Основы теории электрических цепей постоянного тока

Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1.1. Общие сведения об электрических цепях и их элементах Как известно, направленное движение носителей электрических зарядов называется электрическим током. Для получения направленного непрерывного движения носителей электрических зарядов необходимо создать замкнутый электрический контур, состоящий из источников и приемников электрической энергии, соединенных с помощью проводников. Такой замкнутый электрический контур называют электрической цепью, если процессы, протекающие в приемниках электрической энергии, могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе (ЭДС), силе тока и напряжении. Таким образом, электрическая цепь представляет собой совокупность устройств, обеспечивающих генерирование, передачу и использование электрической энергии. Отдельные устройства, составляющие электрическую цепь, называют элементами электрической цепи. Элементы электрической цепи, генерирующие электрическую энергию, называют источниками электрической энергии (или источниками энергии, источниками питания, просто источниками), а элементы, потребляющие электро­энергию, – приемниками электрической энергии (или приемниками, потребителями, нагрузкой). С помощью источников различные виды энергии преобразуются в электрическую энергию. Например, в машинных генераторах в электрическую энергию преобразуют механическую энергию, в гальванических элементах и аккумуляторах – химическую энергию, в термогенераторах – тепловую энергию, в фотоэлементах – энергию излучения и т. д. Приемники, наоборот, преобразуют электрическую энергию в другие виды энергии, а именно: электродвигатели – в механическую, электронагревательные устройства – в тепловую, лампы накаливания – в световую, аккумуляторы – в химическую и т. д. Наряду с источниками, приемниками и соединительными проводами в реальных электрических цепях содержится ряд вспомогательных элементов: коммутационная аппаратура, служащая для включения и отключения отдельных участков цепи, электроизмерительные приборы, защитные устройства, а также преобразующие устройства в виде трансформаторов, выпрямителей и инверторов, которые позволяют рационально передавать электроэнергию на дальние расстояния и распределять ее между потребителями. Свойства каждого элемента электрической цепи характеризуются параметрами. Свойство элемента поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать ее в другие виды энергии (тепловую, световую) характеризует параметр сопротивление R. Свойство элемента, состоящее в возникновении собственного магнитного поля при прохождении через элемент электрического тока, характеризует параметр индуктивность L. Свойство элемента накапливать заряды характеризует параметр емкость C. Реальные элементы цепи в общем случае обладают всеми тремя параметрами: R, L, C. В некоторых случаях каким-либо параметром элемента можно пренебречь. Так, катушку индуктивности на схеме замещения можно представить в виде элемента, обладающего индуктивностью L (пренебрегая емкостью C и сопротивлением R). Элементы цепи, характеризуемые только одним параметром, называют идеальными. Следует помнить, что распределенные параметры на схемах изображают в виде сосредоточенных сопротивлений, индуктивности, емкостей. Электрические цепи могут быть неразветвленными или разветвленными, с одним или несколькими источниками питания, линейными или нелинейными, постоянного или переменного тока. Рис. 1.1. Зависимости напряжения на сопротивлении от тока U(I) и тока от напряжения I(U) Рис. 1.2. Пример электрической цепи Зависимости напряжения на сопротивлении от тока U(I) или тока от напряжения I(U) (рис. 1.1) получили название вольт-амперных характеристик. Если в приемнике отношение напряжения к току есть величина постоянная , то приемник является линейным элементом и его вольт-амперная характеристика имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат (см. рис. 1.1, линия 2). Если же это отношение непостоянно, то приемник будет нелинейным элементом электрической цепи и его вольт-амперная характеристика непрямолинейна (см. рис. 1.1, кривая 1). Электрические цепи, которые состоят только из линейных элементов, называют линейными. Электрические цепи, в которые входит хотя бы один нелинейный элемент, называют нелинейными. Важнейшей задачей анализа и расчета электрических цепей является определение (нахождение) токов, напряжений и мощностей отдельных ее участников. Часто возникает задача, когда для получения требуемого распределения токов, напряжений и мощностей нужно определить параметры цепи или ее отдельных элементов. В электрических цепях постоянного тока получение, передача и преобразование электрической энергии в приемниках происходит при неизменных во времени токах и напряжениях, вследствие чего магнитные и электрические поля электроприемников также постоянны во времени. Следовательно, в цепях постоянного тока не возникают ЭДС самоиндукции и токи смещения в диэлектриках, окружающих проводники. Рассмотрим простейшую электрическую цепь (рис. 1.2), в которой сопротивление проводов, соединяющих источник питания с приемником, мало, поэтому им можно пренебречь. Электрическое поле, возникающее в проводниках между зажимами источника, воздействует на свободные носители зарядов проводников и вызывает электрический ток в цепи. Перемещение носителей зарядов по электрической цепи требует затраты энергии на преодоление противодействия их движению со стороны проводников (элементов) цепи. Это противодействие – результат столкновений носителей электрических зарядов с атомами или молекулами при перемещении их по проводнику. Противодействие проводника направленному движению носителей электрических зарядов, т. е. электрическому току, характеризуется сопротивлением R. Для поддержания тока постоянным необходимо стационарное поле, энергия которого должна непрерывно восстанавливаться, что и осуществляется за счет источников электрической энергии. Одной из важнейших характеристик электрического поля является потенциал φ, численно равный работе А, которую совершают силы поля при переносе единичного положительного заряда q из данной точки поля в точку, потенциал которой равен нулю. В рассматриваемой цепи на внешнем участке ab положительные заряды движутся в сторону убывания потенциала φ, а на участке 1-2, т. е. в источниках, перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания потенциала, т. е. против электростатического поля. Перемещение носителей в источнике возможно только за счет сил неэлектрического происхождения, называемых сторонними. Сторонние силы могут быть обусловлены химическими процессами в гальванических элементах и аккумуляторах, электрическими полями (неэлектростатическими), получаемыми в электромашинных генера­торах и т. д. Интенсивность сторонних сил характеризуется значением электродвижущей силы (ЭДС) Е. ЭДС равна работе А сторонних сил, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда q внутри источника от зажима с отрицательным потенциалом к зажиму с положительным потенциалом: . (1.1) Поэтому ЭДС равна разности потенциалов или напряжению между положительным и отрицательным зажимами разомкнутого источника: . (1.2) Электрическое поле на внешнем участке цепи ab характеризуется напряжением или разностью потенциалов между этими точками: . Если электрическая цепь представляет собой замкнутый контур, то напряжение между точками 1 и 2 не равно ЭДС из-за падения напряжения внутри источника , т. е. ЭДС замкнутого контура равна сумме падений напряжения на его участках: . (1.3) Так как причиной возникновения напряжения и тока в электрической цепи является ЭДС источника питания, то от характера изменения ЭДС зависит и закономерность измерения тока и напряжения в электрической цепи. Например, в цепях постоянного тока ЭДС источников неизменна, поэтому напряжения и токи в таких цепях также неизменны. Основной единицей ЭДС, напряжения и потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (В). Вольт есть напряжение между концами проводника, в котором при перемещении положительного заряда в 1 кулон (Кл) совершается работа в 1 джоуль (Дж). Используют также и производные единицы: микровольт – 1 мкВ = 1·10-6 В; милливольт – 1 мВ = 1·10-3 В; киловольт – 1 кВ = 1·103 В; мегавольт – 1 МВ = 1·106 В. За положительное направление ЭДС принимают направление действия сторонних сил на положительный заряд, т. е. направление от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. За положительное направление напряжения принимают направление в сторону понижения потенциала в электрической цепи, т. е. направление от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Важной характеристикой источника питания является внешняя характеристика U(I) (рис. 1.3), представляющая собой зависимость напряжения на зажимах источника питания при увеличении тока. Сначала (участок cb) убывает по линейному закону: , затем при дальнейшем росте тока линейность нарушается и внешняя характеристика (участок ba) становится нелинейной. Нелинейность характеристики может быть обусловлена уменьшением ЭДС источника или увеличением его внутреннего сопротивления или того и другого, вместе взятых. При токе короткого замыкания напряжение становится равным нулю (точка a). Рис. 1.3. Внешняя характеристика источника питания Мощность источника питания определяется формулой . (1.4) Следует иметь в виду, что в зависимости от проводящей среды носителями зарядов могут быть движущиеся электроны (в металлах и полупроводниках) или положительные и отрицательные ионы (в электролитах. За положительное направление тока принимают направление движения положительных носителей зарядов, которые во внешней цепи перемещаются от положительного зажима источника питания к отрицательному (см. рис. 1.2, участок цепи ab), т. е. во внешней цепи положительные направления тока и напряжения совпадают. На участке 1-2 (см. рис. 1.2), содержащем источник питания, положительные носители зарядов под действием сил стороннего поля перемещаются от меньшего потенциала к большему: здесь положительное направление тока совпадает с положительным направлением ЭДС и противоположно положительному направлению напряжения. Электрический ток оценивается количеством носителей зарядов, проходящих в единицу времени через поперечное сечение проводника. Электрический ток, изменяющийся во времени, называется переменным. Значение переменного тока для заданного момента времени называют мгновенным значением тока и обозначают i. Переменный ток определяется как отношение количества электричества dq, протекающего через поперечное сечение проводника за время dt, к этому времени: . (1.5) Электрический ток, значение и направление которого не изменяются, называется постоянным и обозначается I. Постоянный ток определяется соотношением . (1.6) Основными единицами заряда, тока и времени в Международной системе единиц (СИ) соответственно являются: кулон (Кл), ампер (А) и секунда (с). Для тока используют также производные единицы: миллиампер – 1 мА = 10-3 А и микроампер – 1 мкА = 10-6 А. Свойства приемников характеризуют параметрами элементов электрической цепи: сопротивлением R, индуктивностью L, взаимной индуктивностью M и емкостью C. Элементы электрической цепи, поглощающие или накапливающие энергию магнитного или электрического поля и характеризуемые параметрами R, L, M, C, называют пассивными (рис. 1.4). Источники, заряженные аккумуляторы, двигатели постоянного тока, электронные лампы, транзисторы, диоды, для характеристики работы которых кроме пассивных параметров необходимо вводить ЭДС, называют активными. Рис. 1.4. Пассивные элементы электрической цепи Так как мощность, потребляемая элементом, который характеризуется параметром R: , (1.7) то . Реальный элемент электрической цепи, основной характеристикой которого является параметр сопротивление R, называется резистором. Резистор – это специальное устройство, вводимое в электрическую цепь для регулирования тока и напряжения. Основной единицей сопротивления в СИ является ом (Ом), однако часто используют и производные еди­ницы: килоом – 1 кОм = 103 Ом, мегаом – 1 МОм = 106 Ом. Параметр L является коэффициентом пропорциональности между потокосцеплением Ψ и током I элемента: Ψ = LI, откуда . Для характеристики индуктивной катушки как реального элемента электрической цепи часто не требуется знать распределение магнитного поля вокруг катушки. Достаточно вычислить потокосцепление Ψ магнитного потока со всеми w ее витками: , где Фk – магнитный поток, сцепленный с k-м витком. Если все витки катушки пронизаны одним потоком Ф, то ее собственное потокосцепление Ψ = wФ, где w – число витков катушки. Основной единицей потокосцепления и магнитного потока в СИ является вебер (Вб): 1 Вб = 1 В · 1 с. За 1 Вб принимают магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную замкнутым контуром, если при равномерном убывании этого потока до нуля в течение 1 с в контуре индуцируется ЭДС в 1 В. Параметр L называют коэффициентом самоиндукции или просто индуктивностью элемента цепи. Единицей индуктивности в СИ является генри (Гн): Вб. Часто используют производ­ную единицу миллигенри – 1 мГн = 10-3 Гн. О значении индуктив­ности элемента в зависимости от тока судят по его вебер-амперной характеристике (рис. 1.5). Рис 1.5. Вебер-амперная характеристика Рис 1.6. Кулон-вольтная характеристика Параметр взаимной индуктивности М (см. рис. 1.4, г) характеризует способность одного индуктивного элемента с током I1 создавать магнитное поле, которое частично пронизывает витки другого индук­тивного элемента. Параметр М представляет собой коэффициент про­порциональности между током первого I1 элемента с индуктивностью L1 и потокосцеплением второго элемента, созданным во втором элементе этим током, т. е. , или, наоборот, между потокосцепле­нием первого элемента, обусловленного током второго элемента с индуктивностью L2, и током I2, т. е. . Параметр взаимной индуктивности, как и индуктивность, выражают в генри. Электрическая емкость С представляет собой коэффициент пропорциональности между зарядом q и напряжением на элементе: . Реальный элемент, основной характеристикой которого является пара­метр С, называется конденсатором. Зависимость заряда конденсатора от приложенного напряжения называется кулон-вольтной характе­ристикой (рис. 1.6). Электрическая емкость С элемента цепи выражается в СИ в фарадах (Ф). Фарада – это емкость такого конденсатора, напря­жение между обкладками которого равно 1 В при заряде на обкладках в 1 Кл, т. е. . Емкость в 1 Ф – очень большое значение. Например, емкостью в 1 Ф будет обладать уединенный шар радиусом 9·109 м, т. е. шар, радиус которого примерно в 1500 раз больше радиуса Земли. Поэтому на практике используют в основном производные единицы: микрофарада (мкФ), нанофарада (нФ) и пикофарада (пФ), кото­рые соответственно равны: 1 мкФ = 10-6 Ф, 1 нФ = 10-9 Ф, 1 пФ = 10-12 Ф = 10-6 мкФ. За единицу количества электричества в 1 Кл принимают заряд, пере­секающий за 1 с сечение проводника с постоянным током в 1 А. При анализе и расчете электрических цепей источники питания заме­няют эквивалентными идеальными источниками, которые, в свою очередь, подразделяют на идеальные источники ЭДС и идеальные источники тока. Идеальным источником ЭДС (напряжения) называется источник, внутреннее сопротивление которого равно нулю, а ЭДС Е постоянна и равна ЭДС реального источника, причем эта ЭДС не зависит от тока нагрузки, проходящего через источник: Е = U = const. На электриче­ских схемах источники ЭДС изображают в виде окружностей со стрел­ками внутри, указывающими положительное направление ЭДС, т. е. направление возрастания потенциала внутри источника, и написанной рядом с окружностью буквой Е (рис. 1.7, а). Идеальным источником тока называется источник с внутренним сопротивлением, равным бесконеч­ности, и током, не зависящим от сопротивления нагрузки цепи R, т. е. током, значение которого не зависит от значения напряжения и равно току короткого замыкания Iк источника питания. Рис. 1.7. Изображение источников питания Рис. 1.8. Внешние характеристики источников питания На электрических схемах источники тока изображают в виде окружностей с двумя стрелками внутри, указывающими положительное направление тока, и написанной рядом с окружностью буквой J (рис. 1.7, б). Свойства идеальных источников ЭДС и тока описывают с помощью внешних характеристик (рис. 1.8), причем внешняя характеристика идеального источника ЭДС представляет собой горизонтальную прямую cd (рис. 1.8, а), а внешняя характеристика идеального источника тока – вертикальную прямую ab (рис. 1.8, б). Таким образом, из внешних характеристик следует, что идеальные источники ЭДС и тока являются источниками бесконечной мощности. Действительно, при увеличении тока в источнике ЭДС и напряжении в источнике тока их мощности теоретически могут возрастать до бесконечности. 1.2. Схемы соединений, схемы замещения электрических цепей и режимы их работы Графическое изображение электрической цепи с помощью стандартных условных обозначений ее элементов, отражающее характер соединения этих элементов, называется схемой электрической цепи. Схема электрической цепи, через все участки которой проходит один и тот же ток, представляет собой последовательное соединение приемников. При параллельном соединении приемников они всегда находятся под одним и тем же напряжением. Если приемники соединены последовательно и параллельно, то такая схема называется смешанным соединением приемников. Простейшая электрическая цепь показана на рис. 1.2, где источник питания с внутренним сопротивлением R0 образует так называемый внутренний участок цепи, а соединительные провода с приемником (сопротивление R) – внешнюю часть цепи. Выходные зажимы 1 и 2 источника питания подключены с помощью соединительных проводов к входным зажимам приемника a и b. Таким образом, в электрической цепи можно выделить участки, содержащие как активные, так и пассивные элементы. Для анализа электрической цепи необходимо выделить отдельные ветви и узлы. Ветвь – это участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом называют точку в электрической цепи, в которой соединяются три ветви и более (рис. 1.9). Любой замкнутый путь в электрической цепи, состоящий из нескольких ветвей, называют контуром. Соединение элементов цепи, при котором ветви находятся между двумя узлами, называют параллельным. Следовательно, в этом случае к элементам приложено одно и то же напряжение. Простейшая электрическая цепь (см. рис. 1.2), когда во всех элементах проходит один и тот же ток, называется последовательной и является одноконтурной. Электрическая цепь, содержащая параллельное и последовательное соединение ветви, называется разветвленной и является многоконтурной. Рис. 1.9. Узел электрической цепи При анализе электрических цепей рассматривают не цепи с реальными генераторами, электрическими двигателями, лампами и т. п., а схемы, отражающие свойства реальных элементов цепей при определенных условиях, т. е. реальные электрические цепи заменяют схемами замещения или эквивалентными схемами, которые являются идеализированными расчетными моделями реальных цепей. Итак, схема замещения есть графическое изображение реальной цепи с помощью идеализированных элементов, параметры которых отражают параметры замещаемых элементов. Так, источник с ЭДС Е и внутренним сопротивлением R0 можно представить в виде схем замещения, состоящих либо из идеального источника ЭДС и резистивного элемента, либо из идеального источника тока и резистивного элемента. Рассмотрим, например, электрическую схему рис. 1.2 и представим ее двумя эквивалентными схемами. Из уравнения (1.3) следует, что ток в цепи ограничен сопротивлением источника питания R0 и сопротивлением приемника R, поэтому источник питания может быть заменен источником ЭДС Е (рис. 1.10) и последовательно включенным сопротивлением R0, которое равно внутреннему сопротивлению реального источника, или источником тока с параллельно включенным сопротивлением R0 (рис. 1.11). Рассмотрим баланс мощностей источников питания для схем, приведенных на рис. 1.10, 1.11. Рис. 1.10. Схема замещения с идеальным источником ЭДС Рис. 1.11. Схема замещения с идеальным источником тока Для схемы рис. 1.10 имеем: , (1.8) а для схемы рис. 1.11: , (1.9) где EI – мощность источника напряжения; I2R0 – мощность потерь в источнике напряжения; UI – мощность нагрузки или мощность, отдаваемая источником во внешнюю цепь; UIк – мощность источника тока; – мощность потерь в источнике тока. Если , то, согласно уравнениям (1.8) и (1.9), источники напряжения создают одинаковые напряжения, токи и мощности, отдаваемые во внешнюю цепь. Следовательно, теоретически безразлично, с каким из идеальных источников питания использовать схему замещения. Однако на практике реальный источник питания обычно заменяют источником ЭДС, так как в этом случае через все элементы схемы замещения проходит реальный ток и идеальный источник развивает мощность , соответствующую мощности действитель­ного источника. В самом деле, действительные источники питания рабо­тают в режимах, близких к режиму идеального источника ЭДС (), если их внутренние сопротивления достаточно малы в сравнении с сопро­тивлением нагрузки. В режимах же идеального источника тока действительные источники питания могут работать тогда, когда имеют дело с режимами короткого замыкания (см. далее) или близкими к ним. Электрическая цепь и ее элементы могут работать в различных режимах. В зависимости от частоты токов и напряжений различают режимы работы электрических цепей при постоянных и переменных ЭДС и токах, а также импульсные режимы, когда воздействие электрических сигналов не непрерывно в течение времени работы устройства. В зави­симости от характера электромагнитных процессов, имеющих место в электрических цепях, различают стационарные (установившиеся) и не­стационарные (переходные) режимы. В зависимости от нагрузки режимы могут быть номинальными, согласованными, холостого хода и короткого замыкания. Номинальный режим характеризуется тем, что все элементы цепи работают при условиях, указанных в паспорте данного элемента. Работа устройства при номинальном режиме гарантирует наиболее длительную безотказную его работу и экономичность. Поэтому при расчете электрических цепей за основу берут именно номинальные зна­чения параметров элементов, основными из которых являются напря­жения Uном, токи Iном и мощность Pном. Чрезмерное и длительное пре­вышение номинальных значений может привести к перегрузке цепи и выводу устройства из строя, т. е. может возникнуть аварийный режим. О нагрузке можно судить по току Iн, проходящему через нее или по ее сопротивлению R. Например, для неразветвленной цепи (см. рис. 1.2) ток нагрузки будет тем больше, чем меньше сопротивление приемника R. Согласованный режим характеризуется тем, что источник питания отдает приемнику наибольшее количество энергии, что возможно при определенном соотношении (согласовании) между параметрами элемента цепи. Для цепи рис. 1.2 это осуществляется при R = R0. Режим, когда через источник питания и приемники не протекает ток, т. е. когда нагрузка отключена, называется холостым ходом. При холостом ходе напряжение на зажимах источника питания максимально и равно ЭДС источника: Uхх = Е (рис. 1.12). Режим короткого замыкания – это режим, при котором сопротивление внешней цепи и напряжение между зажимами источника питания равны нулю: R = 0, Uк = 0 (рис. 1.13). Режим короткого замыкания может возникнуть в электрической цепи при соединении накоротко разнопотен­циальных зажимов источников питания проводником с нулевым сопро­тивлением. При коротком замыкании и ток Iк максимален и во много раз превышает номинальный. Поэтому в энергетических цепях режим ко­роткого замыкания обычно является аварийным. Рис. 1.12. Режим холостого хода электрической цепи Рис. 1.13. Режим короткого замыкания электрической цепи Для защиты цепей от перегрузок (особенно от токов короткого замыкания) принимают специальные меры защиты. Простейшими устройствами защиты являются предохранители с плавкими вставками (плавкие предохранители). Плавкую вставку изготовляют из легкоплав­кого металла и включают последовательно с защищаемым устройством. Плавкие вставки имеют небольшое сопротивление и практически не влияют на работу электрической цепи. При превышении током номи­нального значения плавкие вставки расплавляются и разрывают цепь. 1.3. Основные законы электротехники Основными законами электрических цепей, устанавливающими соотношения между ЭДС, напряжениями, токами и сопротивлениями, являются закон Ома и законы Кирхгофа. С помощью этих законов можно провести анализ и расчет любых электрических цепей. Так, в неразветвленной замкнутой электрической цепи (см. рис. 1.2) под действием ЭДС Е будет возникать ток I, значение которого определяется законом Ома: . (1.10) где – полное сопротивление замкнутой цепи; R0 – внутреннее сопротивление источника; R – сопротивление приемника (нагрузки). Для участка электрической цепи, сопротивление которого R и напряжение на котором U, закон Ома можно записать в виде: или . (1.11) Произведение IR называют падением напряжения, причем под напряже­нием на любом участке электрической цепи понимают разность потен­циалов между крайними точками этого участка. Например, в схеме рис. 1.2 через участок ab с сопротивлением R, не имеющий источника ЭДС, ток проходит от точки а к точке b (ток на участке цепи без ЭДС всегда проходит от точки более высокого потенциала к точке с более низким потенциалом); следовательно, потенциал φa точки а выше потен­циала φb точки b на значение падения напряжения на сопротивлении R: , (1.12) а напряжение между точками а и b . (1.13) Таким образом, напряжение на любом участке электрической цепи, не содержащем источника ЭДС, равно произведению тока, протекающего через участок, на сопротивление этого участка. Рассмотрим закон Ома для участка цепи, в который включен источник ЭДС (рис. 1.14). Если положительное направление тока I на участке ab принять от точки а к точке b, то потенциал φb, выраженный через потенциал φa, определяется как . Рис. 1.14. Электрическая цепь, содержащая активные и пассивные элементы Из этого выражения следует: , (1.14) где – алгебраическая сумма ЭДС, действующая на участке ab, причем ЭДС, совпадающая по направлению с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а не совпадающая – с отрицательным; – сопротивление участка; – напряжение между зажимами а и b. Выражение (1.14) называют обобщенным законом Ома. При расчете электрических цепей учитывают сопротивление проводников, используемых для соединения элементов между собой. Этот параметр характеризует процесс противодействия проводника прохож­дению по нему электрического тока. Установлено, что сопротивление проводника зависит от его размеров и температуры. Зависимость сопротивления проводника от размеров выражается формулой , (1.15) где ρ – удельное сопротивление, характеризующее материал проводника; l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения. В цепях постоянного тока величину, обратную сопротивлению, на­зывают электрической проводимостью: . (1.16) Основной единицей проводимости в СИ является сименс (См). Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электропроводимостью. Зависимость сопротивления от температуры приближенно описывается формулой . (1.17) Здесь R0 – сопротивление проводника при начальной температуре t0 (Ом); α – температурный коэффициент сопротивления, равный отно­сительному изменению сопротивления при изменении температуры на 1 °С; t – конечная температура (°С). Сведения об удельных сопротивле­ниях и температурных коэффициентах сопротивления можно найти в соответствующей справочной литературе. В рассмотренной неразветвленной цепи (см. рис. 1.2) приемник вклю­чен последовательно с источником питания, и в цепи проходит один и тот же ток. Анализ и расчет разветвленных цепей обычно проводят с помо­щью закона Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения количества электричества, согласно которому в узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Кроме того, первый закон Кирхгофа – это, по существу, закон сохранения энергии для электрических цепей. Его можно сформулировать следующим образом. Сумма векторов, приходящих к узлу электрической цепи, равна сумме всех токов, выходящих из этого узла. Иначе, алгебраическая сумма токов в узле равна нулю: . (1.18) Применительно к узлу, показанному на рис. 1.9, первый закон Кирхгофа можно записать: . (1.19) При составлении равенства (1.19) токи, приходящие к узлу, берут с одним произвольно выбранным знаком (в нашем случае – с плюсом), а токи, направленные от узла, – с противоположным знаком (в нашем случае – с минусом). Второй закон Кирхгофа применяют к замкнутым контурам. Он может быть сформулирован следующим образом. Алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях участков замкнутого контура равна алгебраическом сумме ЭДС источников, входящих в контур: . (1.20) В уравнении (1.20) токи ЭДС входят со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если их направления противоположны направлению обхода. 1.4. Баланс мощностей Из закона сохранения энергии для любой электрической цепи следует условие баланса мощностей. Суммарная мощность источников цепи равна суммарной мощности, потребляемой приемниками. Знак мощности будет положителен при совпадении направлений ЭДС Е и тока I, проходящего через источник, и отрицателен при взаимно противоположных направлениях ЭДС и тока. Когда направле­ния тока и ЭДС совпадают, от источника за единицу времени в электрическую цепь поступает мощность, равная EI. Эта мощность в уравнение баланса мощностей входит с положительным знаком. При встречном направлении ЭДС и тока источник ЭДС потребляет мощность из цепи. Например, когда источником является аккумулятор, который заряжается, или генератор, работающий в режиме двигателя, мощность EI расходуется на «химическую» или механическую работу соответственно. В этом случае мощность входит в уравнение баланса с отрицательным знаком. Уравнение баланса мощностей при питании цепи от источников ЭДС имеет вид . (1.21) Если в электрической цепи содержатся не только источники ЭДС, но и источники тока, то при составлении уравнения баланса мощностей необходимо учитывать энергию, поступающую от источников тока. 1.5. Методы эквивалентного преобразования схем электрических цепей с пассивными элементами Часто при анализе электрических цепей постоянного тока при­ходится иметь дело со сложными разветвленными цепями. Если такие цепи состоят из соединения линейных пассивных элементов, то анализ значительно упрощается, если в схемах цепей провести определенные эквивалентные преобразования. Метод эквивалентного преобразования схем заключается в том, что сложные участки цепи заменяются более простыми, им эквивалентными. Преобразование будет эквивалентным, если оно не оказывает влияния на режим остальной, не затронутой преобразованием части цепи, т. е. если оно не вызывает в оставшейся части цепи изменений напряжений и токов. Примером такого преобра­зования может служить замена параллельного или смешанного соединения элементов одной ветвью с эквивалентным сопротивлением. Рассмотрим методы эквивалентных преобразований схем электрических цепей. Цепь с последовательно соединенными резисторами На рис. 1.15, а представлена схема с последовательно соединенными резисторами. Известно, что в этом случае через все элементы цепи проходит один и тот же ток. Приведем эту схему к эквивалентной (рис. 1.15, б), в которой эквивалентное сопротивление Rэкв.пос выбрано таким, чтобы ток в цепи оставался без изменения. По второму закону Кирхгофа можно записать: , (1.22) откуда . Рис. 1.15. Преобразование электрической цепи с последовательно соединенными элементами Эквивалентное сопротивление при последовательном соединении элементов цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов. Напряжение на зажимах последовательно соединенных приемников распределяется пропорционально их сопротивлениям. Ток в цепи при последовательном соединении резисторов , (1.23) а мощность, подводимая к цепи, равна сумме мощностей отдельных элементов: , Последовательное соединение применяют в тех случаях, когда номинальные напряжения приемников ниже напряжения сети, например в измерительных приборах для расширения пределов измерения, в двигателях постоянного тока для ограничения пусковых токов и регулирования частоты вращения и т. д. Однако приемники, как правило, последовательно не включают, так как при выходе из строя одного из них происходит отключение остальных, что на практике нежелательно. Кроме того, при последовательном включении приемников мощность, выделяемая в цепи, пропорциональна их сопротивлениям, так как через все приемники проходит один и тот же ток. Следовательно, приемники, рассчитанные на меньшую номинальную мощность, будут работать с перегрузкой, а приемники, рассчитанные на большую номинальную мощность, – с недогрузкой. Отметим, что приемники с одинаковыми номинальными напряжениями и мощностями окажутся в лучших условиях работы при последовательном соединении. Цепь с параллельно включенными резисторами Рассмотрим параллельно соединенные приемники (рис. 1.16, а), т. е. случай, когда приемники находятся под одним и тем же напряжением, что наиболее часто используют на практике. Это удобно, так как не требуется согласовывать номинальные данные приемников и имеется возможность их включать и выключать независимо друг от друга. Цепь рис. 1.16, а состоит из трех параллельных ветвей. По первому закону Кирхгофа: , (1.24) где ; ; . Тогда для эквивалентной схемы (рис. 1.16, б): . Подставляя полученные значения токов в (1.24) и сокращая на U, получим . (1.25) Рис. 1.16. Преобразование электрической цепи с параллельно соединенными элементами Уравнение (1.25) можно переписать для проводимости: , (1.26) или в общем виде: . Следовательно, при параллельном соединении элементов электрической цепи эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей ее отдельных параллельно включенных ветвей. При увеличении числа параллельных ветвей эквивалентная проводимость цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление уменьшается, вследствие чего ток в неразветвленной части цепи возрастает. При этом увеличивается мощность Р всей цепи. Мощность, подводимая к цепи с параллельно включенными резисторами, равна сумме мощностей ее отдельных параллельно включенных ветвей: . Получим формулы эквивалентных сопротивлений для двух частных случаев, представляющих практический интерес: для цепи с двумя параллельно включенными резисторами с сопротивлениями R1 и R2 и цепи с тремя параллельно включенными резисторами с сопротивлениями R1, R2, R3. Эквивалентное сопротивление цепи с двумя параллельно включенными резисторами: . (1.27) Эквивалентное сопротивление цепи с тремя параллельно включенными резисторами: . (1.28) Следует отметить, что эквивалентное сопротивление при параллельном соединении резисторов будет всегда меньше самого малого сопротивления, включенного в цепь. Смешанное соединение резисторов Рассмотрим простейшую цепь со смешанным соединением, т. е. содержащую последовательно и параллельно включенные резисторы, которая показана на рис. 1.17, а. Эта цепь может быть приведена к схеме с одним эквивалентным сопротивлением: (рис. 1.17, б). Преобразование схемы удобно проводить в два приема. Рис. 1.17. Преобразование электрической цепи со смешанным соединением элементов Вначале заменяют сопротивления параллельных ветвей на эквивалентное . Затем, зная, что эквивалентное сопротивление Rэкв.1,2 включено последовательно с R, находят эквивалентное сопротивление всей цепи со смешанным соединением резисторов: . После нахождения эквивалентного Rэкв.см можно определить ток в неразветвленной части цепи: . Для определения токов в параллельных ветвях I1 и I2 вначале находят напряжение разветвления , затем записывают токи в ветвях и . Последовательное, параллельное и смешанное соединения образуют цепи, которые называются простыми цепями постоянного тока. Определение токов в простых цепях постоянного тока, если известны ЭДС и сопротивления участков цепи, производится с исполь­зованием закона Ома. Для сложных многоконтурных разветвленных цепей, в которых произвольно размещены резисторы и источники ЭДС, закона Ома для расчета недостаточно. В этом случае и исполь­зуют законы Кирхгофа. Преобразование звезда – треугольник Это способ эквивалентного преобразования пассивного участка линейной электрической цепи – «треугольника» (соединения трёх ветвей, которое имеет вид треугольника, сторонами которого являются ветви, а вершинами – узлы) – в «звезду» (соединение трёх ветвей, которые имеют один общий узел). Эквивалентность «треугольника» и «звезды» обусловлена тем, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами электрической цепи токи, которые втекают в одноименные выводы, а следовательно, и мощности также будут одинаковыми. Рис. 1.18. Схема соединения пассивных элементов в «треугольник» Рис. 1.19. Схема соединения пассивных элементов в «звезду» Рассмотрим приведенные выше схемы (рис. 1.18, 1.19). В схеме «треугольник» резистор R12 соединён параллельно с последовательно соединёнными резисторами R13 и R23, что соответствует последовательно соединенным сопротивлениям R1 и R2 в схеме «звезда». Прямое преобразование: ; ; . Обратное преобразование: ; ; . 1.6. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока 1.6.1. Метод составления уравнений электрического равновесия по законам Кирхгофа Методические указания Этот метод основан на составлении и совместном решении системы уравнений электрического равновесия, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Общее число независимых уравнений (n) должно быть равно числу неизвестных токов, то есть числу ветвей электрической схемы (р), за исключением ветвей, содержащих источник тока. Последовательность решения Выбрать условное положительное направление токов в ветвях. По первому закону Кирхгофа для схемы, содержащей (q) узлов, составить (q -1) уравнений электрического равновесия. По второму закону Кирхгофа составить уравнений электрического равновесия для независи­мых контуров. При составлении уравнений электрического равновесия сле­дует обратить внимание на знаки. Если заданное или произвольно выбран­ное направление токов и ЭДС совпадают с выбранным обходом контуров, то перед ними в уравнениях электрического равновесия ставят знак плюс, знак у падений напряжений берется в соответствии со знаком тока. Решить полученную систему уравнений электрического равновесия относительно неизвестных токов в ветвях. Выполнить проверку полученного решения по первому закону Кирх­гофа для узлов заданной электрической схемы. Пример решения задачи Для заданной электрической цепи (рис. 1.20) с параметрами: E = 65,5 В; J1 = 3,5 A; J2 = 8 А; R1 = 9 Ом; R2 = 7 Ом; R3 = 5 Ом; Rвн = 3 Ом; Gвн = 0,5 См, определить токи в ветвях. В рассматриваемой электрической цепи неизвестными являются три тока (I3, I4, I5), для определения этих токов необходимо иметь систему из трех уравнений электрического равновесия, которые составляем по законам Кирхгофа: два уравнения электрического равновесия по первому закону Кирхгофа, предварительно задавшись положительными направлениями то­ков в ветвях (для узлов 1 и 2); третье уравнение электрического равновесия по второму закону Кирхгофа. Рис. 1.20. Схема заданной электрической цепи Принимаем контур (R3 – Gвн – R1 – Rвн – E), минуя ветви с источниками тока, и задаемся положительным направлением его обхода (рис. 1.20): (1.29) (1.30) В результате решения системы уравнений (1.30) получим: I3 = 3 А; I4 = 1,5 А; I5 = 6,5 А. 1.6.2. Метод контурных токов Методические указания Этот метод заключается в представлении действительных токов в вет­вях, являющихся общими для двух или большего числа смежных контуров, алгебраической суммой составляющих, каждая из которых является током, замыкающимся в одном из выбранных контуров. Эти составляющие назы­ваются контурными токами. При решении задачи этим методом в расчет вводят контурные токи, составляют уравнения электрического равновесия только на основании второго закона Кирхгофа. Вычислив контурные токи, определяют действительные токи в ветвях. Последовательность решения Выбрать для рассматриваемой схемы независимые контуры, не со­держащие источники тока (J). Задавшись положительными направлениями обхода контуров, соста­вить для выбранных независимых контуров уравнения электрического рав­новесия по второму закону Кирхгофа, принимая направления контурных токов совпадающими с выбранным обходом контуров. В уравнениях элек­трического равновесия учитывать и падения напряжений, обусловленные источниками тока (J) на соответствующих сопротивлениях рассматривае­мого контура. Определить контурные токи. Вычислить действительные токи ветвей как алгебраические суммы токов как контурных, так и источников тока, протекающих через рассмат­риваемую ветвь. Пример решения задачи Для определения трех неизвестных токов выбираем три независимых контура (рис 1.21) и задаемся положительными направлениями их обхода, совмещая положительные направления контурных токов I11, I22, I33 с на­правлениями их обхода: I11 = J1 = 3,5 А; I22 = J2 = 8 А. Рис. 1.21. Схема электрической цепи для метода контурных токов Таким образом, неизвестным является лишь контурный ток I33. Для третьего контура () составляем уравнение электриче­ского равновесия по второму закону Кирхгофа и определяем контурный ток I33 ; (1.31) ; отсюда I33 = 6,5 А. Действительные токи в ветвях: 1.6.3. Метод наложения Методические указания Этот метод основан на том, что действительный ток в рассматри­ваемой ветви равен алгебраической сумме составляющих токов в этой ветви, вызванных каждой из ЭДС и источника тока в отдельности при исключении действия остальных источников ЭДС и тока. Последовательность решения Составить (нарисовать) электрические цепи с одним источником ЭДС или тока, при этом зажимы остальных источников тока размыкать, а источники ЭДС замыкать накоротко. Задаться положительными направлениями токов в ветвях. Определить составляющие токов в ветвях, вызванных рассматри­ваемым источником. Определить действительные токи ветвей как алгебраическую сумму составляющих. Пример решения задачи Определяем составляющие токов в ветвях (I′3, I′4, I′5), вызванные источником ЭДС (E) при исключении источников тока (J1) и (J2) (рис. 1.22, а). Направление токов в цепи определяется согласно направлению источника ЭДС (E): . Рис. 1.22. Схема электрической цепи для метода наложения при исключении источника тока (а) и вызванные источником тока (б) Определяем составляющие токов в ветвях (I′′3, I′′4, I′′5), вызванные ис­точником тока (J1) (рис. 1.22, б) при исключении источника тока (J2) и источ­ника, ЭДС (Е) которого закорачивается. Направление токов в ветвях опре­деляется согласно направлению (J1): Определяем составляющие токов в ветвях (I3"', I4'", I5'"), вызванные источником тока (J2) (рис. 1.23, а) при исключении источника тока (J1) и ис­точника, ЭДС (E) которого закорачивается. Направление токов в ветвях определяется согласно направлению (J2): Рис. 1.23. Схема электрической цепи для определения составляющих токов в ветвях, вызванных источником тока (а) и при исключении (б) Действительные токи в ветвях определяем как алгебраическую сумму составляющих, вызванных каждым из источников энергии (см. рис. 1.23, б): Проверку решений выполняем, применяя первый закон Кирхгофа для трех узлов. 1.6.4. Метод узловых потенциалов Методические указания Этот метод заключается в определении потенциалов узлов, на основа­нии чего вычисляются токи в ветвях по закону Ома. Потенциалы узлов оп­ределяются на основании системы уравнений электрического равновесия (1.32), составленных по первому закону Кирхгофа. При этом токи в уравне­ниях электрического равновесия выражают через потенциалы согласно за­кону Ома для участка цепи. Потенциал одного из узлов принимается рав­ным нулю. , (1.32) где φ1, φ2, φ3 – потенциалы узлов; G11, G22, G33 – собственная (узловая) проводимость, равная сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле, без учета проводимостей ветвей с источниками тока; G12, G21, G31, G13, G23, G32 – взаимная проводимость, равная сумме проводи­мостей ветвей между двумя узлами, без учета проводимостей ветвей с ис­точниками тока; I11, I22, I33,… – узловой ток, равный алгебраической сум­ме токов (J) источников тока и произведений (G-E) (ЭДС ветвей, сходя­щихся в рассматриваемом узле, на их проводимости); эти величины вхо­дят в выражения узловых токов со знаком плюс, если токи (J) и ЭДС (E) направлены к рассматриваемому узлу. Последовательность решения Пронумеровать узлы. Потенциал одного из узлов принять равным ну­лю. Составить систему (q – 1) уравнений электрического равновесия (1.32) Вычислить собственные и взаимные проводимости, узловые токи и подста­вить в систему уравнений электрического равновесия (1.32). Определить потенциалы узлов, решив систему уравнений электриче­ского равновесия (1.32). Определить токи ветвей по закону Ома. Ток ветви равняется разности потенциалов двух узлов, деленной на сопротивление ветви: . (1.33) Пример решения задачи Заземляем один из узлов (например, 3, рис. 1.24), потенциал этого узла (φ3) теперь равен нулю. Для определения потенциалов двух других узлов составляем систему из двух уравнений электрического равновесия по пер­вому закону Кирхгофа: (1.34) ; откуда φ1 = – 3 В ; φ2 = 29,5 В. Рис. 1.24. Схема электрической цепи для метода узловых потенциалов Токи в ветвях: 1.6.5. Метод эквивалентного генератора Методические указания Этот метод основан на применении теоремы об активном двухполюснике. Согласно теореме, любой активный двухполюсник, содержащий один или несколько источников энергии, можно заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (рис. 1.25). При определении тока, например, в ветви ab любой электрической схемы, эту схему представляют в виде двух частей: рассматриваемой ветви ab и остальной части схемы – эквивалентного генератора (Еэг). Ток в ветви ab определяют по формуле: , (1.35) где Uab xx – напряжение холостого хода активного двухполюсника (эквивалентного генератора) относительно зажимов рассматриваемой ветви; Rвх – входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов ab; Rab – сопротивление рассматриваемой ветви ab. Рис. 1.25. К методу эквивалентного генератора Последовательность решения Определить напряжение Uab xx с помощью одного из известных методов расчета электрических цепей, согласно исходной схеме без рассматри­ваемой ветви ab. Вычислить входное сопротивление Rвх пассивного двухполюсника, т. е. сопротивление исходной электрической цепи относительно точек ab без ветви ab, при замкнутых источниках токов ЭДС и разомкнутых ис­точников токов. Вычислить ток в рассматриваемой ветви ab (см. рис. 1.25) по формуле (1.35). Пример решения задачи Определить ток ветви ab. Определяем Uаb xx. При размыкании ветви ab исходная схема (рис. 1.26) преобразуется в схему, изображенную на рис. 1.26, а. По второму закону Кирхгофа составляем уравнение электрического равновесия для контура а-b-с-а, не содержащего источников тока, обходя контур по часовой стрелке: (1.36) Рис. 1.26. Схема электрической цепи для метода эквивалентного генератора: а - исходная; б – преобразованная Определяем входное сопротивление относительно зажимов выделенной ветви Uаb xx, при этом зажимы источника ЭДС закорачиваем, а зажимы источников тока размыкаем. В результате получается электрическая цепь (рис. 1.26, б): Глава 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 2.1. Простейший генератор однофазного синусоидального тока Конструкция простейшего генератора однофазного переменного тока приведена на рис. 2.1. Рис. 2.1. Простейший генератор однофазного переменного тока: 1 – полюсы индуктора; 2 – якорная обмотка; 3 – контактные кольца; 4 – щётка; 5 – электрическая нагрузка При вращении якоря генератора со скоростью n в магнитном поле, создаваемом полюсами индуктора, в обмотке якоря наводится ЭДС. Форма кривой ЭДС в общем случае может быть синусоидальной и несинусоидальной. В курсе лекций рассматривается только ЭДС, изменяющаяся по синусоидальному закону, и чтобы её сформировать, необходимо вращать якорь генератора с постоянной скоростью (n = const) в однородном магнитном поле с индукцией В = const. Мгновенное значение ЭДС, наводимой в обмотках якоря генератора, определяют по формуле: (2.1) где l, w – соответственно длина активной части и число витков обмотки якоря; v – линейная скорость вращения якоря; α – угол поворота якоря генератора. Обозначив , после преобразований получим равенство (2.2) где Em, ω, t – соответственно максимальное значение ЭДС обмотки, угловая частота вращения якоря и текущий момент времени работы генератора. Временная диаграмма ЭДС генератора, построенная по формуле (2.2), для различных моментов времени t, начиная с нулевого значения, приведена на рис. 2.2. Рис. 2.2. Временная диаграмма ЭДС генератора Нетрудно увидеть, что мгновенное значение ЭДС генератора равно нулю при t = 0 и равно максимальному значению при . 2.2. Основные определения Курс электротехники имеет специфическую терминологию и содержит понятия, которые целесообразно рассмотреть. Мгновенный электрический ток (напряжение и ЭДС) – значение электрического тока (напряжения и ЭДС) в рассматриваемый момент времени t. Периодический электрический ток (напряжение и ЭДС) – электрический ток (напряжения и ЭДС), мгновенные значения которого повторяются через равные промежутки времени. Переменный электрический ток (напряжение и ЭДС) – электрический ток (напряжения и ЭДС), изменяющийся с течением времени по значению и направлению. Синусоидальный электрический ток (напряжение и ЭДС) – периодический ток (напряжения и ЭДС), изменяющийся во времени по синусоидальному закону. По аналогии с ЭДС можно записать мгновенные значения: • напряжения: , • тока: , где Um, Im – соответственно максимальные значения напряжения и тока в электрической цепи переменного тока. Временные диаграммы, изменяющиеся по синусоидальному закону с периодичностью Т напряжения и тока электрической цепи, строят аналогично построению временной диаграммы ЭДС генератора (см. рис. 2.2). Период электрического тока (напряжение и ЭДС) (Т) – наименьший интервал времени, в течение которого мгновенное значение тока (напряжения и ЭДС), изменяясь по значению и направле­нию, принимает свое первоначальное для данного отсчета значение. Для сину­соидального тока период соответствует 2π радиан (или 360°). Частота электрического тока (напряжение и ЭДС) (f) -величина, обратная периоду электрического тока (напряжения и ЭДС), вычисляется по формуле, Гц: . (2.3) Угловая частота синусоидального электрического тока (напряжение и ЭДС) (ω) – скорость изменения фазы тока (напряжения и ЭДС): ω=2πƒ. (2.4) Например, для промышленных электрических сетей: = 50 Гц; Фаза синусоидального электрического тока (напряжение и ЭДС) – аргумент функции синусоидального тока (напряжения и ЭДС). Например, в формуле i =Iт∙sin(ωt+ψi) фазой тока является выраже­ние ωt+ψi. Начальная фаза синусоидального электрического тока (напряжение и ЭДС) – значение фазы синусоидального тока (напряжения и ЭДС) в начальный момент времени t = 0. В приведённом выше примере начальной фазой является угол ψi. По модулю и знаку начальной фазы определяют, какая из функций является опережающей, а это, в свою очередь, имеет существенное значение при исследовании электрических цепей. 3нак начальной фазы можно определить по знаку мгновенного значения функции при t = 0, а модуль её есть длина отрезка на оси абсцисс в масштабе аргумента функции, расположенного между началом координат и ближайшей к началу координат точкой, в которой функция, возрастая, пересекает ось абсцисс (начальная точка синусоиды). Пример: на рис. 2.3 приведены две функции тока: i1=Iт1 sin(ωt+ψi1); i2=Iт2 sin(ωt-ψi2), (2.5) мгновенные значения которых изменяются с периодом Т. При t = 0, i1 > 0, i2 < 0, следовательно, начальные фазы токов «+» ψi1 и «-» ψi2 (см. рис. 2.3). Модули начальных фаз: для тока i1 – отрезок 1-2; для тока i2 – отрезок 2-3. Период функций тока: Т соответствует отрезку а1-а3, (но не а1-а2, хотя и ia1=ia2, так как в интер­вале а1-а2 функция не изменяла своего знака). Рис. 2.3. Определение начальной фазы синусоидального тока Элемент электрической цепи – устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющее в ней отдельную функцию. К ним относятся: резистор – элемент, обладающий активным сопротивлением R, измеряемым в омах (Ом), – величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью ρ, измеряемой в сименсах (См), и вычисляется по формуле: ; идеальная катушка индуктивности (индуктивность) – элемент, обладающий реактивным индуктивным (XL) сопротивлением, измеряемым в омах и вычисляемым по формуле: , где L – индуктивность, измеряемая в генри (Гн). Проводимость идеальной катушки индуктивности, являясь величиной, обратной сопротивлению, определяется по формуле: ; конденсатор – элемент, обладающий реактивным емкостным сопротивлением (ХC), измеряемым в омах и вычисляемым по формуле: , где С – емкость, измеряемая в фарадах (Ф). Проводимость конденсатора, являясь величиной, обратной сопротивлению, определяется по формуле: . Действующее значение периодического электрического тока (напряжение и ЭДС) (I) – среднее квадратическое значение электрического тока (напряжения и ЭДС) за период Т, т. е. значение постоянного тока, выделяющего за период Т на резисторе такое же количество тепла, что и периодический ток за тот же интервал времени. Количество тепла, выделяемое постоянным током на резисторе с активным сопротивлением R за промежуток времени Т: . (2.6) Количество тепла, выделяемого переменным током в том же элементе и за тот же промежуток времени, определяют из равенства: . (2.7) Приравнивая уравнения (1.6) и (1.7), (2.8) и решая формулу (2.8) относительно тока I , получают равенство . (2.9) Мгновенное значение переменного синусоидального тока при начальной фазе его ψi = 0 вычисляют по формуле: . Подставив это значение тока в равенство (2.9) и выполнив соответствующие преобразования, достигают следующего результата: . (2.10) Аналогично определяют мгновенные, максимальные, периодические синусоидальные ЭДС и напряжения, их фазы, начальные фазы (,), периоды, частоты и действующие значения (Е ,U). Для синусоидальных ЭДС и напряжений можно записать: ; (2.11) ; (2.12) ; (2.13) . (2.14) После несложных преобразований формулы (2.12) и (2.14) можно записать в следующем виде: ; . (2.15) Шкалы амперметров и вольтметров электромеханических систем градуируют в действующих значениях тока и напряжения. Среднее значение синусоидального тока определяют за промежуток времени, равный половине периода (за полный период ток равен нулю): , где , ; ; . (2.16) Аналогично получают средние значения ЭДС и напряжения: ; (2.17) . (2.18) Отношением действующего значения синусоидальной величины к среднему ее значению определяют коэффициент формы кривой: ; (2.19) . (2.20) Участок электрической цепи – часть электрической цепи, содержащая определённую совокупность её элементов. Ветвь электрической цепи – участок электрической цепи, по которому протекает один и тот же ток. Узел электрической цепи – место соединения ветвей электрической цепи. 2.3. Отображение синусоидальных функций на плоскости Синусоидальные функции можно отображать на плоскости временными и векторными диаграммами. Временные диаграммы наглядно показывают процессы изменения во времени мгновенных значений физических величин и могут быть построены в одной системе координат для функций с различными частотами, но требуют выполнения значительного объёма графических работ. Пример построения временных диаграмм синусоидального тока приведён на рис. 2.2, 2.3, а векторных – на рис. 2.4, 2.7. Векторные диаграммы просты в построении, но в то же время они не дают наглядного представления о процессах изменения физических величин и могут быть построены в одной системе координат только для функций, имеющих одинаковую частоту. Связь между временными и векторными диаграммами можно проследить по графикам, показанным на рис. 2.4. Рис. 2.4. Изображение синусоидальной величины а в виде вектора А Нетрудно увидеть, что временная диаграмма зависимости , изменяющейся по синусоидальному закону с начальной фазой , получается при вращении вектора с угловой частотой против часовой стрелки. Обратим внимание на механизм формирования начальной фазы функции. В нашем примере , так как вектор начинает вращаться против часовой стрелки от точки 1, находящейся на оси абсцисс правее центра вращения вектора. Если вектор начинать вращать против часовой стрелки от точки 2, то начальная фаза функции будет иметь значение , а от точки 12 – . Таким образом, начальная фаза функции равна углу наклона вектора, отображающего эту функцию, к горизонтальной плоскости. Знак начальной фазы определяется знаком угла наклона вектора. 2.4. Сложение и вычитание синусоидальных функций В практике расчета и анализа электрических цепей синусоидального тока, как правило, появляется необходимость складывать и вычитать мгновенные, максимальные, действующие и средние значения однородных величин. Рассмотрим на примерах, как это рекомендуется делать. Пример 1. Даны две функции тока: ; ; ; . Необходимо графическим методом получить функцию тока: . Последовательность сложения функций (рис. 2.5): строят функции и в едином масштабе тока и времени; строят функцию , складывая алгебраически ординаты функций и . B заданные моменты времени t = t1, t2,… Например, для моментов времени t1 и t2 имеем: ; . Рис. 2.5. Сложение синусоидальных величин Пример 2. Функции токов цепи из примера 1 заданы векторами , ; , . Построить вектор тока , равный геометрической сумме векторов и . Рис. 2.6. Сложение векторных величин Последовательность сложения векторов (рис. 2.6): 1) строят на плоскости векторы и c учетом их начальных фаз и модулей; 2) складывают векторы и , перенося параллельно самому себе, например, вектор до совмещения его начала с концом вектора ; 3) соединяют начало вектора с концом перенесенного вектора , получая вектор с начальной фазой . 2.5. Комплексный метод расчета электрических цепей Комплексный метод широко применяется для расчета сложных электрических цепей переменного тока. Суть метода заключается в том, что соотношения между величинами, изменяющимися по синусоидальному закону, выражают простыми и наглядными уравнениями. Например, функцию (2.21) можно представить вектором , вращающимся с угловой частотой от точки, формирующей начальную фазу (см. рис. 2.4). Приняв ось вещественных чисел «+»1, «–»1 комплексной плоскости за линию начала отсчета времени вращения вектора , можно проекции этого вектора на оси вещественных и мнимых («+»j, «–»j) чисел комплексной плоскости (см. рис. 2.7, а) записать равенством , (2.22) где – единичный множитель комплексного числа; – комплекс амплитуды величины «а». В формуле (2.22) мгновенное значение переменной величины «а», имеющее место в момент времени t = 0, определяется значением мнимой части комплекса без множителя j: . Таким образом, четко прослеживается связь между отображениями функции а(t) на декартовой и комплексной плоскостях в едином масштабе времени. Рис. 2.7. Изображения комплексных величин В общем случае комплекс какой-либо величины можно представить в тригонометрической, показательной и алгебраической формах. В рассматриваемом примере комплекс может быть записан: • в тригонометрической форме: , • в показательной форме: , • в алгебраической форме (см. рис. 2.7, б): , где Аm, – соответственно модуль и аргумент комплекса ; , – соответственно вещественная и мнимая части комплекса ; – поворотный множитель вектора . Из курса математики известно, что ; ; для ; ; ; ; ; . Кроме того, единичный множитель можно записать равенством: . Аналогично записывают в комплексной форме действующие и средние значения величин. Например, комплекс действующего значения величины «а»: . Комплексное число удобно представить вектором, построенным на комплексной плоскости в осях «+»1, «–»1 вещественных и «+»j, «–»j мнимых чисел (рис. 2.8). Рис. 2.8. Изображение комплексного числа и сопряженного ему комплексного числа Аргумент комплексного числа может быть положительным, если его отсчитывают против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчитывают по часовой стрелке от оси «+»1 вещественных чисел комплексной плоскости. Каждый комплекс имеет свое «зеркальное отображение» в вертикальной плоскости, называемое сопряженным комплексом. Так, комплекс имеет сопряженный комплекс , отличающийся только знаком аргумента: . На рис. 2.8 построен комплекс и его сопряженный комплекс . Комплексные числа складывают, вычитают, умножают и делят. При сложении и вычитании комплексных чисел их выражают в алгебраической форме и складывают и вычитают отдельно вещественные и мнимые составляющие этих чисел. Пример. Комплексы: ; , сложим: ; вычтем: . При умножении и делении комплексных чисел их выражают в показательной или алгебраической форме. Пример. Комплексы: ; , умножим: ; Произведение сопряженных комплексов равно квадрату их модуля: ; разделим: ; . Умножим и разделим правую часть равенства на сопряженный комплекс комплексного числа, записанного в знаменателе дроби: где ; . Анализ выполненных преобразований показывает, что умножение и деление комплексных чисел проще выполнять при их записи в показательной форме. В то же время строить векторы комплексов рекомендуется по уравнениям, представляющим алгебраическую форму их записи, так как в этом случае не требуется специальный чертежный инструмент. Достаточно найти точку пересечения проекций вектора на вещественную и мнимую оси плоскости, чтобы определить конец этого вектора. Стандарты допускают синусоидальные ЭДС, ток и напряжение обозначать точками над символами, то есть комплексы действующих значений ЭДС, тока и напряжения можно обозначать E или , I или , U или . Эти величины на комплексной плоскости принято обозначать векторами. Остальные величины, характери­зующие параметры электрических цепей, принято обозначать следующими символами: – комплекс полного сопротивления цепи; – комплекс полной проводимости цепи; – комплекс полной мощности цепи. Запишем законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме для действующих значений электрических величин: закон Ома: , то есть комплекс действующего значения тока равен частному от деления комплекса действующего значения напряжения на комплекс полного сопротивления цепи или произведению комплекса действующего значения напряжения на комплекс полной проводимости цепи; первый закон Кирхгофа: , то есть сумма комплексов действующих значений токов в любом узле электрической цепи равна нулю; второй закон Кирхгофа: , то есть сумма комплексов действующих значений ЭДС источников, питающих электрическую цепь, равна сумме комплексов действующих значений падения напряжения на всех участках этой цепи. Глава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 3.1. Цепь переменного тока с резистором К источнику переменного тока с синусоидальным напряжением подключен резистор с активным сопротивлением R (рис. 3.1). Для упрощения расчетов принимаем начальную фазу напряжения. Рис. 3.1. Электрическая схема и временные диаграммы напряжений и тока в цепи с резистором Используя закон Ома, определяем мгновенное значение тока в цепи: , (3.1) где максимальное значение тока . (3.2) Анализ формулы (3.1) показывает, что начальная фаза тока. Поэтому угол сдвига фаз между напряжением и током цепи . (3.3) Формула (3.3) дает возможность сделать весьма важный вывод: в цепи с резистором напряжение и ток совпадают по фазе. Этот вывод подтверждается и временными диаграммами напряжения и тока цепи, приведенными на рис. 3.1. Далее определяем: действующее значение тока: ; (3.4) действующее значение напряжения на резисторе: ; мгновенное значение мощности в цепи: . (3.5) График мощности, построенный по уравнению (3.5), приведен на рис. 3.2. Среднее значение мощности за период Т: . (3.6) Рис. 3.2. График мощности в цепи с резистором Как видно из равенства (3.5) и временных диаграмм, мгновенное значение мощности цепи с резистором колеблется с удвоенной частотой относительно среднего значения, имеет только положительные значения и характеризует интенсивность потребления элементами цепи активной энергии в течение периода Т. Эта энергия полностью преобразуется в тепловую (происходит нагрев резистора), что дает основание ввести понятие активной мощности цепи (среднее за период Т значение полной мощности цепи), вычисляемой по формуле (3.6). Если использовать формулу (3.4), то можно получить еще одно равенство (следствие из закона Джоуля-Ленца), широко применяемое в расчетах электрических цепей: . (3.7) Активную мощность принято измерять в ваттах (Вт), киловаттах (кВт) и мегаваттах (МВт). Запишем приведенные ранее уравнения в комплексной форме и построим диаграммы сопротивления, напряжения, тока и мощности цепи на комплексной плоскости. Начальные фазы напряжения и тока по условию равны нулю. Поэтому комплексы действующих значений этих величин равны их модулям: ; , т. е. имеют место только вещественные слагаемые положительного знака. Векторы и откладывают по оси +1 вещественных чисел на комплексной плоскости (рис. 3.3). Рис. 3.3. Векторная диаграмма напряжения цепи с резистором Комплекс полного сопротивления цепи также содержит только вещественную часть: , а закон Ома записывается равенством . Комплекс полной мощности цепи с резистором , где – сопряженный комплекс тока. При ,; ; . На рис. 3.4 показаны диаграммы сопротивления (а) и мощности (б) на комплексной плоскости. Рис. 3.4. Векторные диаграммы: сопротивления цепи с резистором (а); мощности цепи с резистором (б) Выводы В цепи синусоидального тока с резистором: • напряжение и ток совпадают по фазе. • потребляется активная энергия, расходуемая на нагрев активных элементов цепи. 3.2. Цепь переменного тока с идеальной катушкой индуктивности Идеальной называется катушка индуктивности, активное сопротивление которой равно нулю. Пусть через идеальную катушку индуктивности с полным сопротивлением Zк протекает синусоидальный ток с начальной фазой (рис. 3.5). Тогда мгновенное значение тока можно записать равенством , . (3.8) Катушка обладает индуктивностью L, измеряемой в генри (Гн). В катушке, при протекании по ней тока, в соответствии с законом электромагнитной индукции возникает ЭДС самоиндукции, направленная на встречу движения тока, мгновенное значение которой определяется по формуле: . (3.9) Рис. 3.5. Электрическая схема и временные диаграммы тока и напряжения цепи с идеальной катушкой индуктивности Подставив в выражение (3.9) значение тока i из формулы (3.8) и взяв производную, получим следующее равенство: (3.10) Обозначив и выразив через функцию синуса, уравнение (3.10) преобразуем в следующее равенство: , . (3.11) Сравнивая уравнения (3.8) и (3.11), нетрудно увидеть, что ЭДС самоиндукции, возникающая в идеальной катушке индуктивности, отстает от протекающего по ней тока на угол радиан (см. времен­ные диаграммы тока и ЭДС на рис. 3.5). За первую четверть периода (правее от начала отсчета времени при i = 0) ток увеличивается, а ЭДС самоиндукции направлена против тока и противодействует его возрастанию. За вторую четверть периода ток уменьшается, а ЭДС самоиндукции направлена согласно с током и противодействует уменьшению его и т. д. Таким образом, ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока в цепи. Этим и объясняется наличие индуктивного сопротивления в цепи. Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение, приложенное к катушке индуктивности, компенсируется падением напряжения на этой катушке при протекании по ней тока, то есть . Но поскольку в катушке индуктивности возникла ЭДС самоиндукции, то в соответствии с тем же законом Кирхгофа можем записать: , а следовательно, . Тогда . Обозначив и заменив функцию косинуса на синус, после преобразований получим равенство . (3.12) Сравнивая уравнения (3.8), (3.11) и (3.12), видим, что, во-первых, напряжение, приложенное к идеальной катушке индук­тивности, опережает протекающий по ней ток на угол радиан (90°), а во-вторых, это напряжение находится с ЭДС самоиндукции катушки в противофазе, т. е. угол сдвига фаз между этими величинами равен π радиан (180°). Выражение имеет единицы измерений: . Следовательно, обозначив , можно считать, что – это и есть индуктивное сопротивление катушки. Поскольку , то можно записать равенство: . (3.13) Для рассматриваемой цепи Zк = ХL, и закон Ома имеет вид , (3.14) где I, U – действующие значения соответственно тока и напряжения цепи. Причем U = UL = IXL. (3.15) Мгновенное значение мощности цепи с идеальной катушкой индуктивности вычисляют по формуле: , Учитывая, что , , после преобразований получим равенство: . (3.16) Из формулы (3.16) следует, что мгновенное значение мощности цепи изменяется с удвоенной частотой относительно напряжения (тока) цепи. Временные диаграммы, приведенные на рис. 3.6, подтверждают этот вывод. Амплитудное значение мощности . (3.17) Величину QL принято называть реактивной индуктивной мощностью цепи. Учитывая, что , преобразуем равенство (3.17) в следующую формулу: . (3.18) Реактивная мощность измеряется в варах (ВАp), кварах (кВАр) и мегаварах (МВАр). Активная мощность рассматриваемой цепи равна нулю, так как . Это заключение подтверждается и временной диаграммой РL(t) (см. рис. 3.6): сумма площадей функции мощности цепи за период Т равна нулю. Измеряют реактивную мощность (и энергию) счетчиками электрической энергии. Анализ временной диаграммы PL(t) показывает, что при подключении идеальной катушки индуктивности к источнику однофазного синусоидального напряжения возникает незатухающий колебательный процесс обмена электрической энергией между источниками и катушкой с периодичностью : в первую четверть периода Т электрическая энергия из сети поступает к катушке индуктивности и расходуется на создание электромагнитного поля катушки (наибольшее значение энергии магнитного поля имеет место при ), во вторую четверть периода Т энергия магнитного поля катушки преобразуется в электрическую энергию и возвращается в сеть ( при ), далее процесс повторяется с неизменной периодичностью до момента отключения источника питания цепи. Рис. 3.6. График мощности цепи с идеальной катушкой индуктивности Записать приведенные выше величины в комплексной форме и построить соответствующие диаграммы. Комплекс действующего значения напряжения цепи: , а поскольку , можно записать: . Комплекс действующего значения тока цепи: , так как по условию . Комплекс полного сопротивления цепи: . Комплекс полной мощности цепи: , поскольку сопряженный комплекс действующего значения тока при . Векторные диаграммы напряжения и тока цепи приведены на рис. 3.7, а диаграммы сопротивления и мощности цепи - на рис. 3.8. Рис. 3.7. Векторные диаграммы напряжения и тока цепи с идеальной катушкой индуктивности Рис. 3.8. Диаграммы сопротивления (а) и мощности (б) цепи с идеальной катушкой индуктивности Выводы В цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности: • напряжение опережает ток, протекающий по катушке, на угол радиан (90°); • из сети не потребляется активная энергия; • возникает незатухающий колебательный процесс обмена электрической энергией между источником питания и катушкой индуктивности с периодичностью , обеспечивающий создание магнитного поля катушки (максимальное значение энергии магнитного поля . 3.3. Цепь переменного тока с реальной катушкой индуктивности Реальная катушка индуктивности обладает активным (Rк) и индуктивным (XL) сопротивлениями. В электротехнической литературе реальную катушку индуктивности обозначают в виде элемента электрической цепи Эквивалентная схема замещения катушки имеет вид: Если к реальной катушке индуктивности подвести синусоидальное напряжение (рис. 3.9), то по ней потечет ток, мгновенное значение которого находится из равенства , которое упрощается: , (3.19) если . Рис. 3.9. Электрическая схема с реальной катушкой индуктивности Согласно второму закону Кирхгофа, можно записать: . Но в соответствии с законом электромагнитной индукции, падение напряжения на индуктивном сопротивлении катушки уравновешивается создаваемой в ней ЭДС самоиндукции, то есть Поэтому справедливо следующее равенство: . (3.20) После преобразований уравнения (3.20) получим: , (3.21) где – начальная фаза напряжения цепи, которая имеет тем большее значение, чем меньше активное сопротивление катушки. При . В зависимости от значения сопротивления изменяется и угол сдвига фаз между величинами и : . Поэтому при (по условию). Временные диаграммы напряжения и тока реальной катушки индуктивности приведены на рис. 3.10. Рис. 3.10. Временные диаграммы тока и напряжений цепи с реальной катушкой индуктивности Анализ временных диаграмм показывает, что активная составляющая напряжения катушки совпадает по фазе с током , реактивная (индуктивная) составляющая напряжения опережает ток по фазе на угол радиан, полное напряжение катушки опережает ток на угол . Мгновенное значение полной мощности цепи определяют из равенства , при = 0. После преобразований можно записать: . (3.22) Временная диаграмма мощности цепи приведена на рис. 3.11. Из формулы (3.22) и временной диаграммы следует, что мгновенное значение мощности цепи с реальной катушкой индуктивности колеблется с удвоенной частотой относительно среднего своего значения РK: , (3.23) то есть реальная катушка индуктивности обладает активной мощностью , (3.24) а, следовательно, потребляет из сети активную энергию, расходуемую на нагрев катушки. Рис. 3.11. Временная диаграмма мощности цепи с реальной катушкой индуктивности Из временной диаграммы можно видеть, что потребление активной энергии происходит при одинаковом направлении мгновенных значений напряжения и тока в цепи. На интервалах времени, характеризующихся различным направлением величин uк и i, энергия возвращается к источнику питания (энергия магнитного поля катушки преобразуется в электрическую энергию сети). Здесь уместно сравнить временные диаграммы мощности цепи с активным сопротивлением (см. рис. 3.2), идеальной (см. рис. 3.6) и реальной (см. рис. 3.11.) катушками индуктивности. Анализ показывает, что активное сопротивление цепи формирует поток энергии только одного направления – от источника к нагрузке, а индуктивное – создает колебательный процесс обмена энергией между источником и нагрузкой. В комплексной форме можно записать: полное сопротивление катушки: , (3.25) где – модуль комплекса полного сопротивления катушки, Ом. Обозначив ; , получим равенство . (3.26) Модуль комплекса полного сопротивления катушки вычисляют по формуле ; (3.27) комплекс действующего значения тока, протекающего по катушке: , так как по условию; комплекс действующего значения напряжения, приложенного к катушке: . В правой части равенства: вещественная (активная составляющая) и мнимая (индуктивная составляющая) части комплекса действующего значения напряжения, приложенного к катушке, модули которых соответственно равны: , . Окончательно имеем: . (3.28) Модуль комплекса действующего напряжения, приложенного к катушке, вычисляют по формуле . (3.29) Равенство (3.28) можно записать в показательной и тригонометрической форме: . Полная мощность катушки: . Обозначив ; , (3.30) можно записать: . (3.31) Модуль комплекса полной мощности катушки определяют из равенства , (3.32) Учитывая, что , , формулы (3.30) можно записать в следующем виде: . (3.33) В показательной и тригонометрической форме комплекс полной мощности катушки имеет вид: , (3.34) а, следовательно, ; . Полная мощность цепи измеряется в вольтамперах (В·А), киловольтамперах (кВ·А) и мегавольтамперах (МВ·А). Построим диаграмму сопротивлений (рис. 3.12), векторную диаграмму напряжений и диаграмму мощности (рис. 3.13) реальной катушки индуктивности на комплексной плоскости. Рис. 3.12. Диаграмма сопротивлений цепи с реальной катушкой индуктивности Рис. 3.13. Векторная диаграмма напряжений (а), диаграмма мощностей (б) цепи с реальной катушкой индуктивности Примечание. По вещественной оси положительных чисел (+1) откладывают вектор тока, имеющего начальную фазу. Соотношение между активным и полным сопротивлениями, активной составляющей и полным напряжением, активной и полной мощностью катушки индуктивности характеризуется так называемым коэффициентом мощности катушки, вычисляемым по формулам: . (3.35) Аналогично определяют значение : . (3.36) Выводы В цепи с реальной катушкой индуктивности: • Напряжение опережает ток, протекающий по катушке, на угол φк, значение которого увеличивается с уменьшением активного сопротивления катушки и равно радиан (90°) при Rк = 0. • Из сети потребляется активная энергия, расходуемая на нагрев катушки. • Возникает колебательный процесс обмена энергией между источником питания и катушкой с удвоенной частотой по сравнению с частотой тока, протекающего по катушке. • Коэффициент мощности меньше единицы и носит индуктивный характер. 3.4. Цепь переменного тока с идеальным конденсатором Идеальным принято называть конденсатор, в котором не возникают утечки тока при появлении на нем напряжения. В идеальном конденсаторе активное сопротивление равно нулю (). При подключении идеального конденсатора, обладающего емкостью С, к источнику питания с напряжением , (3.37) в цепи возникает ток, периодически заряжающий и разряжающий конденсатор. Схема подключения конденсатора приведена на рис. 3.14. Рис. 3.14. Электрическая схема и временная диаграмма тока, напряжения и мощности цепи с идеальным конденсатором Мгновенное значение тока, протекающего по цепи, определяют из уравнения: (3.38) Величина имеет размерность , так как емкость измеряют в фарадах (Ф) или в кулонах (Кл), деленных на вольты (В), а кулон измеряют в амперах (А), умноженных на секунды. Реактивное емкостное сопротивление конденсатора можно вычислить по формуле: . (3.39) Обозначив , преобразуем равенство (3.38): . (3.40) Действующее значение тока в цепи с конденсатором: . Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение, приложенное к рассматриваемой цепи, уравновешивается падением напряжения на конденсаторе, возникающем при протекании в цепи тока, то есть , (3.41) где – падение напряжения на конденсаторе, В: , . Действующее значение напряжения на конденсаторе можно определить из равенства . (3.42) Сравнивая равенства (3.37) и (3.40), нетрудно увидеть, что в идеальном конденсаторе ток опережает по фазе напряжение на угол радиан (90°). Такой сдвиг по фазе между величинами i и uc объясняется электронной поляризацией диэлектрика, расположенного между обкладками конденсатора, при появлении на конденсаторе синусоидального напряжения сети. Мгновенное значение мощности цепи с идеальным конденсатором определяют из уравнения: . (3.43) Из формулы (3.43) следует, что по аналогии с катушкой индуктивности мгновенное значение мощности цепи с идеальным конденсатором колеблется с удвоенной частотой относительно напряжения (тока) этой цепи (см. рис. 3.14). При этом, как показано на временной диаграмме P(t), в первую четверть периода Т из сети поступает энергия, расходуемая на создание электрического поля конденсатора (максимальное значение энергии электрического поля достигается при напряжении ); во вторую четверть периода Т энергия электрического поля конденсатора возвращается к источнику питания, преобразуясь полностью в электрическую энергию. Возникает незатухающий колебательный процесс обмена энергией между источником питания и конденсатором, который продолжается до момента отключения напряжения сети. Среднее значение мощности цепи за период Т равно нулю: . (3.44) Следовательно, в цепи с идеальным конденсатором активная мощность отсутствует. По аналогии с катушкой индуктивности реактивная мощность цепи с емкостью определяется из равенства: . (3.45) и измеряется в варах, киловарах и мегаварах. Подставив вместо величины UC ее значение из формулы (3.42), будем иметь: . (3.46) Запишем величины u, uC, , ZC, Р в комплексной, показательной и алгебраической форме. Комплекс действующего значения напряжения в цепи и на конденсаторе: , так как по условию. Комплекс действующего значения тока цепи: , так как радиан (90°). Комплекс полного сопротивления цепи: . Комплекс полной мощности цепи: , так как сопряженный комплекс тока: . На рис. 3.15 и 3.16 приведены диаграммы сопротивления и мощности и векторная диаграмма напряжения и тока цепи, построенные на комплексной плоскости. Рис. 3.15. Диаграмма сопротивлений цепи с идеальным конденсатором Рис. 3.16. Векторная диаграмма напряжения (а), диаграмма мощностей (б) цепи с идеальным конденсатором Выводы В цепи переменного тока с идеальным конденсатором: • Ток опережает по фазе напряжение на угол радиан (90°). • Активная мощность равна нулю. • Возникает незатухающий колебательный процесс обмена энергией между источником питания и конденсатором с удвоенной частотой по отношению к частоте напряжения (тока) цепи: в первую четверть периода Т из сети поступает энергия, расходуемая на создание электрического поля конденсатора, во вторую четверть периода Т энергия электрического поля конденсатора полностью возвращается к источнику питания. Далее процесс повторяется до отключения напряжения сети. 3.5. Цепь переменного тока с резистором и конденсатором Анализ процессов, возникающих в цепи с резистором и конденсатором при последовательном их подключении к сети синусоидального тока, проводится аналогично анализу процессов в цепи с реальной катушкой индуктивности. На рис. 3.17 приведены схема подключения конденсатора и резистора, временные диаграммы напряжения, тока и мощности цепи. Рис. 3.17. Электрическая схема и временная диаграмма тока, напряжения и мощности цепи с резистором и конденсатором Согласно второму закону Кирхгофа, мгновенное значение напряжения сети, приложенного к исследуемой цепи: , (3.47) уравновешивается мгновенными значениями напряжения на активном (UR) и емкостном (UC) сопротивлениях цепи при протекании по ней тока: . (3.48) Мгновенное значение тока, возникающего в цепи, запишем равенством (3.49) для условия . Ранее установлено, что ток в цепи с резистором совпадает по фазе с напряжением, а в цепи с емкостью опережает напряжение по фазе на угол радиан (90°). Следовательно, ; . (3.50) После подстановки в формулу (3.48) и преобразований получаем равенство , (3.51) где при . Анализ формул (3.49) и (3.51) показывает, что в цепи с резистором и конденсатором ток опережает по фазе напряжение на угол , значение которого тем больше, чем меньше активное сопротивление резистора. При R = 0 , радиан (90°). Мгновенное значение мощности цепи определяется из равенства . После преобразований будем иметь: , (3.52) Среднее значение мощности цепи за период Т: . (3.53) Из формулы (3.52) следует, что в цепи с резистором и конденсатором мгновенное значение мощности изменяется с удвоенной частотой по сравнению с напряжением (током) относительно своего среднего за период Т значения, называемого активной мощностью цепи Р. Запишем электрические величины в комплексной, показательной и алгебраической форме. Комплекс полного сопротивления цепи: , (3.54) и его модуль: ; (3.55) комплекс действующего значения тока цепи: , ; (3.56) комплекс действующего значения напряжения цепи: . (3.57) В правой части равенства: комплекс активной составляющей напряжения: ; комплекс емкостной составляющей напряжения: . Следовательно, можно записать: ; или , (3.58) так как ; . Модуль комплекса действующего значения напряжения цепи: . (3.59) Комплекс полной мощности цепи: (3.60) где сопряженный комплекс действующего значения тока цепи: . Модуль комплекса полной мощности цепи: . (3.61) Коэффициент мощности реального конденсатора вычисляют по формуле . (3.62) Значение его меньше единицы. Диаграммы рассмотренных величин, построенные на комплексной плоскости, приведены на рис. 3.18 и 3.19. Рис. 3.18. Диаграмма сопротивлений цепи с резистором и конденсатором Рис. 3.19. Векторная диаграмма напряжений (а) и диаграмма мощностей (б) цепи с резистором и конденсатором Выводы В цепи переменного тока с резистором и конденсатором: 1. Ток опережает напряжение по фазе на угол , значение которого тем больше, чем меньше активное сопротивление резистора. При R = 0 , радиан (90°). 2. Из сети поступает активная энергия, расходуемая на нагрев резистора. 3. Возникает незатухающий колебательный процесс обмена энергией между источником питания и конденсатором, обеспечивающий создание электрического поля и возникновение тока конденсатора. 3.6. Цепь переменного тока с резистором, конденсатором и катушкой индуктивности Рассмотрим процессы, возникающие в электрической цепи, приведенной на рис. 3.20, после подключения к ней синусоидального напряжения. Рис. 3.20. Цепь с резистором, конденсатором и реальной катушкой индуктивности Представим реальную катушку индуктивности эквивалентной схемой (рис. 3.21): Рис. 3.21. Цепь с резистором, конденсатором и идеальной катушкой индуктивности Поскольку ранее детально рассмотрены цепи переменного тока с резистором, конденсатором и катушкой, ограничимся только расчетом цепи, приведенной на рис. 3.21, комплексным методом, сделав допущение, что . Комплекс полного сопротивления цепи: . Запишем его в показательной форме: , (3.63) в алгебраической форме: (3.64) Модуль комплекса полного сопротивления цепи: . (3.65) Угол сдвига фаз между напряжением и током цепи: . (3.66) Комплекс действующего значения тока цепи: . (3.67) Комплекс действующего значения напряжения цепи: в показательной форме: , (3.68) в алгебраической форме: (3.69) Модуль комплекса действующего значения напряжения цепи: . (3.70) Комплекс полной мощности цепи: в показательной форме: , (3.71) в алгебраической форме: Вт Вар ВА (3.72) Модуль комплекса полной мощности цепи: . (3.73) Коэффициент мощности цепи: (3.74) Рассмотрим три типичных для многоэлементной цепи ситуации: 1. ХL > ХC – характер реактивной нагрузки цепи индуктивный. Построим на комплексной плоскости диаграммы сопротивлений и мощности и векторную диаграмму напряжения цепи (рис. 3.22 и 3.23), используя уравнения (3.64), (3.69), (3.72). Рекомендация: диаграммы целесообразно строить в последо­вательности, обратной направлению тока в цепи. При правильном построении диаграмм треугольники сопротивления, напряжения и мощности цепи являются подобными. Из приведенных диаграмм нетрудно увидеть, что коэффициент мощности цепи меньше единицы и имеет индуктивный характер, так как напряжение опережает ток на угол φL. Для рассматриваемого случая временные диаграммы мощности цепи имеют вид (рис. 3.24). Рис. 3.22. Диаграмма сопротивлений (а) и векторная диаграмма напряжений цепи (б) активно-индуктивном характере нагрузки цепи Рис. 3.23. Диаграмма мощностей цепи при активно-индуктивном характере нагрузки цепи В первой четверти периода Т из сети поступает энергия, расходуемая на создание магнитного поля катушки индуктивности . Во второй четверти периода энергия магнитного поля катушки расходуется на создание электрического поля конденсатора , но поскольку>, то избыток энергии магнитного поля в количестве возвращается в сеть. Рис. 3.24. Диаграмма мощностей при активно-индуктивном характере нагрузки цепи В третьей четверти периода Т энергия электрического поля конденсатора расходуется на создание магнитного поля катушки индуктивности, но ее недостаточно для формирования магнитного поля с энергией WL. Поэтому из сети к катушке индуктивности поступает электрическая энергия в количестве, эквивалентном энергии: . В четвертой четверти периода Т повторяется энергетический процесс, имевший место во второй четверти этого периода. Таким образом, каждую четверть периода Т, кроме первой четверти, происходит взаимный обмен энергией между катушкой индуктивности и конденсатором. Конденсатор в рассматриваемой цепи выполняет функции аккумулятора электрической энергии. Это позволяет уменьшить в соответствующих пределах реактивный ток индуктивного характера, протекающий по цепи при формировании магнитного поля катушки. 2. ХL < ХC – характер реактивной нагрузки цепи емкостной. Диаграммы, построенные на комплексной плоскости для этого случая, приведены на рис. 3.25 и 3.26. Рис. 3.25. Диаграмма сопротивлений (а) и векторная диаграмма напряжений цепи (б) при активно-емкостном характере нагрузки цепи Рис. 3.26. Диаграмма мощностей цепи при активно-емкостном характере нагрузки цепи Анализ диаграмм показывает, что характер нагрузки цепи активно-емкостной, так как ток опережает по фазе напряжение цепи на угол φC. Временная диаграмма мощности цепи для рассматриваемого случая приведена на рис. 3.27. Энергетические процессы в цепи с активно-емкостным характером нагрузки аналогичны процессам в рассмотренной ранее цепи с активно-индуктивной нагрузкой. Рис. 3.27. Временная диаграмма мощности при активно-емкостном характере нагрузки цепи Разница только в том, что при активно-емкостной нагрузке во второй четверти периода Т из сети поступает энергия в количестве для создания электрического поля конденсатора с энергией , а в третьей четверти периода Т избыток энергии электрического поля конденсатора возвращается в сеть. Анализ показывает, что при ХL < ХC имеет место пере­компенсация реактивного индуктивного тока в период формирования электрического поля конденсатора. 3. ХL = ХC – в цепи имеет место полная компенсация реактивной нагрузки. В этом случае характер нагрузки цепи только активный: (3.75) Имеет место полная компенсация реактивных индуктивной в емкостной нагрузок. Такое явление называют резонансом напряжения в неразветвленной цепи. Диаграммы, построенные на комплексной плоскости, приведены на рис. 3.28 и 3.29, а временная диаграмма мощности цепи приведена на рис. 3.30. Рис. 3.28. Диаграмма сопротивлений (а) и напряжений цепи (б) при активном характере нагрузки цепи Рис. 3.29. Диаграмма мощностей цепи при активном характере нагрузки цепи Рис. 3.30. Временная диаграмма мощности при активном характере нагрузки цепи Анализ временных диаграмм мощности цепи показывает, что при полной компенсации реактивных нагрузок возникает незатухающий колебательный процесс обмена энергией между катушкой индуктивности и конденсатором, то есть WL = WC в любой четверти периода Т, кроме первой четверти. При резонансе напряжений в неразветвленной цепи из сети поступает только активная энергия, расходуемая на нагрев активных элементов цепи. Вместе с тем при резонансе напряжений может возникнуть перенапряжение на катушке индуктивности и конденсаторе, если их сопротивления имеют достаточно большое значение. Выводы В неразветвленной цепи с активным, индуктивным и емкостным элементами: 1. Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлением цепи: ◦ при активно-индуктивном характере нагрузки (ХL > ХC) ток отстает от напряжения на угол φL; ◦ при активно-емкостном характере нагрузки (ХL < ХC) ток опережает напряжение на угол φС; ◦ при активном характере нагрузки (ХL = ХC) ток и напряжение совпадают по фазе. 2. При неполной компенсации реактивной нагрузки (ХL< > ХC) в цепи возникает взаимный обмен энергией между источником питания и соответствующими реактивными элементами: индуктивным – при ХL > ХC и емкостным – при ХL < ХC. 3. При полной компенсации реактивной нагрузки (ХL = ХC) в цепи возникает резонанс напряжений, обусловливающий существенное увеличение тока, напряжения на реактивных элементах и активной мощности. 4. При резонансе напряжений по цепи протекает только активный ток, совпадающий по фазе с напряжением (cosφ = 1,0). 3.7. Топографическая диаграмма напряжений неразветвленной цепи Топографической диаграммой принято называть совокупность векторов напряжения, соединяющих в установленной последова­тельности на комплексной плоскости точки, эквивалентные потенциалам одноименных точек неразветвленной электрической цепи. По аналогии с топографической картой, на которой можно вычислить расстояние между любыми точками на местности, на топографической диаграмме, построенной по соответствующим правилам, можно определить разность потенциалов между любыми фиксированными точками неразветвленной цепи. На рис. 3.31 приведена схема неразветвленной электрической цепи, к которой приложено напряжение, и синусоидальной формы. Рис. 3.31. Электрическая схема для построения топографической диаграммы напряжений В цепи возникает ток i, создающий на ее элементах падение напряжения. Согласно второму закону Кирхгофа: , (3.76) Наибольшим потенциалом обладает точка 1, наименьшим – точка 6 цепи, приведенной на рис. 3.31. Построим топографическую диаграмму напряжений для этой цепи. Правила построения диаграммы: 1) число векторов напряжения равно числу участков цепи, зафиксированных пронумерованными точками; 2) построение диаграммы начинается с точки, имеющей наименьший потенциал, то есть с начала координат на комплексной плоскости строят вектор падения напряжения на элементе, подключенном последним, если определять его место, перемещаясь по направлению тока в цепи. Это правило можно сформулировать таким образом: векторы напряжения строят в порядке, противоположном направлению движения тока в цепи. Рис. 3.32. Топографическая диаграмма напряжений Последовательность построения диаграммы: 1) составляют в комплексной алгебраической форме уравнение для действующего значения напряжения цепи, чередуя члены правой его части строго по направлению движения тока в этой цепи; 2) нумеруют фиксированные точки цепи по направлению убывания их потенциала (по направлению движения тока в цепи); 3) строят векторную диаграмму напряжений по изложенным ранее правилам. Топографическая диаграмма напряжения цепи, приведенной на рис. 3.31, показана на рис. 3.32. Для рассматриваемого примера (см. рис. 3.31) имеем: 1) число фиксированных точек элементов цепи – 6 и одна фиксированная промежуточная точка 2' для реальной катушки индуктивности; 2) комплекс действующего напряжения цепи, записанный в алгебраической форме: . Топографическая диаграмма, построенная по приведенным ранее правилам, показана на рис. 3.32. Примечание. По оси вещественных чисел на комплексной плоскости строят вектор тока , так как в неразветвленной цепи по всем элементам протекает один и тот же ток и φi = 0. По приведенной на рис. 3.32 топографической диаграмме, построенной в соответствующем масштабе, можно определить разность потенциалов между любыми фиксированными точками цепи. Например, не вычисляя напряжение Uк по формуле , можно определить его значение по диаграмме, измерив расстояние между точками 2 и 3 и учтя масштаб построения векторов. 3.8. Разветвленные цепи однофазного тока В соответствии со стандартами на терминологию, разветвленной называют электрическую цепь, в которой все элементы соединены параллельно, то есть к каждому элементу приложено одно и то же напряжение. В параллельной цепи при подключении элементов образуется два узла, к которым подается напряжение источника синусоидального тока. Рис. 3.33. Разветвленная электрическая схема Для примера на рис. 3.33 показана цепь с тремя параллельными ветвями, соединенными в два узла «а» и «б». К каждому элементу цепи приложено напряжение источника питания, а токи, согласно первому закону Кирхгофа, составляют равенство . Элементы цепи обладают электрическим сопротивлением, через которое можно найти их проводимости. 3.8.1. Активная, реактивная и полная проводимости элементов цепи Цепь с резистором В соответствии с изложенным ранее, если , , то , , то есть напряжение и ток в цепи совпадают по фазе. В комплексной форме запишем: ; ; , но, согласно закону Ома: , где Y – комплекс проводимости цепи, измеряемой в сименсах (См = ). Тогда , (3.77) где g – активная проводимость элемента электрической цепи, См (рис. 3.34). Рис. 3.34. Электрическая схема с резистором Цепь с идеальной катушкой индуктивности Для идеальной катушки индуктивности имеем (рис. 3.35): ; , где – комплекс полной проводимости катушки индуктивности: , (3.78) где  – модуль реактивной индуктивной проводимости катушки, См. Рис. 3.35. Электрическая схема с реальной (а) и идеальной (б) катушкой индуктивности Цепь с реальной катушкой индуктивности На рис. 3.36 показаны схемы замещения реальной катушки индуктивности. Для реальной катушки индуктивности имеем: ; . (3.79) Умножим и разделим правую часть равенства на сопряженный комплекс полного сопротивления катушки: и после преобразований получим равенство: , (3.80) где – модуль активной проводимости катушки; – модуль индуктивной проводимости катушки. Рис. 3.36. Эквивалентные схемы замещения с реальной катушкой индуктивности Примечание. для резистора: ; для индуктивной катушки: , что соответствует формулам (3.77) и (3.78) . Модуль полной проводимости катушки: . (3.81) Цепь с идеальным конденсатором Для идеального конденсатора (рис. 3.37) , а комплекс полной проводимости , (3.82) где – реактивная емкостная проводимость конденсатора, См. Рис. 3.37. Электрическая цепь с идеальным конденсатором Цепь с реальным конденсатором По аналогии с реальной катушкой индуктивности имеем (рис. 3.38): ; , (3.83) где – модуль активной проводимости конденсатора, См; – модуль емкостной проводимости конденсатора, См. Рис. 3.38. Схема замещения цепи с конденсатором и резистором В частном случае: – реактивная проводимость идеального конденсатора. Модуль полной проводимости конденсатора . (3.84) 3.8.2. Активные и реактивные токи и мощности цепи Цепь с реальной катушкой индуктивности Схемы замещения катушки приведены на рис. 3.36. Согласно первому закону Кирхгофа, имеем: , а в комплексной форме: , где – комплексы активной и индуктивной составляющих действующего значения тока катушки, но, поскольку , a при по условию, то . Обозначим: ; , где – модуль активной составляющей действующего значения тока катушки; – то же, индуктивной составляющей тока катушки. Комплекс полной мощности катушки: , а так как сопряженный комплекс действующего значения напряжения, приложенного к катушке, равен его модулю: , то получим равенство: . Обозначив: ; (3.85) , (3.86) будем иметь: ; (3.87) . (3.88) Построим на комплексной плоскости диаграммы проводимостей, тока и мощности реальной катушки индуктивности. Рекомендация: по оси вещественных положительных чисел («+»1) следует откладывать вектор действующего напряжения цепи, так как ко всем ее элементам приложено одно и то же напряжение. Диаграмма проводимостей приведена на рис. 3.39, а векторная диаграмма токов и диаграмма мощности приведены на рис. 3.40. Примечание. При правильном построении диаграмм треугольники проводимости, токов и мощности должны быть подобными, так как угол φк на всех диаграммах имеет одно и то же значение. Рис. 3.39. Диаграмма проводимостей цепи с реальной катушкой индуктивности Рис. 3.40. Векторная диаграмма токов (а) и диаграмма мощностей цепи (б) с реальной катушкой индуктивности Коэффициент мощности цепи определяют из равенства: . (3.89) Цепь с реальным конденсатором Схема замещения конденсатора приведена на рис. 3.38. По аналогии с катушкой индуктивности имеем: , ; ; , но , (3.90) тогда , где , , – соответственно активная и реактивная составляющие действующего значения тока, протекающего через конденсатор; ; (3.91) . (3.92) Диаграммы проводимостей, токов и мощности, построенные на комплексной плоскости, приведены на рис. 3.41 и 3.42. Рис. 3.41. Диаграмма проводимостей цепи с резистором и конденсатором Рис. 3.42. Векторная диаграмма токов (а) и диаграмма мощностей цепи (б) с резистором и конденсатором Выводы В разветвленных однофазных цепях переменного тока: 1. Общей для всех ветвей цепи величиной является напряжение источника питания. 2. Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи зависит от характера нагрузки: • при активно-индуктивной нагрузке напряжение опережает ток на угол φк, а поскольку вектор напряжения откладывают по оси положительных вещественных чисел («+»1), то вектор тока цепи располагается под углом φк вправо от вектора напряжения; • при активно-емкостной нагрузке напряжение отстает от тока на угол φС, поэтому вектор тока сдвинут на угол φС влево от вектора напряжения цепи. 3.8.3. Разветвленная цепь переменного тока с резистором, реальной катушкой индуктивности и конденсатором Схема цепи приведена на рис. 3.43. В общем случае любая разветвленная цепь имеет участки неразветвленной цепи, по которым протекает ток, являющийся полным током подключенной к точкам разветвления цепи. Например, на рис. 3.43 показана разветвленная цепь, состоящая из неразветвленных участков (а-а', б-б'), по которым протекает ток i, и неразветвленных участков (а'-а", б'-б"), по которым протекает ток i1 < i. Рис. 3.43. Разветвленная электрическая цепь с резистором, реальной катушкой индуктивности и конденсатором Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов в узлах цепи равна нулю, то есть для узла a': ; для узла a": . Из этих равенств находим: ; . Для приведенной на рис. 3.43 схемы с учетом изложенного ранее материала запишем в комплексной алгебраической форме: полную проводимость цепи: (3.93) комплекс действующего значения напряжения цепи для : ; комплекс действующего значения тока цепи: . После подстановки имеем: ; (3.94) полную мощность цепи: (3.95) коэффициент мощности: , (3.96) где Y, I, S – модули комплексов соответственно полной проводимости, действующего значения тока и полной мощности цепи: ; (3.97) ; (3.98) . (3.99) Рассмотрим три ситуации, в зависимости от преобладания того или иного вида реактивной нагрузки, они возможны: 1. bL > bC – нагрузка активно-индуктивного характера Диаграммы проводимостей, токов и мощности цепи, построенные на комплексной плоскости для рассматриваемого случая, приведены на рис. 3.44 и 3.45. Примечание. При построении диаграмм по оси положительных вещественных чисел («+»1) откладывают вектор действующего напряжения цепи. Рис. 3.44. Диаграмма проводимостей при активно-индуктивном характере нагрузки Рис. 3.45. Векторная диаграмма токов (а) и диаграмма мощностей (б) при активно-индуктивном характере нагрузки Из приведенных на рис. 3.44 и 3.45 диаграмм нетрудно увидеть, что при активно-индуктивной нагрузке напряжение опережает ток на угол φL, то есть коэффициент мощности цепи меньше единицы и имеет индуктивный характер; из сети потребляется активная энергия на нагрев элементов цепи и возникает обмен реактивной энергией между источником питания и катушкой индуктивности, обеспечивающий создание электромагнитного поля катушки. Следует подчеркнуть, что обмен энергией индуктивного характера, а не емкостного, обусловлен тем, что при bL > bC имеет место недокомпенсация индуктивного тока, создаваемого катушкой при подведении к ней напряжения источника питания. 2. bL < bC – нагрузка активно-емкостного характера Диаграммы, построенные на комплексной плоскости для этого случая, приведены на рис. 3.46 и 3.47. Рис. 3.46. Диаграмма проводимостей при активно-емкостном характере нагрузки Рис. 3.47. Векторная диаграмма токов (а) и диаграмма мощностей (б) при активно-индуктивном характере нагрузки В отличие от рассмотренного ранее случая: ток опережает напряжение цепи на угол φC; коэффициент мощности имеет емкостной характер; возникает взаимный обмен энергией между источником питания и конденсатором, так как имеет место перекомпенсация индуктивного тока катушки емкостным током конденсатора. 3. bL = bC – нагрузка активного характера (возникает резонанс токов) В этой ситуации происходит полная компенсация индуктивного тока катушки емкостным током конденсатора, и в цепи возникает так называемый резонанс токов. Соответствующие диаграммы, построенные на комплексной плоскости, приведены на рис. 3.48 и 3.49. Рис. 3.48. Диаграмма проводимостей при активном характере нагрузки Рис. 3.49. Векторная диаграмма токов (а) и диаграмма мощностей (б) при активном характере нагрузки При резонансе токов в цепи: • напряжение и ток в неразветвленной части цепи совпадают по фазе (); • из сети поступает только активная энергия, расходуемая на нагрев активных элементов цепи; • возникает незатухающий колебательный процесс обмена энергией между катушкой индуктивности и конденсатором (аналогия с резонансом напряжения в цепи); • при неизменном напряжении источника питания существенно уменьшается ток в неразветвленной части цепи. Выводы В разветвленной цепи с резистором, реальными катушкой индуктивности и конденсатором: 1. Ток, протекающий по неразветвленной части цепи, по фазе отстает от напряжения цепи при активно-индуктивном характере нагрузки, опережает напряжение цепи при активно-емкостном характере нагрузки и совпадает с напряжением цепи при активном характере нагрузки. 2. При полной компенсации реактивных токов катушки индуктивности и конденсатора (bL = bC) возникает резонанс токов, при котором: • ток, протекающий по неразветвленной части цепи, совпадает по фазе с напряжением цепи, коэффициент мощности равен единице; • из сети потребляется активная энергия, расходуемая на нагрев элементов цепи; • возникает незатухающий колебательный процесс обмена энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора; • ток, протекающий по неразветвленной части цепи, уменьшается по сравнению с током, протекающим по этому участку цепи при bL <> bC. 3.9. Коэффициент мощности однофазной цепи Как уже отмечалось ранее, коэффициент мощности () характеризует долю активной мощности в полной мощности цепи: , (3.100) где – угол сдвига фаз между векторами действующих значений напряжения и тока цепи. Если учесть, что полная мощность цепи находится из равенства , то активную мощность этой цепи можно вычислить по формуле: . (3.101) В практике расчетов и эксплуатации электрических сетей и формирования режимов электропотребления промышленных предприятий величина широко применяется для оценки эффективности использования генерирующих мощностей на электростанциях и потерь мощности и энергии в линиях электропередачи (ЛЭП). Из формулы (3.101) следует, что полная (установленная) мощность однофазного источника питания , (3.102) а ток, протекающий по проводам ЛЭП, находится из равенства . (3.103) Тогда потери активной мощности в проводах ЛЭП можно вычислить по формуле: , (3.104) где – активное сопротивление проводов ЛЭП, Ом. Анализ приведенных формул показывает, что энергетические характеристики электрической цепи находятся в обратной зависимости от значения величины этой цепи. Таким образом, увеличив в два раза значение величины , уменьшают в два раза полную мощность трансформатора и ток нагрузки и в четыре раза потери активной мощности в ЛЭП. В общем случае однофазная цепь переменного тока содержит активную, индуктивную и емкостную нагрузки (рис. 3.50, а). Комплекс действующего значения полного тока цепи: , (3.105) при , . Векторная диаграмма токов и напряжения цепи приведена на рис. 3.50, б. Как видно из диаграммы, значение полного тока цепи зависит от степени компенсации реактивного индуктивного (емкостного) тока. Рис. 3.50. Электрическая схема (а) и векторная диаграмма (б) к вопросу компенсации реактивной составляющей тока Если (конденсатор отключен), то реактивный ток и имеет максимально возможное для конкретных параметров цепи значение. При заданном активном токе полный ток цепи также имеет максимальное значение: = max. При подключении конденсатора возникает реактивный емкостной ток ( > 0), который частично ( < ) или полностью ( = ) компенсирует реактивный индуктивный ток. А поскольку , то чем больше компенсируется ток , тем меньше значение полного тока цепи I . При полной компенсации индуктивного тока (в цепи возникает резонанс токов) ток цепи имеет минимально возможное для заданных параметров () значение: . Для такой цепи = 1,0 , так как = 0. Вместе с тем необходимо учитывать, что перекомпенсация индуктивного тока ( > ) приводит к увеличению полного тока цепи, так как угол > 0 и  <1,0, хотя и имеет уже емкостной, а не индуктивный характер (ток по фазе опережает напряжение цепи). Таким образом, и недокомпенсация, и перекомпенсация реактивного индуктивного тока приводят к увеличению полного тока, потерь активной мощности в цепи и снижению КПД электроустановок и сетей. По этой причине на практике стремятся увеличивать коэффициент мощности цепи до 1,0, то есть стремятся создавать наиболее рациональные по потерям мощности и энергии режимы электропотребления предприятий. Пути увеличения : 1) более полная загрузка активным током силовых (питающих) трансформаторов и электродвигателей (возрастает ток при и увеличивается ); 2) использование источников реактивного емкостного тока: статических конденсаторов, синхронных двигателей, синхронных компенсаторов. Синхронные двигатели и синхронные компенсаторы – это такие электрические машины, которые с помощью источника постоянного тока и специальных обмоток возбуждения создают реактивный ток, движущийся от машины к источнику питания цепи переменного тока. Этот ток находится в противофазе к реактивному индуктивному току, поступающему из сети к трансформаторам и электродвигателям и используемому для создания электромагнитного поля указанных аппаратов и машин. Таким образом, ток, создаваемый источником реактивной мощности, компенсирует индуктивный ток нагрузки, тем самым увеличивая электрической цепи в соответствующих пределах. 3.10. Расчет линейных однофазных электрических цепей синусоидального тока 3.10.1. Расчет неразветвленной электрической цепи Постановка задачи 1. Составить эквивалентную схему замещения заданной электрической цепи. Изобразить сопротивления нагрузки в виде заданных пассивных элементов. 2. Записать мгновенное значение тока в цепи, при этом учесть, что начальная фаза тока равна нулю (ψi = 0). Перевести мгновенное значение тока в алгебраическую форму записи комплексного числа. Определить показания амперметра А. 3. Определить полное сопротивление цепи. 4. Определить напряжение цепи и показания вольтметра V. Расчет выполнить в алгебраической форме записи комплексного числа. Записать мгновенное значение напряжения цепи. 5. Определить показание вольтметров V1 и V2. Расчет выполнить в алгебраической форме записи комплексного числа. 6. Определить полную мощность цепи и показания ваттметра W. 7. Построить диаграммы сопротивлений, мощностей и векторную диаграмму напряжения. 8. В одной системе координат построить временные диаграммы тока и напряжения цепи. Исходные данные для решения задачи Параметры для заданной электрической цепи (рис. 3.51): f, Гц Im, А Z1 Z2 R1, Ом L1, Гн R2, Ом С2, мкФ 50 2,82 6 0,0255 3 796 Рис. 3.51. Схема для расчета электрической цепи переменного тока при последовательном соединении элементов Решение поставленной задачи 1. Эквивалентная схема замещения заданной электрической цепи. 2. ; ; ; . Показание амперметра А: I = 2 А. 3. ; ; ; . 4. . Показание вольтметра V: U = 19,7 В. ; ; ; . 5. ; . Показание вольтметра V1: U1 = 20 В. ; . Показание вольтметра V2: U2 = 10 В. 6. ; . Показание ваттметра W: . 7. Диаграммы сопротивлений мощностей и векторная диаграмма напряжения. 8. Временная диаграмма тока и напряжения цепи. 3.10.2. Расчет разветвленной электрической цепи Постановка задачи 1. Составить эквивалентную схему замещения заданной электрической цепи. Изобразить нагрузки в виде заданных пассивных элементов. 2. Записать мгновенное значение напряжения в цепи, при этом учесть, что начальная фаза напряжения равна нулю (ψi = 0). Перевести мгновенное значение напряжения в алгебраическую форму записи комплексного числа. Определить показания вольтметра V. 3. Определить полную проводимость цепи. 4. Определить полный ток в цепи и показания амперметра A. Расчет выполнить в алгебраической форме записи комплексного числа. Записать мгновенное значение тока цепи. 5. Определить показание вольтметров А1 и А2. Расчет выполнить в алгебраической форме записи комплексного числа. 6. Определить полную мощность цепи и показания ваттметра W. 7. Построить диаграммы проводимостей, мощностей и векторную диаграмму тока. 8. В одной системе координат построить временные диаграммы тока и напряжения цепи. Исходные данные для решения задачи Параметры для заданной электрической цепи (рис. 3.52): f, Гц Um, А Y1 Y2 g1, См bL1, См g2, См bC1, См 50 14,1 0,08 0,06 0,06 0,08 Рис. 3.52. Схема для расчета электрической цепи переменного тока при параллельном со­единении элементов Решение поставленной задачи 1. Эквивалентная схема замещения заданной электрической цепи. 2. ; ; ; . Показание вольтметра V: U = 10 В. 3. ; . 4. . Показание амперметра А: I = 1,41 В. ; ; ; . 5. . Показание амперметра А1: I1 = 1 А. . Показание амперметра А2: I2 = 1 А. 6. ; . Показание ваттметра W: . 7. Диаграммы проводимостей, мощностей и векторная диаграмма тока. 8. Временная диаграмма тока и напряжения цепи. Глава 4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 4.1. Общие сведения В электротехнической практике трехфазным источником питания является генератор, неподвижный якорь которого имеет трехфазную симметричную обмотку, а индуктор с расположенной на нем обмоткой возбуждения (ОВ) приводится во вращательное движение первичным двигателем (турбина, дизель и т. п.). В рабочем режиме генератора в каждой фазе якорной обмотки наводится синусоидальная ЭДС. Рис. 4.1. Простейший трехфазный генератор синусоидального напряжения Трехфазная симметричная обмотка конструктивно выполнена из трех однофазных обмоток, сдвинутых друг относительно друга на магнитопроводе якоря генератора на 120° или радиан (рис. 4.1). Благодаря этому фазные ЭДС генератора отличаются друг от друга только своими начальными фазами. Согласно Правилам устройств электроустановок (ПУЭ) начала фазных обмоток якоря генератора маркируют прописными буквами А, В, С, а концы – соответственно буквами X, Y, Z. В общем случае мгновенные значения ЭДС фазных обмоток генератора записываются в следующем виде: (4.1) где EmA, EmB, EmC – максимальные или амплитудные значения фазных ЭДС генератора; ΨmA, ΨmB, ΨmC – начальные фазы фазных ЭДС генератора. Если генератор создает симметричные фазные ЭДС, то в любой момент времени должно выполняться условие: . (4.2) Примечание. В электротехнике понятие «фаза» имеет двоякий смысл: «фаза» – конструктивная часть обмотки генератора или провод (жила кабеля) в трехфазной (многофазной) сети; «фаза» – аргумент гармонической синусоидальной функции. Например, ЭДС фазной обмотки имеет аргумент. Принимаем начальную фазу ЭДС обмотки А-Х генератора равной нулю (= 0). Тогда начальные фазы других фазных ЭДС генератора: ; (4.3) и формулы (4.1) принимают вид: (4.4) Временные диаграммы фазных симметричных ЭДС трехфазного генератора приведены на рис. 4.2. Запишем в комплексной форме действующие значения фазных ЭДС: (4.5) Рис. 4.2. Временные диаграммы фазных симметричных ЭДС трехфазного генератора Для симметричных фазных ЭДС трехфазного генератора должны выполняться условия: (4.6) Векторные диаграммы действующих ЭДС генератора, иллюстрирующие условия (4.6), приведены на рис. 4.3. Рис. 4.3. Векторные диаграммы симметричных (а) и несимметричных (б) фазных действующих ЭДС трехфазного генератора Как правило, фазные обмотки якоря трехфазного генератора соединяют звездой, то есть концы всех фазных обмоток соединяют в один узел, образуя тем самым нейтраль (N) источника питания. Схема соединения фазных обмоток трехфазного генератора звездой приведена на рис. 4.4. Рис. 4.4. Схема соединения фазных обмоток трехфазного генератора звездой При симметричных фазных ЭДС потенциал нейтрали трехфазного генератора равен нулю (φN = 0). Ток нагрузки, протекая по фазным обмоткам якоря генератора, создает падение напряжения на этих обмотках, комплексы действующих значений которых вычисляют по формулам: ; ; (4.7) , где , , – комплексы действующих значений токов фазной нагрузки генератора; ZA, ZB, ZC – комплексы полных сопротивлений фазных обмоток генератора. В режиме нагрузки с зажимов фазных обмоток генератора подается в сеть напряжение, комплексы действующих значений которого вычисляют на основе 2-го закона Кирхгофа, используя формулы: (4.8) При симметричных токах нагрузки и одинаковых по характеру и значениям полных сопротивлениях фазных обмоток генератора симметричными являются и фазные напряжения генератора. По аналогии с ЭДС можно записать выражения для мгновенных значений фазных напряжений генератора: ; ; (4.9) , где UmA, UmB, UmC, ΨmA, ΨmB, ΨmC – соответственно максимальные значения и начальные фазы фазных напряжений генератора. Принимая начальную фазу напряжения фазы «А» генератора равной нулю, имеем: = 0; ; ; (4.10) (4.11) Для симметричных фазных напряжений, так же как и для ЭДС, выполняется условие: , (4.12) при котором и временные диаграммы фазных напряжений имеют вид, аналогичный соответствующим ЭДС генератора (см. рис. 4.2). Комплексы действующих значений фазных напряжений генератора: (4.13) где UA, UB, UC – модули комплексов действующих значений фазных напряжений генератора. При симметричных фазных напряжениях генератора . (4.14) По аналогии с ЭДС векторная диаграмма напряжений трехфазного генератора имеет вид: Рис. 4.5. Векторная диаграмма действующих значений фазных симметричных напряжений трехфазного генератора Генератор может работать в режиме прямого и обратного порядка чередования фазных напряжений. Прямой порядок () формируется при вращении индуктора генератора по часовой стрелке, а обратный () – при вращении индуктора генератора против часовой стрелки (см. рис. 4.1 и 4.5). Линейные (междуфазные) ЭДС и напряжения трехфазного генератора в общем случае определяют как разность потенциалов между началами соответствующих фазных обмоток при работе генератора вхолостую (ЭДС) и под нагрузкой (напряжения). Определим линейные (междуфазные) напряжения генератора: мгновенные значения напряжений: (4.15) комплексы действующих значений напряжений: рассмотрим контур А-В-N-А (см. рис. 4.4), для которого, согласно второму закону Кирхгофа, можно записать: (4.16) аналогично для контура B-C-N-B: (4.17) для контура C-A-N-С: (4.18) Если начальные фазы фазных напряжений генератора принять по (4.10), то комплексы действующих значений линейных напряжений генератора записываются: в показательной форме: (4.19) в алгебраической форме: При симметричных фазных напряжениях формируются симметричные линейные напряжения генератора: (4.20) Следовательно, симметричная система фазных напряжений генератора формирует симметричную систему линейных напряжений, для которых справедливо равенство . (4.21) Векторные диаграммы фазных и линейных напряжений строят на комплексной плоскости, используя уравнения (4.16) - (4.18). Рис. 4.6. Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений источника питания (генератора) Примечание. Соотношение (4.21) можно получить из треугольников, две стороны которых являются фазными и одна сторона соответствует линейному напряжению генератора (рис. 4.6), если учесть, что при симметричной системе фазных напряжений эти треугольники получаются равнобедренными. При расчете и анализе трехфазных цепей широко используют топографическую диаграмму напряжений, приведенную на рис. 4.7. Напряжение генератора подают в электрическую сеть, к которой подключают нагрузку (потребителей электрической энергии). Нагрузка может быть однофазная и многофазная. Фаза нагрузки – это участок цепи, к которому подведено напряжение одной фазы источника питания. Рис. 4.7. Топографическая диаграмма линейных напряжений источника питания Если нагрузку подключать пофазно к источнику питания, не образуя общие для фаз узловые точки, то получится несвязанная схема трехфазной цепи (рис. 4.8). Рис. 4.8. Несвязанная схема пофазного подключения потребителя электрической энергии к источнику питания На рис. 4.8 , , – комплексы действующих значений фазных токов нагрузки генератора; , , , – то же фазных токов нагрузки потребителя; , , – комплексы полных сопротивлений фазной нагрузка; , , – комплексы действующих значений фазных напряжений нагрузки. Начала фаз нагрузки (потребителя) обозначают строчными буквами «а», «b», «с», концы – соответственно буквами «х», «у», «z». В электротехнике за положительные направления принято считать: • для источника питания: направление тока – от конца к началу фазы источника питания, напряжения – от начала к концу фазы источника питания; • для потребителя: направление напряжения и тока – от начала к концу фазы потребителя. Если для упрощения расчетов пренебречь падением напряжения в проводах, соединяющих начала фаз источника питания и потребителя, то соответствующие линейные напряжения генератора и потребителя становятся равными между собой, то есть ; ; . (4.22) В практике эксплуатации электрических сетей фазы потребителя соединяют звездой и треугольником. 4.2. Трехфазные цепи при соединении фаз потребителя звездой При соединении фаз потребителя звездой электрические цепи могут быть четырех- и трехпроводные. 4.2.1. Четырехпроводная электрическая цепь Четырехпроводная трехфазная электрическая цепь формируется на основе шестипроводной несвязанной цепи посредством объединения в один провод концевых проводов (рис. 4.9). При соединении фаз потребителя звездой образуется нейтраль нагрузки (n), являющаяся, по аналогии с нейтралью источника питания, общей точкой концов фаз потребителя. Провода, соединяющие начала соответствующих фаз источника питания и потребителя, называют линейными проводами (А-а, В-b, С-с), а токи, протекающие по ним, – линейными токами (, , ). Рис. 4.9. Четырехпроводная схема трехфазной электрической цепи Провод, соединяющий узлы «N» и «n» трехфазной цепи, называют нейтральным проводом. На рис. 4.9 ZN, UN, IN – соответственно полное сопротивление, действующие значения напряжения и тока нейтрального провода; , ,  – комплексы действующих значений линейных напряжений источника питания. При соединении фаз источника питания и нагрузки звездой линейные токи цепи равны фазным токам нагрузки (см. рис. 4.9): ; ; . (4.23) Действующее значение напряжения нейтрали в 4-проводной системе определяют как разность потенциалов узловых точек потребителя и источника питания: . (4.24) При симметричных фазных напряжениях источника питания потенциал узловой точки N равен нулю (φN = 0) и выражение (4.24) принимает вид: ; (4.25) то есть, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, напряжение, приложенное к нейтральному проводу трехфазной цепи, равно падению напряжения в этом проводе. Нагрузка может быть симметричной и несимметричной. В первом случае должны выполняться условия: ; , (4.26) то есть фазная нагрузка должна быть однородной по характеру и одинаковой по значению (например, во все фазы потребителя включены одинаковые по значению активные сопротивления). Во втором случае имеет место неравенство , обусловленное неоднородностью нагрузки (например, в фазу «а» включено активное сопротивление, в фазу «b» – индуктивная катушка, в фазу «с» – конденсатор) и (или) неодинаковым её значением в фазах потребителя (). Сопротивление нейтрального провода в практических условиях может изменяться в широких пределах: . (4.27) При высоком уровне эксплуатации электрических сетей = 0, при низком уровне >> 0, а при обрыве нейтрального провода (аварийная ситуация) и четырехпроводная система становится трехпроводной. Согласно первому закону Кирхгофа, для узла «n» имеет место равенство . (4.28) Решая (4.28) относительно комплекса действующего значения тока нейтрали цепи, имеем: . (4.29) Для симметричной нагрузки выполняются условия: ; . (4.30) Поэтому при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю (= 0). Анализируя выражение (4.25), нетрудно увидеть, что в двух случаях: 1) ; 2) . Отсюда и формируется одна из основных задач энергослужб предприятий: высокоэффективными профилактическими меро­приятиями обеспечивать минимальное электрическое сопротивление нейтрального провода и минимальную несимметрию фазных нагрузок. Определение напряжений потребителя По аналогии с источником питания, как отмечалось ранее, с учетом сделанных допущений о падении напряжения в линейных проводах можно записать для нагрузки: мгновенные значения напряжения: (4.31) при начальных фазах , , , где , ,  – максимальные значения фазных напряжений нагрузки; комплексы действующих значений фазных напряжений: в показательной форме: (4.32) в алгебраической форме: (4.33) комплексы действующих значений линейных напряжений: (4.34) При симметричных фазных напряжениях потребителя выполняются условия: (4.35) Тогда формулы (4.33) принимают вид: (4.36) Сравнивая равенства (4.22) и (4.36), видим: (4.37) То есть линейные напряжения нагрузки равны соответствующим линейным напряжениям источника питания. Найдем выражения для комплексов действующих значений фазных напряжений потребителя. Из рис. 4.9: для контура А-а-n-N-A, согласно второму закону Кирхгофа, имеем: (4.38) для контура В-b-n-N-B: (4.39) для контура C-c-n-N-C: (4.40) Из выражений (4.38) – (4.40) следует, что при симметричных фазных напряжениях источника питания чем больше значение напряжения нейтрали, тем больше несимметрия фазных напряжений нагрузки. Предельные случаи: а) : из выражений (4.38) - (4.40) следует: (4.41) то есть фазные напряжения нагрузки при равны соответствующим фазным напряжениям источника питания; б) ; из выражений (4.38) – (4.40) следует, что фазные напряжения нагрузки в этом случае изменяются в широких пределах и при разнородной по характеру нагрузке могут превышать линейные напряжения источника питания (рис. 4.10). Рис. 4.10. Векторная диаграмма действующих значений фазных и линейных напряжений источника питания и потребителя при несимметричной нагрузке и UN > 0 Выведем формулу, которая широко применяется для расчета и анализа напряжения нейтрали и режимов трехфазных цепей. Комплексы действующих значений токов нагрузки определяют из равенств: (4.42) где , , , – комплексы полных проводимостей фаз нагрузки и нейтрали, вычисляемые по формулам: (4.43) где , , , – комплексы полных сопротивлений фаз потребителя и нейтрального провода цепи. Подставляем формулы (4.42) в уравнение (4.29): . (4.44) Подставляем формулы (4.38) – (4.40) в уравнение (4.42): , и решаем полученное равенство относительно величины UN: . (4.45) Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы: • при симметричной фазной нагрузке () и симметричных фазных напряжениях источника питания () комплекс действующего напряжения нейтрали равен нулю; • при несимметричной фазной нагрузке значение напряжения UN определяется степенью несимметрии нагрузки и проводимостью нейтрального провода. Причем последний фактор может иметь решающее значение. Например, при обрыве нейтрального провода () проводимость и любая степень несимметрии нагрузки негативно отражается на режиме фазных напряжений потребителя, так как в этом случае UN > 0. Если предположить, что ; то , и независимо от степени несимметрии нагрузки, , а следовательно, фазные напряжения потребителя являются симметричными. Проиллюстрируем вышеизложенное на примере построения векторных диаграмм напряжений и токов потребителя (рис. 4.11, 4.12). Векторные диаграммы строят на комплексной плоскости в следующей последовательности: 1. Строят векторы фазных и линейных напряжений генератора, фиксируя на плоскости его узловую точку «N». 2. Строят векторы фазных напряжений и напряжения нейтрали цепи, фиксируя на плоскости потенциал узловой точки «n» потребителя. 3. Строят из узловой точки «n» векторы фазных токов нагрузки с учетом ее характера. Примечание. Правильность построения векторной диаграммы токов нагрузки проверяют по выполнению условия (4.28): диаграмма построена правильно, если сумма векторов токов цепи, в соответствии с 1-м законом Кирхгофа, равна нулю. Анализируя равенства (4.36), (4.38) – (4.40), нетрудно увидеть, что после подстановки выражений (4.38) – (4.40) в уравнения (4.36) получают формулы для определения линейного напряжения потребителя: (4.46) из которых следует важный вывод: линейные напряжения потребителя равны соответствующим линейным напряжениям источника питания, независимо от степени несимметрии фазных напряжений нагрузки, то есть независимо от уровня напряжения нейтрали цепи. Рис. 4.11. Векторные диаграммы напряжений потребителя: а – при UN = 0; б – при | UN | > 0 Рис. 4.12. Векторные диаграммы напряжений и токов четырехпроводной трехфазной цепи: а – | UN | > 0; б – UN = 0 Поскольку трехпроводная цепь (рис. 4.13) является частным случаем четырехпроводной цепи (), то все изложенное выше для четырехпроводной цепи, справедливо и для трехпроводной цепи. Нужно учесть, что напряжение смещения нейтрали потребителя может быть подсчитано по формуле (4.45), так как формулу (4.25) использовать нельзя ввиду ее неопределенности при . Анализируя режимы работы потребителя в 4- и 3-проводных цепях, можно сделать следующий вывод: Нейтральный провод обеспечивает выравнивание потенциалов узлов «n» и «N» цепи, тем самым уменьшает несимметрию фазных напряжений потребителя. 4.2.2. Трехпроводная электрическая цепь Рис. 4.13. Схема трехпроводной трехфазной цепи Кроме нормальных режимов работы, которые изложены ранее, в цепях могут быть ненормальные (неполнофазные) и аварийные (короткие замыкания) режимы. Целесообразно их рассмотреть. 4.2.3. Аварийные режимы Обрыв линейного провода Например, оборван провод «А-а». Четырехпроводная цепь Если принять , то на фазах «В» и «С» нагрузки при обрыве линейного провода «А-а» напряжение остается неизменным, а по нейтральному проводу будет протекать ток (рис. 4.14). Рис. 4.14. Схема четырехпроводной цепи при обрыве провода «А-а» Предположив, например, что , , и , можно построить следующую диаграмму напряжений и токов потребителя (рис. 4.15): Рис. 4.15. Векторная диаграмма напряжений и токов потребителя, работающего в неполнофазном режиме в 4-проводной цепи Трехпроводная цепь Трехфазный потребитель становится однофазным: ветвь «А-а» обесточивается, а ветви b-n и с-n последовательно присоединяются к источнику питания с напряжением (рис. 4.16). Исследования такой цепи аналогичны исследованиям неразветвленных однофазных цепей. Рис. 4.16. Схема трехпроводной цепи при обрыве линейного провода «А-а» Например, если , то , т. е. приложенное к цепи нагрузки линейное напряжение распределяется поровну на оставшиеся «фазы» потребителя, но при этом ; (4.47) (4.48) Если учесть, что , а , то для рассматри­ваемого примера векторная диаграмма токов и напряжений имеет вид, изображенный на рис. 4.17. Примечание. Вектор напряжения, приложенного к цепи, формирующейся при обрыве одного из линейных проводов, строят в соответствии с записью в комплексной форме этого напряжения. Так, при обрыве провода «А-а» строят вектор при обрыве провода «В-b» – вектор . Сравнивая векторные диаграммы, приведенные на рис. 4.15 и 4.17, можно сделать вывод о том, что нейтральный провод обеспечивает нормальный режим нагрузки фаз потребителя, оставшихся под напряжением после обрыва линейного провода, если . Рис. 4.17. Векторная диаграмма напряжений и токов потребителя, работающего в неполнофазном режиме при обрыве линейного провода «А-а» в 3-проводной цепи при активной симметричной нагрузке Выводы При обрыве линейного провода: 1. Напряжение на фазах нагрузки, подключенной к необорванным линейным проводам: а) в четырехпроводной цепи равно соответствующим фазным напряжениям сети; б) в трехпроводной цепи формируется пропорционально сопротивлению фаз нагрузки, но не превышает линейного напряжения сети. 2. Фазные токи нагрузки: а) в четырехпроводной цепи формируют уравнительный ток в нейтральном проводе; б) в трехпроводной цепи преобразуются в ток, протекающий по последовательно соединенным через узловую точку «n» элементам фазной нагрузки. Таким образом, нейтральный провод обеспечивает нормальный режим работы нагрузки фаз потребителя, оставшихся под напряжением после обрыва линейного провода, при . Обрыв фазы потребителя Четырехпроводная цепь В четырехпроводной цепи обрыв фазы потребителя приводит к ситуации, отличающейся от ситуации при обрыве линейного провода лишь тем, что напряжение сети подводится и к оборванной фазе. Поэтому режим напряжения на фазах нагрузки не изменяется, хотя в нарушенной фазе ток не протекает. Трехпроводная цепь Например, обрыв фазы «а» потребителя. Из рис. 4.18 нетрудно увидеть, что линейные напряжения сети остаются неизменными, так как сохраняется неизменной трехфазная система источника питания, а трехфазная цепь потребителя преобразуется в однофазную цепь, рассмотренную ранее (см. рис. 4.16 и 4.17). Вместе с тем векторную диаграмму напряжений и токов потребителя довольно часто строят в системе координат топографической диаграммы напряжений источника питания. При этом нейтраль «n» потребителя перемещается на плоскости в зависимости от характера и степени несимметрии фазной нагрузки, и возникает разность потенциалов между нейтралью потребителя и источника питания. Рис. 4.18. Схема трехпроводной цепи при обрыве фазы «а» потребителя Если, например, , , и , то векторную диаграмму напряжений и токов потребителя при обрыве фазы «а» можно представить в следующем виде (рис. 4.19): Рис. 4.19. Векторная диаграмма напряжений и токов потребителя при обрыве фазы «а» симметричной активной нагрузки Точка «n» при симметричной нагрузке и обрыве фазы «а» потребителя перемещается на плоскости по оси вещественных чисел в зависимости от изменения сопротивления фазы «а» нагрузки: при увеличении сопротивления Ra точка «n» перемещается вниз от точки «N», а при уменьшении сопротивления Ra – вверх от точки «N» по оси вещественных чисел (рис. 4.20, а, б). Примечание. Векторные диаграммы, аналогичные рис. 4.19 и 4.20; получают при изменении сопротивлений в фазах «b» и «с» потребителя, перемещая точку «n» соответственно в плоскости вектора или вектора . Пример. Пусть в трехфазной цепи к фазам активной нагрузки (  Ом) подведено симметричное напряжение ( В). Рис. 4.20. Иллюстрация влияния изменения сопротивления нагрузки в фазе «а» на положение точки «n» потребителя Проанализируем режимы напряжения и нагрузки при значениях сопротивления в фазе «а»: 1. = 10 Ом; См; , В. Узловые точки «N» и «n» совмещены на комплексной плоскости (см. рис. 4.20, а и б). 2. = 20 Ом; См; В; В; ; В; В; , то есть в фазе «а» нагрузки напряжение стало больше, а в фазах «b» и «с» – меньше фазного напряжения сети (на рис. 4.20, а узловая точка «n» нагрузки переместилась в точку «n1», а отрезок «n1-n» равен модулю вектора напряжения ). 3. = 5 Ом; См; В; В; ; В; , то есть в фазе «а» нагрузки напряжение стало меньше, а в фазах «b» и «с» – больше фазного напряжения сети (узловая точка «n» нагрузки переместилась на комплексной плоскости в точку «n1», а отрезок «n-n1» равен модулю вектора напряжения , см. рис. 4.20, б). Режим короткого замыкания фазы потребителя Этот режим рассмотрим только для трехпроводной цепи (), так как короткое замыкание фазы потребителя при наличии нейтрального провода приводит к возникновению в цепях нагрузки весьма значительных токов, и поэтому такой эксперимент проводить недопустимо: выйдут из строя аппаратура и другие элементы исследуемых цепей. Рис. 4.21. Схема 3-проводной цепи при коротком замыкании фазы «а» потребителя Если до короткого замыкания фазы «а» потребителя, например, отмечалась симметричная нагрузка активного характера (рис. 4.21): ; ; ; ; , то , а после замыкания накоротко фазы «а» имеем: ; ; , И, поскольку потенциал нейтрали «n» становится равным потенциалу точки «а» цепи, напряжение смещения нейтрали увеличивается до значения , т. е. , и тогда . Пример. В трехфазной трехпроводной сети () с симметричной активной нагрузкой (Ом) и симметричным фазным напряжением (;  В) произошло замыкание накоротко фазы «а» нагрузки. Определить действующие значения напряжения и токов в фазах нагрузки до и после короткого замыкания фазы «а» и построить на комплексной плоскости соответствующие векторные диаграммы. Решение: 1. До короткого замыкания фазы «а»: См; См; В; В; В; А; А; А; Векторные диаграммы напряжения и токов нагрузки и напряжения сети, построенные по этим расчетным данным, приведены на рис. 4.22, а. Из диаграмм можно увидеть, что узловая точка «n» нагрузки совпадает с узловой точкой «N» сети (), а фазные напряжения нагрузки равны соответствующим фазным напряжениям сети; Рис. 4.22. Векторные диаграммы напряжений и токов потребителя при нормальном режиме (а) и режиме короткого замыкания фазы «а» (б) 2. После замыкания накоротко фазы «а» (): См; См; В, так как потенциал узловой точки «n» становится равным потенциалу точки «а» цепи после короткого замыкания фазы «а» нагрузки; В; ; В; ; т. е. после короткого замыкания фазы «а» напряжение в функционирующих нормально фазах «b» и «с» увеличилось в раза и стало равным линейному напряжению сети; А; ; А; ; согласно первому закону Кирхгофа: откуда т. е. после короткого замыкания фазы «а» ток в этой фазе увеличился в 3 раза, а в других двух фазах нагрузки – в раз по сравнению с токами нагрузки, имевшими место до замыкания накоротко фазы «а». Это подтверждается и векторными диаграммами напряжений и токов нагрузки, построенными на комплексной плоскости для рассматриваемого режима цепи (см. рис. 4.22, б). Выводы При коротком замыкании в одной из фаз потребителя: • напряжение в замкнутой накоротко фазе становится равным нулю, а в других фазах – увеличивается до значения линейного напряжения сети; • токи в незамкнутых накоротко фазах возрастают пропорционально увеличению в них напряжения, а в замкнутой накоротко фазе ток увеличивается в три раза по сравнению с током, протекавшим по этой фазе до короткого замыкания. Примечание. Сравнивая рис. 4.20 и 4.22, можно заметить следующую закономерность: чем меньше сопротивление , тем больше напряжение (Ua и Uc и меньше напряжение Ua потребителя, то есть чем меньше Ra, тем ближе точка «n» расположена к вершине «А» треугольника линейных напряжений источника питания. При Ra = 0 возникает режим короткого замыкания фазы «а» потребителя, то есть точка «n» совмещается с вершиной «А» треугольника линейных напряжений. Аналогичная ситуация создается для фаз «b» и «с» потребителя: при Ru = 0 или Rc = 0 точка «n» перемещается, соответственно, к вершинам «В» или «С» треугольника линейных напряжений источника питания. 4.3. Трехфазные цепи при соединении фаз потребителя треугольником Соединить фазы потребителя треугольником – это последо­ва­тельно соединить все его фазы, образовав треугольник а-b-с (рис. 4.23). Рис. 4.23. Схема соединения фаз потребителя треугольником Для большего восприятия материала представим схему, приведенную на рис. 4.23, в виде, изображенном на рис. 4.24. Рис. 4.24. Схема соединения фаз потребителя треугольником Из рисунков можно установить, что фазные напряжения нагрузки равны соответствующим линейным напряжениям источника питания, т. е. ; ; , а линейные токи сети вычисляются на основании первого закона Кирхгофа для узлов «а», «b», «с» цепи потребителя из уравнений: (4.49) решая которые, получим формулы: (4.50) где , , – комплексы фазных действующих значений токов потребителя, вычисляемые по формулам: (4.51) где , , – комплексы полных проводи­мостей фазных нагрузок. При симметричной нагрузке комплексы полных сопротивлений фаз потребителя равны между собой, т. е. , (4.52) а линейные токи сети и фазные токи потребителя находятся в соотношении , (4.53) Условие (4.53) выполняется для симметричной нагрузки при любом ее характере. Получается оно после подстановки формул (4.51) в уравнение (4.50) и выполнения соответствующих преобразований. 4.3.1. Построение векторных диаграмм напряжений и токов цепи Последовательность построения (см. рис. 4.25, 4.26): 1. Принимают начальную фазу напряжения UAB равной нулю. Это дает возможность для симметричной системы напряжений сети записать следующие уравнения: (4.54) Используя эти формулы, строят векторы напряжений , и . 2. Строят векторы токов , и с учетом характера нагрузки конкретной фазы потребителя. 3. Строят векторы линейных токов сети, используя уравнения (4.47). Рис. 4.25. Пример построения векторной диаграммы напряжений и токов цепи при соединении фаз потребителя в треугольник и симметричной нагрузке активно-индуктивного характера При симметричной нагрузке все треугольники токов равнобедренные, острые углы в них равны 30°, и условие (4.53) можно получить после несложных тригонометрических преобразований. В электротехнике широко применяют топографическую диаграмму линейных напряжений сети, комплексы действующих значений которых заданы равенствами: ; ; . Опишем последовательность построения векторов фазных и линейных токов исследуемой цепи на базе этой диаграммы. Рис. 4.26. Пример построения по варианту 2 векторной диаграммы напряжений и токов цепи при соединении фаз потребителя в треугольник и симметричной нагрузке активно-индуктивного характера 1. Строят в масштабе на комплексной плоскости топографическую диаграмму линейных напряжений сети (они же – фазные напряжения потребителя) , и , используя рекомендации, приведенные в разделе 4.2. 2. Строят в масштабе векторы фазных токов , и нагрузки по полученным в расчетах уравнениям этих токов в комплексной алгебраической форме. 3. Переносят параллельно самому себе каждый вектор фазного тока в точку, являющуюся началом вектора напряжения той фазы, по которой протекает данный ток нагрузки. То есть переносят вектор тока в точку, являющуюся началом вектора напряжения , вектор в точку, являющуюся началом вектора вектор – в точку, являющуюся началом вектора . 4. Строят по уравнениям (4.50) векторы линейных токов сети, используя для этой цели векторы фазных токов, перенесенные в точки, являющиеся началом соответствующих фазных напряжений нагрузки. Правильность решения задачи проверяют по выполнению условий: ; ; . Частный случай Нагрузка симметричная, активного характера, то есть . При симметричном напряжении сети , то есть и в этом случае при симметричных фазных токах линейные токи в раз больше фазных токов нагрузки. Векторная диаграмма напряжений и токов нагрузки, построенная на комплексной плоскости, приведена на рис. 4.27. Рис. 4.27. Пример построения векторной диаграммы напряжений и токов трехфазной цепи при соединении в треугольник нагрузки активного характера 4.3.2. Аварийные режимы Обрыв линейного провода При обрыве линейного провода, например, провода «В-b», трехфазная цепь (см. рис. 4.24) преобразуется в однофазную разветвленную цепь (рис. 4.28), к которой подводится соответствующее линейное напряжение сети (в рассматриваемом случае подводится напряжение ). Рис. 4.28. Разветвленная цепь нагрузки, сформированная при обрыве линейного провода «В-в» в трехфазной сети Если известны комплексы действующих значений напряжения , , и полных сопротивлений фазной нагрузки , , , то по приведенным ранее формулам можно определить комплексы полных проводимостей , , , действующих значений токов , , , , , и их модули и построить на комплексной плоскости соответствующие векторные диаграммы. При обрыве провода «В-b» линейный ток , а комплексы действующих значений остальных токов вычисляют по формулам: , где ; , где . Комплекс действующего значения напряжения цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать равенством , (3.55) где , – комплексы действующих значений падения напряжения на последовательно соединенной нагрузке, имеющей комплексы полных сопротивлений соответственно и : ; . Векторные диаграммы токов и напряжений цепи строят аналогично случаю с обрывом линейного провода в трехфазной трехпроводной цепи при соединении фаз нагрузки звездой. Пример. Пусть симметричное напряжение сети ( В) подведено к трехфазной симметричной нагрузке активного характера ( Ом), соединенной в треугольник (см. рис. 4.24). Определить при обрыве линейного провода «В-b» (рис. 4.28) действующие значения напряжений и токов цепи, записать их в комплексной алгебраической форме и построить на комплексной плоскости векторные диаграммы этих величин. Решение: 1. Вычисляют проводимости параллельных ветвей цепи: См; См. 2. Определяют токи нагрузки: А; А; А. Поскольку по условию задачи нагрузка активного характера, векторы токов в параллельных ветвях становятся сонаправленными, и справедливо равенство: А. 3. Вычисляют падение напряжения на нагрузке: В; В. Проверяют правильность вычисления напряжения по условию (4.55): В, что соответствует исходным данным. 4. Строят на комплексной плоскости векторную диаграмму напряжения и тока цепи, используя их выражения в комплексной алгебраической форме (рис. 4.29) Рис. 4.29. Векторные диаграммы напряжения и тока трехфазной цепи после обрыва провода «В-b» при соединении в треугольник фаз симметричной нагрузки активного характера Обрыв фазы потребителя Например, произошел обрыв фазы «а-b» (рис. 4.30) В этом случае напряжение на фазах нагрузки остается неизменным, то есть ; ; ; исчезает ток в фазе «а-b» (), и остаются неизменными токи в других фазах нагрузки: «b-с» и «с-а». Рис. 4.30. Схема трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник. Обрыв фазы «а-b» Тогда комплексы действующих значений линейных токов цепи можно определить по формулам, полученным из равенств (4.50): ; ; (4.56) . То есть неизменным остается только линейный ток в проводе «С-с». Пример. По исходным данным, приведенным в примере с обрывом линейного провода «В-b», определить линейные токи, записать их в комплексной алгебраической форме и построить на комплексной плоскости векторные диаграммы напряжений и токов цепи. Решение: 1. Определяют линейные токи: A; A; A. 2. Строят на комплексной плоскости векторные диаграммы действующих значений напряжений и токов цепи, с учетом изложенных ранее рекомендаций (рис. 4.31). Рис. 4.31. Векторная диаграмма напряжений и токов трехфазной цепи после обрыва фазы «а-b» симметричной нагрузки активного характера, соединенной в треугольник Выводы В трехфазной цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник: 1. Фазные напряжения нагрузки равны соответствующим линейным напряжениям сети. 2. При симметричной нагрузке линейные токи в раз больше фазных токов. 3. При обрыве линейного провода трехфазная система преобразуется в однофазную разветвленную цепь. При этом в ветви, не подключенной к оборванному проводу, режим нагрузки остается неизменным, а в другой ветви – изменяется пропорционально изменению напряжения на фазах нагрузки. Это напряжение, в свою очередь, тем больше, чем больше полное сопротивление нагрузки. 4. При обрыве фазы нагрузки остаются неизменными напряжения в узлах нагрузки, токи в необорванных фазах и линейный ток узла цепи, не подключенного к оборванной фазе нагрузки. Ток в оборванной фазе нагрузки исчезает. 4.4. Мощность в трехфазной цепи переменного тока Ранее рассмотрены для однофазных цепей переменного тока следующие понятия: мгновенное значение полной мощности цепи: ; (4.57) активная мощность цепи: ; (4.58) реактивная мощность цепи: ; (4.59) причем, в зависимости от характера реактивной нагрузки, мощность может быть индуктивной (; и емкостной (;); полная (кажущаяся) мощность цепи: , (4.60) где u, i – мгновенные значения напряжения (В) и тока (А) цепи; , – то же максимальные значения; U, I – то же действующие значения; – угол сдвига фаз между напряжением и током цепи; g, R – активные проводимость (См) и сопротивление (Ом) цепи; , – реактивные проводимости цепи соответственно индуктивная и емкостная, См; , – то же сопротивления (Ом). В комплексной форме мощности цепи принято записывать: ; (4.61) для неразветвленной цепи, ; 0, (4.62) для разветвленной цепи. Примечание. Знак реактивной мощности определяет ее характер: «+» – для неразветвленной цепи и «–» – для разветвленной цепи имеет реактивная мощность индуктивного характера; «–» – для неразветвленной цепи и «+» – для разветвленной цепи имеет реактивная мощность емкостного характера. Изменение знака реактивной мощности одного и того же характера в цепях различной конфигурации обусловлено только тем, какой из векторов строят по вещественной оси «+» 1 комплексной плоскости. Как правило, по оси «+» 1 откладывают вектор электрической величины, являющейся общей для цепи данной конфигурации. Так, в неразветвленных цепях общим для всех элементов является ток, и если вектор тока направить по оси «+» 1, то вектор напряжения этой цепи автоматически сдвинется на угол φ влево относительно вектора тока, и индуктивная мощность получит знак «+». В разветвленной цепи общим для всех элементов является напряжение. Построив вектор напряжения на оси «+» 1, сдвигаем тем самым вектор тока на угол вправо от вектора напряжения, и индуктивная мощность становится отрицательной по знаку. Аналогичные обстоятельства имеют место и для реактивной мощности емкостного характера. Таким образом, следует помнить, что знак реактивной мощности формируется искусственно и только условно определяет ее характер. В трехфазных цепях переменного тока: мгновенное значение полной мощности цепи равно сумме мгновенных значений полной мощности всех фаз: ; (4.63) но ; ; . Тогда . (4.64) и если в формулу (4.64) подставить мгновенные значения мощности каждой фазы из равенства (4.57) и принять во внимание, что сдвиг по фазе между фазными симметричными напряжениями составляет радиан (120°), то получим равенство (4.65) Активная мощность цепи равна сумме активных мощностей всех фаз цепи: ; (4.66) , (4.67) где – действующие значения фазного напряжения и тока в трехфазной цепи. Реактивная мощность цепи равна сумме реактивных мощностей всех фаз цепи: (4.68) При симметричной реактивной нагрузке . (4.69) Примечание. Характер нагрузки в фазах цепи может быть различным. Поэтому при использовании формул (4.66) и (4.68) нужно учитывать, что в трехфазных цепях: фазные потоки активной энергии имеют только положительные направления: от источника питания к потребителю, то есть в формуле (4.66) сумма фазных мощностей арифметическая (активная мощность во всех фазах сети положительная); фазные потоки реактивной энергии имеют направление, определяемое характером реактивной нагрузки: для индуктивной нагрузки – положительное (от источника питания к потребителю), для емкостной нагрузки – отрицательное (от потребителя к источнику питания), то есть в формуле (4.68) сумма фазных мощностей алгебраическая. Полную мощность цепи целесообразно выражать в комплексной форме: , (4.70) где – комплексы полной мощности фазных нагрузок, вычисляемые по формулам (4.61) и (4.62) Например, при использовании формулы (4.61) комплекс полной мощности цепи и его модуль определяются из равенства ; . (4.71) При симметричной нагрузке ; . (4.72) Фазы нагрузки могут быть соединены звездой и треугольником. При соединении звездой: ; и при симметричной нагрузке: ; ; . (4.73) При соединении треугольником: ; и при симметричной нагрузке: ; ; , (4.74) то есть при симметричной нагрузке структура формул, по которым вычисляют полную, активную и реактивную мощности трехфазной цепи, не зависит от схемы соединения фазной нагрузки. Анализ приведенного выше материала подтверждает следующие теоретические положения: 1. При несимметричной фазной нагрузке, соединенной звездой, нейтральный провод уравнивает потенциалы узловых точек нагрузки и сети, обеспечивая тем самым симметрию фазных напряжений нагрузки, независимо от степени ее асимметрии. 2. При симметричной фазной нагрузке: в четырехпроводной цепи отпадает необходимость в использовании нейтрального провода, так как ток ; в трехпроводной цепи для схемы соединения нагрузки треугольником линейные токи в раз больше фазных токов нагрузки; в трехфазной сети, независимо от схемы соединения нагрузки (звездой или треугольником), активная, реактивная и полная мощности цепи могут быть вычислены по формулам: 3. При несимметричной фазной нагрузке: активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех фаз нагрузки; реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех фаз нагрузки (знак реактивной мощности определяется характером и видом представления нагрузки в расчетной формуле: реактивным сопротивлением или проводимостью. Так, для сопротивления индуктивная мощность имеет знак «+», а емкостная – знак «–»; для проводимости индуктивная мощность отрицательная, а емкостная – положительная). 4.5. Расчет линейных трехфазных электрических цепей синусоидального тока 4.5.1. Расчет трехфазной электрической цепи при соединении фаз потребителя звездой Исходные данные для решения задачи: Параметры для заданной электрической цепи (рис. 4.32): напряжение В при ψа = 0; сопротивление фазы а: Ом; сопротивление фазы b: Ом; сопротивление фазы c: Ом. Примечание. ZN = 0. Рис. 4.32. Схема для расчета электрической цепи переменного тока при соединении нагрузки 4-проводной звездой Постановка задачи: 1. Составить эквивалентную схему замещения согласно заданию. 2. Четырехпроводная звезда. 2.1. Определить фазные напряжения на потребителях. 2.2. Определить фазные и линейные токи. 2.3. Определить мощности в фазах потребителя и полную мощность трехфазной системы. 2.4. Определить ток в нейтральном проводе. 2.5. Построить в одной системе координат векторную диаграмму напряжений и токов. 3. Трехпроводная звезда. 3.1. Определить напряжение смещения нейтрали. 3.2. Определить фазные напряжения на потребителях. 3.3. Построить векторную диаграмму напряжений источника питания и потребителя. Решение поставленной задачи: 1. Эквивалентная схема замещения заданной электрической цепи. 2. Четырехпроводная сеть. 2.1. В; В; В. 2.2. ; ; – для четрырехпроводной звезды при ZN = 0. А; А; А. 2.3. Вар; Вт; Примечание. Округление чисел вызывает погрешность, в целом значения реактивной мощности должны быть равны. Вт. 2.4. А. 2.5. Векторная диаграмма напряжений и токов. 3. Трехпроводная сеть. 3.1. В.  См;   См;   См. 3.2. В; В; В. 3.3. Векторная диаграмма напряжений источника питания и потребителя. 4.5.2. Расчет трехфазной электрической цепи при соединении фаз потребителя треугольником Исходные данные для решения задачи: Параметры для заданной электрической цепи (рис. 4.33): напряжение В при ψаb = 0; сопротивление фазы а: Ом; сопротивление фазы b: Ом; сопротивление фазы c: Ом. Рис. 4.33. Схема для расчета электрической цепи переменного тока при соединении нагрузки треугольником Постановка задачи: 1. Составить эквивалентную схему замещения согласно заданию. 2. Определить фазные напряжения на потребителях. 3. Определить фазные токи. 4. Определить линейные токи. 5. Определить мощности в фазах потребителя и полную мощность трехфазной системы. 6. Построить в одной системе координат векторную диаграмму напряжений и токов. Решение поставленной задачи: 1. Эквивалентная схема замещения заданной электрической цепи. 2. В; В; В. 3. А; А; А. 4. А; А; А. 5. ВАр; ВАр; Примечание. Округление чисел вызывает погрешность, в целом значения реактивной мощности должны быть равны. Вт. 6. Векторная диаграмма напряжений и токов. Глава 6. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТОДВИЖУЩИМИ СИЛАМИ 6.1. Основные характеристики магнитного поля Электрическое поле создается электрическими зарядами, а также из­меняющимся магнитным полем. Магнитное же поле создается движу­щимися заряженными частицами или изменяющимся электрическим полем. Следовательно, электрическое и магнитное поля являются двумя сторонами единого электромагнитного поля. В частности, магнитным полем можно назвать одну из сторон электромагнитного поля, обуслов­ленную движущимися заряженными частицами и изменением электри­ческого поля и оказывающую силовое воздействие на движущиеся за­ряженные частицы или проводники с током. Кроме того, магнитное поле может оказывать индукционное воздействие на проводники, находящиеся в магнитном поле. Индукционное воздействие магнитного поля состоит в том, что в любом контуре, пересекаемом магнитным потоком, или в проводнике, движущемся в магнитном поле, индуци­руется ЭДС. На использовании индукционного и силового воздействия магнитного поля основана работа различных электротехнических устройств. Например, на использовании индуцированных ЭДС основан принцип работы генератора, трансформаторов, а на использовании сило­вого воздействия магнитного поля основана работа электрических дви­гателей, электромагнитов, ряда электроизмерительных приборов и др. Основной физической величиной, характеризующей силовое воздей­ствие магнитного поля в каждой его точке как по значению, так и по направлению, является магнитная индукция В. Магнитная индукция – величина векторная, изображается вектором В, имеющим направление, совпадающее с направлением касательной к силовой линии в любой точке поля, так как магнитное поле может быть изображено с по­мощью линий магнитной индукции, т. е. силовых линий. За положительное направление вектора магнитной индукции принимают направ­ление, совпадающее с направлением от южного к северному концам свободно устанавливающейся магнитной стрелки, помещенной в данную точку магнитного поля. Рис. 6.1. Распределение напряженности магнитного поля и магнитной индукции в проводниках разного типа Для проводника с током положительное на­правление поля определяется по правилу правоходового винта (рис. 6.1, а), которое гласит: если завинчивать винт в сторону положительного направления тока, то направление вращения винта укажет положительное направление линий магнитной индукции. На рис. 6.1, а показано нормальное сечение провода, в котором ток направлен от наблюдателя (показано крестиком). Если же ток в проводнике направлен в сторону наблюдателя, то на нормальном сечении провода ставится условная точка (рис. 6.1, б). Следует отметить, что независимо от формы контура электрического тока линии магнитной индукции, окружающие этот контур, всегда будут непрерывными, т. е. замкнутыми. В качестве примера можно привести поле катушки с током, линии магнитной индукции которой показаны на рис. 6.1, в. Линии магнитной индукции проводят таким образом, чтобы касательные к ним в каждой их точке совпадали по направлению с вектором В, причем на этих линиях указывают стрелками их направление, которое в каждой точке линии совпадает с направлением вектора В. Магнитное поле может быть однородным и неоднородным. Если векторы магнитной индукции В в любой точке поля одинаковы и направлены в одну сторону, то поле однородное, если же векторы магнитной индукции в различных точках поля либо различны, либо направлены по-разному, то поле неоднородное (см. рис. 6.1, а-в). Примером однородного магнитного поля может служить поле между полюсами постоянного подковообразного магнита, правда, при некотором удалении от его краев (рис. 6.1, г). Единицей магнитной индукции В является тесла (Тл) – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н на каждый метр прямолинейного проводника с током в 1 А, расположенного перпендикулярно направлению поля: . Магнитная индукция зависит не только от тока, возбуждающего магнитное поле, но и от среды, в которой оно существует. Влияние среды на магнитное поле характеризуется абсолютной магнитной про­ницаемостью среды μа, в которой распространяется поле: , где μ – относительная магнитная проницаемость среды;  Гн/м – абсолютная магнитная проницаемость вакуума, называемая магнитной постоянной. Абсолютная магнитная проницаемость вакуума  Гн/м и называется магнитной постоянной. Здесь Гн (генри) – единица индуктивности. Относительная магнитная проницае­мость вещества показывает, как изменяется магнитный поток в данном веществе по сравнению с магнитным потоком в вакууме. Вещества, у которых μ > 1, называются парамагнитными (пара­магнетиками), а у которых μ < 1 – диамагнитными (диамагнетиками). Практически для диамагнетиков и парамагнетиков μа ≈ μ0 и μ = 1. Эти вещества называют неферромагнитными. Однако имеются вещества, обладающие исключительно большой магнитной проницаемостью. К этим веществам относятся железо, никель, кобальт и гадолиний, а также их сплавы с различными присадками, оксиды железа и др. Эти вещества называются ферромагнетиками. Наряду с магнитной индукцией В существует и другая характеристика силового воздействия магнитного поля – напряженность магнитного поля Н, которая зависит только от токов, возбуждающих магнитное поле, и не зависит от свойств среды. Между магнитной индукцией В и напряженностью поля Н существует зависимость . (6.1) Напряженность магнитного поля Н является векторной величиной. Если определить напряженность во всех точках магнитного поля, то можно провести линии, обладающие тем свойством, что во всех точках этих линий направление касательных к ним совпадает с направлением вектора Н. Эти линии называют линиями напряженности магнитного поля. В средах, которые однородны по всем направлениям (изотропны), вектор напряженности Н совпадает по направлению в каждой точке поля с вектором магнитной индукции В. Единицей напряженности магнитного поля в СИ является А/м, в системе СГС – эрстед: А/м. Для общей характеристики магнитного поля служит поток вектора магнитной индукции через некоторую поверхность s (рис. 6.2), который называют также магнитным потоком и обозначают Ф. Поток вектора магнитной индукции через какую-либо замкнутую поверхность . (6.2) Рис. 6.2. Формирование вектора магнитной индукции Единицей магнитного потока служит вебер: . 6.2. Закон полного тока Напряженность магнитного поля может быть найдена расчетным путем из закона полного тока, согласно которому линейный интеграл напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равен полно­му току, охватываемому этим контуром: . (6.3) где dl – вектор, равный по модулю элементу длины dl и направлен­ный по касательной к контуру в сторону обхода контура; – полный ток, т. е. алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром интегрирования. Выбрав произвольно положительное направление обхода контура, считают положительными те токи, направление которых совпадает с поступательным движением правоходового винта, вращающегося по направлению обхода контура, т. е. направление магнитного поля которых совпадает с направлением об­хода контура. Например, для контура рис. 6.3 токи I1 и I2 положительны, а ток I3 отрицателен. Рис. 6.3. К расчету полного тока Векторы Н и B в изотропной среде направлены в одну сторону, в анизотропной среде их направления могут не совпадать. Так, в цепях с постоянными магнитами векторы B и Н могут быть сдвинуты относительно друг друга на 180°. Однако на практике в большинстве случаев расчеты производят в предположении, что векторы B и Н совпадают по направлению. Если интегрирование производится по контуру, состоящему из w витков, через которые проходит ток I, то закон полного тока имеет вид . (6.4) Интеграл напряженности магнитного поля вдоль рассматриваемого замкнутого контура называют магнитодвижущей силой (МДС) этого контура. Магнитодвижущую силу обычно принято обозначать F. Едини­цей МДС является ампер или ампер-виток. Магнитодвижущая сила – скалярная величина, которая характеризует намагничивающее действие электрического тока. Введя понятие МДС, закон полного тока можно сформулировать следующим образом: МДС вдоль замкнутого контура равна полному току, охватываемому этим контуром. При расчете напряженности магнит­ного поля согласно закону полного тока целесообразно замкнутый контур выби­рать совпадающим с замкнутой линией магнитной индукции, а направление об­хода контура – совпадающим с направ­лением этой линии. В этом случае угол между векторами H и dl равен нулю, Hdl = Hdl и закон полного тока имеет вид . (6.5) Понятие МДС можно применить к любому участку ab линии напряжен­ности магнитного поля. При этом МДС . Следовательно, напряженность магнитного поля , т. е. численно равна МДС, приходящейся на единицу длины в направлении линии напря­женности поля. Если магнитное поле существует в изотроп­ной среде, то напряженность магнитного поля можно рассматри­вать как МДС, приходящуюся на единицу длины линии магнитной индукции. Когда физические условия вдоль всей рассматриваемой линии магнитной индукции одинаковы, тогда напряженность поля Н вдоль этой линии равна частному от деления МДС на длину линии магнитной индукции. В большинстве электротехнических устройств напряженность магнит­ного поля вдоль линии магнитной индукции изменяется в зависимости от физических условий участков, через которые она проходит. Путь, в котором имеются ферромагнитные тела или какие-либо другие тела или среды, образующие замкнутую систему, в которой при наличии МДС образуется и замыкается магнитный поток и физические условия на участках различны, делится на ряд участков, в пределах каждого из которых напряженность поля практически можно считать постоянной. Это позволяет в формуле закона полного тока заменить интегрирование суммированием. Далее будет показано, что закон полного тока, устанавливающий связь между магнитным полем и создающим его электрическим током, лежит в основе расчета магнитных цепей. 6.3. Основные характеристики ферромагнитных материалов Особо важное значение в практической электротехнике имеют ферро­магнитные материалы, в которых . Магнитная проницаемость μα некоторых современных магнитных материалов, например пермаллоя (сплава железа и никеля с различными присадками), может превышать в сотни тысяч раз магнитную проницаемость μ0. В настоящее время все большую роль стали играть ферромагнитные полупроводники, на­зываемые ферритами. Ферромагнетики обладают особым свойством – способностью на­магничиваться в магнитном поле. Стержень из ферромагнитного мате­риала, например, помещенный в магнитное поле катушки, через которую протекает ток, намагничиваясь, начинает проявлять сильные магнитные свойства. Сущность происходящего процесса связана с электрическими токами в веществе (преимущественно с вращением электронов вокруг своей оси, получившей название спина электрона). У ферромагнетиков магнитные свойства обусловлены собственными (спиновыми) магнит­ными моментами электронов. При определенных условиях в кристаллах могут возникать обменные силы, в результате которых магнитные моменты электронов ориентируются параллельно друг другу, и возни­кают области спонтанного (самопроизвольного) намагничивания, назы­ваемые доменами. В пределах каждого из доменов ферромагнетик спонтанно намагничен до насыщения и имеет определенный магнитный момент. Направления магнитных моментов отдельных доменов (облас­тей) различны, вследствие чего в отсутствие внешнего поля суммарный момент ферромагнетика равен нулю. Под действием внешнего поля намагниченные области ориентируются в направлении поля и тем самым во много раз усиливают внешнее поле. Когда все области спонтанного намагничивания сориентируются вдоль внешнего поля, наступает насы­щение ферромагнетика. Поэтому значение магнитной проницаемости для ферромагнитных материалов значительно больше, чем для неферро­магнитных. А следовательно, в ферромагнитных материалах при одной и той же напряженности магнитного поля магнитная индукция также во много раз больше, чем в неферромагнитных материалах. Большая магнитная проницаемость ферромагнетиков используется для того, чтобы усиливать магнитные поля в электрических машинах и аппаратах. Если вектор магнитной индукции поля, созданного током катушки в неферромагнитной среде, , то в намагниченном ферро­магнетике имеется добавочное поле, которое характеризуется магнитной индукцией ВJ. Эго добавочное поле усиливает поле, создаваемое током катушки. Вектор намагниченности J намагниченного ферромагнетика и вектор ВJ совпадают по направлению и связаны между собой зависимостью . Вектор магнитной индукции результирующего поля намагниченного ферромагнетика B в этом случае равен геометрической сумме векторов B1 и BJ: . (6.6) Следует отметить, что намагниченность J характеризует состояние ферромагнетика при намагничивании, магнитная же индукция В – сило­вое воздействие магнитного поля на ток или свойство переменного магнитного поля возбуждать электрическое поле. Отношение магнитной индукции В к напряженности поля H, т. е. магнитная проницаемость μα, для ферромагнетиков имеет большое значение и непостоянна, что существенно затрудняет расчеты. Так как зависимость В(Н) для ферро­магнетиков нельзя точно описать аналитически, то для каждого ферро­магнитного материала эту зависимость устанавливают опытным путем, строя кривую намагничивания В(Н). Впервые закономерности намагничивания ферромагнетиков были исследованы русским физиком А. Г. Столетовым в 1871 г. Эти исследования послужили основой расчета магнитных цепей электрических машин и аппаратов, сыграли важную роль в развитии электротехники. Если поместить ферромагнетик, не подвергавшийся воздействию магнитного поля, т. е. магнитный момент которого первоначально был равен нулю, в магнитное поле, то линия 0-1 на рис. 6.4 будет соответствовать кривой первоначального намагничивания В(Н). Если намагни­тить ферромагнетик до насыщения (1 на рис. 6.4), а затем начать размагничивать его, т. е. уменьшать напряженность поля от HS до 0, получим кривую, которая не совпадает с кривой первоначального намагничивания (1-2 на рис. 6.4), причем в отсутствие внешнего поля (H = 0) намагничивание ферромагнетика не исчезает и характеризуется некоторым значением Br, получившим название остаточной индукции. Для полного размагничивания (3 на рис. 6.4) необходимо к ферро­магнетику приложить поле с напряженностью Hс, имеющее направ­ление, противоположное намагничивающему полю. Значение напряжен­ности магнитного поля обратного знака, необходимое для полного размагничивания ферромагнетика, называется коэрцитивной силой Hс. Способность ферромагнетиков обладать остаточной индукцией дает возможность изготовлять постоянные магниты, свойства которых тем лучше, чем больше коэрцитивная сила ферромагнетика, из которого он выполнен. Рис. 6.4. Семейство петель гистерезиса Если периодически намагничивать ферромагнетик в прямом и обратном направлениях (например, изменяя плавно значение и направ­ление тока в обмотке кольцевого сердечника, изготовленного из ферромагнетика), то зависимость В(Н) имеет вид петли гистерезиса (см. рис. 6.4, кривая 1-2-3-4-5-1). Явление отставания изменений магнитной индукции В от изменения напряженности поля H называется маг­нитным гистерезисом. Если при периодическом намагничивании макси­мальные значения напряженности поля Hmax достигают насыщения HB, то получается так называемая максимальная, или предельная, петля гистерезиса (сплошная петля на рис. 6.4). Если же при Hmax насыщение не достигается, т. е. Hmax < HB, то получаются петли, называемые частными гистерезисными циклами (пунктирные линии на рис. 6.4). Частных циклов может быть сколь угодно много, и все они будут находиться внутри предельной пет­ли гистерезиса. Соединив вершины частных гистерезисных циклов, по­лучают основную кривую намагни­чивания, которая практически сов­падает с кривой первоначального намагничивания (кривая 0-1 на рис. 6.4). Следует отметить, что кривая первоначального намагничивания может быть разбита на три участка: участок 0а, на котором магнитная индукция возрастает пропорционально напря­женности поля [В(Н) имеет прямолинейный характер], так как ферромагнитный материал не насыщен; участок аb, называемый коленом кривой намагничивания, который характеризуется все большим насыще­нием ферромагнитного материала, вследствие чего темп роста магнитной индукции уменьшается, а также уменьшается значение магнитной проницаемости μα, и участок b1, где зависимость В(Н) становится почти прямолинейной, имеющей небольшой угол наклона к оси абсцисс, соответствует значительному насыщению ферромагнитного материала; следовательно, в этом случае увеличение напряженности поля приводит лишь к незначительным приращениям магнитной индукции. Если магнитную индукцию выражать в Тл = Вб/м2 = В · с/м2, а напряженность поля – в А/м, то площадь петли гистерезиса будет вы­ражаться в В · А · с/м3 = Дж/м3. Следовательно, площадь петли гистерезиса численно равна энергии, затрачиваемой за один цикл перемагничивания единицы объема ферромагнетика. Величины Вr, Нс и μmax являются основными характеристиками ферромагнитных материалов, в частности максимальная проницаемость μmax характеризует ферромагнетик с точки зрения возможности его использования для усиления поля. Значения остаточной индукции Вr и коэрцитивной силы Нс, характеризующие важнейшие свойства ферромагнетика, определяются по предельной петле гистерезиса. В зависимости от назначения к ферромагнитным материалам предъ­являются различные требования. Необходимо, чтобы ферромагнитные материалы, работающие в переменном магнитном поле, имели малую коэрцитивную силу (и соответственно узкую петлю гистерезиса). Такие материалы называются магнитомягкими. Для магнитомягких материа­лов Нс < 200 А/м. Основными материалами этой группы являются электротехническая сталь, содержащая кремний, сплавы железо – никель типа пермаллоя и др. Магнитомягкие материалы применяют в качестве магнитопроводов в электрических машинах, трансформаторах и приборах, т. е. в качестве магнитных цепей, в которых создается магнитный поток. Использование магнитомягких материалов для электрических машин переменного тока и трансформаторов уменьшает потери мощности в ферромагнитных сердечниках, а применение магнитомягких материалов с малой Вr в электрических машинах постоянного тока позволяет в широких пределах изменять магнитный поток. Магнитомягкие материалы с прямоугольной петлей гистерезиса, получаемой за счет специальной технологии обработки, обладают малым значением Нс и большой Вr, близкой к Вδ. Эти материалы широко применяют в вычислительной технике и устройствах автоматики. Для изготовления постоянных магнитов и подвижных систем в магнитных компасах требуется большая остаточная индукция и большая коэрцитивная сила (и соответственно, широкая петля гистерезиса), кото­рая затрудняет размагничивание. Такие материалы называются магнитотвердыми. У магнитотвердых материалов значения остаточной индук­ции и коэрцитивной силы лежат в пределах Вб/м2, А/м. К магнитотвердым материалам относятся сплавы железа с алюминием, хромом и вольфрамом, содержащие различные присадки. Деление ферромагнитных материалов на магнитотвердые и магнитомягкие условно, так как имеются материалы с характе­ристиками, отличными от указанных. Следует отметить, что с возрастанием температуры магнитная проницаемость ферромагнитных материалов уменьшается, причем для каждого материала существует критическая температура, при которой он теряет ферромагнитные свойства, превращаясь в парамагнетик. Критическая температура Тс (точка Кюри) для железа равна 768 °С, для никеля – 365 °С, кобальта – 1131 °С. Ферромагнитные материалы при намагничивании изменяют размеры, вследствие чего они деформируются. Это явление называется магнитострикцией. Однако наряду со свойством изменять размеры при намагничивании ферромагнетики обладают также свойством намагничиваться при растяжении и сжатии. Следовательно, магнитострикционный эффект обратим. 6.4. Понятия о магнитных цепях и их основные законы В электротехнических устройствах, состоящих из магнито­проводов и обмоток, наносимых на них, для увеличения магнитного потока магнитопроводы изготовляют из ферромагнитных материалов. В зависи­мости от конструктивных особенностей и от требований, предъявляе­мых к различным электротехническим устройствам, магнитопроводы бывают разнообразной формы. Та часть электротехнического устройства, которая необходима для создания в нем магнитного поля необходи­мой интенсивности и конфигурации, называется магнитной цепью. Магнитная цепь состоит из магнитопровода и из элементов, возбуждаю­щих магнитное поле, например обмоток с током, надеваемых на магнитопровод. Таким образом, для сосредоточения магнитного потока в определенных частях электротехнических устройств служат ферромагнитные материалы, которые в сово­купности с электромагнитами, воздушными зазорами н прокладками (неферромагнитными прослойками) составляют магнитную цепь. Простейшей магнитной цепью является кольцевой магнитопровод из ферромагнитного материала с равномерно нанесенной на нем намагни­чивающей катушкой. Магнитные цепи в зависимости от конструктивных особенностей и технических данных могут быть различными как по размерам, так и по конфигурации. Кроме того, они могут быть с одним или несколькими элементами, возбуждающими магнитное поле, неразветвленными и разветвленными. Разветвленные магнитные цепи, в свою очередь, могут быть симметричными и несимметричными. При расчете магнитных цепей в большинстве случаев определяют МДС F, необходимую для создания на каком-либо участке магнито­провода заданного магнитного потока Ф (прямая задача), или по МДС определяют потоки отдельных участков магнитной цепи (обрат­ная задача). При этом для обеих задач должны быть известны размеры участков и кривые намагничивания материалов магнитопровода. В магнитных цепях магнитные потоки возникают под действием МДС, т. е. возбуждаются чаще всего токами обмоток, нанесенных на магнитопроводы. Поэтому магнитный поток, возникающий под дейст­вием МДС в магнитопроводе, аналогичен току в электрической цепи. Если, согласно закону полного тока, произведение Нl рассматривать как МДС, необходимую для создания магнитного потока на участке магнит­ной цепи длиной l, то по аналогии с электрической цепью величину Нl можно называть магнитным напряжением: Uм = Нl. Магнитные потоки, возникающие под действием МДС обмотки, подразделяются на основной поток Ф и поток рассеяния Фσ (рис. 6.5). Основной магнитный поток замыкается целиком через магнитопровод. Магнитный поток рассеяния замыкается вокруг витков катушки частично по магнитопроводу, а частично через окружающую среду. При анализе и расчете магнитных цепей потоки рассеяния обычно учитывают только в специально оговариваемых случаях, так как в магнитных цепях, изготовляемых в основном из ферромагнитных материалов, магнит­ная проницаемость магнитопроводов резко отличается от магнитной проницаемости окружающей среды, поэтому потоками рассеяния в боль­шинстве случаев можно пренебречь. Если магнитный поток рассеяния не учитывать, а основной магнитный поток замыкается только по сердечнику магнитопровода, то такая цепь может считаться однород­ной, т. е. векторы магнитной индукции в каждой точке поля одинаковы и имеют одно направление. Значит, значения Ф, В, Н в однородных цепях по всей длине средней магнитной линии неизменны (средняя линия магнитной индукции показана на рис. 6.5 пунктиром). При анализе магнитных цепей обычно считают, что они однородны и что конфи­гурация линий магнитной индукции совпадает с конфигурацией магнит­ной цепи, т. е. не учитывают «выпучивания» линий магнитной индук­ции в воздушных зазорах, а также их искривления в узлах разветвления магнитных потоков и местах резких перегибов магнитной цепи. В настоящей главе будут рассмотрены магнитные цепи, которые в основном изготовлены из ферромагнитных материалов, поэтому потоки рассеяния не будут учитываться. При такой постановке вопроса можно считать, что с каждым витком одной и той же катушки с током I сцеплен один и тот же поток Ф и что поток на каждом участке магнитной цепи остается одним и тем же по всей длине участка. Рассмотрим магнитную неразветвленную цепь (см. рис. 6.5) с участками l1 и l2, выполненными из одного и того же ферромагнитного материала и имеющими соот­ветственно площади поперечного сечения S1 и S2. При этом считаем, что магнитная индукция во всех точках каждого из участ­ков одинакова. На участке l1 магнитной цепи индукция В1, а на участке l2 индукция . Напряженности маг­нитного поля соответственно на этих участках: Рис. 6.5. Неразветвленная магнитная цепь Применяя закон полного тока к контуру, совпадающему со средней магнитной линией lср = l1 + l2, получим: , (6.7) где F = Iw – магнитодвижущая сила. Подставляя значения H1 и H2 в уравнение (6.7), имеем: , (6.8) где и – магнитные сопротивления участков магнитопровода; и – магнитные напряжения участков магнитопровода. Магнитное сопротивление в СИ имеет размерность . Согласно (6.8), магнитный поток . (6.9) Формула (6.9) выражает закон Ома для магнитной цепи, согласно которому магнитный поток равен МДС, деленной на магнитное сопротивление магнитопровода. Если на магнитопроводе размещены катушки с различным числом витков и различными токами, то результирующая МДС равна алгебраической сумме МДС отдельных катушек: , откуда закон Ома для такой магнитной цепи , (6.10) где – магнитное сопротивление всей цепи. При определении алгебраической суммы МДС их связывают с направлением тока в обмотке, пользуясь правилом правоходового винта, согласно которому направление МДС совпадает с поступательным движением винта, если последний вращать по направлению тока в витках обмотки. Следует иметь в виду, что магнитное сопротивление Rм магнитопровода не является величиной постоянной, так как магнитная проницаемость ферромагнетиков зависит от индукции, т. е. Rм является нелинейной функцией намагничивающего тока и магнитопровод есть нелинейный магнитный элемент Rм(I). Магнитную проницаемость любого ферромагнетика для заданного значения Н можно найти из кривой намагничивания В(Н), где . Для рассмотренной магнитной цепи, представляющей собой неразветвленную (одноконтурную) магнитную цепь, поток Ф во всех участках цепи один и тот же. Для разветвленной магнитной цепи могут быть получены зависимости, аналогичные законам Кирхгофа для электрической цепи, если заменить токи I на магнитные потоки Ф, ЭДС Е на МДС F, электрические сопротивления R на магнитное сопротивление Rм. Однако следует иметь в виду, что внешняя аналогия между электрическими и магнитными цепями не распространяется на суть физических процессов, протекающих в них. В самом деле, если в электрической цепи возможно существование ЭДС без тока (т. е. при R = ∞), то в магнитной цепи при существовании МДС обязательно имеется замкнутый магнитный поток, т. е. существование МДС всегда связано с одновременным существованием магнитного потока. Если ЭДС вызывает в проводниках направленное движение носителей электрических зарядов, то МДС движения не вызывает. Если в электрической цепи при прохождении тока непрерывно затрачивается энергия в сопротивлении и поэтому для поддержания тока необходим непрерывный подвод энергии, то в магнитной цепи раз созданный постоянный магнитный поток не требует в дальнейшем энергии для поддержания. В разветвленной (многоконтурной) магнитной цепи магнитный поток будет разветвляться в узлах цепи. Например, на рис. 6.6 магнитная цепь имеет два узла и три ветви. Согласно принципу непрерывности магнитного потока, для любого узла магнитной цепи справедливо: . (6.11) Рис. 6.6. Разветвленная магнитная цепь Уравнение (6.11) есть первый закон Кирхгофа для магнитной цепи, который гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков, приходящих к узлу магнитной цепи и отходящих от него, равна нулю. При составлении уравнения (6.11) магнитные потоки, направленные к узлу, берут со знаком плюс, а направленные от узла – со знаком минус (или наоборот). Уравнений по первому закону Кирхгофа при расчете магнитной цепи составляют на единицу меньше, чем число узлов y магнитной цепи, т. е. у – 1. Для каждого контура разветвленной магнитной цепи, согласно закону полного тока, можно записать уравнение . (6.12) Это второй закон Кирхгофа для магнитных цепей: алгебраическая сумма МДС, действующих в замкнутом контуре магнитной цепи, равна алгебраической сумме магнитных напряжений отдельных участков этого контура. В уравнение (6.12) напряженности Н включают со знаком плюс, если их положительные направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. МДС также берут со знаком плюс, если их положительные направления связаны с направлением обхода контура правилом правоходового винта. При анализе разветвленных магнитных цепей согласно второму закону Кирхгофа, можно составить уравнений, где b – число ветвей магнитной цепи; у – число узлов. Глава 7. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАГНИТОДВИЖУЩИМИ СИЛАМИ 7.1. Общие сведения о цепях с переменной магнитодвижущей силой и их особенности Магнитные цепи с переменной МДС широко применяют при создании разнообразной электрической аппаратуры и электрических машин переменного тока. Магнитные цепи, магнитное поле которых обычно возбуждается катушками с ферромагнитными сердечниками, питающимися от источников переменного тока, называются магнитными цепями с переменными МДС. Для усиления магнитного поля и придания ему требуемой конфигурации электрические машины и аппараты снабжают ферромагнитными сердечниками. Одной из особенностей магнитных цепей с переменной МДС является то, что токи в обмотках и магнитные потоки в сердечниках взаимосвязаны, т. е. магнитный поток зависит от токов в обмотках, а токи зависят от характера изменения магнитного потока. Эта взаимосвязь усложняет исследование магнитных цепей с переменной МДС. Другой особенностью магнитных цепей с переменной МДС является то, что наряду с активной мощностью, расходуемой в активном сопротивлении R катушки, эта мощность расходуется также на нагрев ферромагнитного сердечника, что обусловлено гистерезисом и вихревыми токами. Активную мощность, расходуемую на нагрев сердечника, часто называют потерями мощности в стали (Рс). Нагревание магнитопроводов ухудшает их энергетические показатели. В ферромагнитном сердечнике под действием переменного магнитного потока, пронизывающего сердечник, возникают вихри тока, которые замыкаются в сердечнике. Такие токи называются также токами Фуко (рис. 7.1, а). Вихревые токи производят размагничивающее действие на магнитопровод, так как, согласно правилу Ленца, магнитное поле вихревых токов является размагничивающим по отношению к магнитному полю, их индуцирующему. Размагничивающее действие вихревых токов сильнее проявляется в середине сердечника и меньше на его поверхности, так как участки в середине сердечника охватываются большими вихревыми токами, чем участки, близкие к поверхности. а б Рис. 7.1. Токи Фуко в магнитопроводах: а – монолитный; б – из листов электротехнической стали Так как размагничивающее действие вихревых токов уменьшается от центра сердечника к его поверхности, то происходит как бы вытеснение основного магнитного потока из середины сердечника к поверхности, т. е. создается магнитный поверхностный эффект. Иными словами, вихревые токи экранируют внутренние участки магнитопровода от основного магнитного потока, создаваемого током катушки. Магнитный поверхностный эффект растет с повышением частоты переменного тока и особенно заметно начинает проявляться при частотах порядка тысяч герц и выше. Для уменьшения потерь энергии от вихревых токов и снижения их экранирующего действия магнитопроводы изготовляют набранными в большинстве случаев из тонких листов стали, изолированных друг от друга лаком (рис. 7.1, б). В таком магнитопроводе вихревые токи уменьшаются, так как они замыкаются в тонких листах по узким вытянутым путям, что приводит к повышению электрического сопротивления. В пределах каждого листа (если его толщина мала) неравномерность распределения магнитного потока незначительна, так как экранирующее действие вихревых токов невелико. Экранирующее же действие вихревых токов уменьшается потому, что магнитопровод разделен на отдельные листы, находящиеся в одинаковых условиях. Следует отметить, что плоскость листов магнитопровода должна быть параллельна направлению магнитного потока для того, чтобы не увеличивалось магнитное сопротивление. Для различных частот существуют свои оптимальные толщины листов. В частности, при промышленной частоте 50 Гц применяют листы толщиной 0,35-0,5 мм, при частоте 400 Гц – листы толщиной 0,1-0,35 мм, при частотах порядка тысяч герц – листы толщиной 0,02-0,05 мм, а при более высоких частотах толщина листов доходит до 0,005 мм. Для частот до 30-50 МГц применяют сердечники, выполненные из магнитодиэлектриков и ферритов, которые обладают большим удельным электрическим сопротивлением. Магнитодиэлектрики состоят из спрессованных зерен ферромагнитного вещества, размер которых порядка нескольких микрометров, и связывающего их диэлектрика. Ферриты – магнитные материалы полупроводникового типа – изготовляются из спрессованных порошков с последующим отжигом. Магнитные свойства ферриты сохраняют до температуры 70-120 °С. Для повышения удельного сопротивления электро­технической стали в нее добавляют до 4,8 мас. % Si. Таким образом, при расчете любого электротехнического устройства, в котором содержится магнитная цепь с переменной МДС, необходимо учитывать явления, обусловленные гистерезисом и вихревыми токами. Если пренебречь неравномерностью распределения магнитного потока в поперечном сечении листов магнитопровода, то мощность потерь от вихревых токов можно подсчитать по следующей формуле: , где σв – коэффициент вихревых токов, зависящий от сорта стали и толщины стальных листов; f – частота тока; Вт – амплитуда магнитной индукции; G – масса сердечника. Мощность потерь от гистерезиса описывается эмпирической фор­мулой , где σг – гистерезисный коэффициент, зависящий от сорта стали и размеров стальных листов (определяется экспериментально); п – показатель амплитуды магнитной индукции (п = 1,6 при Вт < 1 Тл и п = 2 при Вт = 1 ÷ 1,6 Тл). Для уменьшения потерь на гистерезис сердечники электротехни­ческих устройств, работающих на переменном токе, изготовляют из магнитомягких ферромагнетиков с узкой петлей гистерезиса. Рассмотрим электромагнитные процессы, наблюдаемые в магнитной цепи с переменной МДС. Пусть имеется индуктивная катушка с ферромагнитным сердечником (рис. 7.2, а), питающаяся от источника пере­менного тока. Переменная МДС катушки iw возбуждает основной (рабочий) магнитный поток Ф, замыкающийся по сердечнику и сцепляю­щийся со всеми витками катушки, а также поток рассеяния, который частично проходит по сердечнику и замыкается в основном по воздуху, причем он может быть сцеплен лишь с частью витков катушки. Рабочий магнитный поток, сцепляясь со всеми витками катушки w, создает рабочее потокосцепление ψ = wΦ, а магнитный поток рассеяния – потокосцепление рассеяния ψσ. Рабочее потокосцепление индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции е, а потокосцепление рассеяния – ЭДС самоиндукции еσ: ; (7.1) . (7.2) Так как в воздухе не может быть гистерезиса и вихревых токов, а магнитная проницаемость воздуха μ0 и его магнитное сопротивление R0м постоянны, то потокосцепление рассеяния пропорционально току катушки (ψσ = Lσi) и совпадает с ним по фазе. Следовательно, индуктивность рассеяния Lσ – величина постоянная, и зависимость пото­ка рассеяния от тока катушки линейна. Таким образом, уравнение (7.2) можно переписать в виде . (7.3) Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение, характеризующее электрическое состояние катушки с ферро­магнитным сердечником (рис. 7.2), имеет вид . (7.4) Рис. 7.2. Схемы замещения катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником Из выражения (7.4) следует, что напряжение и, приложенное к входным зажимам катушки, уравновешивает ЭДС основного потока е и ЭДС потока рассеяния, а также компенсирует падение напряжения в активном сопротивлении катушки R. При этом ток зависит не только от приложенного к катушке напряжения и от ее сопротивления R, как это имело место при питании катушки постоянным током, но также и от наводимых в ней ЭДС е и еσ. Так как магнитное сопротивление прохождению основного магнит­ного потока для участков пути в ферромагнитном сердечнике катушки ничтожно мало по сравнению с магнитным сопротивлением прохождению потока рассеяния воздушных участков, то основной магнитный поток всегда несоизмеримо больше потока рассеяния, и, следовательно, ЭДС е всегда во много раз больше ЭДС еσ. Наряду с этим у катушек с ферромагнитным сердечником ЭДС е значительно больше падения напряжения в активном сопротивлении (iR), поэтому следует, что на значение тока катушки наибольшее влияние оказывает ЭДС е. Согласно уравнению (7.4), катушку с ферромагнитным сердечником можно заменить двумя последовательно соединенными катушками (рис. 7.2, б), одна из которых имеет активное сопротивление R и индук­тивность Lσ, а другая, состоящая из катушки с w числом витков и активным сопротивлением, равным нулю, расположена на ферромагнит­ном сердечнике. Последняя катушка называется идеализированной с фер­ромагнитным сердечником. У идеализированной катушки, магнитный поток которой замыкается только по ферромагнитному сердечнику и активное сопротивление равно нулю, напряжение на зажимах, согласно второму закону Кирхгофа, и' = – е. Между магнитной индукцией В и напряженностью магнитного поля Н в ферромагнитном сердечнике существует нелинейная зависимость, характеризуемая динамической петлей гистерезиса. Следовательно, для катушки с ферромагнитным сердечником имеет место нелинейная зави­симость между основным магнитным потоком, замыкающимся через сер­дечник, и током, т. е. катушку с ферромагнитным сердечником нельзя характеризовать постоянной индуктивностью L. Таким образом, в иде­ализированной катушке с ферромагнитным сердечником нет линейной зависимости между напряжением и' и током i. Поэтому при анализе приходится использовать непосредственно зависимость между ЭДС и потокосцеплением. Для синусоидального магнитного потока . Эта связь в идеализированной катушке имеет вид (7.5) откуда действующее значение ЭДС . (7.6) Из (7.5) следует, что ЭДС е отстает по фазе от наводящего ее магнитного потока Φ на угол π/2. Уравнение (7.6) используют для определения ЭДС, наводимых в обмотках трансформаторов. Следует отметить, что в расчетных формулах переменного тока и на векторных диаграммах, как правило, рассматривают амплитудные значения магнит­ного потока Φт. Понятие действующего значения иногда применяют к синусоидальному магнитному потоку только формально. 7.2. Идеализированная катушка с ферромагнитным сердечником в цепи синусоидального тока В ферромагнитном сердечнике зависимость магнитного потока от тока катушки обычно представляют графически в виде петли гисте­резиса или приближенно кривой намагничивания, т. е. нелинейной зави­симостью. Если идеализированная катушка с ферромагнитным сердечником включена на синусоидальное напряжение , то переменный ток, протекающий через нее, возбуждает в сердечнике переменный магнитный поток Φ. Магнитный поток, в свою очередь, индуцирует в обмотке ЭДС , которая не пропорциональна изменению тока, так как индуктивность L катушки с ферромагнитным сердечником не постоянна. Согласно второму закону Кирхгофа, для идеализирован­ной катушки с ферромагнитным сердечником и = – e или . (7.7) Из (7.7) находим характер изменения магнитного потока во времени в сердечнике , или . Постоянная интегрирования К, представляющая собой постоянную составляющую основного магнитного потока, равна нулю, так как при установившемся режиме магнитный поток создается синусоидальным напряжением катушки, которое в этом случае не имеет постоянной составляющей, а значит, не имеет постоянных составляющих ток i и МДС iw. Следовательно, окончательно имеем: , (7.8) где . (7.9) Из уравнения (8.8) следует, что при синусоидальном напряжении на зажимах катушки с ферромагнитным сердечником основной (рабочий) магнитный поток в сердечнике изменяется во времени также синусоидально, причем максимальное значение магнитного потока, согласно (7.9), прямо пропорционально амплитуде напряжения Um и обратно пропор­ционально ее частоте f. Форма кривой тока идеализированной катушки. Если рабочий магнитный поток синусоидален, то изменение во времени тока катушки значительно отличается от синусоидального. Кривая тока может быть построена по заданным зависимостям магнитного потока Φ(t) и Φ(i), что изображается графически замкнутой динамической петлей, подобной петле гистерезиса B(H), так как B и Φ, а также H и i пропорциональны соответственно друг другу. Зависимость Φ(i) находят путем расчета магнитной цепи, исполь­зуя при этом динамическую петлю гистерезиса B(H), которая, в свою очередь, должна соответствовать заданной частоте f и иметь , где S – площадь поперечного сечения ферромагнитного сердеч­ника. При построении синусоидальной зависимости Φ(t) необходимо использовать выражения (7.8) и (7.9). На рис. 7.3 приведено построение кривой тока i(t) по заданным кривым Φ(i) и Φ(t), а также даны графики зависимости u(t) и e(t). При построении кривой i(t) определение ординат тока первой четверти периода производят по абсциссам восходящей ветви ab динамической петли abcd, а для второй четверти периода – по абсцис­сам нисходящей ветви bс. Так, для момента времени t' (точка 1) по кривой Φ(t) определяют значение магнитного потока Ф' (ордината 1-2), а затем для того же значения магнитного потока Ф' по кривой Φ(i) (ордината 3-4) находят значение тока i' (абсцисса 0-4); после этого найденное значение тока i' откладывают из точки 1 вверх и находят ординату (1-5) кривой тока i(t). Проделав подобные построения для различных моментов времени, находят ряд точек, соединив которые между собой плавной кривой, получают искомый график тока i(t). Рис. 7.3. Построение кривой тока i(t) по заданным кривым Φ(i) и Φ(t) и графики зависимости u(t) и e(t) Построенная таким образом кривая тока для идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником является несинусо­идальной, симметричной относительно оси абсцисс, причем нулевая фаза тока i из-за влияния гистерезиса опережает нулевую фазу потока Φ; макси­мальных значений ток и поток достигают в одно и то же время. Несинусоидальность формы кривой тока определяется нелинейной зави­симостью магнитного потока от тока, причем отличие от синусоиды будет тем больше, чем больше отклоняется от прямой форма динамической петли abcd. Кроме того, чем шире эта петля, тем больше сдвиг нулевых фаз тока и магнитного потока. На рис. 7.4 представлена вольт-амперная характеристика (ВАХ) Um(Imах) идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником, показывающая связь максимальных значений тока и напряжения катушки. Видно, что при небольших значениях амплитуд напряжений, т. е. когда ферромагнитный сердечник намагничен не до насыщения, зависимость между током и напряжением близка к линейной (учас­ток 0А). С ростом амплитуды напряжения катушки и, следовательно, степени насыщения сердечника при максимальных магнитных потоках зависимость между током и напряжением резко отличается от линей­ной, а значит, и токи катушки все более отличаются от синусоидаль­ных. Рис. 7.4. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) Um(Imах) идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником Из графиков рис. 7.3 видно, что при Φ = 0 напряжение катушки и и ток катушки не равны нулю. Это свидетельствует о том, что идеализиро­ванная катушка потребляет активную мощность, которая равна потерям мощности Рс в ее ферромагнитном сердечнике. Для упрощения анализа процессов, наблюдаемых в идеализированных катушках со стальным сердечником, часто пренебрегают потерями на гистерезис и вихревые токи, вследствие чего намагничивание и размагничивание ферромагнитного сердечника происходят по одному и тому же закону (рис. 7.5). В этом случае кривая тока симметрична относительно обеих осей координат и отсутствует сдвиг нулевых фаз тока I и магнитного потока Ф. Следует отметить, что значительное влияние на амплитуду и форму кривой тока оказывает воздушный зазор в магнитной цепи, с увели­чением которого форма кривой тока i(t) приближается к синусоидаль­ной, растет амплитуда тока и зависимости Φ(i) и Um(Imax) становятся близкими к линейным. Зависимость тока от воздушного зазора является одной из особенностей катушек с ферромагнитными сердечниками, когда катушки подключены к переменному напряжению. Рис. 7.5. Построение кривой тока i(t) по заданным кривым Φ(i) и Φ(t) Эквивалентный синусоидальный ток и векторная диаграмма идеализи­рованной катушки. При анализе цепей, в которых имеются катушки с ферромагнитным сердечником, часто действительный несинусоидаль­ный ток катушки заменяют эквивалентным синусоидальным током, так как при несинусоидальном токе весьма сложно проводить количественный анализ процессов, наблюдаемых в электрических и магнит­ных цепях. Такая замена упрощает расчеты цепей, так как позволяет применять все методы расчета цепей синусоидального тока, а также строить для них векторные диаграммы. Условием эквивалентности несинусоидального тока синусоидальному являются равенство действую­щих значений этих токов и равенство потерь, вызываемых этими токами. При замене несинусоидального действительного тока эквивалент­ным синусоидальным действующее значение последнего должно быть равно действующему значению действительного тока, определяемому по общей формуле . Так как идеализированная катушка потребляет из сети активную мощность, то эквивалентный синусоидальный ток должен быть сдвинут по фазе относительно напряжения сети на угол φ с таким расчетом, чтобы средняя мощность этой цепи за период Т была равна активной мощности Pc, потребляемой идеализированной катушкой из сети: , где I – действующее значение эквивалентного тока. Вольт-амперные характеристики U(I), показывающие связь между действующими значениями эквивалентного синусоидального тока и напряжением идеализированных катушек, аналогичны представленной на рис. 7.4. Эти ВАХ нелинейны, т. е. напряжение U и ток I не пропор­циональны друг другу; следовательно, полное электрическое сопротив­ление катушки не постоянно, а зависит от действующего значения напряжения U, что является характерной особенностью катушки с ферромагнитным сердечником. Замена действительного несинусоидального тока эквивалентным синусоидальным позволяет построить векторную диаграмму идеализированной катушки с ферромагнитным сердечником (рис. 7.6, а). Рис. 7.6. Идеализированная катушка с ферромагнитным сердечником: а – векторная диаграмма; б – схема замещения Так как ток и напряжение сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол φ, то при построении векторной диаграммы эквивалентный ток I разлагают на две составляющие: активный ток , совпадающий по фазе с напряжением и обусловленный потерями мощности в ферромагнитном сердечнике от гистерезиса и вихревых токов, и реактивный ток , возбуждающий основной магнитный поток Φ и совпадающий с ним по фазе. Таким образом, . (7.10) При построении векторной диаграммы идеализированной катушки вначале откладывают вектор магнитного потока Φm. Согласно (7.5), ЭДС Е, индуцируемая в витках катушки основным магнитным потоком, отстает от него на угол π/2. Поэтому на векторной диаграмме вектор отстает по фазе от на угол π/2. Напряжение , приложенное к зажимам катушки, уравновешивается ЭДС , поэтому на векторной диаграмме вектор диаметрально противоположен вектору , т. е. вектор на векторной диаграмме опережает по фазе вектор на угол π, а вектор – на угол π/2. Построение вектора тока производится по его активной и реактивной составляющим. Активная составляющая эквивалентного тока определяется по формуле . (7.11) Здесь Рс – активная мощность, потребляемая катушкой из сети. Эту мощность можно вычислить по формуле , где Руд с – удельные потери мощности на килограмм массы сердечника, которые приводятся в справочной литературе, Вт/кг; G – масса сердеч­ника, кг. Для вычисления реактивной составляющей эквивалентного тока мож­но воспользоваться формулой , (7.12) где Q – реактивная мощность намагничивания идеализированной катушки, т. е. мощность, необходимая для образования основного потока; Qуд с – удельная реактивная мощность намагничивания, вар/кг, т. е. реактивная мощность, приходящаяся на килограмм массы сердечника. На векторной диаграмме угол сдвига фаз между током и магнитным потоком, обусловленный потерями мощности в ферромагнитном сердечнике от гистерезиса и вихревых токов, называется углом потерь . Практически угол α составляет несколько градусов. При исследовании магнитных цепей с ферромагнитными сердечни­ками удобно заменять их эквивалентными схемами без ферромагнит­ных сердечников с таким соединением ее элементов, чтобы при одинако­вом напряжении на зажимах цепи и эквивалентной схемы они имели одинаковые значения токов и мощностей. В эквивалентной схеме потери в ферромагнитном сердечнике представляют потерями в эквивалентном активном сопротивлении, т. е., согласно схеме замещения индуктивной катушки, магнитное поле создается в неферромагнитной среде. На рис. 7.6, б представлена схема замещения идеализированной катушки. В этой схеме содержатся активная проводимость , учитываю­щая наличие активной составляющей тока, и реактивная проводимость , которая учитывает реактивную составляющую тока. 7.3. Реальные индуктивные катушки Если у рассмотренной идеализированной катушки активное сопротив­ление равно нулю и магнитный поток, созданный током катушки, полностью замыкается в ферромагнитном сердечнике, то реальная индуктивная катушка с ферромагнитным сердечником обладает активным сопротивлением и наряду с основным магнитным потоком Φ, замы­кающимся в ферромагнитном сердечнике, имеет поток рассеяния Φσ, который замыкается частично или полностью через воздух. Основной магнитный поток, замыкаясь через ферромагнитный сердечник, как уже отмечалось ранее, не будет прямо пропорционален току и обусловливает потери в ферромагнитном сердечнике, а также сдвинут по фазе относительно тока на угол потерь α. Магнитный поток рассеяния (так как он на значительной части своей длины расположен в воздухе) прямо пропорционален току и совпадает с ним по фазе. Так как реальная индуктивная катушка с ферромагнитным сердечником обладает активным сопротивлением и имеет кроме основного (рабочего) потока магнитный поток рассеяния, то напряжение, приложенное к зажимам катушки, должно состоять из трех составляющих: одна из них уравновешивает ЭДС е, наводимую основным магнитным потоком (u′ = – е); вторая уравновешивает ЭДС рассеяния ; третья компенсирует падения напряжения в активном сопротивлении (иR = iR). Уравнение электрического состояния (7.4) учиты­вает эти три составляющие: . Заменяя несинусоидальный ток катушки синусоидальным эквивалент­ным током, это уравнение можно записать для действующих значений в комплексной форме: (7.13) Здесь ЭДС рассеяния представлена как падение напряжения в индуктивном сопротивлении. Так как , то комплекс действующего значения ЭДС рассеяния , или . Если векторную диаграмму, построенную для идеализированной катушки (рис. 7.6, а) дополнить в соответствии с уравнением (7.13) векторами падений напряжений и , то получим векторную диаграмму реальной индуктивной катушки, представленную на рис. 7.7. Построение векторной диаграммы реальной индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником, как и векторной диаграммы идеализированной катушки, начинают с построения вектора магнитного потока . Затем строят вектор , который отстает от вектора на угол π/2, и вектор . После этого производят построение вектора тока , согласно (7.10), путем суммирования его активной и реактивной составляющих. Построение вектора напряжения , приложенного к зажимам реальной индуктивной катушки, производится, согласно (7.13), путем суммирования трех составляющих напряжения, т. е. путем сложения векторов , и . Рис. 7.7. Векторная диаграмма реальной индуктивной катушки Уравнениям (7.10) и (7.13) и векторной диаграмме должна соответ­ствовать схема замещения, при построении которой уравнения можно рассматривать как первый и второй законы Кирхгофа для смешанного соединения, представленного на рис. 7.8, а. Через сопротивления R и Хσ проходит один и тот же ток I, поэтому они на схеме замещения соединены последовательно. Так как ток I состоит из двух составляющих Ia и Iр, то последовательно с сопротивлениями R и Хσ необходимо включить участок, состоящий из двух параллельных ветвей. Одна из них – ветвь намагничивающего тока Iр, обусловленного реактивной мощностью, необходимой для возбуждения основного магнитного потока, – обладает только реактивной проводимостью b0. Вторая ветвь, через которую проходит лишь ток Ia, обусловленный потерями мощ­ности в ферромагнитном сердечнике, обладает только активной проводимостью g0. Итак, схема замещения реальной катушки с ферромагнитным сердечником состоит из двух участков: участка двух последователь­но соединенных элементов с постоянными параметрами R и Хσ и разветвленного участка, соответствующего ферромагнитному сердечнику катушки, параметры элементов последнего участка b0 и g0 непостоянны. Разветвленный участок схемы замещения представляет собой схему заме­щения идеализированной катушки. Рис. 7.8. Схема замещения реальной катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником: а – смешанное соединение; б – последовательное соединение Разветвленный участок схемы замещения можно заменить неразветвленным участком с последовательным соединением эквивалентных сопротивлений R0 и Х0, где ; , или ; . Следовательно, в соответствии с этой заменой для реальной индук­тивной катушки с ферромагнитным сердечником схема замещения может быть изображена так, как это показано на рис. 7.8, б. В соответствии с уравнением (7.13) и векторной диаграммой, изображенной на рис. 7.7, напряжение меньше напряжения , приложенного к зажимам катушки, на значение падения напряжения и . В реальных индуктивных катушках с ферромагнитным сердечником напряжение в десятки раз больше падения напряжения и , и его можно считать практически почти равным напряже­нию т. е. как это имеет место в идеализированной катушке. Рассмотрим влияние на ток катушки размера воздушного зазора в ее ферромагнитном сердечнике для случая, когда . При изменении воздушного зазора ЭДС и магнитный поток можно считать постоянными, если . Однако с увеличением воздушного зазора увеличивается и магнитное сопротивление, поэтому для поддержания = const требуется большая МДС, а значит, больший ток . Если в реальной индуктивной катушке падения напряжения и имеют заметное значение, то и магнитный поток будут иметь несколько меньшие значения, вследствие чего ток возрастет в ней в меньшей степени, чем это имело бы место в идеализированной катушке. Когда для уменьшения тока катушки по техническим условиям можно уменьшить воздушный зазор в ее сердечнике, необхо­димо его уменьшить до возможно малой величины. Ранее было установлено, что полное сопротивление катушки с фер­ромагнитным сердечником при переменном токе зависит от напряжения (или тока). Поэтому сопротивление катушки при U = const будет зависеть только от тока. Следовательно, для регулирования сопротивления катушки необходимо изменять размер воздушного зазора в ее сердечнике, причем с ростом воздушного зазора сопротивление катушки при U = const уменьшается. Значительное влияние на линейность вольт-амперных характеристик, как и на значение тока, оказывает размер воздушного зазора в фер­ромагнитном сердечнике катушки. По мере увеличения воздушного зазора δ вольт-амперные характеристики все более приближаются к линейным. Длина линейного участка вольт-амперной характеристики в значительной степени зависит от соотношения магнитных напряжений на ферромагнитном участке Uсм и на воздушном зазоре Uвм магнитопровода катушки, что следует из уравнения полного тока для действующих значений магнитных напряжений: . (7.14) На рис. 7.9 приведены вольт-амперные характеристики U (I) при различных воздушных зазорах δ. Из рисунка видно, что увеличение воздушного зазора при U = const вызывает рост тока I в катушке. Рис. 7.9. Вольт-амперные характеристики U (I) при различных воздушных зазорах δ Следует отметить, что сопротивление при переменном токе, являясь величиной переменной, на линейном участке вольт-амперной характеристики будет оставаться неизменным. Расчет тока реальной индуктивной катушки с ферромагнитным сердечником выполняют методом последовательных приближений, так как прямой расчет невозможен из-за нелинейности вольт-амперной характеристики катушки. При расчете вначале задаются напряжением U = U1. Это напряжение заведомо больше тех значений, которые будут получаться в результате последующего расчета. Затем вычисляют . Здесь S – площадь поперечного сечения сердечника магнитопровода. После этого по справочникам для магнитных материалов по полученному значению Вт находят удельные потери в стали Руд с и удельную мощность намагничивания Qуд с. Зная массу ферромагнитного сердечника катушки Gc, находят и , а также токи ; ; и угол потерь . По результатам строят векторную диаграмму рис. 7.7 и находят по ней . Если значение напряжения на векторной диаграмме будет больше заданного в раз, тогда уменьшают расчетное напряжение U в k раз и расчет производят вторично. Расчет продолжают до тех пор, пока напряжение , получаемое из векторной диаграммы, не совпадет с достаточной степенью точности с заданным. Ток, полученный при последнем приближении, является искомым.