Основные понятия и положения теории устойчивости и критической нагрузки

Лекция 8 Тема № 4 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ» 7.1. Основные понятия Способность конструкции или её элементов сохранять под воздействием заданной нагрузки первоначальную форму упругого равновесия называется устойчивостью. Обычно потеря устойчивости сопровождается большими перемещениями и разрушением конструкции. Задача устойчивости сжатого стержня (рис. 7.1, а) является центральной задачей раздела расчетов на устойчивость. Опыт показывает, что стержень может иметь две формы упругого равновесия оси. При малых значениях силы F стержень сжимается, оставаясь прямолинейным. Если его вывести из состояния равновесия, например, дать малой боковое воздействие, то он начнёт колебаться относительно вертикального положения и после затухания колебаний примет первоначальную вертикальную форму. Такую форму равновесия называют устойчивой. Если увеличивать сжимающую силу, то при некотором её значении отклонённый от вертикального положения стержень не возвратится к своему первоначальному положению, он изогнётся и займет новую форму равновесия – криволинейную (рис. 7.1, б). Рис. 7.1 Наименьшее значение сжимающей силы, при котором стержень теряет способность сохранять первоначальную форму равновесия, называют критической силой и обозначают 𝐹𝐹кр . Явление потери устойчивости возможно не только в случае сжатия длинных стержней, но и в других случаях конструкций и нагружений. Так, например, при обжатии кольца или тонкостенной оболочки (рис. 7.2, а). При критической нагрузке круговая форма сечения переходит в эллиптическую (рис. 7,2, б). Консоль вытянутого прямоугольного сечения (рис. 7.3, а), работающая на прямой (плоский) изгиб в плоскости наибольшей жесткости, при критической нагрузке закручивается (рис. 7.3, б). Рис. 7.2 Рис. 7.3 Все задачи расчёта на устойчивость характерны тем,что при достижении критической нагрузки происходит резкое качественное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому в практических расчетах критическая нагрузка должна рассматриваться как предельная, а действительная, естественно, должна быть меньше критической. Отношение критической силы к действующей называют коэффициентом запаса устойчивости и обозначают - 𝑛𝑛у . Тогда условие устойчивости запишется так: 𝑛𝑛у = 𝐹𝐹кр 𝐹𝐹 ≥ �𝑛𝑛у �, (7.1) где �𝑛𝑛у � − допускаемое значение коэффициента устойчивости. 7.2. Основные положения теории устойчивости сжатого стержня. Формула Эйлера для критической силы Рассмотрим прямолинейный стержень, шарнирно закрепленный на концах и нагруженный центрально приложенной сжимающей силой (рис. 7.4). Пусть сила F достигла критического значения. В этом случае она способна удерживать стержень в слегка искривленном состоянии. Тогда можно воспользоваться дифференциальным уравнением изгиба упругой линии балки (стержня): 𝑑𝑑2 𝑣𝑣 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 = −𝑀𝑀𝑥𝑥 , 𝑑𝑑𝑧𝑧 (7.2) где 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − изгибная жесткость поперечного сечения стержня в плоскости наименьшей жесткости; 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑧𝑧) − функция прогибов; 𝑧𝑧 − координата по длине стержня; 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑀𝑀𝑥𝑥 (𝑧𝑧) − функция изменения изгибающего момента по длине стержня. Отметим, что знак минус в уравнении (7.2) объясняется тем, что в принятой системе координат положительному значению 𝑀𝑀𝑥𝑥 соответствует отрицательная кривизна, пропорциональная второй производной функции прогибов. Рис. 7.4 Рис. 7.5 Изгибающий момент в текущем поперечном сечении стержня с координатой 𝑧𝑧 (см. рис. 7.4) 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑀𝑀𝑥𝑥 (𝑧𝑧) = 𝐹𝐹 ∙ 𝑣𝑣 (𝑧𝑧). (7.3) Подставив (7.3) в (7.2), получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции прогибов 𝑣𝑣(𝑧𝑧): где 𝑘𝑘 2 = 𝑣𝑣 " + 𝑘𝑘 2 𝑣𝑣 = 0, 𝐹𝐹 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (7.4) − константа. Запишем для уравнения (7.4) характеристический многочлен корнями которого будут 𝑝𝑝2 + 𝑘𝑘 2 = 0, 𝑝𝑝1,2 = ±𝑖𝑖𝑖𝑖, где 𝑖𝑖 = √−1. Тогда общее решение уравнения (7.4) имеет вид 𝑣𝑣 = 𝐶𝐶1 cos 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐶𝐶2 sin 𝑘𝑘𝑘𝑘, где 𝐶𝐶1 и 𝐶𝐶2 − константы интегрирования, определяемые из граничных условий закрепления стержня. Граничное условие при 𝑧𝑧 = 0: 𝑣𝑣 (0) = 0. Подстановка даёт 0 = С1 ∙ 1 + + С2 ∙ 0, откуда С1 = 0. Граничное условие при 𝑧𝑧 = 𝑙𝑙: 𝑣𝑣 (𝑙𝑙 ) = 0. Подстановка этого условия дает 0 = 0 ∙ cos 𝑘𝑘𝑘𝑘 + + С2 ∙ sin 𝑘𝑘𝑘𝑘. Последнее равенство С2 ∙ sin 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0 выполняется, если С2 = 0 или sin 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0. Условие С2 = 0 не подходит по смыслу задачи, т. к. при его выполнении стержень не искривляется, а это противоречит условию постановки задачи. Второе условие sin 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0 выполняется, если 𝑘𝑘 ∙ 𝑙𝑙 = 𝑛𝑛 ∙ 𝜋𝜋, где 𝑛𝑛 − число натурального ряда, т. е. 1, 2, 3, …, ∞. Тогда каждому 𝑛𝑛 будет соответствовать своя критическая сила: 𝐹𝐹кр1 = 𝜋𝜋2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 ; 𝐹𝐹кр2 = (2𝜋𝜋)2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 ; 𝐹𝐹кр3 = (3𝜋𝜋)2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 ; … 𝐹𝐹кр𝑛𝑛 = (𝑛𝑛𝜋𝜋)2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙 2 . На рис. 7.5 показаны первые три равновесные формы, полученные при 𝑛𝑛 = 1, 2, 3. Практически реализуется первая форма с наименьшим значением критической силы. Это значение и принимается за критическое, которое называют эйлеровой силой, а формулу, определяющую её значение – формулой Эйлера: 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 . 𝐹𝐹кр = 𝑙𝑙 2 (7.5) Формула (7.5) выведена для случая шарнирного закрепления концов стержня (см. рис. 7.4). Однако её можно распространить и на другие варианты закрепления концов стержня. Для этого вводят коэффициент 𝜇𝜇, который принято называть коэффициентом приведения длины. Тогда формула для определения критической силы при любом закреплении концов стержня запишется так: 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐹𝐹кр = . (𝜇𝜇𝜇𝜇)2 (7.6) Произведение 𝜇𝜇𝜇𝜇 называют приведенной длиной стержня. Значения коэффициента 𝜇𝜇 для характерных случаев закрепления стержня приведены на рис. 7. 6. Рис. 7.6 В практике возможно следующее толкование значения 𝜇𝜇. Оно показывает, на сколько нужно умножить действительную длину стержня, чтобы получить длину равноустойчивого шарнирно закрепленного стержня. Поскольку шарнирно закрепленный стержень теряет устойчивость по одной полуволне синусоиды, можно также говорить, что 𝜇𝜇 показывает, на сколько надо умножить действительную длину стержня, чтобы получить длину полуволны синусоиды в форме потери устойчивости. Расчеты на устойчивость можно вести в напряжениях. В этом случае вводят понятие критического напряжения, определяемого по формуле растяжения-сжатия 𝜎𝜎кр 𝜇𝜇𝜇𝜇 где 𝜆𝜆 = 𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 стержня. 𝐴𝐴 𝐼𝐼 𝐹𝐹кр 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸𝐽𝐽𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸 = = = 2 , 𝜆𝜆 𝐴𝐴 𝐴𝐴(𝜇𝜇𝜇𝜇)2 (7.8) – гибкость стержня, безразмерная величина; 𝑖𝑖𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − минимальный радиус инерции поперечного сечения Важно отметить, что формулы Л. Эйлера (7.5) - (7.8) справедливы только для области упругих деформаций. 7.3. Три типа стержней в зависимости от гибкости. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности В зависимости от величины гибкости стержни подразделяют на три типа (рис . 7.7): большой гибкости �𝜆𝜆 ≥ 𝜆𝜆пред �, средней гибкости �𝜆𝜆0 ≤ 𝜆𝜆 ≤ 𝜆𝜆пред � и малой гибкости (𝜆𝜆 < 𝜆𝜆0 ). В приведенных соотношениях: 𝜆𝜆пред = � Е 𝜎𝜎пцс − предельная гибкость; 𝜎𝜎пцс −предел пропорциональности при сжатии; 𝜆𝜆0 − гибкость, до которой стержень разрушается при сжатии без признаков потери устойчивости. Значения 𝜆𝜆пред и 𝜆𝜆0 для некоторых материалов приведены в табл. 7.1. Рис. 7.7 Критические напряжения определяются по следующим зависимостям: - для стержней большой гибкости по формуле Л. Эйлера 𝜎𝜎кр 𝜋𝜋 2 𝐸𝐸 = 2 ; 𝜆𝜆 (7.9) - для стержней средней гибкости по эмпирической формуле Ф.С. Ясинского 𝜎𝜎кр = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝜆𝜆2 , (7.10) где 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 − экспериментально определяемые коэффициенты, имеющие размерность напряжения (табл. 7.1); - для стержней малой гибкости 𝜎𝜎кр = 𝜎𝜎тс (если материал пластичный), 𝜎𝜎кр = 𝜎𝜎вс (если материал хрупкий); где 𝜎𝜎тс − предел текучести на сжатие; 𝜎𝜎вс − предел прочности на сжатие. Таблица 7.1 7.4. Практический метод расчета на устойчивость с использованием коэффициента 𝝋𝝋 – снижения основного допускаемого напряжения на сжатие Для обеспечения надежной работы сжатых стержней напряжения в поперечном сечении нагруженного стержня должно быть меньше 𝜎𝜎кр . С этой целью вводится коэффициент запаса на устойчивость 𝑛𝑛у , значения которого всегда несколько больше значения коэффициента запаса прочности на простое сжатие и зависит от назначения рассчитываемого стержня и его материала. Так, для ответственных стальных стоек допускаемый коэффициент запаса устойчивости �𝑛𝑛у � = 3,0 … 5,0, для чугунных стоек �𝑛𝑛у � = 5,0 … 5,5, для деревянных - �𝑛𝑛у � = 3,0 … 3,5. Тогда условие устойчивости примет вид: 𝜎𝜎 = 𝐹𝐹 ≤ �𝜎𝜎у �, 𝐴𝐴 где �𝜎𝜎у � − допускаемое напряжение на устойчивость �𝜎𝜎у � = 𝜎𝜎кр �𝑛𝑛у � , (7.11) (7.12) здесь �𝑛𝑛у � − нормативный коэффициент запаса по устойчивости. При практических расчетах �𝜎𝜎у � выражают через основное допускаемое напряжение на сжатие [𝜎𝜎] для данного материала: �𝜎𝜎у � = 𝜑𝜑[𝜎𝜎], (7.13) где 𝜑𝜑 − коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба, значения которого зависят от материала стержня, его гибкости λ и приводится в справочниках в виде таблиц (табл. 7.2) или графиков (см. рис. 7.7). Допускаемая сила с учетом вышеизложенного определится так: [𝐹𝐹 ] = �𝜎𝜎у �𝐴𝐴 = 𝜑𝜑[𝜎𝜎]𝐴𝐴. Отметим, что 𝐹𝐹𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 и (7.14) [𝐹𝐹 ] эквивалентные обозначения. В зависимости от цели решаемой задачи на устойчивость различают три вида расчетов: проверочный расчет, определение допускаемой нагрузки и проектный расчет по подбору размеров поперечного сечения стержня. При этом каждый из вышеперечисленных видов расчетов может быть осуществлен в двух вариантах: - исходя из условия, что действующее напряжение в поперечном сечении стержня 𝜎𝜎 ≤ Ясинского; 𝜎𝜎кр �𝑛𝑛у � с определением 𝜎𝜎кр по формуле Л. Эйлера или Ф.С. - на основе условия 𝜎𝜎 ≤ 𝜑𝜑[𝜎𝜎], т. е. с помощью коэффициента 𝜑𝜑. Таблица 7.2 Значения коэффициента 𝜑𝜑 для стержней из материалов