Основы теории надежности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Императора Александра I» Кафедра «Высшая математика» Н.В. ГРИБКОВА ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ Лекции для заочного отделения Санкт-Петербург ПГУПС 2021 Оглавление 1 Введение 1.1 Концепция надежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Основные термины и понятия теории надежности . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Методы повышения надежности объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Количественные показатели надежности 2.1 Индикатор состояния . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Время наработки до отказа . . . . . . . . . . . . . 2.3 Функция надежности . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Интенсивность отказов . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Среднее время наработки до отказа . . . . . . . . 2.6 Статистические оценки показателей надежности 3 3 4 6 . . . . . . 8 8 9 9 10 11 13 . . . . . 15 15 16 18 19 20 4 Анализ надежности структурных схем 4.1 Блок-схемы надежности и функции структур . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Надежность систем с независимыми компонентами . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Резервирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 27 35 3 Модели отказов 3.1 Биномиальное и геометрическое распределения 3.2 Экспоненциальное распределение . . . . . . . . 3.3 Распределение Эрланга . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Распределение Вейбулла . . . . . . . . . . . . . 3.5 Нормальное (гауссовское) распределение . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1 Введение 1.1 Концепция надежности Понятие надежности, как свойства вещей и человеческого атрибута, существовало с древних времен, но в отношении технических объектов концепция надежности стала применяться только в XX-м веке, после I-й мировой войны, и использовалось вначале для обозначения меры безопасности эксплуатации первых самолетов. Надежность измерялась тогда количеством аварий на час времени полета. В начале 1930-х годов были заложены теоретические основы использования статистических методов контроля качества промышленной продукции. Однако эти методы получили широкое использование лишь после II-й мировой войны. Математическая теория надежности возникла в связи с опытом эксплуатации сложных систем в годы II-й мировой войны. Эти технические системы состояли из большого числа элементов и часто отказывали, хотя включали в себя качественные (если рассматривать их по-отдельности) комплектующие. Было замечено, что проблема в том, что показатели надежности сложной системы часто равны (или близки) произведению показателей надежности ее элементов. Поэтому, если система содержит большое число элементов, то ее надежность может быть довольно низкий, хотя комплектующие имеют высокую надежность. В середине XX-го века, с появлением космической техники, электроники, атомной энергетики и других технологичных направлений человеческой деятельности, мир вступил в качественно новый этап своего развития. Сложность и ответственность текущих и перспективных задач по прогнозированию и обеспечению надежности технических систем вызвали бурный рост работ по надежности, востребованных как в теории, так и на практике. В западной науке пионерами создания основ математической теории надежности были Р.Барлоу и Ф. Прошан. В нашей стране развитие теории надежности связано с именами Б.В. Гнеденко, А.Д. Соловьева, И.А.Ушакова, Ю.К.Беляева и др. Студентам, заинтересованным в более подробном знакомстве с историей становления математической теории надежности можно порекомендовать прочесть замечательный исторический обзор И.А. Ушакова [.]. Современная теория надежности — это инженерное направление, в котором применяются математические модели и методы для: 1) расчета и обеспечения надежности технических объектов на этапе их проектирования; 2) получения выводов о надежности произведенных технических систем на основе результатов эксплуатации и/или специально спланированных испытаний; 3) обеспечения и повышения надежности технических 3 объектов в процессе эксплуатации, хранения и транспортировки [Энц.словарь]. Процессы, происходящие в технических системах при их эксплуатации (или транспортировки и хранения), как правило, носят случайный характер. Характеристики надежности систем — это характеристики моделирующих их работу случайных процессов. Оценки параметров, характеризующих надежность систем, производятся на основе испытаний большого числа однотипных объектов и относятся к средним показателям. Все сказанное объясняет тот факт, что основными методами математической теории надежности являются методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Теория надежности имеет дело с такими показателями, как, например, вероятность безотказный работы, среднее время безотказной работы, вероятность того, что система будет исправна в некоторый заданный момент времени (или в некотором заданном интервале времени) и пр. Кроме вероятностных и статистических, в теории надежности также широко применяют методы теории оптимизации, математической логики, исследования операций и др. 1.2 Основные термины и понятия теории надежности В этом разделе мы перечислим и определим основные термины теории надежности, которые мы будем использовать в дальнейшем. Полный список терминов представлен в ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения [.]. Объект — техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации. Система —объект, представляющий собой совокупность элементов, взаимодействующих в процессе выполнения определенного круга задач и взаимосвязанных функционально. Элемент системы — объект, представляющий собой простейшую часть системы, отдельные части которого не представляют самостоятельного интереса в рамках конкретного рассмотрения). В дальнейшем мы будем использовать слово «объект» как обобщающее обозначение для систем, подсистем, элементов. Все технические объекты предназначены для выполнения одной или нескольких обязательных функций. С возможностью выполнения этих функций и связано понятие надежности (как основное понятие теории надежности). Надежность — это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации, технического обслуживания, хранения и транспортировки. Прежде чем оценивать надежность объекта (например, автомобиля), необходимо перечислить и систематизировать функции, которые должен выполнять этот объект, и установить границы значений параметров, при которых выполнение этих функций возможно. Надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его эксплуатации может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность или различные сочетания этих свойств. Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта. 4 Безоказность — свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки. Ремонтопригодность — свойство объекта, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Восстанавливаемый (невосстанавливаемый) объект —- объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит (не подлежит) восстановлению в рассматриваемых условиях. Объект может изучаться, как невосстанавливаемый, если в какой-то момент нас интересуют только его характеристики до первого отказа. Наработка до отказа — наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа. Наработка до отказа может измеряться временем T работы до отказа, но может быть измерена, например, пробегом в километрах, или количеством произведенной до первого отказа продукции. Для восстанавливаемых объектов могут быть также определены следующие понятия. Наработка между отказами — наработка объекта от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа. Время восстановления — это продолжительность восстановления работоспособного состояния объекта. Готовность — это способность объекта (имея в виду аспекты надежности и возможности восстановления (ремонта)) в установленный момент времени (или в течение указанного периода времени) выполнять требуемые функции. Показателем готовности является функция готовности:
A(t) = P элемент работоспособен в момент времени t Термин «работоспособен» означает здесь, что система (элемент) или находится в активной работе, или что она может работать при необходимости. Коэффициент средней готовности — это величина Aср. = Tср. , Tср. + Tср.рем. где Tср. – среднее время наработки до отказа, а Tср.рем. – среднее время ремонта. Коэффициент Aср. имеет смысл средней доли времени, в течение которого (ремонтопригодная) система остается работоспособной. Одним из способов повышения надежности является резервирование для наиболее уязвимых и/или критически важных для работоспособности объекта узлов и элементов. Резервирование — это способ обеспечения надежности объекта за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых функций. Резерв — это совокупность дополнительных средств и (или) возможностей, используемых для резервирования. 5 Основной элемент — это элемент объекта, необходимый для выполнения требуемых функций без использования резерва. Резервируемый элемент — это основной элемент, на случай отказа которого в объекте предусмотрены один или несколько резервных элементов. Резервный элемент — это элемент, предназначенный для выполнения функций основного элемента в случае отказа последнего. Нагруженный резерв — резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента, то есть в эксплуатации. По другой терминологии, в этом случае используют также термин «горячий» резерв. Облегченный резерв — резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент. В этом случае используют также термин частично нагруженный резерв Ненагруженный резерв — резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в режиме ожидания до начала выполнения ими функций основного элемента. По другой терминологии, в этом случае используют также термин «холодный» резерв 1.3 Методы повышения надежности объектов В технических системах часто надежность отдельных элементов (подсистем) может иметь критически важное значение для работоспособности всей системы, большее чем других ее компонентов. Если, например, функционирование элемента необходимо для работы остальной части системы, отказ этого единственного элемента влечет за собой то, что система выйдет из строя. С целью повышения надежности технических систем на этапе их проектирования используют различные подходы, среди которых можно выделить три основных и взаимодополняющих подхода: • повышение надежности элементной базы; • введение резервирования; • обеспечение многоуровневого характера функционирования. Первый подход предполагает: использование высоконадежных комплектующих, изготовленных в соответствие с современными технологиями, отобранных и проверенных на требуемых режимах работы; защиту элементов от внешних вредных воздействий (климатических, механических, радиационных и т.п.); снижение нагрузок на элементы. Второй способ – это структурное резервирование, представляющее собой метод повышения надежности системы, при котором вводятся дополнительные избыточные элементы сверх минимально необходимых для нормального выполнения системой возложенных на нее функций. Тип резервирования, получаемый путем замены важного элемента двумя или более элементами, работающими параллельно, называется нагруженным (или «горячим») резервированием. Эти элементы делят между собой нагрузку с самого начала, пока не произойдет отказ одного из них. Резервные элементы также могут храниться в режиме ожидания и активироваться один за другим, заменяя основной работающий элемент при его отказе. Если резервные элементы не несут нагрузки в период ожидания до их активации (и, следовательно, не может произойти их отказ в этот период), такое резервирование называется ненагруженным (или «холодным») резервированием. Возможны схемы резервирования, при которых 6 резервные элементы несут слабую нагрузку в период ожидания (и, следовательно, может произойти их отказ в этот период), такое резервирование называется частично нагруженным. Третий способ обеспечения более высоких показателей надежности — это разработка систем с многоуровневым характером функционирования при возникновении отказов. Многоуровневость функционирования с точки зрения надежности означает, что при возникновении отказов система не остается на том же, например, 100%-ом уровне производительности, что имеет место в случае систем с резервированием, но и не снижает уровень производительности до 0% (отказ системы), а переключается на промежуточные, как правило, дискретные уровни, снижая свою эффективность (производительность). 7 Глава 2 Количественные показатели надежности В этой главе мы вначале введем несколько количественных показателей надежности невосстанавливаемых объектов. Эти объекты могут быть чем угодно, от небольших элементов до больших систем. При этом, когда мы классифицируем объект как не подлежащий ремонту, это означает, что мы заинтересованы только в его изучении до момента первого отказа. В некоторых случаях объект может быть действительно неисправимым, это означает, что он будет отброшен при первом отказе. В других случаях объект может быть отремонтирован, но нас интересует только то, что происходит с ним до первого отказа. Мы введем следующие четыре важных критерия надежности невосстанавливаемых элементов: • R(t) — функция надежности (выживаемости); • υ(t) — функция интенсивности отказов; • Tср. — среднее время наработки до отказа; • Tср. ост. (t) — средний остаточный срок службы. Затем, в п. 2.7, мы рассмотрим статистические версии (оценки) этих показателей. И, наконец, в п. 2.8, мы приведем основные показатели для ремонтопригодных объектов, а также их статистические версии. 2.1 Индикатор состояния Состояние объекта в момент времени t может быть описано индикатором состояния X(t): ( 1, если элемент работоспособен в момент времени t; X(t) = (2.1) 0, если элемент находится в состоянии отказа в момент t. Индикатор X(t) состояния объекта, не подлежащего ремонту, является, вообще говоря, элементарным случайным процессом, поскольку его значение изменяется с 1 на 0 в случайный момент времени (момент отказа элемента). Типичный график реализации X(t) показан на рис. 2.1. 8 2.2 Время наработки до отказа Под временем T наработки до отказа объекта мы понимаем время, прошедшее с момента начала его эксплуатации до момента его первого выхода из строя. Мы устанавливаем t = 0 в качестве отправной точки. Время до отказа T естественно интерпретировать, как случайную величину, поскольку его изменения обычно связаны со случайными причинами. Очевидно, время до отказа T и индикатор состояния X(t) связаны между собой следующим образом: T = sup{t : X(t) = 1}, t≥0 это соотношение иллюстрирует рис. 2.1. Важно отметить, что в теории надежности время до отказа T не всегда имеет смысл именно времени. В зависимости от ситуации это может также измеряться более косвенными понятиями времени, такими как: • число срабатываний переключателя; • пробег в километрах автомобиля до первой поломки; • число оборотов подшипника; • количество циклов для периодически работающего объекта. Из этих примеров видно, что время до отказа может быть часто и дискретной случайной величиной. Однако распределение дискретной случайной величины может быть аппроксимировано распределением непрерывной случайной величины. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем предполагать, что время до отказа T имеет абсолютно непрерывное распределение с функцией плотности f (t) и функцией распределения
F (t) = P T ≤ t = Zt f (u) du, (2.2) где t > 0. (Так
как по смыслу T – неотрицательная случайная величина, очевидно, что F (t) = P T ≤ t ≡ 0 при t ≤ 0.) Таким образом, F (t) — это вероятность того, что отказ объекта произойдет в течение интервала времени (0, t]. Функция плотности вероятности f (t) определяется как
P t < T ≤ t + 4t F (t + 4t) − F (t) d F (t) = lim = lim . f (t) = 4t→0 4t→0 dt 4t 4t Отсюда следует, что когда 4t мало,
P t < T ≤ t + 4t ≈ f (t)4t. Примерные графики функции распределения F (t) и плотности вероятности f (t) показаны на рис. 2.2. 2.3 Функция надежности Функция надежности, которую также называют функцией выживания, определяется, как
R(t) = 1 − F (t) = P T > t , (2.3) 9 где t > 0, или эквивалентным образом, как Zt R(t) = 1 − Z+∞ f (u) du = f (u) du. (2.4) t Таким образом, R(t) – это вероятность того, что объект не отказал в промежутке времени (0, t], или, другими словами, что объект «выжил» в промежутке (0, t] и все еще функционирует к моменту времени t. Примерный график функции надежности изображен на рис. 2.3. 2.4 Интенсивность отказов Вероятность того, что отказ объекта произойдет в интервале (t, t + 4t], при условии, что в момент t объект работоспособен, равна

P t < T ≤ t + 4t F (t + 4t) − F (t)
= . P t < T ≤ t + 4t T > t = R(t) P T >t Деля последнее равенство на 4t и переходя затем к пределу при 4t → 0, получаем величину υ(t), называемую функцией интенсивности отказов:
P t < T ≤ t + 4t T > t υ(t) = lim 4t→0 4t F (t + 4t) − F (t) 1 f (t) = lim = . (2.5) 4t→0 4t R(t) R(t) Отсюда следует, что если 4t мало, то
P t < T ≤ t + 4t T > t ≈ υ(t)4t. (2.6) Отметим, что поскольку R(t) ≤ 1, мы всегда имеем υ(t) ≥ f (t) при всех t > 0. Так что если мы в момент t = 0 зададимся вопросом, какова вероятность того, что объект откажет в промежутке времени (t, t + 4t], то мы оценим эту вероятность, как ≈ f (t)4t, но если мы знаем, что объект еще не отказал к моменту t, то мы оценим эту же вероятность, как ≈ υ(t)4t, причем последняя величина, вообще говоря, больше первой. Если мы введем в эксплуатацию много идентичных объектов в момент t = 0, то величина υ(t)4t будет представлять собой, грубо говоря, долю объектов, не отказавших к моменту t, которые откажут в интервале времени (t, t + 4t]. Заметим, что d d f (t) = F (t) = (1 − R(t)) = −R0 (t), dt dt следовательно, f (t) R0 (t) d =− = − ln R(t), (2.7) υ(t) = R(t) R(t) dt то есть, функция интенсивности отказов есть взятая со знаком минус логарифмическая производная функции надежности R(t). 10 Поскольку R(0) = 1 и, следовательно, ln R(0) = 0, то из (2.7) следует, что   Zt Zt ln R(t) = − υ(u) du =⇒ R(t) = exp − υ(u) du , (2.8) и в силу (2.5), мы также имеем   Zt f (t) = υ(t) · exp − υ(u) du . (2.9) Обычно функция частоты отказов имеет характерный «ваннообразный» вид, представленный на рис. 2.4, согласно которому срок службы любого объекта можно разделить на три этапа: • период «выжигания» дефектных элементов; • период полезного использования (или период «случайного отказа»); • период старения (износа); На начальном этапе частота отказов объекта высока, что связано с возможным наличием дефектов производства, не обнаруженных изготовителем. Затем следует период, в котором частота отказов стабилизируется на некотором уровне, где она остается в течение определенного времени, пока не начнет увеличиваться по мере износа элементов объекта. 2.5 Среднее время наработки до отказа Среднее время Tср. наработки до отказа объекта определяется как математическое ожидание: Z∞ Tср. = E(T ) = t f (t) dt (2.10) Если объект восстанавливаемый и время, необходимое для ремонта или замены неисправного объекта, очень мало по сравнению с Tср. , то Tср. можно понимать также, как среднее время между двумя последовательными отказами. Поскольку f (t) = −R0 (t), мы может также написать Z∞ Tср. = − t R0 (t) dt, (2.11) и, интегрируя по частям в (2.11), получаем Tср. = − [tR(t)] ∞ Z∞ + R(t) dt. (2.12) ∞ Покажем, что если Tср. < ∞, то [tR(t)] 0 = 0 в (2.12). Действительно, на нижнем пределе, то есть при t = 0, мы имеем 0 · R(0) = 0 · 1 = 0. Покажем, что и на верхнем 11 R∞ пределе limt→+∞ tR(t) = 0. Мы можем представить Tср. = 0 uf (u) du в виде суммы двух интегралов Zt Z∞ Tср. = u f (u) du + u f (u) du . (2.13) |0 {z →t→∞ Tср. |t } {z →t→∞ 0 } Итак, мы видим, что, если Tср. конечно, то второй (остаточный) интеграл в (2.13) стремится к нулю при t → ∞, а с другой стороны, мы имеем оценку Z∞ Z∞ u f (u) du ≥ t t
f (u) du = tP T > t = tR(t), t из которой следует, что tR(t) также стремится к нулю при t → ∞. Отсюда и из (2.12) следует формула: Z∞ (2.14) Tср. = R(t) dt, которая иногда удобнее для вычисления среднего времени до отказа, чем формула (2.10). Среднее время наработки до отказа может быть также вычислено с использованием преобразования Лапласа (см. п. 7.1) функции надежности R(t). Действительно, если мы из каких-то соображений нашли преобразование Лапласа: Z∞ ∗ R (s) = R(t)e−st dt, (2.15) то отсюда и из формулы (2.14), очевидно, следует, что Tср. = R∗ (0) = Z∞ R(t) dt, (2.16) Пример 2.1. Рассмотрим устройство с функцией надежности вида R(t) = 1 , (0.2t + 1)2 где время t измеряется в месяцах. Плотность вероятности распределения времени безотказной работы t равна 0.4 f (t) = −R0 (t) = , (0.2t + 1)3 и для функции интенсивности отказов υ(t) имеем υ(t) = f (t) 0.4 = . R(t) 0.2t + 1 Среднее время наработки до отказа по формуле (2.14) равно Z∞ Tср. = Z∞ R(t) dt = 1 dt = 5 месяцев. (0.2t + 1)2 12 2.6 Статистические оценки показателей надежности В прикладной теории надежности определения показателей часто дают в двух формах: вероятностной и статистической. Вероятностная форма удобнее при аналитических расчетах надежности, статистическая — при экспериментальных исследованиях. В этом разделе мы приведем статистические определения (оценки) основных показателей надежности технических объектов, рассмотренных в пп. 2.3-2.6. Статистические показатели будем обозначать также, как соответствующие вероятностные но со значком оценки, принятым в математической статистике («крышечкой» сверху). При статистическом определении показателей надежности мы предполагаем, что проведены испытания n однотипных объектов до их отказа, после чего статистический показатель надежности определяют как частотный вариант соответствующего вероятностного показателя. Обозначим через Xi (t) — индикатор состояния (см. п. 2.1) i-го испытуемого объекта в момент времени t, t ≥ 0. Введем величину N (t) = X1 (t) + X2 (t) + · · · + Xn (t), равную числу объектов, находящихся в исправном состоянии в момент времени t. Обозначим Ti время наработки до отказа i-го объекта, i = 1, 2, . . . , n. Будем считать, что N (0) = n, то есть все n объектов в начале испытаний исправны. 2.7.1. Функция надежности. Статистическим вариантом функции надежности объекта R(t) = P(T > t), где T – время его наработки до отказа, то есть вероятности того, что объект не откажет в интервале времени (0, t], является функция n X b = N (t) = 1 Xi (t). R(t) n n i (2.17) Как известно из курса теории вероятностей, по Закону больших чисел (см., напр., [68],[11]), относительная частота наступления события в n независимых опытах сходится по вероятности при n → ∞ к вероятности этого события в единичном опыте. Поэтому, b близка к теоретиесли число испытуемых объектов достаточно велико, то величина R(t) ческому показателю R(t). (В математической статистике о таких оценках говорят как о состоятельных.) 2.7.2. Вероятность отказа в интервале времени (0, t] и ее плотность. Вероятность отказа объекта, то есть функция распределения времени наработки до отказа F (t) = P(T ≤ t) оценивается величиной n − N (t) b Fb(t) = = 1 − R(t), n (2.18) где n − N (t), очевидно, число объектов, вышедших из строя в интервале (0, t]. Для оценки плотности f (t) = F 0 (t) вероятности отказа возьмем достаточно малое 4t > 0, после чего оценим функцию плотности как Fb(t + 4t) − Fb(t) N (t) − N (t + 4t) 4N (t) fb(t) = = = , 4t n4t n4t (2.19) где N (t) − N (t + 4t) – число объектов, вышедших из строя в интервале времени (t, t + 4t]. 2.7.3. Интенсивность отказов в момент t. Интенсивность отказов υ(t) – это условная плотность вероятности отказа объекта в момент t при условии, что до этого времени 13 отказа объекта не было: υ(t) = f (t)/R(t) (см. п. 2.4). Подставляя в эту формулу оценки числителя и знаменателя, получаем статистический вариант интенсивности отказов: υb(t) = N (t) − N (t + 4t) fb(t) 4N (t) = = . b N (t)4t N (t)4t R(t) (2.20) 2.7.4. Среднее время наработки до отказа. Для оценки величины Tср. = E(T ) естественным статистическим аналогом является среднее арифметической времен наработки до отказа n объектов: n 1X b Ti . (2.21) Tср. = n i=1 14 Глава 3 Модели отказов В этой главе мы рассмотрим основные вероятностные распределения, которые находят применение в теории надежности, в частности, как модельные распределения случайного времени наработки до отказа (для невосстанавливаемых объектов), времени ремонта, или времени от момента окончания ремонта до следующего отказа (для восстанавливаемых объектов). Мы рассматриваем три основных дискретных распределения: биномиальное, геометрическое и пуассоновское, применяемые в моделях отказов. Обсуждаются также следующие распределения непрерывного типа: • • • • экспоненциальное распределение, распределение Эрланга, распределение Вейбулла, нормальное распределение, Вычисляемые здесь характеристики этих распределений будут интерпретироваться в терминах теории надежности. 3.1 Биномиальное и геометрическое распределения Биномиальное распределение — это одно из наиболее широко используемых дискретных распределений в теории надежности. Оно возникает в следующей ситуации: - производится последовательность независимых испытаний, - каждое испытание имеет два возможных исхода A («успех») и A («неудача»), - вероятность успеха P(A) = p одинакова во всех испытаниях. Эта последовательность называется последовательностью испытаний Бернулли. Рассмотрим первые n испытаний последовательности и пусть X обозначает число испытаний среди n испытаний, в который наблюдался исход A (успех). Тогда X — это дискретная случайная величина с распределением
P X = x = Cnx px (1 − p)n−x , где x = 0, 1, 2, . . . , n, (3.1) n! Cnx = x!(n−x)! — биномиальный коэффициент. Распределение случайной величины X называется биномиальным распределением с параметрами (n, p), при этом часто используется обозначение X ∼ Bin(n, p). Математическое ожидание и дисперсия X равны соответственно E(X) = np, D(X) = np(1 − p). (3.2) 15 Геометрическое распределение. Теперь предположим, что производится последовательность испытаний Бернулли, и нас интересует распределение случайной величины Y — числа испытаний до первого наступления события A (первого «успеха»). Если Y = y, то это означает, что первые y − 1 испытаний имели исход A, а в испытании с номером y наступил исход A. Закон распределения Y имеет вид
P Y = y = (1 − p)y−1 p, где y = 1, 2, . . . (3.3) Распределение случайной величины Y называется геометрическим распределением с параметром p, при этом часто используется обозначение Y ∼ Geom(p). Полезной является следующая формула
P Y >y = ∞ X (1 − p) i−1 ∞ X p = (1 − p) p (1 − p)s = (1 − p)y y s=0 i=y+1 Математическое ожидание и дисперсия Y равны соответственно 1 E(Y ) = , p D(Y ) = 1−p . p2 (3.4) Распределение Пуассона — это распределение, широко используемое как модель случайного числа событий, связанных с отказами объекта (или окончаниями ремонтных работ), в фиксированном интервале времени. Распределение Пуассона является базовым элементом в определении пуассоновского процесса (см. п. 5.4). Случайная величина N имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0, что кратко обозначается: N ∼ P ois(λ) , если она принимает значения из множества Z+ = {0, 1, 2, . . . } целых неотрицательных чисел, причем
λk P N = k = e−λ , для k = 0, 1, 2, . . . . k! Математическое ожидание и дисперсия случайной величины N равны соответственно E(N ) = λ, 3.2 D(N ) = λ. (3.5) Экспоненциальное распределение Рассмотрим объект, поставленный в эксплуатацию в момент времени t = 0, плотность распределения времени T наработки до отказа (времени жизни) которого имеет вид ( λe−λt , для t > 0; f (t) = (3.6) 0, для t ≤ 0, где λ > 0. Это распределение называется экспоненциальным распределением с параметром λ. Мы будем использовать стандартное обозначение: T ∼ Exp (λ). Функция надежности этого объекта
R(t) = P T > t = Z∞ λe−λu du = e−λt , где t > 0, t 16 (3.7) среднее время наработки до отказа — Z∞ Tср. = E(T ) = R(t) dt = 1 . λ (3.8) Дисперсия времени наработки до отказа равна D(T ) = 1 . λ2 (3.9) Функция интенсивности отказов υ(t), t > 0, такого объекта есть υ(t) = λe−λt f (t) = −λt = λ. R(t) e (3.10) Таким образом, интенсивность отказов в случае экспоненциального распределения времени T постоянна (т.е., не зависит от времени) и равна значению параметра λ. Смысл параметра λ в этом случае заключается в следующем. Если Tср. = 1/λ – это среднее время между двумя отказами объекта (при быстром (≈ мгновенном) его восстановлении при каждом отказе), то величина 1 λ= Tср. имеет смысл среднего числа отказов объекта в единицу времени. Например, если λ = 2 и время T измеряется в годах, то среднее время между двумя последовательными отказами Tср. = 1/λ будет равно 1/2 года, то тесть, 6 месяцам, и в год в среднем будет происходить 2 отказа, то есть, примерно 1 отказ за пол года. В силу постоянства функции интенсивности отказов, экспоненциальная модель времени наработки до отказа объекта применима для периода II (периода нормальной работы устройства), когда уже нет отказов, связанных с наличием дефектов производства, и еще не начался период износа (старения). Рассмотрим условную функцию надежности объекта возраста t > 0 с экспоненциальным распределением времени наработки до отказа::

P T >t+s R(s + t) e−λ(s+t)
= = R(s | t) = P T > t + s T > t = R(t) e−λt P T >t
=e−λs = P T > s = R(s). (3.11) Из формулы (3.11) следует, что условная функция надежности не зависит от t, то есть от того, сколько времени уже эксплуатировалось устройство. Его надежность такая же, как и в начальный момент времени t = 0. Это происходит благодаря так называемому марковскому свойству экспоненциального распределения, которое заключается в независимости остаточной продолжительности экспоненциально распределенной операции от того, сколько времени эта операция уже продолжалась. Это общее свойство экспоненциального распределения, которое называется также свойством отсутствия последействия. Благодаря этому свойству, для среднего остаточного времени эксплуатации устройства возраста t > 0 мы имеем Z∞ Z∞ R(s | t) ds = Tср. ост. (t) = R(s) = Tср. , 17 оно также не зависит от t и равно 1/λ в каждый момент времени эксплуатации устройства Таким образом, предположение об экспоненциальном распределении времени наработки до отказа объекта влечет за собой то, что • объект в вероятностном смысле остается «как новый» и не требует замены в течение всего периода эксплуатации; Экспоненциальное распределение является наиболее часто используемой моделью для времени наработки до отказа (времени жизни объекта) в прикладных задачах надежности. Причинами этого являются, с одной стороны, математическая простота при исследовании показателей надежности, а с другой – то, что эта модель оказывается вполне реалистичной для многих типов объектов (в период II их нормальной работы). 3.3 Распределение Эрланга Рассмотрим объект, у которого время T наработки до отказа представляет собой сумму k (k ≥ 1, целое число) независимых одинаково распределенных экспоненциальных случайных величин с параметром λ > 0 T = T1 + T2 + · · · + Tk . (3.12) Закон распределения случайной величины T , определенной формулой (3.12), называется распределением Эрланга, будем использовать обозначение T ∼ Erl(k, λ). Распределение названо в честь А.К.Эрланга (1878-1929), сотрудника копенгагенской телефонной лаборатории, впервые применившего его для моделирования процессов в системах обслуживания в телефонии. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины T равны соответственно E(T ) = E(T1 ) + E(T2 ) + · · · + E(Tk ) = k , λ (3.13) D(T ) = D(T1 ) + D(T2 ) + · · · + D(Tk ) = k . λ2 (3.14) Плотность распределения Эрланга f (t) = λ (λ t)k−1 e−λt , для t > 0. (k − 1)! (3.15) Функция надежности объекта в случае распределения Эрланга у T R(t) = 1 − F (t) = k−1 X (λt)n n=0 n! e−λt , для t > 0, (3.16) функция интенсивности отказов υ(t) = f (t) λ (λ t)k−1 e−λt /(k − 1)! λ (λ t)k−1 /(k − 1)! = Pk−1 = Pk−1 n −λt /n! n R(t) n=0 (λt) e n=0 (λt) /n! 2 (3.17) λ t Если k = 2, то мы получаем υ(t) = 1+λ . Можно сравнить эту интенсивность отказов t с рассмотренной в примере 2.2, где, как теперь видно, мы имели дело с временем жизни объекта с распределением Erl(2, λ). 18 Модель Эрланга времени наработки до отказа T соответствует, например, ситуации «холодного» резервирования, когда объект имеет k дублирующих элементов, один из которых поставлен под нагрузку, остальные k − 1 находятся в резерве. Как только работающий элемент выходит из строя, он мгновенно заменяется резервным, и так до тех пор, пока не будет использован весь запас резервных элементов. И если время наработки до отказа одинаковых k резервных элементов имеет экспоненциальное распределение с параметром λ, то время наработки до отказа такого объекта состоит из k экспоненциальных слагаемых. Распределение Эрланга является частным случаем гамма-распределения Gamma(k, λ) с параметрами k > 0, λ > 0 и с плотностью f (t) = λ (λ t)k−1 e−λt , для t > 0, Γ(k) (3.18) где Γ(k) — гамма-функция Эйлера (см.п. 7.2). В случае целого положительного k гаммараспределение становится распределением Эрланга, поскольку в этом случае Γ(k) = (k − 1)!. 3.4 Распределение Вейбулла Распределение Вейбулла — это одно из наиболее широко используемых модельных распределений времени наработки до отказа при анализе надежности. Распределение названо в честь шведского математика В.Вейбулла (1887-1979), который разработал распределение для моделирования прочности материалов. Распределение Вейбулла очень гибкое и может (при подходящем выборе параметров) моделировать многие типы поведения интенсивности отказов. Время наработки до отказа T объекта называется распределением Вейбулла с параметрами α > 0 и λ > 0 [T ∼ W eibull(α, λ)], если функция распределения ( α
1 − e−(λt) , для t > 0, F (t) = P T ≤ t = (3.19) 0, для t ≤ 0. Соответствующая плотность распределения ( α αλα tα−1 e−(λt) , f (t) = F (t) = 0, для t > 0, для t ≤ 0, (3.20) где λ — это параметр масштаба, α — параметр формы. Заметим, что когда α = 1, распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением. Графики плотности f (t) при разных значениях параметров α и λ изображены на рис. 3.?. Функция надежности распределения Вейбулла
α (3.21) R(t) = P T > t = e−(λt) , для t > 0, и функция интенсивности отказов υ(t) = f (t) = αλα tα−1 , для t > 0, R(t) (3.22) Когда α = 1, частота отказов постоянна; когда α > 1, функция частоты отказов возрастает, и когда 0 < α < 1, функция υ(t) убывает. Когда α = 2, получается распределение, 19 которое известно как распределение Рэлея. Графики функции интенсивности отказов υ(t) распределения Вейбулла для некоторых наборов значений параметров представлены на рис. 3.?. Распределение Вейбулла считается гибким, поскольку может использоваться для моделирования распределений времени наработки до отказа, когда функция частоты отказов убывает, постоянна или возрастает. Среднее время наработки до отказа для распределения Вейбулла Z∞  1 +1 , α (3.23)      1 2 2 Γ +1 −Γ +1 , α α (3.24) Tср. = E(T ) = 1 R(t) dt = Γ λ  дисперсия T равна 1 D(T ) = 2 λ где Γ(.) — гамма функция Эйлера (см. п. 7.2). Распределение Вейбулла широко используется при анализе надежности (времени жизни) полупроводников, шарикоподшипников, двигателей, биологических организмов и т.д. 3.5 Нормальное (гауссовское) распределение Наиболее часто используемое в статистике распределение — это нормальное (или гауссовское) распределение. Говорят, что случайная величина T нормально распределена со средним значением µ и дисперсией σ 2 , T ∼ N (µ, σ 2 ), если плотность вероятности T равна f (t) = √ 1 2 2 e−(t−µ) /2σ 2π σ (3.25) Распределение N (0, 1) называется стандартным нормальным распределением. Стандартная нормальная функция распределения обычно обозначается через Φ(.). Функция плотности стандартного нормального распределения равна 1 2 e−t /2 . φ(t) = √ 2π (3.26) Функция распределения случайной величины T ∼ N (µ, σ 2 ) может быть выражена с помощью функции Φ следующим образом  
t−µ F (t) = P T ≤ t = Φ , (3.27) σ и в этом случае функция надежности имеет вид
R(t) = P T > t = 1 − Φ  t−µ σ  Функция интенсивности отказов определяется формулой
φ t−µ R0 (t) 1 σ
. υ(t) = − = R(t) σ 1 − Φ t−µ σ 20 , (3.28) (3.29) Если обозначить υΦ (t) = φ(t)/(1 − Φ(t)) интенсивность отказов при стандартном нормальном распределении, то можно видеть, что имеет место соотношение   1 t−µ υ(t) = υΦ . σ σ Функция интенсивности отказов стандартного нормального распределения υΦ (t) представлена на рис. 3.?. Функция интенсивности отказов возрастает при всех t и приближается к υ(t) = t, когда t → +∞. Нормально распределенная случайная величина принимает отрицательные значения с ненулевой вероятностью, поэтому не всегда подходит для моделирования времени наработки до отказа объекта.Поэтому в теории надежности часто используют так называемое усеченное слева нулем нормальное распределение с функцией распределения



P 0 0.
= F0 (t) = P T ≤ t T > 0 = P T >0 1 − Φ − σµ Функция надежности усеченного нулем нормального распределения равна

t−µ
1 − Φ t−µ 1 − Φ σ

σ . R0 (t) = P T > t T > 0 = 1 − F0 (t) = = 1 − Φ − σµ Φ σµ Соответствующая функция интенсивности отказов равна
φ t−µ 1 R00 (t) σ
для t > 0.. = υ0 (t) = − R0 (t) σ 1 − Φ t−µ σ (3.30) (3.31) Пример 3.1. Предположим, что у определенного типа автомобильных шин среднее время износа Tср. составляет 50000 км, и известно, что у 5% шин время износа составляет не менее 70000 км. Предположим, что время износа T имеет нормальное распределение и условие означает. что µ = Tср. = 50000 км, а P(T > 70000) = 0.05. Пусть σ обозначает стандарт отклонение T . Случайная величина (T −50000)/σ имеет стандартное нормальное распределение. Сначала используем условие, чтобы найти σ. Мы имеем   70000 − 50000 P(T > 70000) = 1 − P(T ≤ 70000) = 1 − Φ = 0.05. σ
Отсюда получаем, что Φ 20000 = 0.95. По таблицам функции Гаусса Φ находим, что σ 20000 ≈ 1.645, откуда σ ≈ 12158. σ Теперь найдем значение функции надежности, соответствующее времени износа 60000 км.   60000 − 50000 R(60000) = P(T > 60000) = 1 − Φ ≈ 1 − Φ(0.883) ≈ 0.188. 12158 Мы использовали модель не усеченного нормального распределения. Насколько это правомерно? Найдем вероятность «отрицательного» времени наработки до отказа (износа шин):   0 − 50000 P(T < 0) = Φ ≈ Φ(−4.11) ≈ 0. 12158 Следовательно, эффект использования усеченного нулем нормального распределения (усложняющего все вычисления) вместо обычного нормального распределения пренебрежимо мал. 21 Глава 4 Анализ надежности структурных схем Обычно реальные технические системы состоит из многих подсистем и элементов, которые связаны между собой определенным образом. Мы будем использовать термин «функциональный блок» для обозначения компонента системы, будь то элемент или большая подсистема. Одним из наиболее удобных компактных способов представления различных моделей систем с резервированием являются блок-схемы надежности. 4.1 Блок-схемы надежности и функции структур В этой главе мы будем использовать для представления структуры систем так называемые блок-схемы надежности, (б.с.н.), в которых отражены логические связи между функциональными блоками системы, необходимыми для выполнения системой ее функций. Если система имеет более чем одну функцию, то для каждой функция должна быть разработана отдельная блок-схема, являющаяся частью общей б.с.н. системы. 4.1.1. Функция структуры. В данной главе мы рассматриваем ситуации, когда достаточно различать два состояния: состояние нормальной работы и состояние отказа. Это относится как к любому из элементов, так и ко всей системе. Систему, состоящую из n компонент, будем называть системой n-го порядка. Мы будем предполагать, что элементы системы пронумерованы последовательно от 1 до n. Состояние элемента i (i = 1, 2, . . . , n) может быть описано бинарной переменной ( 1, если элемент работает нормально; xi = 0, если элемент в состоянии отказа. Вектор x = (x1 , x2 , . . . , xn ) называется вектором состояния системы. Предполагается, что если мы знаем состояния всех n элементов, то мы знаем и состояние системы: работоспособна она, или нет. В этом случае состояние системы также может быть описано бинарной функцией φ(x) = φ(x1 , x2 , . . . , xn ), где ( 1, если система функционирует; φ(x) = 0, если система в состоянии отказа. (4.1) Функция φ(x) называется функцией структуры системы или просто структурой. В дальнейшем мы будем часто говорить о структурах вместо систем. 22 Рассмотрим примеры технических систем n-го порядка с различными простейшими структурными схемами. 4.1.2. Последовательная структура. Определение 4.1 . Система, которая функционирует тогда и только тогда, когда функционируют все n ее компонент , называется последовательной структурой. Соответствующая структурная схема надежности показана на рис. 4.1. На схеме необходимость функционирования каждого из элементов для работы всей системы обозначается наличием связи между конечными точками a и b. Система функционирует, если и только если не нарушается связь всех n блоков, представляющих компоненты. Функция структуры такой системы φ(x) = x1 · x2 · · · , xn = n Y xi . (4.2) i=1 4.1.3. Параллельная структура. Определение 4.2 . Система, которая функционирует, если функционирует хотя бы одна из ее n компонент, называется параллельной структурой. Соответствующая блок-схема надежности показана на рис. 4.2. На схеме достаточность функционирования хотя бы одного из элементов для работы системы обозначается наличием связи между конечными точками a и b, если есть соединение хотя бы через один из n блоков. Функция структуры параллельной системы φ(x) = 1 − (1 − x1 ) · (1 − x2 ) · · · , (1 − xn ) = 1 − n Y (1 − xi ) . (4.3) i=1 4.1.3. k-из-n структура. Определение 4.3 . Система, которая функционирует тогда и только тогда, когда функционирует хотя бы k из n компонент, называется k-из-n структурой. Заметим, что последовательная структура является n-из-n структурой, а параллельная структура - это 1-из-n структура. Структурная функция k-из-n структуры может быть записана следующим образом ( Pn 1, если xi ≥ k; φ(x) = (4.4) Pi=1 n 0, если x < k. i i=1 Например, трехмоторный самолет, который может оставаться в воздухе, если и только если работают хотя бы два из трех его двигателей, является структурой 2-из-3. Схема этой 2-из-3 структуры приведена на рис. 23 Рис. 4.1. Структурная функция этой системы может быт записана также следующим образом φ(x) = 1 − (1 − x1 x2 )(1 − x1 x3 )(1 − x2 x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 − x21 x2 x3 − x1 x22 x3 x1 − x2 x23 + x21 x22 x23 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 − 2x1 x2 x3 (использовано то, что для бинарной переменной xki = xi ). 4.1.4. Последовательно-параллельные структуры. Определение 4.4 . Структура называется последовательно-параллельной, если ее можно представить в виде последовательной системы из параллельных структур, или параллельной системы из последовательных структур. Функция структуры последовательно-параллельных структур использует комбинации функций структур, рассмотренных ранее. 4.1.5. Структуры, представленные путями и разрезами. Рассмотрим структуру c n компонентами, пронумерованными от 1 до n. Множество компонентов обозначим N = {1, 2, . . . , n}. Определение 4.5 . Путем µ ⊂ N называется множество компонентов, одновременное функционирование которых обеспечивает функционирование системы. Путь называется минимальным, если его нельзя сократить без потери статуса пути. Определение 4.6 . Разрезом κ ⊂ N называется множество компонентов, одновременный отказ которых приводит к отказу системы. Разрез называется минимальным, если его нельзя сократить без потери статуса разреза. Для произвольной системы n-го порядка обозначим M = {µ} множество всех ее минимальных путей, K = {κ} – множество всех ее минимальных разрезов. Каждому из минимальных путей µ ∈ M поставим в соответствие его функцию структуры Y xµ = xi , i∈µ где xi – индикатор состояния элемента i ∈ µ. Поскольку система функционирует тогда и только тогда, когда функционируют элементы хотя бы одного из минимальных путей, функция структуры системы ! Y Y Y
φ(x) = 1 − 1 − xµ = 1 − 1− xi , (4.5) µ∈M µ∈M i∈µ причем мы можем интерпретировать теперь систему как параллельную структуру, состоящую из блоков µ, каждый из которых представляет собой последовательную структуру. Аналогично, мы можем сопоставить следующую бинарную функцию каждому минимальному разрезу Y xκ = 1 − (1 − xi ), i∈κ где xi – индикатор состояния элемента i ∈ κ. Поскольку система отказывает тогда и только тогда, когда отказывают все элементы хотя бы одного из минимальных разрезов, 24 функция структуры системы может быть представлена в виде ! Y Y Y φ(x) = xκ = 1− (1 − xi ) , κ∈K κ∈K (4.6) i∈κ причем мы можем интерпретировать теперь систему как последовательную структуру, состоящую из блоков κ, каждый из которых представляет собой параллельную структуру. Пример 4.2. (Мостиковая структура). Рассмотрим структуру, представленную на рис. Рис. 4.3. Множество минимальных путей этой структуры: M: µ1 = {1, 4}, µ2 = {2, 5}, µ3 = {1, 3, 5}, µ4 = {2, 3, 4}. Множество минимальных разрезов K: κ1 = {1, 2}, κ2 = {4, 5}, κ3 = {1, 3, 5}, κ4 = {2, 3, 4}. Мы имеем xµ 1 = x1 x 4 ; xµ 2 = x2 x5 ; xµ 3 = x1 x3 x5 ; xµ4 = x2 x3 x4 . Подставляя эти значения в (4.5), получаем функцию структуры системы φ(x) =1 − (1 − x1 x4 )(1 − x2 x5 )(1 − x1 x3 x5 )(1 − x2 x3 x4 ) =x1 x4 + x2 x5 + x1 x3 x5 + x2 x3 x4 − x1 x3 x4 x5 − x1 x2 x3 x5 −x1 x2 x3 x4 − x2 x3 x4 x5 − x1 x2 x4 x5 + 2x1 x2 x3 x4 x5 (4.7) (при вычислении использовалось то, что для бинарной величины xki = xi для всех i ∈ N и целых k.) Рис. 4.4 Мостиковая структура, представленная в виде параллельной структуры из последовательных минимальных путей. 25 Мы можем представить ту же функцию структуры с помощью минимальных разрезов. Рис. 4.xx Мостиковая структура, представленная в виде последовательности параллельных структур, состоящих из разрезов. Мы имеем xκ1 = 1 − (1 − x1 )(1 − x2 ); xκ2 = 1 − (1 − x4 )(1 − x5 ); xκ3 = 1 − (1 − x1 )(1 − x3 )(1 − x5 ); xκ4 = 1 − (1 − x2 )(1 − x3 )(1 − x4 ). Остается подставить эти значения в (4.6) и получить другое представление для φ(x). 4.1.6. Декомпозиция по основному элементу. Для любой функции структуры и любого x и любого i ∈ N справедливо следующее представление: φ(x) = xi · φ(x, xi = 1) + (1 − xi ) · φ(x, xi = 0) (4.8) Действительно, если xi = 1, то φ(x) = 1 · φ(x, xi = 1), и (4.8) верно. Если xi = 0, то φ(x) = 1 · φ(x, xi = 0), и (4.8) снова верно. Повторно используя равенство (4.8), получим разложение для функции структуры φ(x) = n XY y xj j (1 − xj )1−yj φ(y), (4.9) y∈Y j=1 где Y – это множество всех различных векторов y = (y1 , y2 , . . . , yn ) из нулей и единиц: yj ∈ {0, 1}. Пример 4.3. Мостиковая структура (продолжение). Вернемся к структуре, рассмотренной в примере 4.2. Если бы не присутствие элемента 3 (моста), структура была бы просто параллельно-последовательной. Функция структуры φ(x) может быть найдена декомпозицией по отношению к элементу 3. Пишем φ(x) = x3 · φ(x, x3 = 1) + (1 − x3 ) · φ(x, x3 = 0) Если x3 = 1, то φ(x, x3 = 1) = [1 − (1 − x1 )(1 − x2 )] · [1 − (1 − x4 )(1 − x5 )] = (x1 + x2 − x1 x2 )(x4 + x5 − x4 x5 ). Если x3 = 0, то φ(x, x3 = 0) = 1 − [1 − x1 x4 ] · [1 − x2 x5 ] = x1 x4 + x2 x5 − x1 x2 x4 x5 . Подставляя эти формулы в (4.10), находим функцию структуры   φ(x) =x3 · (x1 + x2 − x1 x2 )(x4 + x5 − x4 x5 )   + (1 − x3 ) · x1 x4 + x2 x5 − x1 x2 x4 x5 . 26 (4.10) 4.2 Надежность систем с независимыми компонентами В п. 4.1 мы описывали статичные системы при помощи блок-схем и функций структуры. Теперь рассмотрим работу системы во времени. Поскольку мы не можем предсказать, будут ли компоненты системы работоспособны через t единиц времени, или они выйдут из строя, становится естественным искать вероятностные закономерности. Будем теперь интерпретировать индикаторы состояния xi (i = 1, 2, . . . , n) компонент системы в момент времени t, как случайные величины: X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t). Случайный вектор X(t) =
X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t) — это вектор состояния системы, на основе которого определяется
случайная функция структуры φ X(t) . Представляют интерес следующие вероятности:
pi (t) = P Xi (t) = 1 , i = 1, 2, . . . , n,
pS (t) = P φ(X(t)) = 1 . (4.11) В этом разделе мы будем предполагать, что отказы отдельных блоков системы могут интерпретироваться, как независимые события. Это означает, что индикаторы состояний X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t) в любой фиксированный момент времени t – это независимые случайные величины. (Стоит отметить, что независимость, к сожалению, часто предполагается только для простоты, и в реальных системах она не имеет места.) Напомним, что в этой главе мы рассматриваем невосстанавливаемые системы (элементы которых не подлежат ремонту). В этом случае вероятности, определенные в (4.11), есть не что иное, как функции надежности R(t) (см. п. 2.3) i-го элемента и системы, соответственно. Если элементы и системы ремонтируются или заменяются после отказа, то они называются восстанавливаемыми (см. п. 1.2). Для таких систем формулы (4.11) совпадают с функциями готовности A(t) (см. п. 1.2) i-го элемента и системы, соответственно. Нужно отметить, что ремонтопригодные системы могут исследоваться теми же методами, что и не подлежащие ремонту, если нас интересует только то, что происходит с ними до первой неисправности. Надежность ремонтируемых систем более подробно обсуждается в главе 6. Имея в виду соответствие вероятностей (4.11) и функций надежности, мы будем для краткости называть pi (t) надежностью i-го элемента в момент времени t, а qi (t) = 1−pi (t) – его ненадежностью в момент времени t, где i = 1, 2, . . . , n. Аналогично, pS (t) будет называться надежностью, а QS (t) = 1 − pS (t) — ненадежностью системы в момент времени t. Поскольку индикаторы состояний Xi (t) принимают два значения: 0 и 1, мы имеем


E Xi (t) = 0 · P Xi (t) = 0 + 1 · P Xi (t) = 1 = pi (t), (4.12) i = 1, 2, . . . , n. Аналогично, надежность системы в момент t равна
E φ(X(t)) = pS (t). (4.13) Можно показать (см. задачу 4.7), что в случае независимости компонент, надежность системы pS (t) может быть представлена в виде функции от pi (t) (надежностей ее компонент):

pS (t) = h p1 (t), p2 (t), . . . , pn (t) = h p(t) , (4.14)
где p(t) = p1 (t), p2 (t), . . . , pn (t) . Если не оговорено иное, мы будем использовать букву h для выражения надежности системы в ситуации, когда компоненты независимы. 27 Приведем примеры вычисления надежности для ряда простых структур. В большинстве рассмотренных далее примеров мы будем предполагать, что компоненты имеют постоянную интенсивность отказов, υi (t) = const, в отсутствие этого предположения вычисления часто приводят к сложным математическим выражениям, анализ которых требует применения вычислительных методов и компьютера. 4.2.1. Надежность последовательной структуры. В п. 4.1 мы нашли, что последовательная система n-го порядка имеет функцию структуры φ(X(t)) = n Y Xi (t), i=1 и там как индикаторы состояний X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t) предполагаются независимыми, надежность системы ! n n n Y Y


Y h p(t) = E φ(X(t)) = E Xi (t) = E Xi (t) = pi (t). (4.15) i=1 i=1 i=1 Отметим, что

h p(t) ≤ min pi (t) , 1≤i≤n то есть, надежность последовательной структуры не превосходит надежности ее самого ненадежного элемента. Пример 4.4. Рассмотрим последовательную структуру из трех независимых компонентов. В момент времени t надежность компонентов равна p1 = 0.95, p2 = 0.97
и p3 = 0.94. Надежность системы в момент времени t, согласно (4.15), равна pS = h p = p1 · p2 · p3 = 0.95 · 0.97 · 0.94 = 0.866. Как уже упоминалось выше, в случае систем, не подлежащих ремонту (или рассматриваемых только в период времени до момента первого отказа), надежности компонент в момент t совпадают с функциями надежности pi (t) = Ri (t), i = 1, 2, . . . , n. (4.16) В силу (4.16), функции надежности в случае последовательной структуры RS (t) = n Y Ri (t). i=1 В соответствии с формулой (2.8) мы имеем Ri (t) = e− Rt υi (u) du , i = 1, 2, . . . , n, где υi (t) — функция интенсивности отказов компонента i в момент времени t. Тогда для надежности последовательной системы получаем, что RS (t) = n Y e− Rt υi (u) du = e− R t Pn i=1 υi (u) du . i=1 Следовательно, функция интенсивности отказов в случае последовательной структуры (с независимыми компонентами) равна сумме функций интенсивности отказов ее компонент υS (t) = n X i=1 28 υi (t). Среднее время наработки до отказа последовательной структуры Z∞ Tср.S = Z∞ RS (t) dt = e− R t Pn i=1 υi (u) du dt. (4.17) Пример 4.5. Рассмотрим последовательную структуру с n независимыми компонентами, имеющими постоянные интенсивности отказов λi , i = 1, 2, . . . , n. Получаем, что функция надежности Pn RS (t) = e−( i=1 λi ) t , среднее время до отказа Z∞ Tср.S = e−( Pn i=1 λi ) t 1 dt = Pn i=1 λi . Пример 4.6. Рассмотрим последовательную структуру с n независимыми компонентами, время до отказа которых имеет распределение Вейбулла с одинаковыми параметрами формы α и параметрами масштаба λi , i = 1, 2, . . . , n. Функция надежности (см. разд. 3.4) равна α  n P 1/α Y P t − ( n λα α ) i=1 i −(λi t)α − n (λ t) RS (t) = e = e i=1 i = e , i=1 P 1/α и если мы введем обозначение λ0 = ( ni=1 λαi ) , то функция надежности RS (t) этой структуры может быть записана в виде α RS (t) = e−(λ0 t) , что означает, что время до отказа последовательной структуры имеет также распределение Вейбулла с параметром формы α и параметром масштаба λ0 (ср. полученный результат с тем, что утверждается в предложении 3.1). 4.2.2. Надежность параллельной структуры. В п. 4.1 мы нашли, что параллельная структура порядка n имеет функцию структуры φ(X(t)) = 1 − n Y (1 − Xi (t)). i=1 Поскольку X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t) – независимые случайные величины, находим ! n Y

h p(t) =E φ(X(t)) = 1 − E (1 − Xi (t)) i=1 =1 − n Y
E 1 − Xi (t) = 1 − i=1 n Y
1 − pi (t) . (4.18) i=1 Пример 4.7. Рассмотрим параллельную структуру из трех независимых компонентов. В момент времени t надежность компонентов равна p1 = 0.95, p2 = 0.97 и p3 = 0.94. Надежность системы в момент времени t, согласно (4.18), равна
pS = h p = 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 ) · (1 − p3 ) = 0.05 · 0.03 · 0.06 = 0.99991. 29 В силу (4.16), функция надежности в случае параллельной структуры с независимыми компонентами n Y RS (t) = 1 − (1 − Ri (t)). i=1 В случае, когда все компоненты имеют постоянные интенсивности отказов λi , 1, 2, . . . , n, мы получаем n Y
RS (t) = 1 − 1 − e−λi t i = i=1 Пример 4.8. Рассмотрим параллельную структуру n независимыми компонентами, имеющими одинаковую постоянную интенсивность отказа λ. Ее функция надежности
n RS (t) = 1 − 1 − e−λt . Используя формулу бинома Ньютона, мы можем записать эту функцию в виде RS (t) = 1 − n X Cnk
−λt k −e = k=0 n X Cnk (−1)k+1 e−λkt , k=1 и для среднего времени до отказа получаем Z∞ Tср.S = n 1 1X k Cn (−1)k+1 . RS (t) dt = λ k=1 k Пример 4.9. Рассмотрим параллельную структуру двумя независимыми компонентами, имеющими постоянные интенсивности отказов λ1 и λ2 . Функция надежности RS (t) = 1 − (1 − e−λ1 t )(1 − e−λ2 t ) = e−λ1 t + e−λ2 t − e−(λ1 +λ2 ) t . Отметим, что такая функция надежности не соответствует экспоненциальному распределению времени жизни, даже когда λ1 = λ2 (в последнем случае она соответствует распределению Эрланга с параметрами (λ, 2)). Среднее время до отказа такой параллельной системы порядка 2 Z∞ Tср.S = RS (t) dt = 1 1 1 + − . λ1 λ2 λ1 + λ2 Соответствующая функция интенсивности отказов −(λ +λ2 )t R0 (t) λ1 e−λ1 t + λ2 e−λ2 t−(λ1 +λ2 )e 1 = υ(t) = − S RS (t) e−λ1 t + e−λ2 t − e−(λ1 +λ2 ) t . Рассмотрим частный случай такой параллельной структуры, когда λ1 = λ2 . В этом случае функция надежности RS (t) = 2 e−λt − e−2 λ t , плотность распределения времени наработки до отказа fS (t) = −RS0 (t) = 2 λe−λt − 2 λe−2 λ t , 30 среднее время наработки до отказа Z∞ Tср.S = RS (t) dt = 3 . 2λ Среднее остаточное время жизни такой структуры возраста t > 0 (то есть, при условии, что она еще не отказала к моменту t) 1 Tср. ост. S (t) = RS (t) Z∞ RS (s) ds = 1 4 − e−λt · . 2 λ 2 − e−λt t 4.2.3. Надежность k-из-n структуры. В п. 4.1 мы нашли, что k-из-n структура порядка n имеет функцию структуры ( Pn 1, если Xi (t) ≥ k; φ(X(t)) = Pi=1 n 0, если i=1 Xi (t) < k. Рассмотрим для простоты k-из-n структуру, где все n элементов имеют одинаковые надежности в момент времени t: pi (t) = p(t) для i = 1, 2, . . . , n. Поскольку мы предположили, что отказы отдельных блоков Pnявляются независимыми событиями, то в заданный момент времени t, сумма Y (t) = i=1 Xi (t) будет иметь биномиальное распределение с параметрами (n, p(t)). Следовательно,
P Y (t) = y = Cny py (t)(1 − p(t))n−y , y = 0, 1, . . . , n. Значит, надежность k-из-n структуры (с одинаковыми надежностями всех n элементов)

h p(t) =E φ(X(t)) = P (Y (t) ≥ k) n X = Cny py (t)(1 − p(t))n−y . (4.19) y=k Пример 4.10. Рассмотрим 2-из-4 структуру с четырьмя независимыми компонентами одного типа. В определенный момент времени t надежность компоненты p = 0.97. Надежность системы в момент времени t, согласно (4.19), равна
pS = h p = C42 (0.97)2 (0.03)2 + C43 (0.97)3 (0.03) + C44 (0.97)4 ≈ 0.99989. Пример 4.11. Рассмотрим k-из-n структуру с независимыми компонентами, имеющими одинаковую постоянную интенсивность отказа λ. Функция надежности такой системы (см. (4.19)) имеет вид RS (t) = n X Cny Ry (t)(1 − R(t))n−y = y=k n X Cny e−λ t y 1 − e−λ t
n−y y=k Соответственно, среднее время наработки до отказа Z∞ Tср.S = RS (t) dt = n X Cny y=k Z∞ 31 e−λ t y 1 − e−λ t
n−y dt. . Чтобы вычислить этот интеграл, произведем замену переменной x = e−λt , dx = −λe−λt dt, в результате находим Tср.S = n X Cny y=k = 1 λ n X y=k 1 λ Z1 x y−1 n−y (1 − x) dx = Cny y=k Cny n X 1 (y − 1)!(n − y)! = n! λ n X y=k 1 Γ(y)Γ(n − y + 1) · λ Γ(n + 1) 1 . y (4.20) Пример 4.12. Рассмотрим 2-из-3 структуру, элементы которой имеют одинаковую постоянную интенсивность отказа λ. Функция надежности такой 2-из-3 структуры с независимыми компонентами RS (t) = 3 e−2 λt − 2 e−3 λt . Функция интенсивности отказов
6 λ e−2 λt − e−3 λt RS0 (t) = . υ(t) = − RS (t) 3 e−2 λt − 2 e−3 λt отметим, что limt→∞ υ(t) = 2 λ, то есть при больших t интенсивность становится постоянной. Среднее время наработки до отказа, согласно (4.20),   5 1 1 1 1 + . = Tср.S = λ 2 3 6λ 4.2.4. Надежность последовательно-параллельной структуры. Надежность последовательно-параллельных структур с независимыми компонентами находится вычислением математического ожидания ее структурной функции (или, что эквивалентно, применением теорем сложения и умножения вероятностей для независимых событий. Рассмотрим пример такой структуры. Пример 4.13. На рисунке изображена блок-схема надежности упрощенной автоматической системы сигнализации об аварийном состоянии технического узла. В случае опасности — между a и b устанавливается «соединение», чтобы по крайней мере один из датчиков тревоги (7 или 8) начал подачу сигнала. Рис. 4.5. Система имеет три независимых детектора (1, 2 и 3), которые подключены к устройству для подачи сигнала (4) по схеме 2-из-3; то есть, по крайней мере, два детектора должны обнаружить опасность, прежде чем сработает сигнализация. Элемент 5 представляет 32 собой блок питания, а элемент 6 — реле. Мы рассматриваем систему в фиксированный момент времени t, поэтому для упрощения обозначений опустим явную ссылку на время t. Функция структуры этой системы φ(X) равна 


   1 − 1 − X1 X2 1 − X1 X3 1 − X2 X3 ) (X4 X5 X6 ) 1 − (1 − X7 )(1 − X8 )     = X1 X2 + X1 X3 + X2 X3 − 2X1 X2 X3 (X4 X5 X6 ) X7 + X8 − X7 X8 . Если надежности блоков в фиксированный момент t равны pi , i = 1, 2, . . . , 8, и индикаторы состояний X1 , X2 , . . . , X8 независимы, то для надежности системы в момент t получаем pS = (p1 p2 + p1 p3 + p2 p3 − 2p1 p2 p3 )(p4 p5 p6 )(p7 + p8 − p7 p8 ). 4.2.5. Использование декомпозиции по основному элементу. Метод декомпозиции помогает вычислить надежность систем, не являющихся параллельнопоследовательными. Например, это метод незаменим при исследовании мостиковых структур. Фиксируем произвольную компоненту i структуры n-го порядка и напишем декомпозицию относительно этого элемента в момент времени t: φ(X(t)) = Xi (t) · φ(X(t), 1i ) + (1 − Xi (t)) · φ(X(t), 0i ), (4.21) где 1i обозначает событие {Xi (t) = 1} и 0i – событие {Xi (t) = 0}. Беря математическое ожидание правой и левой части (4.21) и учитывая, что компоненты системы независимы, получаем       h(p(t)) = E φ(X(t)) = pi (t) · E φ(X(t), 1i ) + (1 − pi (t)) · E φ(X(t), 0i ) .     Обозначим h(p(t), 1i ) = E φ(X(t), 1i ) и h(p(t), 0i ) = E φ(X(t), 0i ) , тогда h(p(t)) = pi (t) · h(p(t), 1i ) + (1 − pi (t)) · h(p(t), 0i )   = pi (t) h(p(t), 1i ) − h(p(t), 0i ) + h(p(t), 0i ). (4.22) Отметим, что надежность системы является линейной функцией pi (t) (надежности i компоненты), если надежности всех остальных компонент постоянны (фиксированы). В некоторых случаях полезной оказывается полная декомпозиция (4.9) функции структуры: n XY y φ(X) = Xj j (1 − Xj )1−yj φ(y), (4.23) y∈Y j=1 где Y – это множество всех различных векторов y = (y1 , y2 , . . . , yn ) из нулей и единиц, 00 ≡ 1. Так как надежность вычисляется для фиксированного t, мы опускаем для краткости явную зависимость индикаторов от t. Если X1 , X2 , . . . , Xn независимые случайные величины, то, поскольку yj принимают только значения 0 и 1, мы имеем y y EXj j (1 − Xj )1−yj = pj j (1 − pj )1−yj , j = 1, 2, . . . , n. Поэтому надежность системы
pS = E φ(X) = n XY y∈Y j=1 33 y pj j (1 − pj )1−yj φ(y). Таким образом, для вычисления надежности системы нужно: 1) найти экспериментально значения φ(y) [эти значения равны либо 1 (система функционирует), либо 0 (система не работоспособна)] для всех 2n векторов y из нулей и единиц; 2) подставить эти значения в формулу. Конечно, при этом мы предполагаем известными надежности pj компонент системы. Пример 4.14 (Мостиковая структура). Рассмотрим снова пример мостиковой системы из примера 4.3, и будем теперь предполагать, что отказы блоков – это независимые события. Тогда индикаторы состояний Xj , j = 1, 2, 3, 4, 5, блоков – независимые случайные величины. В результате декомпозиции относительно элемента 3 (мостика) мы нашли формулу структуры   φ(X) =X3 · (X1 + X2 − X1 X2 )(X4 + X5 − X4 X5 )   + (1 − X3 ) · X1 X4 + X2 X5 − X1 X2 X4 X5 . Беря теперь математические ожидания правой и левой частей этой формулы и используя независимость индикаторов, получаем надежность структуры:
  pS = E φ(X) = p3 · (p1 + p2 − p1 p2 )(p4 + p5 − p4 p5 )   +(1 − p3 ) · p1 p4 + p2 p5 − p1 p2 p4 p5 . 4.2.6. Использование основных свойств вероятности. Вычисление надежности в случае простых структурных схем, использующих параллельно-последовательное и мостиковое соединения, может быть выполнено (в случае независимости компонент) с использованием элементарных теорем теории вероятностей. Например, формулы (4.15) и (4.18) для последовательных и параллельных структур непосредственно вытекают из элементарных свойств вероятности для независимых событий. Надежность параллельнопоследовательных структур может быть вычислена путем разбиения системы на блоки с последовательным и блоки с параллельным соединением с последующим применением теорем сложения и умножения вероятностей для независимых событий. Если система не сводится к комбинации параллельно-последовательных структур (в смысле надежности), а является более сложной, например, мостиковой, то к ней часто применим метод разложения относительно особого элемента, основанный на формуле полной вероятности. Поясним это на примере мостиковой схемы. Пример 4.15. Рассмотрим снова предыдущий пример мостиковой системы с независимыми компонентами. Для вычисления надежности сформируем полную группа событий относительно перемычки “мостика” (элемент 3). Событие H1 – перемычка не отказала; событие H2 – перемычка отказала. Для определения вероятности безотказной работы (надежности) системы (события A) воспользуемся формулой полной вероятности pS = P(A) = P(A | H1 )P(H1 ) + P(A | H2 )P(H2 ) = p3 · P(A | H1 ) + (1 − p3 ) · P(A | H2 ). Если элемент 3 не отказал (событие H1 ), то в этом случае система будет функционировать, если функционирует хотя бы один из элементов 1 и 2 и хотя бы один из элементов 4 и 5. Следовательно, по теоремам сложения и умножения вероятностей находим P(A | H1 ) = (p1 + p2 − p1 p2 )(p4 + p5 − p4 p5 ). 34 Если элемент 3 отказал (событие H2 ), то в этом случае система будет функционировать, если функционируют оба элемента 1 и 4, либо функционируют оба элемента 2 и 5, либо обе эти пары элементов. Следовательно, по теоремам сложения и умножения вероятностей находим P(A | H2 ) = p1 p4 + p2 p5 − p1 p2 p4 p5 . Подставляя найденные условные вероятности в основную формулу, получаем, что     pS = p3 · (p1 + p2 − p1 p2 )(p4 + p5 − p4 p5 ) + (1 − p3 ) · p1 p4 + p2 p5 − p1 p2 p4 p5 , что, естественно, совпадает с результатом, полученным в примере 4.14 с помощью декомпозиции функции структуры. Замечание 4.2 . По-существу, метод декомпозиции относительно особого элемента, основанный на формуле полной вероятности является, конечно, просто другой интерпретацией (формой записи) метода декомпозиции функции структуры относительно этого особого элемента с последующим вычислением математического ожидания функции структуры. 4.3 Резервирование Одним из способов повышения надежности технических систем является структурное резервирование, при котором вводятся дополнительные избыточные элементы сверх минимально необходимых для нормального выполнения системой возложенных на нее функций. Резервирование бывает «горячим» (нагруженным), «холодным» (ненагруженным) и частично нагруженным (см. п. 1.4). Далее мы иллюстрируем эти типы резервирования, рассматривая некоторые простые примеры. 4.3.1. «Холодный» резерв, идеальный переключатель, отсутствие ремонта. Рассмотрим систему с резервированием на рис. 4.6. Система функционирует следующим образом: элемент 1 ставится под нагрузку в момент времени t = 0. При отказе элемента 1 мгновенно активируется элемент 2, при отказе второго активируется элемент 3, и т. д. Элемент под нагрузкой называется активным, элементы, которые стоят наготове, называются резервными (или пассивными). При отказе элемента n происходит отказ системы. Рис. 4.6 Сейчас мы будем предполагать, что переключатель S функционирует идеально (его отказ невозможен) и что элементы не могут выйти из строя, пока они пассивны. Обозначим Ti случайное время до отказа i-го элемента, i = 1, 2, . . . , n. Тогда время T наработки до отказа системы n X T = Ti , i=1 35 следовательно, среднее время наработки до отказа TS ср. = n X Ti ср. , i=1 где Ti ср. — это среднее время до отказа i−го элемента, i = 1, 2, . . . , n. Точные явные формулы распределения времени T могут быть найдены только в некоторых частных случаях. Один из таких случаев возникает, когда T1 , T2 , . . . , Tn независимы и имеют одинаковое экспоненциальное распределение с параметром (интенсивностью) λ. Согласно (3.12), время T имеет распределение Эрланга с параметрами (n, λ), функция надежности которого n−1 X (λ t)k RS (t) = k=0 k! e−t λ . В частности, если у нас 1 резервный элемент, функция надежности равна RS (t) = e−t λ + λ t −t λ e = (1 + λ t)e−t λ , 1! если у нас 2 резервных элемента, то RS (t) = e −t λ λ t −t λ (λ t)2 −t λ e + e = + 1! 2!  (λ t)2 1 + λt + 2  e−t λ . При этом среднее и дисперсия времени наработки до отказа T системы равны соответственно Tср.S = E n X i=1
Ti = n X i=1 n ETi = ; λ D(T ) = D n X
Ti = i=1 n X i=1 D(Ti ) = n . λ2 Если невозможно найти точное распределение T , то его часто можно аппроксимировать предельным распределением. Например, если T1 , T2 , . . . , Tn независимы и одинаково рас2 пределены со средним значением µ и дисперсией σ√ , то согласно центральной предельной теореме Леви, когда n → ∞, величина (T − nµ)/(σ n) будет иметь асимптотически стандартное нормальное распределение N (0, 1). В этом случае функция надежности может быть приближена  

t − nµ √ RS (t) = P T1 + T2 · · · + Tn > t = 1 − P T1 + T2 · · · + Tn ≤ t ≈ 1 − Φ , σ n где Φ(.) — стандартная нормальная функция распределения. 4.3.2. «Холодный» резерв, неидеальный переключатель, отсутствие ремонта. Мы ограничимся рассмотрением частного случая с n = 2 элементами. На рис. 4.7 показана система резервированием с активным элементом (элемент 1) и элементом в режиме ожидания (элемент 2). 36 Рис. 4.7 При отказе активного элемента переключатель активирует резервный элемент. Предположим, что активный элемент имеет постоянную интенсивность отказов λ1 . Вероятность того, что коммутатор успешно активирует резервный элемент равна 1 − p. Отказ элемента 2 в режиме ожидания предполагается невозможным, при активации его интенсивность отказов равна λ2 . Все три компонента работают независимо. Ремонт не предусмотрен. Предполагается, что отказ переключателя S может быть связан только с неспособностью активировать элемент 2 при сбое активного элемента 1. Вероятность неудачной активации равна p. Система не откажет в интервале времени (0, t], если произойдет одно из следующих двух событий: A1 = { элемент 1 не отказал в интервале времени (0, t] (т.е. T1 > t)}; A2 = { элемент 1 отказал в интервале (τ, τ + dτ ), 0 < τ < t, но переключатель S успешно активировал элемент 2, который не отказал в интервале (τ, t] }. Как и прежде, обозначим T время наработки до отказа системы. События A1 и A2 несовместны (A1 ∩ A2 = ∅), поэтому функция надежности системы RS (t) будет суммой вероятностей двух событий: RS (t) = P(T > t) = P(A1 ) + P(A2 ). Мы имеем P(A1 ) = P(T1 > t) = e−λ1 t . Найдем вероятность события A2 . Событие, состоящее в отказе элемента 1 в интервале (τ, τ + dτ ), имеет вероятность f1 (τ ) dτ = λ1 e−λ1 τ dτ . Переключатель S активирует элемент 2 с вероятностью (1 − p), элемент 2 не откажет в интервале (τ, t] с вероятностью P(T2 > t − τ ) = e−λ2 (t−τ ) . Так как элемент 1 может отказать в любой момент τ ∈ (0, t], то интегрируя по всем таким τ для вычисления P(A2 ), получаем RS (t) = e−λ1 t + Zt (1 − p)λ1 e−λ1 τ e−λ2 (t−τ ) dτ = e−λ1 t + (1 − p)λ1 e−λ2 t Zt e−(λ1 −λ2 )τ dτ Если λ1 6= λ2 , то, интегрируя, находим RS (t) = e−λ1 t + (1 − p)λ1 −λ2 t (1 − p)λ1 −λ1 t e − e λ1 − λ2 λ1 − λ2 Если λ1 = λ2 = λ, то RS (t) = e−λt + (1 − p)λe−λt Zt dτ = e−λt + (1 − p)λ te−λt Среднее время наработки до отказа системы Z∞ Tср.S = 1 (1 − p)λ1 RS (t) dt = + λ1 λ1 − λ2 37  1 1 − λ2 λ1  = 1 1 + (1 − p) , λ1 λ2 и этот результат справедлив при любых значениях λ1 и λ2 . Пример 4.16. Рассмотрим систему с резервированием, изображенную на рис. 4.7, состоящую из двух одинаковых насосов, имеющих одинаковую постоянную интенсивность отказов λ = 10−3 отказов/час. Вероятность p, что коммутатор S не сработает при активации резервного насоса по статистике составляет 0.015. Функция надежности насосной системы в момент времени t, согласно полученным выше формулам, равна RS (t) = e−λt + (1 − p)λ te−λt . Следовательно, вероятность того, что эта система проработает 1000 час. составляет RS (1000) = 0.7302. Среднее время наработки до отказа насосной системы
1 1 + (1 − p) = 1985 час.. Tср.S = λ 4.3.3. Частично нагруженный резерв, неидеальный переключатель, отсутствие ремонта. Рассмотрим ту же систему с резервированием, что и на рис. 4.7, но изменим условия так, чтобы элемент 2 нес определенную нагрузку до его полной активации. Пусть λ0 обозначает интенсивность отказов частично нагруженного элемента 2 в режиме ожидания. Система не откажет в интервале времени (0, t], если произойдет одно из двух несовместных событий: A1 = { элемент 1 не отказал в интервале времени (0, t] (т.е. T1 > t)}; A2 = { элемент 1 отказал в интервале (τ, τ + dτ ), 0 < τ < t, в момент отказа переключатель S успешно активировал элемент 2, который к этому времени не отказал и, после активации, исправно работал в интервале (τ, t] }. Пусть T обозначает время наработки до отказа системы. Функция надежности системы RS (t) будет суммой вероятностей двух событий: RS (t) = P(T > t) = P(A1 ) + P(A2 ). Для вероятности A1 мы по-прежнему имеем P(A1 ) = P(T1 > t) = e−λ1 t . Найдем вероятность события A2 . Вероятность того, что элемент 1 откажет в интервале (τ, τ + dτ ), равна f1 (τ ) dτ = λ1 e−λ1 τ dτ , вероятность того, что элемент 2 не откажет (находясь в частично нагруженном состоянии) в интервале (0, τ ], равна P(T2 > τ ) = e−λ0 τ . Переключатель S активирует элемент 2 с вероятностью (1 − p), после чего элемент 2 не откажет (находясь в активном состоянии) в интервале (τ, t] с вероятностью P(T2 > t − τ ) = e−λ2 (t−τ ) . Так как элемент 1 может отказать в любой момент τ ∈ (0, t], то интегрируя по всем таким τ для вычисления P(A2 ), получаем Zt −λ1 t RS (t) = e + (1 − p)e−λ0 τ λ1 e−λ1 τ e−λ2 (t−τ ) dτ
(1 − p)λ1 e−λ2 t − e−(λ0 +λ1 )t , λ0 + λ1 − λ2 где мы должны предположить, что λ0 + λ1 − λ2 6= 0. В случае, когда λ0 + λ1 − λ2 = 0, функция надежности становится = e−λ1 t + RS (t) = e−λ1 t + (1 − p)λ1 te−λ2 t . Среднее время наработки до отказа этой системы   Z∞ 1 (1 − p)λ1 1 1 Tср.S = RS (t) dt = + − λ1 λ0 + λ1 − λ2 λ2 λ1 + λ0 1 λ1 + (1 − p) , λ1 λ2 (λ1 + λ0 ) и этот результат справедлив при любых значениях λ0 , λ1 и λ2 . = 38