Основы классической механики

Лекция №1. Основы классической механики. Цели: в результате изучения этой темы вы будете знать: • закономерности кинематики поступательного движения; • основные законы динамики поступательного движения; • понятия работы, силы, мощности, энергии; • законы сохранения импульса и энергии и их применение; • закономерности кинематики вращательного движения: угловая скорость, угловое ускорение; • момент силы, момент инерции, основной закон динамики вращательного движения. Перечень основной литературы, необходимой при изучении раздела: 1. Трофимова Т.И. «Курс физики», учебное пособие, 2008 г. 2. Трофимова Т.И. 500 основных законов и формул. Справочник, 2003 г. Дополнительная литература: 1. Дмитриева Е.И., Иевлева JI.Д., Костюченко JI.C. физика в примерах и задачах, учебное пособие - М: Форум, ИНФРА, 2008 г. 2. Иевлева А.Д. Физика. Учебное пособие, 2-е издание исправленное - Лань, СПб. 2009 г. С данным разделом связаны: Раздел: 2 Физика колебаний и волн. Раздел: 3 Статистическая физика и термодинамика. Раздел: 4 Электричество и магнетизм. Учебные вопросы 1. Кинематика и динамика поступательного движения. 2. Законы сохранения. 3. Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. 1. Кинематика и динамика поступательного движения. Кинематика Простейшим видом движения в природе является механическое движение - изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей. Раздел физики, занимающийся изучением закономерностей механического движения, называется механикой. В более узком смысле слова под механикой понимают классическую механику, в которой рассматриваются движения макроскопических тел, совершающиеся со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме. В основе классической механики лежат законы Ньютона. Классическая механика состоит из трех основных разделов - кинематики - изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливают; динамика - изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение; статика - изучает законы равновесия системы тел. Всякое движение можно представить в виде суперпозиции двух основных видов движения: поступательное и вращательное движение. Поступательное движение твердого тела - движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Вращательное движение - движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач используются разные физические модели: материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого, в данной задаче можно пренебречь. Абсолютно твердое тело - тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным. Положение тела в пространстве можно определить только по отношению к другим телам. Абсолютно твердое тело, с которым жестко связана система координат, снабженная часами и используемая для определения положения в пространстве исследуемых тел и частиц в различные моменты времени, называется системой отсчета. Рис. 1 Положение произвольной точки М характеризуется радиусом- вектором г, соединяющим начало координат с точкой М. Движение материальной точки полностью определенно, если заданы три непрерывные и однозначные функции времени t х = x(t), у = y(t), и Z = z(t) описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки. Линия, описываемая в пространстве движущейся точкой, называется траекторией этой точки. Механическое движение относительно, т.е. его характер, вид траектории точек зависит от выбора системы отсчета. Длиной пути точки называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматриваемый промежуток времени. Вектором перемещения точки за промежуток времени от t = 11Д0 t = t2 называется вектор, проведенный из положения точки в момент t± в её положение в момент t2 r2-r1= r(t2) - r(ti) Скорость Для характеристики быстроты движения тел в механике вводится понятие скорости. Скоростью (или мгновенной скоростью) точки называется векторная величина v равная первой производной по времени от радиус-вектора г* рассматриваемой точки: dr* v = —; [v] = м/с Движение точки называется равномерным, если модуль её скорости не изменяется с течением времени: ds v = — = const dt Если модуль скорости точки увеличивается с течением времени — > О, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением dv времени — < 0, то движение называется замедленным. Ускорение Для характеристики быстроты изменения вектора скорости точки вводится понятие ускорения. Ускорением (или мгновенным ускорением) точки называется векторная величина а, равная первой производной по времени от скорости v рассматриваемой точки, или второй производной по времени от радиус-вектора г* этой точки: Разложим вектор Av на две составляющие. Для этого из т. А по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный щ. Вектор CD, равный Ащ, определяли изменение скорости за время At по модулю Ащ = щ —V Рис. 3 Тангенциальная составляющая ускорения: dv ат = — определяет быстроту изменения скорости по модулю. dt Нормальная составляющая ускорения V2 ап = направлена по нормали к траектории, г к центру ее кривизны. Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих. dv > „ “77 ап dt Динамика. В основе динамики лежат три закона Ньютона. Первый закон Ньютона Всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставили её изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Законы Ньютона выполняется не во всякой системе. Системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета. Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы). Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерциальные и гравитационные свойства. Масса измеряется в килограммах (кг). Чтобы описать воздействие, упоминаемые в I законе Ньютона, вводим понятие силы. Сила-это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате, которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. _> кг ■ м F = [Н] = —г~. cz Второй закон Ньютона. -основной закон динамики поступательного движения, отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки под действием приложенных к ней сил. а = второй закон Ньютона т Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально равнодействующей всех сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки dt^ ' р = mv — импульс материальной точки. -> dp F = — скорость изменения импульса материальной точки равна dt равнодействующей всех сил, действующих на точку(тело). Третий закон Ньютона. Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: F12 — ~F 21 Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы. 2.3аконы сохранения Закон сохранения импульса. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой. Рассмотрим механическую систему, состоящую из п тел, масса и скорость которых соответственно равны mi m2, ..., т„и V/, v„. Так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то d _* _* -* -* -* • (miu-L + m2v2 + —rrinVn) = F1 + F2 + — + Fn dt mu dp dt где p = Ef=i m0h— импульс системы. В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему): dp v1 d Последнее выражение и является законом сохранения импульса: им­пульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса — фундаментальный закон природы. Энергия. Работа. Для количественной оценки процесса обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения (Fs = Fcosa), умноженной на перемещение точки приложенной силы: А = Fs ■ S = F ■ S ■ cosa Единица измерения работы - джоуль (Дж): Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: N =——= F ■ v dt т.е. равна скалярному произведению силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы. Единица мощности - ватт (Вт). Кинетическая и потенциальная энергии. Кинетическая энергия механической системы - энергия механического движения этой системы и зависит только от масс и скоростей тел, входящих в систему: где — скорость тела массой тj. Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них - консервативным(поля упругих сил, гравитационных сил). Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной, её примером является сила трения. Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна: П = mgh, потенциальная энергия упруго сжатой пружины: кх2 где к — коэффициент упругости; х —отклонение от положения равновесия. Полная механическая энергия системы - энергия механического движения и взаимодействия: Е = Т + П Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения энергии - результат обобщения многочисленных опытных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову (1711- 1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения дана немецким врачом Ю. Майером (1814-1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821-1894). Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется, т.е. не изменяется со временем. З.Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. Кинематика вращательного движения Твердое тело является системой, состоящей из материальных точек, расстояние между которыми постоянно. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела представляют собой окружности, центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Вращательное движение характеризуется угловым перемещением (углом поворота) -(р, угловой скоростью й), угловым ускорением £. со ж of R v Материальная точка А вращается относительно неподвижной оси О (рис 5). За время At она переместилась по окружности радиуса R по дуге А(р, угол которой равен Аср и называется угловым перемещением. Угловой скоростью вращения называется величина, численно равная изменению угла поворота за единицу времени. А(р d(p со = lim — = ——. дс->о At dt Единица измерения угловой скорости рад/с или 1/с. Угловая скорость есть величина векторная; направление вектора й) определяется следующим образом: вектор ш направлен оси вращения 0015 в сторону, определяемую правилом правого винта. Из рисунка видно, что AS = R ■ А(р. Разделив это равенство на At, получим AS Aw — _ At At или v = Ron Если вращение неравномерно, то можно определить быстроту изменения угловой скорости £: Ай) do) d (А(о\ d2(p s = lim = — > s At->o At dt dt\At) dt2 ' Величина углового ускорения £ есть вектор. При ускоренном вращении £ совпадает с при замедленном направлении в сторону, противоположную й). Единица измерения углового ускорения рад/с2. Динамика движения твердого тела. Момент инерции. При изучении вращения твердых тел пользуются понятием момента инерции. Момент инерции тела - мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: J = Y^=imiri- Таблица 1. Тело Полсжение оси иращеним Момент итарцип НолМИ тиикостснный цилиндр радиусом R Ось симметрии СЧ | -н Щ —-—j J = mR2 Сплошной ЦИЛИНДР или диск радиусом Л Ось семметр ии J = ±mR~ "П Прямой тонкий стержень длиной 1 Ось перпендикулярна J — —тР 12 стержню н проводит череп е.о середину 1 I [ рямой м инки й стержень длиной г Ось игрпеп цлкуля рна j = 3 стержню и проходит 11 черкгго ХОНСЦ 1 Шар радиусом Я Ось грешди т нерез пеитр шара ->-ф- J) Кинетическая энергия вращающегося тела т =JzG)2 ВР 2 ' где Jz — момент инерции тела относительно оси z. В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: mv2 Jo)2 Т = Ь 2 2 ' где m — масса катящегося тела; vc— скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ш — угловая скорость тела. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Для характеристики вращательного эффекта силы при действии ее на твердое тело вводят понятие момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси вращения называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиуса- вектора г, проведенного из оси вращения в точку приложения силы, на силу F (рис. 6): М = [rF], где М— псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к b. Модуль момента силы М = Frsina = FI где а — угол между г и F; г sin а = I - кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения — плечо силы. Угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела. Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. При сравнении законов вращательного и поступательного движения просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, а роль массы «выполняет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент инерции импульса тела относительно оси: Lz Jz ^^ В замкнутой системе момент внешних сил М = 0 и — = 0, откуда L = const. Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол). сохраняется, и угловая скорость вращения й)2 возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения. Закон сохранения импульса. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой. Рассмотрим механическую систему, состоящую из п тел, масса и скорость которых соответственно равны mi m2, ..., т„и V/, v„. Так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то d _ _ — — — • (т^ + m2v2 + ••• mnun) = Fx + F2 + ••• + Fn или dp _ _ _ ~dt ~ Fl + Fl+ + Fn где p = Ef=i m0h— импульс системы. В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему): dp d ар а M=LTt(m‘Vi') = 0'm-e- i=1 n p = ^ WfljVl = const. i=1 Последнее выражение и является законом сохранения импульса: им­пульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса — фундаментальный закон природы. Энергия. Работа. Для количественной оценки процесса обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения (Fs = Fcosa), умноженной на перемещение точки приложенной силы: А = Fs ■ S = F ■ S ■ cosa Единица измерения работы - джоуль (Дж): Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: dA N = — dt Fdr N =——= F ■ v dt т.е. равна скалярному произведению силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы. Единица мощности - ватт (Вт). Кинетическая и потенциальная энергии. Кинетическая энергия механической системы - энергия механического движения этой системы и зависит только от масс и скоростей тел, входящих в систему: Т ■ 2 1 = 1 где Vi — скорость тела массой mj. Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них - консервативным(поля упругих сил, гравитационных сил). Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной, её примером является сила трения. Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна: П = mgh, потенциальная энергия упруго сжатой пружины: кх2 п=— где к — коэффициент упругости; х —отклонение от положения равновесия. Полная механическая энергия системы - энергия механического движения и взаимодействия: Е = Т + П Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения энергии - результат обобщения многочисленных опытных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову (1711- 1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения дана немецким врачом Ю. Майером (1814-1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821-1894). Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Контрольные вопросы 1. Размерность скорости в системе СИ равна: а) м ■ с-1; б) м ■ с-2; в) кг ■ м ■ с-1 2. Точка движется по закону х = 2 — 31 + t2. Координата и скорость точки в момент времени t=2c равны: а) 0 м и 1 м/с; б) 2 м и 3 м/с; в) 2 м и 1 м/с. 3. Если координата тела массы т=1кг, движущегося прямолинейно вдоль оси X, меняется со временем по закону х = 7 + St(2 + t)M, то модуль силы, действующей на тело, равен: а) ОН; б) 10 Н; в) 4 Н. 4. Какую мощность развивает двигатель автомобиля при силе тяги 1000Н, если автомобиль движется равномерно со скоростью 20 м/с? а) 10 кВт б) 20 кВт в) 40 кВт г) 30 кВт 5. Какова потенциальная энергия упругой деформации пружины жесткостью 1000 Н/м, если она растянута на 4 см? а) 0,8 Дж б) 8 Дж в) 80 Дж г) 800 Дж 6. Чему равен импульс футбольного мяча массой 400 г, летящего со скоростью 60 м/с? а) 24 кгм б) 2,4 с кг*м в) 240 г) 12 — с 7. Если вектор силы направлен под углом а к вектору скорости тела, то работа силы равна: а) FSsina б) FScosa в) FS 8. Человек сидит на вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках длинный шест. Если он с помощью шеста выпрыгнет с карусели, то частота вращения... а) уменьшится; б) увеличится; в) не изменится. 9. К стержню приложены 3 одинаковые по модулю силы, как показано на рисунке. Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через т. О. Вектор углового ускорения направлен... —* J а) влево; б) вдоль оси вращения О «от нас»; в) вправо. 10. Как изменится момент инерции материальной точки, если расстояние от оси вращения увеличить в два раза? а) увеличится в два раза; б) увеличится в четыре раза; в) уменьшится в два раза; г) уменьшится в четыре раза.