Оценка интеграла. Теорема о среднем

5. Оценка интеграла. Теорема о среднем Укажем границы, между которыми наверняка заключено значение интеграла. Теорема 7. (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т. е. Z b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a), a < b, a где m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) в интервале [а,b]: m ≤ f (x) ≤ M. Доказательство. Возьмем две функции M − f (x) и m − f (x) . Первая из них в интервале [a, b] неотрицательна, вторая неположительна. Значит, по теореме 6 Z b Z b [M − f (x)]dx ≥ 0, [m − f ()]dx ≤ 0. a a Применяя теоремы п. 3 и формулу Rb dx = b − a , получим a Z Z b M (b − a) ≥ b f (x)dx и m(b − a) ≤ a f (x)dx. a что и требовалось доказать. Из доказательства теоремы 6 следует, что если только функция f (x) не постоянная, то нестрогие неравенства можно заменить на строгие: Z b m(b − a) < f (x)dx < M (b − a). a Находя границы для интеграла, мы, как говорят, производим его оценку. Может случиться, что весьма трудно или даже невозможно найти точное значение интеграла, а оценивая его, мы узнаем, хотя бы грубо, приближенное его значение. С такого рода оценками приходится довольно часто встречаться в математике. Указанные в теореме 7 границы для интеграла тем более точны, чем короче интервал интегрирования и чем меньше линия y = f (x) отличается по положению от прямой, параллельной оси Ox . Пример 1. Оценим интеграл Z 2 5−x dx. 2 0 9−x Известными методами дифференциального исчисления находим, что наибольшее и наименьшее значения подынтегральной функции в интервале [0,2] равны соответственно y(2) = 0, 6 и y(2) = 0, 5 . Значит, Z 2 5−x dx < 0, 6(2 − 0), 0, 5(2 − 0) < 2 0 9−x 1 т. е. интеграл заключен между 1 и 1,2. Если считать, что он равен 1,1, то предельная абсолютная ошибка равна 0,1, а относительная — 9%. Позже мы сумеем найти точное значение приведенного интеграла. Оно равно 4/3 · ln 5 − ln 3 ≈ 1, 047 . Пример 2. Оценим интеграл Z π/2 sin x dx. x π/4 Легко проверить, что подынтегральная функция в интервале [π/4, π/2] убывает и, следовательно, Z π/2 sin(π/2) π sin x sin(π/4) π < dx < π/2 4 x π/4 4 π/4 т. е. √ Z π/2 1 sin x 2 < dx < . 2 x 2 π/4 Таким образом, интеграл заключен между 0,5 и 0,71, что дает нам право считать его равным 0,6 с точностью до 0,1. Более точные приемы показывают, что приближенно он равен 0,62. Обобщение теоремы об оценке интеграла. Интегрирование неравенств Справедлива следующая более общая теорема, чем теорема 7. Теорема 8. Если в каждой точке x интервала [a, b] ψ(x) ≤ f (x) ≤ φ(x), то Z Z b ψ(x)dx ≤ a Z b b f (x)dx ≤ a φ(x)dx. a Это значит, что неравенство между функциями влечет неравенство того же смысла между их определенными интегралами, или, говоря коротко, неравенства можно интегрировать. Понятно хотя бы из простых геометрических соображений, что дифференцирование неравенства может привести к нелепым результатам. Доказательство теоремы немедленно следует из применения к неравенствам f (x) − φ() ≤ 0 и f (x)−ψ(x) ≥ 0 теоремы 7 о знаке интеграла. Опять-таки знак равенства между интегралами возможен только тогда, когда функции тождественно равны между собой. В частном случае, когда φ(x) тождественно равно M , а ψ(x) тождественно равно m , получаем теорему 7. С помощью теоремы 8 легко получается важное неравенство, которым мы воспользуемся в дальнейшем. При любом x −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|. (Если f (x) > 0 , то правая часть неравенства превращается в равенство, а левая часть очевидна; если f (x) < 0 , то наоборот.) Тогда Z b Z b Z b − |f (x)|dx ≤ f (x)dx ≤ |f (x)|dx, a a a 2 или Z Z b | b f (x)dx| ≤ a |f (x)|dx. a Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции. Предоставляем читателю выяснить геометрический смысл этого неравенства. Напомним еще, что аналогичное неравенство имеет место и для сумм: модуль суммы не превосходит суммы модулей. Теорема о среднем Определенный интеграл обладает следующим важным свойством. Теорема 9. (о среднем). Пусть функция f (x) непрерывна в замкнутом интервале [а,b]. Тогда внутри этого интервала существует хотя бы одно значение x = ξ , для которого Rb f (x)dx a = f (ξ). (1) b−a Доказательство. Если функция f (x) постоянная, то формула (1) очевидна, причем ξ — любая точка интервала [а,b]. Пусть теперь f (x) не постоянная, тогда в силу теоремы 7 имеем Rb f (x)dx m< a < M, b−a и, значит, Rb f (x)dx a = µ, b−a где µ — некоторое число, заключенное между наименьшим (m) и наибольшим (M ) значениями функции f (x) в интервале [a, b] . В силу свойств непрерывных функций функция f (x) в каких-то двух точках интервала [a, b] принимает значения m и и в какой-то точке, лежащей между ними, принимает промежуточное значение µ . Значит, существует точка ξ ∈ (a, b) , в которой f (ξ) = µ . Теорема доказана. Из равенства (1) находим Z b f (x)dx = f (ξ)(b − a), ξ ∈ (a, b). a Эта формула позволяет теорему о среднем сформулировать в такой форме: Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке интервала интегрирования на длину интервала. Среднее арифметическое значение функции Определение 1. Средним арифметическим значением непрерывной функции y = f (x) в интервале [а,b] называется отношение определенного интеграла от этой функции к длине интервала: Rb f (x)dx . yc = a b−a 3 На основании теоремы о среднем заключаем, что yc = f (ξ) , где ξ ∈ (a, b) . Среднее значение непрерывной функции в замкнутом интервале всегда (если только функция не постоянная) меньше некоторых ее значений, больше других ее значений и равно хотя бы одному ее значению. Понятие среднего значения функции очень употребительно в технике. Многие величины часто характеризуются своими средними значениями, например: давление пара, мощность переменного тока, скорость химической реакции и т. п. 4