Основные понятия и положения аналитической динамики

Лекция 2 Тема № 1 «ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ» 1.1. ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ Основные понятия Механическая система – совокупность материальных точек (тел), положение и движение каждой из которых зависит от положения и движения всех остальных. Связь – условие, налагающее ограничение на перемещение точек системы. Связь, налагающая ограничение только на положение точек системы в пространстве, называется геометрической. Связь, налагающая ограничение на скорости точек системы, называется дифференциальной. Механическая система, имеющая только геометрические связи, называется голономной. Если имеются связи кинематические, то система неголономной (пример, движение колеса по поверхности). называется При динамических расчетах механические системы подразделяют на группы в зависимости от степени свободы. Степенью свободы называется количество независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение масс системы в пространстве в любой момент времени. Реальные деформируемые конструкции имеют непрерывно распределенную массу и, следовательно, обладают бесконечным числом степеней свободы. Расчет подобных систем относительно сложный, поэтому в зависимости от поставленных задач можно и даже нужно ограничивать число учитываемых в расчетах степеней свободы, схематизируя реальную механическую систему расчетными схемами с несколькими или даже одной степенью свободы. Например, на рис. 1.1, а показана балка с одной сосредоточенной массой, которая может перемещаться только в вертикальном направлении (система с одной степенью свободы). За обобщенную координату, которую будем обозначать q, может быть выбрано вертикальное перемещение массы m от положения статического равновесия. На рис.1.1, б показана рама с одной сосредоточенной массой m, которая может перемещаться как в вертикальном (координата 𝑞𝑞1 ), так и в горизонтальном (координата 𝑞𝑞2 ) направлениях (система с двумя степенями свободы. На рис.1.1, в также показана система с двумя степенями свободы. Отсюда следует, что число степеней свободы не всегда совпадает с количеством масс. На рис.1.1, г показана система с бесконечным числом степеней свободы, т. к. эту систему можно представить как балку, на которой прикреплено бесконечно большое число масс. Рис. 1.1 1.2. Обобщенные координаты и обобщенные силы Движение механической системы, состоящей из конечного числа N связанных между собой материальных точек, может быть описано либо в виде уравнений движения для каждой точки 𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 = 𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 (𝑡𝑡), k=1,2,…,N), (1.1) либо в виде уравнений для обобщенных координат 𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑡𝑡), (j=1,2,…,n), где 𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 – радиус-вектор k-ой точки; 𝑞𝑞𝑗𝑗 – j-ая обобщенная координата; t – время; (1.2) n – число обобщенных координат или степень свободы системы. Связь между координатами 𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 и 𝑞𝑞𝑗𝑗 определяется из геометрических соотношений и может быть представлена в виде (1.3) 𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 = 𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 (𝑞𝑞1 , 𝑞𝑞1 , … , 𝑞𝑞𝑛𝑛 ). Бесконечно малые возможные перемещения, допускаемые связями, обозначаются как 𝛿𝛿𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 и 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 . В соответствии с (1.3) имеем 𝛿𝛿𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝜕𝜕𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 (1.4) 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 . Работа внешних сил на бесконечно малых возможных перемещениях с учетом (1.4) можно представить в виде где ⃗ ⃗𝑘𝑘 = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝑄𝑄𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝛿𝛿𝐴𝐴 = ∑𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 𝐹𝐹𝑘𝑘 𝛿𝛿𝑟𝑟 𝑄𝑄𝑗𝑗 = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐹𝐹⃗𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑟𝑟⃗𝑘𝑘 = ∑𝑁𝑁 𝑘𝑘=1(𝐹𝐹𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 - обобщенная сила. 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 + 𝐹𝐹𝑘𝑘𝑘𝑘 (1.5) 𝜕𝜕𝑦𝑦𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 + 𝐹𝐹𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑧𝑧𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 ) (1.6) Из (1.5) следует, что наряду с (1.6) обобщенная сила также определяется как 𝑄𝑄𝑗𝑗 = 𝛿𝛿𝛿𝛿 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑗𝑗 . Если силы являются консервативными, то их можно представить в виде: 𝐹𝐹𝑘𝑘𝑘𝑘 = − 𝐹𝐹𝑘𝑘𝑘𝑘 = − 𝐹𝐹𝑘𝑘𝑘𝑘 = − 𝜕𝜕П 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑘𝑘 𝜕𝜕П ; 𝜕𝜕𝑦𝑦𝑘𝑘 𝜕𝜕П 𝜕𝜕𝑧𝑧𝑘𝑘 ; (1.8) , где П – потенциальная энергия системы. Для таких систем 𝑄𝑄𝑗𝑗 = 𝜕𝜕П 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 . 1.3. Принципы аналитической механики Принцип Даламбера. Уравнения движения системы могут быть записаны в форме уравнений статики, если ввести в рассмотрение силы инерции ��⃗, 𝐹𝐹⃗ (и) = −𝑚𝑚𝑤𝑤 где m – масса тела, 𝑤𝑤 ��⃗– ускорение тела. 𝐹𝐹⃗ + 𝑅𝑅�⃗ + 𝐹𝐹⃗ (и) = 0, (1.10) где 𝐹𝐹⃗ – внешняя сила; 𝑅𝑅�⃗ – реакция связей. Принцип Даламбера-Лагранжа. Работа всех действующих на систему сил на возможном перемещении 𝛿𝛿𝑟𝑟⃗ равна нулю ����⃗ = 0. �𝐹𝐹⃗ + 𝑅𝑅�⃗ + 𝐹𝐹⃗ (и) �𝛿𝛿𝑟𝑟 (1.11) 𝑅𝑅�⃗ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃗ = 0. (1.12) ⃗ ⃗ (и) ⃗𝑘𝑘 = 0. 𝛿𝛿𝐴𝐴 = ∑𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 �𝐹𝐹𝑘𝑘 + 𝐹𝐹𝑘𝑘 � 𝛿𝛿𝑟𝑟 (1.13) 𝛿𝛿𝑆𝑆 = 0, (1.14) Для системы с идеальными связями Система с идеальными связями находится в динамическом равновесии, если имеет место равенство Принцип Гамильтона. Истинное движение системы под действием консервативных сил происходит так, что на любых фиксированных вариациях, обращающихся в нуль на концах отрезка пути (𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 ), вариация от интеграла действия S равна нулю 𝑡𝑡 где 𝑆𝑆 = ∫𝑡𝑡 2(Т − П)𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 1 Т, П – кинетическая и потенциальная энергия системы. Уравнения Лагранжа 2 рода: 𝑑𝑑 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑗𝑗 �− 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 + 𝜕𝜕Ф 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑗𝑗 + 𝜕𝜕П 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 = 𝑄𝑄𝑗𝑗 , j = 1, 2, …, n. (1.15) где 𝑞𝑞𝑗𝑗 , 𝑞𝑞̇ 𝑗𝑗 – обобщенная координата и обобщенная скорость; Т, П − кинетическая и потенциальная энергии системы; Ф – диссипативная функция Релея; ј – номер координаты; n – число степеней свободы системы. 1.4. Устойчивость положения равновесия системы Колебания механической системы происходят относительно ее положения устойчивого равновесия. В соответствии с теоремой ЛагранжаДирихле консервативная система находится в положении устойчивого равновесия при минимуме потенциальной энергии. Поэтому первая задача, возникающая при анализе колебаний, состоит в определении этого положения. Классическим иллюстративным примером возможных положений равновесия систем являются равновесные состояния шарика на гладкой поверхности (рис. 1.2). Рис. 1.2 В положении равновесия сила тяжести 𝐺𝐺⃗ и нормальная реакция 𝑅𝑅�⃗ , приложенные к шарику, образуют уравновешенную систему сил. Отклоним слегка шарик от положения равновесия и предоставим его самому себе. В случае шарика, помещенного на дно вогнутой поверхности (рис.1.2, а), сила �⃗ создадут равнодействующую силу 𝐹𝐹⃗ , которая стремится 𝐺𝐺⃗ и реакция 𝑁𝑁 вернуть шарик в исходные положения, поэтому это исходное положение равновесия шарика является устойчивым. Равновесие шарика на горизонтальной поверхности (рис. 1.2, б) называется безразличным. Положение равновесия шарика на выпуклой поверхности (рис. 1.2, в) называется неустойчивым. Для систем с одной степенью свободы критерием устойчивости служит минимум потенциальной энергии (теорема Дирихле-Лагранжа): 𝑑𝑑П 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 П = 0; 𝑑𝑑𝑞𝑞2 (1.16) > 0. Для системы, имеющей n степеней свободы, в окрестности устойчивого равновесия потенциальная энергия является положительно определенной квадратичной формой. В соответствии с критерием Сильвестра для этого необходимо, чтобы все главные миноры определителя матрицы квазиупругих коэффициентов C=�𝑐𝑐𝑗𝑗,𝑘𝑘 � 𝑗𝑗,𝑘𝑘=1𝑛𝑛 были положительны: ∆1 = с11 1.5. с11 > 0; ∆2 = �с 21 с11 с12 𝑐𝑐21 � > 0; …, ∆ = � … 𝑛𝑛 с22 𝑐𝑐𝑛𝑛1 с12 𝑐𝑐22 … 𝑐𝑐𝑛𝑛2 … с1𝑛𝑛 … 𝑐𝑐2𝑛𝑛 � > 0. … … … 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 (1.17) Математическое представление внешних воздействий Внешние воздействия: силы, моменты, перемещения (кинематические воздействия) обозначим через F(t) и рассмотрим наиболее характерные случаи их математического представления с помощью аппарата обобщенных функций. Импульсное единичное воздействие в представляется в виде дельта-функции Дирака 𝐹𝐹 (𝑡𝑡) = 𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) = � момент 0, 𝑡𝑡 ≠ 𝜏𝜏; +∞ ∫ 𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1. ∞, 𝑡𝑡 = 𝜏𝜏; −∞ времени 𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 (1.18) Произвольное воздействие на интервале времени (0,t) представляется в виде интеграла Дирака 𝑡𝑡 𝐹𝐹 (𝑡𝑡) = ∫0 𝐹𝐹 (𝜏𝜏)𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑 (1.19) Гармоническое воздействие с единичной амплитудой и частотой 𝜔𝜔 представляется в комплексной форме как 𝐹𝐹 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑖𝑖 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔. Произвольное воздействие, заданное на времени, представляется в виде интеграла Фурье (1.20) бесконечном интервале ∞ 𝐹𝐹 (𝑡𝑡) = ∫−∞ Ф(𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, где комплексный амплитудный спектр Ф(𝜔𝜔) (трансформанта Фурье) определяется как Ф(𝜔𝜔) = 1.6. 1 +∞ ∫ 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2𝜋𝜋 −∞ Составление уравнений движения При составлении уравнений движения механических систем могут быть использованы описанные выше принципы аналитической механики (Даламбера, Даламбера-Лагранжа, Остроградского-Гамильтона) в сочетании с методами сопротивления материалов и строительной механики. В случае многомассовых систем с сосредоточенными жесткостями (пружинами) целесообразно использовать уравнения Лагранжа 2 рода (1.15). Для систем с упругими безмассовыми стержнями, валами и балками рекомендуется использовать канонические уравнения метода сил или метода перемещений. 1.7. Классификация колебательных систем Колебательные системы подразделяются на автономные, неавтономные, консервативные, неконсервативные, линейные, нелинейные, стационарные, нестационарные и ряд других. Система называется автономной, если колебания в ней происходят либо за счет внутренних источников энергии, либо энергии, сообщенной ей в виде начальных возмущений. В последнем случае колебания в системе называется свободными. Система называется консервативной, если при колебаниях ее полная механическая энергия остается постоянной, т. е. отсутствует энергообмен с окружающей средой и нет диссипативных потерь. На консервативную систему действуют только потенциальные силы. Остальные системы называются неконсервативными. Система называется линейной, если дифференциальные уравнения, описывающие ее движение, являются линейными. В противном случае колебательная система нелинейна. Система называется стационарной, если ее параметры (массы, жесткости элементов, характеристики демпфирования) со временем не изменяются. Для нестационарных систем коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от времени. Система называется параметрической, если ее колебания обусловлены периодическими изменениями во времени параметров системы. Автоколебательными называются системы, в которых колебания возникают и поддерживаются от источника энергии неколебательной природы.