделью состоит в относительно высокой скорости адаптации, так как функциональные качества эталонной модели совместно с системой представляет собой линейную функцию от переменных состояния. Приведенная на рис.9.4 схема АСАУ стремится «копировать» выход эталонной модели при наличии возмущения параметров системы или входа. эталонная модель И Ум Е регулятор КИ Кс объект Ус Кр Устройство адаптации настраиваемые параметры формирование вспомогательного сигнала Рис.9.4. АСАУ с эталонной моделью (устройство адаптации формирует вспомогательный входной сигнал) 165 Контролируемые параметры регулятора – Ки, Кс, Кр. Устройство адаптации изменяет эти параметры или формирует вспомогательный сигнал для обеспечения качества степени за моделью (адаптивная система слежения за эталонной моделью). 9.3. Адаптивная система с эталонной моделью, реализующая градиентный метод Поисковые системы для своего функционирования требуют определенного интервала времени, что связано с определением необходимого направления движения или знака скорости. Устранить этот недостаток путем введения в систему эталонной модели с использованием градиентного метода, т.е. вектор, определяемый градиентом некоторой функции Q от переменных величин  i , можно записать n dQ gradQ   Ki , i 1 d i где K i – взаимно-ортогональные единичные векторы. Для АСАУ Q - критерий, являющийся функцией настраиваемых параметров  i. В этом случае вектор – функция скоростей изменения настраиваемых параметров  i имеет вид P  gradQ, где  - положительный скалярный множитель (знак + относится к функции Q с экстремумом-максимумом , знак – с экстремумом-минимумом), Pd . dt Примем в качестве критерия самонастройки экстремальную функцию Q(ε1), где ε1(t) = xэ(t) – x(t) (9.1) есть ошибка между выходными переменными эталонной модели xэ(t) и основной системы x(t). ε1(t) зависит от произвольно изменяющихся параметров – неконтролируемых β и контролируемых α. Согласно методу градиента, скорость изменения настраиваемого параметра αi будет Q dQ  1 p i  i   i . (9.2)  i d 1  1 166 Так как критерий самонастройки Q является функцией ошибки ε1(t), то Q легко формируется в соответствующем вычислительном устройстве с 1 входным сигналом ε1(t). Для получения 1 используется метод вспомогательного оператора, 1 который может быть вычислен по уравнению (7.1) с учетом основного контура управления. Так как xэ(t) не зависит от параметров основной системы, то 1 x  . 1  i (9.3) Эта частная производная может быть вычислена непосредственно дифференцированием уравнения основного контура управления (основной системы) x(p) =  (p)G(p), (9.4) где = – оператор основной системы.  (p)  Q(α,β) Поскольку воздействие g(t) от параметров системы не зависит, то x ( p)  G ( p).  i  i Таким образом Частная производная  ( p)  i 1 ( p)  .  i  i (9.5) представляет вспомогательный оператор, который может быть воспроизведен некоторым вычислителем с оператором ( p)  i реализуется как выходной сигнал этого вычислителя Wi ( p)  и, следовательно,  1  i при подаче на его вход воздействия g(t). В результате (7.2) запишется p i   i Q ( p) Q [( ) g (t )]  1 Wi ( p) g (t ). 1  i 1 (9.6) Структура вычислителя W1(p) известна, так как известна структура и зависимость от параметров оператора Φ(p). Неизвестными остаются только текущие значения параметров α и β. При этом α могут задаваться вычислителю, а информация о неконтролируемом параметре β отпадает в случае использования эталонной модели. 167 Заключение Теория автоматического управления и теория автоматического регулирования, информатика и техническая кибернетика являются научной базой теории управления техническими системами. В настоящее время интенсивно развиваются иерархические многоуровневые системы управления технологическими процессами и объектами, сложные автоматизированные системы. Основные понятия, принципы, задачи и методы теории автоматического управления и теории автоматического регулирования сохраняют свою актуальность и получают развитие в современной теории. Новым является существенное воздействие роли информации, компьютеризация процессов ее обработки, поскольку любая система выполняет свою задачу при помощи сбора, передачи, обработки и использования информации на основе принципа обратной связи. Главной задачей авторов был отбор наиболее проверенных практикой теоретических методов исследования и расчета автоматических систем. В материалах содержатся основные сведения о теории автоматизации и систем автоматического управления, включая методы математического описания и методы исследования, методы коррекции систем. В каждой главе в сжатой форме излагается теоретический материал, приводятся расчетные формулы, графики, схемы. Основные методы анализа и расчета иллюстрируются примерами. 168 Список литературы 1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управленияСПб.:Профессия,2003.-752 с 2. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. СПб.: Политехника, 2005.-302 с. 3. Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления. СПб: Лань, 2010.- 224 с. 4. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем и системный анализ. М.: Юрайт, 2013.- 616 с. 5. Рубичев Н.А. Измерительные информационные системы. М.: Дрофа, 2010.334 с. 6. Антонов В.Н., Терехов В.А., Тюкин И.Ю. Адаптивное управление в технических системах. СПб.: Политехника, 2011.- 244 с. 7. Харазов В.Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами. СПб.: Профессия, 2009.- 592 с. 8. Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления. Теория и практика. М.: Радиотехника, 2009.-392 с. 9. Ширабакина Т.А., Вахания В.И., Титов В.С. Основы автоматизации и системы автоматического управления: Учебн. пособие/ Курск.гос. техн. унт. Курск, 2004.-248 с. 10. Ширабакина Т.А. Основы автоматики и системы автоматического управления. Практикум. Курск, Курск.гос.техн.ун-т, 2008.- 101 с. 169 СОДЕРЖАНИЕ 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4 1.5 1.6 2 2.1 2.2 2.3 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4. 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 6. ВВЕДЕНИЕ 3 ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ 4 История автоматики и теории управления 4 Основные понятия теории управления 7 Принципы и законы регулирования и управления 11 автоматических систем Основные понятия и определения технических систем 13 Классификация систем 14 Примеры систем автоматического управления и 18 регулирования ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО 22 РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Режимы работы линейных систем 22 Математическое описание автоматической системы. 23 Передаточная функция Частотные характеристики систем 27 СТРУКТУРА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 34 Структуры автоматических систем 34 Схемы автоматических систем 36 Правила преобразования структурных схем автоматических 38 систем Вычисление передаточной функции одноконтурной системы 42 Вычисление передаточной функции многоконтурной системы 43 ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 47 Классификация элементов 47 Характеристики элементов 48 Статические характеристики 50 Динамические характеристики 54 Типовые динамические звенья и их характеристики 57 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ 74 СИСТЕМ Условие устойчивости линейной системы 74 Критерии устойчивости линейных систем 78 Алгебраические критерии устойчивости 78 Частотные критерии устойчивости 83 Определение устойчивости системы по логарифмическим 92 частотным характеристикам Запас устойчивости линейных систем 95 Определение области устойчивости линейной системы 96 АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 100 170 7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 9. 9.1 9.2 9.3 Методы анализа качества системы Частотный метод анализа качества регулирования Синтез корректирующих устройств линейных систем НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Особенности нелинейных систем Метод фазового пространства (метод фазовой траектории) Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса) Определение амплитуды a0 , частоты w0 и устойчивости автоколебаний Устойчивость нелинейных систем ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Определение дискретной системы Передаточная функция дискретных систем Частотные характеристики дискретной системы Устойчивость дискретных систем Оценка качества управления ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ Классификация адаптивных систем Адаптивное управление объектами с эталонной моделью Адаптивная система с эталонной моделью, реализующая градиентный метод ЗАКЛЮЧЕНИЕ Список литературы 100 102 106 113 114 117 126 131 137 143 143 147 153 154 157 160 161 163 165 167 168 171