Основные понятия и аксиомы статики

Лекция 1 Основные понятия и аксиомы СТАТИКи 1.1. Введение в теоретическую механику Теоретическая механика изучает общие законы движения материальных объектов в их простейшей форме - механическое движение, представляющее собой изменение в пространстве и во времени их положения относительно друг друга. Кроме того, теоретическая механика занимается исследованием механического взаимодействия между материальными объектами в процессе их движения. Теоретическая механика, как и всякая другая естественная наука, исходной точкой познания имеет наблюдения и опыт. Наблюдая то или иное явление природы, мы, прежде всего, замечаем те условия, которые его вызывали, и, ставя, соответствующий опыт, убеждаемся в том, что эти условия являются необходимыми для его возникновения. Однако, наблюдая данное явление, мы не в состоянии сразу схватить его во всем многообразии. Поэтому, изучая его, приходиться выделять наиболее существенные его черты, отвлекаясь, в первом приближении, от менее существенных. В результате мы получаем некоторые упрощенные схемы или, так называемые, абстрактные модели, которые затем изучаем вместо реальных физических объектов. Приведем некоторые примеры. Всякое твердое тело при действии на него сил изменяют свою форму и размеры (деформируется). Некоторые тела получают большие деформации даже при действии сравнительно малых сил. Такими телами являются, например, резиновая нить, тонкая деревянная или стальная пластина и пр. Однако существуют и такие тела, которые, даже при действии больших сил, деформируются весьма незначительно. Примером таких тел могут служить стальная или железобетонная балка, стальные канаты или цепи, стальные валы и пр. Деформация таких тел в большинстве случаев можно пренебречь. Отвлекаясь от свойства таких тел деформироваться под действием приложенных к ним сил, мы приходим к их абстрактной модели, называемой абсолютно твердым телом. Таким образом, абсолютно твердыми телами называются такие тела, которые деформируются под действием приложенных к ним сил, как бы ни были велики эти силы. Понятно, что таких тел в природе не существует, однако в теоретической механике мы, как правило, все тела будем считать абсолютно твердыми телами. Если же нам придется встречаться с телами, деформациями которых пренебречь нельзя, то такие тела мы будем называть твердыми телами. Иногда второстепенными свойствами тел являются их геометрические размеры. Например, размеры тел становятся несущественными, если изучается их поступательное движение при отсутствии сопротивления. В таких случаях, пренебрегая геометрическими размерами тел, мы приходим к их абстрактной модели, называемой материальной точкой. Таким образом, под материальной точкой следует понимать такое твердое тело, размеры которого пренебрежимо малы, а вес представляет конечную величину. Бывают случаи, когда второстепенным свойством твердого тела является его вес. Например, тогда, когда этот вес очень мал по сравнению с прочими силами, приложенными к данному телу. В этом случае весом тела можно пренебречь и, следовательно, мы придем к новой абстрактной модели этого тела, которая получила название невесомого тела. Таким образом, невесомым мы будем называть такое твердое тело, вес которого в условиях данной задачи пренебрежимо мал. Точно также, пренебрегая в случае малости, силами трения на поверхности соприкосновения тел, мы приходим к абстрактной модели такой поверхности, которая называется абсолютно гладкой или идеальной поверхностью. Описанный метод получил название метода абстракции. Изучив отдельные явления, можно приступить к обобщению и установлению общих закономерностей, переходя от частных заключений к общему выводу. Такой метод называется методом индукции. В основе так называемой классической механики лежат законы, сформированные Галилеем и Ньютоном и представляющие собой обобщение результатов многовекового опыта и практической деятельности людей. Из этих законов путем преобразования получаются дальнейшие выводы для различных случаев. Такой метод называется методом дедукции. Методами индукции и дедукции широко пользуется теоретическая механика. Важно заметить, что индукция и дедукция не исключают друг друга, а взаимно дополняют одна другую. Частным случаем относительного движения тел является их относительный покой или относительное равновесие. Поэтому одной из задач теоретической механики является изучение условий относительного равновесия твердых тел или их систем (механических систем) и возникающего при этом взаимодействия между этими телами. Условия равновесия твердых тел и механических систем, правила преобразования систем сил к простейшему виду и взаимодействие между материальными объектами при их равновесии изучаются в первом разделе теоретической механики, называемой статикой. Два других раздела этой науки, называемые кинематикой и динамикой, изучают движение материальных объектов. В первом из них в кинематике, движение изучается лишь с геометрической точки зрения, т.е. независимо от физических причин, его вызывающих. Динамика же изучает движение в связи с физическими причинами, его вызывающими. 1.2.Определения и аксиомы статики 1.2.1. Основные определения и задачи статики Статика зародилась еще в глубокой древности. За начало появления её основ можно принять эпоху создания первых орудий труда и первых искусственных построек. Основоположником её является великий механик Древней Греции Архимед (287-212 до н.э.). В статике, как и во всей теоретической механике в целом, все тела, как правило, считаются абсолютно твердыми. При изучении равновесия тела иногда его заменяют материальной точкой, в которой предполагается сосредоточенным вес данного тела и к которой приложены все действующие на него силы. Всякое твердое тело испытывает механическое действие со стороны других, окружающих его тел. Мера механического взаимодействия между материальными объектами называется силой. Например, искусственный спутник Земли, совершая движение по своей орбите вокруг нашей планеты, испытывает механическое действие со стороны последней, представляющей силу земного притяжения. Груз, подвешенный к тросу подъемной машины, оказывает механическое действие на последний, представляющий силу натяжения троса. В дальнейшем в понятии “материальный объект” мы будем объединять как твердое тело, так и материальную точку. Материальный объект, лишенный действия на него окружающих тел, т.е. такой объект, на который не действуют никакие силы, называется изолированным. Все силы, приближенные к материальному объекту, разделяются на внутренние и внешние. Внутренними силами называются сила взаимодействия между частями данного объекта. К внешним силам относятся силы, действующие на данный объект со стороны других объектов. Известно, что сила есть вектор, так как она характеризуется не только своей величиной, но также имеет определенное направление и точку приложения. На рисунках изображается сила в виде прямолинейного отрезка, имеющего стрелку на конце указывающую её направление. Векторы сил в математических формулах будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита со стрелками сверху (например, ), а модули этих векторов - такими же буквами без стрелок. Множество сил, приложенных к материальному объекту, составляет систему сил. Если материальный объект находится в равновесии под действием приложенной к нему системы сил, то говорят, что эта система взаимно уравновешивается. Одна сила, уравновешивающая данную систему сил, называется уравновешенной силой. Две системы сил, каждая из которых может уравновешивать одну и ту же третью системы, называются статистически эквивалентными. Она сила, статистически эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей. В этом случае силы данной системы называются составляющими силами. В статике решаются следующие три основные задачи: 1. Приведение данной системы сил к другой, более простой, статистически эквивалентной ей системе; 2. Нахождение условий равновесия данной системы сил; 3. Определение сил взаимодействия между материальными объектами. 1.2.2. Аксиомы статики В основе статики лежит ряд основных положений, полученных в результате наблюдений, опыта и практической деятельности людей. Их этих положений, называемых аксиомами статики, путем строгих математических доказательств делаются все последующие выводы. Первая аксиома статики, получившая название аксиомы инерции, заключается в следующем: Аксиома 1. Изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно. Согласно этой аксиоме, материальная точка может двигаться равномерно и прямолинейно без приложенной к ней силы (по инерции). Изменить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения материальной точки может только сила. Упомянутые два состояния точки объединяются в общем понятии “равновесие”. Таким образом, изолированная материальная точка находится в равновесии. Аксиома 2. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только тогда, когда они равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.1.). Рис. 1.1. Аксиома 3. Две силы, приложенные к твердому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенные в этой же точке и изображаются диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Рис.1.2. Мы видим, что сложение двух сил, приложенных к твердому телу в одной точке, подчиняется правилу векторного сложения, чем подтверждается высказанное предположение о том, что сила есть вектор. Таким образом, приходим к выводу, что равнодействующая двух сил, приложенных к твердому телу в одной точке, равна их векторной сумме, т.е. =+. (1.1.) Такое правило сложения двух сил, приложенных к твердому телу в одной точке, было впервые открыто нидерландским ученым С. Стевином (1548-1620) и доказано им экспериментально. Строгое геометрическое доказательство этого правила - сделано великим русским ученым академиком Н.Е Жуковым (1847-1921). Аксиома 4. Присоединение или отбрасывание взаимно уравновешивающихся сил не изменяет действия данной системы сил на твердое тело. Например, если =, то системы сил, показанные на рис. 1.3. статически эквивалентны, так как на основании аксиомы 2 силы и взаимно уравновешиваются и, следовательно, в силу аксиомы 4, их можно присоединить или отбросить. Аксиома 5. Если каждая из двух систем статически эквивалентна одной и той же третьей системе, то они статически эквивалентны между собой. Понятно, что если система сил А статически эквивалентна системе С и в , то же время, система В статически эквивалентна системе С, то и системы А и В статически эквивалентны одна другой. Из приведенных аксиом вытекают следующие следствия. Следствие 1. Не изменяя действия силы на твердое тело, можно переносить её точку приложения вдоль линии действия на любую точку тела. В самом деле, три одинаковые по модулю силы,и(рис. 1.4.), направленные вдоль прямой, проходящие через точки А и В, статически эквивалентны, с одной стороны, силе ,так как силы и взаимно уравновешиваются, и с другой стороны, силе и, так как уравновешиваются силы и . Следовательно, статически эквивалентны силы и , т.е. точку А приложения силы можно переносить вдоль её линии в любую точку В твердого тела. Такие векторы, которые по их физическому смыслу можно переносить вдоль прямых, по которым они направлены, называются скользящими векторами. Следовательно, сила есть вектор скользящий. Это свойство вектора силы впервые было доказано французским ученым П. Вариньоном (1654-1722). Следствие 2. Сила (рис. 1.5.) равная по модулю равнодействующей и направленная по одной с ней прямой в противоположную сторону, уравновешивает данную систему сил. В самом деле, поскольку сила уравновешивает равнодействующую , то она уравновешивает и статистически эквивалентную ей систему сил. . (1.2.) Шестая аксиома, называемой аксиомой действия и противодействия заключается в следующем. Аксиома 6. Силы взаимодействия любых двух материальных объектов всегда равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Эта аксиома, сформулированная Ньютоном, означает, что если объект А (рис. 1.6.) действует на объект В и это действие выражается силой , то объект В оказывает объекту А противодействие, выраженное силой , причем =-. Таким образом, всякой силе, приложенной к некоторому материальному объекту, соответствует равная её по модулю и прямо противоположная по направлению сила, приложенная к другому объекту, взаимодействующему с данным. Подчеркнем, что силы действия и противодействия не уравновешивают друг друга, так они приложены к различным объектам. Седьмая аксиома называется аксиомой отвердения. Она заключается в следующем. Аксиома 7. Если нетвердое тело находится в равновесии под действием приложенных к нему сил, то равновесие его нарушается при его отвердении. Из этой аксиомы следует, что если нетвердое тело находится в равновесии под действием приложенных к нему сил, то под действием этой же системы сил будет находится в равновесии и соответствующее абсолютно твердое тело. Рис. 1.7. Например, если нить АВС (рис. 1.7.), закрепленная в точках А и С, находится в равновесии под действием приложенной к ней вертикальной силы , то под действием этой же силы будет находиться в равновесии и абсолютно твердое тело, имеющее такую же форму. Обратное заключение сделать нельзя, т.е. из того, что под действием некоторой системы сил находится в равновесии абсолютно твердое тело, вовсе не следует, что под действием этой же системы сил будет находиться в равновесии и любое нетвердое тело. Например, если к нити, показанной на рис. 1.7. приложить в точке. В силу, направленную по вертикали вверх, то она не будет находиться в равновесии, тогда как соответствующее абсолютное твердое тело и в этом случае будет находиться в равновесии. Из всего сказанного следует, что вместо равновесия реально существующих тел можно рассматривать равновесие соответствующих абсолютно твердых тел, причем условия равновесия последних реальны. Этими аксиомами и следствиями из них мы будем пользоваться при изложении последующих тем статики, в которых рассматриваются различные виды систем сил, приложенных к материальному объекту. Простейшей из таких систем является система сходящихся сил, к изучению которой мы перейдем в следующей лекции. В ней же мы ознакомимся с последней, восьмой аксиомой статики, поскольку материал, необходимый для её изложения еще не полностью рассмотрен. Лекция 2 Система сходящихся сил На предыдущей лекции Вы ознакомились с аксиомами статики и её основными определениями. Теперь можно перейти к изучению простейшей системы сил. Такой системой является система сходящихся сил, т.е. таких сил, линии которых пересекаются в одной точке (рис. 2.1.). Если линии действия всех сил такой системы расположены в одной плоскости, то система называется плоской системой сходящихся сил. В противном случае эта система называется пространственной системой сходящихся сил. 2.1. Приведение системы сходящихся сил к простейшему виду 2.1.1. Геометрический метод сложения сходящихся сил Термин “сложить систему сил” означает - найти её равнодействующую. Задачи о сложении и равновесии сходящихся сил впервые решены Вариньоном. Начнем решение с поставленной задачи со случая сложения двух сходящихся сил. Пусть в точках А и В (рис. 2.2.) к твердому телу приложены две силы и , линии действия которых пересекаются в точке О. Поскольку сила является вектором скользящим, то перенося каждую из данных сил и вдоль их действия в очку О, получим две силы, приложенные к твердому телу в одной точке О. Сложив их, на основании аксиомы 3, получим равнодействующую , приложенную в этой точке и изображенную диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Такой способ сложения двух сходящихся сил называется правилом параллелограмма сил. Эта же задача может быть решена с помощью правила треугольника сил, заключающегося в следующем (рис. 2.3.) Из произвольной точки а (рис. 2.3.б) проведем вектор = и из конца его b - вектор =. Соединив точку а и концом с вектора , получим вектор равный равнодействующей данных сил Последняя приложена в точке 0 пересечения линий действия данных сил и . Теперь допустим, что требуется сложить систему сходящихся сил ,, приложенных к твердому телу в различных его точках А1,А2,…Аn (рис. 2.4.). Перенеся все силы вдоль их линий действия в общую их точку пересечения, получим систему сил приложенных к данному телу в одной точке 0. Для сложения сил воспользуемся методом последовательного их сложения. Сложим сначала силы и , используя правило треугольника сил. Для этого из произвольной точки а (рис. 2.4.б) проведем последовательно векторы иравные соответственно векторам и . Равнодействующая этих сил равна вектору , проведенному из точки А в конец С вектора и приложена в точке 0 пересечения линий действия данных сил (рис. 2.4.а), причем =+ На рис. 2.4.б вектор показан пунктиром. Теперь найденную равнодействующую сложим со следующей силой . Для этого из конца С вектора проведем вектор =. Тогда вектор (см. пунктир на рис. 2.4.б), проведенный из точки а в конце d вектора , будет равен равнодействующей сил и , т.е. трех сил , ,, причем =+= + +. Приложена эта равнодействующая также в точке 0 (на рис. 2.4.а) равнодействующие и не показаны). Аналогично складывая, равнодействующую последовательно со всеми остальными силами данной системы, получим равнодействующую всех данных сил, приложенную в точке 0 и равную , где - вектор, проведенный из точки а в конец е последнего из векторов, построенных на рис. 2.4.б. Учтя, что =(k=1,2,…n), окончательно получим . Сумма, стоящая в правой части этого равенства называется векторной суммой данных сил. Как нетрудно видеть, для построения вектора равнодействующей системы сходящихся сил достаточно, начиная от произвольной точки а провести последовательно один за другим векторы равные соответственно векторам данной системы сил ,,…,из точки а провести вектор в конец е последнего из проведенных векторов и затем перенести его параллельно в точку 0 пересечения линий действия данных сил. Многоугольник abcde называется многоугольником сил, а такой способ сложения системы сходящихся сил получил название правила многоугольника. Вектор , направленный противоположно всем остальным сторонам многоугольника adcde при обходе его периметра, называется замыкающей стороной многоугольника сил. Таким образом, равнодействующая системы сил сходящихся сил равна замыкающей стороне многоугольника сил, построенного на данных силах, как на сторонах, или векторной сумме этих сил и приложена в точке пересечения их линий действия. Заметим, что описанный способ применим не только для сложения плоской системы сходящихся сил. Им можно также пользоваться и при сложении сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, хотя в последнем случае применение его очень неудобно, так как трудно изобразить на плоскости пространственный многоугольник сил. Особого внимания заслуживает сложение трех сходящихся сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости. Пусть дана пространственная система трех сходящихся сил , и(рис.2.5.). Построим на этих силах пространственный многоугольник сил abcd (точка a этого многоугольника совмещена с точкой приложения сил данной системы). Его замыкающая сторона равна по величине и направлению равнодействующей данных сил. Достроив этот многоугольник до параллелограмма, как это показано на рисунке, убедимся, что вектор равнодействующей изображается его диагональю, а векторы данных сил , и- ребрами, исходящими из той же вершины d , из которой проведен вектор . Таким образом, приходим к выводу, что равнодействующая трех сходящихся сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на данных силах, как на ребрах, исходящих из общей вершины. 2.1.2. Разложение силы на составляющие, приложенные в её точке приложения Теперь решим обратную задачу. Пусть задана сила , приложенная в некоторой точке А. Требуется разложить её на составляющие, приложенные в этой же точке. Рассмотрим сначала случай разложения силы на две составляющие и(рис. 2.6.). Эта задача сводится к построению параллелограмма, диагональю которого изображался бы вектор данной силы. Таких параллелограммов можно построить бесчисленное множество. Следовательно, поставленная задача является многозначной. Чтобы сделать её однозначной, необходимо задать дополнительные условия. Наиболее часто встречается задача о разложении силы на две составляющие, приложенные в её точке приложения, по заданным линиям, действия искомых составляющих. Пусть силу , приложенную в точке А (рис. 2.6.), требуется разложить на две составляющие, приложенные в этой же точке и направленные по заданным прямым А и А. Для решения этой задачи достаточно из конца В вектора провести прямые ВД и ВС, параллельные соответственно прямым А и А. Тогда стороны АС и АД построенного таким образом параллелограмма АВСД изобразят векторы искомых составляющих и. Для разложения силы на две составляющие, приложенные в её точке приложения, могут быть также заданы величины составляющих сил или величина и линия действия одной из них и, наконец, величина одной и линия другой. Во всех этих случаях задача решается путем геометрического построения параллелограмма сил. Студентам предлагается самостоятельно рассмотреть все эти случаи и выяснить, при каких условиях каждая их этих задач является однозначной, двухзначной или не имеет решений. 2.2. Связи и их реакции Материальный объект называется свободным, если его движение не ограничено никакими телами, т.е. если он может совершать любое движение в пространстве и это движение обусловлено лишь приложенными к нему силами. Таким объектом является, например, снаряд, вылетевший из ствола артеллерийского оружия. Воздушная среда, в которой движется снаряд, не ограничивает свободы его движения, т.к. в этой среде он может совершать любое движение, в зависимости от приложенных к нему сил. Сама воздушная среда вызывает лишь появление силы сопротивления движению, приложенной к снаряду. Этот же снаряд является телом не свободным до тех пор, пока он находится внутри ствола, так как последний огранивает свободу его движения, заставляя его совершать винтовое движение, соответствующее винтовой нарезке, выполненной внутри ствола. Балка, лежащая на опорах, также является телом несвободным, так как движение её ограничено опорами. Эта же балка будет телом свободным, если удалить её опоры. Тела, ограничивающее свободу движения данного материального объекта, называются его связями. В приведенных примерах связями являются ствол артиллерийского орудия и опоры балки. Каждая связь, ограничивая свободу движения данного материального объекта, оказывает на него механическое действие. Это действие выражается силой, приложенной к рассматриваемому объекту, называемой реакцией соответствующей связи. Например, к балке, лежащей на опорах, приложены реакции опор, удерживающие её в равновесии. Приведенное выше геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил получено нами при условии, что материальный объект является свободным. Поэтому и пользоваться им можно только при рассмотрении равновесия свободного материального объекта. Для этого следует несвободный объект освободить от связей, т.е. мысленно отбросить все его связи и заменить их действие соответствующими реакциями. Таким образом, несвободный материальный объект будет свободным и к нему можно будет применить геометрическое условие равновесия. Освобождение материальных объектов от связей производится на основании восьмой аксиомы статики, называемой аксиомой освобождаем ости от связей, которая формулируется следующим образом. Аксиома 8. Несвободный материальный объект можно рассматривать как свободный, к которому, кроме активных сил, приложены реакции мысленно отброшенных связей. Активными силами называются все силы, кроме реакцией связей. Освободив рассматриваемый материальный объект от связей и применив к нему условие равновесия (1.2), можно найти величины неизвестных реакций, если удастся предварительно определить их направление. Для определения направлений реакций связей существуют определенные правила, к рассмотрению которых мы сейчас и переходим. Пусть к некоторому твердому телу, лежащему на горизонтальной плоскости и находящемуся в равновесии, приложена активная сила (рис. 2.7.). Освободив это тело от связи, мы обязаны приложить к нему её реакцию, которая и уравновешивает силу . Следовательно, на основании аксиомы 2, убеждаемся, что реакция R плоскости равна по величине активной силе и направлена по одной с ней прямой в сторону ей противоположную. Разложим эту реакцию на две составляющие, одна из которых направлена по нормали к плоскости и называется нормальной реакцией, а другая расположена в самой плоскости и называется силой трения. Последняя вызвана шероховатостью и некоторыми причинами. 2.2.1. Теорема о равновесии трех непараллельных сил Теорема. Если две сходящиеся силы уравновешиваются третьей силой, то все три силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке. Пусть некоторое твердое тело (рис. 2.8.) находится в равновесии под действием трех сил , и , приложенных соответственно в трех точках А,В,С линии действия двух из которых ипересекаются в точке 0. Перенеся силы и вдоль линий действия в точку 0 и сложив по правилу параллелограмма сил, приведем данную систему сил к двум силам и , которые, согласно аксиоме 2, направлены по одной прямой. Следовательно, линия действия силы также проходит через точку 0 и лежит в одной плоскости с силами и, т.к. все три силы расположены в плоскости параллелограмма, построенного на силах и. 2.2.2. Проекции силы на ось и на плоскость Осью называется неограниченная прямая, которой приписывается определенное направление, считаемое положительным. Проекцией Fx силы на ось Х (рис. 2.9.) называется направленный отрезок ав этой оси, отсекаемый на ней двумя перпендикулярными Аа и Вв, опущенными на неё из начала А и конца В вектора силы. Эти перпендикуляры лежат в плоскостях I и II, перпендикулярных к оси и проходящих через точки АиВ. Отрезку ав приписывается направление от а к в, как указано на рисунке стрелкой. Из рис. 2.9 видно, что численно проекция равна расстоянию между плоскостями I и II, т.е. , (2.1.) где С - точка пересечения с плоскостью II прямой, параллельной оси x и проходящей через точку А. Проекция силы на ось является скалярной алгебраической величиной. Она считается положительной, если её направление совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной в противном случае. Например, на рис. 2.9. проекция Fx положительна, если считать ось x направленной вправо. Из прямоугольного треугольника АВС находим: АС=Fcos, где - угол, образованный вектором силы и положительным направлением сил x. Таким образом. В силу (2.1.), получим следующую формулу, определяющую проекцию силы на ось Х: Fx=Fcos (2.2) В этой формуле знак проекции Fx определяется знаком cos . При /2 проекция Fx положительна и отрицательная, если /2<. Если =/2, т.е. если сила лежит в плоскости, перпендикулярной к оси, то Fx =0. Если =0 или = то сила проектируется на неё в свою истинную величину со знаком плюс или минус соответственно. Проекцией силы на плоскость Н (рис. 2.10.) называется вектор, расположенный в этой плоскости и направленный проекции а начала А вектора силы в проекцию в его конца В. Модуль этого вектора равен длине отрезка АС, т.е. = Fcos где  - угол, заключенный между вектором силы и плоскость Н.